Ejercicios Resueltos Modelo Solow

MODELO DE SOLOW BÁSICO
Considera el modelo de Solow básico en dos economías, A y B, con funciones de
producción YA=KA1/2LA1/2 e YB=KB1/3LB2/3 y la misma tasa de depreciación δ=0,1.
Además, la economía A opera con una tasa de ahorro sA=0,2. Para que la economía B
alcance el mismo nivel de producción por trabajador en estado estacionario que la
economía A, ¿qué tasa de ahorro sB debería tener?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Nivel de producción por trabajador de EE en la economía A:
yA∗ =
α
sA 1−α
δ
=
Se igualan y*A con y*B y, despejando la tasa de ahorro, se obtiene el valor de sB:
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Nivel de producción por trabajador de EE en la economía A:
yA∗
=
α
sA 1−α
δ
0,2
=
0,1
1/2
1−1/2
=2
Se igualan y*A con y*B y, despejando la tasa de ahorro, se obtiene el valor de sB:
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Nivel de producción por trabajador de EE en la economía A:
yA∗
=
α
sA 1−α
δ
0,2
=
0,1
1/2
1−1/2
=2
Se igualan y*A con y*B y, despejando la tasa de ahorro, se obtiene el valor de sB:
yA∗ = yB∗ → 2 =
α
sB 1−α
δ
=
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Nivel de producción por trabajador de EE en la economía A:
yA∗
=
α
sA 1−α
δ
0,2
=
0,1
1/2
1−1/2
=2
Se igualan y*A con y*B y, despejando la tasa de ahorro, se obtiene el valor de sB:
yA∗ = yB∗ → 2 =
α
sB 1−α
δ
=
1/3
sB 1−1/3
0,1
=
1/3
sB 2/3
0,1
=
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Nivel de producción por trabajador de EE en la economía A:
yA∗
=
α
sA 1−α
δ
0,2
=
0,1
1/2
1−1/2
=2
Se igualan y*A con y*B y, despejando la tasa de ahorro, se obtiene el valor de sB:
yA∗
=
yB∗
→ 2=
α
sB 1−α
δ
=
1/3
sB 1−1/3
0,1
=
1/3
sB 2/3
0,1
=
1
sB 2
0,1
sB
→ 2 =
→ sB = 0,4
0,1
2
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Nivel de producción por trabajador de EE en la economía A:
yA∗
=
α
sA 1−α
δ
0,2
=
0,1
1/2
1−1/2
=2
Se igualan y*A con y*B y, despejando la tasa de ahorro, se obtiene el valor de sB:
yA∗
=
yB∗
→ 2=
α
sB 1−α
δ
=
1/3
sB 1−1/3
0,1
=
1/3
sB 2/3
0,1
=
1
sB 2
0,1
sB
→ 2 =
→ sB = 0,4
0,1
2
La economía B debería tener una tasa de ahorro del 40% para alcanzar la producción por
trabajador de la economía A.
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Sea una economía caracterizada por el modelo de Solow básico, con una función de
producción Y=K1/2L1/2, y que inicialmente se halla en estado estacionario, siendo L0=100,
s=0,2 y δ=0,1.
Si el gobierno abre temporalmente las fronteras a la inmigración y L se multiplica por
cuatro, ¿cuál será la tasa de variación de la producción por trabajador inmediatamente
después del aumento de L?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Tasa de crecimiento de la producción por trabajador en ese instante:
yሶ
kሶ
= α = α sk α−1 − δ = 0,5 0,2k 0,5−1 − 0,1 = ?
y
k
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Tasa de crecimiento de la producción por trabajador en ese instante:
yሶ
kሶ
= α = α sk α−1 − δ = 0,5 0,2𝐤 0,5−1 − 0,1 = ?
y
k
K0
𝐤=
=?
L1
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Tasa de crecimiento de la producción por trabajador en ese instante:
yሶ
kሶ
= α = α sk α−1 − δ = 0,5 0,2𝐤 0,5−1 − 0,1 = ?
y
k
K0
𝐤=
=?
L1
K0
k =
=?
L0
∗
Despejamos el stock de capital inicial K0
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Tasa de crecimiento de la producción por trabajador en ese instante:
yሶ
kሶ
= α = α sk α−1 − δ = 0,5 0,2𝐤 0,5−1 − 0,1 = ?
y
k
K0
𝐤=
=?
