CONTENIDO

METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
CONTENIDO
INTRODUCCION_____________________________________________________________________ 2
INTERPOLACION____________________________________________________________________3
INTERPOLACION LINEAL_____________________________________________________________ 3-7
POLINOMIO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE ________________________________________ 7-10
POLINOMIO DE INTERPOLACION NEWTON_ ___________________________________________ 10-23
DERIVACION NUMERICA_____________________________________________________________24-25
INTEGRACION NUMERICA___________________________________________________________ 25-26
TRAPECIO SIMPLE__________________________________________________________________ 26
TRAPECIO MULTIPLE ________________________________________________________ _______27
SIMPSON DE 1/3____________________________________________________________________27-28
SIMPSON DE 1/3 MULTIPLE___________________________________________________________28
SIMPSON DE 3/8____________________________________________________________________28-29
BIBLIOGRAFIA______________________________________________________________________30
CONCLUSION______________________________________________________________________30
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ROCIO RODRIGUEZ RUDO
408-C ING.CIVIL
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UNIDAD 3 Y 4
INTRODUCCION
Este trabajo habla de la diferenciación e integración numérica y se muestran
diversos métodos para la resolución de problemas relacionados con la vida
cotidiana. Se explican algunas técnicas de aproximación para la resolución de
diferenciales como lo son la formula de diferencia progresiva y regresiva, la formula
de tres puntos y la formula de cinco puntos, cada una detallada con ejemplos
sencillos para su fácil comprensión. También se discuten métodos desarrollados
específicamente para el problema formulado como una integral definida. Hay varias
razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la
imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Los métodos que se
abordan son: método del trapecio, métodos de Simpson, integración de Romberg,
método de cuadratura gaussiana.
OBJETIVO
Hacer una investigación detallada y precisa de los métodos utilizados para la
resolución de ejercicios de diferenciación e integración numérica (derivadas e
integrales), que por los métodos analíticos no suelen tener resultado.
DESARROLLO DE LA INVESTIGACION
A continuación se hace mención de algunos de los métodos numéricos que se
utilizan para la resolución de problemas de diferenciación e integración numérica,
explicándose con detalle cada uno de ellos, así como mencionando ejemplos y
aplicaciones de los mismos.
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UNIDAD 3 Y 4
Diferenciación numérica
Integración numérica
UNIDAD 3 INTERPOLACION
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la
obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de
puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de
puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir
una función que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación
de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo
cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e
interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por
supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que
si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del
problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede
compensar el error cometido.
En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función
f que verifique
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a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos x k se les
llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la
interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso
particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de
Hermite.
3.1 Interpolación lineal.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que
conocemos los valores en los extremos.El problema general de la interpolación se
nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de
puntos de la misma:
(x0, y0), (x1, y1),........., (xn, yn) Se pide hallar el valor de un punto x
(intermedio de x0 y xn) de esta función.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando
se tomen tres.
Interpolación lineal: consiste en evaluar el polinomio obtenido para estimar valores
de la función entre los dos puntos disponibles.
Para interpolar números por ejemplo el valor de la función f(x) cuando y = 6,
necesitaremos una coordenada por encima y otra por debajo de “y”.
Por ejemplo al ver la imagen utilizamos la coordenada (8,8) y la coordenada (4,4),
para interpolar el valor de x cuando y vale 6 primero:
Nos paramos en la gráfica cuando y=6, trazamos desde ese punto cuando y=6, una
línea totalmente vertical que corte el eje x, el valor de x en el punto que se corto el
eje x, es el resultado de la interpolación gráfica.
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Gráfico Interpolación Lineal
En la gráfica se observa que la interpolación lineal da como resultado una recta que
se ajusta a dos puntos dados, donde f(a) y f(b) son valores conocidos de f(x) en x=a
y x=b, estos puntos se aproximan a los resultados de la primera derivada de la
función.
Características:
• Es la base para varios modelos numéricos fundamentales. Al integrar la
función, se deduce el modelo de integración llamado regla del trapecio.
• Por la interpolación lineal se obtiene una recta que se ajusta a dos datos
dados; es decir, mediante la ecuación se puede conocer todos los valores de
f(x) que correspondan a los valores de x.
