1 Matrices ACTIVIDADES 1. Página 10 La matriz consta de dos filas que corresponden a los alumnos y cuatro columnas con sus calificaciones. Así: 8 7 9 10 6 8 10 9 2. Página 10 −1 −1 2 . La matriz solución es −1 2 −1 3. Página 10 0 0 La matriz solución es 1 0 0 1 1 0 . 0 1 1 0 4. Página 11 Como las dos matrices tienen la misma dimensión, los elementos de cada una tienen que ser iguales, es decir: a + 1 = 3 2a + 1 = b + 1 a = 2 b = 4 2 = d − 1 → c − 2 = 2c c = −2 3 − a = 1 d = 3 6 = b + 2 3 5 2 . −4 1 6 Así pues, las dos matrices son A = B = 5. Página 11 0 1 1 La matriz solución es 1 0 1 . 1 1 0 6. Página 12 2 3 4 La matriz solución es: 0 4 5 → Matriz triangular superior 0 0 6 5 1 Matrices 7. Página 12 La respuesta es abierta, con la condición de que los elementos de la diagonal principal sumen 7 y el resto de elementos sea 0. Por ejemplo: −1 0 0 0 −2 0 0 10 0 8. Página 12 La respuesta es abierta, con la condición de que los elementos de la diagonal principal sean cero, y los demás no. 0 2 3 5 0 7 11 13 0 9. Página 12 0 0 0 La matriz solución es: 1 0 0 → Matriz triangular inferior 2 1 0 10. Página 13 2 −4 −1 2 La matriz solución es At = . 3 0 5 1 11. Página 13 t t Para la comprobación usaremos la notación A = ( aij ) . Así pues: At = (aij ) = ( a ji ) = (aij ) = A t t La igualdad ( aij ) = ( a ji ) se verifica por la propiedad conmutativa de la suma. 2 3 4 Una matriz que cumpla estas condiciones puede ser, por ejemplo: 3 4 5 . 4 5 6 12. Página 14 3 − 1 − 4 2 −7 5 −1 1 − 7 5 6 −4 2 −2 + 5 − 8 − 0 6 = 7 − 10 − 0 6 = 7 −16 4 0 9 −6 1 0 9 −6 −8 1 − 3 − 7 13. Página 14 −3 7 . Así pues: 4 4 La matriz traspuesta de A es At = −3 4 −3 7 1 0 −6 11 1 0 −7 11 + − = − = A + At − I → 7 4 4 4 0 1 11 8 0 1 11 7 6 1 Matrices 14. Página 14 En primer lugar, calculamos B + C. Es decir: a − 2 9 c + 9 4 a − 1 0 0 b 2a − 3 9 c + 9 b + 4 = + B + C = 0 a − 3 6 1 e 7 d 3 e a + 4 d + 6 2 Al tener las mismas dimensiones, hay que igualar los elementos de la matriz A con la matriz anterior. Es decir: a = 2a − 3 b = 9 a = 3 7 = c + 9 8 + d = b + 4 b = 9 → c = −2 a = 3 d = 5 9 = e e = 9 c + 9 = a + 4 e + 2 = d + 6 15. Página 15 2 −1 3 −5 0 −1 6 −3 3 −5 0 −2 3 0 − + 2 ⋅ − + = 1 2 = 3 1 3 2 1 9 2 1 2 4 3 12 a) 3 A − B + 2C = 3 ⋅ 0 −1 3 −5 2 −1 0 −2 3 −5 6 −3 −3 −4 + − 3 ⋅ = + − = 1 2 2 1 1 3 9 1 −4 1 3 2 4 2 b) 2C + B − 3 A = 2 ⋅ 16. Página 15 −1 a) A ⋅ B = (1 2 3)⋅ 2 = −1+ 4 + 9 = 12 3 −1 −1 −2 −3 2⋅ (1 2 3) = 2 4 6 3 6 9 3 b) B ⋅ A = −3 c) 2 A ⋅ 3B = (2 4 6)⋅ 6 = −6 + 24 + 54 = 72 9 2 2 4 6 −8 −12 −6 −12 −18 d) (−2B)⋅ A = −4⋅ (1 2 3) = −4 −6 17. Página 16 2 1 2 −1 4 5 −7 ⋅ −1 1 = 2 −5 1 0 3 0 −2 a) A ⋅ B = 5 −2 11 1 2 −1 4 = −1 1⋅ 1 −1 1 0 3 0 −2 −2 0 −6 2 b) B ⋅ A = −1 c) At ⋅ B no se puede realizar, ya que el número de columnas de At no coincide con el número de filas de B . 18. Página 16 −1 4 2 −3 −1 0 0 3 −8 11 −1 0 3 52 −55 −13 ⋅ 2 − 1 ⋅ = ⋅ = A ⋅ B ⋅ C = 1 0 −2 13 4 −5 1 3 4 4 −5 1 13 −20 −2 0 7 1 Matrices 19. Página 17 2 3 7 4 14 26 ⋅ = −1 0 0 6 −7 −4 7 4 2 3 10 21 ⋅ = → No son conmutables. B ⋅ A = 0 6 −1 0 −6 0 a) A ⋅ B = 2 3 7 4 3 1 2 3 10 5 23 34 ⋅ + = ⋅ = −1 0 0 6 1 2 −1 0 1 8 −10 −5 b) A ⋅ ( B + C ) = 2 3 7 4 2 3 3 1 14 26 9 8 23 34 ⋅ + ⋅ = + = A ⋅ B + A ⋅ C = −1 0 0 6 −1 0 1 2 −7 −4 −3 −1 −10 −5 20. Página 17 Deberá comprar al proveedor que le salga más barato. Por ello, hay que calcular el coste total: 100 000 0,7 0,6 0,5 El coste comprando al proveedor M asciende a (6,50 1,50 )⋅ ⋅ 550 000 = 3 175 000 €. 0,3 0,4 0,5 50 000 100 000 0,7 0,6 0,5 ⋅ 550 000 = 3 150 000 €. El coste comprando al proveedor N asciende a (6,70 1,10 )⋅ 0,3 0,4 0,5 50 000 Por tanto, deberá comprar al proveedor N. 21. Página 18 El rango de la matriz A es 2, ya que no existen a, b y c tales que F2 = a ⋅ F1 , F3 = b ⋅ F1 o F3 = c ⋅ F2 y, sin embargo, F3 = F1 + F2 . El rango de la matriz B es 2, ya que no existen a, b y c tales que F2 = a ⋅ F1 , F3 = b ⋅ F1 o F3 = c ⋅ F2 y sin embargo, F3 = 2F1 + F2 . 22. Página 18 El rango de A es 2, ya que no existe a tal que F2 = a ⋅ F1 . El rango de B es 1, ya que F3 = 3 ⋅ F1 y F2 = 2 ⋅ F1 . 3 −2 1 2 3 7 14 21 ⋅ = 1 4 −2 −4 −6 −7 −14 −21 El rango de A⋅ Bt es 1, ya que A ⋅ Bt = y, además, F2 = − F1 . 23. Página 19 El rango de la matriz A es 2: −1 2 1 − 1 2 1 3 3 F2 =F2 +3 F1 − 1 2 1 3 F3 =F1+F3 F3 =F2 −F3 3 − 1 4 −2 → 0 5 7 7 → 0 5 7 7 1 3 6 0 0 0 0 4 0 5 7 7 El rango de la matriz B es 3: 1 4 1 4 3 F2 =F2 +2 F1 1 4 3 3 F3 =F3 −F1 F3 =7 F3 +2 F2 −2 −1 0 → 0 7 6 → 0 7 6 1 2 − 2 0 −2 − 5 0 0 −23 8 1 Matrices 24. Página 19 2 1 3 −2 4 2 6 1 4 2 2 −1 ⋅ − = − = At ⋅ B − Ct = −1 0 0 5 −1 m −3 2 −1 m −2 −m + 2 −1 2 −1 → . −2 −m + 2 0 −m + 1 2 El rango está en función del parámetro m. Por el método de Gauss se tiene que Así pues, si m = 1 , entonces el rango de At ⋅ B − Ct es 1, y si m ≠ 1 , entonces el rango es 2. 25. Página 20 a c , tenemos que: a) Buscamos una matriz B tal que A ⋅ B = I y B ⋅ A = I . Si B = b d 3 a + b = 1 a = 1 1 −1 3 1 a c 3a + b 3c + d 1 0 3c + d = 0 b = −2 = ⋅ = = I → A ⋅ B = → → B = 2a + b = 0 c = −1 −2 3 2 1 b d 2a + b 2c + d 0 1 2c + d = 1 d = 3 1 −1 −2 3 Se puede comprobar que: B ⋅ A = I → A−1 = t t 1 −1 1 −2 = → 3 −1 3 b) ( A−1) = −2 −1 −1 ( At ) 3 2 1 −2 = = −1 1 1 3 26. Página 20 Para ver si una matriz es invertible, podemos calcular el rango de dicha matriz. 