formulario3 (1)

Prof. Cecilia Murrgarra Q.
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Formulario 3: Señales Aleatorias y Ruido
Variables Aleatorias
Descripción Matemática
Función de Distribución Acumulativa (FDA)
FX (x) = P (X ≤ x)
Función de Densidad de Probabilidad (fdp)
X (x)
f dpX (x) = dFdx
P (x1 < X < x2 ) =
R∞
−∞
R x2
x1
f dpX (ξ)dξ = 1
FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)
Función de Distribución Acumulativa Conjunta
Función de Densidad de Probabilidad Conjunta
f dpX,Y (x, y) =
∂ 2 FX,Y (x,y)
∂x∂y
P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) =
R∞ R∞
−∞ −∞
Distribuciones Probabilı́sticas
Distribución Uniforme
R x2 R y2
x1
y1
f dpX,Y (ξ, η)dξdη
f dpX,Y (ξ, η)dξdη = 1
Descripción Matemática
1
f dpX (x) = b−a
, a ≤ x ≤ b, y 0 para otro x
E[X(t)] = b+a
2
2
σX
= (b−a)
12
2
1
f dpX (x) = √2πσ
e−
2
Distribución Gaussiana o Normal
E[X(t)] =
2
σX
=
Distribución de Rayleigh
f dpX (ξ)dξ
R∞
−∞
R∞
−∞
(x−E[X(t)])2
2σ 2
1
x √2πσ
e−
2
(x−E[X(t)])2
2σ 2
1
(x − E[X(t)])2 √2πσ
e−
2
(x−E[X(t)])2
2σ 2
(x)2
Medidas Estadı́sticas para una Variable Aleatoria
Esperanza matemática o media E[X(t)]
E[X(t)] =
R∞
Momento de orden n E[X n (t)]
E[X n (t)] =
R∞
Valor Cuadrático Medio E[X 2 (t)]
E[X 2 (t)] =
R∞
Función de Autocorrelación de un proceso WSS
RXX (τ )
Función de Densidad Espectral DEP
SXX (ω)
dx
− b
f dpX (x) = 2x
, para
b e
q x≥0yb≥0
E[X(t)] = πb
4
2
σX
= b(1 − π4 )
Descripción Matemática
2
Varianza V ar[X] = σX
dx
−∞
−∞
−∞
xf dpX (x)dx
xn f dpX (x)dx
x2 f dpX (x)dx
2
V ar[X] = σX
= E[(X − mX )2 ] = E[X 2 (t)] − E[X(t)]2
RXX (0) = E[X 2 (t)]
RXX (τ ) = RXX (−τ )
| RXX (τ ) |≤ RXX (0)
SXX (ω) es Real
SXX (ω) ≥ 0
S
XX
R ∞ (ω) = SXX (−ω) 2
1
2π −∞ SXX (ω)dω = E[X (t)]
EC1421 Señales y Sistemas
Sept-Dic 2006 - Prof. Cecilia Murrugarra Q.