• Entre más pequeño es el intervalo entre los puntos, más exacto será la
aproximación.
Ventajas:
• la interpolación lineal es rápida y fácil, ya que solamente se hace el cálculo
de trayectoria de dos puntos.
• A pesar que se puede producir errores de cálculo entre intervalos, existe la
función de error que puede aproximar “x” a “xn”, que representaría el punto
medio entre los dos puntos.
• Entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la
aproximación.
Desventajas:
• La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.
• Si el comportamiento no corresponde al de una línea recta los valores
calculados no son correctos.
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•
Por interconectar dos puntos en línea recta de un polinomio los resultados no
se ajustan con exactitud para calcular el punto medio entre los mismo, por
ello es más efectivo el método cuadrático.
En ocasiones te encontrarás que tienes una serie de datos tabulados, en los que se
presenta la relación entre dos variables x, y y para las cuales necesitas conocer el
valor de y, para un determinado valor de x que precisamente no aparece en la tabla
en cuestión, pero que si está dentro del rango de valores de referencia:
De esta forma, y con relación a la figura anterior, si deseamos conocer el valor de
y, cuando x es igual a 2.5, tendríamos que seleccionar dos pares de datos desde la
tabla, entre los cuales se encuentre el valor de 2.5 referido.
En este caso, los datos disponibles nos indican que tenemos que seleccionar los
pares de valores (x0=2, y0=3) y (x1=4, y1=6).
Con esto, podremos aplicar la fórmula de Interpolación Lineal: yx
– y0 = x – x0
y1 – y0 = x1 –
x0
Y obtener el valor cuando x = 2.5:
En realidad la fórmula de Interpolación Lineal es la ecuación de una recta y, por lo
tanto, estaremos suponiendo durante su aplicación que la relación entre x y y es
lineal.
También se puede obtener la formula, utilizando triángulos semejantes,
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que es una fórmula de interpolación lineal. La notación f1(x) designa que éste es
un polinomio de interpolación de primer grado. Además de representar la pendiente
de la línea que une los puntos, el término [f(x1) – f(x0)] / (x1 – x0) es una aproximación
en diferencia dividida finita a la primer derivada.
3.2 Formula de interpolación de Lagrange.
Vale decir que existen otros métodos de Interpolación, como la cuadrática o la
cúbica, pero la más utilizada es la Interpolación Lineal, siempre y cuando los valores
utilizados de x0, y x1 estén lo suficientemente cercanos entre sí como para aceptar
el comportamiento lineal referido.
Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre
de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da
igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar
un método que otro.
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Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos.
El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.
Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:
Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que
pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir
un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de
interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se
ajusta a los n+1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular
los valores intermedios.
Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n+1
puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se
puede expresar este polinomio, entre ellos están los polinomios de Newton y de
Lagrange.
La interpolación de polinomios de Lagrange es simplemente una formulación del
polinomio de Newton que evita el cálculo por diferencias divididas.
Características:
• Generalmente los puntos más cercanos al punto desconocido, ejercen más
influencia que los más lejanos.
• Se trata de utilizar igual número de puntos a un lado y al otro del punto
desconocido.
• La distancia entre los diferentes puntos (x) (nodos) no necesariamente debe
ser la misma.
Ventajas:
• Es el método que permite resolver interpolación polinomial sin resolver las
ecuaciones lineales.
• Una ventaja de la interpolación de Lagrange es que el método no necesita
espaciados uniformemente en los valores de x. El método resulta óptimo
para abordar diferentes problemas de interpolación.
Desventajas:
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•
•
No siempre funciona correctamente con una gran cantidad de puntos. A
medida que crece el grado del polinomio interpolador, se percibe una
creciente variación entre puntos.
La cantidad de cálculos necesaria para una interpolación en grande. La
evaluación del error no es fácil.
Se puede expresar de manera concisa como:
La ecuación se puede derivar de manera directa a partir del polinomio de Newton.