4 1 4 1 → → Como el rango es 2, entonces la matriz es invertible. −3 −1 0 −1 27. Página 20 −2 −1 −2 −1 4 − 3 2 − 2 1 0 ⋅ = = 3 2 3 2 −6 + 6 −3 + 4 0 1 28. Página 21 2 −5 1 0 −1 3 0 1 −1 3 0 1 −1 0 −3 −5 1 0 3 5 3 5 → → → → → A−1 = −1 3 0 1 2 −5 1 0 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 Para ver que hemos obtenido la inversa, basta con comprobar que I = A ⋅ A−1 : 2 −5 3 1 1 0 ⋅ = A ⋅ A−1 = −1 3 5 2 0 1 1 0 2 −1 2 −1 3 2 1 0 3 2 1 0 3 0 6 −3 −1 −5 → → → → B = −5 3 3 5 4 0 1 0 2 −5 3 0 2 −5 3 0 1 2 2 2 2 Para ver que hemos obtenido la inversa, basta con comprobar que I = B ⋅ B−1 : 3 2 2 −1 1 0 ⋅ −5 B ⋅ B−1 = 3 = 0 1 5 4 2 2 9 1 Matrices 29. Página 21 1 0 −1 1 0 0 1 0 −1 2 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 −1 2 −1 1 0 1 0 → 0 −1 3 −2 1 0 → 0 −1 0 −5 1 −3 → 0 1 0 5 −1 3 → A = 5 −1 3 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 −1 0 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 −1 1 0 1 0 1 −1 1 0 1 0 1 −1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 → 0 1 2 1 0 0 → 0 1 2 1 0 0 → 1 −1 1 0 1 0 → 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 3 −2 0 −2 1 0 0 −8 −3 −2 1 2 1 1 1 3 1 3 1 0 0 − − 1 −1 1 0 1 0 8 4 8 8 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 → 0 1 0 → 1 0 B−1 = → 0 − − − 4 4 2 4 4 2 4 2 4 3 1 1 3 1 1 3 1 1 0 1 − 0 0 1 − − 0 8 8 4 8 8 4 8 4 8 30. Página 22 Despejando X en la ecuación, tenemos que X = A−1 ⋅ B . Mediante el procedimiento de Gauss-Jordan: 0 1 1 A−1 = 1 −2 −3 1 2 0 Así pues: 0 0 1 1 2 −1 3 X = A ⋅ B → X = 1 −2 −3 ⋅ 1 1 → X = 3 −9 0 −1 5 1 2 −1 2 −1 31. Página 22 Despejando X en la ecuación, tenemos que X = B ⋅ A−1 . Mediante el procedimiento de Gauss-Jordan: 0 1 0 A−1 = −2 1 3 1 0 −1 Así pues: 0 1 0 1 2 −1 −5 3 7 ⋅ −2 1 3 → X = X = B ⋅ A−1 → X = 1 0 −1 1 0 0 1 0 −1 32. Página 23 −1 En primer lugar, despejamos X , es decir: At ⋅ X − B = 0 → At ⋅ X = B → X = ( At ) ⋅ B −1 En segundo lugar, calculamos ( At ) : −1 t −1 (A ) 0 1 0 0 0 1 → 0 0 1 → 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Finalmente, multiplicamos y obtenemos que: 0 0 1 3 4 1 2 −1 X = ( At ) ⋅ B → 1 0 0 ⋅ 5 6 → X = 3 4 0 1 0 1 2 5 6 10 1 Matrices 33. Página 23 Despejamos X, es decir, X ⋅ A + A = 2 A2 → X ⋅ A = 2 A2 − A → X = (2 A2 − A)⋅ A−1 → X = 2 A − I . Así pues: 1 1 1 1 1 0 0 2 2 X = 2 A − I → X = 2 ⋅ 0 2 1 − 0 1 0 → X = 0 3 2 −1 −2 −2 0 0 1 −2 −4 −5 SABER HACER 34. Página 24 1 0 A + B = 0 1 t 1 2 1 3 = A − B = 3 4 2 4 Sumando las dos ecuaciones, se obtiene: 1 2 3 → A = 2A = 2 5 1 3 2 5 2 Despejando en la primera ecuación: 1 0 1 − B = 0 1 1 3 3 0 − 2 2 = 5 3 −1 − 2 2 35. Página 24 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A = 0 −4 10 ⋅ 0 −4 10 = 0 −14 30 0 −3 7 0 −3 7 0 −9 19 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A = 0 −14 30 ⋅ 0 −4 10 = 0 −34 70 0 −9 19 0 −3 7 0 −21 43 3 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 −34 70 = α 0 −4 10 + β 0 1 0 → α = 7, β = −6 0 −21 43 0 −3 7 0 0 1 36. Página 25 1 1 1 1 1 1 1 2 2 A2 = 0 1 0 ⋅ 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 101 A 1 2 2 1 1 1 1 3 3 A3 = 0 1 0⋅ 0 1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 101 101 = 0 1 0 0 1 0 37. Página 25 PM = (I − M) · M = IM − M2 = M − M = 0 MP = M · (I − M) = MI − M2 = M − M = 0 Así, resulta: PM = MP = 0. 11 1 Matrices 38. Página 26 La matriz resultado es de dimensión 1×3, donde cada elemento representa lo que cuestan en total todos los productos en cada fábrica. 34 40 46 11 8 12 25 30 60 75 ⋅ ( ) = (4 435 4 435 5 680 ) 23 27 32 25 21 30 La primera y la segunda fábricas ofrecen el mismo precio por este pedido. 39. Página 26 x 2 + 1 = 2 x 1 x y x 2 + 1 xy 2 −2 = ⋅ = → xy = −2 A ⋅ A = 2 4 y −2 y 0 1 0 yx y 2 = 4 t −1 1 1 1 • Si y = 2, entonces x = −1 → A = 2 0 • Si y = −2, entonces x = 1 → A = −2 0 40. Página 27 4 − 1 −2 4 1 F2 =2 F2 +F1 4 −1 −2 1 −1 −2 1 F3 =4 F3 −3 F1 F3 =F2 +F3 −2 − 3 −8 −7 → 0 −7 −18 −13 → 0 −7 −18 −13 3 2 − a 3 3 + a 0 −4 + 4 a 0 11− 4 a 18 9 + 4 a 0 4 − 4 a • Si a = 1 , entonces Rango (A) = 2. • Si a ≠ 1 , entonces Rango (A) = 3. 41. Página 27 Para que la matriz sea invertible, es necesario que su rango sea máximo (en este caso 3). k + 1 0 0 1 k + 1 1 1 1 → 0 1 k −2 k −2 0 − k − 1 k − 2 −k 0 1 Entonces, para los valores que anulan la diagonal principal (−1 y 2) la matriz M no tiene rango 3. Por tanto, estos son los valores para los que M no tiene inversa. 42. Página 27 1 3 1 3 7 18 ⋅ = 2 X + Y = A2 → 2 5 2 5 12 31 −1 1 3 −5 3 −1 = X − Y = A → 2 5 2 −1 Sumando las dos ecuaciones, obtenemos: 2 21 2 / 3 7 → X = 3 X = 14 30 14 / 3 10 Sustituyendo en la segunda ecuación: 2 / 3 7 −5 3 17 / 3 4 − = Y = 14 / 3 10 2 −1 8 / 3 11 12 1 Matrices ACTIVIDADES FINALES 43. Página 28 Respuesta abierta. Por ejemplo: a) (1 3) 4 b) 2 (4 15 14) 9 2 1 1 0 d) 0 1 1 −2 0 −3 e) 2 0 0 0 1 0 0 c) 0 5 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 f) 1 0 0 4 2 0 6 5 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 5 0 1 3 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 3 5 1 44. Página 28 1 4 . 0 1 La matriz solución es 45. Página 28 Al tener las mismas dimensiones, hay que igualar los elementos de la matriz A con los de la matriz B: 1 = 1 2 = 2 x + 3 = y x = −1 → 3 = 3 y = 2 x = 2 y − 5 −4 = −4 46. Página 28 1 −1 3 3 −1 0 4 −2 3 + = 1 1 4 2 −3 6 3 −2 2 a) A + B = 1 −1 3 3 −1 0 −2 0 3 − = 1 1 4 2 −3 −2 −1 4 2 b) A − B = 1 −1 3 6 −2 0 −5 1 3 − = 2 1 1 8 4 −6 −6 −3 7 c) A − 2B = 2 −2 6 9 −3 0 11 −5 6 + = 4 2 2 12 6 −9 16 8 −7 d) 2 A + 3B = 47. Página 28 a) ( n× m)⋅ ( m× p) → ( n× p) d) ( p× n)⋅ ( n× m) → ( p× m) b) ( m× n)⋅ ( n× p) → ( m× p) e) ( m× p)⋅ ( p× n) + ( m× n) → ( m× n) c) ( m× p)⋅ ( p× n) → ( m× n) f) ( p× m)⋅ ( m× n) − ( p× n) → ( p× n) 13 1 Matrices 48. Página 28 a) 2×4 b) 3×6 c) 3×3 d) 6×3 e) 4×6 f) 4×2 49. Página 28 7 −2 1 0 −3 2 1 −1 b) Bt ⋅ A = 4 −1 a) A ⋅ B = −1 1 3 −2 2 −1 c) A2 = 50. Página 28 t t Para la comprobación usaremos la notación A = ( aij ) . Así pues: ( At ) = ( aij ) = ( aji ) = ( aij ) = A . t t 51. Página 28 t t t Para la comprobación usaremos la notación A = ( aij ) . Así pues: At = ( aij ) = (− aji ) = − ( a ji ) = − ( aij ) = − A . t t La igualdad ( aij ) = (− a ji ) se verifica porque i − j = − ( j − i ) . 