Probabilidad en Tablas: Estudiantes Chilenos de Secundaria

LECTURA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN TABLAS DE DOBLE
ENTRADA POR ESTUDIANTES CHILENOS DE EDUCACIÓN MEDIA
POR
DANIELA DEL PILAR CALDERÓN TORRES
Trabajo Final de Titulación presentado para optar al Título de
PROFESORA EN EDUCACIÓN MEDIA MENCIÓN MATEMÁTICA Y
COMPUTACIÓN
Profesor patrocinante: Dr. Jaime Israel García García
Osorno, Sur de Chile. Enero 2021
© 2021, DANIELA DEL PILAR CALDERÓN TORRES
Osorno, 15 de enero de 2020
Asunto: Informe de Evaluación y Calificación
A: Sr. Rigoberto del Carmen Medina Leyton
Director del Departamento de Ciencias Exactas
De: Sra. Elizabeth Hernández Arredondo
Documento a valorar: LECTURA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN TABLAS DE
DOBLEENTRADA POR ESTUDIANTES CHILENOS DE EDUCACIÓN MEDIA.
Presentan la estudiante: DANIELA DEL PILAR CALDERÓN TORRES.
La estudiante presenta una investigación de carácter educativo que, evidencia un conjunto de procesos
de reflexiones críticas y empíricas, tiene como objetivo conocer las habilidades que poseen un grupo de
estudiantes al resolver una serie de tareas que involucran el uso de tablas de doble entrada (de situaciones
probabilísticas). Motivo por el que felicito a la estudiante, pues su trabajo final de titulación refleja un
profundo compromiso con su profesión, se sitúa en un área problemática emergente. Aclaro de antemano
que las observaciones y sugerencias que aquí se hallan plasmadas tienen como fin fortalecer en un futuro
el trabajo presentado. Por lo cual presentare dos tipos de observaciones de forma y de fondo:
Observaciones de forma:
1. El trabajo se encuentra bien escrito, con un empleo correcto del formato APA; presenta muy pocas
imprecisiones de ortografía que deben ser atendidas.
Observaciones de fondo:
1. El Problema de investigación y su potencial: el trabajo me parece muy oportuno dado que atiende
un área emergente, en este caso se inserta en la didáctica de la probabilidad y estadística, en
particular situado en el uso de tablas, las cuales son una de las representaciones semióticas más
empleadas.
2. Encuentro bien estructurado los antecedentes y articulados correctamente con el marco teórico.
3. La metodología es acorde al fenómeno explorado y se encuentra bien redactada.
4. Los resultados y conclusiones, considero que son muy potentes y que pueden verse reflejados en
un futuro en el desarrollo de algún proyecto de intervención o en su propia práctica educativa.
Estimada Daniela, considero que puedes trabajar fuertemente en que este proyecto y espero que en un
futuro este se vea proyectado en algún foro de difusión o artículo.
Nota final: 7_
________________________
Elizabeth Hernández Arredondo
[email protected]
Académica del Departamento de Ciencias Exactas
Universidad de los Lagos.
Osorno, 11 de enero de 2021.
Sr. Rigoberto del Carmen Medina Leyton
Director del Departamento de Ciencias Exactas
Asunto: Informe de Evaluación y Calificación
A continuación presento el informe de evaluación de la tesis titulada: “lectura y cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada por estudiantes chilenos de educación
media” realizada por la estudiante Daniela Calderón.
Profesor Patrocinante: Dr. Jaime García
A continuación detallo observaciones de forma y de fondo por capítulo:
Observaciones de forma:
1. El trabajo presenta pocos errores de ortografía, y falta revisar alguna bibliografía que no
aparece citada en el trabajo
Observaciones de fondo:
1. Sobre el capítulo 1. Es claro el problema de investigación, se observa la importancia de
la lectura y cálculo de la probabilidad en tablas de doble entrada para cualquier ciudadano y
su relación curricular de enseñanza media. El objetivo de investigación está bien plateado y
con coherencia con la pregunta de investigación.
2. Sobre el capítulo 2. Los antecedentes están planteados con coherencia, citas de
investigaciones actuales. Considero que debe cerrar explicando con mayor profundidad el
estado del arte.
3. Sobre el capítulo 3. En el marco conceptual está claro los puntos conceptuales más
importantes como los elementos a utilizar del EOS, análisis semióticos y la taxonomía de
Curio aportan elementos para el análisis.
4. Sobre el capítulo 4. La metodología bien planteada y detallado los sujetos de estudio,
tipo de muestra, diseño y aplicación de instrumento.
5. Sobre el capítulo 5. El análisis es adecuado a las características metodológicas
declaradas, detallado y por secciones, lo que permite seguir la secuencia presentada.
6. Sobre el capítulo 6. Sobre las conclusiones acorde con lo planteado a los resultados. La
investigación responde a la pregunta de investigación plateada. Destaca las limitaciones y
líneas futuras
En consideración a lo explicado anteriormente he considerado valorar este proyecto con
una nota de 6,9 puntos.
Maximina Márquez
Académica del Departamento de Ciencias Exactas
Universidad de los Lagos
Osorno, Chile, a 4 de enero de 2021
Asunto: Respuesta a Memorándum No. 58
Informe de evaluación y calificación
Profesor Rigoberto del Carmen Medina Leyton
Director del Departamento de Ciencias Exactas
Universidad de Los Lagos, Osorno, Chile
Junto con saludarle, quien suscribe Jaime Israel García García, académico de la
Universidad de Los Lagos, adscrito al DEPTO. CIENCIAS EXACTAS, realizo contestación
a la solicitud requerida en el memorándum N°58. He revisado, evaluado y calificado del
Trabajo de Titulación: “Lectura y Cálculo de Probabilidades en Tablas de Doble Entrada
por Estudiantes Chilenos de Educación Media” elaborado por el Srta. Daniela Calderón
Torres, alumna de la carrera de Pedagogía en Matemática y Computación. Cumpliendo
con lo solicitado, hago llegar el informe escrito, indicando la calificación ponderada
final.
El trabajo presentado se inscribe en la línea de investigación de Educación Estadística
y Probabilística. Se enfoca evaluar el manejo de las tablas de doble entrada, con respecto
a la lectura y cálculo de probabilidades, por estudiantes de Educación Media de un
colegio particular subvencionado de la cuidad de Osorno, Chile. La potencialidad de
este de trabajo en la profesora en formación, es que le permitió mirar de manera crítica
y reflexivamente la lectura de tablas de doble entrada, así como las estrategias de
solución y conflictos semióticos que presentan los estudiantes al calcular
probabilidades simples, conjuntas y compuestas, en este tipo de representaciones
estadísticas.
A continuación, señalo algunas observaciones de forma y de fondo; no obstante, sugiero
revisar las anotaciones, sugerencias y modificaciones que considero deben tomarse en
cuenta para la versión final del trabajo.
Observaciones de forma:
1. El trabajo presentado se encuentra bien escrito, sin embargo, presenta algunos
aspectos de sintaxis que se deben modificar.
Observaciones de fondo:
1. El capítulo 1 plantea claramente el problema de investigación. Se realiza una
justificación de la problemática a partir de la literatura, y sitúa el problema
apoyado en un análisis del currículo chileno de Educación Media.
2. En el capítulo 2 se presentan algunos estudios relacionados con el problema de
investigación. La presentación de dichos estudios cumple adecuadamente con el
propósito de situar el trabajo de investigación de la estudiante.
3. En el capítulo 3 se presentan los fundamentos del estudio. Recupera la
configuración de objetos matemáticos primarios, elementos teóricos del EOS,
ligados a la tabla de doble entrada, así como los niveles de lectura de Curcio,
explicando como los operativiza.
4. El capítulo 4 exhibe la metodología de estudio, la que es clara y contundente,
pues presenta los elementos necesarios para llevar a cabo el análisis de datos
recuperados de las respuestas de los estudiantes a tareas de lectura y cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada.
5. El capítulo 5 presenta el análisis de los resultados, el cual considero que es muy
sistémico y se encuentra muy bien sintetizado. Sin embargo, en algunos
momentos confusa por la cantidad de datos que se representan en las tablas.
Considero necesario reflexionar sobre el impacto de los resultados e indicar este
aspecto en la presentación oral del trabajo de titulación.
6. El capítulo 6 presenta las conclusiones, mismas que considero adecuadas y
contundentes. Se da respuesta a la pregunta planteada y que guío en todo
momento el estudio, así como algunas consecuencias para la enseñanza,
implicaciones a futuro y limitaciones del estudio.
En general, el manuscrito cumple con los requisitos mínimos necesarios propios de un
trabajo de titulación, ya que presenta problemática, pregunta de investigación,
objetivos propiamente articulados, así como marco teórico, metodología, resultados y
conclusiones relacionadas con lo planteado.
En consideración a lo explicado anteriormente he considerado valorar el Trabajo Final
de Titulación: Lectura y Cálculo de Probabilidades en Tablas de Doble Entrada por
Estudiantes Chilenos de Educación Media, elaborado por la Srta. Daniela Calderón
Torres, alumna de la carrera de Pedagogía en Educación Media mención Matemática y
Computación, con una nota de 6,7 (Seis coma siete).
Sin otro particular, le saluda cordialmente,
Dr. Jaime Israel García García
Académico del Departamento de Ciencias Exactas
Universidad de Los Lagos, Chile.
AUTORIZACION DE REPRODUCCION
Daniela del Pilar Calderón Torres, autora del Trabajo Final de Titulación Lectura y cálculo
de probabilidades en tablas de doble entrada por estudiantes chilenos de Educación Media,
del cual existe un ejemplar depositado en la Biblioteca de la Universidad de Los Lagos,
manifiesta su conformidad para autorizar la reproducción y/o divulgación total o parcial, con
fines académicos, mediante cualquier forma, procedimiento y/o tecnología de la presente
obra, incluyendo la cita bibliográfica que reconoce la obra y a su autora.
2
Oh Jehová, tú me has examinado y conocido. Tú has conocido mi sentarme y mi
levantarme. Has entendido desde lejos mis pensamientos. Has escudriñado mi andar y mi
reposo, y todos mis caminos te son conocidos. Salmos 139. 1-3.
Este trabajo está dedicado primeramente a Dios, porque en su infinita misericordia
permite que esté cumpliendo uno de mis sueños, porque doy testimonio que escuchó el
clamor y la petición de mi corazón, sin Él esto no hubiese sido posible. También extiendo
esta dedicatoria a mi hermosa familia, por el apoyo incondicional en todo este proceso.
3
AGRADECIMIENTOS
Primeramente, agradezco a la Universidad de Los Lagos por aceptar mi ingreso para poder
estudiar la carrera de mis sueños. Agradezco de todo corazón a mi profesor patrocinador Dr.
Jaime García-García por haberme brindado la oportunidad de acudir a sus conocimientos, así
como también por su infinita paciencia, por la supervisión, tiempo y preocupación hacia mi
persona para dar lo mejor de mí durante este proceso. Así mismo quiero agradecer a la Dra.
Elizabeth Hernández y a la Dra. Maximina Márquez, profesoras evaluadoras, quienes han
sido parte de este proceso; y a cada uno de mis profesores que han aportado en mi formación
académica. Agradezco a mis compañeros de Universidad, en especial a Nicolás Fernández
por el apoyo brindado durante la realización de esta tesis. Agradezco al colegio que abrió las
puertas para que realizara mis prácticas profesionales, a su cuerpo directivo, y muy en
especial a mis profesores mentores: Miss Anita Villanueva y Míster Saúl Rodríguez, gracias
por toda la confianza depositada en mi persona, por sus consejos y sugerencias que sin lugar
a duda aplicaré en mi labor.
Por último, quiero extender mi gratitud a todas aquellas personas que han sido un pilar
fundamental para culminar mi carrera. A mis hermanos de la Iglesia, como también a mis
amigos más cercanos porque siempre han estado pendiente de mí. A mi querido Pastor
Balsamino Ramírez y su familia, por apoyarme para culminar en victoria. A mis suegros y
mi cuñada por apoyarme desde el primer día. A mis Padres, Margarita y Oriel, y a mis
hermanos porque a pesar de la distancia, me brindaron su apoyo y aliento. A mi núcleo
familiar, gracias de todo corazón, por apoyarme incondicionalmente desde el primer
momento que decidí ingresar a la Universidad, porque han estado tanto en los momentos
alegres como los tristes, porque en mi debilidad me llenaron de fuerza para continuar y no
desmayar; agradezco cada día que mi amado esposo Luis me incentivara a ser mejor cada
día, agradezco a cada una de mis preciosas hijas, Cristina, Ángela, Ángeles y Trinidad, por
la paciencia, por ser mis bendiciones del cielo, por el apoyo en cada año que duró mi carrera,
porque no necesitaban hablar para demostrar lo orgullosas que están, con el simple hecho de
ver sus ojitos llenos de alegría me llena el corazón.
Muchas gracias.
4
Esta investigación contó con el apoyo financiero de la Universidad de Los Lagos, por medio de la Beca de
Finalización de Tesis de Pre y Postgrado, Concurso 2020.
5
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
12
1. ÁREA PROBLEMÁTICA
15
1.1 Introducción
15
1.2 Lectura de tablas estadísticas y su importancia
15
1.2.1
Importancia de la Estadística
15
1.2.2
Lectura de tablas de doble entrada
17
1.3 Cálculo de probabilidades
18
1.3.1
Importancia de la Probabilidad
18
1.3.2
Cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
19
1.4 Las tablas de doble entrada en el currículo chileno de Educación Media
21
1.5 Justificación del problema de investigación
24
1.6 Objetivos
25
2. ALGUNAS INVESTIGACIONES RELACIONADAS
26
2.1 Introducción
26
2.2 Lectura de tablas estadísticas
26
2.3 Cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
29
2.4 Conclusiones del estudio de los antecedentes
31
3. FUNDAMENTOS DEL ESTUDIO
3.1 Introducción
3.2 Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos
(EOS)
32
32
32
3.3 Análisis semiótico de las tablas de doble entrada
34
3.4 Taxonomía de Curcio
37
3.5 Conexión entre la taxonomía de Curcio y algunos elementos teóricos del
EOS, con la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
38
4. METODOLOGÍA
41
4.1 Introducción
41
4.2 Tipo de investigación
41
4.3 Participantes
41
6
4.4 Análisis y aplicación del cuestionario
42
4.5 Procedimiento de análisis de datos
45
5. ANÁLISIS Y RESULTADOS
46
5.1 Introducción
46
5.2 Resultados sobre la lectura de tablas de doble entrada
46
5.2.1
Tarea 1. Leer los datos de la tabla
46
5.2.2
Tarea 2. Leer entre los datos de la tabla
48
5.3 Resultados sobre el cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada 51
5.3.1
Tarea 3. Cálculo de probabilidad simple
51
5.3.2
Tarea 4. Cálculo de probabilidad conjunta
55
5.3.3
Tarea 5. Cálculo de probabilidad condicional
60
6. CONCLUSIONES
65
6.1 Introducción
65
6.2 Conclusiones generales
65
6.3 Respuesta a la pregunta del estudio
70
6.4 Consecuencias para la enseñanza e implicaciones a futuro
71
6.5 Limitaciones del estudio
72
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
73
ANEXOS
80
Anexo: Cuestionario sobre lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble
entrada
80
7
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1:
Tabla 2:
Tabla 3:
Tabla 4:
Tabla 5:
Tabla 6:
Tabla 7:
Tabla 8:
Tabla 9:
Tabla 10:
Tabla 11:
Tabla 12:
Tabla 13:
Tabla 14:
Tabla 15:
Tabla 16:
Tabla 17:
Tabla 18:
Tabla 19:
Tabla 20:
Tabla 21:
Tabla 22:
Objetivos de aprendizaje (OA) - Aprendizaje esperado (AE)
relacionados con Estadística y Probabilidad en Educación Media
Libro de texto y cuaderno de ejercicios de primer año medio
Formato general de las tablas de doble entrada
Relación entre las frecuencias relativas y probabilidades en tablas de
doble entrada
Configuración de objetos y procesos matemáticos que se involucran
en nuestro estudio
Tareas solicitadas en cada problema planteado en nuestro estudio
Algunas respuestas de los estudiantes, clasificadas según dominio, o
no dominio, de nivel 1 de lectura
Porcentaje de dominio del nivel 1 de lectura, leer los datos, por
curso.
Algunas respuestas de los estudiantes, clasificadas según dominio,
dominio parcial o no dominio, de nivel 2 de lectura
Porcentaje de dominio del nivel 2 de lectura, leer entre los datos, por
curso
Algunas respuestas de los estudiantes a la tarea 3, clasificadas como
correctas, parcialmente correctas e incorrectas
Porcentaje de respuestas por curso, correspondiente al cálculo de una
probabilidad simple 𝑃(𝐵)
Algunas respuestas de los estudiantes a la tarea 4, clasificadas como
correctas, parcialmente correctas e incorrectas
Porcentaje de respuestas por curso, correspondiente al cálculo de
una probabilidad conjunta 𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
Algunas respuestas de los estudiantes, correspondiente a la tarea 5.
21
Porcentaje de respuestas por curso, correspondiente al cálculo de una
probabilidad condicional 𝑃(𝐵│𝑛𝑜 𝐴)
Promedios ponderados del porcentaje de respuestas por categoría y curso,
correspondientes a las tareas de lectura de tablas de doble entrada
Promedios ponderados del porcentaje de respuestas correctas por
estrategia y curso, correspondientes a las tareas de cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada
Promedios ponderados del porcentaje de respuestas parcialmente correctas
por curso, correspondientes a las tareas de cálculo de probabilidades en
tablas de doble entrada
Promedios ponderados del porcentaje de estudiantes que no abordan las
tareas de cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
Promedios ponderados del porcentaje de los conflictos semióticos
presentes en las respuestas de los participantes a las tareas de cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada
Promedios generales ponderados de las respuestas de los estudiantes
63
23
34
36
39
44
47
47
49
50
52
54
56
58
61
66
66
67
68
68
71
8
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1:
Figura 2:
Figura 3:
Figura 4:
Figura 5:
Figura 6:
Figura 7:
Figura 8:
Figura 9:
Figura 10:
Figura 11:
Figura 12:
Figura 13:
Figura 14:
Actividad referente al cálculo de probabilidades en una tabla de
doble entrada
Elementos presentes en el problema de investigación
23
24
Configuración de objetos primarios
Ejemplo de una tabla de doble entrada 2𝑥2
Formato propio de las tablas de doble entrada 2x2
33
35
36
Conexión entre la taxonomía de Curcio y algunos elementos
teóricos del EOS, para la lectura y cálculo de probabilidades en
tablas de doble entrada.
