Laboratorio de Cálculo Numérico MA

Laboratorio de Cálculo Numérico MA-33A
Sesión: Interpolación
Introducción
En esta sesión de laboratorio se interpolarán funciones usando el polinomio de interpolación y la función spline.
En la actividad 1, se implementarán diversas fórmulas que permiten calcular el polinomio de interpolación. En
la actividad 2, se usará la mejor implementación de la actividad 1, para graficar polinomios de interpolación de
diversas funciones y con diferentes mallas de modo de apreciar en el computador los errores de interpolación. En
la actividad 3 se implementará la función spline y se graficarán algunas de ellas para compararlas con el polinomio
de interpolación. Finalmente, en esta actividad se estudiarán las estabilidades de estas técnicas de interpolación,
cuando los puntos de interpolación se mueven un poco.
1.
Diversas Implementaciones del polinomio de Interpolación
Recordemos que dada una función f : I ⊆ R → R y una malla de n puntos {x 1 , x2 , . . . , xn }, existe un único polinomio
P de grado ≤ (n − 1) que cumple la condición de interpolación
P(xi ) = f (xi ),
∀i ∈ {1, 2, . . . , n} .
Atención: Note que los puntos de la malla se han numerado de 1 a n (ya que en SCILAB los índices no parten en
0). Por ese motivo el polinomio será de grado ≤ (n − 1).
Para calcular este único polinomio de interpolación, existen diversas fórmulas, a saber: la de Vandermonde, la
de Lagrange y la de Newton. A continuación veremos como se implementan cada una de ellas y cuales son sus
ventajas y desventajas. Las pruebas la haremos con la función sen (x) en el intervalo [0, 4π] usando una malla
equiespaciada de n puntos. Como esta función tiene todas sus derivadas acotadas por 1, se puede demostrar (ver
curso) que cuando n → ∞, el polinomio de interpolación converge a la función.
1.1.
Fórmula de Vandermonde
Esta fórmula muy elemental se obtiene escribiendo el polinomio P en la base canónica como
P(x) = a1 + a2 x + a3 x2 + · · · + an xn−1 .
Para encontrar las constantes ai se imponen las condiciones de interpolación de los datos, es decir
a1 + a2 x1 + a3 x21 + · · · + an x1n−1 =
..
..
.
.
f (x1 ),
..
.
a1 + a2 xn + a3 x2n + · · · + an xnn−1 =
f (xn ),
Las ecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas son los coeficientes del
polinomio. En forma matricial este sistema se escribe

 


