Tabla de Transformadas de Laplace δ

ANÁLISIS DINÁMICO DE
SISTEMAS
Tabla de Transformadas de Laplace
F (s)
1
e −Ts
f (t ) t ≥ 0 ( f (t ) = 0 para t < 0)
δ (t )
δ (t − T )
3
1
s
u 0 (t )
4
1 −Ts
e
s
1
s2
1
sn
u 0 (t − T )
1
2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Observaciones
Impulso de Dirac
Impulso de Dirac
retrasado T segundos
Escalón unitario
16
17
18
Escalón unitario
retrasado T segundos
Rampa unidad
tu 0 (t )
n = 1, 2, 3, …
0! = 1
t
t n−1
(n − 1)!
− at
e u 0 (t )
te − at
te − at u 0 (t )
20
21
e − at
e− bt
e− ct
+
+
(b − a )(c − a) (c − b)(a − b) (a − c)(b − c)
(Particularizable para
c=0)
(s + z)
( s + a )( s + b)( s + c)
( z − a)e − at
( z − b)e − bt
( z − c)e −ct
+
+
(b − a )(c − a) (c − b)(a − b) ( a − c)(b − c)
(Particularizable para
c=0 ó z=0)
23
n = 1, 2, 3, …
0! = 1
Polos reales
(Como 10 con b=0)
1
( z − a)e− at − ( z − b)e −bt
b−a
1
ae− at − be −bt
a −b
[
[
Formulario
]
]
Polos reales
(Como 12 con z=0)
cos(ωt )
s
s + ω2
s+z
2
s + ω2
2
22
1
t n−1 e − at
(n − 1)!
1
(e− at − e− bt )
b−a
1
(1 − e− at )
a
ω
s +ω2
2
− at
1
s+a
1
(s + a) 2
1
(s + a) n
1
( s + a)( s + b)
1
s ( s + a)
s+z
( s + a)( s + b)
s
( s + a)( s + b)
1
( s + a)( s + b)( s + c)
e
19
f (t ) t ≥ 0 ( f (t ) = 0 para t < 0)
1
(at − 1 + e − at )
a2
1
(1 − e −at − ate −at )
a2
1
( z − ze − at + a (a − z )te −at )
a2
sen(ωt )
F (s )
1
s 2 (s + a)
1
s( s + a) 2
s+z
s( s + a) 2
24
26
27
ω2
1
s(s 2 + ω 2 )
s+z
s( s 2 + ω 2 )
z
ω
2
z +ω2
−
ω4
29
ω 
cos(ωt + φ ) φ = tan −1  
z
− at
e sen(ωt )
Polos complejos
e− at cos(ωt )
Polos complejos
2
( s + a) + ω
s+a
( s + a) 2 + ω 2
s+z
( s + a) 2 + ω 2
ω
Polos imaginarios
puros
Polos imaginarios
puros
Polos imaginarios
puros
ω
2
( z − a) 2 + ω 2
ω2
 ω 
e − at sen(ωt + φ ) φ = tan −1 

 z −a
ωn
2
n
s 2 + 2ξωn s + ωn2
28
ω 
sen(ωt + φ ) φ = tan −1  
z
1
(1 − cos(ωt ))
2
ω
2
25
z2 + ω2
Observaciones
1− ξ 2
s
( s 2 + 2ξωn s + ωn2 )
−
ωn2
s ( s 2 + 2ξωn s + ωn2 )
1−
1
1−ξ 2
1
1− ξ
2
(
e−ξω nt sen ωn 1 − ξ 2 t
)
(
)
φ = cos−1 ξ
(
)
φ = cos−1 ξ
e−ξω nt sen ωn 1 − ξ 2 t + φ
e−ξω n t sen ωn 1 − ξ 2 t + φ
Polos complejos
Polos complejos
(equivalente a 24)
Polos complejos
1
ANÁLISIS DINÁMICO DE
SISTEMAS
Sistemas de Primer Orden (I)
K
G(s) =
1 + T ·s
X(s)
G(s)
g(t)
y(t)
K/T
Y(s)
x(t)
y(t)
K: ganancia estática o en régimen permanente
T: constante de tiempo
0,37·K/T
Tangente en el origen
(pendiente K/T)
y(t)
• Respuesta impulsional: X(s)=1
K
0,95·K
−t
K
y (t ) = L [Y ( s )] = L [G ( s )] = e T ·u0 (t )
T
−1
t
T
−1
0,63·K
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
T
t
3·T
−t
 G ( s) 
T
y (t ) = L−1[Y ( s )] = L−1 
=
K
·(
1
−
e
)·u0 (t )

