Interpolación numérica

TEMA 5: INTERPOLACIÓN
Índice:
 Introducción.
 Polinomio de interpolación de Lagrange.
 Términos y cotas de error.
 Polinomio de interpolación de Newton.
 Interpolación polinomial a trozos.
Introducción
 Dados N+1 ptos. de una curva, y=f(x), (x0,y0),…,(xN,yN),
siendo, ax0 …..  xN  b, el polinomio de interpolación es
un polinomio P(x) de grado menor o igual que N, que pase
exactamente por los N+1 ptos. (nodos).
 Siendo c(a,b), f(c)P (c) : Interpolación.
 Si c(a,b) : Extrapolación.
 El polinomio de interpolación es único.
Polinomio de Lagrange
f (x)
y
P1 ( x )  y0
P1
 y0  L1,0 ( x )  y1  L1,1 ( x )
P0
x
Polinomios coeficientes de Lagrange
L1,0 ( x ) 
( x  x0 )  ( x  xk 1 )( x  xk 1 )  ( x  xN )
LN ,k ( x ) 
( xk  x0 )  ( xk  xk 1 )( xk  xk 1 )  ( xk  x N )
Polinomio de int erpolación de Lagrange
PN ( x )   yk LN ,k ( x )
N
k 0
x  x1
x  x0
 y1

x0  x1
x1  x0
x  x1
x0  x1
y
L1,1 ( x ) 
LN ,k ( x)   ( x  x j )
N
j 0
j k
x  x0
x1  x0
 (x
N
j 0
j k
 LN ,k ( x j )  1 , si k  j

 LN ,k ( x j )  0 , si k  j
Desventajas: Nº de operaciones y Añadir un nuevo nodo
k
 xj )
Término y cota de error
 Sea f(x) CN+1[a,b] , y x0, x1,..xN [a,b] . Si x [a,b] ,
f(x) = PN(x) + RN(x),
( x  x0 )( x  x1 )  ( x  xN ) f ( N 1) ( )
RN ( x) 
( N  1)!
 El error se puede estimar si se tiene una idea de los
valores de fn+1)(x).
 El término : (x-x0)(x-x1)…..(x-xN) será menor en el punto
en el que se interpola, si dicho punto está centrado entre
los nodos.
Diferencias divididas
De orden 0
f [ x0 ]  f ( x0 )
De primer orden
f [ x0 , x1 ] 
f [ x1 ]  f [ x0 ]
x1  x0
De segundo orden
f [ x2 , x1 ]  f [ x0 , x1 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] 
x2  x0
De orden n
f [ xn ,  , x1 ]  f [ xn 1 ,  , x0 ]
f [ x0 , x1 , ..., xn ] 
xn  x0
Tabla de diferencias divididas y propiedades
x0 , f ( x 0 )
 f  x0 x1  
f ( x1 )  f ( x0 )
x1  x0
 f  x0 x1 x2  
x1 , f ( x1 )
 f  x1 x2  
f ( x2 )  f ( x1 )
x2  x1
 f  x1 x2 x3  
x2 , f ( x2 )
 f  x 2 x3  
x3 , f ( x3 )
f ( x3 )  f ( x 2 )
x3  x 2
f  x1 x 2   f  x0 x1 
x2  x0
f  x2 x3   f  x1 x 2 
 f  x0 x1 x 2 x3  
f  x1 x2 x3   f  x0 x1 x2 
x3  x0
x3  x1
 La diferencia dividida de cualquier orden es independiente del orden en
que se tomen los nodos.
 La diferencia dividida de orden K se calcula recursivamente a partir de
dos diferencias divididas de orden K–1.
Polinomio de interpolación de Newton
Para evitar la desventaja del polinomio de Lagrange, el
polinomio de interpolación de Newton trata de calcular el
polinomio de forma recursiva, es decir, el de grado 2 a
partir del de grado 1,..y el de grado N a partir del de grado
N-1.
P1 ( x)  a0  a1 ( x  x0 )
P2 ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )
P3 ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )  a3 ( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )

Pn ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )( x  x1 )   
 an ( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )  ( x  xn1 )
Pn ( x )  f ( x0 )  f  x0 x1  ( x  x0 )    f  x0 x1  xn  ( x  x0 )  ( x  xn 1 )
 La diferencia dividida de orden K es el coeficiente de xk
en Pk(x).
Relación entre la diferencia dividida y la
derivada. Término de error
Sean f  Cn[a,b] y x0, x1, ..., xn n+1 puntos distintos en
[a,b]. Entonces   (a,b) tal que:
f [x0, x1, ..., xn] = f n)() / n!
n
f n 1) ( ) n
Rn ( x ) 
( x  xi )  f  x0 , x1 , , xn , z   ( x  xi )

(n  1)! i 0
i 0
Si no se conoce f, pero se tiene la tabla de diferencias
divididas se puede estimar el error mediante la diferencia
dividida de orden n+1, esto es :
f [x0, x1, ..., xn,z]  f [x0, x1, ..., xn,xn+1]
(Regla del término siguiente)
Interpolación polinomial a trozos(1).
 Consiste en ir definiendo polinomios de grado bajo que
interpolan a la función en dos nodos consecutivos. Así,
Sk(x) es el polinomio que interpola a f en dos nodos
consecutivos (xk,yk) y (xk+1,yk+1). El conjunto de funciones
S(x) = {Sk(x)} forma la curva polinomial a trozos o spline.
 Los más utilizados son los cúbicos ya que con ellos se
puede conseguir la continuidad de S(x) y de su primera y
segunda derivada en todos los nodos.
Interpolación polinomial a trozos(2).
S0 ( x)  a0  b0 ( x  x0 )  c0 ( x  x0 )2  d0 ( x  x0 )3 , x0  x  x1



S ( x)  Sk ( x)  ak  bk ( x  xk )  ck ( x  xk )2  dk ( x  xk )3 , xk  x  xk 1


Sn1 ( x)  an1  bn1 ( x  xn1 )  cn 1 ( x  xn1 )2  dn 1 ( x  xn 1 )3 , xn 1  x  xn
Para obtener los 4n parámetros se tienen en principio 4n  2 condiciones :
Sk ( xk )  yk
,
Sk ( xk )  Sk 1 ( xk )
,
Sk '( xk )  Sk 1 '( xk )
, Sk ''( xk )  Sk 1 ''( xk )
Las dos condiciones restantes se pueden establecer de diferentes formas.
Las más utilizadas normalmente son las restricciones en los extremos :
S ''( x0 )  S ''( xn )  0 : Spline Natural
S '( x0 )  f '( x0 ) y S '( xn )  f '( xn ) : Spline con condiciones de contorno