f (x1 )
a1
1 x1 x21 · · · x1n−1
 .. ..
.. . .
..   ..  =  .. 
 . .
.
.
.  .   . 
1 xn x2n · · ·
xnn−1
an
1
f (xn )
Programación:
Abra el editor de SCILAB y edite allí un archivo denominado vandermonde.sce. En ese archivo agregue
las instrucciones que siguen.
Comience por definir la malla de n puntos y los datos que se interpolaran mediante las lineas siguientes:
n=2; a=0; b=4* %pi;
XMalla=linspace(a,b,n)’;//vector columna
YMalla=sin(XMalla);
El valor de n lo podrá cambiar mas tarde.
Defina ahora la matriz de Vandermonde, columna a columna, como
MV=[];
for i=0:(n-1) ;
MV=[MV XMalla.^i] ;
end
Ahora agregue las instrucciones SCILAB que resuelven el sistema MV*CoeffA=YMalla, para así calcular los
coeficientes del polinomio de interpolación. (Si no recuerda como resolver un sistema con SCILAB pídele
ayuda al ayudante).
CoeffA=.........;//Complételo usted
Ejecute su programa pinchando el botón Load into Scilab del editor o mediante exec(“vandermonde.sce”);
directamente en la ventana SCILAB.
Si todo funciona bien debiera obtener (salvo redondeo)
1
0
0
MV =
, CoeffA =
1 12,57
−3,9e − 17
Esto lo puede verificar escribiendo directamente en la ventana SCILAB (no en el editor)
MV enter
CoeffA enter
Pruebas numéricas
El polinomio de interpolación ya está calculado. Ahora lo graficaremos junto con la función seno para ver si se
parecen o no. En toda la prueba numérica trabajaremos en el archivo vandermonde.sce variando el valor de la
variable n.
Para hacer el gráfico definiremos una malla auxiliar t como el siguiente vector columna:
t=linspace(a,b,1001)’;
Para graficar seno definimos sus valores exactos en la malla auxiliar t como
yexacto=sin(t);
Ahora, para evaluar el polinomio de interpolación en la malla auxiliar t, recordamos que P(t) = ∑ni=1 ai t i−1 .
Esta sumatoria se puede evaluar mediante un for del modo siguiente:
PolVan=0; for i=1:n; PolVan=PolVan+CoeffA(i) * t^(i-1); end
Finalmente debemos hacer el gráfico. La idea es ver las dos curvas simultáneamente. Para esto, usaremos
una instrucción más compleja para los gráficos, ella es la instrucción plot2d(Mx,My).
Esta instrucción recibe dos matrices Mx y My del mismo tamaño e interpreta cada columna como una curva.
2
Estas curvas se dibujan simultaneas (O sea 2 columnas⇒2 curvas, 3 columnas⇒3 curvas, etc.). En el caso
que todas las columnas de Mx sean iguales se puede reemplazar la matriz Mx por un solo vector columna Vx.
Esta última versión es la que usaremos aquí. O sea
xbasc();xselect();plot2d(t, [yexacto PolVan]);
plot2d(XMalla,YMalla,style=-3,strf=”000”);
Note que [yexacto PolVan] es la matriz que tiene dos columnas con los dos gráficos que se desean. El segundo plot2d dibuja los puntos de interpolación con cruces
(gracias al parámetro opcional style=-3).
Ejecute su programa para valores crecientes de n. Siga la secuencia n=2,4,6,8, etc. hasta que observe que
el polinomio de interpolación no respeta la teoría (algo así como que el polinomio deje de pasar por los
puntos). Guarde el primero de los gráficos incoherentes con el nombre vandermonde_”valor de n”.GIF
(donde “valor de n” será un número).
Agregue todos los comentarios relativos a esta experiencia numérica en un Documento Word de nombre
Informe.doc. Agregue en este informe el gráfico guardado como archivo .GIF del punto anterior.
1.2.
Fórmula de Lagrange
La fórmula de Lagrange entrega el polinomio de interpolación en forma explícita, mediante la ecuación
P(t) =
n
n
i=1
j=1
j6=i
(t − x j )
∑ f (xi ) ∏ (xi − x j )
Está fórmula se programa directamente en forma indicial usando un doble for.
Copie el archivo vandermonde.sce a lagrange.sce (basta con hacer “Save as”). En este nuevo archivo,