39
Problema 1 planteado en nuestro estudio
42
Problema 2 planteado en nuestro estudio
43
Problema 3 planteado en nuestro estudio
Tarea 1 de cada problema planteado en nuestro estudio
Tarea 2 de cada problema planteado en nuestro estudio
43
46
48
Tarea 3 de cada problema planteado en nuestro estudio
51
Tarea 4 de cada problema planteado en nuestro estudio
Tarea 5 de cada problema planteado en nuestro estudio
55
60
ÍNDICE DE ABREVIATURAS
EOS:
Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción
Matemáticos
MINEDUC: Ministerio de Educación de Chile
13
21
9
RESUMEN
La Estadística y la Probabilidad han ido tomando una creciente relevancia en los últimos
años, ya que entregan las herramientas necesarias para comprender la información contenida
en tablas o gráficos estadísticos que frecuentemente hacen uso diversos medios de
comunicación y, con ello, tomar decisiones sustentadas en análisis de los datos. Un tipo de
representación son las tablas de doble entrada, las cuales son de gran utilidad en el análisis
de dos variables estadísticas. La mayoría de los estudios sobre tablas de doble entrada se
centran en analizar la comprensión de profesionales de psicología o futuros profesores, tanto
para su construcción e interpretación, así como el cálculo de probabilidades. Sin embargo,
no se han encontrado investigaciones que analicen la lectura y el cálculo de probabilidades
de manera conjunta en este tipo de tablas, con estudiantes de Educación Media. Este estudio,
inscrito dentro del paradigma cualitativo de nivel descriptivo, tiene como objetivo evaluar el
manejo de las tablas de doble entrada, con respecto a la lectura y cálculo de probabilidades,
por 75 estudiantes chilenos de Educación Media. Para ello, se analizan los datos obtenidos
de las respuestas de los estudiantes a tareas sobre la lectura y cálculo de probabilidades en
tablas de doble entrada. Considerando la taxonomía de Curcio (1989), mayoritariamente los
estudiantes presentan dominio de los niveles 1 y 2 de lectura, leer los datos y leer entre los
datos, respectivamente. Con relación al cálculo de probabilidades simples, conjuntas y
condicionales, la mayoría de los estudiantes proporcionan la respuesta correcta, haciendo uso
de la regla de Laplace y la regla de tres como estrategias de solución; sin embargo, en estas
tareas, algunos presentan conflictos semióticos tales como confundir la probabilidad conjunta
con la condicional, confundir la probabilidad condicional con la conjunta, y confundir la
condicional con su inversa (falacia de la condicional transpuesta).
Palabras claves: tabla de contingencia, niveles de lectura, cálculo de probabilidades,
Educación Media.
10
ABSTRACT
Statistics and Probability have become increasingly relevant in recent years, since they
provide the necessary tools to understand the information contained in statistical tables or
graphs that are frequently used by various media and, thus, make decisions based on data
analysis. One type of representation are the double-entry tables, which are very useful in the
analysis of two statistical variables. Most studies on double-entry tables focus on analyzing
the understanding of psychology professionals or future teachers, both for their construction
and interpretation, as well as for the calculation of probabilities. However, no research has
been found that analyzes reading and probability calculation jointly in this type of table, with
high school students. This study, inscribed within the qualitative paradigm of descriptive
level, has as objective to evaluate the use of double entrance tables, with respect to the reading
and calculation of probabilities, by 75 Chilean students of Average Education. To this end,
the data obtained from the students' answers to tasks about reading and calculation of
probabilities in double-entry tables are analyzed. Considering Curcio's taxonomy (1989),
most students show mastery of reading level 1 and 2, by reading the data and reading between
the data, respectively. Regarding the calculation of simple, joint and conditional
probabilities, most students provide the correct answer, using Laplace's rule and the rule of
three as solution strategies; however, in these tasks, some present semiotic conflicts such as
confusing the joint probability with the conditional, confusing the conditional with the joint
probability, and confusing the conditional with its inverse (fallacy of the transposed
conditional).
Keywords: contingency table, reading levels, calculation of probability, high school
education.
11
INTRODUCCIÓN
Actualmente, la enseñanza de la Estadística y la Probabilidad ha cobrado relevancia debido
a su importancia en la formación general de los estudiantes, ya que estamos rodeados de una
gran cantidad de información estadística de carácter político, social, cultural, económico,
salud, entre otras; siendo los medios de comunicación aquellos instrumentos que han
permitido entregar dicha información a través de tablas y gráficos estadísticos, lo que
demanda estar estadística y probabilísticamente preparados para, entre otros aspectos, la
toma de decisiones justificada.
En Chile, uno de los objetivos de la Educación Media es desarrollar las competencias
mínimas para la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada, u otro tipo de
representación estadística y, con ello, la capacidad de interpretar y evaluar críticamente la
información que recibimos, permitiéndonos tomar decisiones en los distintos contextos en
que estemos inmersos. Las tablas de doble entrada, o de contingencia, son utilizadas para dar
a conocer de modo más conciso la muestra de dos variables estadísticas, es decir, permiten
registrar la distribución de frecuencias de dos características distintas mediante tantas filas y
columnas como categorías presentan dichas características que la constituyen.
En la literatura, en general, se han encontrado investigaciones que analizan la construcción,
lectura, cálculo de probabilidades y juicios de asociación en tablas de doble entrada, con
estudiantes de secundaria, psicólogos o profesores en formación; sin embargo, faltan estudios
que aborden estos aspectos con estudiantes de Educación Media.
Por lo anterior, este estudio tiene como objetivo evaluar el manejo de las tablas de doble
entrada, con respecto a la lectura y cálculo de probabilidades, por estudiantes de Educación
Media de un colegio particular subvencionado de la cuidad de Osorno, Chile. Cabe señalar
que nos enfocamos en las tablas de doble entrada de menor complejidad, el caso 2𝑥2; esto
con el propósito de asegurar su saber más simple.
12
En el Capítulo 1 se plantea la problemática de nuestro estudio, dando a conocer la
importancia que tiene la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada en la
cotidianidad de todo ciudadano; se mencionan las características curriculares de estos
conceptos en Educación Media; y se formula la pregunta y objetivos, general y especifico,
que guiaron esta investigación.
En el Capítulo 2 se presentan algunas investigaciones relacionadas con los conceptos que
subyacen en este estudio; por un lado, pesquisas enfocadas en el análisis de los niveles de
lectura de tablas estadísticas de estudiantes y profesores y, por otro, aquellas centradas en los
conflictos semióticos presentes en el cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada.
En el Capítulo 3 se presentan los fundamentos que sustentan este estudio, el marco
conceptual, estableciendo cuatro puntos primordiales: 1) elementos teóricos del Enfoque
Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (EOS); 2) el análisis
semiótico de las tablas de doble entrada; y 3) los niveles de la taxonomía de Curcio. Cada
uno de estos fundamentos aportarán con elementos para el análisis de las respuestas que dan
los estudiantes a las tareas que se les pide resuelvan y justifiquen.
En el Capítulo 4 se describe la metodología que se ha seguido para llevar a cabo el presente
estudio; en concreto, se presenta el tipo de investigación, los estudiantes que participaron en
el estudio, el diseño y aplicación del cuestionario de indagación con el que se recolectaron
los datos, y el procedimiento de análisis.
En el Capítulos 5 se presentan los resultados del análisis de las respuestas de los estudiantes
de Educación Media referentes a las tareas: 1) lectura de una frecuencia doble, 2) lectura de
una frecuencia marginal, 3) cálculo de una probabilidad simple, 4) cálculo de una
probabilidad conjunta, y 5) cálculo de una probabilidad condicional, en tablas de doble
entrada, realizando un análisis comparativo por curso escolar.
En el capítulo 6 se ofrecen las conclusiones generales respecto a la lectura de tablas de doble
entrada, y al cálculo de probabilidades en este tipo de representaciones; se da respuesta a la
13
pregunta de investigación desde la perspectiva del análisis realizado; y finalmente, se
presentan algunas consecuencias para la enseñanza e implicaciones a futuro, así como
limitaciones, que el presente estudio podría aportar a la enseñanza de las tablas de doble
entrada, con relación a su lectura y cálculo de probabilidades.
14
CAPÍTULO 1. ÁREA PROBLEMÁTICA
1.1 Introducción
En este capítulo se presenta nuestro problema de investigación, dando a conocer la
relevancia de la Estadística y Probabilidad en la vida cotidiana de todo ciudadano, así como
la importancia de la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada. Además,
se muestra el análisis de los Programas de Estudio de Educación Media del currículo chileno
en torno a estos temas, con tal de evidenciar la consideración de su importancia en la
educación chilena. Finalmente, se presenta la pregunta que guía esta investigación, así como
los objetivos, general y específicos.
1.2 Lectura de tablas estadísticas y su importancia
1.2.1 Importancia de la Estadística
La Estadística es un área de las matemáticas que favorece la toma de decisiones a
partir del análisis de la información entregada en tablas y gráficos estadísticos. Por ello, la
lectura e interpretación crítica de este tipo de representaciones, así como su construcción, son
habilidades fundamentales para conocer y comprender nuestro entorno.
Actualmente vivimos rodeados de información de diversos contextos (social,
deportiva, salud, política, entre otra), por lo que es primordial leerla, interpretarla y analizarla
para la toma de decisiones (Loureiro, de Lima y Nascimiento, 2005). Esto ha dado origen a
un interés por la enseñanza de la Estadística en todos los niveles educativos, y con ello, la
necesidad de contar con ciudadanos estadísticamente cultos. Esto se conoce en la literatura
como cultura estadística, traducido de statistical literacy, la cual consiste en la capacidad
para interpretar y evaluar críticamente información estadística, argumentos apoyados en
datos o fenómenos estocásticos, que los ciudadanos puedan encontrarse en diversos contextos
personales y profesionales, y con ello, tomar decisiones fundamentadas; así como la
capacidad para formular, discutir o comunicar opiniones respecto a dicha información
estadística (Gal, 2002; Gal y Murray, 2011).
15
En este sentido, la Estadística ha ido tomando una creciente relevancia en los últimos
años, ya que entrega los implementos necesarios para desarrollar la capacidad de concebir la
información contenida en tablas o gráficos que frecuentemente presentan diversos medios de
comunicación (Arteaga, Batanero, Cañadas y Contreras, 2011; Beltrão, 2012; Cabral y Selva,
2011; Díaz-Levicoy, Batanero, Arteaga y López-Martín, 2015; Silva y Guimarães, 2013),
para comprobar conjeturas y tomar decisiones a partir del análisis de los datos (Batanero,
2001); es decir, nos permite encontrar soluciones a problemas presentes en la vida cotidiana.
De acuerdo con Eudave (2009, p. 6), la capacidad de leer y comprender datos
estadísticos es una necesidad social y educativa, la cual está ligada con “el desarrollo de la
estadística como disciplina científica desde fines del siglo XIX, lo mismo que con la
necesidad de conocer de manera cuantitativa una gran cantidad de fenómenos de toda índole:
naturales, sociales, epidemiológicos, económicos, culturales y otros más”.
Por su parte, Zapata (2011) realiza un llamado a percibir la Estadística como una
herramienta y no como un simple conjunto de técnicas a examinar. Adicionalmente, la autora
menciona que la Estadística en sí misma muestra una naturaleza no determinista, ya que la
variación es una de sus particularidades. Sin embargo, por años, la enseñanza de esta ha
ignorado su naturaleza, debido a que se ha desarrollado bajo el seno de la enseñanza de la
matemática, y por ello, ha adoptado un carácter determinista centrado en el uso de técnicas y
procedimientos. Por esto, Zapata (2011) señala la necesidad de centrar la enseñanza de la
Estadística a partir de actividades que involucren al estudiante en el análisis de datos reales,
la resolución de problemas contextualizados y la elaboración de proyectos estadísticos. Así
mismo, Méndez y Ortiz (2012) revelan que es importante abordar los contenidos estadísticos
situándolos en contextos reales, esto permitiría a los estudiantes fomentar un aprendizaje
efectivo, logrando así un mayor énfasis a lo que aprenden.
Ahora bien, con respecto a las tablas estadísticas, Godino (2004) declara que los
profesores, a veces, tienen la creencia de que la elaboración de estas representaciones es una
tarea sencilla, y por este motivo, se dispone de un tiempo menor para su enseñanza. Sin
embargo, la habilidad de la lectura crítica de las tablas es una necesidad, ya que podemos
16
encontrarnos con ellas en diferentes medios de comunicación. Por ello, se ha incorporado su
enseñanza desde los primeros niveles de enseñanza básica en la mayoría de los países, con el
propósito de que los individuos sean capaces de leerlas e interpretarlas desde una temprana
edad (Díaz-Levicoy, Sepúlveda, Vásquez y Opazo, 2016; Vásquez, Díaz-Levicoy, Coronata
y Alsina, 2018). A nivel más local, en Chile, la Estadística es abordada desde primer año de
Educación Básica con la lectura de pictogramas.
1.2.2 Lectura de tablas de doble entrada
Una tabla estadística es una forma de simbolizar la información de un estudio
estadístico. Se representan valores (categorías o modalidades) de una o más variables junto
a sus respectivas frecuencias (absolutas, relativas, etc.), lo que favorece la organización y
visualización de la información en un estudio. Según Estrella (2014), una tabla estadística es
una forma de representación rectangular que permiten presentar datos correspondientes a una
o más variables de manera clara y resumida, divisar el comportamiento de los datos y facilitar
la comprensión de la información. Novaes y Coutinho (2008) dan a conocer que, gracias a
este tipo de representación se obtiene la organización de datos obtenidos de alguna
indagación, relacionando sujeto (fila) y característica observada (columna).
De manera general, las tablas y gráficos estadísticos, así como su lectura e
interpretación, son considerados como elementos relevantes dentro de la cultura estadística
(Arteaga, Batanero, Cañadas, Contreras, 2011; Del Pino y Estrella, 2012; Gal, 2002). Esta
cultura, como se mencionó anteriormente, reside en entender y valorar críticamente la
información estadística; así como en enunciar y manifestar opiniones respecto a dicha
información (Gal y Murray, 2011).
Bajo esa perspectiva, la lectura de tablas de doble entrada es considerada como un
elemento básico de la cultura estadística de cualquier ciudadano (Estrada y Díaz, 2007).
Batanero, Godino, Green, Holmes y Vallecillos (1994) aluden que una tabla de doble entrada
es utilizada para dar a conocer de modo más sucinto la muestra de dos variables estadísticas.
Por su parte, Campbell-Kelly, Croarken, Flood y Robson (2003, citado por Gabucio et al,
2010) definen a las tablas de doble entrada como una configuración de organización de datos
17
relacionados entre sí, es decir, donde una información cualitativa y cuantitativa se disponen
de acuerdo en un doble eje horizontal y vertical, que clasifica y estructura dichos datos.
El principal uso de la tabla de doble entrada es registrar la distribución de frecuencias
de la variable estadística bidimensional mediante tantas filas y columnas como categorías
que presenten las dos variables estadísticas unidimensionales que la constituyen. El
identificar las variables unidimensionales en dicha tabla es considerada como una tarea
sencilla, ya que únicamente basta con reconocer las categorías que se muestran en la primera
fila y en la primera columna. Sin embargo, las frecuencias correspondientes a la variable
bidimensional se presentan en cada cruce de categorías de las respectivas variables
unidimensionales, lo que representa la frecuencia conjunta (absoluta o relativa) de los datos
(Gea, Gossa, Batanero y Pallauta, 2020).
1.3 Cálculo de probabilidades
1.3.1 Importancia de la Probabilidad
Fischbein y Schnarch (1997) definen la probabilidad como una disciplina que apoya
a desarrollar un modo de pensamiento diferente al que proporciona el aprendizaje de otras
áreas de la matemática. Así mismo, algunos autores (Batanero, Henry y Parzysz, 2005;
Hacking, 2006) indican que la probabilidad surge de la inquietud de dar resolución a
problemas de incertidumbre. Sin embargo, se ha demostrado que la incertidumbre no está
presente en la enseñanza de la probabilidad. Por ejemplo, los resultados del estudio de
Kahneman, Slovic y Tversky (1982) revelan que estudiantes universitarios y profesionales
de psicología no son capaces de resolver problemas en donde está involucrada la
incertidumbre, aun cuando habían recibido instrucción sobre probabilidad y estadística.
La probabilidad tiene relevancia en todos los ámbitos de la vida, desde cosas tan
básicas (por ejemplo, el resultado de obtener cara o sello al lanzar una moneda) hasta
situaciones complicadas de la vida cotidiana (por ejemplo, la probabilidad que existe de
salvar a un paciente si se realiza uno u otro procedimiento médico); es decir, se presenta en
diversos eventos que involucran la aleatoriedad y que se encuentran en el mundo que vivimos
(León, López y Carrillo, 2020).
18
Su enseñanza también ha cobrado un papel importante y necesario en la formación
de futuros ciudadanos. Gal (2005) señala la necesidad de fomentar una cultura probabilística
en los estudiantes (futuros ciudadanos) para prepararlos y puedan hacer frente a situaciones
cotidianas donde los eventos aleatorios y fenómenos del azar estén presentes, y con ello,
tomar decisiones fundamentadas en la interpretación de mensajes probabilísticos en
contextos reales (por ejemplo: inversión en la bolsa de valores, apuestas, entre otros). Gal
(2012, p. 4) define la cultura probabilística, traducido de probability literacy, como “la
capacidad de acceder, utilizar, interpretar y comunicar información e ideas relacionadas con
la probabilidad, con el fin de participar y gestionar eficazmente las demandas de las funciones
y tareas que implican incertidumbre y riesgo del mundo real”.