Sin embargo, el racional resaltado de la formulación de Lagrange Li(x) se puede
captar de manera directa al darse cuenta que cada término será 1 en x=xi y 0 en
todos los otros puntos de la muestra. De esa manera, cada producto Li(x)f(xi) toma
el valor de f(xi) en el punto de muestra xi. En consecuencia, la sumatoria de todos
los productos designados para la ecuación es el único polinomio de n-ésimo orden
que pasa de manera exacta a través de todos los n+1 puntos.
Ejercicio: Use una interpolación del polinomio de Lagrange de primer y segundo
orden para evaluar ln(2).
x0 = 1 f(x0) = 0 x1 = 4 f(x1) =
1.386294 x2 = 6 f(x2) =
1.701760
Solución. El polinomio de primer orden se puede usar para obtener la estimación en
x=2.
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El valor de ln(2) = 0.6931472
Al incrementar el grado del polinomio de interpolación de Lagrange, el valor
calculado se va aproximando al valor verdadero.
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Ejercicio: Construir el polinomio interpolador por el método de Lagrange, que pase
por los puntos: {(1,1.5), (2, 3.9), (3, 9), (4, 15)}.
Solución: Sustituyendo se obtiene finalmente el polinomio interpolador: L 0(x)
L1(x)
L2(x)
L3(x)
f3(x) = f(x0) L0(x) + f(x1) L1(x) + f(x2) L2(x) + f(x3) L3(x) f3(x) =
RRRRRRROCISCJISUHCFS
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1.5 L0(x) + 3.9 L1(x) +9 L2(x) + 15 L3(x)
f3(x) = -0.3 x3 + 3.15 x2 – 4.95 x + 3.6
En resumen, para casos donde el orden del polinomio es desconocido, el método
de Newton tiene ventajas en el conocimiento que proporciona el respecto al
comportamiento de las fórmulas de diferente orden.
Cuando se ejecuta solo una interpolación, las formulaciones de Lagrange y Newton
requieren un notable esfuerzo computacional. Sin embargo, la versión de Lagrange
es un poco más fácil de programar. Debido a que no requiere de cálculos y
almacenaje de diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa a menudo cuando
el orden del polinomio es conoce a priori.
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3.3 Métodos de interpolación hacia adelante y hacia atrás de Newton para
puntos equidistantes.
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Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada:
a) Hacia adelante,
b) hacia atrás y
c) centrales.
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a) Formula de Newton o formula hacia adelante de Newton-Gregory..
Diferencias progresivas: Son llamadas diferencias hacia delante y que para toda
i=0,1,2,3...n y k=0,1,2,3...n, se definen como :
•
•
•
•
primeras diferencias : ∆1fi = fi+1 - fi
segundas diferencias : ∆2fi = ∆1fi+1 – ∆1fi
terceras diferencias : ∆3fi = ∆2fi+1 - ∆2fi
k- écimas diferencias ∆kfi = ∆k-1fi+1 - ∆k-1fi
RRRRRRROCISCJISUHCFS
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donde ∆ es el operador de diferencias progresivas
Consideramos la función tabular con espaciamiento “h” constante
x
f(x)
x0
f0
x1=x0+h
x1-x0=h
f1
x2=x0+2h
x2-x0=2h
f2
…
…
…
xk=x0+kh
xk-x0=kh
fk
xn=x0+nh
xn-x0=nh
fn
Como los denominadores de las diferencias dividas siempre van a ser kh,
k=1,2,…,n, podemos definir las diferencias dividas:
∆0f0 = f0 = f(x0)
14
∆1f0 = f1 - f0
∆nf0 = ∆n-1fi+1 – ∆n-1fi
Pn(x0+ht)=∆0f0+∆1f0 t + ∆2f0 t(t-1)/2! + ∆3f0 t(t-1)(t-2)/3!…+ ∆nf0 t(t-1)(t-2)…(t-n+1)/n!
Donde t = (x – x0) / h
ó
x = x0 + h t
ó
h = (x – x0) / t
Se puede escribir también:
A la fórmula anterior se le llama fórmula de diferencias divididas progresivas de
Newton y generalmente se utiliza cuando el valor x que se quiere aproximar se
encuentra más cerca de x0 que de xn.
