y f x c = f x c - Universidad de Antioquia

Guía de estudio
Reglas básicas de derivación
Unidad C: Clase 39
Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván
Restrepo Ochoa1.
2. Reglas de derivación
Aquí presentamos una serie de resultados que nos van a permitir obtener la
derivada de una función sin usar la definición.
Teorema 1: Regla para la función constante
Si y = f ( x ) = c con c constante entonces f ′ ( x ) =
dy
= 0 . Es decir, la derivada
dx
de una función constante es 0 .
Demostración
Como f ( x ) = c por la definición de la derivada empleando el límite, se tiene
que
f '( x) =
d
[c ]
dx
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x → 0
∆x
c−c
= lim
∆x → 0 ∆x
= lim 0
= lim
∆x → 0
= 0.
Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección
electrónica: [email protected]. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad
de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected]. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de
Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected].
1
235
Teorema 2: Regla del múltiplo constante
Si f ( x ) es derivable y k es una constante entonces
d
 kf ( x )  = kf ′ ( x ) . Esto
dx 
es, la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la
derivada de la función.
Demostración
kf ( x + ∆x ) − kf ( x )
d
 kf ( x )  = lim
∆x → 0
dx
∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= k lim
∆x → 0
∆x
′
= kf ( x )
Teorema 3: Regla para la potencia
n
Si n ∈ entonces para f ( x ) = x se tiene que
d n
 x  = nx n −1 .
dx  
Demostración
Primero recordemos el binomio de newton
n ( n − 1) a n − 2 2
(a + b) = a + na b +
b + nab n −1 + b n
2
n
n
n −1
+
Supongamos que si n ∈ entonces
f ( x + ∆x ) − f ( x )
d n
 x  = f ′ ( x ) = lim
∆x → 0
dx
∆x
( x + ∆x )
= lim
n
− xn
∆x
∆x → 0
n ( n − 1) x n − 2
n
2
x + nx ( ∆x ) +
( ∆x ) + + ( ∆x ) − x n
2
= lim
∆x → 0
∆x
n− 2

n ( n − 1) x
n −1 
= lim  nx n −1 +
∆x ) + + ( ∆x ) 
(
∆x → 0
2


n −1
= nx + 0 + + 0
n
n −1
= nx n −1
Ejemplo 1
Utilizar las reglas de derivación para encontrar la derivada de las siguientes
funciones
236
a.
y=x
b.
y = f ( x) =
c.
y=
d.
1
3x3
x
3
x
4
y = −3
3x
Solución
a. y = x ⇒ y ' = 1 ⋅ x1−1 = 1
1
1
1
−1
= x −3 ⇒ y′ = f ′ ( x ) = ( −3 x −3−1 ) = 4
3
3x
3
3
x
5
5
−
x
5 − −1
5
c. y = 3 = x 2 ⇒ y′ = − x 2 =
7
x
2
2x 2
3
4
4x
4
d. y = −3 =
⇒ y′ = .3x 2 = 4 x 2
3x
3
3
b. y = f ( x ) =
Teorema 4: Reglas de la suma y la diferencia
Sean f y g dos funciones derivables, entonces las funciones f + g y f − g ,
son derivables y sus derivadas son
d
( f + g ) ( x)  = f ′( x) + g ′( x)
dx 
d
( f − g ) ( x)  = f ′( x) − g ′( x)
dx 
Esto es, la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la derivada de
una resta es la resta de las derivadas
Demostración
( f + g )( x + ∆x ) − ( f + g )( x )
d
( f + g ) ( x)  = lim
∆x → 0
dx
∆x
f ( x + ∆x ) + g ( x + ∆x ) − f ( x ) − g ( x )
= lim
∆x → 0
∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
g ( x + ∆x ) − g ( x )
= lim
+ lim
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
= f ′ ( x) + g′ ( x)
237
Ejemplo 2
Encuentre la derivada de f ( x ) = 5 x 6 −
3 4
x + 9x −1
2
Solución
d
d
d 3
d
d
[ f ( x)] = 5 x6  −  x 4  + [9 x ] − [1]
dx
dx
dx  2  dx
dx
d
d
d
3 d 4
 x  + 9 [ x ] − [1]
= 5  x 6  −
dx
2 dx
dx
dx
3
= 5 ⋅ 6 x 6 −1 − ⋅ 4 x 4 −1 + 9 ⋅1x1−1 − 0
2
5
3
= 30 x − 6 x + 9
(Teorema 4)
(Teorema 2)
(Teorema 3 y 1)
Referencia
•
Haeussler, Ernest F, Jr. y Richard, S. Paul. Matemáticas para
administración y economía. Pearson – Prentice Hall. Décima segunda
edición, 2008
•
Larson, R., Edwards, B.H., Hostetler, R.P. Cálculo Esencial. Editorial
CEGANGE Learning. Primera edición, 2010.
•
Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson Prentice-Hall. Novena edición, 2007.
•
Simons, Geroge, F. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw - Hill.
Segunda Edición, 2002.
•
Stewart, James. Cálculo conceptos y contextos. International Thomson
Editores, 1998.
•
Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. Cálculo para administración,
economía y ciencias sociales, Mc Graw Hill. Séptima edicón, 2001.
238