M.Sc. Fredy Suntaxi – ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Llamado también por superposición, el método consiste en determinar la solución de la función complementaria y encontrar una solución particular donde los coeficientes 𝑎𝑖 = 0, 1,2, … , 𝑛 son constantes, y donde 𝑔(𝑥) puede ser una constante, una función polinomial, una función exponencial (𝑒 𝛼𝑥 ), las funciones coseno o seno (cos(𝛽𝑥) 𝑜 𝑠𝑒 𝑛(𝛽𝑥)), o sumas y productos finitos de estas funciones. Para ello podemos establecer una tabla de posibles soluciones particulares: 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Forma de 𝑦𝑝 (posibles soluciones) 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑦𝑝 = 𝐴𝑆𝑒𝑛 (3𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑆𝑒𝑛 (3𝑥) + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 5𝑥 𝑔(𝑥) 30x 2𝑥 2 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 EDO 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 30𝑥 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 2𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑦𝑝 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑦2 = 𝐶𝑆𝑒𝑛 (2𝑥) + 𝐷𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥 𝑆𝑒𝑛 (𝑥) + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ejemplos: CASO I: En la solución particular asumida, ninguna función es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada o complementaria. Regla: La forma de 𝑦𝑝 es una combinación lineal de todas las funciones independientes que se generan por diferenciaciones repetidas de 𝑔(𝑥). CASO II: Una función presente en la solución particular asumida también es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada o complementaria. Regla: Si cualquier 𝑦𝑝𝑖 contiene términos que duplican en 𝑦𝑐 , entonces dicha 𝑦𝑝𝑖 debe multiplicarse por 𝐱 𝐬 , donde 𝒔 es el entero positivo más pequeño posible que elimina la duplicidad. EN GENERAL SE PUEDE EXPRESAR ASÍ, g(x) 𝑝𝑛(𝑥) = 𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥 𝑛 𝑃𝑛 (𝑥) . 𝑒 ∝𝑥 𝑃𝑛 (𝑥) . cos ∝ 𝑥 𝑃𝑛 (𝑥). 𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑥 Nota: 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑠 = 0 ,1 , 2 Yp 𝑥 𝑠 [𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥 𝑛 ] 𝑠 𝑥 [(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥 𝑛 )𝑒 ∝𝑥 ] 𝑥 𝑠 [(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑥 2 + ⋯ 𝐴𝑛 ) cos ∝ 𝑥] 𝑥 𝑠 [(𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + 𝐵2 𝑥 2 + ⋯ 𝐵𝑛 𝑥 𝑛 )𝑠𝑒𝑛 ∝ 𝑥] ESTO CON LA FINALIDAD DE EVITAR LA DUPLICIDAD, es decir, cuando se repitan las soluciones. Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1) 𝑦 ′′ − 10𝑦 ′ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3 2) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥 1) Dada la ED 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥 , identifique g(x) y suponga una posible 𝑦𝑝 3) 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 2) Dada la ED 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 6𝑥 2 + 2 + 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥, identifique g(x) y suponga una posible 𝑦𝑝 4) 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones dn y d(n−1) y d2 y an (x) n + an−1 (x) (n−1) + ⋯ + a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = g(x) dx dx dx dx cuando 𝑔(𝑥) tiene la forma, 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) 1 𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑔(𝑥) = tan(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝑥) 5) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥 Recuerde que la solución de una ecuación diferencial no homogénea está dada por la solución asociada o complementaria y la solución particular, donde la solución particular está dada por 2) 𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ = 𝑒 𝑥 cos(𝑥) dy 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 (𝑥) + 𝑦𝑝2 (𝑥) + ⋯ + 𝑦𝑝𝑛 (𝑥) Para solucionar este tipo de EDO, se deben analizar los siguientes casos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior mediante coeficientes indeterminados: 1) 𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 4𝑥 3) 𝑦 (4) + 𝑦 ′′′ = 1 − 𝑥 2 𝑒 −𝑥 M.Sc. Fredy Suntaxi – ECUACIONES DIFERENCIALES Tarea en casa Preguntas planteadas ED de orden superior homogéneas y no homogéneas. 1) 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 2𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 2) 𝑦 ′′ − 16𝑦 = 2𝑒 4𝑥 3) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 4𝑥 − 5 + 6𝑥𝑒 2𝑥 (se recomienda separar en dos posibles soluciones) 4) 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 6𝑥 2 + 2 + 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 (se recomienda separar en dos posibles soluciones) 5) 𝑦 ′′′ − 3𝑦 ′′ + 4𝑦 = 𝑥𝑒 2𝑥
