Resumen Ecuaciones Diferenciales

Resumen Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales de Orden 1:
1.
Homogeneas :
M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0,
y = ut,
donde
M (t, y)
y
N (t, y)
son funciones homoge-
neas del mismo grado. Usar
M (1, u) + uN (1, u)
du
=−
dt
tN (1, u)
2.
Exactas :
M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0,
M (t, y) =
3.
4.
∂M
=
y
N (t, y) =
donde ∂y
∂f
∂t
∂N
∂t , entonces existe
f
tal que
∂f
∂y
Lineales de Primer Orden :
y 0 + p(t)y = g(t),
R
µ(t)g(t)dt + C
y(t) =
µ(t)
Bernouilli :
y 0 + p(t)y = g(t)y n ,
resolver es:
donde
reemplazar por
µ(t) = e
R
v(t) = y 1−n (t).
p(t)dt
La ecuacion que hay que
v 0 + (1 − n)p(t)v = (1 − n)g(t)
Operador Diferencial. Si
D
es el operador diferencial, tenemos:
1
f (t) = ert
D−r
Z
e−rt f (t)dt
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de 2 × 2: Ẋ(t) = AX(t) + B . Sean
propios de A y V1 y V2 los vectores propios. La solucion particular es:
solucion homogenea es:
(i) Si
(ii) Si
(iii) Si
λ1 y λ2 los valores
Xp = −A−1 B y la
λ1 6= λ2 , Xh (t) = c1 V1 eλ1 t + c2 V2 eλ2 t ,
λ1 = λ2 ∈, Xh (t) = c1 V1 eλ1 t + c2 V2 eλ1 t + V1 teλ1 t ,
λ1 , λ2 ∈
con
λ1 = α + iβ
Xh (t) = c1
y
eαt [W
λ2 = α − iβ , V1 = W1 + iW2
1 cos(βt)
− W2 sin(βt)] + c2
1
y
V2 = W1 − iW2 ,
eαt [W
1 sin(βt)
+ W2 cos(βt)],