D - Canek
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22 Optimización. E: Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m3 . El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta 3 pesos el metro cuadrado. El material para los costados cuesta 2 pesos el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones para tener el más barato de esos recipientes. D: H y y x 2x Volumen del recipiente, de la figura: 10 = 2x2 y El costo de los materiales. Se trata de una caja sin tapa. Esta es la función que deseamos optimizar: C = 6x2 + 4xy + 8xy = 6x2 + 12xy Despejamos y de la “restricción” dada, esto es, de la fórmula del volumen: y= 10 2x2 Sustituimos en función costo y ahora queda con una sola variable: 10 1 2 C = 6x + 12x = 6x2 + 60 2 2x x 3 1 12x − 60 C 0 = 12x − 60 2 = x x2 2x 1 C 00 = 12 + 60 4 = 12 + 120 3 > 0 x x Segunda derivada positiva. C 0 = 0 ⇒ 12x3 − 60 = 0 ⇒ x3 = Mı́nimo absoluto yM in = 22 10 2 2(5) 3 = 5 2 (5) 3 = √ 3 5 = xM in canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007 1 √ 60 3 ⇒ xM in = 5 12 2
