la contabilidad del crecimiento

MODELO DE SOLOW
“LA CONTABILIDAD DEL
CRECIMIENTO”
(TEORÍA DEL CRECIMIENTO
ECONÓMICO)
NAYRA GONZÁLEZ CANINO
MERCEDES TRUJILLO AFONSO
M. INMACULADA LUIS GARCÍA
Contabilidad de crecimiento ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 2002 - 2003
ÍNDICE






RESEÑA HISTÓRICA DEL MODELO
HIPÓTESIS Y FORMULACIÓN MATEMÁTICA
LA CONTABILIDAD DEL CRECIMIENTO
CONCLUSIÓN ECONÓMICA PARADÓJICA
VARIANTE DEL MODELO
BIBLIOGRAFÍA
Contabilidad de crecimiento ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 2002 - 2003
RESEÑA HISTÓRICA DEL MODELO
Las Teorías del crecimiento son gran tradición en el estudio o análisis de la
dinámica económica, que surgen a finales de la década de los cuarenta con el fin de
ofrecer modelos formalizados que explicasen la evolución del PIB. Tienen una visión
cuantitativa y economicista, e intenta encontrar relaciones lógicas entre las variables
mediante el lenguaje matemático.
El modelo elaborado por Robert Solow, premio Nobel de Economía en 1987, y Trevor
Swan es el conocido actualmente como el modelo neoclásico estándar de crecimiento.
Este modelo fue muy influyente en el momento económico en el que surgió.
Los supuestos de los que parte el modelo son cercanos a los que utilizó Harrod-Domar
en su modelo pero con 2 diferencias importantes:
 Solow considera endógena la relación capital-producto en el crecimiento.
 Admite la sustituibilidad de los factores.
Solow simplifica la actividad productiva de un país asociándola a una gran fábrica,
creando una función de producción agregada de tipo neoclásico tradicional, donde:
 El output es el resultado de aplicar unos determinados input (capital y trabajo)
al proceso de producción, que se combinan según la tecnología disponible y
conforme a los precios que rigen en el mercado de factores.
HIPÓTESIS Y FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Solow supone que existen rendimientos constantes a escala, es decir, con todo lo
demás igual, si se aplica el doble de input a la producción, se obtiene exactamente el
doble de output.
También supone rendimientos marginales decrecientes para cada factor, es decir, a
medida que aumenta la cantidad de un factor sin alterar el otro, aumenta el producto
obtenido, pero en cantidades cada vez menores.
Y dada la sustituibilidad de los factores, un determinado nivel de output se puede
obtener con diversas combinaciones de input, teniendo en cuenta la combinación óptima
de los precios que éstos tengan en el mercado.
La versión genérica de la función de producción de Solow es del tipo:
 Y=F(K,L,t)
(1)
Esta función expresa que el output obtenido es función de los input aplicados al
proceso productivo, capital (K) y trabajo (L). Y ya que es previsible que las técnicas
evolucionen con el tiempo, la variable t expresa las mejoras de productividad que
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pueden ser debidas al proceso innovador. Con gran frecuencia, se sugiere para esta
función la forma Cobb-Douglas ya que es más manejable a nivel operativo. Entonces la
ecuación (1) se expresará como:
 Y= et K L1-
(2)
Aunque las variables son flujo que remiten a un determinado momento temporal, a lo
largo de toda esta exposición se omitirá el subíndice t para simplificar la notación.
El primer término de la derecha de la ecuación se refiere al progreso técnico, y se
supone que se expande en el tiempo a una tasa estable en el tiempo equivalente a .La
influencia de trabajo y capital (L y K respectivamente) se expresa a través de una
función multiplicativa, con exponentes complementarios (encontrándose entre 0 y 1).
La condición de que dichos exponentes sumen la unidad es lo que garantiza que la
función de producción presente rendimientos constantes a escala. Además, estos
exponente representan la participación de cada factor en la renta nacional.
Generalmente el bienestar se suele medir en términos de renta per cápita, por lo que la
ecuación (2) se pude transformar en:
 Y/ L = et (K/L)
(3)
Con esta ecuación obtenemos que la renta per cápita depende de la relación capitaltrabajo (K/L) y del ritmo de progreso técnico : cuanto mayor sea la tasa de progreso
técnico y más elevado sea el nivel da capitalización, mayor será la renta per cápita de la
economía. Esta relación (3) se puede expresar mediante un gráfico que adopta la forma
de una función cóncava; esto indica que a medida que se incrementa el stock de capital
por trabajador aumenta el producto per cápita, pero a tasas cada vez menores.
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Una de las diferencias que favorecen este modelo frente al de Harrod-Domar es que
nos proporciona una condición de equilibrio más flexible y estable; esto se debe a la
inclusión como variable endógena de la relación capital-producto (y no como parámetro
exógeno). Para analizar este aspecto, habrá que referirnos a la ecuación de incremento
de stock de capital ( K = sY-  K), que será la diferencia entre la propensión de
ahorro según la renta disponible menos la tasa de depreciación del capital, donde:
 La s está entre 0 y 1, y es la propensión media al ahorro.
 La  es la tasa de depreciación también entre 0 y 1.
Supóngase, para simplificar, que no existe progreso técnico y sea L el subíndice para
designar a las variables expresadas en términos per cápita, y además sabiendo que:
  KL / KL  K / K -  L / L
(4) y que:

