11-07-07.pdf
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DCyT/AMII/Recuperatorio del 3 er parcial - 11/07/07 Apellido y Nombre: PRÁCTICA 1) En cada caso suponga que se verifican las condiciones para aplicar la regla de la cadena. (a) Sea z = f (x, y) donde x = g(t, y) ; y = y(t) de modo que la composición resulta z = h(t) Realizar el grafo correspondiente y expresar h0 (t). (b) Sea f (x, y) = H(y 2 − 2x2 y + 2x2 ) Mostrar que A(0, 0) es punto estacionario de f . Si H 0 (0) = 1 clasificar A. 2) (a) Sea f (x, y) = 3x3 y + 18x2 y + 27xy + 4y 3 Hallar y clasificar sus puntos crı́ticos. (b) Hallar los extremos absolutos de f (x, y) = xy − x en S, siendo ésta la región (acotada) del plano limitada por las curvas: y = 4 − x2 ; y = 0. (c) Determinar (por métodos de Análisis Matemático) la mı́nima distancia de un punto de la parábola y = x−x2 al punto B(−1, 1). Justificar que se trata de un mı́nimo y absoluto razonando con curvas de nivel. Trabajar con la distancia al cuadrado! 3) (a) Dada la ecuación: x+y +z +ln(x+y +2z) = 2, enunciar y verificar las hipótesis del TFI que garanticen un ”despeje” z = f (x, y) localmente en Po (1, 2, −1). Hallar zx0 (b) Determinar los putos de S : x2 + 2y 2 + z 2 = 1 donde el plano tangente sea paralelo al plano π : 2x − y + z = 0 Ecuaciones Diferenciales (a) Resolver: 3x2 (1 + ln y) dx + ³ x3 y − 2y ´ dy = 0. (b) Dada la EDO lineal homogénea de tercer orden: y 000 + y 00 − 2y 0 = 0 daterminar todas las soluciones particulares de la forma y = eax .
