MÉTODOS MATEM´ATICOS IV, curso 2009/2010 Primer parcial (17

MÉTODOS MATEMÁTICOS IV, curso 2009/2010
Primer parcial (17 de diciembre de 2009)
Solución Problemas 5 y 6
5) Considera la curva plana r = r(θ) en coordenadas polares, donde r(θ) es una función suave.
a) Deriva una fórmula para la curvatura en términos de r, r0 y r00 .
Dada la curva x(θ) = r cos θ i + r sen θ j, con r := r(θ), es inmediato calcular
x0 (θ) = (r0 cos θ − r sen θ) i + (r0 sen θ + r cos θ) j ,
x00 (θ) = ([r00 − r] cos θ − 2r0 sen θ) i + ([r00 − r] sen θ + 2r0 cos θ) j .
La curvatura puede ser calculada, entonces, con la fórmula
κ(θ) =
||x0 (θ) × x00 (θ)||
.
||x0 (θ)||3
De hecho,
x0 (θ) × x00 (θ) = [−r r00 + 2 r02 + r2 ] k ,
de modo que su norma es trivial, y la de x0 (θ) resulta
||x0 (θ)||2 = (r0 cos θ − r sen θ)2 + (r0 sen θ + r cos θ)2
= r02 + r2 ,
por lo que, finalmente, la curvatura resulta
| − r r00 + 2 r02 + r2 |
κ(θ) =
.
(r02 + r2 )3/2
b) Si la curva es la espiral logarı́tmica r(θ) = eaθ , muestra que la curvatura de un punto
1
que se encuentra a una distancia R del origen es √
.
R 1 + a2
Si r = r(θ) = eaθ , r0 = a r y r00 = a2 r. Entonces, llamando r := R:
κ(θ) =
(a2 + 1) R2
1
= √
.
2
2
3/2
((a + 1) R )
R 1 + a2
c) ¿Cómo interpretas el resultado anterior en los lı́mites a → 0 y a → ∞?
Cuando a → 0, κ(θ) → 1. Se trata de una circunferencia de radio unidad.
Cuando a → ∞, κ(θ) → 0, es decir, una recta (circunferencia de radio infinito).
6) Considera el elipsoide de semiejes a, b y c (a ≤ b ≤ c),
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1.
a2
b
c
a) Encuentra una parametrización en término de los ángulos polar y azimutal. Indica si es
regular.
Por analogı́a con la ecuación de la esfera, se puede parametrizar al elipsoide en términos
de los ángulos polar y azimutal:
x := x(θ, φ) = a sin θ cos φ e1 + b sin θ sin φ e2 + c cos θ e3 ,
con θ ∈ [0, π] y φ ∈ [0, 2π). Para ver si es regular,
xθ = a cos θ cos φ e1 + b cos θ sin φ e2 − c sin θ e3 ,
xφ = −a sin θ sin φ e1 + b sin θ cos φ e2 ,
de donde podemos calcular
xθ × xφ = sin θ (bc sin θ cos φ e1 + ac sin θ sin φ e2 + ab cos θ e3 ) .
La parametrización de la superficie es regular, salvo en los puntos θ = 0 y π, en los
que xθ × xφ = 0. Si θ ∈ [0, π], entonces, no es regular. Alternativamente, si consideramos θ ∈ (0, π), la parametrización es regular y se necesita completar la carta con otra
parametrización complementaria. Como en el caso de la esfera.
b) Encuentra las curvas monoparamétricas y demuestra que son regulares. Calcula el ángulo
de intersección entre ellas. ¿Qué pasa si a = b?
