ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CÁLCULO DE UNA VARIABLE DEBER 1 1.1 MÉTRICAS, ESPACIOS MÉTRICOS, ELEMENTOS TOPOLÓGICOS 1) Si 𝑑: ℝ×ℝ ↦ ℝ es una función, identifique cuál es una métrica: a) b) c) d) 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑝, 𝑞 𝑝, 𝑞 𝑝, 𝑞 𝑝, 𝑞 =𝜇 𝑝 −𝜇 𝑞 = 𝑝−𝑞 = 𝑝−𝑞 = 𝑠𝑔𝑛 𝑝 − 𝑠𝑔𝑛 𝑞 2) Sea el conjunto 𝐴 = ℝ. Si 𝑑: 𝐴×𝐴 ↦ 𝐴 es una función definida así: ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴: 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥−𝑦 1+ 𝑥−𝑦 Determine si 𝑑 es una métrica de 𝐴. Respuesta: sí. 3) Sea 𝑑: ℝ ↦ ℝ una métrica tal que entonces 𝑑 3, 1 = 2. a) Verdadero ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑑 𝑎, 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 𝑎 − 𝑏 , 1 , b) Falso Respuesta: b). 4) Represente como inecuaciones con valor absoluto y también gráficamente en la recta real los conjuntos: a) 𝑁> −2 b) 𝑁? 4 O c) N 3 (2) d) N 1 (7) O Respuesta: a) 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 + 2 < 1 , b) 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 − 4 < 2 c) 𝑥 ∈ ℝ 0 < 𝑥 − 2 < 3 , d) 𝑥 ∈ ℝ 0 < 𝑥 − 7 < 1 5) Represente gráficamente en la recta numérica el siguiente entorno: 𝑁? 1 ∩ 𝑁E −2 1.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE 6) Demuestre formalmente, utilizando la definición 𝜉 − 𝛿, que: a) b) lim K → M> lim K→MN 3𝑥 + 1 = −2 2𝑥 ? − 4 = 14 7) Al demostrar formalmente que lim K→? 1 − 2𝑥 = −3 se obtiene la siguiente relación 𝛿 = 𝑏𝜉, determine el valor de 𝑏 ∈ ℝ. 8) La eficiencia del combustible 𝐸 depende de la velocidad 𝑠 del móvil. Un carro se desplaza con 100% de eficiencia del combustible cuando viaja a 55 millas por horas (MPH). Suponga que la eficiencia del combustible en porcentaje está dada por la siguiente ecuación, la cual es función de la velocidad (s) del mismo en (MPH): E ( s ) = − 0.033058 ( s 2 − 110s ). Si se desea que el carro viaje con una eficiencia de al menos el 95%, cuán cerca de las 55 MPH se debe manejar. Respuesta: 0 < 𝑠 − 55 < 12.3. 1.2 TEOREMA DE LA UNICIDAD DEL LÍMITE 9) Demuestre que una función no puede tener dos límites diferentes en el mismo punto. Esto es: Si lim 𝑓 𝑥 = 𝐿> y lim 𝑓 𝑥 = 𝐿? , entonces 𝐿> = 𝐿? . K →KR K →KR 1.3 LÍMITES UNILATERALES 10) Bosqueje en el plano cartesiano la gráfica de la función 𝑓: −1, 3 ↦ ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 . Luego, determine o establezca que no existe cada uno de los siguientes enunciados: a) 𝑓 > ? b) limWY 𝑓 𝑥 K→ X c) limZ 𝑓 𝑥 K→ W X d) limW 𝑓 𝑥 K→ X e) lim 𝑓 𝑥 K→> 11) Bosqueje la gráfica de la función 𝑓: ℝ ↦ ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑥 ? − 2𝑥 . Luego, determine o establezca que no existe cada uno de los siguientes enunciados: (a) 𝑓 1 (b) limY 𝑓 𝑥 K→? (c) limZ 𝑓 𝑥 K→? (d) lim 𝑓 𝑥 K→? (e) lim 𝑓 𝑥 K→N 12) Al demostrar formalmente que limZ 2𝑥 − 𝑥 ε 5 ε b) ∂ = 4 ε c) ∂ = 3 ε d) ∂ = 2 a) K→? = 2, la relación ε − ∂ es: ∂= TEOREMAS DE LÍMITES 13) Aplicando el TEOREMA DEL EMPAREDADO, demuestre que: lim+ x e ⎛π ⎞ cos⎜ ⎟ ⎝x⎠ x →0 =0 14) Suponga que 𝑦 = 𝑓 𝑥 es la ecuación de una curva cuya representacón gráfica siempre está entre la parábola 𝑥 ? = 2𝑦 − 1 y la recta 2𝑦 − 1 = 0. Bosqueje en el plano cartesiano las gráficas de la parábola y la recta; y, obtenga por medio del TEOREMA DEL EMPAREDADO el siguiente valor: lim 𝑓 𝑥 K→[ 15) Suponga que 𝑓 es una función cuya gráfica siempre está entre 𝑔 𝑥 = − 𝑥 2 y ℎ 𝑥 = 𝑥 ? + 6𝑥 + 10. Bosqueje en el plano cartesiano las gráficas de las funciones 𝑔 y ℎ; y, obtenga por medio del TEOREMA DEL EMPAREDADO el siguiente valor: lim K → MN 𝑓 𝑥