Ejercicio: En base a la función tabular que se muestra:
x
f(x)
0
-5
1
1
2
9
3
25
4
55
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5
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1) preparar la tabla de diferencias divididas progresivas de Newton: 2)
hallar la función, teniendo como condiciones iniciales: x0 =1, f(x0)=1
Solución:
1) tabla de diferencias divididas progresivas:
x
f(x) 1ras diferencias
0
-5
1
1
2
9
3
4
5
25
55
105
2das diferencias
3ras diferencias
∆1f0=f1-f0=1-(-5) = 6
∆1f1=f2-f1=9-1 = 8
∆1f
2=f3-f2=25-9
= 16
1
∆ f3=f4-f3=55-25 = 30
∆1f4=f5-f4=105-55 = 50
∆2f0=∆1f1-∆1f0=8-6 = 2
∆2f1=∆1f2-∆1f1=16-8 = 8
∆2f2=∆1f3-∆1f2=30-16 = 14
∆2f3=∆1f4-∆1f3=50-30 = 20
∆3f0=∆2f1-∆2f0=8-2 = 6
∆3f1=∆2f2-∆2f1=14-8 = 6
3
∆ f2=∆2f3-∆2f2=20-14 = 6
Queda entonces la tabla de resultados:
x
f(x)
∆1f
∆2f
∆3f
0
-5
1
1
6
2
9
8
2
3
25
16
8
6
4
55
30
14
6
5
105
50
20
6
3
Por ser ∆ f constante, corresponde a un polinomio de tercer grado y es un polinomio
exacto.
2) hallar la función explicita, teniendo como condiciones iniciales: x0 =1, f0=1,
la tabla de resultado queda como:
x
f(x)
∆1f
∆2f
∆3f
1
1
2
9
8
3
25
16
8
4
55
30
14
6
5
105
50
20
6
Reemplazando en la ecuación general :
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Pn(x0+ht)=∆0f0+∆1f0 t + ∆2f0 t(t-1)/2! + ∆3f0 t(t-1)(t-2)/3!
dado que ∆0f0 = f0 = f(x0),
∆1f0=8, ∆2f0=8, ∆3f0=6:
Pn(x0+h t) = 1+8t+8t(t-1)/2!+6t(t-1)(t-2)/3!
Pn(x0+h t) = 1+8t+4t2–4t+t3–3t2+2t = t3+t2+6t+1 = t(t2+t+6)+1
x=x0+ht, h = x1-x0 = 2-1 = 1, por tanto t=(x–x0)/h = (x-1)/1 = x1
Pn(x) = (x-1)((x-1)2+(x-1)+6)+1 = (x-1)(x2-2x+1+x-1+6)+1= (x-1)(x2-x+6)+1
Pn(x) = (x3-x2+6x-x2+x-6)+1
Pn(x) = x3-2x2+7x-5
b) Newton hacia atrás
Hacemos algo parecido al caso anterior, pero ahora resulta que:
0
fi = fi
1
fi = fi – fi-1
n
n -1
fi =
fi –
n -1
fi-1
El polinomio queda:
Pn(xn+ht)= 0fn+ 1fn t+ 2fnt(t+1)/2!+ 3fnt(t+1)(t+2)+…+ nfnt(t+1)(t+2)…(t+n-1)/n! Donde
t = (x – xn) / h
ó
x
xn) / t Se puede escribir
= xn + h t ó
h = (x –
también:
Esta fórmula se conoce como fórmula de diferencias divididas regresivas de Newton
y se utiliza cuando el valor x que se quiere aproximar se encuentra más cerca de xn
que de x0.
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Donde es el operador de diferencias regresivas, nótese que el caso hacia adelante
usa fuertemente los datos de la primera fila de la tabla, y aquí del último. Esto puede
convenir para reordenarlos si se sabe dónde están los menos confiables.
En la tabla de diferencias divididas, los coeficientes para la fórmula progresiva de Newton
se encuentran en la diagonal (superior), y para la fórmula regresiva se encuentra en la
diagonal (inferior).