52. Página 28 2 −4 −2 1 5 −16 −2 26 ⋅ = 1 3 1 −4 −3 4 11 −1 1 5 −2 1 9 −16 −19 5 ⋅ 2 1 1 = −5 16 24 3 1 −4 1 − 3 − 2 a) AB = 3 c) BC = b) No es posible. −1 1 5 −2 3 28 −22 d) CB = 2 1 1 ⋅ 1 1 = 2 3 8 1 −3 −2 5 −4 −15 t 53. Página 28 8 −1 8 −1 −1 −3 2 −3 1 −5 −60 3 −4 14 = ⋅ ⋅ 0 ⋅ 0 3 3 = 3 1 1 0 1 4 7 −9 76 −34 5 0 0 5 a) A ⋅ B ⋅ C = −1 −3 8 0 5 2 −3 1 −5 −9 −5 2 −3 1 −3 −12 −4 ⋅ + = + = 3 1 −1 3 0 1 0 1 23 3 15 1 0 1 24 3 16 b) A ⋅ Ct + B = 2 8 −1 1 −5 8 −1 −7 −4 1 −1 −3 − 0 3 = 3 9 − 0 3 = 3 6 1 5 0 2 −2 5 0 −3 −2 1 1 c) Bt ⋅ A − C = −3 0 ⋅ 3 8 −1 2 −3 1 −1 −3 21 −11 −1 −3 −54 −74 ⋅ 0 = ⋅ = 3⋅ 3 0 1 1 13 −1 3 1 −16 −40 1 5 0 d) B ⋅ C ⋅ A = −1 3 8 0 5 −11 9 −5 ⋅ = −3 1 −1 3 0 −25 3 −15 e) At ⋅ Ct = 2 1 8 0 5 15 3 10 7 3 5 = −24 0 −15 f) Bt ⋅ C t = −3 0⋅ −1 3 0 1 1 14 1 Matrices 54. Página 28 2 1 2 3 1 2 ⋅ = A ⋅ B = −1 0 −3 −4 −2 −3 2 3 2 1 1 2 ⋅ = B ⋅ A = −3 −4 −1 0 −2 −3 55. Página 28 a b tales que A ⋅ X = X ⋅ A . Se quieren encontrar las matrices X = c d 1 1 a b a + c b + d = ⋅ A ⋅ X = 0 1 c d c d a b 1 1 a a + b ⋅ = X ⋅ A = c d 0 1 c c + d Igualando cada término, obtenemos que: a + c = a a = α α λ b + d = a + b b=λ → → X = 0 α c = c c = 0 c + d = d d = α 56. Página 28 Para que la matriz B conmute con la matriz A es necesario que dicha matriz sea cuadrada de dimensión 2. a b B = c d a b . Como la matriz B tiene que ser triangular superior, entonces c = 0. Así pues, B = 0 d 1 3 a b a b + 3d = ⋅ A ⋅ B = −1 2 0 d −a −b + 2d Igualando cada término, se tiene que: a b 1 3 a − b 3a + 2b ⋅ = B ⋅ A = 2d 0 d −1 2 −d a = λ a = a − b − a = − d b = 0 → b + 3 d = 3 a + 2b c = 0 d = λ − b + 2d = 2d Como a + d = 2 → λ + λ = 2 → λ = 1 . 1 0 . 0 1 Por tanto, la matriz buscada es B = 57. Página 28 3 0 1 0 3 0 ⋅ = −1 2 3 4 5 8 a) A⋅ B = 1 0 3 0 3 0 ⋅ = B ⋅ A = 3 4 −1 2 5 8 a b . La matriz X tiene que verificar A ⋅ X = X ⋅ A . Entonces: b) Sea X = c d 3 0 a b 3a 3b = ⋅ A ⋅ X = −1 2 c d −a + 2c −b + 2d a b 3 0 3a − b 2b X ⋅ A = ⋅ = c d −1 2 3c − d 2d Por tanto, igualando cada término, se tiene que: a = λ 3 a = 3 a − b 3 b = 2b b = 0 λ 0 → → X = α − λ α − a + 2c = 3c − d c = α − λ − b + 2d = 2d d = α 15 1 Matrices 58. Página 28 x y : Sea P = − y x x P ⋅ C = − y y a b xa − yb xb + ay = ⋅ x −b a − ya − xb − yb + xa a b x ⋅ C ⋅ P = −b a − y y ax − by ay + bx = x −bx − ay −by + ax Así pues, las matrices C y P son siempre conmutables. 59. Página 28 Sean A ∈ M y B ∈ M : a −b c −d ac − bd −ad − bc ac − bd −( ad + bc) ⋅ = = A ⋅ B = b a d c bc + ad −bd + ac ad + bc ac − bd Por otro lado: 2 2 ( ac − bd ) + ( ad + bc) = a2c2 + b2d 2 − 2acbd + a2d 2 + b2c2 + 2adbc = = a2 (c2 + d 2 ) + b2 (c2 + d 2 ) = a2 + b2 = 1 60. Página 28 2 3 −1 1 −1 4 −4 7 −7 1 −1 4 −4 t + t ⋅ = → + t ⋅ = → 2 2 2 4 3 8 5 14 14 3 8 5 2t −t −3 3 = 3t −6 −9 Igualando los términos, se obtiene que t = −3. 61. Página 28 1 y 1 x 1 0 1+ y 2 ⋅ = 5 ⋅ → x z y z 0 1 x + yz x + yz 5 0 = x 2 + z 2 0 5 Igualando cada término, tenemos que: ( x1, y1, z1) = (2, 2, − 1) 1+ y 2 = 5 x + yz = 0 → ( x 2 , y 2 , z2 ) = (−2, 2, 1) 2 ( x 3 , y 3 , z3 ) = (2, − 2, 1) 2 x + z = 5 ( x 4 , y 4 , z4 ) = (−2, − 2, − 1) 62. Página 28 Realizando las operaciones e igualando cada término, tenemos que: x 2 + 3 = 2 − 2 x → x 2 + 2 x + 1 = 0 → x = −1 Como observación, el resto de ecuaciones no aporta información sobre la variable x. Por consiguiente, si x = −1, se cumple la igualdad pedida. 63. Página 28 x −1 x 2 −1 8 2 x −5 x 2 − 1 2 x 1− 2 x 8 2 x −5 ⋅ = → → x = 3 = 1 0 1 0 x − 1 x 2 −1 x 2 −1 x 2 −1 Como observación, la solución x = −3 no es válida ya que no se verificaría para el tercer elemento de la primera fila. 16 1 Matrices 64. Página 28 λ 0 3 0 0 0 λ 0 3 0 λ 0 3 0 0 0 B ⋅ = B ⋅ 9 3 → B ⋅ 3 1 − B ⋅ 9 3 = 0 0 → B ⋅ 3 1 − 9 3 = 0 0 3 1 a b a b λ − 3 0 0 0 → c d⋅ −6 −2 = 0 0 c d Si B = (λ − 3) a − 6 b = 0 (λ − 3 ) a = 0 −2b = 0 b = 0 → →λ=3 (λ − 3) c − 6 d = 0 (λ − 3 ) c = 0 −2d = 0 d = 0 a 0 . c 0 Así pues, B = 65. Página 29 0 a . Así: Una matriz antisimétrica de orden 2 verifica que A = −a 0 −a2 4 0 a 0 4 a → A2 = A = A → = 0 0 −a2 −a 0 0 a4 Por tanto: a4 = 16 → a = ± 4 16 → a = ±2 66. Página 29 No se puede asegurar. Por ejemplo, si tomamos las siguientes matrices, su producto no es conmutativo: 2 0 0 A = 0 3 0 0 0 1 1 0 1 B = 0 1 0 1 0 1 Para que conmute el producto es necesario y suficiente que la matriz A tenga su diagonal formada por el mismo número: a 0 0 1 0 0 A = 0 a 0 = a ⋅ 0 1 0 = a ⋅ I 0 0 a 0 0 1 Así, el producto de esta matriz A con otra matriz B será conmutativo. 