 s 
y(t)
T
(pendiente K)
• Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2
−t
 G (s) 
y (t ) = L [Y ( s )] = L  2  = [ K ·(t − T ) + K ·T ·e T ]·u0 (t )
 s 
−1
−1
t
T
-K·T
Formulario
2
ANÁLISIS DINÁMICO DE
SISTEMAS
Sistemas de Segundo Orden (I)
Si a,b>0, el sistema
es estable
K ·ω n2
K
Ks
G ( s) = 2
=
=
2
1 2 2·ξ
s + 2·ξ ·ω n ·s + ω n2
s
+ a·s + b
·
s
+
·
s
+
1
2
ωn
2
2
n
s + 2·ξ ·ω n ·s + ω = 0
Las raíces del polinomio (polos
del sistema) son :
s1, 2 = −ξ ·ω n ± ω n · ξ 2 − 1
Si ξ < 1 las raíces son complejas
ωn
K: ganancia estática
T=2·ξ/ωn: constante de tiempo
ξ>0: coeficiente de amortiguamiento
ωn>0: frecuencia natural del sistema
σ>0: constante de amortiguamiento o
factor de decrecimiento
Si ξ<1, ωd : frecuencia amortiguada
conjugadas :
σ = ξ ·ω n ω d = ω n · 1 − ξ 2
s1, 2 = −σ ± j·ω d
ωn
-σ
Im
ωd
θ
ξ = cosθ
Re
-ωd
Formulario
3
ANÁLISIS DINÁMICO DE
SISTEMAS
Sistemas de Segundo Orden (II)
Sobreoscilación :
−π ·ξ
Mp =e
1−ξ 2
−π ·σ
·100[%] = e
ωd
·100[%] = e −π ·cotgθ ·100[%] =
Tiempo de subida :
tr =
π −θ
=
ωn 1 − ξ 2
π −θ
ωd
y(t)
1

M
=
r

2·ξ · 1 − ξ 2
si 0 < ξ < 0.707 

2
ω r = ω n · 1 − 2·ξ
← Pico de Resonancia
← Frecuencia de Resonancia
B− A
·100[%]
A
Pico de sobreoscilación
B
Ritmo de decrecimiento
Tiempo de pico :
tp =
π
ωn 1 − ξ
=
2
π
ωd
A
0.9·A
A±5%
Entrada en régimen
permanente
Tiempo de establecimiento :
ts =
π
π
=
ξ ·ω n σ
(aprox.)
0.5·A
Régimen
transitorio
Tiempo de retardo :
1+
td =
ξ
2
ωn
Régimen
permanente
0.1·A
(aprox.)
Formulario
td
tr
tp
2·π
3·π
4·π
ωd
ωd
ωd
ts
t
4
ANÁLISIS DINÁMICO DE
SISTEMAS
Criterio de Estabilidad de Routh
Indica si existen raíces con parte real positiva en un polinomio: El sistema que tenga
como denominador ese
a0 ·s n + a1 ·s n−1 + a2 ·s n−2 + ... + an−2 ·s 2 + an−1 ·s + an = 0
polinomio, será estable
1) ∀ai, ai>0 (es decir, todos con el mismo signo y sin nulos)
si todos los ai>0 y todos
2) Se construye la siguiente tabla:
los coeficientes de la
a1 ·a2 − a0 ·a3
1  a0 a 2 
b1 =
=− 
primera columna de la
s n a0 a2 a4 a6 ...
a1
a1  a1 a3 
tabla son también
a
a
s n−1 a1 a3 a5 a7 ...
a ·a − a ·a
1
4
b2 = 1 4 0 5 = −  0
 estrictamente positivos.
s n−2
s n−3
...
s2
s1
s0
b1 b2
c1 c2
... ...
u1 u 2
v1
w1
Formulario
b3
c3
...
b4
c4
...
...
a1  a1
a5 
a1 ·a6 − a0 ·a7
1 a
=−  0
a1
a1  a1
a6 
a7 
a1
b3 =
...
b1 ·a3 − a1 ·b2
1 a a 
= −  1 3
b1
b1 b1 b2 
b ·a − a ·b
1 a a 
c2 = 1 5 1 3 = −  1 5 
b1
b1  b1 b3 
c1 =
El polinomio tiene
tantos polos con parte
real positiva como
cambios de signo se
producen en la primera
columna de la tabla
5