UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS “TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Y SUS APLICACIONES” Asignatura : Cálculo I (MA-281) Docente : BAUTISTA ARROYO Edwin Youll Estudiantes FLORES GARAGUNDO, Anita Esmeralda JAICO QUISPE, Leydy Yesenia LOAYZA DE LA CRUZ, Maykol Ruben SOTO BAUTISTA, Ruiz Eduard. VARGAS LUDEÑA, Jheferson Richard AYACUCHO – PERÚ 2 024 att: los cachimbos xD ÍNDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3 CAPITULO I .................................................................................................................................... 4 MARCO TEÓRICO ........................................................................................................................... 4 DEFINICIÓN DE INTEGRALES ......................................................................................................... 4 1.1 Definición de integral indefinida o antiderivada ............................................... 4 CAPITULO II ................................................................................................................................... 6 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ......................................................................................................... 6 2.1 Integración por partes ........................................................................................ 6 2.2 Integración trigonométrica y por sustitución trigonométrica............................. 9 2.2.1 Potencias de senos y cosenos ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝒙 𝒙𝒅 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝒙 𝒅𝒙 .............................. 9 2.2.2 Potencias de potencias de senos y cosenos ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚𝒙 . ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝒙 𝒅𝒙........... 10 2.2.3 Potencias de potencias de tangentes y secantes: ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑚𝒙 . ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑛𝒙 𝒅𝒙 . 10 2.2.4 Sustitución trigonométrica .......................................................................... 10 2.2.5 Comparación de los enfoques de integración trigonométrica y sustitución trigonométrica.............................................................................................. 10 CAPITULO III ................................................................................................................................ 11 INTEGRACIÓN RACIONAL ............................................................................................................ 11 3.3 Métodos para la integración de funciones racionales ...................................... 11 CAPITULO IV ................................................................................................................................ 14 OTRO ARTIFICIO DE INTEGRACIÓN ............................................................................................. 14 5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado: ........... 14 CAPITULO V ................................................................................................................................. 16 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL ...................................................................................................... 16 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 16 INTRODUCCIÓN Las integrales son un concepto fundamental en el cálculo, que se originó como una herramienta para calcular áreas y volúmenes. Con el tiempo, las integrales han evolucionado hasta convertirse en un concepto más amplio con sus propios problemas y métodos. La integral dejó de ser sólo un operador, una herramienta (unitario), para resolver el problema general del cálculo de cuadraturas, convirtiéndose en un nuevo concepto con sus propios problemas y métodos (sistémico), lo que nos permite identificar ahora, otro significado