Ayudantía 1, MAT1610 - Sebastián Urrutia Quiroga

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Primer Semestre 2015
MAT 1610 ⋆ AYUDANTÍA
Sebastián Urrutia Quiroga
http://web.ing.puc.cl/~ sgurruti/
“The first principle is that you must not fool yourself – and you are the easiest
person to fool”
– Richard Feynman (Nobel Prize in Physics, 1965)
1.
2pq
, exprese cos(α) y cosec (α) en términos de p y q
− q2
a sin(α) − b cos(α)
b) Si b tan(α) = a, calcule el valor de
a sin(α) + b cos(α)
a) Si tan(α) =
p2
Solución:
a) Consideremos un triángulo como se muestra en la figura:
Por el teorema de Pitágoras,
r
r 2
2 p
2
h=
2pq + p2 − q 2 = p4 + 2p2 q 2 + q 4 =
p2 + q 2 = p2 + q 2
Note que omitimos el valor absoluto |x| =
cos(α) =
cosec (α) =
√
x2 pues el argumento es no negativo. Ası́,
p2 − q 2
p2 − q 2
= 2
h
p + q2
1
h
p2 + q 2
=
=
sin(α)
2pq
2pq
–1–
b) Dividiendo el numerador y el denominador de la expresión por coseno,
a tan(α) − b
a sin(α) − b cos(α)
=
a sin(α) + b cos(α)
a tan(α) + b
Multiplicando por b en el numerador y denominador,
a sin(α) − b cos(α)
ab tan(α) − b2
=
a sin(α) + b cos(α)
ab tan(α) + b2
Finalmente, reemplazando:
a2 − b2
a sin(α) − b cos(α)
= 2
a sin(α) + b cos(α)
a + b2
2. Demuestre que:
a)
b)
c)
d)
π
cot2 (α) − sin2 π2 − α
= tan
− α − cos(α)
cot(α) + cos(α)
2
tan(α) + cot(α) = sec(α) cosec (α)
3 1
1
sin4 (α) = − cos(2α) + cos(4α)
8 2
8
α−β
α+β
cos(α) − cos(β)
tan
= − tan
cos(α) + cos(β)
2
2
Solución:
a) Recordemos que sin
π
2
− x = cos(x). Por tanto,
cot2 (α) − sin2 π2 − α
cot(α) + cos(α)
cot2 (α) − cos2 (α)
cot(α) + cos(α)
= cot(α) − cos(α)
π
− α − cos(α)
= tan
2
=
b) Notemos que:
1
1
1
·
=
cos(α) sin(α)
cos(α) sin(α)
2
2
cos (α) + sin (α)
=
cos(α) sin(α)
sin2 (α)
cos2 (α)
+
=
cos(α) sin(α) cos(α) sin(α)
= cot(α) + tan(α)
sec(α) cosec (α) =
–2–
c) Notemos que:
cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α)
= 2 cos2 (α) − 1
cos(4α) = cos2 (2α) − sin2 (2α)
2 2
2
= 2 cos (α) − 1 − 2 sin(α) cos(α)
= 8 cos4 (α) − 8 cos2 (α) + 1
1
3 1
− cos(2α) + cos(4α) = 1 − 2 cos2 (α) + cos4 (α)
8 2
8
2
= 1 + cos2 (α)
= sin4 (α)
d ) Si denotamos por α = 2a y β = 2b, entonces la identidad que se desea demostrar toma la
siguiente forma:
cos(2b) − cos(2a)
= tan(a + b) tan(a − b)
cos(2b) + cos(2a)
Recordando que
tan(a ± b) =
tan(a) ± tan(b)
1 ∓ tan(a) tan(b)
Se tiene que:
tan(a + b) tan(a − b) =
=
=
=
=
tan(a) + tan(b)
tan(a) − tan(b)
·
1 − tan(a) tan(b)
1 + tan(a) tan(b)
2
2
tan (a) − tan (b)
1 − tan2 (a) tan2 (b)
sin2 (a) cos2 (b) − sin2 (b) cos2 (a)
cos2 (a) cos2 (b) − sin2 (a) sin2 (b)
1 − cos2 (a) cos2 (b) − 1 − cos2 (b) cos2 (a)
2
2
2
2
cos (a) cos (b) − 1 − cos (a) 1 − cos (b)
cos2 (b) − cos2 (a)
cos2 (a) + cos2 (b) − 1
Por otra parte,
2 cos2 (b) − 1 − 2 cos2 (a) + 1
cos2 (b) − cos2 (a)
cos(2b) − cos(2a)
=
=
cos(2b) + cos(2a)
2 cos2 (b) − 1 + 2 cos2 (a) + 1
cos2 (a) + cos2 (b) − 1
lo que completa la demostración.
