1) Ecuación del movimiento O1 x1 y1 O x y I M Q ωt ωt ϕ θ ¯r ur t n

1) Ecuación del movimiento
Ecuación de la cantidad de movimiento la dinámica relativa del punto M :
y1
I
y
M
F̄ + F̄I = mγ̄20
O tiene un movimiento circular uniforme de centro O1 , radio a y velocidad aω:
~t
~n
O
v̄01
= aω~t
O
γ̄01
2
= aω ~n
O1
~n =
r̄
ϕ
θ
ωt
2
M
ωt
Q
1
~ur
x1
0
θ = O\
1 OM
~uϕ
O
OO1
= cos θ~ur − sin θ~uϕ ;
|OO1 |
~t = ~n ∧ ~k = − sin θ~ur − cos θ~uϕ
x
Q, el punto de intersección del aro A y el eje Ox, describe una hipocicloide de
La Hire (diámetro de la circunferencia exterior). El triángulo O1 OQ es isósceles,
\1 y QOO
\1 son iguales. Si O tiene
porque |O1 O| = |OQ| = R, luego los ángulos OQO
\
un movimiento circular uniforme y sale desde el eje O1 x1 , el ángulo QO
1 O = ωt
Luego:
ω̄01 = −ω~k,
dω̄01
|1 = 0̄
dt
ᾱ01 =
r = a (implícita en polares)
r̄ = r~ur
→
OM = a~ur (paramétrica en polares)
v̄ = ṙ~ur + rϕ̇~uϕ
→
M
v̄20
= aϕ̇~uϕ
γ̄ = (r̈ − rϕ̇2 )~ur + (2ṙ ϕ̇ − rϕ̈)~uϕ
→
M
γ̄20
= −aϕ̇2 ~ur + aϕ̈~uϕ
F̄ = F̄D + F̄L
F̄D = 0̄ (sin fuerzas directamente aplicadas)
F̄L = F̄R + N̄
F̄R = 0 (contacto liso)
N̄ = N~ur
F̄I = F̄IA + F̄IC
O
F̄IA = −m[ γ̄01
+ ᾱ01 ∧ OM + ω̄01 ∧ (ω̄01 ∧ OM )] →
| {z } |
|{z}
{z
}
0̄
ω 2 OO1
F̄IC = −2mω̄01 ∧
− maω 2 (cos θ~ur − sin θ~uϕ ) + maω 2 ~ur
−ω 2 OM
M
v̄20
→
− 2maω ϕ̇~ur
Las ecuaciones resultan:
· ~ur )
−maϕ̇2 = N −maω 2 cos θ + maω 2 −2maω ϕ̇
|
{z
}
(1)
2maω 2 sin( θ2 )
· ~uϕ )
ϕ̈ = sin θ
ma
maω
(2)
\
Los tres ángulos del triángulo isósceles O1 OQ suman π y el ángulo O
1 OQ mide θ − ϕ, luego se tiene:
θ−ϕ+2ωt= π
θ̇−ϕ̇+2ω = 0
θ̈−ϕ̈
=0
Sustituyendo la tercera relación, la ecuación (2) resulta:
θ̈ = ω 2 sin θ =
1 dθ̇2
2 dθ
R
→
θ̇2 = C − 2ω 2 cos θ
(3)
2) Cuadraturas y análisis cualitativo.
Condiciones iniciales:
t=0:θ=π
v̄0 = aϕ̇0 ~uϕ0 = (2 + Λ)aω~uϕ0 ⇒ ϕ̇0 = (2 + Λ)ω ⇒ θ̇0 = Λω
C = (Λ2 − 2)ω 2 (Constante de integración)
θ
despejando
→
θ̇2 = ω 2 [Λ2 − 4 cos2 ( )]
2
r
R
θ
θ̇ = sign(Λ)ω Λ2 − 4 cos2 ( ) →
2
t=
sign(Λ)
ω
Z
θ
π
sustituyendo en (3)
→
dθ
q
Λ2 − 4 cos2 ( θ2 )
Ẽ = Λ2 (Nivel energético adimensionalizado)
θ
Ṽ = 4 cos2 ( ) (Potencial adimensionalizado)
2
Casos de movimiento:
Λ2 = 0 (rojo): Reposo en θ = π. Equilibrio
estable.
0 < Λ2 < 4 (verde): Libración entre puntos de
parada y retorno θp = π ± α
Λ2 = 4 (azul): Movimientos asintóticos hacia
θ = {0, 2π} para Λ = {−2, 2} respectivamente.
Λ2 > 4 (violeta): Rotación (no hay puntos de
parada)
3) Ley horaria
Z
θ
H: tan( θ4 )>0
dθ
1
θ
=
ln
|
tan(
)|
⇒
θ
ω
4
π 2 sin 2
θ
θ
θ̇(θ) = 2ω sin( )
ϕ̇(θ) = 2ω[1 + sin( )]
2
2
Λ = 2,
1
t=
ω
4) Reacción normal en función de la posición
(1)
→
θ
N (θ) = −4maω 2 sin( )
2
5) Análisis del desprendimiento
θ
sin( ) = 0 ⇒
2
lı́m θ(t) = 2π,
t→∞
θ = 2kπ, (k ∈ Z)
lı́m O1 M (t) = 0̄, (M → O1 )
t→∞
dN (θ)
(θ = 2π) = 2maω 2 > 0,
dθ
(Corte seco: habría desprendimiento, pero no llega nunca)
N (θ = 2π) = 0,
θ(t) = 4 arctan(eωt ), θ ∈ [π, 2π) (hipótesis verificada)