En este sentido, el estudio de la Probabilidad permite desenvolverse y tomar
decisiones adecuadas ante fenómenos aleatorios (Ortiz, Batanero y Serrano, 2007). Esto ha
impulsado la inclusión de contenidos probabilísticos, así como estadísticos, en currículos de
matemáticas de diversos países como Chile, México y España (Batanero, 2016). En
particular, en Chile, la Probabilidad es abordada desde quinto año de Educación Básica con
la idea de posibilidad de eventos.
1.3.2 Cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
Gal (2005) señala cinco elementos de conocimiento que sustentan la base para una
cultura probabilística:
a) Grandes ideas: aleatoriedad, independencia, variación, predicción/incertidumbre.
b) Cálculo de probabilidades: formas para encontrar o estimar la probabilidad de
eventos.
c) Lenguaje: términos y expresiones utilizados para representar y comunicarse sobre el
azar y la probabilidad.
d) Contexto: comprender el papel o impacto del azar y la aleatoriedad en diversos
eventos y procesos, así como mensajes probabilísticos en diferentes situaciones de la
vida de un ciudadano.
19
e) Preguntas críticas: preguntas para reflexionar al tratar con probabilidades, es decir,
cuando un ciudadano se encuentra con un enunciado de probabilidad o cuando tiene
proporcionar una estimación probabilística.
En ese sentido, los estudiantes deben estar familiarizados con las formas de encontrar
la probabilidad de eventos para: 1) comprender las declaraciones probabilísticas hechas por
otros, 2) generar estimaciones sobre la probabilidad de eventos y comunicarse con otros sobre
ellas, y 3) tomar decisiones basadas en dicha probabilidad. Es aquí donde los enfoques
clásico, frecuencial y subjetivo son útiles, y comúnmente se promueven para calcular o
estimar probabilidades (Alsina y Vásquez, 2016; Gal, 2005; Sánchez, 2009).
Con relación a las tablas de doble entrada, Cañadas, Arteaga, Guirado y Molina
(2017) mencionan que es un instrumento de gran utilidad en la presentación y análisis de
datos cualitativos, por tanto, es utilizada con gran frecuencia en actividades profesionales.
Sin embargo, a pesar de su relevancia, Batanero, Estepa y Godino (1997) expresan que el
aprendizaje sobre este tipo de tabla estadística no está libre de confusiones y dificultades, que
inclusive perseveran posterior a la enseñanza.
Entre las tareas relacionadas con las tablas de doble entrada se encuentra la lectura de
las frecuencias de las variables unidimensionales y de las condicionales (frecuencias en una
sola fila o columna), así como el cálculo de frecuencias relativas o probabilidades de diferente
tipo: simple, conjunta y condicional, siendo ésta última la de mayor complejidad (Cañadas,
2012). Este autor señala que las probabilidades presentes en las tablas de doble entrada
pueden ser confundidas por los estudiantes al resolver los cálculos; por ejemplo, la falacia
de la condicional traspuesta o confusión de la inversa, la cual consiste en la confusión entre
las dos direcciones de la probabilidad condicional, es decir, confundir P(A│B) con P(B│A)
(Falk, 1986). Díaz y De la Fuente (2005a), así como Díaz, Ortiz y Serrano (2007),
manifiestan que el concepto de probabilidad condicional es primordial en las aplicaciones de
la Estadística, ya que posibilita incorporar cambios en el ámbito de creencias sobre los
sucesos aleatorios a medida que se adquiere una nueva información.
20
1.4 Las tablas de doble entrada en el currículo chileno de Educación Media
El Ministerio de Educación de Chile (MINEDUC), en los Programas de Estudio de
Educación Media, establece Objetivos de Aprendizaje (OA) -Primero y Segundo Medio- y
Aprendizajes Esperados (AE) -Tercero y Cuarto Medio- que precisan la expectativa
formativa que se espera que logren los estudiantes en cada asignatura, organizados por medio
de unidades, para cada año escolar. Los OA integran conocimientos, habilidades y actitudes
para que los estudiantes logren un desarrollo integral, que les permita comprender y participar
activa, responsable y críticamente en su entorno social (MINEDUC, 2016a; MINEDUC,
2016b). Los AE especifican los aprendizajes que se deben lograr para conseguir los Objetivos
Fundamentales (OF) y los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el Marco
Curricular en el Decreto Supremo N° 254 de 2009 (MINEDUC, 2015a; MINEDUC, 2015b).
En relación con las tablas de doble entrada y el cálculo de probabilidades en
Educación Media en Chile, estos contenidos se exhiben, de manera explícita o implícita, en
los OA y AE de los cuatro años escolares (ver Tabla 1).
Tabla 1.
Objetivos de aprendizaje (OA) - Aprendizaje esperado (AE) relacionados con Estadística y
Probabilidad en Educación Media
Año escolar
Unidad
Objetivos de aprendizaje (OA) - Aprendizajes esperados (AE)
Primero
Unidad 4.
OA 12. Registrar distribuciones de dos características distintas,
medio
Probabilidad de una misma población, en una tabla de doble entrada y en una
(MINEDUC, y Estadística nube de puntos.
2016a, p. 62)
OA 13. Comparar poblaciones mediante la confección de gráficos
“xy” para dos atributos de muestras, de manera concreta y
pictórica:
• Utilizando nubes de puntos en dos colores.
• Separando la nube por medio de una recta trazada de manera
intuitiva.
OA 14. Desarrollar las reglas de las probabilidades, la regla
aditiva, la regla multiplicativa y la combinación de ambas, de
manera concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o
con software educativo, en el contexto de la resolución de
problemas.
OA 15. Mostrar que comprenden el concepto de azar:
• Experimentando con la tabla de Galton y con paseos aleatorios
sencillos de manera manual y/o con software educativo.
• Realizando análisis estadísticos, empezando por frecuencias
relativas.
• Utilizando probabilidades para describir el comportamiento
azaroso.
21
Segundo
medio
(MINEDUC,
2016b, p.
60)
Unidad 4.
Probabilidad
y Estadística
Tercero
Unidad 4.
medio
Datos y azar
(MINEDUC,
2015a, p. 3334)
Cuarto
medio
(MINEDUC,
2015b, p.
33-34)
Unidad 4.
Datos y azar
• Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas
OA 10. Mostrar que comprenden las variables aleatorias finitas:
• Definiendo la variable.
• Determinando los posibles valores de la incógnita.
• Calculando su probabilidad.
• Graficando sus distribuciones.
OA 11. Utilizar permutaciones y la combinatoria sencilla para
calcular probabilidades de eventos y resolver problemas.
OA 12. Mostrar que comprenden el rol de la probabilidad en la
sociedad:
• Revisando informaciones de los medios de comunicación.
• Identificando suposiciones basadas en probabilidades.
• Explicando cómo una probabilidad puede sustentar suposiciones
opuestas.
• Explicando decisiones basadas en situaciones subjetivas o en
probabilidades.
AE 15. Utilizar el concepto de probabilidad condicional
en problemas cotidianos o científicos.
AE 16. Aplicar el concepto de variable aleatoria discreta para
analizar distribuciones de probabilidades en contextos diversos.
AE 17. Representar funciones de probabilidad y distribuciones de
una variable aleatoria discreta.
AE 18. Comparar el comportamiento de una variable aleatoria en
forma teórica y experimental, considerando diversas situaciones o
fenómenos.
AE 19. Desarrollar la distribución binomial para experimentos
tales como cara o sello y situaciones de éxito o fracaso.
AE 20. Modelar situaciones o fenómenos mediante la distribución
binomial.
AE 11. Aproximar, a partir de histogramas de distribuciones
binomiales, el gráfico de la campana de Gauss.
AE 12. Aplicar distribuciones normales para resolver
problemas de la vida diaria.
AE 13. Estimar la media poblacional de una distribución normal
sobre la base de niveles de confianza dados.
AE 14. Verificar mediante ejemplos concretos que la media |X|
de muestras aleatorias del tamaño n, extraídas de una población,
se distribuye aproximadamente normal, si se aumenta el tamaño
de la muestra.
AE 15. Modelar situaciones de la vida diaria o de las ciencias
naturales con distribuciones aleatorias, como la distribución
binomial o la distribución normal.
Fuente: elaboración propia.
Como se muestra en la Tabla 1, en primer año medio se trabajan de manera conjunta
las tablas de doble entrada y el cálculo de probabilidades, es decir, se presenta el cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada; sin embargo, a partir de este breve análisis
22
curricular, se observa que el cálculo de probabilidades de eventos se encuentra presente a lo
largo de la Educación Media.
Además de revisar los OA y AE, se realizó el análisis del libro de texto y cuaderno
de ejercicios de primer año medio otorgados gratuitamente por el MINEDUC (ver Tabla 2),
con el objetivo de identificar el tipo de actividades y tareas relacionadas con el cálculo de
probabilidades en tabla de doble entrada.
Tabla 2.
Libro de texto y cuaderno de ejercicios de primer año medio
Recurso didáctico
Referencia
TE
Galasso, B., Maldonado, L., y Marambio, V. (2016). Texto del estudiante.
Matemática. Primero Medio. Santiago: Santillana.
CE
Galasso, B., y Setz, J. (2016). Cuaderno de ejercicios. Matemática. Primero
Medio. Santiago: Santillana.
Fuente: elaboración propia.
En la Figura 1 se presenta una actividad del libro de texto chileno para primer año de
Educación Media (14 años) en la que aparece una tabla de doble entrada. En las tareas se
solicita calcular probabilidades, lo que implica leer e identificar algunas frecuencias
absolutas representadas en ella.
Figura 1. Actividad referente al cálculo de probabilidades en una tabla de doble entrada (TE, p.236)
23
1.5 Justificación del problema de investigación
La probabilidad es considerada como una de las ideas estadísticas fundamentales
(Burrill y Biehler, 2011) para promover el razonamiento estadístico, que está presente en la
vida cotidiana; esto se logra si los cálculos probabilísticos tienen aplicación en la realidad
(Batanero, 2006). Por su parte, Contreras, Estrada, Díaz y Batanero (2010) señalan que la
interpretación de información entregada a través de los medios de comunicación, así como
la toma de decisiones, requiere de habilidades mínimas para la lectura y cálculo de
probabilidades simples, compuestas y condicionales.
El presente estudio toma como centro de atención la lectura y cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada por estudiantes chilenos de Educación Media (ver
Figura 2).
CULTURA ESTADÍSTICA
LECTURA
TABLAS DE
DOBLE
ENTRADA
CULTURA PROBABILÍSTICA
CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
Figura 2. Elementos presentes en el problema de investigación
Esto, debido a la importancia que tiene la lectura de tablas de doble entrada (elemento
básico de la cultura estadística) y porque, en el terreno profesional, e incluso en la vida
cotidiana, la toma de decisiones acertadas en situaciones de incertidumbre se basa en gran
medida en el cálculo de probabilidades (elemento de conocimiento de la cultura
probabilística), especialmente en condicionales, las cuales son difíciles de evaluar y
comprender (Díaz y de la Fuente, 2005a). Con base en lo anterior, nos planteamos la siguiente
pregunta, la cual guio este estudio:
¿Cómo es el manejo de tablas de doble entrada por estudiantes chilenos de Educación
Media, respecto a la lectura y cálculo de probabilidades?
24
1.6 Objetivos
Para dar respuesta a nuestra pregunta de investigación, nos hemos propuesto el
siguiente objetivo general:
OG: Evaluar el manejo de las tablas de doble entrada, con respecto a la lectura y
cálculo de probabilidades, por estudiantes de Educación Media de un colegio
particular subvencionado de la cuidad de Osorno, Chile.
Para lograr nuestro objetivo general antes señalado, nos hemos trazados los siguientes
objetivos específicos:
OE1. Analizar el dominio de lectura en tablas de doble entrada por estudiantes
chilenos de Educación Media, considerando los dos primeros niveles de la taxonomía
de Curcio.
OE2. Analizar las estrategias y los conflictos semióticos de estudiantes chilenos de
Educación Media en el cálculo de probabilidades, simple, conjunta y condicional, en
tablas de doble entrada.
25
CAPÍTULO 2. ALGUNAS INVESTIGACIONES RELACIONADAS
2.1 Introducción
A continuación, presentamos algunas investigaciones desarrolladas en torno a la
lectura de tablas estadísticas, y al cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada, con
la finalidad de esbozar un contexto para el marco teórico que se plantea en el siguiente
capítulo.
2.2 Lectura de tablas estadísticas
En Gabucio, Martí, Enfedaque, Gilabert y Konstantinidou (2010) se analiza el nivel
de lectura, considerando la taxonomía de Curcio (1989), de 153 estudiantes españoles de 5°
y 6° de Educación Primaria y de 1° y 2° de Educación Secundaria, a través de sus respuestas
a 12 preguntas dirigidas a la lectura de los títulos, categorías y frecuencias, como también la
lectura crítica y comprensión de la estructura de la tabla. Los resultados obtenidos dan
evidencia que las interrogantes que demandan la comprensión tabular son más complicadas
que aquellas en donde se solicita una lectura más directa. Además, que no hay una mejora
gradual en la lectura de las tablas con respecto a la edad.
Rodríguez y Sandoval (2012) analizan la lectura y construcción de gráficos y tablas
estadísticas por 47 profesores chilenos en servicio y 44 en formación. Sus resultados
evidencian que el 90% de los participantes logran realizar procesos de descodificación, sin
embargo, sólo el 79% lo ejecuta de manera correcta, lo que indica que tanto profesores como
estudiantes en formación presentan habilidades básicas, es decir, se ubican en el nivel 1 de
lectura de Curcio (1989), leer los datos; mientras que el 13% de los profesores y el 20,9% de
los estudiantes en formación se ubican en el nivel 2, leer dentro de los datos. Resultados
similares se obtienen al realizar procesos de codificación; además, esta habilidad disminuye
en gran medida cuando la información corresponde a dos o más variables, ya que sólo el
55,3% de los profesores presentan una representación alternativa.
Por su parte, Estrella, Olfos y Mena (2015) desarrollan un estudio en el que se aplica
un cuestionario de catorce ítems a 85 profesores de Educación Primaria (4° y 7° grado), junto
26
a sus respectivos estudiantes (994 participantes), pertenecientes a establecimientos chilenos.
El cuestionario se enfoca en el conocimiento del profesor con respecto al contenido de
estadística del currículum chileno, y con relación a la enseñanza de la estadística. Estos
autores reportan los resultados de dos ítems, uno centrado en estadística descriptiva y otro en
estadística inferencial. Con relación al primer ítem, se observa que sólo el 51% de los
profesores involucrados en el estudio demostraron la capacidad de identificar la tabla de
doble entrada que incumbe a un listado de datos, en donde se solicitaba: interpretar la
recolección de datos cualitativos, identificar y extraer de datos cuantitativos desde datos
cualitativos (conteo), leer e interpretar la tabla de doble entrada, clasificar los datos y
completar la tabla con datos cuantitativos. Mientras que, únicamente el 18% de los
estudiantes de 4° grado y el 15% de 7° grado contesta el ítem correctamente.
Díaz-Levicoy, Sepúlveda, Vásquez y Opazo (2016) reportan un análisis sobre los
niveles de lectura de tablas estadísticas, considerando la taxonomía de Curcio (1989), que
alcanzan 121 profesoras en formación de Educación Infantil en Chile, de tres semestres
distintos (3°, 5° y 7° semestre). De acuerdo con los resultados obtenidos, se aprecia que las
profesoras dominan en su mayoría los niveles 1 y 2 de lectura, relacionados con la lectura
literal y el cálculo de operaciones matemáticas sencillas, 94,2% y 62,8%, respectivamente.
Sin embargo, sólo el 34,7% de las participantes alcanza el nivel 3 de lectura, esto da indicios
que no son capaces de predecir algún dato o tendencia a partir de la información entregada
en la tabla estadística.
En Sepúlveda, Díaz-Levicoy y Jara (2018) se evalúa la comprensión sobre tablas
estadísticas, según la taxonomía SOLO, de 233 estudiantes chilenos de 3° y 6° de Educación
Primaria de establecimientos municipales de la ciudad de Osorno. De acuerdo a los resultados
obtenidos, la comprensión del aprendizaje no depende del grado educativo de los estudiantes,
ya que facilitan en sus respuestas dos o más datos importantes, pero de manera aislada, sin
presentar conexiones entre ellos en sus conclusiones, y sus explicaciones se centran un
aspecto aislado del dato. Esto es, en concordancia con la taxonomía SOLO, que las respuestas
de los estudiantes se agrupan en el nivel de aprendizaje multiestructural.
27
Por otro lado, Díaz-Levicoy, Guerrero-Contreras, Sepúlveda y Minte (2019) realizan
un estudio sobre la comprensión de tablas estadísticas por 39 profesoras en formación de
Educación Infantil en Chile. Con respecto a los resultados acerca de una tarea donde
interviene una tabla de doble entrada con tres preguntas relacionadas con los primeros tres
primeros niveles de Curcio (1989), se observa que las estudiantes alcanzan satisfactoriamente
el nivel 1 de Curcio (leer los datos); sin embargo, en la segunda interrogante sólo el 56,4%
alcanza el nivel 2 (leer dentro de los datos), atribuyendo a una comprensión errada del
concepto de media o promedio, y por último, en el tercer cuestionamiento referente al nivel
3, leer más allá de los datos, la mayoría entrega una respuesta errónea o simplemente no
responden.
Una tarea semejante es planteada en el estudio de García-García, Imilpan, Arredondo
y Fernández (2019), quienes realizan un análisis comparativo sobre el nivel de comprensión
de una tabla estadística que alcanzarían 36 estudiantes de primer semestre de Licenciatura en
Matemáticas, de una universidad pública de México, y 35 estudiantes de primer semestre de
la carrera Pedagogía Educación Media mención Matemáticas y Computación, de una
universidad de Chile. Estos autores analizan las lecturas e interpretaciones de los estudiantes
a partir de una propuesta jerárquica de la condensación de los niveles de la taxonomía de
Curcio (Curcio, 1989; Friel, Curcio y Bright, 2001) y la jerarquía de Aoyama (2007, citado
en García-García et al., 2019). Sus resultados evidencian que la mayor proporción de los
estudiantes de ambas universidades alcanzan el nivel 2, comparativo; sin embargo, los
estudiantes mexicanos presentan mayores falencias en la comparación de datos de la tabla
estadística.
