Si se cuenta con 1000 cm2. de material para hacer - Canek
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18 Optimización. E: Si se cuenta con 1000 cm2 . de material para hacer una caja con base cuadrada, encuentre el volumen máximo posible de la caja. y y x x D: H Total de material usado en la caja con tapa, según la figura A = 2x2 + 4xy = 1000 Volumen de la caja. Función que se desea optimizar: V = x2 y Despejando y de la “restricción”, esto es, de la fórmula del área: 1 1000 1000 − 2x2 = − 2x y= 4x 4 x 1 1 2 1000 − 2x = 1000x − 2x3 V = x 4 x 4 El volumen se encuentra ahora con una sola variable 1 V 0 = (1000 − 6x2 ) 4 1 V 00 = (−12x) < 0 4 Para calcular los puntos crı́ticos, igualamos la primera derivada a cero: 0 2 2 V = 0 ⇒ 1000 − 6x = 0 ⇒ 6x = 1000 ⇒ xM in = 18 canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007 1 r 1000 = 6 r 500 3 2 Mı́nimo absoluto. 1000 r 1 1000 500 = 6 r 6 − 1 500 = 6 r yM in = − 2 4 500 3 4 500 3 3 4 3 3 r r 6 2 500 500 = × = = xM in 4 3 3 3 r 500 500 V = x2 y = 3 3 r r 500 1 − 3 3 r 500 3 ! =