–3–
3. Si tan(25°) = a, exprese
R=
tan(205°) − tan(115°)
tan(245°) + tan(335°)
en términos de a.
Solución:
Recordemos que el periodo de la tangente es π = 180°, por lo que
tan(205°) = tan(180° + 25°) = tan(25°) = a
tan(115°) = tan(90° + 25°) = − cot(25°) = −
π
1
a
pues tan
− θ = cot(θ), y la tangente es una función impar (al igual que la cotangente). Por
2
otra parte,
tan(245°) = tan(180° + 65°) = tan(65°)
1
a
tan(335°) = tan(2 · 180° − 25°) = − tan(25°) = −a
= tan(90° − 25°) = cot(25°) =
Ası́,
1
2
a = 1+a
R=
1
1 − a2
−a
a
a+
4. Resuelva
cos(2x) + cos(3x) = 0
Solución:
Recordemos que:
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
Sumando,
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos(a) cos(b)
Si hacemos a + b = 3x y a − b = 2x, obtendremos que:
a=
5x
2
∧
b=
x
2
Por tanto, reemplazando,
x
5x
cos(3x) + cos(2x) = 2 cos
cos
2
2
–4–
Ası́, la ecuación buscada es equivalente a resolver
x
5x
cos
cos
=0
2
2
x
x
π
= 0 implica que = + kπ, k ∈ Z. Ası́
cos
2
2
2
x = π + 2kπ = (2k + 1)π
(múltiplos impares de π)
5x
π
5x
= 0 implica que
= + mπ, m ∈ Z. Ası́
cos
2
2
2
2m + 1 1
x=
π + 2mπ =
π
5
5
5. Demuestre que
√
a) sin 2 arcsin(x) = 2x 1 − x2
x
b) arctan √
1 − x2
= arcsin(x), |x| < 1
Solución:
Primero que todo, recordemos el dominio y recorrido de las funciones trigonométricas inversas
más comunes:
Función
Dominio
Recorrido
π
π
y = arcsin(x) −1 ≤ x ≤ 1 − ≤ y ≤
2
2
y = arc cos(x) −1 ≤ x ≤ 1
y = arctan(x)
x∈R
0≤y≤π
−
π
π
<y<
2
2
a) Sea y = arcsin(x), lo que implica que x = sin(y) con las restricciones (dominio y recorrido)
establecidas en la tabla anterior. Ası́,
sin 2 arcsin(x) = sin(2y) = 2 sin(y) cos(y) = 2x cos(y)
Recordemos la identidad fundamental de la trigonometrı́a, aplicada al ángulo y:
cos2 (y) + sin2 (y) = 1
cos2 (y) = 1 − sin2 (y)
= 1 − x2
√
cos(y) = ± 1 − x2
¿Qué signo elegimos? Como y ∈ [−π/2, π/2], cos(y) ∈ [0, 1] con lo que es no negativo. Por
tanto, nos quedamos con la raı́z positiva y concluimos que:
√
√
2
cos(y) = 1 − x
−→ sin 2 arcsin(x) = 2x 1 − x2
–5–
b) El problema planteado es equivalente a probar que:
x
√
= tan arcsin(x)
1 − x2
que se consigue al aplicar tangente a ambos lados, y aprovechar el carácter invertible de la
función. Sea y = arcsin(x), de manera análoga al caso anterior. Deseamos calcular tan(y), lo
cual se consigue al tomar en cuenta la siguiente identidad trigonométrica:
tan(y) =
sin(y)
x
=√
cos(y)
1 − x2
consecuencia del apartado anterior.
Cualquier consulta o sugerencia, vı́a mail a [email protected] con asunto “Consulta MAT 1610”
–6–