20-06-07B.pdf

DCyT/AMII/Segundo parcial - 20/06/07
Apellido y Nombre:
(a)
0,8
1
(b)
0,4
2
(c)
0,6
1,2
(a)
1,2
3
(b)
0,8
4
(c)
0,6
(a)
0,6
(b)
0,4
TEMA B
T
(c)
0,6
(d)
1
(T1)
0,8
(T2)
1
PRÁCTICA
(1) Sea f (x, y) =
√
y + 4 ln(x + y + 2)
p
x + x x2 + y
(a) Hallar y graficar D = Dom (f ) y decidir si es o no acotado.
(b) Determinar si D es abierto. Justificar.
(c) Hallar el conjunto de todos los puntos (xo , yo ) ∈ R2 para los cuales tenga sentido el
lim
f (x, y)
(x,y ) → (xo ,y o )
(exista o no). En base a su respuesta determinar si D es cerrado o no.
(2) Hallar dominio, imagen y curvas de nivel de f (x, y) = y 1/x Representar en el dominio de f
las curvas de nivel f (x, y) = ej para j = 0 , ±1 , ±1/2
Razonando con curvas de nivel determinar la existencia o no del
lim
f (x, y)
(x,y ) → (0,1)
√
(3) Dados f (x, y) = ln(x − y 2 ) y Po (1, 3/2)
0 (P ) es máxima/mı́nima/nula y los val(a) Determinar las direcciones α según las cuales fα
o
ores de la máxima y la mı́nima derivada direccional de f (x, y) en Po
√
(b) Hallar ecuaciones de la recta tangente en Qo (1, 3/2, ln(1/4)) a la curva obtenida cortando
√
√
S : z = f (x, y) con el plano π : 2y + 2 3 x = 3 3 (Hay una forma sencilla!)
(c) Calcular ∆f y df en (xo , yo ) = (1, 0) para (∆x, ∆y) = (0, 1; 0, 2)
(4) Sea f (x, y) =
3xy 3
y 3 + x6
(a) Determinar si existe el lı́mite radial LR de f (x, y) para (x, y) → (0, 0)
(b) Calcular: lim f (x, x3 − x2 )
x→0
½
f (x, y) si y 6= − x2
¿ Existe algún valor de la constante A de
(c) Sea g(x, y) =
A
si y = − x2
modo que g resulte continua en (0, 0) ? Justificar.
(d) Si en (c) se toma A = 0,
(0, 0) ? Justificar.
¿ existirán gx0 (0, 0) y gy0 (0, 0) ? ¿ Será diferenciable g en
TEORÍA
(T1) Demostrar por definición que f (x, y) = x(y − 1) es diferenciable en (1, 2) ¿ De qué otra
forma podrı́a justificarse la diferenciabilidad de f en dicho punto? (Hacerlo).
~ (xo , yo ) es perpendicular a la curva de nivel
(T2) Para f (x, y) = x2 y − e− x y demostrar que ∇f
de f que pasa por el punto (xo , yo ) Suponer que xo 6= 0
2