L1
s
∗
k =
δ
1ൗ
1−α
=?
La economía se halla inicialmente en estado estacionario
K0
k =
=?
L0
∗
Despejamos el stock de capital inicial K0
MODELO DE SOLOW BÁSICO
s
∗
k =
δ
1ൗ
1−α
=?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
s
k =
δ
∗
1ൗ
1−α
0,2
=
0,1
1ൗ
1−0,5
=4
Nivel de capital por trabajador de EE
MODELO DE SOLOW BÁSICO
s
k =
δ
∗
1ൗ
1−α
0,2
=
0,1
K0
4=k =
=?
L0
∗
1ൗ
1−0,5
=4
Nivel de capital por trabajador de EE
MODELO DE SOLOW BÁSICO
s
k =
δ
∗
1ൗ
1−α
0,2
=
0,1
1ൗ
1−0,5
=4
K0
K0
4=k =
=
→ K 0 = 400
L0 100
∗
Nivel de capital por trabajador de EE
Stock de capital inicial K0
MODELO DE SOLOW BÁSICO
s
k =
δ
∗
1ൗ
1−α
0,2
=
0,1
1ൗ
1−0,5
=4
Nivel de capital por trabajador de EE
K0
K0
4=k =
=
→ K 0 = 400
L0 100
∗
El stock de capital por trabajador cae desde 4 a:
Stock de capital inicial K0
K0
K0
400
𝐤=
=
=
=1
L1 4L0 400
El valor del capital por trabajador (k) inmediatamente después del aumento de L será
igual al stock de capital inicial (K0), que no ha variado, dividido por el nuevo nivel de L (L1).
MODELO DE SOLOW BÁSICO
s
k =
δ
∗
1ൗ
1−α
0,2
=
0,1
1ൗ
1−0,5
=4
Nivel de capital por trabajador de EE
K0
K0
4=k =
=
→ K 0 = 400
L0 100
∗
El stock de capital por trabajador cae desde 4 a:
Stock de capital inicial K0
K0
K0
400
𝐤=
=
=
=1
L1 4L0 400
El valor del capital por trabajador (k) inmediatamente después del aumento de L será
igual al stock de capital inicial (K0), que no ha variado, dividido por el nuevo nivel de L (L1).
yሶ
kሶ
= α = α s𝐤 α−1 − δ = ?
y
k
MODELO DE SOLOW BÁSICO
s
k =
δ
∗
1ൗ
1−α
0,2
=
0,1
1ൗ
1−0,5
=4
Nivel de capital por trabajador de EE
K0
K0
4=k =
=
→ K 0 = 400
L0 100
∗
El stock de capital por trabajador cae desde 4 a:
Stock de capital inicial K0
K0
K0
400
𝐤=
=
=
=1
L1 4L0 400
El valor del capital por trabajador (k) inmediatamente después del aumento de L será
igual al stock de capital inicial (K0), que no ha variado, dividido por el nuevo nivel de L (L 1).
yሶ
kሶ
= α = α sk α−1 − δ = 0,5 0,2 · 10,5−1 − 0,1 = 0,5 0,2 − 0,1 = 0,05 ≡ 5%
y
k
La tasa de variación de la producción por trabajador tras el aumento de L es del 5%.
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Una economía caracterizada por el modelo de Solow básico y con una función de
producción Y=K1/3L2/3, presenta actualmente un stock de capital por trabajador k0=300.
Su stock de capital por trabajador de estado estacionario es k*=500. Esta economía recibe
ayuda externa en forma de capital adicional por trabajador valorado en 100.
a) ¿Qué le sucede a la economía, inmediatamente y a largo plazo, tras la ayuda
externa? ¿En qué proporción varía inicialmente el consumo por trabajador? ¿Qué le
sucede al consumo por trabajador a largo plazo? Representar gráficamente la situación
b) Contestar de nuevo al apartado a) si en vez de comenzar con un stock de capital
por trabajador k0=300, la economía recibe la ayuda externa de 100 cuando ya tiene un
stock de capital k*=500
MODELO DE SOLOW BÁSICO
a)
Y
y= =?
