Ejercicios 1

LISTA DE EJERCICIOS No 1
1. Enuncie la propiedad de los números reales que se está usando:
a) 2x + y = y + 2x
b) c (a + b) = (a + b) c
c)(x + y) + 5z = x + (y + 5z)
d) 2 (w + x) = 2w + 2x
e) 3 (5x + 1) = (15x + 3)
f) (xy) S = x (yS)
g) (x + a) (x + b) = (x + a) x + (x + a) b
2. Utilice las propiedades de los números reales para escribir la expresión sin paréntesis:
5
4
c)
(2x 4y)
d) 2 (r + s)
e)(3a) (b + c 2d)
a) 3 (x + y)
b) ( 6y)
3
2
3. Clasi…que los enunciados como verdaderos o falsos. Si es falso, de una razón.
1
c) 3 2 N
a) 7 es un entero
b) 2 Q
6
7
d) 0 no es racional
e) 5 2 Q
f) 2 Q
0
p
g) 25 noes un entero positivo
p
j) 3 es un número natural
l) 3 está a la derecha de 4 en la
recta de los números reales
h)
2R
i)
k)Todo entero es positivo o negativo
0
2Q
6
4. Justi…cando sus respuestas, clasi…que los enunciados como verdaderos o falsos.
a) Todo número real tiene un inverso multiplicativo
1
c) El inverso aditivo de 5 es
5
e) x + y = y + x
x+2
g)
=x+1
2
i) x + (y + 5) = (x + y) + (x + 5)
b) El inverso multiplicativo de
d) 2 (3 4) = (2 3) (2 4)
f) (x + 2) 4 = 4x + 8
x
3x
h) 3
=
4
12
8 (9x) = 9 (8x)
5. Diga si cada una de las desigualdades es verdadera o falsa:
p
10
12
c)
<
d) 8 8
e)
a) 6 < 10
b) 2 > 1; 41
11
13
1
g) 1; 1 > 1; ^
1
h)
< 1
2
6. Resuelva las ecuaciones:
x+1
20 5y
3y + 6
2x 1
=
b) 5 +
=1+
a)
3
2
5
3
x x x
x
2
2
d) x
=
e) (x 2)
4x = 3 1 x2
2
3
4
12
3 (x 5)
2x
x+7
g)
+2=
h) 7 + 3 (x 4) = 2 +
10
3
2
x 3 9x 2x
=0
j)
6
9
3
7. Exprese el intervalo en términos de desigualdades y grafíquelo:
a)h 3; 0i
b)h2; 8]
c)[ 8; 2i
d)[ 6; 1=2]
5
2
es
5
2
e)[2; +1i
>
3
f) 8
9
1
1
1
1 + (3x + 5) =
8
2
16
10x + 1
16x + 3
f)4
= 4x
6
4
i)(x + 1) (x 4) + 2x = x (x + 3)
c)
f)h 1; 1]
8. Exprese la desigualdad en notación de intervalos y realice las grá…cas correspondientes:
a) x
1;
b) 1
x
2
c)
2<x
1
d) x
5
e) x >
1
f)
9. Exprese la desigualdad como un intervalo y dibuje su grá…ca:
a) 5 > x
b) x
1
c) 2 x < 5
d) 10 x
3
e) 0 < x 3
f) 3x
:
2
10. Utilice desigualdades para describir los siguientes intervalos:
1
a) h 1; 2i
b) h 3; 2i [ h3; 5i
c) 0;
[ [1; +1i
2
1
3
1
e)
1;
[
; +1
f)
; 1 [ [2; 3i
2
2
4
1
100
d) h 1; 1] [ [2; 3i
5<x<2
11. Resuelva las desigualdades siguientes:
2x 3
1
x 1
4
+1
b) (2x 1) x <
a) x + >
32
4
4
6 3
2
d)(x + 3) > (x 2)
e) 3x 4 > 2 _ 3x + 4 > 10
