Problema: Resolución de una Ecuación Diferencial Ordinaria usando el Método de Euler

Problema: Resolución de una Ecuación Diferencial Ordinaria usando el
Método de Euler
Enunciado: Resuelve la ecuación diferencial ordinaria (EDO) dada por:
dydt=−2ty\frac{dy}{dt} = -2tydtdy=−2ty con la condición inicial y(0)=1y(0) = 1y(0)=1, en
el intervalo t∈[0,2]t \in [0, 2]t∈[0,2] usando el método de Euler con un paso h=0.1h =
0.1h=0.1.
Solución en MATLAB
1. Definir los parámetros del problema:
o Ecuación diferencial: dydt=−2ty\frac{dy}{dt} = -2tydtdy=−2ty
o Condición inicial: y(0)=1y(0) = 1y(0)=1
o Intervalo de tiempo: t∈[0,2]t \in [0, 2]t∈[0,2]
o Paso de integración: h=0.1h = 0.1h=0.1
2. Implementar el método de Euler en MATLAB:
% Parámetros del problema
h = 0.1; % Paso de integración
t_final = 2; % Tiempo final
n_steps = t_final / h; % Número de pasos
t = 0:h:t_final; % Vector de tiempo
y = zeros(size(t)); % Vector para almacenar la solución
y(1) = 1; % Condición inicial
% Método de Euler
for i = 1:n_steps
y(i+1) = y(i) + h * (-2 * t(i) * y(i));
end
% Gráfica de la solución
figure;
plot(t, y, 'b-o', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('Tiempo t');
ylabel('Solución y(t)');
title('Solución de la EDO usando el Método de Euler');
grid on;
Explicación del Código
1. Inicialización:
o Se define el paso de integración h, el tiempo final t_final y el número de
pasos n_steps.
o Se crea un vector t que contiene los puntos de tiempo desde 0 hasta
t_final con un paso de h.
o Se inicializa un vector y para almacenar la solución en cada paso de tiempo
y se establece la condición inicial y(1) = 1.
2. Iteración del Método de Euler:
o Se utiliza un bucle for para iterar a través de los puntos de tiempo.
o En cada iteración, se actualiza la solución utilizando la fórmula del método
de Euler: yi+1=yi+h⋅f(ti,yi)y_{i+1} = y_i + h \cdot f(t_i, y_i)yi+1=yi+h⋅f(ti
,yi)
o En este caso, la función f(t,y)=−2tyf(t, y) = -2tyf(t,y)=−2ty.
3. Visualización:
o Se grafica la solución y en función del tiempo t.
4. Resultados
5. El código produce una gráfica que muestra cómo la solución y(t) evoluciona con el
tiempo utilizando el método de Euler. La solución numérica aproxima la solución
analítica de la EDO, que en este caso es: y(t)=e−t2y(t) = e^{-t^2}y(t)=e−t2
6. Este ejemplo ilustra cómo se puede utilizar MATLAB para resolver una EDO
sencilla usando métodos numéricos. MATLAB es muy útil para problemas más
complejos y permite experimentar con diferentes métodos y parámetros de
integración.