Relación entre diferencias hacia adelante y hacia atrás:
nfj =
∆nfj-1
Ejercicio: Aproximar ƒ(1.2) y ƒ(2.4) con los siguientes datos de la tabla y las fórmulas
apropiadas de diferencias divididas
xi
1 1.5 2
2.5
f(xi) 1 0.8 0.65 0.55
Solución:
Para aproximar ƒ(1.2) se usa la fórmula de diferencias divididas progresivas, ya
que x=1.2 está más cerca de x0=1 que de xn=2.5. h=x1-x0=1.5-1=0.5
x=x0+ht
1.2 = 1+0.5 t
luego t = 0.4
Se construye la tabla de diferencias divididas progresivas:
x
f(x)
1
1
1.5
0.8
2
2.5
0.65
0.55
1ras diferencias
2das diferencias
∆1f0=f1-f0=0.8-1=-0.2
∆1f1=f2-f1=0.65-0.8=-0.15
∆1f2=f3-f2=0.55-0.65=-0.1
∆2f0=∆1f1-∆1f0=-0.15-(-0.2)=0.05
∆2f1=∆1f2-∆1f1=-0.1-(-0.15)=0.05
Pn(x0+ht) = ∆0f0 + ∆1f0 t + ∆2f0 t (t-1) / 2!
Pn(1.2) = 1+(-0.2)(0.4)+0.05(0.4)(0.4-1)/2! = 0.914
Para aproximar ƒ(2.4) se usa la fórmula de diferencias divididas regresivas ya que
x=2.4 está más cerca de xn = x3 = 2.5 que de x0 = 1 h=xn - xn-1=2.5 - 2=0.5 x=xn+ht 2.4
= 2.5 +0.5 t luego t = - 0.2.
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METODOS NUMERICOS
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Se construye la tabla de diferencias divididas regresivas:
Pn(xn+h t) =
x
f(x)
1
1
1.5
0.8
2
2.5
0.65
0.55
0f
n+
1ras diferencias
2das diferencias
∆1f1=f1-f0=0.8-1=-0.2
∆1f2=f2-f1=0.65-0.8=-0.15
∆1f3=f3-f2=0.55-0.65=-0.1
1f
n t+
2f
∆2f2=∆1f2-∆1f1=-0.15-(-0.2)=0.05
∆2f3=∆1f3-∆1f2=-0.1-(-0.15)=0.05
n t(t+1)/2!
Pn(xn+h t) = 0.55+(-0.1)(-0.2)+0.05(-0.2)(-0.2+1)/2! = 0.55+0.02-.004 = 0.566
3.4 Aplicaciones de la interpolación.
Ejercicio: Por un recibo de gas en el que se han consumido 10 m3 se han pagado
$50 y por 16 m3 se han pagado $71 ¿Cuánto habrá que pagar por un consumo de
$15?
Solución
Puntos uno (10, 50) y dos (16, 71), la fórmula de interpolación lineal queda:
y = y1 + (y2-y1)(x-x1)/(x2-x1)
y = 50 + (71-50)*(15-10)/(16-10) = 50 + 21*5/6 = $67.50
Ejercicio: Apliquemos esta para resolver un problema químico clásico.
Las densidades del sodio para tres temperaturas se dan en la tabla siguiente:
Temperatura Ti °C Densidad ρi kg/m3
Observación i
T
f(T)
0
1
2
94
205
371
929
902
860
Escribir el polinomio de Lagrange que se ajusta a los datos experimentales y
determinar la densidad para T=251°C.
Solución:
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METODOS NUMERICOS
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f(T)=
Graficando esta expresión.
Como se ve, el ajuste del polinomio a los datos experimentales corresponde a una
parábola y se puede determinar ahora un valor de densidad para una temperatura
no reportada.
b) Calcúlese ahora el valor de la densidad para T=251°C sustituyendo en la
expresión, se tiene:
f(251)=
f(251) = 890.5 kg /cm3
Esta aproximación tiene un error de 5.53%.
3.5 Uso de herramientas computacionales.
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METODOS NUMERICOS
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Interpolación lineal.
Conocemos los datos de (x1, y1) y de (x2, y2) y queremos conocer el valor
desconocido de y cuando se proporciona la abscisa x1<x<x2. Si suponemos que los
puntos 1 y 2 están unidos por una recta.
