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Escuela de Ciencias Exactas e Ingeniería
Escuela de Matemáticas
Geometría Euclidiana
Profesor: Juan Carlos Ávila M
Taller 1
Postulados de incidencia de la geometría
euclidiana y algunas consecuencias
La Geometría Euclidiana es una teoría matemática que parte de ciertos objetos no definidos, los cuáles precisan su comportamiento a través de los postulados1 . Tales objetos son:
punto, recta, plano y espacio. De este modo, la estructura con la cual iniciaremos nuestro
estudio de la Geometría Euclidiana parte de la tripleta:
[S, L , P]
donde S es denominado el espacio y cuyos elementos son los puntos; L es un conjunto formado por subconjuntos no vacíos de S denominados rectas y P es también un conjunto de
subconjuntos no vacíos de S cuyos elementos son denominados planos.
Las relaciones que se pueden establecer entre estos objetos se definen en los siguientes postulados:
Postulados de incidencia
1. Todas las rectas y planos son conjuntos de puntos2 .
2. Postulado de la recta. Dados dos puntos distintos cualesquiera, existe una única recta
que los contiene.
←→
Notación: La recta que determina dos puntos distintos A y B se nota así: AB.
Definición 1. Dos o más puntos son colineales si y solo si todos ellos están en la
misma recta.
3. Postulado del plano. Dados tres puntos diferentes cualesquiera y no colineales, existe
un único plano que los contiene.
Definición 2. Tres o más puntos son coplanares si y solo si están contenidos en el
mismo plano. Diremos también que dos rectas son coplanares si y solo si estas están
contenidas en un mismo plano.
1
En matemáticas, generalmente las palabras axioma y postulado se toman como sinónimas, sin embargo, son
ligeramente diferentes, según la Real Academia Española: Un axioma es una proposición tan clara y evidente
que se admite sin demostración, mientras que un postulado es una proposición cuya verdad se admite sin
pruebas para servir de base en ulteriores razonamientos.
2
A pesar de que en el párrafo anterior esto se mencionó, debe ser claro que las rectas y los planos son,
en primer lugar conjuntos y en segundo, conjuntos de puntos. Este hecho permite realizar operaciones de
conjuntos entre los objetos geométricos.
4. Postulado de la llaneza del plano. Si dos puntos distintos están en un plano, entonces
la recta que los contiene está también contenida en el plano.
5. Postulado de la intersección de planos. Si dos planos distintos se intersecan, lo
hacen en una recta.
6. Postulado de la mínima cantidad de puntos. Toda recta contiene al menos dos
puntos distintos. Todo plano contiene al menos tres puntos no colineales y el espacio
contiene al menos cuatro puntos no coplanarios.
Ejercicios sobre sí, no o no se sabe
Para cada una de las siguientes cuestiones debe decidir si la respuesta a la pregunta es sí, no
o no se sabe. En cada caso, debe argumentar las razones de su respuesta con base en los
postulados anteriores y los esquemas de razonamiento estudiados:
1. ¿Una recta y un plano pueden ser iguales?
2. ¿El plano pueder ser el espacio?
3. ¿En L existen exactamente seis rectas?
4. ¿En P existen exactamente cuatro planos?
5. ¿La unión entre un plano y una recta puede ser un plano?
6. ¿La unión de dos rectas puede ser un punto?
7. ¿La intersección de una recta y un plano puede ser una recta?
8. ¿La intersección entre dos rectas puede ser una recta?
9. ¿La unión de dos rectas puede ser un plano?
10. ¿La unión de dos planos puede ser el espacio?
Ejercios introductorios a la demostración de teoremas
A continuación aparece el enunciado de algunos teoremas junto con los pasos de la demostración de cada uno. Los pasos están en desorden y sin justificar, por tanto, la tarea consiste en
ordenar los pasos de las demostraciones y escribir las justificaciones respectivas:
1. Teorema intersección de rectas. Dos rectas diferentes se intersecan a lo sumo en un
punto.
Supongamos que ` ∩ m = {A, B} con A 6= B.
A, B ∈ m.
A = B.
` y m dos rectas distintas.
A, B ∈ `.
←→
AB = m.
` ∩ m 6= ∅.
` = m.
o ` ∩ m = ∅ o ` ∩ m 6= ∅.
←→
AB = `.
2. Teorema intersección recta-plano. Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la itersección consiste en un único punto.
←→
AB = `.
` 6⊆ α.
A = B.
` ∩ α = {A, B} con A 6= B.
` una recta.
` ⊆ α.
←→
Existe AB.
` ∩ α 6= ∅.
A, B ∈ `.
α un plano.
3. Teorema recta-punto-plano. Dada una recta y un punto que no está en ella, existe
exactamente un plano que los contiene.
Existe un único plano α que contiene a A, B y P .
A, B puntos distintos en `.
P un punto.
←→
AB ⊆ α.
P 6∈ `.
←→
{P } ∪ AB ⊆ α.
` una recta.
A, B y P son no colineales.
4. Teorema rectas intersecantes-plano. Si dos rectas diferentes se intersecan, entonces
ambas rectas están en exactamente un plano.
←→
AB ⊆ α.
A ∈ m.
C ∈ m y C 6= A.
C ∈ m.
` ∩ m = {A}.
←→
AB = `.
` y m dos rectas distintas.
Sea α el único plano que contiene a A, B y C.
←→
AC ⊆ α.
A, B y C puntos no colineales.
A ∈ `.
←→
←→
AB ⊆ α y AC ⊆ α.
B ∈ `.
` ∩ m 6= ∅.
←→
AC = m.
B ∈ ` y B 6= A.
