EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I

1
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I
3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE………………………………………………
NUMERO____
NOTA
No calculadora, ni lápiz ni móvil.
Empezar la resolución de cada ejercicio en la hoja de enunciados respectiva.
Entregar todas las hojas (incluidos los enunciados y las hojas en sucio).
Entregar cada problema por separado.
Los alumnos que no pongan sus datos completos no tendrán su nota publicada.
La subida de nota solo se aplicará a aquellas que superan el 4. (Máxima subida = 0,8 p)
PREGUNTA 0
Derivar dando el resultado simplificado cuando sea posible:
a1) x ln y  y3  y5  2x2 y
a3) f  x  
ln  x  1
 x  1
0,8 p
2
a4) y  ln

a2) f  x    3  e   x3  x
x
0,8 p
1  sin x
1  sin x
1,2 p
Se valorarán los cálculos y simplificaciones.
Puntuación: 5.
Es necesario obtener al menos un 2.
Representa un 1 en el total del examen.
a5)

ln 2
f  x   arctan
1,4 p
0,8 p
1  cos x
1  cos x
2
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I
3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE………………………………………………
NUMERO____
PREGUNTA 1
a) Estudio de la monotonia de una función utilizando el teorema de Taylor.
ln 2   x  12

b. Dada la función f  x     1  x 
ln 

  x 
NOTA
1p
x 1
x 1
1,5 p
b1) Demuestra que tiene por lo menos un cero sin calcularlo.
b2) Estudia las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [0,2] (solo las hipótesis) y
expresa la conclusión (sin realizar los cálculos).
Opcional 1: Estudia la función
 1 x 
f  x   ln 

 x 
3
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I
3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE………………………………………………
NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 2
a) ¿Cuál es la interpretación geométrica del concepto de derivada?.
Sin calcular la expresión analítica de f  x  obtener la representación gráfica de f   x  en el
intervalo (-4,6), si f  x  tiene la siguiente representación gráfica.
1p
Cada unidad es un cuadrito
b.- Calcular los siguientes límites
b1) lim x  2
x2
b5) lim
x 0
b2) lim
x2 3
1
x2
b3) lim
x 1
3
x 1
x 1
x2  x
x 0 x  x
b4) lim
tgx  senx
sen 3 x
Opcional 2: Demuestra la interpretación geométrica de la derivada
1,7 p
4
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I
3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE………………………………………………
NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 3
a.- Un campesino tiene 400 m de cerca y desea cerrar una superficie rectangular. Determinar
las dimensiones del rectángulo para que el recorrido entre dos esquinas opuestas sea mínimo.
0,7 p
b.- Sea la función f  x   x2eax
a0
b1) Estudiar máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b2) Estudiar las asíntotas
b3) Utilizando la información ya obtenida represéntala para a=1
Opcional 3: Calcular aproximadamente
3
1,5 p
11 utilizando el teorema adecuado (u otra estrategia).
5
EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I
3-2-2006
(Tiempo de realización: 3 horas)
GRUPO……
NOMBRE………………………………………………
NUMERO____
NOTA
PREGUNTA 4
a) Resolver las integrales
1)
x
 1  x 4 dx
 4 x3

2) 

x

x 
 dx
1  x2 
0,6 p
b) Sabiendo que el coste marginal para producir x unidades de un producto viene dado por la
función f  x   x ln x y que el coste total de producir la primera unidad es 0,75 unidades
monetarias, ¿cuál será el coste de producir 6 unidades?.
c) Calcular el área de la región limitada por la parábola
tangente a la función y de pendiente 1/4.
0,75 p
2 y  x  2 , el eje de abcisas y la recta
2
1,25 p