L
Stock de capital actual: k0=300 →
𝐲𝟎 = k 0
1ൗ
3
=?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
a)
1Τ3 2Τ3
Y K L
y= =
L
L
Stock de capital actual: k0=300 →
1Τ3
K
K
= 1Τ3 =
L
L
𝐲𝟎 = k 0
1ൗ
3
=?
1ൗ
3
=
1ൗ
k 3
MODELO DE SOLOW BÁSICO
a)
1Τ3 2Τ3
Y K L
y= =
L
L
Stock de capital actual: k0=300 →
1Τ3
K
K
= 1Τ3 =
L
L
y0 = k 0
1ൗ
3
=
1ൗ
3
1ൗ
300 3
=
1ൗ
k 3
= 6,694
Punto 0 en los dos gráficos
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
a)
1Τ3 2Τ3
Y K L
y= =
L
L
Stock de capital actual: k0=300 →
1Τ3
K
K
= 1Τ3 =
L
L
y0 = k 0
1ൗ
3
=
1ൗ
3
1ൗ
300 3
=
1ൗ
k 3
= 6,694
Punto 0 en los dos gráficos
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 > 0  Inversión realizada > Inversión requerida
Acumulación de capital y crecimiento de la producción
MODELO DE SOLOW BÁSICO
a)
1Τ3 2Τ3
Y K L
y= =
L
L
Stock de capital actual: k0=300 →
1Τ3
K
K
= 1Τ3 =
L
L
y0 = k 0
1ൗ
3
=
1ൗ
3
1ൗ
300 3
=
1ൗ
k 3
= 6,694
Punto 0 en los dos gráficos
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 > 0  Inversión realizada > Inversión requerida
Acumulación de capital y crecimiento de la producción
Tasa de crecimiento de k > 0
Gráfico derecha:
Distancia entre 0 y la línea horizontal δ
Tasa de crecimiento de y > 0  La economía converge gradualmente al estado estacionario
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Stock de capital de EE: k*=500 →
∗
𝐲 =k
∗ 1ൗ3
=?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Stock de capital de EE: k*=500 →
∗
y =k
∗ 1ൗ3
=
1ൗ
500 3
= 7,937
Punto E* en los dos gráficos
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Stock de capital de EE: k*=500 →
∗
y =k
∗ 1ൗ3
=
1ൗ
500 3
= 7,937
Punto E* en los dos gráficos
Stock de capital con ayuda externa: k1=400 →
𝐲𝟏 = k1
1ൗ
3
=?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Stock de capital de EE: k*=500 →
∗
y =k
∗ 1ൗ3
=
1ൗ
500 3
= 7,937
Punto E* en los dos gráficos
Stock de capital con ayuda externa: k1=400 → y1 = k1
1ൗ
3
=
1ൗ
400 3
= 7,368
Punto 1 en los dos gráficos
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Stock de capital de EE: k*=500 →
∗
y =k
∗ 1ൗ3
=
1ൗ
500 3
= 7,937
Punto E* en los dos gráficos
Stock de capital con ayuda externa: k1=400 → y1 = k1
1ൗ
3
=
1ൗ
400 3
= 7,368
Punto 1 en los dos gráficos
y1
=? →
y0
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Stock de capital de EE: k*=500 →
∗
y =k
∗ 1ൗ3
=
1ൗ
500 3
= 7,937
Punto E* en los dos gráficos
Stock de capital con ayuda externa: k1=400 → y1 = k1
1ൗ
3
=
1ൗ
400 3
= 7,368
Punto 1 en los dos gráficos
y1 7,368
=
= 1,106 →
y0 6,694
La producción por trabajador aumentará
inmediatamente un 10,6% tras la ayuda externa
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Stock de capital de EE: k*=500 →
∗
y =k
∗ 1ൗ3
=
1ൗ
500 3
= 7,937
Punto E* en los dos gráficos
Stock de capital con ayuda externa: k1=400 → y1 = k1
1ൗ
3
=
1ൗ
400 3
= 7,368
Punto 1 en los dos gráficos
y1 7,368
=
= 1,106 →
y0 6,694
La producción por trabajador aumentará
inmediatamente un 10,6% tras la ayuda externa
Como el stock de capital de EE es k*=500, la economía converge gradualmente hacia este
valor y hacia la producción por trabajador de EE (y*=7,937).
