EJERCICIOS TAREA 4

EJERCICIOS
1. De acuerdo con la definición de derivada de una función
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒇´(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒉
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
Asignación
Estudiante 1
Ejercicio
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5
3
1
1
(𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ)2 + 5 − ( 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5)
3
3
𝑓´(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦 [
]
𝒉→𝟎
ℎ
1 3
1
(𝑥 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 2(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 5 − ( 𝑥3 + 2𝑥2 + 5)
3
3
𝑓´(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦 [
]
𝒉→𝟎
ℎ
1 3
1 3
1 3
2
2
2
2
𝑥
+
𝑥
ℎ
+
𝑥ℎ
+
ℎ
+
2𝑥
+
4𝑥ℎ
+
2ℎ
+
5
−
𝑥 − 2𝑥 2 − 5
3
3
3
𝑓´(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦 [
]
𝒉→𝟎
ℎ
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 [
1
𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ2 + 3 ℎ3 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 [
1
ℎ(𝑥 2 + 𝑥ℎ + 3 ℎ2 + 4𝑥 + 2ℎ)
ℎ
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
1
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 2 + 𝑥ℎ + ℎ2 + 4𝑥 + 2ℎ)
ℎ→0
3
1
𝑓´(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥(0) + (0)2 + 4𝑥 + 2(0)
3
𝑓´(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥
]
]
2. En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las
reglas de la derivación.
Asignación
Estudiante 1
Ejercicio
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3𝑥)2𝑥 + (9𝑥 2 + 2)3
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝟑𝒙)𝟐𝒙 + (𝟗𝒙𝟐 + 𝟐)𝟑
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3𝑥)2𝑥 (1)
𝑓(𝑥) = (9𝑥 2 + 2)3 (2)
Solución (1):
𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛(3𝑥)
𝑑(2𝑥)
𝑑(ln(3𝑥))
𝑓´(𝑥) = (
) (ln(3𝑥) + (2𝑥) (
)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓´(𝑥) = 2 ln(3𝑥) + (2𝑥)(
𝑓´(𝑥) = 2 ln(3𝑥) + 2
3
)
3𝑥
𝑓´(𝑥) = 2(ln(3𝑥) + 1)
Solución (2):
𝑓(𝑥) = (9𝑥 2 + 2)3
𝑓´(𝑥) = 3(9𝑥 2 + 2)2 (18𝑥)
𝑓´(𝑥) = 54𝑥(9𝑥 2 + 2)2
𝑓´(𝑥) = 54𝑥(81𝑥 4 + 36𝑥 2 + 4)
𝑓´(𝑥) = 4374𝑥 5 + 1944𝑥 3 + 216𝑥
Resultado final:
𝑓´(𝑥) = 2(ln(3𝑥) + 1) + 4374𝑥 5 + 1944𝑥 3 + 216𝑥
3. Calcule la derivada implícita de la siguiente función.
Asignación
Estudiante 1
𝑥2𝑦2 +
Ejercicio
𝑥
𝑥 2 𝑦 2 + = 2𝑥
𝑦
𝑥
= 2𝑥
𝑦
(𝑥)′ (𝑦) − (𝑥)(𝑦)′
[(𝑥 2 )′ (𝑦 2 ) + (𝑥 2 )(𝑦 2 )′ ] + [
]=2
𝑦2
2𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 𝑦𝑦 ′ +
𝑦 − 𝑥𝑦 ′
=2
𝑦2
Multiplicamos a ambos lados por 𝑦 2 :
𝑦 − 𝑥𝑦 ′
𝑦 (2𝑥𝑦 + 2𝑥 𝑦𝑦 +
) = 2𝑦 2
𝑦2
2
2
2
′
𝑦 − 𝑥𝑦 ′
2𝑥𝑦 + 2𝑥 𝑦 𝑦 + 𝑦 (
) = 2𝑦 2
𝑦2
4
2 3 ′
2
2𝑥 2 𝑦 3 𝑦 ′ + 𝑦 − 𝑥𝑦 ′ = 2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 4
2𝑥 2 𝑦 3 𝑦 ′ − 𝑥𝑦 ′ = 2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 4 − 𝑦
(2𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥)𝑦 ′ = 2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 4 − 𝑦
2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 4 − 𝑦
𝑦 =
2𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥
′
4. Calcule las siguientes derivadas de orden superior.
Asignación
Estudiante 1
Ejercicio
𝑓(𝑥) = 4𝑥 5 − 3𝑥 4 + 2𝑥
𝑓(𝑥) = 4𝑥 5 − 3𝑥 4 + 2𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 20𝑥 4 − 12𝑥 3 + 2
𝑓 ′′ (𝑥) = 80𝑥 3 − 36𝑥 2
Derivada de orden
superior
′′′
𝑓 (𝑥) =?
𝑓 ′′′ (𝑥) = 240𝑥 2 − 72𝑥
5. A continuación, se presentan el enunciado que deberá resolver y sustentar por medio de
video, representando la función y su respuesta en GeoGebra
Asignación
EJERCICIOS DE APLICIACIÓN
Para la función 𝒇(𝒙) dada calcular las coordenadas de los puntos
máximos, mínimos y de inflexión:
𝒇 (𝒙) = 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟑 − 𝟎. 𝟒𝟓𝒙𝟐 + 𝟐. 𝟒𝟑𝒙 + 𝟑𝟎𝟎
Estudiante 1
𝒇 (𝒙) = 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟑 − 𝟎. 𝟒𝟓𝒙𝟐 + 𝟐. 𝟒𝟑𝒙 + 𝟑𝟎𝟎
𝑓 ′ (𝑥) = 0.03𝑥 2 − 0.9𝑥 + 2.43
0.03𝑥 2 − 0.9𝑥 + 2.43 = 0
0.03𝑥 2 − 0.9𝑥 + 2.43
0
=
0.03
0.03
𝑥 2 − 30𝑥 + 81 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 − 27) = 0
𝑥 − 3 = 0,
𝑥 − 27 = 0
𝒙 = 𝟑, 𝒙 = 𝟐𝟕
Aplicamos el criterio de la segunda derivada:
𝑓 ′′ (𝑥) = 2𝑥 − 30
Cuando 𝒙 = 𝟑, 𝒙 = 𝟐𝟕 :
𝑓 ′′ (3) = 2(3) − 30 = −18 < 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑓 ′′ (27) = 2(27) − 30 = 24 > 0 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑓 (3) = 0.01(3)3 − 0.45(3)2 + 2.43(3) + 300
𝑓 (3) = 303.5
𝑷(𝟑, 𝟑𝟎𝟑. 𝟓𝟏) 𝑴Á𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶
𝑓 (27) = 0.01(27)3 − 0.45(27)2 + 2.43(27) + 300
𝑓 (3) = 234.4
𝑷(𝟐𝟕, 𝟐𝟑𝟒. 𝟒) 𝑴Í𝑵𝑰𝑴𝑶 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶
Cálculo del punto de inflexión:
𝑓 ′′ (𝑥) = 2𝑥 − 30
2𝑥 − 30 = 0
2𝑥 = 30
𝑥=
30
2
𝑥 = 15
𝑓 (15) = 0.01(15)3 − 0.45(15)2 + 2.43(15) + 300
𝑓 (15) = 268.9 ≅ 267 𝑷(𝟏𝟓, 𝟐𝟔𝟕) 𝑷𝑼𝑵𝑻𝑶 𝑫𝑬 𝑰𝑵𝑭𝑳𝑬𝑿𝑰Ó𝑵