Con relación a las tablas de doble entrada, Gea, Gossa, Batanero y Pallauta (2020)
llevan a cabo un análisis en torno a respuestas de 69 profesores en formación de Educación
Primaria sobre la comprensión en la construcción e interpretación de este tipo de
representación estadística. Con relación a sus resultados, la mayoría de los profesores (58%)
realiza correctamente la construcción de la tabla de doble entrada, identificando las variables
estadísticas en la tarea; sin embargo, un 31,9% no efectúa totalmente la construcción de estas.
Con respecto a la interpretación de los datos de la tabla de doble entrada, se manifiestan
28
dificultades al identificar la frecuencia conjunta y condicional, que implican cálculo de
probabilidades.
2.3 Cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
En Díaz y De la Fuente (2005b) se presenta un estudio enfocado en el análisis de las
dificultades que manifiestan 154 futuros psicólogos cuando se enfrentan al cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada. Aunque el 75% de los participantes contesta
correctamente el cálculo de probabilidad simple, apenas el 50% responde adecuadamente al
cálculo de probabilidad condicional y probabilidad compuesta. Entre las dificultades
encontradas, los autores resaltan que los futuros psicólogos confunden un suceso con su
complementario y la probabilidad con casos favorables.
Por su parte, Estrada y Díaz (2006) analizan los conflictos semióticos que presentan
65 profesores en formación en el cálculo de probabilidades (simple, compuesta y
condicional) en una tabla de doble entrada. Con respecto a los resultados obtenidos, se
presenta un porcentaje alto de respuestas correctas en el caso de la probabilidad simple y
alrededor del 50% en la probabilidad conjunta y condicional; sin embargo, se presentan
conflictos semióticos al confundir una probabilidad condicional con su inversa, confundir la
probabilidad condicional con la conjunta y confundir entre un suceso y su complemento.
Estrada y Díaz (2007) realizan un estudio exploratorio acerca de los conflictos
semióticos que presentan 117 futuros profesores (estudiantes de diversas especialidades de
diplomaturas de magisterio) en el cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada. De
acuerdo con sus resultados, la mayoría responde correctamente al cálculo de la probabilidad
simple; sin embargo, se presentó alrededor de un 45% de errores en las tareas de cálculo de
probabilidades compuestas y condicionales. Asimismo, se manifiesta un alto porcentaje de
participantes que no contestan las distintas tareas propuestas y destacan, entre los conflictos
semióticos, la confusión entre una probabilidad condicional y conjunta, así como una
probabilidad condicional y su inversa.
29
En el estudio de Contreras, Estrada, Díaz y Batanero (2010) se muestra el análisis de
las respuestas de 69 futuros profesores de Educación Primaria de una universidad de España,
con respecto al cálculo de probabilidades (simple, compuesta y condicional) en tablas de
doble entrada, quienes no habían recibido instrucción del contenido. El objetivo de este
estudio era complementar el trabajo de Estrada y Díaz (2006). De acuerdo con los resultados,
se presenta una baja en respuestas correctas en comparación a los obtenidos por Estrada y
Díaz (2006), incluyendo en el cálculo de probabilidad simple. Además, muchos estudiantes
no aportaron soluciones a las probabilidades solicitadas, esto implica la falta de comprensión
en la lectura de tablas de doble entrada. Entre los conflictos semióticos reportados, se destaca
la confusión de la condicional con su inversa, es decir, P(A│B) con P(B│A).
Cañadas et al. (2017) evalúan la competencia con respecto al cálculo de
probabilidades y juicios de asociación de 94 estudiantes españoles de psicología, quienes
habían cursado una asignatura de estadística en la que se abordó el tema de probabilidad. Sus
resultados evidencian que el 59,6% de los participantes entregan una respuesta correcta con
respecto a la pregunta de probabilidad condicional. Este resultado se compara con otras
investigaciones (Contreras, 2011; Estrada y Díaz, 2007; Díaz, 2007; citadas por Cañadas et
al., 2017); indicando que la enseñanza impartida fue productiva en los estudiantes.
Un estudio distinto a los mencionados es el realizado por Contreras, Díaz, Batanero
y Cañadas (2013). Estos autores analizan las definiciones proporcionadas por 196 futuros
profesores de matemáticas de secundaria de la probabilidad simple y condicional. Las
respuestas que facilitan los participantes se comparan en dos grupos, de acuerdo a la
formación recibida y también con los resultados obtenidos por estudiantes de psicología del
estudio realizado por Díaz (2007, citado en Contreras et al., 2013). De acuerdo a los
resultados, se observa una escasa competencia de los sujetos de estudio para entregar las
definiciones de manera correcta (15,9%), por mencionar, presentan errores en la definición
al añadir condiciones innecesarias.
30
2.4 Conclusiones del estudio de los antecedentes
En este capítulo hemos presentado algunas investigaciones centradas en la lectura y
cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada, relacionadas con nuestro trabajo,
identificando que no se han realizado estudios con estudiantes de Educación Media
enfocados en estos dos aspectos importantes para la formación de ciudadanos
estadísticamente y probabilísticamente cultos.
En general, los futuros profesionales (estudiantes universitarios) poseen pocas
capacidades y habilidades para el cálculo de probabilidad simple y condicional con el manejo
de tablas de doble entrada (incluso en su forma más simple). A manera de hipótesis, esto se
podría identificar en estudiantes de Educación Media que abordan por primera vez estos
temas, e incluso, sea en esta etapa escolar donde se generan los conflictos semióticos aquí
mencionados. Además, es preocupante la dificultad que tienen profesores de matemáticas en
formación para definir correctamente la probabilidad simple y condicional, puesto que es
importante que manejen estos saberes asociados a la Probabilidad.
A partir de esta revisión se han identificado diversos conflictos semióticos presentes
en el cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada (por ejemplo, confundir la
probabilidad condicional con su inversa), los cuales se profundizarán en el siguiente capítulo;
así como algunos elementos del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción
Matemáticos (EOS) y los niveles de lectura de Curcio (1989) que serán parte de los
fundamentos del estudio.
31
CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DEL ESTUDIO
3.1 Introducción
En este capítulo se dan a conocer los fundamentos que sustentan este estudio.
Primero, se presentan los elementos teóricos del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento
y la Instrucción Matemáticos (EOS) que fundamentan esta investigación; posteriormente, se
exhibe el análisis semiótico de las tablas de doble entrada, para analizar los objetos
matemáticos implícitos al interpretar una tabla de doble entrada y la forma en que son
relacionados con el cálculo de probabilidades, así como los principales conflictos semióticos
reportados en la literatura; seguidamente, se describen los niveles de Curcio para analizar la
lectura de este tipo de tablas; y, finalmente, se presenta la conexión entre los tres aspectos
mencionados con la finalidad de operativizar los fundamentos del estudio.
3.2 Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (EOS)
El EOS es un marco teórico que ha emergido en el seno de la Didáctica de la
Matemática con el objetivo de conectar diversos puntos de vista y nociones teóricas sobre el
conocimiento matemático, su enseñanza y aprendizaje (Godino y Batanero, 1994; Godino,
2002; Godino, Batanero y Font, 2007; Godino, Batanero y Font, 2019).
En términos del EOS, la práctica matemática es toda actuación o expresión (verbal,
gráfica, entre otras) realizada por una persona para: 1) resolver problemas matemáticos, 2)
comunicar la solución obtenida a otras personas, y 3) validar y generalizar la solución a
distintos contextos y problemas (Godino, Batanero y Font, 2007; Godino y Batanero, 1994).
Ahora bien, cuando se realiza, interpreta y evalúa una práctica matemática, se activa una
configuración (ver Figura 3), o sistemas de objetos, constituida por los siguientes elementos
(conocidos como elementos del significado de los objetos matemáticos primarios) (Font y
Godino, 2006; Godino, Batanero y Font, 2007):
•
Situaciones-problemas. Se refieren a las aplicaciones extra-matemáticas, problemas,
tareas, ejercicios o acciones que inducen una actividad matemática.
32
•
Lenguaje. Se refiere a los términos, expresiones, notaciones, gráficos, símbolos u
otras representaciones, en sus diversos registros (escrito, oral, gestual, entre otros),
utilizadas para referirse al objeto matemático.
•
Conceptos. Son los elementos que pueden ser introducidos mediante definiciones o
descripciones de un objeto matemático.
•
Proposiciones. Se refieren a los enunciados, o afirmaciones, sobre atributos o
propiedades de los conceptos.
•
Procedimientos. Se refieren a los algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo o
métodos para ejecutar determinadas acciones, que se ponen en juego al resolver un
problema.
•
Argumentos. Son enunciados y razonamientos (deductivos, inductivos, formales o
informales) usados para validar, justificar o explicar las proposiciones y los
procedimientos, o bien, la solución de un problema.
Figura 3. Configuración de objetos primarios (Tomada de la versión ampliada, en español, de
Godino, Batanero y Font, 2007, p.7)
De acuerdo con Font, Godino y D’Amore (2007), en las prácticas matemáticas se
presentan múltiples funciones semióticas; estas funciones juegan un rol esencial en la
comprensión de los objetos matemáticos (Godino, 2003), debido a que permiten a los sujetos
33
tener diferentes perspectivas de un mismo objeto y, con esto, obtener una mejor comprensión
de tal objeto. Para explicar las interpretaciones realizadas por el estudiante en el aprendizaje
de un objeto matemático, que no son las esperadas por el profesor, nos apoyamos en el
concepto de conflicto semiótico. “Un conflicto semiótico es cualquier disparidad o
discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o
instituciones)” (Godino, Batanero y Font, 2007, p.15).
Se considera que los elementos enunciados anteriormente –al igual que los elementos
que se describen en secciones posteriores– han permitido llevar a cabo algunos de los
objetivos previstos en este trabajo de investigación. A continuación, se presenta el análisis
semiótico de la tabla de doble entrada donde se describen los objetos matemáticos implícitos
al realizar la lectura de este tipo de representaciones, así como la manera en que se relacionan
dichos objetos en el cálculo de probabilidades; además, se dan a conocer los principales
conflictos semióticos relacionados con esta última tarea, que han sido reportados en la
literatura.
3.3 Análisis semiótico de la tabla de doble entrada
La tabla de doble entrada es un cuadro, estructurado por filas y columnas, que tiene
como propósito resumir información acerca de dos variables estadísticas 𝑋 e 𝑌, donde toman
los valores 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥ℎ e 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑘 , respectivamente (Gea, Gossa, Batanero y Pallauta,
2020), es decir, sirven para representar la distribución conjunta de dos variables estadísticas.
En la Tabla 3 se muestra la estructura general de una tabla de doble entrada.
Tabla 3.
Formato general de las tablas de doble entrada
𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑗 … 𝑦𝑘
𝑥1
𝑓1.
𝑥2
𝑓2.
…
…
𝑓𝑖𝑗
𝑓𝑖.
𝑥𝑖
…
…
𝑥ℎ
𝑓ℎ.
𝑓.1 𝑓.2 … 𝑓.𝑗 … 𝑓.𝑘 n
Fuente: elaboración propia.
34
La tabla de doble entrada es considerada como un objeto semiótico complejo, ya que
en ella subyacen varios conceptos implícitos y sus interrelaciones (Cañadas, Batanero, Gea
y Contreras, 2013; Gea et al., 2020), su forma más simple es cuando las variables poseen sólo
dos categorías (Estrada y Díaz, 2007); en la Figura 4 se presenta un ejemplo de este tipo de
tabla, donde la variable 𝑋 corresponde al hábito de fumar (fuma o no fuma) e 𝑌 a la molestia
respiratoria (tiene o no molestias respiratorias).
Figura 4. Ejemplo de una tabla de doble entrada 2𝑥2
A partir de una tabla de doble entrada, se derivan los siguientes tipos de frecuencias
absolutas, mismas que relacionaremos con la que se muestra en la Figura 4:
•
Frecuencias absolutas marginales. Estas corresponden a las cantidades en la columna
derecha y en la fila inferior; por tanto, pueden ser por columnas 𝑓𝑖. (por ejemplo, la
cantidad de personas que manifiestan molestias respiratorias) y por filas 𝑓.𝑗 (por
ejemplo, la cantidad de personas que fuman).
•
Frecuencias absolutas dobles. Estas corresponden a las cantidades de las cuatro celdas
centrales; nos indica la cantidad de personas que hay con valores específicos de las
variables. Es decir, concierne al número de elementos (𝑓𝑖𝑗 ) que corresponden a la vez
al valor para 𝑥𝑖 (en 𝑋) y al valor para 𝑦𝑗 (en 𝑌) (por ejemplo, la cantidad de personas
que fuman y presentan molestias respiratorias).
•
Frecuencias absolutas condicionales. Estas corresponden al número de sujetos para
un valor de la variable, dejando fijo un valor de la otra (por ejemplo, el número de
personas que fuma sabiendo que no presentan molestias respiratorias). Ahora bien,
matemáticamente esta frecuencia condicional es igual a la doble (𝑓𝑖𝑗 ); sin embargo,
la condicional no se percibe psicológicamente de la misma manera, debido a que su
lectura atiende a la condición indicada (la cantidad total de la que forma parte no es
el misma), lo que implica más complicado de identificar e interpretar (Cañadas, 2012;
Gea et al., 2020).
35
A partir de estas frecuencias absolutas, se deducen las frecuencias relativas dobles,
marginales y condicionales. Ahora bien, con el supuesto de equiprobabilidad de todos los
casos en la muestra, y al preguntarnos por la probabilidad de obtener un sujeto al azar de la
misma, podemos calcular una probabilidad diferente de cada una de las frecuencias relativas
mencionadas (Estrada y Díaz, 2007). En la Tabla 4, se presenta la relación entre algunas de
las frecuencias relativas y las probabilidades que se pueden obtener con los datos
representados en una tabla de doble entrada, como la que se presenta en la Figura 5.
Figura 5. Formato propio de las tablas de doble entrada 2x2 (Elaboración propia, adaptada de
Estrada y Díaz, 2007).
Tabla 4.
Relación entre las frecuencias relativas y probabilidades en tablas de doble entrada
Procedimiento
Conceptos
Lenguaje
Frecuencia
Probabilidad
Verbal (se lee como)
Simbólico
Algoritmo
relativa
𝑎+𝑐
Frecuencia
Probabilidad
Probabilidad de que
𝑃(𝐴)
relativa
simple por
ocurra 𝐴
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
marginal
columna
por columna
𝑎+𝑏
Frecuencia
Probabilidad
Probabilidad de que
𝑃(𝐵)
relativa
simple por
ocurra 𝐵
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
marginal
fila
por fila
𝑎
Frecuencia
Probabilidad
Probabilidad de que
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
relativa
conjunta
ocurra
doble
simultáneamente 𝐴 y
𝐵
𝑏
Frecuencia
Probabilidad
Probabilidad de que
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
relativa
conjunta
ocurra
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
doble
simultáneamente
𝑛𝑜 𝐴 y 𝐵
𝑎
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Frecuencia
Probabilidad
Probabilidad de que
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴)
𝑎+𝑐
relativa
condicional
ocurra 𝐵, sabiendo
condicional
que ha ocurrido 𝐴
por columna
𝑎
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Frecuencia
Probabilidad
Probabilidad de que
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐵)
𝑎+𝑏
relativa
condicional
ocurra 𝐴, sabiendo
que ha ocurrido 𝐵
36
condicional
por fila
Frecuencia
Probabilidad
relativa
condicional
condicional
por columna
Fuente: elaboración propia.
Probabilidad de que
ocurra 𝐵, sabiendo
que ha ocurrido 𝑛𝑜 𝐴
𝑃(𝐵|𝑛𝑜 𝐴) =
𝑃(𝐵 ∩ 𝑛𝑜 𝐴)
𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
𝑏
𝑏+𝑑
Como se puede observar, existen diversos objetos matemáticos que coexisten y
pueden ser confundidos por el estudiante al leer los datos de una tabla de doble entrada, o
bien, al calcular probabilidades a partir de ella (Batanero, Estepa, Godino y Green, 1996).
Con respecto al cálculo de probabilidades, en la literatura se han reportado diversos conflictos
semióticos, como la falacia de la condicional transpuesta (Falk, 1986), que consiste en no
distinguir entre las dos direcciones de la probabilidad condicional, 𝑃(𝐴│𝐵) y 𝑃(𝐵│𝐴); o
bien, interpretar incorrectamente la conjunción ‘y’, confundiendo la probabilidad conjunta
con la probabilidad condicional (Einhorn y Hogarth, 1986).
A continuación, se presenta la taxonomía de Curcio (Curcio, 1989; Friel, Curcio y
Bright, 2001) con el objetivo de presentar los niveles jerárquicos asociados a la lectura de
tablas estadísticas.
3.4 Taxonomía de Curcio
Para analizar la lectura de las tablas de doble entrada, haremos uso de los niveles de
lectura propuestos por Curcio y colaboradores (Curcio, 1989; Friel, Curcio y Bright, 2001).
Estos niveles se establecieron para la lectura de gráficos estadísticos; no obstante, han sido
utilizados y adaptados a tablas estadísticas en diversos estudios (Eudave, 2009; Díaz-Levicoy
et al., 2016; Díaz-Levicoy et al., 2019; Arredondo, García-García y López, 2019; GarcíaGarcía et al, 2019), tal como lo sugiere Batanero (2001):
•
Nivel 1. Leer los datos. Corresponde a la lectura literal de los datos de la tabla
estadística, por lo que no se requiere de la aplicación de algún algoritmo matemático;
por ejemplo, la lectura de la frecuencia de un valor de la variable.
•
Nivel 2. Leer dentro de los datos. Hace referencia a la integración de la información
presente en la tabla estadística, que no está expresada de manera explícita; esto
37
implica la comparación de datos o la aplicación de un algoritmo sencillo; por ejemplo,
cuando se identifica el valor de la variable con mayor o menor frecuencia.
•
Nivel 3. Leer más allá de los datos. Implica la realización de alguna inferencia o
predicción a partir de la información presentada en la tabla estadística; por ejemplo,
predecir algún dato con base en la tendencia del comportamiento de los datos.