67. Página 29 a b : Sea B = c d 1 1 a b a + c b + d A ⋅ B = = ⋅ 2 1 c d 2a + c 2b + d a b 1 2 a + b 2a + b B ⋅ At = ⋅ = c d 1 1 c + d 2c + d Igualando cada término, se tiene que: a = α a + c = a + b b + d = 2 a + b α λ b=λ → → B = λ 2α 2a + c = c + d c = λ 2b + d = 2c + d d = 2α 17 1 Matrices 68. Página 29 2 a b a b a b 2 2ab 2a 2b 3 0 1 0 a + b M 2 − 2M = 3I → − ⋅ − 2 ⋅ = 3 0 1 → = 2 b a b a b a 2ab a + b2 2b 2a 0 3 Así, igualando los términos correspondientes, se tiene que: 2 2 a + b − 2a = 3 2ab − 2b = 0 → 2b ( a − 1) = 0 • Si b = 0 → a2 + b2 − 2a = 3 → a2 − 2a − 3 = 0 → a1 = 3, a2 = −1 • Si a = 1 → a2 + b2 − 2a = 3 → 1+ b2 − 2 = 3 → b1 = 2, b2 = −2 3 0 −1 0 1 2 1 −2 , , , M = 0 3 0 −1 2 1 −2 1 69. Página 29 1 0 m2 0 m 0 + 1 0 = 1 0 → X 2 − 4 X + I = − 4 ⋅ 0 −3 0 4 0 2 0 1 0 −3 m2 − 4m + 1 0 1 0 2 m = 0 → = → m − 4m + 1= 1 → m = 4 0 − 3 0 −3 70. Página 29 2 2 1 x 8 8 2 x 1 2 2 x + 2 2 x + 2 + 0 1 = 1+ 2 x → A2 + B2 = + = → x = 3. A2 + B2 = 2 1 1 2 6 12 4 2 x + 1 2 5 6 2 x + 6 71. Página 29 t 2 −1 1 −1 6 t 1 −1 −1 1 2 1 t 0 = 8 ( A ⋅ B) = ⋅ 3 −2 = 1 3 0 − 5 6 8 − 8 1 0 −1 1 −8 t 2 2 1 −1 3 0 1 3 −1 6 t 1 −1 2 = 1 −2 −1⋅ −1 0 = 1 B ⋅ A = 3 −2 0 ⋅ 8 3 0 −5 0 −1 −1 1 0 1 2 −5 1 −8 t t 72. Página 29 3 1 0 17 29 29 + 1 0 17 −10 −17 = m0 1 + n−10 −17 0 1 (I + A) = mI + nA → 3 3 18 1 0 17 29 29 32 58 17n + m 29 n = m + n → −10 −17 → −20 −36 = −10 n −17n + m −10 −16 0 1 Igualando término a término, se tiene que m = −2 y n = 2. 73. Página 29 5 4 2 1 1 0 0 0 5 + 2α + β 4 +α 0 0 α = −4 +α ⋅ + β⋅ = → = → A2 +α ⋅ A + β⋅ I = 0 → 5 + 2α + β 0 0 β = 3 4 5 1 2 0 1 0 0 4 +α 18 1 Matrices 74. Página 29 La matriz B debe tener dimensión 3×2 para que se pueda multiplicar con A y, además, para que tengamos como resultado una matriz 2×2. 2 0 Como la primera fila es (2 0) , entonces B = c d . e f 2 0 0 2 −1 0 2 0 2 −2 + 2e 2f 0 2 → ⋅ c d = → A⋅ B = = 3 1 4 + c 3 1 2 1 0 d 3 1 e f Igualando términos, se tiene que: −2 + 2e = 0 c = −1 2 0 d =1 2f = 2 → → B = −1 1 4 + c = 3 e = 1 1 1 f = 1 d = 1 75. Página 29 1 1 −1 1 −1 0 −1 1 1 A ⋅ B = −1 1 1 ⋅ −1 1 1 = −1 1 1 2 1 −1 0 2 −2 2 2 2 1 −1 0 1 1 −1 2 0 −2 B ⋅ A = −1 1 1⋅ −1 1 1 = 0 2 4 2 2 0 −2 1 −1 0 2 2 Por tanto, A y B no cumplen la propiedad conmutativa para el producto. 76. Página 29 0 a Debido a que la matriz A es antisimétrica, tenemos que A = − a 0 − b −c b c . 0 Así: 2 2 2 −bc ac 0 −5 −6 3 − ( a + b ) 3 a b −5 −6 2 2 = −6 −10 −2 − a 0 c = −6 −10 −2 → −bc − a + c − ab ( ) −b −c 0 2 2 3 −2 −13 3 −2 −13 ac − ab − b + c ( ) Igualando cada término, se tiene que: − ( a2 + b2 ) = −5 − bc = −6 ( a, b, c ) = (1, 2, 3) ac = 3 → − ( a2 + c 2 ) = −10 ( a, b, c ) = (−1, − 2, − 3) −ab = −2 2 2 − (b + c ) = −13 0 1 2 0 −1 −2 Por tanto: A = −1 0 3 , 1 0 −3 −2 −3 0 2 3 0 19 1 Matrices 77. Página 29 2 3 3 0 9 0 3 a) ( A + B) = −2 0 0 = −6 −6 0 1 2 1 0 5 1 2 5 2 −1 −5 2 2 −2 8 2 −2 12 3 0 0 + −1 −5 1 + −2 2 −2 = 0 −3 −1 5 2 −8 −4 2 −8 0 3 −1 −1 −1 1 b) A2 + B2 + 2 ⋅ A ⋅ B = 3 2 2 ( A + B) = ( A + B)⋅ ( A + B) = A + A ⋅ B + B ⋅ A + B c) → A⋅ B = B ⋅ A 2 ( A + B) = A2 + 2 ⋅ A ⋅ B + B2 2 Para que se verifique la igualdad, las matrices deben cumplir la propiedad conmutativa de la multiplicación. 78. Página 29 a b 0 5 2 0 5 a + 2b 2 a + 5b 0 c d 0 ⋅ 2 5 0 = 5c + 2d 2c + 5d 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 5 2 0 a b 0 5 a + 2c 2d + 5b 0 2 5 0 ⋅ c d 0 = 5c + 2a 5d + 2b 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 Igualando cada término, se tiene que: 5a + 2c = 5 a + 2b a = λ 2d + 5b = 2 a + 5b b = α → 5c + 2a = 5c + 2d c = α 5d + 2b = 2c + 5d d = λ λ α 0 0 1 Las matrices que conmutan son de la forma M = α λ 0 . 0 Por otro lado: a + d + 1= 5 → λ + λ + 1= 5 → 2λ = 4 → λ = 2 La matriz que conmuta con la dada, cuyos elementos de la diagonal principal suman 5, y donde a11 = −a12, está determinada por: 2 −2 0 a + b = 0 → 2 +α = 0 → α = −2 → M1 = −2 2 0 0 1 0 79. Página 29 m 1 0 m 1 0 m2 X 2 = 0 a 0 ⋅ 0 a 0 = 0 0 0 s 0 0 s 0 m2 = 1 → m = ±1 m + a 0 1 0 0 m + a = 0 → m = −a a2 0 = 0 1 0 → 2 a = 1 → a = ±1 0 s 2 0 0 1 2 s = 1 → s = ±1 Así: 1 1 0 1 1 0 −1 1 0 −1 1 0 X = 0 −1 0 , 0 −1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 20 1 Matrices 80. Página 29 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ⋅ = = = A2 = 2 1 2 1 2 + 2 1 4 1 2 ⋅ 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ⋅ = = = A3 = 4 1 2 1 4 + 2 1 6 1 2 ⋅ 3 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ⋅ = = An = 2( n − 1) 1 2 1 2n − 2 + 2 1 2n 1 1 0 1 0 = A41 = 2 ⋅ 41 1 82 1 81. Página 29 1 −1 A = 0 1 1 −1 1 −1 1 −2 ⋅ = A2 = 0 1 0 1 0 1 1 −2 1 −1 1 −3 ⋅ = A3 = 0 1 0 1 0 1 1 −( n − 1) 1 −1 1 −n = An = ⋅ 0 1 0 1 1 0 1 0 1 −1 1 −2 1 −n n + 1 − n ( n + 1) + + + ... + = Tn = I + A + A2 + ⋯ + An = 2 0 1 1 0 1 0 1 0 n + 1 0 82. Página 29 A2 = 2 A − I A3 = (2 A − I ) A = 2 A2 − A = 2(2 A − I ) − A = 3 A − 2I A4 = 4 A − 3I An = nA − ( n − 1) I 83. Página 29 1 1 1 −1 0 0 ⋅ = 1 1 −1 1 0 0 1 −1 1 1 0 0 ⋅ = B ⋅ A = −1 1 1 1 0 0 a) A ⋅ B = 1 1 1 1 2 2 ⋅ = 1 1 1 1 2 2 b) A2 = 1 −1 1 −1 2 −2 ⋅ = B2 = 2 −1 1 −1 1 −2 2 2 1 1 4 4 ⋅ = A3 = 2 2 1 1 4 4 2n−1 2n−1 An = n−1 n−1 2 2 2 −2 1 −1 4 −4 ⋅ = B3 = 2 −1 1 −4 4 −2 2n−1 −2n−1 Bn = n−1 2n−1 −2 84. Página 29 1 0 a b a b 1 0 = ⋅ ⋅ 1 1 c d c d 1 1 a) A ⋅ B = B ⋅ A → b 1 0⋅ a b = a 1 1 c d a + c b + d a b⋅ 1 0 = a + b b c d 1 1 c + d d a = λ a = a + b b = b b = 0 λ 0 → → B = a + c = c + d c = α α λ b + d = d d = λ 1 0 1 0 1 0 ⋅ = 1 1 1 1 2 1 b) A2 = 1 0 1 0 1 0 ⋅ = A3 = 2 1 1 1 3 1 1 0 An = n 1 21 1 Matrices 85. Página 29 2 0 2 1 0 1 4 0 4 22 A = 0 0 0 ⋅ 0 0 0 = 0 0 0 = 0 2 2 0 2 1 0 1 4 0 4 2 1 0 1 1 0 1 2 0 2 A = 0 0 0 ⋅ 0 0 0 = 0 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 2 3 2 4 0 4 1 0 1 8 0 8 23 A = 0 0 0 ⋅ 0 0 0 = 0 0 0 = 0 3 4 0 4 1 0 1 8 0 8 2 4 0 23 0 0 0 23 8 0 8 1 0 1 16 0 16 24 A = 0 0 0 ⋅ 0 0 0 = 0 0 0 = 0 8 0 8 1 0 1 16 0 16 24 5 2 n−1 0 2n−1 A = 0 0 0 n−1 2 0 2n−1 n 86. Página 29 1 3 a b a + 3c b + 3d = ⋅ 2d 0 2 c d 2c a) A ⋅ M = a b 1 3 a 3a + 2b ⋅ = M ⋅ A = c d 0 2 c 3c + 2d a + 3c = a a = λ λ 3 (α − λ ) b + 3d = 3 a + 2b b = 3 (α − λ ) → → M = 2c = c c = 0 α 0 2d = 3c + 2d d = α 1 3 1 3 1 9 1 b2 ⋅ = = 2 , donde b2 = 2 · 3 + 3 = 2 · b1 + 3 0 2 0 2 0 4 0 2 b) A2 = 1 9 1 3 1 21 1 b3 ⋅ = = A3 = 3 , donde b3 = 2 · 9 + 3 = 2 · b2 + 3 0 4 0 2 0 8 0 2 1 21 1 3 1 45 1 b4 , donde b4 = 2 · 21 + 3 = 2 · b3 + 3 ⋅ = = A4 = 0 8 0 2 0 16 0 24 1 bn An = n , donde bn = 2 · bn−1 + 3 0 2 Además de expresar An recurrentemente, se puede escribir de la siguiente forma: n 1 3 2i −1 ∑ A = i =1 0 2 n n 87. Página 29 a b a b a2 2ab ⋅ = 0 a 0 a 0 a2 a) M2 = a3 3a2b a b a4 4a3b = M4 = ⋅ 0 a3 0 a 0 a4 a2 2ab a b a3 3a2b ⋅ = M 3 = 2 a3 0 a 0 a 0 an M n = 0 nan−1b an a100 100 a99 b 1 1 = → a = ±1 0 a100 0 1 b) M100 = • Si a = 1 → b = 22 1 1 1 → M1 = 100 100 1 0 • Si a = −1 → b = − −1 − 1 1 → M2 = 100 100 −1 0 0 22 0 0 0 22 0 24 0 0 0 24 1 Matrices 88. Página 30 1 1 1 1 2 −1 ⋅ = 1 −2 1 −2 −1 5 a) A2 = 2 −1 m n 0 m + n m 1 1 1 0 m −1 5 = m1 −2 + n0 1 = m −2m + 0 n = m −2m + n Así, igualando los términos: 2 = m + n m = −1 −1 = m → −1 = m n = 3 5 = −2 m + n 2 b) A2 = − A + 3I → A5 = ( A2 ) ⋅ A = (− A + 3I )(− A + 3I ) A = ( A2 − 3 A − 3 A + 9I ) A = = ((−A + 3I ) − 3 A − 3 A + 9I ) A = (−7 A + 12I ) A = −7 A2 + 12 A = −7(− A + 3I ) + 12 A = 19 A − 21I Por tanto: 1 1 1 0 −2 19 − 21⋅ = A5 = 19 ⋅ −2 1 0 1 −38 −2 89. Página 30 a) Respuesta abierta. Por ejemplo: 1 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A = 0 0 0 ⋅ 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 2 4 2 16 + 2m 8 − 6 16 + 2m 2 ⋅ = = m −3 m −3 4m − 3m 2m + 9 m 2m + 9 b) A2 = 4 2 16 + 2m 2 = A = 2m + 9 m −3 m Así, igualando términos: 4 = 16 + 2 m m = m → m = −6 2 = 2 −3 = 2m + 9 2 1 m = 1+ mn m → mn = 0 c) n n 0 mn 1 0 o bien Las matrices son del tipo n 0 1 m . 0 0 23 1 Matrices 90. Página 30 ... a1n b11 b12 ... a2 n b21 b22 ⋅ ... ... ... ... ... ann bn1 bn2 a11 a12 a a a) A ⋅ B = 21 22 ... ... an1 an 2 ... b1n ... b2 n = ... ... ... b nn a11b11 + a12b21 + ... + a1n bn1 ... ... a21b12 + a22 b22 + ... + a2 nbn 2 = ... ... ... ... b11 b12 b22 b B ⋅ A = 21 ... ... bn1 bn2 ... b1n a11 a12 ... b2 n a21 a22 ⋅ ... ... ... ... ... bnn an1 an 2 ... ... ... an1b1n + an2 b2 n + ... + ann bnn ... ... ... ... ... a1n ... a2 n = ... ... ... ann b11a11 + b12 a21 + ... + b1n an1 ... ... b a + b a 21 12 22 22 + ... + b2 n an 2 = ... ... ... ... ... ... ... bn1a1n + bn 2 a2 n + ... + bnn ann ... ... ... ... El primer elemento de la diagonal de la matriz BA se compone de todos los primeros sumandos de los elementos de la diagonal de la matriz AB. El segundo elemento de la diagonal de la matriz BA se compone de todos los segundos sumandos de los elementos de la diagonal de la matriz AB, y así sucesivamente. 7 5 = 7 + 15 = 22 5 15 a 8 = a −1 Tr (BA) = Tr 2 −1 b) Tr ( AB) = Tr a − 1= 22 → a = 23 91. Página 30 1 1 3 1 1 3 0 0 0 a) A = 5 2 6 ⋅ 5 2 6 = 3 3 9 −2 −1 −3 −2 −1 −3 −1 −1 −3 0 0 0 1 1 3 0 0 0 A = 3 3 9 ⋅ 5 2 6 = 0 0 0 −1 −1 −3 −2 −1 −3 0 0 0 2 3 0 a 0 a ab 0 0 a 0 0 → Las matrices son del tipo B = o bien B = . ⋅ = 0 0 b 0 b 0 b 0 0 ab b) B2 = 92. Página 30 1 −5 F =F −2F 1 −5 → → El rango es 2. a) 2 2 2 1 0 1 11 9 6 F =3 F −2F 9 6 → → El rango es 1. b) 6 4 0 0 2 1 0 2 1 1 1 0 1 0 1 1 F3 =F3 −F2 0 → 0 1 0 → El rango es 3. 1 −1 0 0 −1 F =F −F c) 0 1 0 → 0 1 3 3 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 F =F −2 F F =4 F + F d) 2 4 0 → 0 0 −4 → 0 0 −4 → El rango es 2. 2 1 2 2 24 2 3 1 1 2 2 1 2 1 Matrices 93. Página 30 1 a) 2 3 F2 =F2 +2F1 1 2 3 → → El rango es 2. 0 0 8 −2 −4 2 4 1 F2 =4 F2 +F1 4 1 4 1 F =2 F −F F =7 F +9 F b) −1 −2 → 0 −7 → 0 −7 → El rango es 2. 0 2 5 0 9 0 3 −1 3 2 1 3 1 3 3 F2 = F2 +3 F1 −1 2 2 1 3 −1 2 1 3 F =F +F F =F −F c) 3 −1 2 −2 → 0 5 5 7 → 0 5 5 7 → El rango es 2. 3 1 3 4 3 4 1 3 3 0 5 5 7 2 0 0 0 0 94. Página 30 −1 −2 −4 −5 FF2 ==FF2 ++43 FF1 −1 4 5 6 7 F34 =F34 +5 F11 0 → 3 −1 −2 −3 0 5 0 3 6 7 −1 −2 −4 −5 −2 −4 −5 −3 −10 −13 F4 =F4 − F3 0 −3 −10 −13 → 0 −7 −14 −18 −7 −14 −18 −7 −14 −18 0 0 0 0 −1 −2 −4 −5 0 −3 −10 −13 F3 =3 F3 −7 F2 → → El rango es 3. 0 0 28 37 0 0 0 0 95. Página 30 a 1 3 1 3 1 1 3 1 F1↔F3 F3 =F3 −aF1 3 0 → 3 − a = 0 → a = 3 0 3 0 → 0 3 0 → 0 a 1 3 1 3 1 0 1 − 3 a 3 − a Si a = 3, el rango de la matriz es 2. 96. Página 30 3 1 m F2 =F1+3 F2 3 1 3 1 m m F3 =F1−3 F3 F3 =7 F3 +2 F2 m → 0 7 m −1 2 0 → 0 7 1 1 6 0 −2 m − 18 0 0 9 m − 126 9m − 126 = 0 → m = 14 • Si m = 14, entonces Rango (A) = 2. • Si m ≠ 14, entonces Rango (A) = 3. 97. Página 30 a a + 3 a + 4 C =C −C a 3 4 F =F − F a 3 4 a 3 4 C23 =C23 −C11 F32 =F32 − F11 F3 =F3 −2 F2 a a + 5 a + 6 a 5 6 0 2 2 0 2 2 → Rango (M) = 2 → → → a a + 7 a + 8 a 7 8 0 4 4 0 0 0 Es decir, el rango de la matriz siempre es 2, independientemente del valor del parámetro a . 25 1 Matrices 98. Página 30 1 −2 1 − −4 2 A = 4 −2 1 8 3 6 −3 m 2 Las columnas 2 y 3 son linealmente dependientes con la columna 1: 1 C2 = − C1 2 1 C3 = C1 4 Si C4, linealmente dependiente con C1 → Rango = 1 En caso contrario → Rango = 2 Esto es: • m = 12 → C4 = 2C1 → Todas las columnas son linealmente dependientes → Rango = 1 • m ≠ 12 → La primera y la segunda columna son linealmente independientes → Rango = 2 99. Página 30 1 1 1 A = 0 1 1 0 0 1 1 2 1+ 2 A2 = 0 1 2 1 0 0 1 3 1+ 2 + 3 A3 = 0 1 3 1 0 0 Entonces: ( n + 1)n 1 n 2 An = 0 1 n 0 0 1 Su rango es independiente de n y siempre es 3. 