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 > 0  Inversión realizada > Inversión requerida
Acumulación de capital y crecimiento de la producción
Tasa de crecimiento de k > 0
Gráfico derecha: Distancia entre 1 y la línea horizontal δ
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 > 0  Inversión realizada > Inversión requerida
Acumulación de capital y crecimiento de la producción
Tasa de crecimiento de k > 0
y∗
=? →
y1
Gráfico derecha: Distancia entre 1 y la línea horizontal δ
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 > 0  Inversión realizada > Inversión requerida
Acumulación de capital y crecimiento de la producción
Tasa de crecimiento de k > 0
y ∗ 7,937
=
= 1,077 →
y1 7,368
Gráfico derecha: Distancia entre 1 y la línea horizontal δ
A largo plazo, la producción por trabajador
crece un 7,7% adicional hasta llegar al EE
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 > 0  Inversión realizada > Inversión requerida
Acumulación de capital y crecimiento de la producción
Tasa de crecimiento de k > 0
y ∗ 7,937
=
= 1,077 →
y1 7,368
Gráfico derecha: Distancia entre 1 y la línea horizontal δ
A largo plazo, la producción por trabajador
crece un 7,7% adicional hasta llegar al EE
¿En qué proporción varía inicialmente
el consumo por trabajador?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 > 0  Inversión realizada > Inversión requerida
Acumulación de capital y crecimiento de la producción
Tasa de crecimiento de k > 0
y ∗ 7,937
=
= 1,077 →
y1 7,368
Gráfico derecha: Distancia entre 1 y la línea horizontal δ
A largo plazo, la producción por trabajador
crece un 7,7% adicional hasta llegar al EE
Consumo por trabajador:
¿En qué proporción varía inicialmente
el consumo por trabajador?
· Antes de la ayuda externa: c0=(1 - s)y0
· Después de la ayuda externa: c1=(1 - s)y1
MODELO DE SOLOW BÁSICO
𝐜𝟏
=
𝐜𝟎
MODELO DE SOLOW BÁSICO
c1
1 − s y1 y1
=
=
= 1,106
c0
1 − s y0 y0
El consumo por trabajador aumenta
inmediatamente un 10,6% tras la ayuda externa
MODELO DE SOLOW BÁSICO
c1
1 − s y1 y1
=
=
= 1,106
c0
1 − s y0 y0
El consumo por trabajador aumenta
inmediatamente un 10,6% tras la ayuda externa
Consumo por trabajador:
¿Qué le sucede al consumo
por trabajador a largo plazo?
· Después de la ayuda externa: c1=(1 - s)y1
· En estado estacionario: c*=(1 - s)y*
MODELO DE SOLOW BÁSICO
c1
1 − s y1 y1
=
=
= 1,106
c0
1 − s y0 y0
El consumo por trabajador aumenta
inmediatamente un 10,6% tras la ayuda externa
Consumo por trabajador:
¿Qué le sucede al consumo
por trabajador a largo plazo?
· Después de la ayuda externa: c1=(1 - s)y1
· En estado estacionario: c*=(1 - s)y*
c∗
=?
c1
MODELO DE SOLOW BÁSICO
c1
1 − s y1 y1
=
=
= 1,106
c0
1 − s y0 y0
El consumo por trabajador aumenta
inmediatamente un 10,6% tras la ayuda externa
Consumo por trabajador:
¿Qué le sucede al consumo
por trabajador a largo plazo?
· Después de la ayuda externa: c1=(1 - s)y1
· En estado estacionario: c*=(1 - s)y*
c∗
1 − s y∗ y∗
=
= = 1,077
c1
1 − s y1 y1
A largo plazo, el consumo por trabajador
crece un 7,7% adicional hasta llegar al EE
Una ayuda externa canalizada a través de un aumento del capital por trabajador eleva
inmediatamente el consumo por trabajador, acelerando la convergencia hacia el nivel de
consumo por trabajador de EE.
MODELO DE SOLOW BÁSICO
b) Si la economía ya está en EE (k*=500; y*=7,937) cuando recibe la ayuda externa,
el nuevo stock de capital por trabajador será k2=600.
Stock de capital k2=600 →
𝐲𝟐 = ?