Estos niveles permiten caracterizar y clasificar la lectura de tablas doble entrada por
estudiantes mediante niveles. En este estudio nos enfocamos únicamente en el análisis del
dominio, o no dominio, de los niveles 1 y 2 de lectura, relacionados con la lectura de las
frecuencias condicionales y marginales (cuando no se presentan en la tabla), respectivamente,
necesarias para el cálculo de probabilidades simples, conjuntas y condicionales.
Enseguida, se presenta a grandes rasgos la conexión entre los fundamentos del estudio
que se han considerado para este trabajo.
3.5 Conexión entre la taxonomía de Curcio y algunos elementos teóricos del EOS, con
la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
Este trabajo está encaminado en analizar las prácticas matemáticas ejecutadas por los
estudiantes de Educación Media al momento de realizar tareas relacionadas con la lectura y
cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada.
La taxonomía de Curcio nos permite analizar aspectos estadísticos en la tarea de
lectura de tablas de doble entrada, en particular, identificando el dominio o no dominio de
los niveles leer los datos y leer dentro de los datos. Mientras que, mediante la configuración
de objetos matemáticos primarios (lenguaje, procedimientos, argumentos, entre otros)
propuesta en el EOS podemos abordar los aspectos probabilísticos, es decir, aquellos
relacionados con las estrategias y los conflictos semióticos que manifiesten los estudiantes
en el cálculo de probabilidades (ver Figura 6).
38
Figura 6. Conexión entre la taxonomía de Curcio y algunos elementos teóricos del EOS, para la
lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada.
En la Tabla 5 se presenta la configuración de objetos y procesos matemáticos que
constituirá el significado de referencia del objeto matemático ‘tablas de doble entrada’ para
nuestro estudio.
Tabla 5.
Configuración de objetos y procesos matemáticos que se involucran en nuestro estudio
Tipo
Objetos matemáticos
SituacionesS01. Estudio de la lectura de tablas de doble entrada.
problemas
S02. Estudio del cálculo de probabilidades simples.
S03. Estudio del cálculo de probabilidades conjuntas.
S04. Estudio del cálculo de probabilidades condicionales.
Lenguaje
L01. Lenguaje tabular (tabla de doble entrada).
L02. Lenguaje verbal (términos como probabilidad de que ocurra 𝐴,
probabilidad de que ocurra simultáneamente 𝐴 𝑦 𝐵, entre otros).
𝑎
L03. Lenguaje simbólico (expresiones como 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑏 , entre otras).
Conceptos
C01. Tabla de doble entrada.
C02. Variable unidimensional.
C03. Variable bidimensional.
C04. Frecuencias absolutas marginales.
C05. Frecuencias absolutas dobles.
C06. Frecuencias absolutas condicionales.
C07. Frecuencias relativas marginales.
C08. Frecuencias relativas dobles.
C09. Frecuencias relativas condicionales.
C10. Muestra/elemento.
C11. Azar.
C12. Casos favorables.
C13. Casos desfavorables.
C14. Casos posibles.
C15. Total de casos posibles.
C16. Razón.
C17. Proporción.
39
C18. Significados de la probabilidad (intuitivo, laplaciano, frecuencial,
subjetivo, axiomático).
C19. Probabilidad simple.
C20. Probabilidad conjunta.
C21. Probabilidad condicional.
C22. Porcentaje.
Proposiciones
PP01. Valor de la probabilidad siempre es positiva.
PP02. Valor de la probabilidad menor o igual que 1.
PP03. Relaciones entre frecuencia absoluta y relativa.
PP04. Relaciones entre frecuencias relativa y probabilidad.
PP05. El valor de la probabilidad puede expresarse en decimales, fracciones o
porcentajes.
Procedimientos P01. Calcular una suma
P02. Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace.
P03. Calcular probabilidades utilizando la regla de tres.
P04. Calcular probabilidades utilizando proporcionalidad.
Argumentos
A01. Demostraciones/explicaciones formales aritméticas y/o deductivas.
A02. Demostraciones/explicaciones informales.
Fuente: elaboración propia.
40
CAPÍTULO 4. METODOLOGÍA
4.1 Introducción
En este capítulo se describe la metodología utilizada para realizar este estudio. En
concreto, se da a conocer el tipo de investigación, los participantes, el instrumento utilizado
para la recolección de los datos, el análisis de las tareas, la descripción de la aplicación y el
procedimiento del análisis de los datos. El diseño metodológico se utilizó con el propósito de
obtener datos que permitan analizar el manejo de tablas de doble entrada, con respecto a la
lectura y cálculo de probabilidades, por estudiantes de Educación Media.
4.2 Tipo de investigación
Este estudio está inscrito dentro del paradigma cualitativo, “un proceso activo,
sistemático y riguroso de indagación dirigida, en el cual se toman decisiones sobre lo
investigable, en tanto se está en el campo de estudio” (Pérez-Serrano, 1994, p.46), de nivel
descriptivo, “tipo de investigación para describir de modo sistemático las características de
una población, situación o área de interés” (Tamayo y Tamayo, 1995, p.44), ya que se
analizan los datos obtenidos de las respuestas de los estudiantes a preguntas sobre lectura y
cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada; respuestas que se registran como
expresiones simbólicas y verbales (lenguaje). En concreto, 1) se reconoce el dominio, o no
dominio, de los niveles 1 y 2 de lectura de Curcio, y 2) se identifican las estrategias y los
conflictos semióticos en el cálculo de probabilidades simples, conjuntas y condicionales.
4.3 Participantes
La muestra, de tipo no probabilística, estuvo conformada por setenta y cinco
estudiantes de Educación Media (25, 22, 14 y 14 estudiantes de 1°, 2° 3° y 4° medio,
respectivamente), seleccionados por conveniencia, de un colegio particular subvencionado
de la cuidad de Osorno, Chile; cuyas edades fluctúan entre los 14 y 19 años. Además,
participaron las profesoras titulares de los cursos con la aplicación del cuestionario,
adoptando un carácter de tipo observador al no involucrarse en los procesos de solución de
las tareas.
41
Cabe señalar que los estudiantes habían recibido enseñanza formal sobre la lectura y
cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada, dato proporcionado por las profesoras
titulares de cada grupo, y no recibieron información alguna sobre el propósito del estudio.
4.4 Análisis y aplicación del cuestionario
El instrumento utilizado en este estudio corresponde a un cuestionario. Este
cuestionario se diseñó con el objetivo de evaluar el manejo de las tablas de doble entrada por
estudiantes chilenos de Educación Media, partiendo de que han sido instruidos en temas
relacionados con lectura y cálculo de probabilidades en este tipo de representaciones. El
cuestionario diseñado consta de tres problemas contextualizados en los que se presenta una
tabla de doble entrada, cada uno con cinco tareas. Luego de diseñar el cuestionario, se evaluó
la pertinencia de los enunciados de los problemas y de las tareas por medio de juicio de
expertos y aplicación piloto.
El primer problema del cuestionario (ver Figura 7, adaptado de Estrada y Díaz, 2007)
trata la relación entre la variable 𝑋: hábito de fumar (fuma o no fuma) y la variable 𝑌: molestia
respiratoria (tiene o no molestias respiratorias); estas variables presentan una correlación
positiva (coeficiente de correlación de Pearson 𝑟 = 0,7035).
Figura 7. Problema 1 planteado en nuestro estudio
El segundo problema del cuestionario (ver Figura 8, adaptado de Estrada y Díaz,
2006) trata la relación entre la variable 𝑋: haber tenido un ataque al corazón (ha tenido o
nunca ha tenido un ataque al corazón) y la variable 𝑌: tener una edad menor o igual de 55 (es
menor o igual de 55 años, o mayor de 55 años); estas variables presentan una correlación
negativa (coeficiente de correlación de Pearson 𝑟 = −0,7035).
42
Figura 8. Problema 2 planteado en nuestro estudio
Finalmente, el tercer problema del cuestionario (ver Figura 9, adaptado de Contreras,
Estrada, Díaz y Batanero, 2010) trata la relación entre la variable 𝑋: género (ser chico o
chica) y la variable 𝑌: gusto por el ping-pong (le gusta o no le gusta el ping-pong); estas
variables no presentan correlación (coeficiente de correlación de Pearson 𝑟 = 0).
Figura 9. Problema 3 planteado en nuestro estudio
Cada problema (𝑃) consta de cinco tareas (𝑡):
•
en la primera tarea (𝑡1 ) se le solicita al estudiante lectura literal de un dato
representado en la tabla de doble entrada.
•
la segunda tarea (𝑡2 ) implica la interpretación e integración de los datos al hacer
uso del algoritmo de la suma para leer un dato que no está representado
explícitamente en la tabla.
•
la tercera tarea (𝑡3 ) está relacionada con el cálculo de la probabilidad de un evento
simple (probabilidad simple).
•
en la cuarta tarea (𝑡4 ) se pide calcular la probabilidad de la conjunción de dos
eventos (probabilidad conjunta).
•
la quinta tarea (𝑡5 ) se refiere al cálculo de la probabilidad de que ocurra un evento,
dado que ha ocurrido otro evento (probabilidad condicional).
En la Tabla 6 se muestran las características de las tareas solicitadas en cada problema
de nuestro estudio.
43
Tabla 6.
Tareas solicitadas en cada problema planteado en nuestro estudio
𝒕
Se enfoca en:
𝑷
Enunciado de la tarea
𝑡1
Lectura de datos:
nivel 1 de Curcio
𝑃1
¿Cuántas personas que no fuman tienen molestias
respiratorias? Explica tu respuesta.
¿Cuántas personas de menor o igual de 55 años
nunca han tenido un ataque al corazón? Explica tu
respuesta.
¿A cuántos chicos no les gusta el ping-pong? Explica
tu respuesta.
¿Cuántas personas no fuman?
Explica tu respuesta.
𝑃2
𝑃3
𝑡2
Lectura de datos:
nivel 2 de Curcio
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑡3
Cálculo de una
probabilidad simple:
𝑃(𝐵)
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑡4
Cálculo de una
probabilidad
conjunta: 𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝐵)
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑡5
Cálculo de una
probabilidad
condicional:
𝑃(𝐵|𝑛𝑜 𝐴) =
𝑃1
𝑃(𝐵∩𝑛𝑜 𝐴)
𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
𝑃2
𝑃3
¿Cuántas personas nunca han tenido un ataque al
corazón? Explica tu respuesta.
¿A cuántos alumnos no les gusta el ping-pong?
Explica tu respuesta.
Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que fume? Explica tu respuesta e
indica las operaciones que realizas para responder.
Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que la persona ha tenido un ataque al
corazón? Explica tu respuesta e indica las
operaciones que realizas para responder.
Si elegimos al azar uno de estos alumnos, ¿cuál es la
probabilidad de que le guste el ping-pong? Explica
tu respuesta e indica las operaciones que realizas
para responder.
Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que fume y no tenga molestias
respiratorias? Explica tu respuesta e indica las
operaciones que realizas para responder.
Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de ser mayor de 55 años y, al mismo
tiempo haber tenido un ataque al corazón? Explica tu
respuesta e indica las operaciones que realizas para
responder.
Si elegimos al azar uno de estos alumnos, ¿cuál es la
probabilidad de que sea una chica y además le guste
el ping-pong? Explica tu respuesta e indica las
operaciones que realizas para responder.
Si la persona seleccionada no tiene molestias
respiratorias, ¿cuál es la probabilidad de que fume?
Explica tu respuesta e indica las operaciones que
realizas para responder.
Si la persona seleccionada es mayor de 55 años,
¿cuál es la probabilidad de que la persona ha tenido
un ataque al corazón? Explica tu respuesta e indica
las operaciones que realizas para responder.
Si el alumno elegido es una chica, ¿cuál es la
probabilidad de que le guste el ping-pong? Explica
tu respuesta e indica las operaciones que realizas
para responder.
Respuesta
esperada
20 personas
90 personas
40 alumnos
160 + 20
= 180 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
90 + 10
= 100 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
40 + 20
= 60 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
𝑃(𝐵) =
= 55%
220
= 0,55
400
𝑃(𝐵) =
= 50%
100
= 0,5
200
120
= 0,66
180
= 66,6%
𝑃(𝐵) =
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
40
=
= 0,1
400
= 10%
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
80
=
= 0,4
200
= 40%
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
40
=
= 0,222
180
= 22,2%
𝑃(𝐵 | 𝑛𝑜 𝐴) =
= 0,2 = 20%
40
200
80
90
= 0,888 = 88,8%
𝑃(𝐵 | 𝑛𝑜 𝐴) =
40
60
= 0,666 = 66,6%
𝑃(𝐵 | 𝑛𝑜 𝐴) =
Fuente: Elaboración propia.
44
La aplicación del instrumento se realizó en cada curso de Educación Media de un
colegio chileno subvencionado (de primero a cuarto medio) durante el segundo semestre del
año 2019, específicamente, en la última semana de noviembre. El tiempo que se dispuso para
la resolución del cuestionario fue de dos horas pedagógicas (45 minutos cada hora) en cada
curso. Las profesoras titulares colaboraron con la aplicación del cuestionario, fungiendo
únicamente como observadoras durante el proceso.
4.5 Procedimiento de análisis de datos
Los datos considerados para el análisis son las respuestas de los estudiantes a las cinco
tareas descritas anteriormente. El procedimiento de análisis de datos se realizó considerando
los siguientes pasos:
I.
Escaneo. Se escanearon las respuestas de los estudiantes con el propósito de
ordenarlas por problema y tarea.
Análisis A. Se analizaron las respuestas de los estudiantes a las tareas 𝑡1 y 𝑡2 ,
II.
identificando el dominio, o no dominio, de los niveles 1 y 2 de Curcio, leer los
datos y leer dentro de los datos, respectivamente.
Análisis B. Se analizaron las respuestas de los estudiantes a las tareas 𝑡3 , 𝑡4 y 𝑡5 ,
III.
identificando la estrategia utilizada para el cálculo correcto de las probabilidades,
así como los conflictos semióticos que presentan.
IV.
Resultados. Se elaboraron tablas de frecuencias con el registro de los datos
obtenidos a partir del análisis.
Cabe señalar que la fiabilidad de los pasos I y II se aseguró mediante la comparación
de los resultados del análisis independiente por el profesor patrocinante y mi persona; en caso
de desacuerdo, se analizó nuevamente hasta llegar a un consenso. A continuación, se
presentan los resultados del análisis de los datos, categorizando las respuestas de los
estudiantes y presentando una descripción del porqué de su categorización.
45
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS
5.1 Introducción
En este capítulo presentamos el análisis de las respuestas proporcionadas por los
estudiantes a las dos tareas de lectura de datos y a las tres correspondientes al cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada, de cada uno de los problemas planteados en
nuestro cuestionario de investigación. Para cada tarea se revisan los resultados realizando un
análisis comparativo por curso escolar.
5.2 Resultados sobre la lectura de tablas de doble entrada
5.2.1 Tarea 1. Leer los datos de la tabla
La Tarea 1 (ver Figura 10) de cada uno de los problemas del estudio, está relacionada
con la lectura literal de un dato (nivel 1 de Curcio, leer los datos) de la tabla de doble entrada.
Se esperaba que los estudiantes proporcionaran la frecuencia absoluta doble solicitada.
Figura 10. Tarea 1 de cada problema planteado en nuestro estudio
Para el análisis de las respuestas de los estudiantes a la tarea 1 se optó por tres
categorías:
a) Dominio. Son todas aquellas respuestas en donde se evidencia el dominio del nivel 1
de lectura.
b) No dominio. Son todas aquellas respuestas erróneas, por lo que no se evidencia el
dominio en el nivel 1 de lectura.
c) Sin respuesta. No se aborda la tarea; se deja el espacio de la respuesta en blanco.
A continuación, en la Tabla 7 se presentan algunas respuestas de los estudiantes a la
tarea 1, que exige el nivel 1 de lectura, clasificadas de acuerdo con las categorías antes
señaladas, seguida de una breve explicación sobre esta clasificación.
46
Tabla 7.
Algunas respuestas de los estudiantes, clasificadas según dominio, o no dominio, de nivel 1 de
lectura
Categoría
Repuesta del estudiante/ Descripción(D)
𝑃2 , 𝑡1 . Estudiante 22, primero medio.
Dominio
D: Presenta la frecuencia absoluta doble solicitada
𝑃2 , 𝑡1 . Estudiante 18, primero medio.
Confunde
𝑛(𝐴 ∩ 𝑛𝑜 𝐵)
con 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
No
dominio
D: Presenta confusión entre frecuencias absolutas dobles.
𝑃1 , 𝑡1 . Estudiante 22, tercero medio.
Confunde
𝑛(𝐴 ∩ 𝑛𝑜 𝐵)
con 𝑛(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝑛𝑜 𝐵)
D: Presenta confusión entre frecuencias absolutas dobles.
Fuente: elaboración propia.
Enseguida se presenta, en la Tabla 8, la distribución de las frecuencias relativas
porcentuales de las respuestas de los estudiantes, clasificadas de acuerdo con el dominio o
no dominio del nivel leer los datos, y la ausencia de respuesta, por grado escolar.
Tabla 8.
Porcentaje de dominio del nivel 1 de lectura, leer los datos, por curso
Problema
Curso
Dominio
𝑃1
1°
96
2°
100
3°
85,7
4°
92,9
Confunde
𝑛(𝐴 ∩
𝑛𝑜 𝐵)
con
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
No
Confunde
dominio
𝑛(𝐴 ∩
𝑛𝑜 𝐵)
14,3
7,1
con
𝑛(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝑛𝑜 𝐵)
Sin respuesta
4
Nota: 1° (n=25), 2° (n=22), 3° (n=14), 4° (n=14)
1°
80
2°
91
𝑃2
3°
78,6
4°
92,9
12
9
21,4
7,1
8
𝑃3
1°
96
4
2°
100
3°
100
4°
92,9
1°
90,7
General
2°
3°
97 88,1
4°
92,9
7,1
4
3
7,1
4,7
4,8
2,4
5,3
Fuente: elaboración propia.