que podríamos llamar “emergente” que puede interpretarse como “intermedio”, ya no para el operador integral, sino para el naciente cálculo integral (Mateus-Nieves y Hernández p200) Por ello el objetivo primordial de nuestro trabajo es proporcionar definiciones claras y concisas de la Integración por partes, la Integración trigonométrica y por sustitución trigonométrica como también la Integración Racional. Cada definición se explicará en detalle para facilitar la comprensión para: El cálculo de áreas, volúmenes, longitudes de curvas, trabajo y probabilidad, proporcionando de esta manera el desarrollo de nuestras habilidades de análisis matemático. Las fuentes utilizadas para el desarrollo del presente informe. Fueron libros y proyectos de investigación. La estructura del trabajo muestra que en el primer capítulo se desarrolla los métodos de integración, en el segundo capítulo la Integración Racional, en el tercer capítulo Otros Métodos de Integración, y por ultimo las aplicaciones de las integrales. Las limitaciones del presente trabajo fueron la falta de estudios previos en ciertos temas, acceso a los datos y falta de datos fiables o confiables. CAPITULO I MARCO TEÓRICO DEFINICIÓN DE INTEGRALES Las integrales nos permiten el cálculo de las áreas bajo una curva esto se logra al sumar infinitamente las pequeñas secciones para obtener así el área total. Por ende, Salvador (2023) afirma que “Las integrales son una herramienta matemática utilizada para calcular el área bajo una curva. En términos más simples, una integral nos permite medir el área que se encuentra entre una función y el eje de las coordenadas” 1.1 Definición de integral indefinida o antiderivada En clases anteriores se demostró que la derivada de f(x) generaba una nueva función a la cual se le podría decir g(x). Entonces también es posible pasar g(x) a f(x), a este proceso se le llama la “Antiderivada” o “integral indefinida” y está representada por el símbolo ∫. Por este motivo Si F´(x) = f(x), se representa por: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 C: representa a la constante para que no existan complicaciones en la hora de calcular la integral porque en funciones como la derivada es y sigue siendo igual a por lo que la constante tomará valores para que las derivadas de las distintas funciones existan. Teorema: 𝑆𝑖 𝐹′(𝑥) = 𝐺′(𝑥), ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐶 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝐶 Por ejemplo, para aplicar esta definición en una gráfica en GeoGebra se usó el primer ejercicio de las derivadas (Grupo 27 del libro de Ricardo Figueroa). Donde podemos visualizar que la integral indefinida es la antiderivada de la función. 1 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 + 3𝑥 2 − 5 5 2 Figura. 1. Grafica de la antiderivada en GeoGebra. Fuente propia CAPITULO II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2.1 Integración por partes La integración por partes, es una técnica que se utiliza para integrar productos de funciones, basándose en la regla del producto para la diferenciación, cuando la integral de un producto de funciones es difícil de calcular de forma directa, sin embargo, se puede simplificar usando esta técnica. Como lo enfatiza Purcell, Varberg y Rigdon (2007) “Si la integración por sustitución falla, es posible utilizar una doble sustitución, mejor conocida como integración por partes. Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones.” (p.387). 