Las curvas monoparamétricas se obtienen fácilmente:
y(θ) := x(θ, φ0 ) = sin θ (â e1 + b̂ e2 ) + c cos θ e3
z(φ) := x(θ0 , φ) = a0 cos φ e1 + b0 sin φ e2 + c0 e3
donde hemos definido las siguientes constantes: â = a cos φ0 , b̂ = b sin φ0 , a0 = a sin θ0 ,
b0 = b sin θ0 y c0 = c cos θ0 . Es decir, las curvas monoparamétricas son, respectivamente,
semi-elipses (porque θ ∈ [0, π]) y elipses. Las funciones y(θ) y z(θ) son suaves y
y0 (θ) = cos θ (â e1 + b̂ e2 ) − c sin θ e3 6= 0 ,
z0 (φ) = −a0 sin φ e1 + b0 cos φ e2 6= 0 ,
ya que el seno y el coseno no pueden anularse simultáneamente. Las curvas monoparamétricas, entonces, son regulares. El ángulo de intersección entre las curvas es:
cos α = p
= p
gθ,φ (θ0 , φ0 )
gθ,θ (θ0 , φ0 ) gφ,φ (θ0 , φ0 )
(b2 − a2 ) cos θ0 sin φ0 cos φ0
(cos2 θ0 [a2 cos2 φ0 + b2 sin2 φ0 ] + c2 sin2 θ0 ) (a2 sin2 φ0 + b2 cos2 φ0 )
,
donde utilizamos las componentes de la métrica calculadas en el apartado siguiente.
Cuando a = b las curvas monoparamétricas son ortogonales.
c) Calcula la primera forma fundamental y el área total del elipsoide que tiene a = b
(comprueba que ésta, en el lı́mite c → a tiende al área de la esfera).
Fórmula útil:
Z π
√
sen θ cos2 θ + λ2 sen2 θ dθ = 1 + λ2
0
1
ω = arccos
λ
ω
,
tan ω
La primera forma fundamental resulta
E := gθθ = xθ · xθ = cos2 θ a2 cos2 φ + b2 sin2 φ + c2 sin2 θ ,
F := gθφ = xθ · xφ = b2 − a2 sin θ cos θ sin φ cos φ ,
G := gφφ = xφ · xφ = sin2 θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ .
Para calcular el área total del elipsoide que tiene a = b, comenzamos por escribir la
primera forma fundamental en ese caso
gθθ = a2 cos2 θ + c2 sin2 θ ,
gθφ = 0 ,
gφφ = a2 sin2 θ ,
y calcular la raı́z cuadrada del determinante de la métrica
q
p
1/2
2
g = gθθ gφφ − gθφ
= a sin θ a2 cos2 θ + c2 sin2 θ .
El área total del elipsoide resulta
Z 2π Z π
Z
(a=b)
1/2
A
=
dφ dθ g = a
0
= 2πa2
0
Z
2π
dφ
0
r
π
dθ sin θ
cos2 θ +
0
Z
π
dθ sin θ
p
a2 cos2 θ + c2 sin2 θ
0
c2
sin2 θ
2
a
c2 ω
2
= 2πa 1 + 2
,
a tan ω
donde ω = arccos ac . En el último paso usamos la fórmula útil dada en el enunciado.
En el lı́mite c → a,
lim A(a=b) = 4πa2
c→a
ya que ω → 0 y, entonces, ω/tan ω → 1. Éste es el valor del área de la esfera de radio a.
d) Calcula la segunda forma fundamental y clasifica los puntos del elipsoide.
Para calcular la segunda forma fundamental, necesitamos las segundas derivadas:
xθθ = −a sin θ cos φ e1 − b sin θ sin φ e2 − c cos θ e3 ,
xθφ = −a cos θ sin φ e1 + b cos θ cos φ e2 ,
xφφ = −a sin θ cos φ e1 − b sin θ sin φ e2 ,
y el vector normal n =
xθ ×xφ
,
||xθ ×xφ ||
bc sin θ cos φ i + ac sin θ sin φ j + ab cos θ k
n= q
.
c2 sin2 θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ + a2 b2 cos2 θ
La segunda forma fundamental resulta
abc
,
L := bθθ = xθθ · n = − q
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c sin θ a sin φ + b cos φ + a b cos θ
M := bθφ = xθφ · n = 0 ,
abc sin2 θ
.
N := bφφ = xφφ · n = − q
c2 sin2 θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ + a2 b2 cos2 θ
Para clasificar los puntos del elipsoide, calculamos el determinante
b = bθθ bφφ −
b2θφ
a2 b2 c2 sin2 θ
= 2 2
>0.
c sin θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ + a2 b2 cos2 θ
Todos los puntos del elipsoide, como el propio nombre lo sugiere, son elı́pticos.