47
Como se puede observar, la mayoría de las respuestas de los estudiantes a la tarea 1,
asociada a la exigencia de la lectura literal de un dato, se clasifican en la categoría de dominio
(90,7%, 97%, 88,1% y 92,9%, por grado escolar, respectivamente). Esta tarea se puede
considerar como lograda por estudiantes de Educación Media, independientemente del grado
escolar, es decir, muestran un dominio del nivel 1 de lectura. Cabe señalar que, tercero medio
es el curso que presenta mayor porcentaje de respuestas erradas (categoría no dominio),
correspondiente al 11,9% de los estudiantes.
Además, podemos observar que en el problema 2 se presenta la mayor proporción de
no dominio al confundir 𝑛(𝐴 ∩ 𝑛𝑜 𝐵) con 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵), y en el problema 1 al confundir 𝑛(𝐴 ∩
𝑛𝑜 𝐵) con 𝑛(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝑛𝑜 𝐵), esto nos sugiere la existencia de variables, como el contexto,
que influyen en la lectura literal de un dato en la tabla de doble entrada.
5.2.2 Tarea 2. Leer entre los datos de la tabla
En la Figura 11 se presenta la Tarea 2 de cada uno de los problemas del estudio, la
cual está relacionada con la lectura de un dato que no se encuentra representado de manera
explícita en la tabla de doble entrada (nivel 2 de Curcio, leer entre los datos). Se esperaba
que los estudiantes proporcionaran la frecuencia absoluta marginal solicitada, así como
indicar la aplicación del algoritmo de la suma.
Figura 11. Tarea 2 de cada problema planteado en nuestro estudio
Para el análisis de las respuestas de los estudiantes a la tarea 2 se consideraron por
tres categorías:
a) Dominio. Son todas aquellas respuestas en donde se evidencia el dominio del nivel 2
de lectura.
48
b) Dominio parcial. Son todas aquellas respuestas en donde se evidencia el dato
solicitado, dominio del nivel 2 de lectura, pero no presentan explicaciones formales
aritméticas y/o deductivas; o bien, no proporcionan la respuesta esperada dado que
muestran errores de cálculo en el algoritmo de la suma.
c) No dominio. Son todas aquellas respuestas erróneas, por lo que no se evidencia el
dominio en el nivel 2 de lectura.
d) Sin respuesta. No se aborda la tarea; se deja el espacio de la respuesta en blanco.
En la Tabla 9 se muestran algunas respuestas de los estudiantes a la tarea 2, que exige
el nivel 2 de lectura, clasificadas de acuerdo con las categorías señaladas anteriormente,
acompañadas de una breve explicación sobre esta clasificación.
Tabla 9.
Algunas respuestas de los estudiantes, clasificadas según dominio, dominio parcial o no dominio, de
nivel 2 de lectura
Categoría
Repuesta del estudiante / Descripción (D)
𝑃1 , 𝑡2 . Estudiante 4, cuarto medio.
Dominio
D: Presenta la frecuencia absoluta marginal solicitada, así como una
explicación formal aritmética.
𝑃3 , 𝑡2 . Estudiante 2, primero medio.
No se indica la
suma
D: Presenta la frecuencia absoluta marginal solicitada, pero no da una
explicación.
𝑃3 , 𝑡2 . Estudiante 8, tercero medio.
Dominio parcial
Error de cálculo
D: Presenta el algoritmo de la suma, pero no entrega la frecuencia
absoluta marginal solicitada.
𝑃3 , 𝑡2 . Estudiante 8, segundo medio.
Confunde 𝑛(𝑛𝑜 𝐵)
con 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
No dominio
Confunde 𝑛(𝑛𝑜 𝐵)
con 𝑛(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝑛𝑜 𝐵)
D: Presenta confusión entre la frecuencia absoluta marginal solicitada
con una frecuencia absoluta doble.
𝑃2 , 𝑡2 . Estudiante 4, cuarto medio.
49
D: Presenta confusión entre la frecuencia absoluta marginal solicitada
con una frecuencia absoluta doble.
𝑃1 , 𝑡2 . Estudiante 6, tercero medio.
Confunde 𝑛(𝑛𝑜 𝐵)
con 𝑛(𝐴 ∩ 𝑛𝑜 𝐵)
D: Presenta confusión entre la frecuencia absoluta marginal solicitada
con una frecuencia absoluta doble
Fuente: elaboración propia.
A continuación, en la Tabla 10 se presenta la distribución de las frecuencias relativas
porcentuales de las respuestas de los estudiantes, clasificadas de acuerdo con el dominio,
dominio parcial o no dominio del nivel leer entre los datos, y sin respuesta, por grado escolar.
Tabla 10.
Porcentaje de dominio del nivel 2 de lectura, leer entre los datos, por curso
𝑃1
Problema
Curso
Dominio
Dominio
parcial
No
dominio
No se
indica la
suma
Error de
cálculo
Confunde
𝑛(𝐵)
con 𝑛(𝐴 ∩
𝐵)
Confunde
𝑛(𝐵)
con
𝑛(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝑛𝑜 𝐵)
Confunde
𝑛(𝐵)
con
𝑛(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝐵)
𝑃2
𝑃3
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
General
2°
3°
4°
60
54,5
78,6
71,4
56
54,5
57,1
64,3
48
50
42,9
42,9
54,7
53
59,5
59,5
40
41
14,3
28,6
40
45,5
42,9
28,6
48
41
50
57,1
42,7
42,5
35,7
38,1
4,5
7,1
1,5
2,4
4,5
4,5
1,5
7,1
1,5
7,1
Sin respuesta
Nota: 1° (n=25), 2° (n=22), 3° (n=14), 4° (n=14)
2,4
2,4
4
4
2,6
Fuente: elaboración propia.
Como se observa, la mayoría de las respuestas de los estudiantes a la tarea 2, asociada
a la exigencia de la lectura de un dato que no se encuentra representado explícitamente en la
tabla, se clasifican en la categoría de dominio (54,7%, 53%, 59,5% y 59,5%, por grado
escolar, respectivamente). Además, se evidencia un porcentaje alto en las respuestas
categorizadas como dominio parcial al proporcionar el dato solicitado, pero sin presentar
explicación formal o deductiva de la solución (42,7%, 42,5%, 35,7% y 38,1%, por grado
escolar, respectivamente); a su vez, algunos estudiantes presentan errores en sus cálculos
50
(1,5% y 2,4% de 2° y 3° medio, respectivamente). A pesar de ello, esta tarea se puede
considerar como lograda por estudiantes de Educación Media, independientemente del grado
escolar, es decir, muestran dominio del nivel 2 de lectura. Al comparar los resultados por
grado escolar, se observa que los estudiantes de 2° medio muestran la mayor proporción de
conflictos semióticos, al confundir la frecuencia absoluta marginal solicitada con una
frecuencia absoluta doble (4,5%), y el 2,6% de 1° medio no abordan la tarea.
5.3 Resultados sobre el cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
5.3.1 Tarea 3. Cálculo de probabilidad simple
La tarea 3 solicitada en cada uno de los problemas del estudio (ver Figura 12), está
relacionada con el cálculo de una probabilidad simple por fila, a partir de los datos de la tabla
de doble entrada. Se esperaba que los estudiantes calcularan la probabilidad de que ocurra B,
𝑃(𝐵), a partir de la regla de Laplace o el cálculo de la frecuencia relativa marginal por fila,
𝑎+𝑏
haciendo uso del algoritmo 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.
Figura 12. Tarea 3 de cada problema planteado en nuestro estudio
Para el análisis de las respuestas que proporcionaron los estudiantes a la tarea 3 se
consideraron las siguientes categorías:
a) Correctas. Son todas aquellas respuestas que presentan el valor de la probabilidad
simple por fila solicitada, junto con la explicación formal aritmética
(procedimiento) y/o deductivas; esto implica que el estudiante ha sido capaz de
leer correctamente la tabla de doble entrada, evidenciando un nivel de lectura
adecuado (leer entre los datos).
51
b) Parcialmente correcta. Son todas aquellas respuestas en donde se evidencia el
valor de la probabilidad solicitada, pero no presentan explicaciones formales
aritméticas y/o deductivas; o bien, proporcionan una respuesta distinta a la
𝑎+𝑏
esperada, dado que muestran errores de cálculo en el algoritmo 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.
c) Incorrectas. Son todas aquellas respuestas erróneas evidenciando confusiones
entre probabilidades, o bien, proporcionan probabilidades intuitivas1 o
subjetivas2.
d) Sin respuesta. No se aborda la tarea; se deja el espacio de la respuesta en blanco.
En la Tabla 11 se presentan algunas respuestas de los estudiantes a la tarea 3, que
exige el cálculo de la probabilidad de un evento simple (probabilidad simple), clasificadas
de acuerdo con las categorías antes señaladas, seguidas de una breve explicación sobre esta
clasificación.
Tabla 11.
Algunas respuestas de los estudiantes a la tarea 3, clasificadas como correctas, parcialmente
correctas e incorrectas
Categoría
Repuesta del estudiante/ Descripción(D)
𝑃3 , 𝑡3 . Estudiante 8, tercero medio.
Regla de
Laplace
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad
simple solicitada, haciendo uso de la regla de Laplace; es decir, número de casos
favorables (frecuencia absoluta marginal por fila) entre número de casos totales.
𝑃3 , 𝑡3 . Estudiante 5, tercero medio.
Correcta
Regla de tres
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad
simple solicitada, haciendo uso de la regla de tres.
𝑃2 , 𝑡3 . Estudiante 5, primero medio.
Proporcionalidad
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad
simple solicitada, haciendo uso de la proporcionalidad de cantidades.
1
“frases o expresiones coloquiales para cuantificar los sucesos inciertos y expresar su grado de creencia en
ellos” (Batanero, 2005, p. 253).
2
El estudiante se basa en la experiencia individual (grado de creencia personal); otorga un valor a la
probabilidad del evento de acuerdo con su nivel de creencia, es decir, una valoración personal (Batanero,
2005).
52
𝑃1 , 𝑡3 . Estudiante 19, segundo medio.
Regla de
tres/Regla de
Laplace
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad
simple solicitada, haciendo uso tanto de la regla de Laplace como la regla de tres.
𝑃3 , 𝑡3 . Estudiante 14, segundo medio.
Error de cálculo
Parcialmente
correcta
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad
simple solicitada, haciendo uso de la regla de tres, pero realiza de manera errónea
los cálculos.
𝑃2 , 𝑡3 . Estudiante 16, cuarto medio.
No presenta
cálculos
matemáticos
D: Presenta el valor de la probabilidad simple solicitada, pero no muestra evidencia
de explicaciones formales aritméticas y/o deductivas.
𝑃2 , 𝑡3 . Estudiante 1, cuarto medio.
Supone
equiprobabilidad
D: Presenta el sesgo de la equiprobabilidad al asignar la misma probabilidad a cada
evento ligado a las frecuencias dobles.
𝑃2 , 𝑡3 . Estudiante 21, segundo medio.
Confusión casos
favorables con
casos totales
D: Invierte el número de casos favorables con casos totales, y se presenta confusión
entre la frecuencia absoluta marginal solicitada con una frecuencia absoluta doble.
𝑃2 , 𝑡3 . Estudiante 17, primero medio.
Incorrecta
Confusión 𝑃(𝐵)
con 𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝐵)
D: Se calcula una probabilidad conjunta en lugar de la probabilidad simple
solicitada, es decir, se presenta confusión entre estos conceptos.
𝑃1 , 𝑡3 . Estudiante 17, cuarto medio.
No
reconocimiento
del número de
casos totales
D: Se reconoce la frecuencia absoluta marginal requerida para el cálculo de la
probabilidad simple solicitada; pero no se identifica el número de casos totales,
realizando cálculos innecesarios.
𝑃1 , 𝑡3 . Estudiante 6, segundo medio.
Probabilidad
subjetiva
D: Se presenta una probabilidad bajo el enfoque subjetivo.
53
𝑃1 , 𝑡3 . Estudiante 1, primero medio.
Probabilidad
intuitiva
D: Se presenta una probabilidad bajo el enfoque intuitivo.
𝑃3 , 𝑡3 . Estudiante 15, segundo medio
Se señala un
dato que no
corresponde con
los de la tabla
D: Se trabaja con un dato que no se presenta en la tabla de doble entrada del
problema.
Fuente: elaboración propia.
En seguida se presenta la distribución de las frecuencias relativas porcentuales de las
respuestas de los estudiantes a la tarea 3 (ver Tabla 12), categorizadas como correctas,
parcialmente correctas, e incorrectas, y sin respuesta, por grado escolar.
Tabla 12.
Porcentaje de respuestas por curso, correspondiente al cálculo de la probabilidad simple 𝑃(𝐵).
𝑃1
Problema
Curso
Correcta
Parcialmente
correcta
Incorrecta
Regla de
Laplace
Regla de tres
Proporcionalidad
Regla de
tres/Regla de
Laplace
Errores de
cálculo
No presenta
cálculos
matemáticos
Supone
equiprobabilidad
Confusión casos
favorables con
casos posibles
Confusión 𝑃(𝐵)
con 𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝐵)
No
reconocimiento
del número de
casos totales
Probabilidad
subjetiva
Probabilidad
intuitiva
Se señala un
dato que no
corresponde con
los de la tabla
𝑃2
𝑃3
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
General
2°
3°
4°
56
36,4
64,3
57,2
48
40,9
57,1
57,2
52
36,4
71,4
64,3
52
37,9
64,3
59,6
16
50
28,6
14,3
16
12
45,5
42,9
14,3
14,3
12
31,9
21,5
14,3
14,7
4
42,5
31
14,3
4,7
4,5
7,1
1,5
2,4
4
7,1
12
9,1
7,1
13,7
7,1
7,1
7,1
7,1
4,5
8
8
Sin respuesta
Nota: 1° (n=25), 2° (n=22), 3° (n=14), 4° (n=14)
4,7
3
2,4
7,1
4,5
3
2,4
1,3
7,1
9,1
4,6
7,1
4
8
5,3
7,1
4
4
4
8
12
4,5
4,7
5,3
4,5
6,7
4
4,5
8
4,5
7,1
1,3
1,5
9,3
1,5
2,4
Fuente: elaboración propia.
54
Como se observa, la mayoría de las respuestas de los estudiantes a la tarea 3, asociada
a la exigencia del cálculo de una probabilidad simple, se clasifican en la categoría correcta
(70,7%, 81,9%, 97,7% y 76,6%, por grado escolar, respectivamente), siendo el curso de 3°
medio con el mayor porcentaje; cabe señalar que las estrategias más utilizadas, de manera
independiente, fueron la regla de Laplace en 1°, 3° y 4° medio (52%, 64,3% y 59,6%,
respectivamente) y la regla de tres en 2° medio (42,5%). En el caso de las respuestas
parcialmente correctas, en 1°, 2° y 4° medio se evidencia la mayor proporción de ellas con
errores de cálculo (5,3%, 4,6% y 4,7%, respectivamente), es decir, se presenta
adecuadamente la estrategia de solución, pero se presentan falencias en el procedimiento.
Finalmente, en el caso de las respuestas incorrectas, los estudiantes de 1° medio presentaron
la mayor proporción de ellas, al proporcionar la probabilidad bajo el enfoque intuitivo y
subjetivo.
5.3.2 Tarea 4. Cálculo de probabilidad conjunta
En la Figura 13, se muestra la tarea 4 solicitada en cada uno de los problemas del
estudio. Esta tarea está relacionada con el cálculo de una probabilidad conjunta; se esperaba
que los estudiantes calcularan la probabilidad de que ocurra simultáneamente 𝑛𝑜 𝐴 y 𝐵, a
𝑏
partir de la regla de Laplace o el cálculo de la frecuencia relativa doble 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.
Figura 13. Tarea 4 de cada problema planteado en nuestro estudio
Para el análisis de las respuestas que proporcionaron los estudiantes ante la tarea 4,
se establecieron las siguientes categorías:
a) Correctas. Son todas aquellas respuestas que presentan el valor de la probabilidad
conjunta solicitada, junto con la explicación formal aritmética (procedimiento)
55
y/o deductivas; esto implica que el estudiante ha sido capaz de leer correctamente
la tabla de doble entrada, evidenciando un nivel de lectura adecuado (leer entre
los datos).
b) Parcialmente correcta. Son todas aquellas respuestas que presentan el valor de
la probabilidad solicitada, pero no se muestran explicaciones formales aritméticas
y/o deductivas; o bien, proporcionan una respuesta distinta a la esperada, debido
𝑏
a errores de cálculo en el algoritmo 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.
c) Incorrectas. Son todas aquellas respuestas erróneas evidenciando confusiones
entre probabilidades, o bien, proporcionan probabilidades intuitivas o subjetivas.
d) Sin respuesta. No se aborda la tarea; se deja el espacio de la respuesta en blanco.
A continuación, en la Tabla 13 se presentan algunas respuestas de los estudiantes a la
tarea 4, que exige el cálculo de la probabilidad conjunta, clasificadas de acuerdo con las
categorías antes señaladas, seguidas de una breve explicación sobre esta clasificación.
Tabla 13.
Algunas respuestas de los estudiantes a la tarea 4, clasificadas como correctas, parcialmente
correctas e incorrectas
Categoría
Correcta
Repuesta del estudiante/ Descripción(D)
𝑃3 , 𝑡4 . Estudiante 20, cuarto medio.
Regla de Laplace
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad
conjunta solicitada, haciendo uso de la regla de Laplace; es decir, identifica
número de casos favorables (frecuencia doble) entre número de casos totales.
𝑃1 , 𝑡4 . Estudiante 10, segundo medio.
Regla de tres
D: Se hace uso de la regla de tres para calcular correctamente la probabilidad
conjunta (frecuencia relativa doble) solicitada.
𝑃1 , 𝑡4 . Estudiante 3, primero medio.
Regla de tres y
regla de Laplace
Errores de cálculo
D: Se hace uso tanto de la regla de Laplace como de la regla de tres, para
calcular correctamente la probabilidad conjunta (frecuencia relativa doble)
solicitada.
𝑃3 , 𝑡4 . Estudiante 4, cuarto medio.
56
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad
conjunta solicitada, haciendo uso de la regla de Laplace, pero presenta errores
al simplificar las cantidades.