borre todas las lineas que calculan el polinomio de interpolación usando el método de Vandermonde. Conserve solo las lineas que definen la malla, los datos de interpolación, la malla auxiliar y que realizan los
gráficos.
Programe la fórmula de Lagrange (donde antes calculaba PolVan=...) mediante un doble for. Claramente
la fórmula anterior se puede programar así:
PolLag=0;
for i=1:n
pitat=1;
II=1:n; II(i)=[];//índices diferentes de i
for j=II; pitat=pitat .* (t-XMalla(j)) / (XMalla(...)-XMalla(...)); end//complete lo
que falta
PolLag=PolLag + YMalla(i)*pitat;//los f (xi ) están guardados en YMalla(i)
end
Observaciones: La instrucción II(i)=[];
elimina
del arreglo II el valor igual a i.
n
o
j=1,...,n
Así se puede hacer la pitatoria para
mediante el for j=II;. Para complej6=i
tar el denominador que falta mire la fórmula de Lagrange.
Modifique la instrucción plot2d donde graficaba el polinomio PolVan para ahora graficar el polinomio
PolLag. Ejecute el programa y pruebe con valores de n grandes (n=10,20,30,...,etc.).
Guarde algunos gráficos de esta interpolación cuando comiencen a manifestarse los errores. Comente su
experiencia en el archivo informe.doc. Comente las diferencias entre esta fórmula y la de Vandermonde,
desde el punto de vista teórico y práctico. Agregue el gráfico guardado.
3
1.3.
Fórmula de Newton
La fórmula de Newton es una elaboración de la fórmula de Lagrange que la transforma en una fórmula incremental.
El resultado final es
P(t) = f [x1 ] + f [x1 , x2 ](x − x1 ) + · · · + f [x1 , . . . , xn ](x − x1 ) · · · (x − xn−1 )
donde los coeficientes f [x1 ], f [x1 , x2 ], . . . , f [x1 , . . . , xn ] se llaman diferencias divididas y se calculan en forma recursiva según la tabla
x1 f [x1 ]
&
x2 f [x2 ] → f [x1 , x2 ]
&
&
x3 f [x3 ] → f [x2 , x3 ] → f [x1 , x2 , x3 ]
&
&
&
x4 f [x4 ] → f [x3 , x4 ] → f [x2 , x3 , x4 ] → f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
Note que de esta tabla, solo interesan las diferencias divididas de la diagonal.
Para programar esta tabla, las diferencias divididas de la diagonal se calcularán en el vector columna DifDiv.
Inicialmente este vector será igual a los valores de f (x i ) y en forma recursiva se irán modificando sus valores, de
modo de avanzar hacia la derecha en la tabla. El esquema de cálculo se puede visualizar del modo siguiente:
i=2
∆1
∆2
∆3
∆4
∆5
∆6
∆7
∆8
∆9
∆2
∆3
∆4
∆5
∆6
∆7
∆8
∆9
∆3
∆4
∆5
∆6
∆7
∆8
∆9
i=5
∆4
∆5
∆6
∆7
∆8
∆9
Algoritmo de Reactualización
∆5
∆6
∆7
∆8
∆9
Desde i = 2 hasta n:
DifDiv j ←
DifDiv j − DifDiv j−1
x j − x j−(i−1)
∀ j ∈ {i, . . . , n}
Copie el archivo lagrange.sce a lagrange-newton.sce. Aquí no borre la fórmula de Lagrange para
compararla con la fórmula de Newton.
Programe el cálculo de las diferencias divididas.
DifDiv=YMalla;
for i=2:n; j=i:n; DifDiv(j)= (...) ./ (....); end
Nuevamente complete usted lo que falta.
Programe el cálculo de P(t) usando la fórmula de Newton P(t) =
mediante un doble for.
PolNew=0;//este será el polinomio evaluado en t
for i=1:n;
pitat=1;
for j=1:(i-1); pitat=pitat .* ..... ; end;
4
n
i−1
i=1
j=1
∑ DDi ∏(t − x j )
PolNew=PolNew+DifDiv(i)*........;
end
Complete usted lo que falta.
2.
Ahora modifique el plot2d para graficar simultáneamente las tres curvas: f (x), Lagrange y Newton. Ejecute
el programa para valores grandes de n (donde comienzan a verse los errores) y agregue sus comentarios al
informe.
Interpolaciones varias de otras funciones
Para aprovechar el programa hecho, visualizaremos otros polinomios de interpolación obtenidos para otras funciones. Esto lo haremos en un nuevo archivo llamado interpolaciones.sce. De todas las formas para calcular el
