Semana 6 Ángulos: Grados y radianes

Semana 5
Función exponencial
(parte 2)
Semana
6
Ángulos: Grados y radianes
¡Empecemos!
Estimado participante, desde
este semestre hasta el 9no trabajarás una temática importante
dentro de la geometría: la trigonometría (medida de los triángulos). En este semestre iremos
“abonando” los elementos que
van a permitirte la comprensión
de ésta.
Recordarás que en semestres
anteriores se recalcó que la unidad para medir ángulos es el grado; por cierto
¿con qué instrumento se miden los ángulos? Pero en trigonometría vas a necesitar otra unidad para medir ángulos: el radián. Específicamente en esta semana
nos dedicaremos a establecer la relación entre grados y radianes, para realizar
conversiones entre ambos.
¿Qué sabes de...?
1. Completa la tabla 5, apoyándote en tus conocimientos sobre ángulos.
Consideremos en cada caso, ángulos centrados en el punto O y cuyos
lados son M y P; lo expresamos así, el ángulo MOP, MOP.
Tabla 5
Clasificación
Nombre
Descripción
Gráfico
Su abertura
mide más de
90° pero menos de 180°
Según su
abertura
Representación
simbólica
90<MOP<180
M
Agudo
O
M
P
O
P
MOP=90°
197
Semana 6
Ángulos: Grados y radianes
2. Observa el gráfico y responde: ¿qué ángulo forman las manecillas de
cada reloj?
Figura 11
El reto es...
Establecer la equivalencia entre los ángulos en radianes (color azul) y los
ángulos medidos en grados. Completa los ángulos en º que faltan (rojos).
π/2
2/3π
3/4π
180º
π/3
y
150º
5/6π
π
45º
π/4
π/6
x
0π, π2
0º, 360º
11/6π
7/6π
5/4π
4/3π
225º
3/2π
7/4π
5/3π
Figura 12
Observa la figura 12 y responde: ¿A cuánto equivale π radianes en grados?,
¿cuántos radianes son 90°?
Vamos al grano
En términos simples, llamamos ángulo a la parte del plano delimitada por
dos semirrectas que parten de un origen común.
Los elementos de un ángulo son dos lados y un vértice.
do
La
a
Vértice
Lado
Figura 13
198
Hasta ahora hemos medido los ángulos utilizando sólo los grados sexagesimales (°); otra medida de gran utilidad para expresar ángulos es el radián, del
cual hablaremos a continuación.
Semana 6
Ángulos: Grados y radianes
Un radian es la medida de un ángulo
con el vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de
circunferencia de longitud igual al radio.
De tal manera que si S es la longitud del
arco, y r es el radio, es posible definir:
S/r=θ
Longitud = r
n
diá
Ra
r
Figura 14
Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa
¿Cuál es la medida, en radianes de un ángulo de rotación completa (360º)?
La longitud del arco L subtendido por un ángulo de rotación completa es la
L
= π L = 2πr,
longitud de la circunferencia (su perímetro), como sabemos, d
el radio r equivale a un radian, por tanto la longitud de la circunferencia= 2π
radianes y se entiende que forma un ángulo de 360º.
360º = 2π radianes
Despejando 1 radian = 180º = π radianes
180º
π
, 1 radian equivale aproximadamente 57,3º
Conviene recordar la relación 180º = π radianes porque puede obtenerse
a partir de esta la medida de muchos ángulos especiales.
Veamos algunos ejemplos:
90º = 180 = π rad 2
2
Si se divide 180 entre 2, también
se divide π entre 2
45º = 180 = π rad 4
4
La cuarta parte de 180º es 45º
30º = 180 = π rad 6
6
Si se divide 180 entre 6, también
se divide π entre 6
60º = 180 = π rad 3
3
La tercera parte de 180º es 60º
270º = 3 · 180 = 3π rad 2
2
Si se multiplica 180º por 3/2,
también se multiplica π por 3/2
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Semana 6
Ángulos: Grados y radianes
En general para convertir grados en radianes y viceversa puede usarse la
relación anterior:
a) Convertir 225º a radianes
180º = π radianes
225º = x
225º · π rad
5π rad
=
180º
4
x=
225º =
5π rad
4
b) Convertir 5π/7 rad
180º = π radianes
180º · 4π/9 rad
= 80º
π rad
x=
x = 4π/9 rad
4π/9 rad = 80º
Los ejes del sistema de coordenadas dividen la circunferencia trigonométrica en cuatro cuadrantes, como puedes ver en la figura 15.
90º
+
Segundo
Cuadrante
270º
Primer
Cuadrante
-
Tercer
Cuadrante
+
-
0º, 360º
Cuarto
Cuadrante
180º
Figura 15
Ángulos en posición estándar o normal
Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición
normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del
eje positivo x (ver figura 16a y 16b). Si el lado terminal de un ángulo coincide
con un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal (ver figura 16c).
Lado
terminal
y
Lado
terminal
Lado
inicial
x
Vértice
Lado
inicial
200
Origen
(0,0)
Figura 16a y 16b. Ángulos en posición normal
Figura 16c. Ángulo cuadrantal
Semana 6
Ángulos: Grados y radianes
El ángulo de la figura 16a está en el primer cuadrante y el de la figura 16b
está en el segundo cuadrante.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario a las manecillas del reloj y
negativo cuando gira favor de las agujas
del reloj.
Positivo
s
0
Negativo
s
α
-α
0
r
r
Para saber más…
En la siguiente dirección web encontrarás un video donde se resalta la
manera de hallar los ángulos que forman las agujas y manecillas de un
reloj: http://www.youtube.com/watch?v=z4wzbc4fAKkhttp://www.librosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp?TemaClave=1173&est=0
Aplica tus saberes
1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos:
a) 210º b) 160º
c) 135º d) 200º e) 25º
2. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes:
a)
π
5
b)
5π
3
c)
7
π
6
d)
11
π
4
e)
3π
2
3. ¿Cuáles son las condiciones para que el ángulo pertenezca al primero,
segundo, tercer o cuarto cuadrante?
201
Semana 6
Ángulos: Grados y radianes
4. Indica si el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante o es un ángulo cuadrangular. Sugerencia: En algunos, puede ayudar un dibujo del ángulo
en el sistema de coordenadas.
2π
-3π
a) 135° b) -200° c)
d) e) 187°
f ) 60°
3
4
Q
140º
E
P
-
π
3
M
Figura 17
En el gráfico el ángulo de 140° pertenece al II cuadrante y el ángulo π
- (-60°)
pertenece al cuadrante IV.
3
Comprobemos y demostremos que…
1. Entrega a tu facilitador los ejercicios de la sección anterior.
2. Autoevalúate
Indicador
Convertí los grados a
radianes.
Convertí radianes a grados.
Realicé las consultas
sugeridas.
Dibujé los ángulos.
202
Regular
Bueno
Excelente