𝑃1 , 𝑡4 . Estudiante 6, segundo medio.
Parcialmente
correcta
No
presenta
cálculos
matemáticos
D: Presenta el valor de la probabilidad conjunta solicitada, pero no muestra
evidencia de explicaciones formales aritméticas y/o deductivas.
𝑃1 , 𝑡4 . Estudiante 19, cuarto medio.
Confunde
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝐵)
con
D: Se calcula una probabilidad condicional en lugar de la probabilidad
conjunta solicitada, es decir, se presenta confusión entre estos conceptos.
𝑃3 , 𝑡4 . Estudiante 1, cuarto medio.
Confunde
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵│𝑛𝑜 𝐴)
con
D: Se calcula una probabilidad condicional en lugar de la probabilidad
conjunta solicitada, es decir, se presenta confusión entre estos conceptos.
𝑃3 , 𝑡4 . Estudiante 24, primero medio.
Confunde
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
con
Confunde
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
con
D: Se calcula una probabilidad simple en lugar de la probabilidad conjunta
solicitada, es decir, se presenta confusión entre estos conceptos.
𝑃1 , 𝑡4 . Estudiante 17, segundo medio.
Incorrecta
D: Se calcula una probabilidad simple en lugar de la probabilidad conjunta
solicitada, es decir, se presenta confusión entre estos conceptos.
𝑃1 , 𝑡4 . Estudiante 24, primero medio.
Confunde
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) con
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
D: Se calcula una probabilidad conjunta distinta a la solicitada, es decir, es
𝑏
𝑎
decir, confunde la frecuencia relativa doble
con
.
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
𝑃2 , 𝑡4 . Estudiante 24, primero medio.
Confunde
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) con
𝑃(𝐴 ∩ 𝑛𝑜 𝐵)
D: Se calcula una probabilidad conjunta distinta a la solicitada, es decir, es
𝑏
𝑐
decir, confunde la frecuencia relativa doble
con
.
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
57
𝑃1 , 𝑡4 . Estudiante 5, primero medio
Confusión
de
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) con
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵)
D: Se calcula una probabilidad a partir del cociente entre la probabilidad
solicitada y otra probabilidad conjunta de la tabla de doble entrada del
problema, en lugar de la probabilidad conjunta solicitada.
𝑃3 , 𝑡4 . Estudiante 17, primero medio.
Confusión
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) con
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) +
𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
D: Se proporciona una probabilidad a partir de la suma de la probabilidad
conjunta solicitada y otra probabilidad simple, en lugar de sólo calcular la
probabilidad conjunta requerida.
𝑃2 , 𝑡4 . Estudiante 17, primero medio.
Confusión
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) con
𝑃(𝐴 ∩ 𝑛𝑜𝐵) +
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
D: Se proporciona una probabilidad a partir de la suma de la probabilidad
conjunta solicitada y otra probabilidad conjunta, en lugar de sólo calcular la
probabilidad conjunta requerida.
𝑃2 , 𝑡4 . Estudiante 15, primero medio.
Probabilidad
subjetiva
D: Se presenta una probabilidad bajo el enfoque subjetivo.
𝑃3 , 𝑡4 . Estudiante 8, primero medio
Se utiliza un dato
que no se presenta
en la tabla
D: Trabaja con un dato que no se presenta en la tabla de doble entrada del
problema.
Fuente: elaboración propia.
En la Tabla 14 se presenta la distribución de las frecuencias relativas porcentuales de
las respuestas de los estudiantes a la tarea 4, categorizadas como correctas, parcialmente
correctas, e incorrectas, y sin respuesta, por grado escolar.
Tabla 14.
Porcentaje de respuestas por curso, correspondiente al cálculo de la probabilidad conjunta
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃1
Problema
Curso
Correcta
Regla de Laplace
Regla de tres
Regla de tres y regla de
Laplace
𝑃2
𝑃3
General
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
36
36,4
50
50
44
36,4
57,1
50
44
40,9
64,3
57,1
41,3
37,9
57,1
52,4
12
41
42,9
28,6
12
45,5
35,7
21,4
8
31,8
28,6
10,7
39,4
35,7
16,7
4
1,3
58
Parcialmente
correcta
Incorrecta
Errores de cálculo
No presenta cálculos
matemáticos
Confunde 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩
𝐵) con 𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝐵)
Confunde 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩
𝐵) con 𝑃(𝐵│𝑛𝑜 𝐴)
Confunde 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
con 𝑃(𝐵)
Confunde 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
con 𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
Confunde 𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝐵) con 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Confunde 𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩
𝐵) con 𝑃(𝐴 ∩ 𝑛𝑜 𝐵)
Confusión de
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) con
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
8
9,1
4,5
8
4,5
7,1
7,1
14,3
4,5
14,3
8
14,3
7,1
7,1
7,1
4
2,7
3
2,7
1,5
4,8
2,7
1,5
11,9
1,5
4,8
4,8
1,3
9,1
3
4
1,3
8
4,5
2,7
4
1,5
1,3
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵)
Confusión 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩
𝐵) con 𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵) +
𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
Confusión 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
con 𝑃(𝐴 ∩ 𝑛𝑜𝐵) +
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
Probabilidad subjetiva
Se utiliza un dato que
no se presenta en la
tabla
4
1,3
4
4
20
Sin respuesta
Nota: 1° (n=25), 2° (n=22), 3° (n=14), 4° (n=14)
1,3
8
7,1
4,5
24
9,1
7,1
4
4,5
4
4,5
24
9,1
14,3
7,1
5,3
1,5
1,3
3
22,7
6,1
9,5
2,4
Fuente: elaboración propia
Como podemos observar, la mayoría de las respuestas de los estudiantes a la tarea 4,
asociada a la exigencia del cálculo de una probabilidad conjunta, se clasifican en la categoría
correcta (53,3%, 77,3%, 92,8% y 69,1%, por grado escolar, respectivamente), siendo el curso
de 3° medio con el mayor porcentaje. Las estrategias más usadas por los estudiantes, de
manera independiente, fueron la regla de Laplace en 1°, 3° y 4° medio (41,3%, 57,1% y
52,4%, respectivamente) y la regla de tres en 2° medio (39,4%). Con respecto a las respuestas
parcialmente correctas, en 1°, 2° y 4° medio se presenta la mayor proporción de ellas con
errores de cálculo (2,7%, 3% y 4,8%, respectivamente), es decir, se exhibe la estrategia de
solución, pero se presentan falencias en el procedimiento. Por último, en el caso de las
respuestas incorrectas, los estudiantes de 4° medio presentaron la mayor proporción de ellas,
al confundir la probabilidad conjunta solicitada con una condicional (16,7%) y al utilizar un
dato que no se presenta en la tabla de doble entrada (9,5%); así como los de 1° medio al
entregar una probabilidad bajo el enfoque subjetivo (5,3%). Cabe señalar que en esta tarea
aumenta, con respecto a la anterior, el número de estudiantes que deja el espacio de la
respuesta en blanco.
59
5.3.3 Tarea 5. Cálculo de probabilidad condicional
La tarea 5 solicitada en cada uno de los problemas del estudio (ver Figura 14), está
relacionada con el cálculo de una probabilidad condicional por columna, a partir de los datos
de la tabla de doble entrada. Se esperaba que los estudiantes calcularan la probabilidad de
que ocurra 𝐵, sabiendo que no ha ocurrido 𝐴, 𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴), utilizando la regla de Laplace o
𝑏
mediante el cálculo de la frecuencia relativa condicional por columna 𝑏+𝑑.
Figura 14. Tarea 5 de cada problema planteado en nuestro estudio
Para el análisis de las respuestas que proporcionaron los estudiantes a la tarea 5 se
consideraron las siguientes categorías:
a) Correctas. Son todas aquellas respuestas que presentan el valor de la probabilidad
condicional solicitada, junto con la explicación formal aritmética (procedimiento)
y/o deductivas; esto implica que el estudiante ha sido capaz de leer correctamente
la tabla de doble entrada, evidenciando un nivel de lectura adecuado (leer entre
los datos).
b) Parcialmente correcta. Son todas aquellas respuestas en donde se presenta el
valor de la probabilidad solicitada, pero no muestran explicaciones formales
aritméticas y/o deductivas; o bien, proporcionan una respuesta distinta a la
𝑏
esperada, dado que manifiestan errores de cálculo en el algoritmo 𝑏+𝑑.
c) Incorrectas. Son todas aquellas respuestas erróneas evidenciando confusiones
entre probabilidades, o bien, proporcionan probabilidades intuitivas o subjetivas.
d) Sin respuesta. No se aborda la tarea; se deja el espacio de la respuesta en blanco.
60
A continuación, en la Tabla 15 se presentan algunas respuestas de los estudiantes a la
tarea 5, clasificadas de acuerdo con las categorías antes señaladas, seguidas de una breve
explicación sobre esta clasificación.
Tabla 15.
Algunas respuestas de los estudiantes, correspondiente a la tarea 5.
Categoría
Repuesta del estudiante/ Descripción(D)
𝑃1 , 𝑡5 . Estudiante 7, tercero medio.
Regla de
Laplace
Correcta
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad condicional
solicitada, haciendo uso de la regla de Laplace; es decir, identifica número de casos
favorables (frecuencia doble) entre número de casos posibles (frecuencia marginal por
columna).
𝑃2 , 𝑡5 . Estudiante 10, primero medio.
Regla de tres
D: Se hace uso de la regla de tres para calcular correctamente la probabilidad condicional
(frecuencia relativa condicional por columna) solicitada.
𝑃1 , 𝑡5 . Estudiante 17, cuarto medio.
Errores de
cálculo
D: Lee los datos de la tabla de doble entrada para el cálculo de la probabilidad condicional
solicitada, haciendo uso de la regla de tres, pero realiza los cálculos de manera errónea.
𝑃2 , 𝑡5 . Estudiante 13, tercero medio.
Parcialmente
correcta
No presenta
cálculos
matemáticos
D: Presenta el valor de la probabilidad condicional solicitada, pero no muestra evidencia
de explicaciones formales aritméticas y/o deductivas.
𝑃3 , 𝑡5 . Estudiante 22, primero medio.
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴)
D: Se presenta el cálculo de una probabilidad simple en lugar de la probabilidad
condicional solicitada, es decir, se presenta confusión entre estos conceptos.
𝑃2 , 𝑡5 . Estudiante 1, segundo medio.
Incorrecta
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝐵)
D: Se presenta confusión entre probabilidades condicionales (falacia de la condicional
transpuesta), es decir, confunde 𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) (frecuencia relativa condicional por columna)
con 𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝐵) (frecuencia relativa condicional por fila).
61
𝑃1 , 𝑡5 . Estudiante 15, segundo medio.
Confunde
𝑃 (𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃 ( 𝐵 ∩ 𝑛𝑜𝐴)
D: Se presenta una probabilidad conjunta en lugar de la condicional solicitada.
𝑃3 , 𝑡5 . Estudiante 16, segundo medio.
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝑛𝑜𝐵)
D: Se presenta una probabilidad conjunta en lugar de la probabilidad condicional
solicitada.
𝑃1 , 𝑡5 . Estudiante 8, primero medio.
Confunde P
(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝐵│𝐴)
D: Se presenta confusión entre probabilidades condicionales, es decir, se confunden las
𝑏
𝑎
frecuencias relativas condicionales por columna, es decir, se confunde
con
.
𝑏+𝑑
𝑎+𝑐
𝑃1 , 𝑡5 . Estudiante 11, tercero medio.
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝑛𝑜𝐵)
D: Se presenta confusión entre probabilidades condicionales, es decir, se confunden las
𝑏
frecuencias relativas condicionales por columna
con la frecuencia relativa condicional
por fila
𝑑
𝑐+𝑑
𝑏+𝑐
.
𝑃1 , 𝑡5 . Estudiante 19, cuarto medio.
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝐵)
⁄𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
Confunde
probabilidades
con frecuencias
absolutas
D: Se calcula una probabilidad a partir del cociente entre las probabilidades de eventos
simples, en lugar de la probabilidad condicional solicitada.
𝑃3 , 𝑡5 . Estudiante 15, cuarto medio.
D: Se presentan datos de la tabla en lugar de la probabilidad condicional solicitada.
𝑃2 , 𝑡5 . Estudiante 12, primero medio.
Probabilidad
subjetiva
D: Se presenta una probabilidad bajo el enfoque subjetivo.
𝑃1 , 𝑡5 . Estudiante 4, cuarto medio.
Se utiliza un
dato que no se
presenta en la
tabla
D: Se trabaja con un dato que no se presenta en la tabla de doble entrada del problema
planteado.
Fuente: elaboración propia.
62
Enseguida se presenta la distribución de las frecuencias relativas porcentuales de las
respuestas de los estudiantes a la tarea 5 (ver Tabla 16), categorizadas como correctas,
parcialmente correctas, e incorrectas, y sin respuesta, por grado escolar.
Tabla 16.
Porcentaje de respuestas por curso, correspondiente al cálculo de la probabilidad condicional
𝑃(𝐵│𝑛𝑜 𝐴)
𝑃1
Problema
Curso
Correcta
Parcialmente
correcta
Incorrecta
Regla de Laplace
Regla de tres
Errores de cálculo
No presenta
cálculos
matemáticos
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴)
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝐵)
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝐵 ∩ 𝑛𝑜𝐴)
Confunde
𝑃 (𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝑛𝑜𝐵)
Confunde
𝑃 (𝐵│𝑛𝑜 𝐴) con
𝑃(𝐵│𝐴)
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝑛𝑜𝐵)
Confunde
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con
𝑃2
𝑃3
General
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
1°
2°
3°
4°
44
22,7
42,9
42,9
40
18,2
50
64,3
40
18,2
57,1
57,1
41,3
19,7
50
54,8
8
36,4
50
21,4
8
36,4
28,6
14,3
8
36,4
28,6
14,3
8
36,4
35,7
16,7
7,1
4,5
4,5
7,1
7,1
7,1
4
4
9,1
7,1
8
13,6
35,7
7,1
12
18,2
14,3
1,5
1,5
4,8
2,7
7,6
4,8
9,3
15,2
1,3
7,1
12
4,8
4,5
4,5
2,4
1,5
8
2,6
7,1
2,4
7,1
𝑃(𝐵)
2,4
2,4
𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
Confunde
probabilidades
con frecuencias
absolutas
Probabilidad
subjetiva
Se utiliza un dato
que no se presenta
en la tabla
4
4
4
28
4,5
Sin respuesta
Nota: 1° (n=25), 2° (n=22), 3° (n=14), 4° (n=14)
21,4
4
7,1
7,1
4
9,1
4,5
24
9,1
7,1
32
22,7
7,1
1,3
7,1
4
3
2,4
1,3
1,5
2,4
28
12,1
2,4
Al analizar la tabla anterior, se observa que la mayoría de las respuestas de los
estudiantes a la tarea 5, asociada a la exigencia del cálculo de una probabilidad condicional,
se clasifican en la categoría correcta (49,3%, 56,1%, 85,7% y 71,5%, por grado escolar,
respectivamente), siendo el curso de 3° medio con el mayor porcentaje. Al igual que en las
tareas 3 y 4, las estrategias más usadas por los estudiantes fueron la regla de Laplace en 1°,
3° y 4° medio (41,3%, 50% y 54,8%, respectivamente) y la regla de tres en 2° medio (36,4%).
En cuanto a las respuestas parcialmente correctas, con errores de cálculo se presentan en 2°
63
y 4° medio (1,5% y 4,8%, respectivamente), y con ausencia de procedimientos en 2° y 3°
medio (1,5% y 4,8%, respectivamente). Finalmente, en el caso de las respuestas incorrectas,
se presentan con mayor proporción dos conflictos semióticos: 1) confusión de la probabilidad
condicional con una conjunta (9,3%, 16,7% y 2,4%, en 1°, 2° y 4°, respectivamente), y 2)
confusión entre las dos direcciones de la probabilidad condicional, es decir, confundir
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴) con 𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝐵) (2,7%, 7,6%, 4,8% y 2,4%, en 1°, 2°, 3° y 4°, respectivamente).
Además, se observa que un incremento en el número de estudiantes que deja el espacio de la
respuesta en blanco, con respecto a las tareas anteriores.
64
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES
6.1 Introducción
A continuación, en este capítulo se presentan las conclusiones generales de los aportes
de los estudiantes que se analizaron en cada una de las tareas, destacando las situaciones que
consideramos más relevantes. Enseguida, se da respuesta a la pregunta de investigación, la
cual fue formulada para guiar este estudio. Posteriormente, se presentan algunas
implicaciones a futuro y consecuencias para la enseñanza de las tablas de doble entrada, junto
con una reflexión sobre la influencia del estudio en la práctica docente.
6.2 Conclusiones generales
En este apartado se presentan las conclusiones generales obtenidas a partir de los
resultados expuestos en el capítulo 5, con el propósito de proporcionar una idea completa de
lo que se ha obtenido tanto en la lectura como en el cálculo de probabilidades en tablas de
doble entrada por estudiantes chilenos de Educación Media. También, se agregan algunos
comentarios para establecer una comparación entre los principales resultados obtenidos con
los de otras investigaciones similares.
En este estudio nos enfocamos, por un lado, en el análisis del dominio de los niveles
1 y 2 de lectura, los cuales están relacionados con la lectura de frecuencias dobles y
marginales, respectivamente, en tablas de doble entrada. En la Tabla 17 se presenta la
distribución de los promedios de los porcentajes de las respuestas de los estudiantes a las
tareas 1 y 2, clasificadas por categoría y curso. Con base en estos promedios, observamos
que la mayoría de los estudiantes de Educación Media dominan los niveles de lectura 1 (leer
los datos) y 2 (leer entre los datos), es decir, realizan la lectura literal de la frecuencia doble
en la tarea 1, y el procedimiento de la suma para determinar la frecuencia marginal por fila
en la tarea 2. Cabe señalar que, en esta última tarea, se presenta un alto porcentaje de
respuestas categorizadas como dominio parcial, ya que los estudiantes no proporcionan una
explicación formal (aritmética) o realizaban erróneamente cálculos matemáticos. Esto podría
significar una debilidad en las capacidades aritméticas, o con respecto a aspectos
65
actitudinales, en el manejo de información estadística (por ejemplo, argumentar las
soluciones).
Tabla 17.
