30-06-07-bis.pdf

DCyT/AMII/Recuperatorio del 2 do parcial - 30/06/07
Apellido y Nombre:
PRÁCTICA
1) f (x, y) = ln
µ
y2 − 1
x−y
¶
+
p
x2 + y 2 − 2
(a) Hallar y graficar D = Dom(f ) ¿ Es conexo?
(b) Determinar si D es abierto. Justificar.
(c) Hallar ac (D) y justificar si D es cerrado.
2) Hallar dominio, imagen y curvas de nivel de f (x, y) = exp
½³
x2 +y 2
2x
´2 ¾
. Representar
en el dominio las curvas de nivel para los valores k = e , e4 ¿ Qué puede decir acerca
del
lim
f (x, y) ? Justificar la respuesta mediante curvas de nivel.
(x,y ) → (0,0)
3) f (x, y) = −3y +
4
π
cos
³
πx
y
´
; Po (1, 2)
(a) Determinar las direcciones α tales que fα0 (Po ) es máxima/mı́nima/nula. Hallar
los valores de la máxima y la mı́nima derivadas direccionales en Po
~ (1, 2) es perpendicular a la curva de nivel de f por (1, 2)
(b) Demostrar que ∇f
4)
f (x, y) =





xy
y−x
x+A
si x 6= y
si x = y
(a) Calcular: lim f (x, g(x)) siendo g(x) = x + x2
x→0
(b) ¿ Existe algún valor de la constante A de modo que f resulte continua en el origen?
Justificar.
(c) ¿ Es f diferenciable en el origen? Justificar.
(d) Calcular: fα0 (0, 0) siendo α = π/4
TEORÍA
(T1) Sean f (x, y) = x2 + y 2 ; Po (1, 1). Calcular en Po , por separado, dz y ∆zT . Mostrar
que coinciden (∆zT es el incremento del plano tangente).
(T2) Demostrar por definición que f (x, y) = exy es diferenciable en el origen.
ehk−1
y relacionarlo con el
lim
Ayuda: Averiguar primero el
lim
hk
(h,k) → (0,0)
(h,k) → (0,0)
hk−1
√e
h2 +k2