El número 11: (pi) 3.1416. longitud de C =211: r Medida de ángulos

MATEMÁTICAS BÁSICAS
\yor de longitud B y base menor de longitud b,
~ ) h , que es igual a la suma de las áreas de los
3, b).
a
= a 2 + b 2 = (h 2 + m 2 )+ ~ 2 + n 2 ) = 2h 2 + m 2 + n 2 .
2m n = 2h 2 , Y así m n = h 2 .
En efecto : (m + n)2
Luego
b)
El número
11:
(pi)
Desde hace aproximadamente 4000 años, se notó que el número de veces que el diámetro
de una circunferencia está contenido en la longitud de ella es siempre el mismo, cualquiera
sea la circunferencia. Ese valor constante de la razón
longitud de la circunferencia de radio r
2r
se representa por la letra griega 11:. Tal número 11: no es racional y su valor aproximado es
3.1416.
G
Se sigue de la relación anterior que si C es una circunferencia de radio r, entonces
longitud de C = 211: r
Medida de ángulos (no dirigidos o no orientados)
Los ángulos se miden en grados y en radianes. La medida en grados es bien conocida y por
ello sólo nos referiremos a la medida en radianes.
\
Consideremos un ángu lo a , como se muestra en la figura sigu iente . En dicha figura el
arco AB, de la circunferencia de centro en O y radio r, tiene longitud L.
\
!
67
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Nótese que un radián es la medida del ángul
En particular se da la siguiente correspondeno
grados
O
Un hecho notable para el ángulo a es que el cociente
sean r y su correspondiente L.
ángulo a.
~
r
30
es siempre el mismo, cualesquiera
Ese valor constante se dirá la medida en radianes del
Por tanto, si e es la medida en radianes del ángulo a , entonces
~=e
r
o bien L = re .
Por ejemplo, de la figura siguiente
La medida de un ángulo
mida en grados o en radi
Congruencia de ángulos
se sigue que la medida en radianes de un ángulo de 90 0 es 2 n/ 4 , es decir, n/ 2.
Dos ángulos L A Y LB
misma medida.
Análogamente, la medida en radianes de un ángulo de 180 0 es n radianes y la de uno de
360 0 será 2 n radianes.
A continuación 6 resultad
I
1. Angulos opuestos po
Relación entre grados y radianes:
En la figura IS siguie
grados
360
radianeS}
1(2n)
n
2n
=> x = - - = ­
360
180
x
es decir, J o equivale a n/ 180 radianes.
De manera simi lar,
(LA Y LB
radianes
2n
gradOS}
360
=> x = 1(360) = 180
2n
n
x
es decir, 1 radián equivale a 180/ n grados ( 180 grados::::: Srl8' ).
n
68
Esto es consecuencia d
luego m(LC) = m(L
2. Ángulos correspondi
En la figura 16 siguien
~
~
~
MATEMÁTICAS BÁSICAS
-
......
\
Nótese que un radián es la medida del ángulo cuyo arco es igual al radio, pues
...
e = 1= r .
r
En particular se da la siguiente correspondencia:
IL 1
I
1
grados
-_./
L
O
30
45
60
90
180
270
360
.
cociente - es siempre el mismo, cualesquIera
r
tonstante se dirá la medida en radianes del
l·
H
radianes
H
O
H
n/6
H
n/ 4
H
n/ 3
H
H
n/ 2
n
H
3n/ 2
H
2n
La medida de un ángulo a la denotaremos m(La) o simplemente m(a), ya sea que se
mida en grados o en radianes.
Congruencia de ángulos
Dos ángulos L A Y LB se dicen congruentes, y se escribe LA:::: LB, si ellos tienen la
misma medida.
de
A continuación 6 resultados básicos.
1. Ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
En la figura 15 siguiente, se tiene que L A:::: LB y L C :::: L D .
\
FIGURA. 15
( L A Y LB son opuestos por el vértice, lo mismo que L C y L D)
Esto es consecuencia de que, por ejemplo, m(L A) + m( L C) = n
luego m(LC) = m(LD), y así L C:::: L D.
2. Ángulos correspondientes son congruentes.
\
En la figura 16 siguiente, en la cual L 1 11 L 2 ' se tiene que:
69
= m( LA) + m( L D),
MATEMÁTICAS BÁSICAS
LA~L B;
LE~LF
Le~L O ;
Y
~
D
LA ~ L~, entonces m(LA
m(L ~)+ m(L e) = m (La), entonces m
eomo
LG~LH
L¡
H
FIGURA 16
6. En todo triángulo ABe se tiene que m
de las medidas es en grados, o m(L
medidas es en r ;,.
(LA Y L B son correspondientes, al igual que LE y LF, Le y L O Y LG Y LH)
Prueba: eo
L 2 si son iguales o
m( La)+m
si siendo diferentes toda recta secante (recta que las atraviesa) forma con ellas
ángulos correspondientes iguales .
m(LA)+ m
Nota: Precisamente, dos rectas L¡ y L 2 son paralelas y se escribe L I
11
Triángulos sem
3. Ángulos alternos internos son congruentes.
~
En la figura 16 anterior, se tiene que L e
LB
Y L F ~ L G (L e y L B son
alternos internos , lo mismo que L F Y L G )
Dos triángulos
correspondencia
congruentes y lad
4. Angulos alternos externos son congruentes.
En la figura 16 anterior, se tiene que ¿ A
alternos externos, al igual que L E Y L H)
~
LO
Y LE
~
L H (L A Y L O son
Por ejemplo, los
correspondencia:
se tiene
5. Teorema del ángulo externo:
m(L a) = m(L A)+ m (Le).
En
la
figura
17
siguiente,
se
tiene
que
y
A
B
FIGURA 17
(La medida m( La), del ángulo exterior La, es igual a la suma de las medidas, m(LA) y
m (L e), de los ángulos interiores no-adyacentes L A y Le).
Prueba: considérese la figura 18 siguiente:
70 MATEMÁTICAS BÁSICAS
, y LC=:LD;
~
.
~
LA=:LP, entonces m(LA)+m(LC)=m( L p)+m(LC),
m(Lp)+m(LC)= m(La) , entonces m(LA)+m(LC) = m(La) .
Como
LG=:LH
y
como
L¡
:B
'~----L2
6. En todo triángulo ABC se tiene que m(LA)+m(LB)+m(LC)=180°, si cada una
m(LA)+ m(LB)+ m(LC )= rr, si cada una de las
irRA 16
de las medidas es en grados, o
medidas es en radianes.
,¡al que LE y LF, LC y LO Y L G Y LH)
Prueba: Considérese de nuevo la figura 18 anterior:
m(La)+m(LB)= 180°
Y
como
m(L A)+ m(LB)+ m(LC )= 180°.
paralelas y se escribe L I 11 L 2 si son iguales o
qte (recta que las atraviesa) fonna con ellas
m(La) = m(LA )+ m(LC),
entonces
Triángulos semejantes
Dos triángulos ABC y EFG se dicen semejantes si es posible establecer una
correspondencia biunívoca entre sus vértices de modo que ángulos correspondientes sean
congruentes y lados correspondientes sean proporcionales.
Por ejemplo, los triángulos de la figura 19 siguiente son semejantes, ya que bajo la
correspondencia:
se tiene
LA=:LE, LB=: L F,
LC=:LG
y
IABI
IBCI
ICAI
IEFI =IFGI= IGE I =
1
J3 G
e
J3~2
~
A 1 B
3
60·
FIGURA 19
71
F