19-09-07A.pdf
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II PRIMER PARCIAL - 19/09/07 - TEMA A Apellido y Nombre: (1) (a) Plantear el volumen del sólido obtenido girando la región del primer cuadrante limitada por: y = (x − 1)2 ; x + y = 3 ; x = 0 alrededor de los ejes:(a1) y = 3 ; (a2) Eje Y . En el caso (a1) señalar los radios mayor y menor en el gráfico. (b) Sea S el sólido obtenido girando el triángulo de vértices O(0, 0) , A(8, 8) , B(8, 0) alrededor del eje X. Proponer, calcular e interpretar gráficamente una suma de Riemann que aproxime el volumen de S, utilizando una partición regular en 4 subintervalos. √ 1 x−1 (2) Sea f (x) = − (ln x)2 2 ln x (a) Determinar,en caso de existir, las ası́ntotas horizontales de la gráfica de f (b) ¿ Es posible definir f (1) de modo que f resulte continua en [1, ∞) ? (3) Analizar la CV ó DV, en (a) por definción y en (b) por criterio de comparación: (a) Z ∞ cos x 1 + ( sen x)2 0 dx (b) Z1 x2 + 1 √ dx x4 + 3 x 0 µ 1 ¶ , g(x) = f (x4 ). Anotemos en general Pn (x) y Pn∗(x) los 3x + 1 respectivos polinomios de Taylor n-ésimos de f (x) y g(x) alrededor de xo = 0 (4) Sean f (x) = ln (a) Hallar P3 (x) de f (x) alrededor de xo = 0 y utilizarlo para calcular aproximadamente f (0, 06) . Acotar el error (gráfico apropiado explicando elección de la cota). Verificar acotación con calculadora. ∗ (x) (b) Hallar el coeficiente principal de P12 (5) Mediante desarrollos de Taylor apropiados determinar para qué valores de k ∈ N el lı́mite siguiente existe: x3 ln(2 − cos x) lim x→0 ( sen x)k