polinomio de interpolación nos quedaremos con la fórmula de Newton. Comenzaremos por limpiar el programa de
la actividad anterior.
2.1.
Transformación del código a una forma más operativa
Para que el programa de interpolación sea más operativo, definiremos dos funciones SCILAB que nos permitan
fácilmente encontrar el polinomio de interpolación de una curva. La primera función calculará las diferencias
divididas y la segunda evaluará el polinomio en una malla auxiliar t i .
Escriba un archivo llamado funciones.sci. En este archivo comenzaremos por definir la función difdiv,
que recibe la malla X y los datos Y y calcula la tabla de diferencias divididas según la estrategia ya estudiada
en la sección anterior. Para definir esta función escriba lo siguiente:
function D=difdiv(X,Y)
N=length(X);
X=matrix(X,N,1);Y=matrix(Y,N,1);
Esta instrucción transforma el arreglo X en un vector columna con las mismas componentes (precaución que es necesaria para que la función sea más robusta).
D=Y;
for i=2:N
j=i:N;
D(j)= (D(j)-D(j-1)) ./ (X(j)-X(j+1-i) );
end
Note que la variable auxiliar D es la que será devuelta por la función con las diferencias divididas.
Ahora definiremos la función EvalNewton que recibe la malla auxiliar t, la malla de interpolación X y las
diferencias divididas ya calculadas D. Esta función entregará la evaluación del polinomio de interpolación
en cada uno de los puntos definidos por la malla t. Para definir esta función, basta con agregar las siguientes
lineas a continuación de las que definían a la función difdiv anterior:
function Pt=EvalNewton(t,X,D)
N=length(X); Pt=0;
for i=1:N
p=1; for j=1:(i-1); p=p .* (t-X(j)); end;
Pt=Pt+D(i)*p;
end
5
Guarde su archivo Lagrange-Newton.sce en interpolaciones.sce. Allí agregue al principio la instrucción
getf(“funciones.sci”);
con esto se cargarán las definiciones de las funciones anteriores.
En la parte donde usted calculaba el polinomio de interpolación, borre todas las lineas innecesarias y cámbielas por los llamados a las dos funciones difdiv y EvalNewton. Es decir donde corresponda escriba
DD=difdiv(XMalla,YMalla);
y para evaluar el polinomio en la malla auxiliar t escriba
Pol=EvalNewton(t,XMalla,DD);
Si ejecuta su programa en este momento, debiera funcionar igual que al final de la actividad 1. Verifíquelo.
Recuerde que ahora hay que graficar solo el polinomio llamado Pol junto a la función seno.
Para interpolar otras funciones, agregue al archivo funciones.sci las siguientes definiciones:
function y=f1(x)
y=sin(x);//esta es la misma función de antes
function y=f2(x)
y=sin(4*x);//esta otra función
function y=f3(x)
y=1 ./(1+x.*x)
function y=f4(x)
y=sin(x)+sin(4*x)
Para interpolar alguna de estas funciones, defina la función ff=f1; (o f2, o f3, etc). Cambie en el programa,
en todas partes donde decía sin por ff (son 2 cambios).
Interpole algunas de estas funciones para diferentes valores de n. Agregue los mejores gráficos, con las
explicaciones correspondientes en su informe.doc. Note que seguramente deberá cambiar los rangos de
interpolación definidos por a y b. Por ejemplo, la función f3 conviene interpolarla entre a=-5 y b=5 con
10 ≤ n ≤ 20.
3.
Interpolación Spline Cúbica
Dada una partición {x1 , x2 , . . . , xn } (aquí los puntos deben estar ordenados) y un conjunto de datos {y 1 , y2 , . . . , yn } ,
la función spline de interpolación de esos datos es una función s(x) de clase C 2 cuya restricción a cada subintervalo
[xi , xi+1 ] es un polinomio de grado 3.
En el curso MA33A se demuestra que para calcular la Spline en cada intervalo, basta con determinar las derivadas
y0i = s0 (xi ) en los puntos de la malla resolviendo el siguiente sistema










