47 - licimep.org

El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 3. Ejercicio 47, página 290.
Dibuje una porción de la grá…ca de una función f que pase por los puntos (a; f (a)) ; (b; f (b)) ; (c; f (c)) y (d; f (d)) y
que satisfaga las condiciones dadas. También dibuje un segmento de la recta tangente en cada uno de estos puntos, en
caso de que exista la recta tangente. Suponga que a < b < c < d y que f es continua en algún intervalo abierto que
contiene a a y d.
(a) f 0 (a) = 0; f 0 (b) =
x > c.
1; f 0 (c) no existe; f 0 (d) = 0; f 00 (x) < 0 si x < b; f 00 (x) > 0 si b < x < c; f 00 (x) < 0 si
(b) f 0 (a) > 0; f 00 (a) = 0; f 0 (b) = 1; f 00 (b) = 0; f 0 (c) = 0; f 0 (d) no existe; f 00 (x) < 0 si x < a; f 00 (x) > 0 si
a < x < b; f 00 (x) < 0 si b < x < d; f 00 (x) > 0 si x > d.
Solución:
(a) f 0 (a) = 0; f 0 (b) =
x > c.
1; f 0 (c) no existe; f 0 (d) = 0; f 00 (x) < 0 si x < b; f 00 (x) > 0 si b < x < c; f 00 (x) < 0 si
A continuación presentamos una porción de la grá…ca de una función que satisface todos esto requerimientos:
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
3.5
f(x)
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
(b) f 0 (a) > 0; f 00 (a) = 0; f 0 (b) = 1; f 00 (b) = 0; f 0 (c) = 0; f 0 (d) no existe; f 00 (x) < 0 si x < a; f 00 (x) > 0 si
a < x < b; f 00 (x) < 0 si b < x < d; f 00 (x) > 0 si x > d.
En este caso la grá…ca de una función que cumple con todos estos requisitos es:
1
6
5
4
3
2
1
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x
Apendice.
(a) f 0 (a) = 0; f 0 (b) =
x > c.
1; f 0 (c) no existe; f 0 (d) = 0; f 00 (x) < 0 si x < b; f 00 (x) > 0 si b < x < c; f 00 (x) < 0 si
Este problema es sencillo si se resuelve con lápiz y papel, pero si queremos usar un porgrama de gra…cación debemos
tener una ecuación en x e y. ¿Cómo se calculan las funciones que gra…camos?
Adivinanza:
f (x) = Ax3 + Bx2 + Cx
Los puntos los tomos como:
a = 0; b = 1; c = 2; d = 3
Aplico las condiciones del problema
f 0 (0) = C = 0
f 0 (1) = 3A + 2B + C =
1
f (1) =
2
3
f 00 (1) = 6A + 2B = 0
que quedan como el sistema
3A + 2B =
1
6A + 2B = 0
que tiene las soluciones
A=
B=
1
3
31
23
1
=
2
1
Por lo tanto nos sirve la función:
f (x) =
1 3
x
3
x2
2
Como la derivada no debe existir en c (que lo tomé como 2), se construye otra función que pegamos a f , para que
quede continua, pero con una derivada diferente.
La probamos del mismo tipo
g (x) = Ax3 + Bx2 + Cx
y las condiciones nos dan
g (2) = 8A + 4B + 2C =
4
3
g 0 (3) = 27A + 6B + C = 0
g 00 (2) = 12A + 2B = 0
que se resuelven como
0
1 10 4 1 0
8 4 2
3 C B
@ 27 6 1 A B
@ 0 A=@
12 2 0
0
o sea que
g (x) =
2 3
x + 4x2
3
1
2
3 C
4 A
6
6x
La gra…ca de f y g queda
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
3.0
0.0
f(x)
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
Las dos funciones y sus derivadas
f (x) =
g (x) =
1 3
x
3
x2
2 3
x + 4x2
3
f 0 (x) = x2
6x
2x
g 0 (x) =
f 00 (x) = 2x
2x2 + 8x
2
g 00 (x) = 8
6
y gra…cadas para ver que cumpen todos los requisitos:
3
4x
y
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
x
-1
-2
-3
-4
(b) f 0 (a) > 0; f 00 (a) = 0; f 0 (b) = 1; f 00 (b) = 0; f 0 (c) = 0; f 0 (d) no existe; f 00 (x) < 0 si x < a; f 00 (x) > 0 si
a < x < b; f 00 (x) < 0 si b < x < d; f 00 (x) > 0 si x > d.
Lo mismo hecho para el segundo inciso, para el (b).
f (x) = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx
a = 0; b = 1; c = 2; d = 3
f 0 (0) = D > 0
f 00 (0) = 2C = 0
f 0 (1) = 4A + 3B + 2C + D = 1
f 00 (1) = 12A + 6B + 2C = 0
f 0 (2) = 32A + 12B + 4C + D = 0
C=0
4A + 3B + D = 1
12A + 6B = 0
32A + 12B + D = 0
0
4
@ 12
32
1
3
6
12
1
0 A
1
10
1
B
1
B
@ 0 A=B
B
@
0
f (x) =
1 4 1 3 4
x + x + x
10
5
5
f 0 (x) =
2 3 3 2 4
x + x +
5
5
5
f 00 (x) =
6
x
5
0
1
10
1
5
4
5
1
C
C
C
C
A
6 2
x
5
4
8
6
4
2
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x
-2
-4
-6
(b) f 0 (a) > 0; f 00 (a) = 0; f 0 (b) = 1; f 00 (b) = 0; f 0 (c) = 0; f 0 (d) no existe; f 00 (x) < 0 si x < a; f 00 (x) > 0 si
a < x < b; f 00 (x) < 0 si b < x < d; f 00 (x) > 0 si x > d.
g (3) = f (3) =
23
5
f 0 (3) =
3;
3
10
3
10
g (x) = Ax2 + Bx + C
3
10
g (3) = 9A + 3B + C =
g 0 (3) = 6A + B
g 00 (x) = 2A
3
, Solution is:
10
9+C =
93
10
93
10
g (x) = x2
g 0 (x) = 2x
g 00 (x) = 2
f (x) =
f 0 (2) = 0
1 4 1 3 4
x + x + x
10
5
5
f (2) =
8
5
5
6
5
4
3
2
1
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
6
3.5
4.0
x