100. Página 30 d a) Para que A = b a d c − 4 c a 3 sea antisimétrica, se debe cumplir que: d 0 7 7 a = −(c − 4) → a = 7, b = −7, c = −3, d = 0 . Así, A = −7 0 3 . −7 −3 0 3 = −c a = −b d b) A = 0 0 d −4 0 d 0 4 F +dF 1 3 3 → 0 0 d • Si d = 0 → Rango (A) = 1 • Si d ≠ 0 → Rango (A) = 3 26 0 d 0 0 3 d 2 1 Matrices 101. Página 30 −1 1 a + 2 a 1 −1 1 −1 1 −1 1 a a a a 3 −2 C1↔C2 3 1 2 + 3 a −2 F2 =3 F1−F2 0 −4 2 + 3 a F4 =(a+2)F4 −aF3 0 −4 → → → 0 a + 2 a 0 a + 2 0 a + 2 0 a a a 0 0 2a a 2 a a 2a 0 a2 + 4a 0 0 a2 + 4a = 0 → a1 = 0, a2 = −4 . Así, distinguimos dos casos: • Si a ≠ 0 y a ≠ −4 → Rango (A) = 3 1 −1 0 −4 • Si a = 0 → 2 0 0 0 0 2 → Rango (A) = 3 0 0 1 −1 −4 1 −1 −4 0 −4 −10 F3 =F2−2 F3 0 −4 −10 • Si a = −4 → → → Rango (A) = 3 0 −2 0 −2 −4 0 0 0 0 0 0 0 El rango de A es 3 independientemente del valor de a . 102. Página 31 6 5 1 −5 1 0 F =F +F 1 −5 1 0 F =F +5 F 1 0 6 5 → A−1 = a) → → 1 1 6 0 1 11 1 −1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 2 0 3 1 0 F2 ↔F1 −1 4 0 1 F2 = F32 −1 4 0 1 F1=4 F2−F1 1 0 → b) → → 1 −1 4 0 1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 3 1 0 4 4 −1 −1 3 3 −1 → B = 1 1 0 0 3 3 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 F3 =−F3 0 0 1 0 → 0 1 0 0 1 0 0 0 −1 −1 −1 1 0 0 1 1 1 −1 F =F −F −F c) 0 1 0 0 1 0 → 0 1 3 1 1 0 0 0 3 1 1 2 1 0 0 0 −1 1 0 −1 1 −1 →0 1 0 0 1 0 → C = 0 1 0 1 1 −1 1 −1 0 0 1 1 F1=F1−F3 0 0 −1 0 2 0 0 1 1 0 0 −1 0 2 0 0 1 1 F ↔F F =F +F d) 1 1 0 0 1 0 → 1 1 0 0 1 0 → 0 1 2 0 1 1 1 −1 0 2 0 0 3 2 0 0 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 −1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 0 −1 2 0 −1 F1=2 F3 −F1 → 0 1 0 −2 1 1 → 0 1 0 −2 1 1 → D−1 = −2 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 F2 =F2 −2 F3 103. Página 31 1 3 1 −3 1 0 F =F +3 F 1 0 1 3 → → A−1 = a) 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 2 −3 4 1 0 F1↔F2 1 0 0 1 F2 =3 F1+F2 1 0 0 1 F2 = F2 1 0 0 4 → → → 0 4 1 3 1 0 0 1 −3 4 1 0 0 1 1 4 0 1 −1 → B = 3 1 4 4 1 3 4 27 1 Matrices −1 b) ( A ⋅ B) 1 −3 −3 4 −6 4 ⋅ = AB = 1 1 0 1 0 0 −6 4 1 0 F1↔F2 1 0 0 1 F2 =6 F1+F2 1 0 0 1 F2 = F42 1 0 0 → → → 0 4 1 6 1 0 0 1 −6 4 1 0 0 1 1 4 0 1 4 2 1 3 2 ( AB) = 1 3 −1 −1 Se cumple que ( A ⋅ B) = B−1 ⋅ A−1 : 0 1 4 1 0 3 = 1 2 4 1 1 3 ⋅ 3 0 1 4 104. Página 31 −3 −4 1 0 F =2 F +3 F −3 −4 1 0 F =F +4 F −3 0 9 12 F =− 1 F 1 0 −3 −4 → → 3 a) → 0 0 1 2 3 3 0 1 1 2 3 3 2 0 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 −3 2 1 0 F =3 F −4 F −3 2 1 0 F =F −2 F −3 0 9 −6 F =− 1 F 1 0 −3 2 → 3 b) → → 2 −4 3 0 2 1 1 1 1 1 −4 3 0 1 2 0 1 −4 1 3 0 1 −4 3 Se puede comprobar que: t t ( A−1) −3 −4 −3 2 −1 = = ( At ) = 3 −4 3 2 105. Página 31 −1 2 1 0 F ↔F 1 0 0 1 F =F +F 1 0 0 1 F = F 1 0 0 1 2 a) → → → 1 0 0 1 −1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1/ 2 1/ 2 2 1 2 1 2 2 2 0 1 A−1 = 1/ 2 1/ 2 1 1 0 F2 ↔F1 1/ 2 1/ 2 0 1 F1=2 F1−F2 1 0 −1 2 0 → → 1/ 2 1/ 2 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 −1 ( A−1) −1 2 = A = 1 0 0 −2 1 0 F ↔F −1 → b) 2 −1 30 1 1 1 F2 =− F22 −1 3 0 1 F1=3 F2−F1 1 0 −3 / 2 −1 → → 0 −2 1 0 0 1 −1/ 2 0 0 1 −1/ 2 0 30 −3 / 2 −1 B−1 = −1/ 2 0 −3 / 2 −1 0 −2 1 0 ⋅ = −1/ 2 0 −1 3 0 1 Estos resultados se cumplen para cualquier matriz invertible. 28 1 Matrices 106. Página 31 A−1 = 2I − A → AA−1 = A(2I − A) = 2 A − A2 = I 2 a 2 a 2 a 4 2a 4 + ab 2a + ac − ⋅ = − 2 b c b c b c 2b 2c 2b + cb ab + c2 1 0 −ac 1 −ab = → c = 0, b = − −cb 2c − ab − c2 0 1 a Por tanto: 2 a A = 1 − 0 a 107. Página 31 Buscamos una matriz de la forma: a c M = b d a c 1 2 1 0 a c ⋅ = ⋅ b d 0 1 0 −1 b d a 2a + c a c = b 2b + d −b −d 0 c , pero M no es invertible. Así, M = 0 0 Por tanto, no son semejantes. 108. Página 31 1 3 1 3 a) A2 − 3I = 2 A → A2 − 2 A = 3I → A( A − 2I ) = 3I → A ⋅ ( A − 2I ) = I → A−1 = ( A − 2I ) x2 + y2 −3 2 x 2 y x y x y 3 0 2 x 2y 2 xy = ⋅ − = → b) 2 2 2 xy y x y x 0 3 2 y 2 x x + y − 3 2 y 2 x 2 xy = 2y → x = 1 o bien y = 0 • Si x = 1 → x 2 + y 2 − 3 = 2 x → 1+ y 2 − 3 = 2 → y = ±2 . Entonces: 1 2 1 −2 o bien A = A = 2 1 −2 1 • Si y = 0 → x 2 + y 2 − 3 = 2 x → x 2 − 2 x − 3 = 0 → x = −1 , x = 3 . Entonces: −1 0 3 0 o bien A = A = 0 3 0 −1 109. Página 31 −1 ( AB) = B−1A−1 3 2 1 −1 2 4 2 4 1 2 1 2 2 4 1 2 − 14 7 2 −1 1 2 −1 1 2 = 5 3 = B 2 1 → B ⋅ 5 3 = BB 2 1 = 2 1 → B = 2 1⋅ 5 3 = 2 1 ⋅ 5 1 1 − − 14 7 14 0 3 7 29 1 Matrices 110. Página 31 2 a − c = 2 a + b a = −2λ +α a c 2 1 2 1 a c 2a − c a 2a + b 2c + d = + a 2 c d b = λ → ⋅ = ⋅ → = a) → 2b − d b −a 2b − d = −a c = −λ −c b d −1 0 −1 0 b d d = α b = −c −2λ +α −λ Las matrices que conmutan con A son de la forma . 2 1 2 1 3 2 ⋅ = −1 0 −1 0 −2 −1 λ α 3 2 2 1 4 3 ⋅ = A3 = −2 −1 −1 0 −3 −2 b) A2 = n + 1 n An = −n −( n − 1) −1+ 1 −1 0 −1 A−1 = = − (−1) −(−1− 1) 1 2 111. Página 31 a b 1 0 cF −aF a 1 0 b 1 2 c d 0 1 → 0 cb − ad c −a a b 1 0 a b 1 0 F =cF −aF a 1 0 F2 = cb−F2ad b 2 1 2 → → c −a 0 1 c d 0 1 0 cb − ad c −a cb − ad cb − ad a 0 1− bc F1=F1−bF2 cb − ad → c 0 1 cb − ad −d A−1 = cb − ad c cb − ad cb − ad − bc ab F = F1 1 0 a (cb − ad ) cb − ad 1 a → −a c 0 1 cb − ad cb − ad b d cb − ad = ad − cb −a −c cb − ad ad − cb ab a (cb − ad ) −a cb − ad −b d −b 1 ad − cb = ⋅ a ad − cb −c a ad − cb Para que sea invertible se debe cumplir que cb − da ≠ 0 . 112. Página 31 1/ 5 0 0 A = 0 0 1/ 5 0 1/ 5 0 5 0 0 A = 0 0 5 0 5 0 −1 1/ 5 0 0 1/ 5 0 0 1/ 52 0 0 2 A = 0 0 1/ 5 ⋅ 0 0 1/ 5 = 0 1/ 5 0 0 1/ 52 0 1/ 5 0 0 1/ 5 0 0 2 1/ 52 0 0 1/ 5 0 0 1/ 53 0 0 2 A = 0 1/ 5 0 ⋅ 0 0 1/ 5 = 0 0 1/ 53 0 0 1/ 52 0 1/ 5 0 0 1/ 53 0 3 Por tanto: 1/ 5 n 0 0 1/ 5n 0 si n es par. 0 0 1/ 5 n 0 An = 1/ 5 n 0 0 0 0 1/ 5 n si n es impar. 0 1/ 5n 0 30 1 Matrices 113. Página 31 A−1 = A + 7I A2 + 7 A = I → A( A + 7I ) = I 114. Página 31 1 a) At = A−1 → At A = I → 0 0 0 1 2 1 2 a 1 b0 a c 0 1+ a2 1 = ab 2 c ca 0 1 2 b 1 1 1 y c = − , entonces A = 0 b) Si b = 2 2 0 ab 1 + b2 2 1 + bc 2 ac a = 0 a = 0 1 0 0 1 1 b = − 1 + bc = 0 1 0 → b = o 2 2 2 0 0 1 1 1 c = − c = 1 + c 2 2 2 2 0 1 0 0 2 1 2 → A = 0 1 0 → A4 = ( A2 ) = I . 