Demostraciones de derivadas de suma y producto, y función inversa. Método logarítmico de derivación

Función derivada
Si una función 𝑓 es derivable en un punto 𝑎 del dominio, el valor 𝑓’(𝑎) considerado como imagen
para cada punto 𝑎 del dominio donde 𝑓 es derivable, permite definir una nueva función 𝑓’ que se
llama función derivada de f.
𝑓 ′ : 𝐷𝑓′ 𝑐 𝐷𝑓 → 𝑅
𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
siendo 𝐷𝑓′ el subconjunto del dominio de 𝑓 formado por los puntos en los que 𝑓 es derivable.
Álgebra de derivadas
DERIVADA DE UNA SUMA (O DIFERENCIA)
La suma (o diferencia) de dos funciones derivables es derivable, y su derivada es la suma (o
diferencia) de las derivadas de dichas funciones. Es decir:
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables en un mismo conjunto D, su suma (o diferencia) es derivable y es:
(𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′(𝑥)
(𝑓 − 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′(𝑥)
Demostración (suma):
(𝑓 + 𝑔)(𝑥 + ℎ) − (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
=
ℎ→0
ℎ
(𝒇 + 𝒈)′ (𝒙) = lim
𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))
𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
= lim
=
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
lim
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
= lim [
+
]
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
ℎ
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
= lim
+ lim
= 𝒇′ (𝒙) + 𝒈′(𝒙)
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim
DERIVADA DE UN PRODUCTO
El producto de dos funciones derivables en un mismo conjunto D es derivable, y su derivada es la
suma del producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda, más la derivada
de la primera por la segunda sin derivar. Es decir:
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables, el producto es derivable y es:
(𝑓. 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥)
Demostración:
(𝑓. 𝑔)(𝑥 + ℎ) − (𝑓. 𝑔)(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
= lim
=
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
(𝒇. 𝒈)′ (𝒙) = lim
(Aquí realizamos un artificio: sumar y restar un término: 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) )
𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
=
ℎ→0
ℎ
= lim
(Reordenamos y luego sacamos factor común)
𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
= lim
=
ℎ→0
ℎ
𝑓(𝑥 + ℎ). [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥). [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]
=
ℎ→0
ℎ
= lim
(Aplicamos: límite de suma es suma de límites y luego: lim. de producto es prod. de lim)
𝑓(𝑥 + ℎ). [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
𝑔(𝑥). [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]
+ lim
=
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
+ lim 𝑔(𝑥) . lim
=
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim 𝑓(𝑥 + ℎ) . lim
ℎ→0
𝒇(𝒙)
𝒈′(𝒙)
𝒈(𝒙)
𝒇′(𝒙)
(Como 𝑓 es derivable, por lo tanto es continua, y entonces podemos afirmar que
lim 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥)
ℎ→0
Además 𝑔(𝑥) es constante respecto de ℎ, por eso lim 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) )
ℎ→0
Luego: (𝒇. 𝒈)′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) . 𝒈′ (𝒙) + 𝒈(𝒙) . 𝒇′(𝒙)
Derivada de la función inversa
Si 𝑓 es una función biyectiva con derivada finita no nula en 𝑥, entonces la función inversa 𝑓 −1 es
1
′
1
derivable en 𝑓(𝑥) y su derivada es 𝑓′ (𝑥) , es decir: 𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] = 𝑓′ (𝑥)
Demostración:
Por ser 𝑓 y 𝑓 −1 funciones inversas entre sí, su composición es igual a la función identidad:
𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] = 𝑥
Derivando ambos miembros y aplicando la regla de la cadena en el primer miembro:
′
𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] . 𝑓 ′ (𝑥) = 1
Como por hipótesis 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0, dividimos ambos miembros por 𝑓 ′ (𝑥) y nos queda:
′
𝒇−𝟏 [𝒇(𝒙)] =
𝟏
𝒇′ (𝒙)
como queríamos demostrar.
Método logarítmico de derivación
La regla de derivación de funciones compuestas o regla de la cadena aplicada a la composición
ℎ𝑜𝑔 cuando ℎ es la función logaritmo natural, es muy útil en ocasiones para hallar derivadas, por
ejemplo para funciones de tipo potencial – exponencial. En los puntos donde está definida la
composición:
(ℎ𝑜𝑔)(𝑥) = ℎ(𝑔(𝑥)) = ln[𝑔(𝑥)]
1
derivando queda (ℎ𝑜𝑔)′ (𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥) ,
y por lo tanto:
𝑔′ (𝑥) = (ℎ𝑜𝑔)′ (𝑥) . 𝑔(𝑥)
La utilidad del método se da principalmente cuando en la función que se quiere derivar hay un
exponente que es función de la variable, y al aplicar logaritmo, la función que estaba en el
exponente deja de aparecer como tal puesto que se multiplica por el logaritmo de la base; esto
permite derivar como se deriva un producto.
Entonces el método consiste en:
1) aplicar 𝑙𝑛 a la función que se quiere derivar,
2) aplicar la propiedad de logaritmo: 𝑙𝑛 𝑎𝑚 = 𝑚 𝑙𝑛 𝑎 ,
3) derivar ambos miembros,
4) finalmente despejar la derivada requerida.
Veámoslo con el caso más común que es el de una función potencial – exponencial, es decir, una
función de 𝑥 elevada a otra función de 𝑥: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
Supongamos que queremos hallar la derivada de 𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) .
1) En la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) aplicamos 𝑙𝑛 en ambos miembros:
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛[𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ]
2) Aplicamos al segundo miembro la propiedad del logaritmo de una potencia:
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑔(𝑥). 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)]
3) Derivamos ambos miembros de la igualdad anterior:
1 ′
1
𝑦 = 𝑔′ (𝑥). 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] + 𝑔(𝑥) .
. 𝑓 ′ (𝑥)
𝑦
𝑓(𝑥)
4) Despejamos 𝑦’ puesto que es lo que se requiere, es decir, la derivada de 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) :
1
𝑦 ′ = [𝑔′ (𝑥). 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] + 𝑔(𝑥) .
. 𝑓 ′ (𝑥)] . 𝑦
𝑓(𝑥)
Nos queda:
𝟏
𝒚′ = [𝒈′ (𝒙). 𝒍𝒏[𝒇(𝒙)] + 𝒈(𝒙) . 𝒇(𝒙) . 𝒇′ (𝒙)] . 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)