Base de un Espacio Vectorial
Vimos en actividades anteriores que por ejemplo los conjuntos
A={(1,1),(1,–1)} o B={(1,1),(1,–1),(2,0)} generan a R2, es decir, son conjuntos generadores de
R2. Pero ¿Existe alguna diferencia entre ellos?
Si tenemos en cuenta los conceptos de conjunto linealmente independiente o linealmente
dependiente de la clase anterior podemos decir que el conjunto A es L.I, en cambio el conjunto B es
linealmente dependiente porque uno de los vectores se puede escribir como C.L. de los otros:
(2,0)=(1,1)+(1,–1).
Estos conceptos de conjunto generador y conjunto L.I. permiten hablar de Bases de un
Espacio Vectorial:
Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial y 𝑨 = {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 } incluido en V. El Conjunto A es Base
del espacio vectorial V si y solo si:
A es Linealmente Independiente y
A Genera a V
(Obs: Deben cumplirse las dos condiciones)
Si A es una base del Espacio Vectorial V todos los vectores de V se pueden expresar como
combinación lineal de los elementos de A de manera única.
Dimensión de un Espacio Vectorial
Si un E.V. tiene una base finita, entonces todas las bases de ese espacio tienen igual número
de elementos.
La dimensión de un Espacio Vectorial V es la cantidad de vectores que componen una base
de V:
Si 𝑨 = {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 } es una base de V, la dimensión de V es “n” y lo indicamos como
dim(V)=n
Si no existe una base de V formada por un conjunto finito de vectores, se dice
que V es un espacio de dimensión infinita. Un ejemplo es el espacio de todos los
polinomios (de cualquier grado).
⃗⃗} no tiene base. A este
Como el vector nulo es linealmente dependiente, el espacio {0
espacio compuesto únicamente por el vector nulo, se le asigna dimensión cero:
⃗⃗}) = 𝟎
𝒅𝒊𝒎({𝟎
Para determinar la dimensión de un espacio vectorial, es suficiente hallar una base de dicho
espacio. Veamos qué dimensión tienen los espacios vectoriales con los cuales trabajamos:
En R2, considerando la base canónica tenemos que:
E2={(1,0),(0,1)}⇒dim(R2)=2
En R3 la base canónica es:
E3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}⇒dim(R3)=3
Si consideramos Rn ⇒dim(Rn)=n
Dimensión E.V. de matrices:
Dimensión E.V. Polinomios:
Propiedades relacionadas con la dimensión
Si dim(V)=n, puede afirmarse que:
1) Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en V es una base.
2) Todo conjunto de n vectores que genere V es una base.
3) Todo conjunto de más de n vectores en el espacio vectorial V es linealmente dependiente.
Coordenadas de un vector:
Sea 𝐵 = {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } una base de V.
Para cada vector ⃗⃗⃗⃗
𝑢 ∈ 𝑉, existen únicos escalares 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ∈ ℝ tales que:
𝑢
⃗⃗ = 𝛼1 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 + 𝛼2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑛
Estos escalares se denominan coordenadas del vector 𝑢
⃗⃗ respecto de la base B.
Indicaremos las coordenadas mediante la siguiente notación:
𝛼1
𝛼2
[𝑢
⃗⃗]𝐵 = ( ⋮ )
𝛼𝑛
Ejemplo:
Dado el vector 𝑣
⃗⃗ = (2, −3), por lo general decimos que sus coordenadas son 2 y -3 . Sin embargo,
estas son sus coordenadas con respecto a la base canónica:
⃗⃗ = (2, −3) = 2(1,0) − 3(0,1) = 2𝑖 − 3𝑗
𝑣
Si queremos conocer las coordenadas de este vector con respecto a la base
𝐵 = {(1,0); (1,1)}
Debemos hallar los escalares 𝛼1 , 𝛼2 tales que:
𝛼1 (1,0) + 𝛼2 (1,1) = (2, −3)
Al resolver el sistema de ecuaciones encontramos que:
[𝑣⃗]𝐵 = (
5
)
−3
Estos dos vectores de B se puede considerar como un nuevo sistema de referencia (ejes en línea de
puntos rojo) y las coordenadas 5 y -3 los escalares por los que debemos multiplicar a los vectores
de la base, es decir, de definen nuevos ejes y una nueva escala (la “unidad” de cada eje corresponde
al módulo de cada vector)
Recomiendo también que visiten esta página de la UTN que tiene material muy útil, teoría y
ejemplos:
https://aga.frba.utn.edu.ar/conjunto-generador-li-y-ld-base-dimension/