2 0 0 1 1 − 2 0 1 2 1 2 1 0 1 1 1 Si b = − y c= , entonces A = 0 2 2 2 0 − 1 2 0 1 0 0 0 1 0 2 1 → A2 = 0 0 1 → A4 = ( A2 ) = 0 −1 0 . 2 0 0 −1 0 −1 0 1 2 115. Página 31 1 1 1 1 2 0 1 0 ⋅ = = 2 ⋅ = 2I 1 −1 1 −1 0 2 0 1 a) A2 = 1 1 1 −1 −1 b) A ⋅ A = 2I → A ⋅ A ⋅ A = A 2I → A = A → A = A = 2 2 2 I 1 − 1 2 2 −1 −1 6 c) A2 = 2I → A12 = ( A2 ) = (2I )6 = 26 I A−1 = 12 1 12 1 6 1 6 1 1 A → A−12 = ( A−1) = A = 2 A2 = 2 2I = 6 I 2 2 2 2 2 116. Página 31 a) AX = B → X = A−1AX = A−1B b) XA = B → X = XAA−1 = BA−1 c) AX + B = C → AX = C − B → X = A−1AX = A−1 (C − B) d) AX + A = B → AX = B − A → X = A−1AX = A−1 ( B − A) = A−1B − I e) A−1X = B → X = AA−1X = AB f) AXB = C → X = A−1AXBB−1 = A−1CB−1 −1 −1 g) At X = B → X = ( At ) At X = ( At ) B 2 h) AXA = A2 + I → X = A−1 AXAA−1 = A−1 ( A2 + I ) A−1 = ( A−1A2 + A−1) A−1 = ( A + A−1) A−1 = I + ( A−1) 31 1 Matrices 117. Página 31 a c , se tiene que: b d Si X = a c 3 −1 1 −1 a + 3 c − 1 1 −1 + = → = b + 2 d − 5 2 7 b d 2 −5 2 7 a + 3 = 1 a = −2 b + 2 = 2 b = 0 a c −2 0 = → Es una matriz diagonal. → → X = c − 1 = −1 c = 0 b d 0 12 d − 5 = 7 d = 12 118. Página 31 Despejamos X , es decir, A + X = 2B → X = 2B − A . −2 2 2 0 4 −1 5 1 −4 1 Entonces: X = 2B − A → X = 2 −2 − 3 2 → X = −1 −4 1 −1 119. Página 31 2 3 a c −1 −2 − 5 ⋅ 2 A − 5 X = B → 2 ⋅ b d = −3 −6 −1 4 4 6 a c −1 −2 a c 4 6 −1 −2 5 8 a c 1 5 8 1 8 / 5 −2 8 − 5 ⋅ b d = −3 −6 → 5 ⋅ b d = −2 8 − −3 −6 = 1 14 → X = b d = 5 ⋅ 1 14 = 1/ 5 14 / 5 120. Página 32 Despejamos la matriz X. A − A2 = A ⋅ B − X → − X = A − A2 − A ⋅ B → X = A2 − A + A ⋅ B → X = A ⋅ ( A − I + B) Operamos la matriz para obtener la matriz pedida. En efecto: 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1 X = 0 0 0 ⋅ 0 0 0 − 0 1 0 + 1 1 1 = 0 0 0 ⋅ 1 0 1 = 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 1 121. Página 32 La matriz debe ser de orden 2×4 para que se puedan realizar el producto y la suma correspondientes. a c e b d f Sea X = g . h 4 1 a c e g 0 −1 2 1 1 2 0 −1 ⋅ = + −1 0 b d f h 1 0 −3 0 2 −1 0 1 4 1 a c ⋅ −1 0 b d g 1 1 2 0 a c e = → h 3 −1 −3 1 b d f e f −1 g 4 1 1 1 2 0 = ⋅ h −1 0 3 −1 −3 1 a c e g 0 −1 1 1 2 0 a c e g −3 1 3 −1 = ⋅ → = 4 b d f h 1 4 3 −1 −3 1 b d f h 13 −3 −10 −3 1 3 13 −3 −10 Así, X = 32 −1 . 4 1 Matrices 122. Página 32 a Sea X = b c . d c + 1 b d c a a + = b + 1 d a c d b 0 1 a c 0 1 a c a c 0 1 + = ⋅ + ⋅ 1 0 b d 1 0 b d b d 1 0 a = 2 3 a = b + c 2 b = 1 b + 1 = a + d 3 → X = 3 → 1 c + 1 = d + a 1 c = 3 3 d = c + b 2 d = 3 1 3 2 3 123. Página 32 a c 1 −1 1 −1 a c 0 −2 a −a + 2c a − b c − d 0 −2 = ⋅ + ⋅ = → + b −b + 2d 2b 2 0 2 b d 1 1 1 2d 1 b d 0 a = 1 6 2a − b = 0 1 1 b = 1 − 2a − b −a + 3c − d 0 −2 6 3b = 1 3 2 = → → → X = 3b 1 −b + 4d 1 1 1 −a + 3c − d = −2 c = − 1 −b + 4d = 1 2 3 3 1 d = 3 124. Página 32 −1 −1 −1 −1 2 1 2 1 1 −1 1 −1 2 1 −3 −3 1 −1 ⋅ ⋅ D ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ D = 1 1 1 1 0 1 0 1 3 0 1 1 1 3 1 −1 −3 −3 1 1 −6 −6 1 1 −6 −12 ⋅ = ⋅ = D = ⋅ 3 0 1 9 9 0 1 9 18 −1 2 3 125. Página 32 1 − 0 0 − 1 8 −2 0 0 2 6 2 2 6 −4 −1 −3 −2 0 8 0 2 6 8 1 5 = − 1 0 ⋅ 0 −1 5 = −4 −2 2 −1 1 0 ⋅ X = 0 −1 5 → X = −1 1 0 ⋅ 0 −1 2 0 −6 0 −6 −20 −7 1 0 −6 0 3 2 −1 0 3 2 −1 0 5 2 −1 − 2 126. Página 32 0 −1 0 2 0 1 2 1 ( X − I ) B = A → ( X − I ) BB−1 = AB−1 → X − I = AB−1 → X = AB−1 + I → B−1 = 1 2 −3 0 −2 3 0 −1 0 1 0 0 3 1 0 0 1 −2 3 X = −4 2 −4 ⋅ 1 2 0 + 0 1 0 → X = −2 0 −4 + 0 1 0 = −2 1 −4 10 3 −4 3 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 3 −4 1 33 1 Matrices 127. Página 32 a) AX − At = A → AX = A + At → A−1AX = A−1 ( A + At ) → X = I + A−1At A debe tener inversa. Para ello, el rango de la matriz debe ser 3. 1 2 m F =F +5 F 1 2 1 2 m m F23 =F23 +4 F11 F3 =12 F3 −11F2 −5 2 1 0 12 1+ 5 m 0 12 1+ 5 m → → −4 3 1 0 11 1+ 4 m 0 0 1− 7 m Si 1 − 7m = 0, la matriz no tiene inversa. Es decir, para m ≠ 1 la ecuación sí tiene solución. 7 −1 1 0 0 1 2 0 1 −5 −4 1 0 0 −1 −2 2 1 −5 −4 b) X = 0 1 0 + −5 2 1 ⋅ 2 2 3 → X = 0 1 0 + 1 1 −1 ⋅ 2 2 3 → 0 0 1 −7 −11 12 0 1 1 1 1 0 0 1 −4 3 1 0 1 0 0 −5 3 0 −4 3 0 → X = 0 1 0 + 3 −4 −2 = 3 −3 −2 7 −29 25 8 0 0 1 −29 25 128. Página 32 −1 X + XA = Bt → X (I + A) = Bt → X = Bt (I + A) −4 3 −4 3 −4 3 −2 3 −1 −4 3 1 0 1 3 + = 2 3 → X ⋅ 2 3 = 2 3 → X = 2 3 ⋅ 2 3 = 2 3⋅ 1/ 2 −1/ 2 = 1 0 X ⋅ 0 3 0 3 0 0 1 0 2 1/ 3 −2 3 −2 3 −2 3 −2 3 −1 2 129. Página 32 7 1 1 0 F ↔F −1 0 0 1 F =−F 1 0 0 −1 F =F −7 F 1 0 0 −1 → → a) 7 1 1 0 →0 1 1 7 −1 0 0 1 7 1 1 0 1 2 1 1 2 2 1 b) AXA = A2 + A → X = A−1( A2 + A) A−1 = A−1A( A + I ) A−1 = ( A + I ) A−1 = I + A−1 0 −1 A−1 = 1 7 1 0 0 −1 1 −1 1 −1 + = → X = I + A−1 = 0 1 1 7 1 8 1 8 130. Página 32 XB + A = B + A2 → XB = B + A2 − A → XBB−1 = (B + A2 − A) B−1 → X = I + ( A2 − A) B−1 −1 2 −1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 X = 0 1 0 + 1 0 0 − 1 0 0 ⋅ 2 1 0 → X = 0 1 0 + 1 0 0 − 1 0 0 ⋅ 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3 2 2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3 2 2 −1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 X = 0 1 0 + 0 0 0 ⋅ 2 1 0 0 0 1 0 0 0 3 2 2 34 1 0 0 → X = 0 1 0 0 0 1 1 Matrices 131. Página 32 a) Sumando a la segunda ecuación la primera, resulta: Despejando en la segunda ecuación, obtenemos Y. b) Restando a la primera ecuación la segunda, resulta: Despejando en la segunda ecuación, obtenemos X. 3 −3 1 −1 → X = 3 X = 3 1 1 3 1 −4 1 −1 1 −4 0 3 = Y → Y = − = X − 3 0 0 −2 1 1 1 3 2 6 1 3 → Y = 2Y = 2 4 4 8 1 −1 1 −1 1 3 0 −4 − Y = − = X = 3 1 3 1 2 4 1 −3 c) Sumando a la segunda ecuación