Cálculo diferencial e integral
UNIDAD II. LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.2. Existencia del límite de una función
Límite de la función constante: f(x)=c
Cuando es una constante el límite siempre será igual a la constante de
la función. Ejemplo: Determine el límite de la función f(x) = 5 cuando
x tiende a 3.
Límite de la función identidad: f(x)=x.
En este caso hay que sustituir el valor al cual tiende la función.
Ejemplo: determine el límite de la función f(x)=x cuando x tiende a 5.
Algunos teoremas sobre límites son los siguientes.
Teorema 1: Límite de una función constante. Límite de una función
constante. Sea f(x)=k (constante), entonces:
Lím f(x) = Lím k = k
x→a
x→a
Teorema 2: Límite de f(x)=x. Sea f(x)=x. Entonces:
Lim f(x) = Lim x = a
x→a
x→a
Teorema 3: Límite de una función multiplicada por una constante.
Sea k una constante y f(x) una función dada. Entonces:
Lim k f(x) = k Lim f(x)
x→a
x→a
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Teorema 4: Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de
funciones. Supóngase que
Lim F(x) = L1
y Lim G(x) = L2
x→a
x→a
Entonces:
1. Lim[ F(x)+G(x) ] = L1 + L2
x→a
2. Lim[ F(x) - G(x) ] = L1 - L2
x→a
3. Lim[ F(x) G(x) ] = L1 * L2
x→a
4. Lim[ F(x) / G(x) ] = L1 / L2
x→a
si L2 no es igual a cero
Teorema 5: Límite de una potencia. Sea n un entero positivo,
entonces:
Lim xn = an
x→a
Teorema 6: Límite de un polinomio. El límite de un polinomio. Sea
f(x) una función polinomial, entonces:
Lim f(x) = f(a)
x→a
Teorema 7: Límite de una función racional. Sea f(x)=p(x)/q(x) un
cociente de polinomios, entonces:
Lim f(x) = p(a)/q(a)
x→a
si q(a) no es cero.
Teorema 8: Límite de una función que contiene un radical. Si a>0 y n
es cualquier entero positivo, o si a<0 y n es un entero positivo impar,
entonces:
Lim x(1/n) = a(1/n)
x→a
1
Cálculo diferencial e integral
Límite de funciones que pueden factorizarse.
En algunos casos no puede determinarse el límite de una función por
sustitución directa, algunas funciones requieren procesos de
simplificación para obtener los respectivos límites.
x 4 + 3x 2 + 2 x
x
Por ejemplo: Lim
x→0
Si sustituimos directamente, tendríamos la división de cero entre cero,
operación que no puede ser realizada; para obtener el límite de dicha
función debemos factorizar la “x” en el numerador.
Para otro tipo de problemas será necesario buscar factores en común de
resta de cuadrados, suma de cubos y resta de cubos.
Factorización por
Resta de cuadrados
Resta de cubos:
Suma de cubos
Trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo:
Lim
x → −1
4
Lim
Expresión → Factorización
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
x2 −1
x +1
2
x + 3x + 2 x
x
Función o problema original.
x→0
Lim
(
x x 3 + 3x + 2
x
)
Factorizando una “x” del numerador
x→0
Lim x 3 + 3 x + 2
Eliminando la “x”
x→0
Lim x 3 + 3 x + 2
= (0) 3 + 3(0) + 2 = 2 Sustituyendo
x→0
RESULTADO DEL LÍMITE = 2.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
En otros problemas será necesario desarrollar binomios y eliminar
términos semejantes.
(3 + h) 2 − 9
Lim
Ejemplo:
h
h→0
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Cálculo diferencial e integral
Liga de interés:
Universidad Autónoma de Cd Juarez.
http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/limites/lim_teo.html
Actividad 2.1. De los ejercicios mostrados a la derecha; realice los
ejercicios pares.
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas
correspondientes: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede entregar impreso el trabajo o enviar el documento final por correo
electrónico a las siguientes direcciones: [email protected];
[email protected] y [email protected]
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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