Ecuaciones Diferenciales y primer y segundo orden.

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Delfos 0182
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ESTRUCTURA QUE RESPETAN:
y ' + p( x) .y = q( x)
{
123 {
I
II
I)
Tener Y ’
II)
Tener Y
III) Tener constantes o solo funciones con la variable x.
III
Procedimiento para variables no separables:
I) Hacer la sustitución
y = u. v ⇒ y ' = u'. v + u. v '
II) Reemplazar “ y ” e “ y ’ ” en la ecuación diferencial.
III) Sacar factor común “ u ”
IV) Arbitrariamente , igualar a cero la expresión que queda encerrada
entre paréntesis. (Ecuación I)
V) Con la igualación a cero del paso anterior, la ecuación del paso III
queda con un término menos.
(Ecuación II)
Ecuacion I ⇒ v' + P(x) .v = 0
Ecuacion II ⇒ u'.v = q (x)
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
ESTRUCTURA QUE RESPETAN:
Solución general:
a. y"+ b. y '+c. y = F( x )
YG = Y H + Y P
YH: Solución homogénea: a. r 2 + b.r + c = 0 ⇒
− b ± b2 − 4. a .c
2. a
r1
⇒ 
r2
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Si r1 ≠ r2
r .x
r .x
YH = C1. e 1 + C2 . e 2
r .x
r .x
YH = C1. e 1 + C2 . x. e 2
Si r1 = r2
(
Si r1 ∧ r2 son de la forma
α ± β.i
YH = eα.x C . sen( β.x ) + C . cos( β.x )
1
2
YP: Solución particular:
NO
Si F(x) es const.
¿Alguno de los r=o?
)
Yp= a.
SI
Yp= a.x
NO
Si F(x) es lineal
¿Alguno de los r=o?
Yp= a.x+b
SI
Yp= ax2 +bx
NO
Si F(x) es cuadrática
¿Alguno de los r=o?
Yp=ax2 +bx+c
SI
Yp=ax3 +bx2 +cx
¿Tiene F(x) el mismo
exponente que la YH ?
Si F(x) es
exponencial
NO
Yp = a.eα.x
SI
Yp = a. x.eα.x
Si F(x) es trigonométrica
NO
r1 =r2
SI
Yp = a. x 2 . eα. x
Yp = a.sen(α. x) + b.cos(α. x)
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