MATLAB dispone para este propósito de la función interp1.
Existen otros procedimiento de interpolación: nearest, cubic, spline, etc.
Creamos el script interpolacion, y seleccionamos el procedimiento por defecto
'linear'
x=[0.97 1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44];
y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51 1.44
0.52]; xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0];
yy=interp1(x,y,xx,'linear'); disp([xx' yy'])
Corremos el script interpolacion en la ventana de comandos
>> interpolacion
1.0000 2.1500
2.0000 0.2491
3.5000 7.6073
5.5000 6.8489
8.0000 3.1674
Completamos el script interpolacion para incluir la representación gráfica de los
datos (color rojo) y los interpolados linealmente (color verde) x=[0.97 1.12 2.92
3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44]; y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44 8.07 6.37 2.51
1.44 0.52]; xx=[1.0 2.0 3.5 5.5 8.0];
yy=interp1(x,y,xx,'linear');
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METODOS NUMERICOS
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disp([xx' yy']) hold on plot(x,y,'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(xx,yy,'o','markersize',5,'markerfacecolor','g'
) xlabel('x') ylabel('y')
title('Interpolación lineal'); hold
off
Con la interpolación lineal hay que ser cuidadoso. En la figura de la izquierda
tenemos la aproximación lineal (en rojo) de una función (en negro) que es muy pobre
ya que los puntos están muy separados. Añadiendo un punto intermedio, mejora la
aproximación lineal.
Splines
Es otro modo de interpolación que produce muy buenos resultados y cuya
explicación se puede encontrar en textos de cálculo numérico. x=[0.97
1.12 2.92 3.00 3.33 3.97 6.10 8.39 8.56 9.44]; y=[2.58 0.43 0.06 5.74 7.44
8.07 6.37 2.51 1.44 0.52]; xx=linspace(x(1),x(end),80);
yy=interp1(x,y,xx,'spline');
plot(xx,yy,x,y,'o','markersize',4,'markerfacecolor','r')
xlabel('x') ylabel('y')
title('Interpolación spline');
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
Como podemos apreciar, esta gráfica difiere significativamente, de la primera.
Microsoft Excel no cuenta con una Función específica para la realización de la
Interpolación Lineal y, por lo tanto, lo que haremos será plantear, a través de otras
funciones disponibles en este programa, la hoja de cálculo que te permita obtener
el valor de y, para determinado valor de x, sin necesidad de estar “buscando” los
valores de x0, y0, x1 y y1.
¿Cómo implementar la interpolación Lineal en una Hoja de Microsoft Excel?
Si bien el cálculo sin la ayuda de funciones es sencillo utilizando bien sea una
calculadora o al mismo Excel, la ventaja de la implementación que vamos a realizar
es que no será necesario ubicar visualmente (o manualmente), entre los datos (que
en alguna ocasión podrán ser unos cuantos), los valores de referencia para la
aplicación de la fórmula de Interpolación Lineal.
De esta forma debemos realizar las siguientes implementaciones:
1.- Utilizar la Función COINCIDIR de Excel para Determinar la Posición de los
Valores x0 y y0 en la Fórmula de Interpolación Lineal.
La función COINCIDIR busca un elemento especificado en un rango de celdas y, a
continuación, devuelve la posición relativa de ese elemento en el rango.
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
De forma opcional, podremos indicar el tipo de coincidencia deseado. En el caso de
la Interpolación Lineal, colocaremos 1 (valor por defecto) para poder obtener el valor
inmediatamente inferior o igual al valor buscado.
2.- Utilizar la función ÍNDICE de Microsoft Excel para determinar los valores de x0,
y0, x1 y y1 en la fórmula de Interpolación Lineal.
Con la función INDICE podremos obtener el valor de la variable que ocupa
determinada posición dentro de un rango especificado.
De esta forma, y como veremos en la siguiente figura, logramos obtener los valores
de referencia para la fórmula de Interpolación Lineal:
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
3.- Implementar la Fórmula de Interpolación Lineal en la Hoja de Cálculo.