 L/ L=n
(5) donde n representa la tasa constante a la que se
expande el trabajo y que se considera exógenamente determinada.
Al sustituir en (4) las ecuaciones que expresan el incremento del stock del capital y la
tasa de crecimiento de la población, queda:

 KL / KL = s Y / K – (n+  )
(6)
que también puede expresarse como:

 K L/ KL = s YL / K L - (n+  )
con lo cual:

(7)
 KL = s YL - (n+ )KL
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Si tenemos en cuenta la definición de estado estacionario como aquel en el que la
relación capital-trabajo no se altera ( K =0), entonces dicho estadio se encontrará
cuando:

s YL = (n+  )KL
(8)
En el gráfico anterior se representa como una recta la expresión [(n+  )KL ] ya que
se supone que tanto n como  son parámetros; y se expresa s YL como una curva con
trayectoria similar a YL , dado que s se encuentra entre 0 y 1. Pues bien, el punto de
intersección de estas dos líneas es el que expresa la relación capital-trabajo de equilibrio
K L* , allí donde se cumple la igualdad (8).
 En cualquier lugar a la izquierda de ese punto ocurre que s Y L > (n+ )K L,
es decir, la capacidad de ahorro supera las necesidades de capital que
impone el crecimiento de la población y la amortización del equipo
existente, con lo que crecerá la relación capital-trabajo, desplazándose la
economía de nuevo hacia el punto de equilibrio.
 Ocurrirá todo lo contrario en cualquier punto a la derecha de la situación de
equilibrio.
De la ecuación (8) se deriva la renta per cápita correspondiente al estado estacionario,
ya que resolviendo la ecuación resulta:

K L* = [s / (n+  )] 1/(1-  )
(9) y dado que, si no se considera el efecto
del progreso técnico Y = K , entonces la renta per cápita de equilibrio será:

Y L = [s / (n+  )] 1/(1-  )
(10)
Es decir, el nivel de renta per cápita de equilibrio depende de la propensión a ahorrar,
de la tasa de crecimiento de la población y de la tasa de amortización; a estos
parámetros debería unirse el progreso técnico pero ha sido excluido para simplificar la
exposición.
Aparte de su importancia microeconómica, el modelo de Solow aporta una ventaja
práctica de mucha utilidad; ya que a partir de su formulación es posible derivar la
contabilidad del crecimiento, que descubre empíricamente los factores promotores de
la dinámica económica. Esta parte ha sido la elegida por el grupo para tratar en
profundidad, pero ha sido necesario aludir a la Teoría del crecimiento de Solow para
poder entender el origen de la función de producción, el punto de equilibrio, etc.
Por lo tanto si aplicamos logaritmos a la función de producción de la expresión (2),
obtenemos:
 Log Y =  t +  Log L +(1-  ) Log K
(11)
derivando con respecto al tiempo esta expresión conduce a:

