Transforma la integral / (x2 " y2) dx ] dy a coordenadas polares y
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i R a hR pa2 x2 2 Transforma la integral 0 0 x + y 2 dx dy a coordenadas polares y calcula su valor. Dibuja el área sobre la cual estás integrando Solución: Las coordenadas polares se de…nen como x = cos y = sin ( 0; 0 <2 ) El determinante jacobiano es @x @y cos sin @ @ = cos2 + sin2 = cos2 + sin2 = = @x @y sin cos @ @ p El área de integración es el cuarto de círculo S = (x; y) j 0 < y < a; 0 < a2 x2 y 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x Que en coordenadas polares se escribe S = f( ; ) j 0 < < a; 0 < =2g Y desde luego x2 + y 2 = 2 Porh tanto, i i R a hR =2 2 R a R pa2 x2 2 R a hR =2 i x + y 2 dx dy = 0 0 d d = 0 3 0 d d = 0 0 4 a Ra 3 a4 = d = = 0 2 2 4 0 2 4 Resumiendo p h i R a R a2 x2 2 1 4 x + y 2 dx dy = a 0 0 8 1