MODELO DE SOLOW BÁSICO
b) Si la economía ya está en EE (k*=500; y*=7,937) cuando recibe la ayuda externa,
el nuevo stock de capital por trabajador será k2=600.
Stock de capital k2=600 →
y2 = k 2
1ൗ
3
=
1ൗ
600 3
= 8,434
Punto 2 en los dos gráficos
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
b) Si la economía ya está en EE (k*=500; y*=7,937) cuando recibe la ayuda externa,
el nuevo stock de capital por trabajador será k2=600.
Stock de capital k2=600 →
y2 = k 2
1ൗ
3
=
1ൗ
600 3
= 8,434
Punto 2 en los dos gráficos
𝐲𝟐
=?
∗
𝐲
𝐜𝟐
=?
∗
𝐜
MODELO DE SOLOW BÁSICO
b) Si la economía ya está en EE (k*=500; y*=7,937) cuando recibe la ayuda externa,
el nuevo stock de capital por trabajador será k2=600.
Stock de capital k2=600 →
y2 = k 2
1ൗ
3
=
1ൗ
600 3
= 8,434
Punto 2 en los dos gráficos
y2 8,434
=
= 1,062 →
∗
y
7,937
𝐜𝟐
=?
∗
𝐜
La producción por trabajador aumentará
inmediatamente un 6,2% tras la ayuda externa
MODELO DE SOLOW BÁSICO
b) Si la economía ya está en EE (k*=500; y*=7,937) cuando recibe la ayuda externa,
el nuevo stock de capital por trabajador será k2=600.
Stock de capital k2=600 →
y2 = k 2
1ൗ
3
=
1ൗ
600 3
= 8,434
Punto 2 en los dos gráficos
y2 8,434
=
= 1,062 →
∗
y
7,937
c2
1 − s y2 y2
=
= ∗ = 1,062 →
∗
∗
c
1−s y
y
La producción por trabajador aumentará
inmediatamente un 6,2% tras la ayuda externa
El consumo por trabajador también aumentará
inmediatamente un 6,2% tras la ayuda externa
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Dado que k2=600 > k*=500, la inversión requerida para mantenerlo es mayor a la inversión
efectivamente realizada, por lo que el capital y la producción por trabajador comenzarán
gradualmente a caer hacia sus niveles de EE.
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 < 0  Inversión realizada < Inversión requerida
Desacumulación de capital y caída de la producción
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Dado que k2=600 > k*=500, la inversión requerida para mantenerlo es mayor a la inversión
efectivamente realizada, por lo que el capital y la producción por trabajador comenzarán
gradualmente a caer hacia sus niveles de EE.
Gráfico izquierda
Distancia sk1/3 vs δk1/3 < 0  Inversión realizada < Inversión requerida
Desacumulación de capital y caída de la producción
Tasa de crecimiento de k < 0
Gráfico derecha:
Distancia entre 2 y la línea horizontal δ
Tasa de crecimiento de y < 0  La producción desciende gradualmente hacia sus niveles de EE
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)
MODELO DE SOLOW BÁSICO
y ∗ − y2
=?
y2
MODELO DE SOLOW BÁSICO
y ∗ − y2 7,937 − 8,434
=
= −0,059
y2
8,434
MODELO DE SOLOW BÁSICO
y ∗ − y2 7,937 − 8,434
=
= −0,059
y2
8,434
Dado que c=(1-s)y el consumo por trabajador también descenderá gradualmente hasta
llegar al EE a una tasa del 5,9%:
c ∗ − c2
=?
c2
MODELO DE SOLOW BÁSICO
y ∗ − y2 7,937 − 8,434
=
= −0,059
y2
8,434
Dado que c=(1-s)y el consumo por trabajador también descenderá gradualmente hasta
llegar al EE a una tasa del 5,9%:
c ∗ − c2
1 − s y ∗ − 1 − s y2 y ∗ − y2
=
=
= −0,059
c2
1 − s y2
y2
Si la ayuda externa se recibe una vez alcanzado el EE (k2>k*), esa ayuda incrementa
transitoriamente el consumo por trabajador por encima del EE, pero a largo plazo el
consumo retorna a su nivel de EE.
MODELO DE SOLOW BÁSICO
Efectos de la ayuda externa a un país
(Un aumento instantáneo del capital por trabajador)