Será:
y =  + x l + (1-  )k
(12)
Expresando en minúscula la tasa de crecimiento de las variables. De modo que el
crecimiento del producto puede entenderse como el resultado de la agregación de tres
factores:
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 El crecimiento de las horas trabajadas
 El incremento del stock de capital productivo
 La tasa de progreso técnico, 
La aplicación de este procedimiento a los países desarrollados revela la importante
contribución que el progreso técnico ha tenido en la dinámica del crecimiento
económico a lo largo del siglo XX. Atendiendo al siguiente cuadro, entre un tercio y la
mitad del crecimiento económico viene explicado por este factor, siendo el período de la
“edad de oro” , entre1950 y 1973, cuando las cuotas correspondientes a este factor se
hacen mayores. En el caso de las regiones en desarrollo no pasa lo mismo, ya que buena
parte del crecimiento económico descansa sobre la dinámica de expansión de los
factores productivos, quedando un margen menor de contribución para los incrementos
de productividad. Además, hay que destacar que en algunas regiones como África y
Oriente Medio la aportación de este factor es negativa.
LA CONTABILIDAD DEL CRECIMIENTO
La contabilidad del crecimiento, desarrollada principalmente a partir del modelo de
Solow, tiene como objetivo estimar la contribución que cada factor realiza a la dinámica
económica. Para ello, se parte de la función de producción de dicho modelo:

Y = e t K L(1-)
(1)
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Como hemos visto la expresión de tasas de crecimiento

Es: y =  +  k + (1-  )l
(2)
Esta ecuación nos indica que la tasa de crecimiento de la producción es igual a la
suma ponderada de las tasas de crecimiento de cada factor, siendo  y (1-  ) y 1 las
ponderaciones del capital, trabajo y tecnología, respectivamente. Si se acepta la teoría
marginal de la distribución de la renta y teniendo en cuenta que la tecnología no se
considera un bien apropiable, se cumple que:

Por un lado, r = Y /  K = e t  K(-1) L (1-)

Y también, w =  Y /  L = et K (1-  )L-
(3)
(4)
Donde w y r representan las remuneraciones del trabajo y del capital, respectivamente.
Ahora bien, si multiplicamos la ecuación (3) por K, la (4) por L y dividimos ambas
ecuaciones por Y se llega a:

 = r K / Y = SK
(5)