2.1.1. Demostración de la formula: Si tenemos dos funciones: 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥), aplicamos la regla del producto para derivadas: 𝐷𝑥 [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] = 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) + 𝑣(𝑥)𝑢′ (𝑥) Acomodando la ecuación: 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) = 𝐷𝑥[𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] − 𝑣(𝑥)𝑢′ (𝑥) Integramos a ambos lados con respecto a x: ∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝐷𝑥[𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥 Donde la integral de la derivada es la función misma: ∫ 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥 Entonces si reemplazamos 𝑢 = 𝑢(𝑥) , 𝑣 = 𝑣(𝑥) , 𝑑𝑣 = 𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥y𝑑𝑢 = 𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥 Se obtendrá la siguiente formula, que demuestra la técnica de aplicación por partes, el cual se utilizará para las integrales indefinidas. ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 2.1.2. Consideraciones La elección correcta (u) y (dv) es fundamental para la aplicación de la integración por partes y simplificar la integral. Una nemotécnica que puede ayudar es " ILATE o LIATE ", que sugiere el orden de preferencia para elegir (u), de tal manera que (du) sea más simple de integrar, como se sugiere en el texto de OpenStax, significando lo siguiente: L = Función Logarítmica, I =Función Inversa, A = Función Algebraica, T =Función Trigonométrica, E = Función Exponencial. Es así que como se menciona en libro de Ayres y Mendelson(2009) “El propósito de la integración por partes es remplazar una integración “difícil” ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 por una integración “fácil” ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 .” (p.255) La integral puede resultar cíclica, ya que se puede aplicar integración por partes varias veces, y al hacerlo puede llegar a un resultado similar al ejercicio original. 2.1.3. Aplicación Para aplicar esta definición en una gráfica en GeoGebra se usó un ejercicio del libro calculo diferencial e integral 9na edición de Purcell, Varberg y Rigdon , el ejercicio número 41, de la página 39. Usando la técnica de ILATE, escogemos u y dv y aplicamos la integración parte por parte Reemplazamos el resultado de la segunda integración y se observa la integración cíclica ∫ 𝑒 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑢 = cos 𝑡 → 𝑑𝑢 = − sin 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 ∫ cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = cos 𝑡 𝑒 𝑡 + [sin 𝑡 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡] ∫ cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = cos 𝑡 𝑒 𝑡 + sin 𝑡 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 ∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 Acomodamos la integral, para que se asemeje a la igualdad ∫ cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = cos 𝑡 𝑒 𝑡 + sin 𝑡 𝑒 𝑡 ∫ cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = −cos 𝑡 𝑒 𝑡 2 ∫ cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = cos 𝑡 𝑒 𝑡 + sin 𝑡 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 −sin 𝑡 𝑑𝑡 1 𝑡 𝑡 𝑡 ∫ cos 𝑡 𝑒 a𝑑𝑡 = −cos 𝑡 𝑒 + ∫ por 𝑒 sin 𝑡 𝑑𝑡 Volvemos utilizar la integración partes 𝑢 = sin 𝑡 → 𝑑𝑢 = cons 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 ∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 ∫ sin 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = sin 𝑡 𝑒 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 1 ∫ cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 (2 cos 𝑡 + 2 sin 𝑡) + 𝑐 Figura.2. Grafica del método de integración por partes, en GeoGebra. Fuente propia 2.2 Integración trigonométrica y por sustitución trigonométrica Como argumenta, Desarrollo multimedia de UMNG (2012), las integrales trigonométricas involucran operaciones con las funciones trigonométricas básicas. En este proceso se presentan las potencias de funciones trigonométricas como productos de las funciones seno y coseno; a su vez, estas presentan tres casos que varían si el exponente es positivo, par o impar. A continuación, se mostrará algunos casos, según Armenta (2020) 2.2.1 Potencias de senos y cosenos ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝒙 𝒙𝒅 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝒙 𝒅𝒙 Para abordar este tipo de integrales, consideraremos dos casos: a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo: 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑘+1 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑘 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Utilizamos la identidad 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 y tomamos el cambio de variable u = cos x. De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable u= senx b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑘 𝑥 = (𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑘 o en el caso del coseno: 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑘 𝑥 = (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑘 y utilizamos las identidades trigonométricas: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 2.2.2 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2 𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2 Potencias de potencias de senos y cosenos ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚 𝒙 . ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝒙 𝒅𝒙 a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = b) (1 − cos 2𝑥) 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑦 (1 + cos 2𝑥) 2 Si m o n es impar, utilizaremos la identidad: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 2.2.3 Potencias de potencias de tangentes y secantes: ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑚 𝒙 . ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 𝒙 𝒅𝒙 a) Si n es par, utilizamos la identidad: 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 b) Si m es impar, utilizamos la identidad: 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como por ejemplo integración por partes. 2.2.4 Sustitución trigonométrica Como mencionan los autores, Martínez, Juárez, Vizcarra (2012), este es un método de integración que se aplica cuando en el integrando aparecen expresiones de las formas: √(𝑎2 ± 𝑢2 ) o √(𝑢2 − 𝑎2 ) El principal objetivo de este cambio de variable, será eliminar los radicales. La sustitución trigonométrica es una de las formas más usadas para reducir y evaluar integrales que resulta difícil solucionar por otros medios debido a que tienden a presentar inconsistencias de continuidad o tendencia hacia el infinito. ESCRIBIR EL EJERCICIO 2.2.5 Comparación de los enfoques de integración trigonométrica y sustitución trigonométrica. a) Integración trigonométrica: Se utiliza principalmente para simplificar integrales con potencias de funciones trigonométricas. b) Sustitución trigonométrica: Se utiliza principalmente para simplificar integrales con expresiones que contienen radicales. CAPITULO III INTEGRACIÓN RACIONAL Para poder realizar una explicación de la integración de funciones racionales, se debe anteceder con un análisis que engloba el concepto de lo que es una función racional. Por lo tanto, a partir de las revisiones realizadas de las lecturas, concluimos que la función racional es el cociente de dos funciones polinómicas de forma, 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) como muestra Lupín (2013): 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑎0 𝑋 𝑛 + 𝑎1 𝑋 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑚 = 𝑄(𝑥) 𝑏0 𝑋 𝑚 + 𝑏1 𝑋 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚 Existen dos tipos de funciones racionales, las propias en la que el grado del numerador es menor que el grado del denominador e impropias que es inversa, es decir, el numerador es de mayor grado que el denominador. 