2 h11
1
h1
1
h1
.
..
2 h12 + h11
..
..
.
.
..
.

..
..
.
.
1
hn−1
1
hn−1
1
2 hn−1
6









y01
y02







..  = 3 

. 


y0n
m2
h2
m1
h1
+ mh11
..
.
mn−2
mn−1
hn−1 + hn−2
mn−1
hn−1








Una vez resuelto este sistema, los polinomios que definen la spline quedan definidos en cada intervalo [x i , xi+1 ] por
la fórmula
y0 + y0i+1 − 2mi
mi − y0i
P(t) = yi + y0i (t − xi ) +
(t − xi )2 + i
(t − xi )2 (t − xi+1 )
(1)
hi
h2i
donde mi =
yi −yi−1
hi
y hi = xi − xi−1 .
Agregaremos al archivo funciones.sci dos funciones análogas a las usadas en interpolación polinomial. La primera, de nombre Yp=Spline_Yp(X,Y) resolverá el sistema que permite calcular los valores de las pendientes y 0i (para esto recibirá los puntos de la malla X y los valores de la función Y. La segunda de nombre Spline_eval(X,Y,Yp,t)
evaluará la spline en la malla t de puntos auxiliares.
Agregue al archivo funciones.sci la definición de las funciones Spline_Yp y Spline_eval. La programación es la que se entrega a continuación:
function Yp=Spline_Yp(X,Y)
n=length(X);
X=matrix(X,n,1);//se redimensiona X como vector columna.
Y=matrix(Y,n,1);//idem para Y
[XX,i]=sort(-X);X=X(i);Y=Y(i);
Esta linea reordena los datos de menor a mayor. (OBS: la función sort ordena de
mayor a menor, por eso se uso el signo menos. Ella envía un conjunto de índices que
sirve para ordenar otros vectores consecuentemente)
I=1:(n-1); h=X(I+1)-X(I); rh= 1 ./ h;
A=diag( [rh;0]+[0;rh] )*2 + diag(rh,1)+diag(rh,-1);
Estas lineas definen la matriz del sistema que permite calcular las derivadas de la
función Spline.
m=(Y(I+1)-Y(I)) ./ h.^2;
B=([m;0]+[0;m])*3;
Estas lineas definen el lado derecho del sistema que permite calcular las derivadas de
la función Spline.
Yp=A\B;//solución del sistema
function S=Spline_eval(X,Y,Yp,t)
n=length(X); X=matrix(X,n,1); Y=matrix(Y,n,1);
[XX,i]=sort(-X);X=X(i);Y=Y(i);//reordenamiento
for i=1:(n-1);
a=X(i);b=X(i+1);h=b-a;m=(Y(i+1)-Y(i) ) / h;
J=find( t>= a & t<=b );
Esta instrucción es para saber cuales son los puntos t j que están en el intervalo actual
S(J)=Y(i)+Yp(i)*(t(J)-a)+(m-Yp(i))/h*(t(J)-a).^2 ...
+(Yp(i)+Yp(i+1)-2*m)/h/h*(t(J)-a).^2 .* (t(J)-b);
Estas lineas son la evaluación de la Spline según la fórmula (1)
end
Copie su programa interpolaciones.sce en interpolaciones2.sce. Modifíquelo para llamar a las
funciones Spline_Yp y Spline_eval apropiadamente. Grafique simultáneamente el polinomio de interpolación y la función spline.
Indicaciones:
Yp=Spline_Yp(XMalla,...);
7
S=Spline_eval(XMalla,YMalla,Yp,t);
Ejecute este nuevo programa con las diversas funciones usadas en la actividad anterior. Guarde algunos
gráficos en Spline_”valor de n”.gif e incorpore todas las observaciones que pueda en su informe.doc.
En particular vea hasta que valor de n se puede trazar la spline (eventualmente no calcule el polinomio de
interpolación cuando n sea muy grande). Estudie las oscilaciones que presentan los dos métodos cuando se
usan para la función f3.
3.1.
Estabilidad de los dos métodos de interpolación
En la página del Laboratorio hay 2 archivos que interactuán con sus programas, generando una versión de interpolación interactiva. Con ellos podrá modificar los parámetros de interpolación, usando el mouse y el teclado. Así
no solo podrá ver la función de interpolación de diversas funciones sino que además podrá mover los puntos de
interpolación y percibir cual es la sensibilidad de los resultados obtenidos cuando los puntos de interpolación se
mueven ligeramente.
Si al mover los puntos, las curvas cambian poco se dice que son estables. Por el contrario, si cambian mucho se
dicen que son inestables.
Guarde los archivos funciones_pagina.sci e interpolaciones_pagina.sce a su carpeta personal.
Ejecute el archivo interpolaciones_pagina.sce, use las instrucciones siguientes par modificar los datos
de interpolación. Vea que pasa cuando n es pequeño para el polinomio de interpolación y la función spline.
Haga lo mismo cuando n es grande. Agregue todos los comentarios pertinentes en su informe.doc
Las teclas preprogramadas en los archivos nuevos son:
[+]
Aumenta el valor de n. Los puntos de interpolación serán equiespaciados.
[-]
Disminuye el valor de n. Los puntos de interpolación serán equiespaciados.
[1]...[9] Cambian la función a interpolar (Hay 9 funciones predefinidas)
[flechas] Mueven un poco al punto marcado en verde (solo funciona en linux).
[a][s][d][w] Funcionan como las flechas para ser usado en windows (como lo hacen algunos juegos).
[mouse]
Selecciona un punto verde. Si se mueve el mouse, el punto verde se moverá hasta soltar el mouse.
[r]
Cambia un poco las coordenadas de todos los datos de interpolación en forma aleatoria (equivale a un
ruido numérico).
[c]
Dibuja curvas en lugar de funciones. Sobre todo las funciones 8 y 9 han sido programadas como
x = f (t) y y = g(t).
[f]
Vuelve a dibujar funciones en lugar de curvas.
[l]
Interpola usando el polinomio de Lagrange.
[p]
Interpola usando la función S(p)line natural (vista en clases).
[n]
Interpola usando la función Spline not-a-knot (es una versión avanzada de la spline que no termina con
segunda derivada nula en los extremos).
8