y+1 y
2y 1
g) 1; 2 (2t 3) 2; 3 (t 1)
h)
>1+
4
3
6
j) 2x + 1 < 3 x < 2x + 5
k) 3x + 7 > 5 2x 13 6x
1 3x
m)4
1
n) 4(x + 2) 12 _ 3x + 8 < 11
4
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
12. Resolver las siguientes ecuaciones por factorización:
a) 4x2 + 8x = 0
b) y 2 16 = 0
2
d) x + 8x + 15 = 0
e) 3m2 + 10m + 3 = 0
2
g) 3x
5x 2 = 0
h) 8t2 + 10t 3 = 0
c) 5y 2
f) 2x2
3
1
c) (x + 4) 2
(1 4x)
2
5
f) 5x 7 3x + 1 6x 11
i)(2x + 3) (3x
l) 3x
1)
(6x + 1) (x
5 < 1 + x < 2x
2)
3
25y = 0
5y + 2 = 0
13. Resolver las siguientes ecuaciones por completación de cuadrados:
a) x(x 6) + 9 = 0
b) x2 + 8 (x + 2) = 0
c) 8z 2 = 3 10z
d) b (6b 7) = 10
e) 2y (4y + 3) = 9
f) 16x2 + 24x + 5 = 0
1
h) 2x2 6x 1 = 0
g) x + = 0
x
14. Resolver las siguientes ecuaciones por fórmula cuadrática:
9
3 2
x
4 =
x
b) 2r2 + 5s + 3 = 0
c) 8z 2 = 3 10z
a)
2
5
1
d) b (6b 7) = 10
e) 2y (4y + 3) = 9
f) x2 = (x + 1)
2
5
x
1
6
g) x2 + 1 = x
h) x
=
2
11 7
77
15. Sin resolver las ecuaciones,
cuadrática:
a) 4x2 4x + 1 = 0
d) 3x2 + 10x 2 = 0
g) x(2x 3) = 20
DESIGUALDADES
emplea el discriminante para determinar qué tipo de solución tiene cada ecuación
b) 6x2 5x 6 = 0
e) 2x2 = 4x 1
h) x(x 3) = 10
c) 5x2 + x + 2 = 0
f) 9x2 = 12x 4
16. Demostrar que:
a)Si x 2 h 3; 2i ) 0 <
c)Si x 2 h 1; 5i )
5
x+3
<
7
7
3
2 h0; 1i
2x + 5
1
2 h0; 1i
x+5
1
1 1
d)Si x 2 h2; 4i )
2
;
2x + 3
11 7
b)Si x 2 h 3; 5i )
17. Hallar el menor valor de M que haga cumplir 4 + 6x
18. Hallar el mayor valor de m que cumpla la condición m
3x2
2x2
M; 8x 2 R
4x + 2; 8x 2 R
19. Determinar el menor M y el mayor m tal que si x 2 [ 2; 3] ; entonces m
20. Si (2x + 1) 2 [5; 9] ; hallar el menor valor de M que satisface
21. Hallar el menor valor de M que haga cumplir 3 + 36x
12x2
22. Hallar el mayor valor de m que cumpla la condición m
4x2
x+3
x 5
x+5
x+7
M:
M:
M; 8x 2 R
12x + 3; 8x 2 R
Hallar el menor número real M de modo que la siguiente desigualdad se cumpla para cualquier x 2 R:
p 2
a) 3 2x2 4x M
b) 16x 4x2 13 M
c) 4x
2x
M
23. Hallar el mayor número real m de modo que la siguiente desigualdad se cumpla para cualquier x 2 R:
p
p
a) m 2x2 + 12x + 19
b) m 4x2 5(8x 23)
c) m
3x(x 2) + 3 4
24. Hallar m y M; donde m es el mayor valor y M el menor valor que satisfacen la desigualdad
4x2 + 6x + 2
m
M para cualquier valor que tome x en el intervalo [1; 2] :
2x2 3x 5
2