(1-  ) = w L / Y = SL
(6)
Por tanto,
y (1- ) son las participaciones del capital y del trabajo ( S y S
respectivamente) en la renta nacional. Si sustituimos ambas ecuaciones en (2)
deducimos,
 que: y =  + S K k + SL l
(7)
esta expresión indica el modo de contabilizar el crecimiento. A efectos prácticos, se
calcula, en primer lugar, el aumento de la producción; posteriormente, se estima la suma
ponderada del crecimiento del trabajo y del capital, utilizando como ponderación la
distribución de la renta; y, finalmente, se determina la diferencia entre ambas
magnitudes que, según el modelo de Solow, debe ser atribuida al progreso tecnológico.
Los estudios empíricos que utilizaron este procedimiento constataron que entre un tercio
y la mitad del crecimiento se debe a la contribución que realiza la variable progreso
técnico, que es estimada de forma residual. Este resultado fue el que animó a los
teóricos del crecimiento a buscar nuevos modelos en los que el progreso técnico se
incorporase como variable endógena.
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CONCLUSIÓN ECONÓMICA PARADÓJICA
El modelo de Solow nos lleva a una conclusión paradójica, pero sin desprestigiar su
notable trabajo en la investigación de la teoría del crecimiento económico.
Según la ecuación (3) en la página 2, el crecimiento de la renta per cápita depende del
nivel de capitalización de la economía (relación capital-trabajo) y de la tasa de progreso
técnico. Pero esta última variable se considera exógena y se expresa a través de un
parámetro
. Además, el efecto que tiene la relación capital-trabajo en el crecimiento
está sometido a rendimientos marginales decrecientes (hipótesis del modelo), es decir, a
medida que se incrementa el capital, dejando el trabajo constante, se incrementa el
producto per cápita pero cada vez en tasas menores.
Dicho de otro modo si se hace descansar el crecimiento sólo sobre la expansión de
stock de capital, la economía se dirigiría hacia un estadio de estancamiento; siendo los
únicos dos factores que pueden evitar este resultado el progreso técnico y el incremento
de la población, pero ambas variables son consideradas exógenas en el modelo. Con lo
cual, el modelo elude explicar aquellas variables que se consideran cruciales en el
crecimiento económico.
VARIANTE DEL MODELO
La investigación empírica ha puesto en evidencia el importante papel del progreso
técnico en el impulso de la dinámica económica, por esto, no resulta satisfactorio
convertir dicha variable en exógena cuando es la más relevante en el fenómeno
estudiado.
Por este motivo, a lo largo de los ochenta se producen diversas aportaciones para
corregir esta deficiencia, son los llamados nuevos enfoques. Proponen una modelización
en que la dinámica económica descanse sobre factores endógenos. Para conseguirlo, hay
que encontrar un factor que, generado en el proceso de crecimiento, no esté sometido a
rendimientos marginales decrecientes.
Uno de los modelos más simples del crecimiento endógeno es muy cercano al de
Solow. Acéptese una función de producción similar a la anteriormente trabajada:

Y = A K L(1-)
(1)
Supóngase que A, que expresa el nivel tecnológico, a su vez progresa a medida que se
incrementa el nivel de capitalización de la economía. Es posible pensar que el solo uso
de capital permite a los trabajadores incrementar su nivel de formación (este proceso es
conocido como learning by doing). En ese caso se puede expresar como:


A = E ( K / L) (1-)
Y=EK
(2) donde E es una constante, por lo tanto:
(3)
Es decir, el output depende del stock de capital y de la eficiencia con el que éste es
usado en la producción; el output dependerá de la calidad y cantidad de capital
disponible. En este caso se puede observar que no existen rendimientos decrecientes al
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aumentar K, con lo que es posible que se produzca un crecimiento continuado de la
renta per cápita.
Este modelo es capaz de justificar tasas de crecimiento positivas a largo plazo sin
necesidad de acudir al incremento exógeno de alguna de las variables implicadas.
Autores como ROMER, LUCAS o GROSSMAN y HELPMAN son los que más
activamente han trabajado en el desarrollo de esta nueva línea teórica. Hay que destacar
que muchos de los modelos de crecimiento endógeno descansan sobre el papel
protagonista que tiene el conocimiento; ya sea asociado a la tecnología, o bien asociado
al capital humano en la promoción de la dinámica económica.
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BIBLIOGRAFÍA
 “Diez lecciones sobre la economía mundial”. José Antonio
Alonso (Director). Biblioteca Civitas para economía y
empresa; colección de economía.
 Mankiw, G. Macroeconomía, Antoni Bosch, 1997. Capítulo 4.
 Blanchard, O. Macroeconomía, 2ª edición. Prentice Hall.
Capítulos del 11 al 13
 Información de Internet, en su mayoría referencia del
autor y no del modelo.
NAYRA GONZÁLEZ CANINO
MERCEDES TRUJILLO AFONSO
M. INMACULADA LUIS GARCÍA
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