3.3 Métodos para la integración de funciones racionales La integración de algunas de estas funciones, es posible realizarlas utilizando diferentes métodos como la sustitución trigonométrica, ya sea completando al cuadrado o completando trinomio cuadrado perfecto, sin embargo, podemos utilizar un método más cómodo, que consiste en descomponer la fracción en sumas o restas de funciones más simples a las que llamamos fracciones parciales. Para realizar esta integración es necesario seguir ciertos procedimientos y tomar algunas consideraciones para proceder con la integración como lo mencionan Haeussler et al., (2015): Si P(x)/Q(x) no es una función racional propia entonces podemos usar la división de la cual obtendremos la siguiente forma: 𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥) = 𝐶(𝑥) + 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) Aquí el cociente 𝐶(𝑥) y el residuo 𝑅(𝑥) también son polinomios y 𝑅(𝑥) es el polinomio 0 constante o bien el grado de 𝑅(𝑥) es menor que el de 𝑄(𝑥). Por lo tanto, 𝑅/𝑄 es una función racional propia. ∫ 𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝐶(𝑥) + ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶 (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) En todo caso donde se obtenga la función racional propia que se caracteriza porque el grado de su numerador es menor a la de su denominador y en este caso se aplica otro tipo de procedimiento, este consiste en factorizar el denominador, al realizar esta factorización la fracción se descomponen en fracciones más simples. Dependiendo la forma obtenida al factorizar el denominar obtendremos diferentes fracciones parciales, y por consiguiente se realizan ciertos pasaos para la resolución, así lo detalla Lupín (2013): Caso 1 Factores lineales distintos La factorización del denominador comprende únicamente raíces (r) simples 𝑄(𝑥) se puede descomponer de la siguiente manera: 𝑄(𝑋) = (𝑋 − 𝑟1 )(𝑋 − 𝑟2 ) … (𝑋 − 𝑟𝑚 ) [6] 𝑆𝑖 𝑏0 = 1 A cada factor (X-r). le corresponde una fracción parcial de la forma 𝐵/(𝑥 − 𝑟). Entonces, se puede escribir: 𝑃(𝑋) 𝑄(𝑋) 𝐵 𝐵 𝐵 = (𝑥−𝑟1 )2 + (𝑥−𝑟2 ) + (𝑥−𝑟3 ) 1 1 2 [7] 𝑃(𝑋) 𝐵1 (𝑥 − 𝑟2 )(𝑥 − 𝑟3 ) … (𝑥 − 𝑟𝑚 ) + 𝐵2 (𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟3 ) … (𝑥 − 𝑟𝑚 ) + 𝐵𝑚 (𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟2 ) … (𝑥 − 𝑟𝑚−1 ) = (𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟2 ) … (𝑥 − 𝑟𝑚 ) 𝑄(𝑋) [7´] Como los denominadores de ambos lados de [7´] son iguales, es ´posible igualar sus numeradores con el propósito de armar un sistema de ecuaciones. Se igualan los coeficientes del derecho con los coeficientes del lado izquierdo, según el grado correspondiente a cada termino. De esta manera, se obtienen los “m” valores de B; se sustituyen los mismos en [7] y se integra termino a término siguiendo las reglas usuales Caso 2 Factores lineales repetidos Este caso difiere del anterior en que algunos o todas las raíces (r) del denominador son múltiples, por ende, Q(x) adopta la forma: 𝑄(𝑋) = (𝑋 − 𝑟1 )𝐾 (𝑋 − 𝑟2 )3 … (𝑋 − 𝑟𝑚 )𝑤 Donde: K,J,..,W = Órdenes de multiplicidad, pudiendo ser alguno igual a 1 -primer caso- Para simplificar el análisis, se considera que Q(x) es igual a: 𝑄(𝑋) = (𝑋 − 𝑟1 )2 (𝑋 − 𝑟2 ) [9] Al factor (𝑋 − 𝑟1 )2, le corresponde la suma de dos fracciones parciales dado que ese es su orden de multiplicidad: 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝐵 𝐵 𝐵 2 3 = (𝑋−𝑟1 )2 + (𝑋−𝑟 + (𝑋−𝑟 ) ) = 1 1 2 [10] 𝐵1 (𝑋−𝑟2 )+𝐵2 (𝑋−𝑟1 )(𝑋−𝑟2 )+𝐵3 (𝑋−𝑟1 )2 [10´] (𝑋−𝑟1 )2 (𝑋−𝑟2 ) Después de [10´], se procede de manera similar al primer caso. Caso 3 Factores cuadráticos irreductibles distintos En el denominador, hay raíces imaginarias simples, si se supone que un factor cuadrático(𝑋 2 + 𝑏𝑋 + 𝑐) ocurre en Q(X) y el mismo no se puede expresar como el producto de dos factores lineales con coeficientes reales, a cada factor cuadrático irreductible distinto le corresponde una fracción parcial. Luego se continua como en los dos casos anteriores. Caso 4 Factores cuadráticos irreductibles repetidos Al igual que en el caso anterior, el denominador presenta raíces imaginarias pero la forma de los factores cuadráticos es (𝑥 2 + 𝑏𝑋 + 𝐶)𝐿 , donde “L” simboliza el número de veces que aparece el factor irreductible. Por consiguiente, si L= 2, a cada uno de dichos (𝐵 +𝐵 ) (𝐵3+𝐵 𝑋 ) 1 2𝑋 4 factores le corresponde una suma de dos parciales: [(𝑋 2 +𝑏𝑋+𝑐) 2 ] + [(𝑋 2 +𝑏𝑋+𝑐)]. Después se resuelve tal lo expuesto. Por todo lo aprendido de la integración de las funciones racionales, se