Promedios ponderados del porcentaje de respuestas por categoría y curso, correspondientes a las
tareas de lectura de tablas de doble entrada
Tarea 1: Nivel 1. Leer los datos
Tarea 2: Nivel 2. Leer entre los datos
1°M 2°M 3°M 4°M
Categoría 1°M 2°M 3°M 4°M
𝑥̅
𝑥̅
Dominio
90,7
97
88,1 92,9
92,4
54,7
53
59,5 59,5
55,9
Dominio
42,7
44
38,1 38,1
41,4
parcial
No
4
3
11,9
7,1
5,8
3
2,4
2,4
1,8
dominio
Sin
5,3
1,8
2,6
0,9
respuesta
Fuente: elaboración propia.
Con respecto a estas tareas, nuestros resultados son similares con los obtenidos en
investigaciones realizadas con profesores y alumnos de Pedagogía en Enseñanza Básica
(Rodríguez y Sandoval, 2012), con profesoras en formación de Educación Infantil (DíazLevicoy et al., 2016; Díaz-Levicoy et al., 2019) y con estudiantes de Licenciatura en
Matemáticas y de Pedagogía en Educación Media (García-García et al., 2019).
Por otro lado, este estudio se enfocó en el análisis de las estrategias y los conflictos
semióticos que presentan los estudiantes cuando calculan probabilidades en tablas de doble
entrada. En la Tabla 18 se muestra la distribución de los promedios de los porcentajes de las
respuestas correctas de los participantes a las tareas 3, 4 y 5 (probabilidad simple, conjunta y
condicional) clasificadas por estrategia utilizada y curso.
Tabla 18.
Promedios ponderados del porcentaje de respuestas correctas por estrategia y curso,
correspondientes a las tareas de cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
Tarea 3: 𝑃(𝐵)
Estrategia
utilizada
Regla de Laplace
Regla de tres
Regla de
Laplace/Regla de
tres
Proporcionalidad
Totales
Tarea 4: 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
Tarea 5: 𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴)
1°M
2°M
3°M
4°M
𝑥̅
1°M
2°M
3°M
4°M
𝑥̅
1°M
2°M
3°M
4°M
𝑥̅
52
14,7
37,9
42,5
64,3
31
59,6
14,3
51,6
25,8
41,3
10,7
37,9
39,4
57,1
35,7
52,4
16,7
45,3
24,9
41,3
8
19,7
36,4
50
35,7
54,8
16,7
39,2
23,1
0,4
1,3
2,7
80,5
53,3
49,3
56.1
85,7
71,5
62,3
1,5
4
70,7
81,9
2,4
97,7
4,7
78,6
0,4
77,3
92,8
69,1
70,6
Fuente: elaboración propia.
66
Considerando los promedios, observamos que la mayoría de los estudiantes responde
correctamente las tareas 3, 4 y 5, es decir, calculan los valores de las probabilidades
solicitadas, haciendo uso de la regla de Laplace como estrategia más utilizada en los cursos
1°, 3° y 4° medio, y de la regla de tres en 2° medio. Este alto número de respuestas correctas
coincide con los resultados reportados en varias investigaciones (Díaz y De la Fuente, 2005b;
Estrada y Díaz, 2006; Estrada y Díaz, 2007).
En seguida, en la Tabla 19 se muestra la distribución de los promedios de los
porcentajes de las respuestas parcialmente correctas de los participantes a las tareas 3, 4 y 5
(probabilidad simple, conjunta y condicional) clasificadas en: 1) errores de cálculo, y 2)
ausencia de cálculos matemáticos, por curso.
Tabla 19.
Promedios ponderados del porcentaje de respuestas parcialmente correctas por curso,
correspondientes a las tareas de cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
Tarea 3: 𝑃(𝐵)
Parcialmente
correctas
Errores de
cálculo
No presenta
cálculos
matemáticos
Totales
4°M
𝑥̅
1°M
2°M
4,6
4,7
4
2,7
3
3
2,4
1,3
2,7
1,5
4,8
7,6
7,1
5,3
5,4
4,5
4,8
1°M
2°M
5,3
5,3
Tarea 4: 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
3°M
3°M
Tarea 5: 𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴)
4°M
𝑥̅
4,8
2,6
1,5
2,2
1,5
4,8
4,8
3
4,8
4,8
1°M
2°M
3°M
4°M
𝑥̅
4,8
1,3
1,3
4,8
2,6
Fuente: elaboración propia.
Con base en nuestros resultados, podemos observar que la mayor proporción de
estudiantes que presentan respuestas parcialmente correctas se debe a que cometen errores
de cálculo, es decir, identifican una estrategia de solución adecuada para calcular la
probabilidad solicitada, pero incurren en errores en las operaciones aritméticas. Este
resultado es ligeramente superior (por aproximadamente 0,3%) con respecto al reportado en
Contreras, Estrada, Díaz y Batanero (2010).
En la Tabla 20 se muestra la distribución de los promedios de los porcentajes de los
estudiantes que no responden las tres tareas de cálculo de probabilidades (probabilidad
simple, conjunta y condicional).
67
Tabla 20.
Promedios ponderados del porcentaje de estudiantes que no abordan las tareas de cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada
Tarea 3: 𝑃(𝐵)
No
responde
S/R
1°M
2°M
3°M
9,3
1,5
2,4
4°M
Tarea 4: 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
𝑥̅
1°M
2°M
3°M
4
22,7
6,1
2,4
Tarea 5: 𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴)
𝑥̅
1°M
2°M
3°M
9,8
28
12,1
2,4
4°M
4°M
𝑥̅
13,3
Fuente: elaboración propia.
Como podemos observar, los estudiantes de 4° medio responden todas las
probabilidades solicitadas, mientras que la mayor proporción que deja el espacio de la
respuesta en blanco, en las tres tareas, es el curso de 1° medio; esto sugiere un aspecto
actitudinal positivo en los estudiantes de mayor nivel. En general, las proporciones de
estudiantes que no responden a las tareas de cálculo de probabilidades son menores a las
reportadas en estudios similares (Díaz y De la Fuente, 2005b; Estrada y Díaz, 2006; Estrada
y Díaz, 2007; Contreras, Estrada, Díaz y Batanero, 2010).
Finalmente, en la Tabla 21 se exhibe la distribución de los promedios de los
porcentajes de los conflictos semióticos presentes en las respuestas de los estudiantes a las
tareas 3, 4 y 5 (probabilidad simple, conjunta y condicional).
Tabla 21.
Promedios ponderados del porcentaje de los conflictos semióticos presentes en las respuestas de
los participantes a las tareas de cálculo de probabilidades en tablas de doble entrada
Respuesta
(confunde con)
𝑃(𝐵)
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝑛𝑜𝐴)
𝑃(𝐵 ∩ 𝑛𝑜𝐴)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝑛𝑜𝐵)
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝑛𝑜𝐵)
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵│𝐴)
𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝐵)
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴)
𝑃(𝑛𝑜𝐴│𝑛𝑜𝐵)
𝑃(𝐵)
𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
Tarea 3. 𝑃(𝐵)
1°M 2°M 3°M 4°M
Tarea solicitada
Tarea 4. 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
1°M 2°M 3°M 4°M
1,3
Tarea 5. 𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴)
1°M 2°M 3°M 4°M
1,3
3
1,3
2,7
1,3
9,3
15,2
2,4
1,5
1,5
1,3
2,7
1,5
1,5
11,9
4,8
2,6
2,7
7,6
4,8
2,4
2,4
2,4
68
𝑃(𝑛𝑜 𝐴 ∩ 𝐵)
+ 𝑃(𝑛𝑜 𝐴)
𝑃(𝐴 ∩ 𝑛𝑜𝐵)
+ 𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
Frecuencias
absolutas
Supone
equiprobabilidad
Confusión casos
favorables con
casos posibles
No
reconocimiento
del número de
casos totales
Probabilidad
subjetiva
Probabilidad
intuitiva
Se señala un dato
que no
corresponde con
los de la tabla
1,3
1,3
1,3
7,1
7,1
3
2,4
4,7
5,3
4,5
5,3
1,5
1,5
1,3
3
4
3
2,4
1,3
1,5
2,4
6,7
1,3
9,5
Fuente: elaboración propia.
Como podemos observar, los conflictos semióticos con mayor proporción de
ocurrencia en las respuestas de los estudiantes fueron: en la tarea 4, confundir una
probabilidad conjunta con una probabilidad condicional; en la tarea 5, confundir la
probabilidad condicional con su inversa, falacia de la condicional transpuesta, y confundir
la probabilidad condicional con una conjunta; y, en general, es decir, en las tres tareas,
proporcionar la probabilidad bajo el enfoque subjetivo en lugar del clásico. Ahora bien, los
primeros dos conflictos semióticos manifestados en dichas tareas coinciden con los
reportados por Estrada y Díaz (2006), Estrada y Díaz (2007), Contreras, Estrada, Díaz y
Batanero (2010), y Cañadas et al. (2017). Cabe señalar que, en el caso del tercer conflicto
semiótico, se confunde la probabilidad condicional solicitada, 𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴), con la
probabilidad conjunta, 𝑃(𝐵 ∩ 𝑛𝑜𝐴), que se requiere para su cálculo; por otro lado, a
diferencia de las investigaciones reportadas en el capítulo 2, en este estudio se presentan
respuestas bajo el enfoque subjetivo de la probabilidad, esto posiblemente por el nivel
educativo de los participantes, quienes otorgan un valor a la probabilidad de acuerdo con su
grado de creencia personal.
69
6.3 Respuesta a la pregunta del estudio
Enseguida se entrega respuesta a la pregunta de investigación formulada en el capítulo
1, la cual fue guía del presente estudio:
¿Cómo es el manejo de tablas de doble entrada por estudiantes chilenos de Educación
Media, respecto a la lectura y cálculo de probabilidades?
Para responder esta pregunta, el análisis de las respuestas abiertas a las tareas permitió
identificar:
1) la mayoría de los estudiantes de Educación Media dominan los niveles de
lectura 1 (leer los datos) y 2 (leer entre los datos), asociados a la lectura literal
de un dato en la tabla y a la aplicación de procesos aritméticos sencillos
(92,5% y 56%, respectivamente); no obstante, una proporción considerable
de estudiantes (41,4%) presenta un dominio parcial en la tarea relacionada
con el nivel 2.
2) la mayoría de los estudiantes de Educación Media responden correctamente
las tareas de cálculo de probabilidades, relacionadas con probabilidades
simples, conjuntas y condicionales (80,5%, 70,7% y 62,2%, respectivamente),
haciendo uso de la regla de Laplace y/o la regla de tres como estrategias de
solución
3) algunos conflictos semióticos en el cálculo de probabilidades: confundir una
probabilidad conjunta con una probabilidad condicional (4,9%); confundir la
probabilidad condicional con su inversa (4,5%); confundir la probabilidad
condicional con una conjunta (8,5%); y proporcionar la probabilidad bajo el
enfoque subjetivo en lugar del clásico (ver Tabla 22).
En general, podemos señalar que los estudiantes de Educación Media que participaron
en este estudio presentan un manejo adecuado de la información presentada en las tablas de
doble entrada, con respecto a su lectura y cálculo de probabilidades.
70
Tabla 22.
Promedios generales ponderados de las respuestas de los estudiantes
Tarea solicitada
Lectura
Cálculo de probabilidades
Tarea 1: Leer
Tarea 2: Leer
Tarea 3:
Tarea 4:
Tarea 5:
Respuesta
los datos
Dominio
92,5
𝑃(𝐵)
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴)
Una probabilidad
conjunta
Una probabilidad
condicional
Probabilidad
condicional inversa
Probabilidad
subjetiva
Fuente: elaboración propia.
entre los datos
𝑃(𝐵)
𝑃(𝑛𝑜𝐴 ∩ 𝐵)
80,5
0,4
0,4
70,7
𝑃(𝐵│𝑛𝑜𝐴)
56
62,2
1,8
8,5
4,9
1,3
4,5
3,1
2,2
2,7
6.4 Consecuencias para la enseñanza e implicaciones a futuro
Con base en nuestros resultados, consideramos que este estudio aporta elementos
importantes para la enseñanza de la lectura y cálculo de probabilidades en tablas de doble
entrada, dada la información proporcionada en torno a las estrategias utilizadas y a los
conflictos semióticos manifestados por los estudiantes de Educación Media.
Por un lado, en el caso de la lectura de tablas de doble entrada, identificamos que
algunos estudiantes confunden una frecuencia absoluta doble con una marginal (tarea 2); y
con relación al cálculo de probabilidades, se presentan diversos conflictos semióticos, tales
como: confundir probabilidades simples con conjuntas o viceversa, confundir probabilidades
conjuntas con probabilidades condicionales, confundir una probabilidad condicional con su
inversa, así como dar la probabilidad bajo el enfoque subjetivo en lugar del clásico. Estos
aspectos identificados podrían dar pie para el diseño de alguna propuesta o secuencia
didáctica donde se pongan de manifiesto los diversos objetos y procesos matemáticos en
torno a las tablas de doble entrada, y con ello, lograr una mayor comprensión en el estudiante;
por ejemplo, abordar los diversos significados de la probabilidad y hacer hincapié del uso de
los enfoques clásico y frecuencial para calcular o estimar probabilidades, a partir de datos
recopilados en su entorno. Por otro lado, el alto número de estudiantes que no contestan las
71
tareas, deja entrever la necesidad de indagar las posibles causas por las cuales se presenta
esta situación; es decir, considerar este aspecto como objeto de estudio en alguna
investigación futura.
En general, nuestros resultados manifiestan la necesidad de reforzar la formación de
los estudiantes de Educación Media, donde se diseñen propuestas de enseñanza específicas,
las cuales fomenten el desarrollo de la cultura estadística y probabilística en el estudiante de
Educación Media.
6.5 Limitaciones del estudio
Existe un aspecto que ha limitado las posibilidades del presente estudio. Este se puso
de manifiesto al realizar el análisis, ya que no fue posible categorizar las respuestas como
correctas cuando los estudiantes no explicaban el procedimiento de resolución; es decir, no
justificaban su resultado. Una línea de investigación, que se genera por la limitación
mencionada anteriormente y que fortalecería nuestro estudio, sería la realización de
entrevistas a los participantes con el propósito de recuperar los razonamientos y/o
argumentos que no registran de manera escrita, y con ello, analizar el dominio del nivel 2 de
lectura; así como el uso de los objetos matemáticos primarios relacionados con el cálculo de
probabilidades en tablas de doble entrada.
72
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79
ANEXO. CUESTIONARIO DE INDAGACIÓN
Relación entre dos variables cualitativas
Tablas de doble entrada
Presentación
•
•
•
Estimado estudiante, lee con atención cada uno de los siguientes enunciados y
responde las preguntas planteadas, dando detalle de tus razonamientos.
Favor de responder con lápiz pasta, en caso de equivocarte en alguna respuesta no
uses corrector, tacha lo que consideres que no es correcto y agrega lo necesario.
Si el espacio es insuficiente, utiliza el reverso de la hoja.
Te agradecemos tu colaboración.
Datos Personales
Nombre:
Edad:
Número de lista:
Curso:
Fecha:
80
Relación entre dos variables cualitativas
Tablas de doble entrada
Problema 1. Se quiere estudiar si el fumar produce molestias respiratorias. Para esto, se ha
observado a un grupo de 400 personas durante un periodo suficiente de tiempo, obteniendo
los siguientes resultados:
Tiene molestias respiratorias
No tiene molestias respiratorias
Fuma
180
40
No fuma
20
160
1. ¿Cuántas personas que no fuman tienen molestias respiratorias? Explica tu respuesta.
2. ¿Cuántas personas no fuman? Explica tu respuesta.
3. Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que fume? Explica
tu respuesta e indica las operaciones que realizas para responder.
4. Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que fume y no tenga
molestias respiratorias? Explica tu respuesta. Explica tu respuesta e indica las operaciones
que realizas para responder.
5. Si la persona seleccionada no tiene molestias respiratorias, ¿cuál es la probabilidad de
que fume? Explica tu respuesta e indica las operaciones que realizas para responder.
81
Relación entre dos variables cualitativas
Tablas de doble entrada
Problema 2. Se quiere estudiar si hay relación entre la edad de una persona y el tener un
ataque al corazón. Para ello, en un centro médico han sido observados 200 personas. Los
resultados son los siguientes:
Menor o igual de 55
Mayores de 55 años
años
Ha tenido un ataque al corazón
20
80
Nunca ha tenido un ataque al
corazón
90
10
1. ¿Cuántas personas de menor o igual de 55 años nunca han tenido un ataque al corazón?
Explica tu respuesta.
2. ¿Cuántas personas nunca han tenido un ataque al corazón? Explica tu respuesta.
3. Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la persona ha
tenido un ataque al corazón? Explica tu respuesta e indica las operaciones que realizas para
responder.
4. Si elegimos una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de ser mayor de 55 años
y, al mismo tiempo haber tenido un ataque al corazón? Explica tu respuesta e indica las
operaciones que realizas para responder.
5. Si la persona seleccionada es mayor de 55 años, ¿cuál es la probabilidad de que la persona
ha tenido un ataque al corazón? Explica tu respuesta e indica las operaciones que realizas
para responder.
82
Relación entre dos variables cualitativas
Tablas de doble entrada
Problema 3. Se quiere estudiar si hay relación entre el género de los alumnos y el gusto por
el ping-pong. Para esto, en un colegio se pregunta a 180 alumnos si les gusta o no el pingpong, obteniendo los siguientes resultados:
Chicos
Chicas
Le gusta el ping-pong
80
40
No le gusta el ping-pong
40
20
1. ¿A cuántos chicos no les gusta el ping-pong? Explica tu respuesta.
2. ¿A cuántos alumnos no les gusta el ping-pong? Explica tu respuesta.
3. Si elegimos al azar uno de estos alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el pingpong? Explica tu respuesta e indica las operaciones que realizas para responder.
4. Si elegimos al azar uno de estos alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica y
además le guste el ping-pong? Explica tu respuesta. Explica tu respuesta e indica las
operaciones que realizas para responder.
5. Si el alumno elegido es una chica, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el ping-pong?
Explica tu respuesta e indica las operaciones que realizas para responder.
83