Teorema del valor inicial

2.1.11 Teorema del valor inicial
El teorema del valor inicial permite determinar las condiciones iniciales de un circuito, es decir el comportamiento de f(t) en t=0, a
partir del conocimiento de su transformada de Laplace F(s).
El valor inicial de una función f(t) es un valor en t=0, siempre que f(t) sea continua en t=0. Si f(t) es discontinua en t=0, el valor inicial
es el límite cuando t → 0 + , donde t tiende a t=0 desde valores positivos del tiempo.
El teorema del valor inicial dice:
f ( 0) = lim f ( t ) = lim sF ( s )
Para demostrarlo se comienza con la transformada de la 1ª derivada:
df − st
 df 
!   = sF ( s ) − f (0) = ⌠
 e dt
⌡ dt
 dt 
t →0
s→∞
∞
0
Tomando límites conforme s → ∞ :
∞
df − st
lim[sF ( s ) − f (0)] = lim ⌠
 e dt
s →∞
s → ∞ ⌡ dt
0
Como el segundo miembro es nulo:
lim[sF ( s) − f (0) ] = 0
s →∞
Como f(0) es el valor que toma la función cuando t → 0 se puede escribir:
lim f (t ) = lim sF ( s )
Por ejemplo, sea:
F ( s) =
Donde:
 − 2s 3
f (0) = lim sF ( s ) = lim s
4
s→∞
s→∞
 3s
t →0
s →∞
− 2s 3 + 7s 2 + 2s + 9
3s 4 + 3s 3 − 2 s 2 + 6
 −2
 =
 3