reduce a integrar funciones racionales propias. Es necesario enfatizar que la técnica a describir aquí requiere de una función racional propia, de manera que el paso de la división larga no es opcional. (Haeussler et al.,2015) CAPITULO IV OTRO ARTIFICIO DE INTEGRACIÓN Aparte de los métodos de integración mencionados anteriormente, también existen otros métodos que no son usados frecuentemente, tales como: 5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado: Según el autor Máximo Mitacc en su libro Tópicos de cálculo volumen 2 tercera edición se tienen cuatro formas en esta técnica las cuales son las siguientes: 𝑑𝑥 I. ∫ 𝑝𝑥 2 +𝑞𝑥+𝑟 II. ∫ √𝑝𝑥 2 𝑑𝑥 +𝑞𝑥+𝑟 (𝑎𝑥+𝑏)𝑑𝑥 III. ∫ 𝑝𝑥 2 +𝑞𝑥+𝑟 IV. ∫ √𝑝𝑥 2 (𝑎𝑥+𝑏)𝑑𝑥 +𝑞𝑥+𝑟 Nos recalca que en el caso I y II, se completan cuadrados en el trinomio y se aplica la fórmula que le corresponda en un respectivo ejercicio y para los casos de la III y IV se aplica un artificio del tipo: Donde 2𝑝𝑥 + 𝑞 es la derivada del trinomio cuadrado. 𝑎 𝑎𝑞 (2𝑝𝑥 + 𝑞) − 𝑎𝑥 + 𝑏 = +𝑏 2𝑝 2𝑝 Ejemplo, para aplicar esta definición en una gráfica en GeoGebra se usó un ejercicio similar del libro Tópicos de cálculo - volumen 2 de Máximo Mitacc, el primer ejercicio del tema de los artificios. ∫ 2 𝑑𝑥 4𝑥 2 + 4𝑥 − 3 𝐷𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎 2 ∫ 4 2 4 2 4𝑥 + 4𝑥 − 3 4 2 4 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: ∫ 𝑑𝑢 𝑢2 − 𝑎2 = 1 𝑢−𝑎 𝑙𝑛 | |+𝑐 2𝑎 𝑢+𝑎 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: 2 1 𝑥+2−1 2 1 ( ) 𝑙𝑛 | |+𝑐 1 4 2 𝑥+2+1 1 2 4 ((𝑥 + 2) − 1) 1 2𝑥 − 1 𝑙𝑛 | |+𝑐 4 2𝑥 + 3 𝑉𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ∫ 1 2 ((𝑥 + 2) − 1) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 1 2 1 2 3 𝑥 2 + 𝑥 + (2) − (2) − 4 2 2 4 = 2 1 1 2 (𝑥 + 2) − 1 4 ((𝑥 + ) − 1) 2 𝑑𝑥 Figura.3. Grafica de integrales que contienen un trinomio cuadrado, en GeoGebra. Fuente propia CAPITULO V APLICACIÓN DE LA INTEGRAL “Desde aplicaciones geométricas como área de superficie y volumen, hasta aplicaciones físicas como masa y trabajo, hasta modelos de crecimiento y decaimiento, las integrales definidas son una herramienta poderosa para ayudarnos a comprender y modelar el mundo que nos rodea” (Strang, 2022). CONCLUSIONES REFERENCIA BIBLIOGRAFICA Armenta, E. T. (22 de enero de 2020). Universidad de Sonora. Obtenido de Métodos de Integración: https://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdf Arturo Ylé Martínez, J. A. (2012). Cálculo II. En Integración por sustitución trigonométrica (pág. 53). Sinaloa: Río Usumacinta 821 Col. Industrial Bravo. C.P. 80120. Desarrollo multimedia UMNG. (2012). Universidad Militar Nueva Granada. Obtenido de Métodos de integración: http://virtual.umng.edu.co/distancia/ecosistema/odin/odin_desktop.php?path=Li4vb3Zh cy9pbmdlbmllcmlhX2luZHVzdHJpYWwvY2FsY3Vsb19pbnRlZ3JhbC91bmlkYWRf Mi8=#slide_2 Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e integral (9ª ed.). Pearson Educación. OpenStax. (s.f.). 3.1: Integración por partes. En Cálculo, Volumen 2. Recuperado de https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/3-1-integracion-por-partes Ayres, F., & Mendelson, E. (2009). Schaum’s Outline of Calculus, 5ed: Schaum’s Outline of Calc, 5ed. McGraw Hill Professional. Beatriz, L., Lacaze, V., & Carlos, L. (2013). Resolución de integrales de funciones racionales para la estimación de la disposisción para pagar alimentos de calidad diferenciada. XIII Jornadas Nacionales de Tecnología aplicada a la Educación Matemática Universitaria. https://nulan.mdp.edu.ar/id/eprint/1897/1/01493.pdf Ernest F. Haeussler, J., Paul, R. S., & Wood, R. J. (2015). Matemáticas para administración y economia (Decimotercera ed.). (J. E. Murrieta Murrieta, Trad.) Mexico: Pearson Education . https://books.google.com.mx/books?hl=es&lr=&id=0Vjog5WWvqcC&oi=fnd&pg=PR 11&dq=matem%C3%A1tica+para+administraci%C3%B3n+y+economia&ots=8qOud -fnW&sig=5CPI1BjeWu0C9Z3FcHoGArSsiqQ#v=onepage&q=matem%C3%A1tica%2 0para%20administraci%C3%B3n%20y%20economia&f=fals