Conocidos los valores de nuestros datos, lo que queda es realizar la Interpolación
Lineal en la Hoja de Cálculo:
Realizar el ejercicio anterior realizando lo siguiente:
1) Graficar usando tipo dispersión
2) Modificar el formato de líneas de tendencias, anotando paloma a los
recuadros, presentación ecuación del gráfico y presentar el valor de R 2
(dispersión debe ser mayor a 0.95).
3) Escribir la ecuación del punto 2) en una celda para hacer la proyección
(extrapolación) o interpolación, dado un valor de x.
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
A continuación se presenta un programa en MATLAB para la interpolación de
Lagrange.
clear;
clc;
fprintf('Interpolacion con el Metodo del Polinomio de Lagrange\n\n');
n=input('grado del polinolio: '); for i=1:n+1 x(1,i)=input('dame los
valores de xi:');
end for i=1:n+1 xi(1,i)=input('dame los valores
de f(xi):');
end
xint=input('Numero para el que desea interpolar x: '); fxint=0;
i=1;
while
i<=n+1
L=1; J=0; while
J<=n if i~=J+1
L=L*(xint-x(1,J+1))/(x(1,i)-x(1,J+1));
End
J=J+1;
End
fxint=fxint+L*xi(1,i);
i=i+1 end
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
fprintf('\nresultado interpolado xi:
%d',fxint'); plot(x,xi) grid
xlabel('x');ylabel('
y')
DIFERENCIACIONE INTREGACION NUMERICA
Derivación numérica
Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn,
fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en
principio no tiene porqué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma
más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada
utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de
diferencias finitas.
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función
en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:
Diferencias hacia atrás:
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para
minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema
dado:Diferencias centrales:
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.
TRAPECIO SIMPLE
En matemáticas la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método
para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.
La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que
pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio
bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que
y donde el término error corresponde a:
Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
Regla del trapecio compuesta
La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una
integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f
es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida
representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b.
Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:
REGLAS DE SIMPSON:
Ademas de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra manera de
obtener una estimacion mas exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden
superior para conectar los puntos.
A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de
Simpson.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la
ecuacion:
Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange
de segundo orden, entonces la integral es:
Despues de integrar y de reordenar terminos, resulta la siguiente ecuacion:
·
REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.
Asi como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integracion
en segmentos de igual anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:
reordenando
los
terminos,
se
obtiene:
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
·
REGLA DE SIMPSON DE 3/8.
De manera similar a la derivacion de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se
ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;
para obtener
En donde h=(b-a)/3.
A esta ecuacion se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un multiplo de 3/8. Esta es
la tercera regla cerrada de integracion de Newton-Cotes.
·
REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mrtodo de preferencia ya que alcanza
exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para
la version de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos multiples cuando el
numero de segmentos es impar.
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
Para una estimacion de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de
1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los ultimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimacion con exactitud de tercer orden a traves del intervalo
completo
CONCLUSION
Como se mostró existen diferentes fórmulas para la realización de diferenciales y pudimos
notar que algunas tienen un grado de dificultad mayor que otras pero la utilización de ellas
depende del tipo de diferencial a resolver, es decir del tipo de problema a enfrentar,
debemos saber identificar cuál de ellas utilizar para su correcta solución. Lo mismo sucede
son los diferentes métodos de integración numérica ya que también existen diversos
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METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3 Y 4
procedimientos pero la buena resolución de un problema de integración se deberá del uso
correcto y la buena identificación del tipo de método a utilizar.
Bibliografía: http://matematica.laguia2000.com/general/interpolacion-lineal
http://esimecu-anumerico.blogspot.mx/2011/06/interpolacion-de-newton.html
http://aniei.org.mx/paginas/uam/CursoMN/curso_mn_07.html
http://cursos.aiu.edu/Metodos%20Numericos/PDF/Tema%204.pdf
http://mmc.geofisica.unam.mx/acl/edp/Ejemplitos/IntegracionNumerica/Integracion
Numerica.pdf
https://fjarabo.webs.ull.es/VirtualDoc/Curso%2020112012/Ingenier%C3%ADa%20Qu%C3%ADmica/2_Teoria/Tema_6_Ingenieria_de_l
a_Reaccion_Quimica/A60/603_Integracion_grafica_por_Trapecios.pdf
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