dos veces la primera, resulta: Despejando en la primera ecuación, obtenemos Y. 14 −7 2 −1 → X = 7 X = 7 1 0 0 5 −1 5 −1 2 −1 −1 2 → Y = − 3 = 3 X + Y = 2 3 2 3 1 0 −1 3 d) Multiplicamos la primera ecuación por 3 y le restamos dos veces la segunda. −1 5 −3 15 5 2 X + 3Y = 6 X + 9Y = − 2 0 6 0 −5 15 → → 13Y = → Y = 13 −2 4 2 1 2 0 0 − 3 X − 2Y = 6 X − 4Y = 13 4 −2 8 −4 15 13 4 13 Despejando en la primera ecuación, obtenemos X: 5 − −1 5 −1 5 − 3Y = − 3 ⋅ 13 2 X = 2 0 2 0 − 2 13 1 15 2 20 10 13 13 13 13 13 → X = = 4 32 12 16 − 6 − 13 13 13 13 13 132. Página 32 A2 − AB + BA − B2 = ( A + B) A − ( A + B) B = ( A + B)( A − B) −1 2 1 0 −2 0 0 ( A + B) ( A + B)( A − B) = ( A − B) = 2 0 0 ⋅ 0 2 0 −1 0 2 2 −1 0 −1 1 0 2 A − B = 1 −1 1 0 4 0 1 0 −2 0 0 0 0⋅ 0 2 0 = −2 −2 0 1 2 −1 0 1 0 0 2 2 1 0 A + B = 2 0 0 2 1 2 0 1 0 −1 0 2 Sumando las dos ecuaciones, resulta: 2 A = 0 −2 0 → A = 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 A − B = −2 −2 0 1 0 0 Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos B. 2 1 0 1 1 0 1 0 0 B = 2 0 0 − 0 −1 0 = 2 1 0 0 1 −1 0 1 −1 0 2 0 35 1 Matrices 133. Página 32 Hay que resolver este sistema: 11 25 0 3 X + 2Y = 20 10 35 5 12 7 2 X + Y = 4 2 7 Multiplicamos la primera ecuación por 2 y le restamos la segunda para obtener X: 10 24 14 4 X + 2Y = 8 4 14 → X = −1 −1 14 −12 −6 −21 11 25 0 3 X + 2Y = 20 10 35 Despejando en la primera ecuación, obtenemos Y: 5 12 7 5 12 7 −1 −1 14 7 14 −21 − 2 X = − 2 = Y = 4 2 7 −12 −6 −21 28 14 49 4 2 7 134. Página 32 Restando a la primera ecuación la segunda, resulta: −1 BY = C − Y → BY + Y = C → (B + I )Y = C → Y = ( B + I ) C 5 0 − 1 1 −1 −1 1 −4 1 0 6 6 7 2 −4 6 7 7 2 2 ⋅ + ⋅ = ⋅ = = Y = −2 −1 0 1 −2 −5 −2 0 −2 −5 1 1 −2 −5 1 − −1 − − 4 4 2 Despejando en la segunda ecuación, obtenemos X: 5 5 −1 1 0 −1 1 1 2 1 2 2 1 ⋅ = 1 1 ⋅ = AX = Y → X = A AX = A Y = 2 −1 0 1 1 2 −1 − 0 1 −1 − 2 2 2 −1 −1 135. Página 32 5 0 −5 10 0 −10 2 X + Y = 0 5 0 4 X + 2Y = 0 10 0 20 10 4 2 0 0 5 10 −5 0 −10 0 → → 5 X = 20 10 20 → X = 4 2 4 10 10 10 10 10 10 −10 30 10 −2 6 2 X − 2Y = 20 0 20 X − 2Y = 20 0 20 0 30 0 0 30 0 Despejando en la segunda ecuación, obtenemos Y: 4 2 0 10 10 10 −6 −8 −10 −3 −4 −5 → 2Y = 4 2 4 − 20 0 20 = −16 2 −16 Y = −8 1 −8 −1 −12 2 1 −2 6 2 0 30 0 −2 −24 36 1 Matrices 136. Página 32 µ 1 1 0 F =F +F µ 1 1 0 F2 = F2 µ 1 1 2 1 2 3 → a) → −µ 2 0 1 0 3 1 1 1 0 1 3 µ 0 2 − 1 0 F1= F1−F2 3 3 → 1 1 1 0 1 3 3 3 • Si µ = 0 → No existe inversa de A. 1 0 2 − 1 3µ 3µ → • Si µ ≠ 0 1 1 0 1 3 3 F1= F1 µ Así: 2 1 − µ 1 1 3µ = 3µ → µ = −2 6 −µ 2 1 1 3 3 t µ b) −1 −1 1 −2 −1 −3 3 1 −2 −1 −3 3 −3 3 −3 3 1 −2 −1 1 ⋅ X = → ⋅ X = → ⋅ ⋅ X = ⋅ → −µ 2 3 0 1 2 3 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 3 2 − 9 → X = 1 9 1 4 7 3 1 −2 −1 9 9 = ⋅ 1 3 0 2 10 2 9 − 9 3 8 9 5 9 137. Página 32 α + 1 0 α + 1 0 (α + 1)2 + 3α + 3 0 α + 1 0 + 3 = −1 1 −1 −1 1 1 3 +α −2 a) M 2 + 3 M = −1 −4 2 (α + 1) + 3α + 3 = 0 → (α + 1) (α + 1) + 3 = 0 → α = La matriz no es invertible cuando α = −1 o cuando α = −4 . 1 0 1 −1 b) M = 1 0 1 0 1 0 −1 − = MX + M = 2I → MX = 2I − M → X = M−1 (2I − M ) = 2M−1 − I → X = 2M − I = 2 ⋅ 1 −1 0 1 2 −3 37 1 Matrices 138. Página 33 0 1 0 0 1 0 0 0 1 a) A2 = 0 0 1 ⋅ 0 0 1 = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A3 = 1 0 0⋅ 0 0 1 = 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 3 n A = 0 1 0 0 0 1 An = A3 n+1 = A 0 0 1 A3 n+2 = 1 0 0 0 1 0 4 3 2 4 3 2 → X ⋅ ( A + A2 − A) = X ⋅ A2 = 1 1 1 1 1 1 b) X ⋅ ( A4 + A2 − A) = 0 1 0 4 3 2 4 3 2 2 4 3 ⋅ A → X = ⋅ 0 0 1 = X ⋅ A2 ⋅ A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 0 0 139. Página 33 4 2 2 F2 =2 F2−F1 4 2 2 F3 =2 F3 +F1 a 1 → 0 2 a − 2 0 0 2 −2 −1 0 0 a) 2 • Si a = 1 , entonces Rango (A) = 2. • Si a ≠ 1 , entonces Rango (A) = 3. 1 1 2 3 1 2 3 2 3 4 4 4 F '3 =F2 +F3 F2 =F2 +2 F1 1 a → −2 4 1 a → 0 8 7 a + 8 −2 4 2 −4 −1 1 0 0 0 1+ a 0 0 0 1+ a • Si a = −1 , entonces Rango (B) = 2. • Si a ≠ −1 , entonces Rango (B) = 3. 4 1 2 2 2 3 4 2 3 4 1 0 1 ⋅ X = −2 4 1 0 → X = A−1 −2 4 1 0 2 −4 −1 1 −2 −1 0 2 −4 −1 1 b) AX = B → 2 −1/ 4 1/ 2 −1/ 2 1 2 3 4 −9 / 4 7 / 2 1/ 4 −3 / 2 X = 1/ 2 −1 0 ⋅ −2 4 1 0 = 5 / 2 −3 1/ 2 2 0 1 2 −4 −1 1 5 / 2 −3 1/ 2 3 1/ 2 140. Página 33 Septiembre Octubre Noviembre 38 Comida 400 € 500 € 350 € Recibos 120 € 180 € 250 € 400 120 A = 500 180 350 250 1 Matrices 141. Página 33 Colocamos las líneas de autobuses A, B y C por columnas, y los días Lunes, Martes y Miércoles por filas: 5 3 4 M = 2 1 4 1 3 5 142. Página 33 Matriz fila de costes por unidad: A = (32 46 71) Matriz fila de ventas por unidad: B = (53 82 140) Matriz fila de beneficios por unidad: C = B − A = (21 36 69) 2100 Matriz columna de unidades vendidas: D = 1400 900 Beneficio anual: 2100 B ⋅ D − A ⋅ D = (B − A)⋅ D = C ⋅ D = (21 36 69)⋅ 1400 = 156 600 900 143. Página 33 a) Colocamos el tipo de habitación por filas (Lujo, Doble, Individual), y el hotel por columnas (Edén, Paraíso, Spa): 6 4 4 30 50 50 10 10 8 En la segunda matriz colocamos, por filas, el tipo de habitación (Lujo, Doble, Individual), y en la columna, el dinero en euros. 120 80 50 6 4 4 10 10 8 Edén Paraíso Spa b) (120 80 50 )30 50 50 = 3 620 4 980 4880 144. Página 33 No D D 0,04 0,96 2 7 40,02 0,98 = 0,26 12,74 0,28 13,72 3 5 6 0,01 0,99 El número de tornillos planos no defectuosos es 12 740, y el de tornillos de estrella no defectuosos es 13 720. 39 1 Matrices 145. Página 33 Las columnas representan los productos X e Y, y las filas representan las empresas A, B y C. 1000 1000 Inicialmente, las empresas recibían: M = 1000 1000 1000 1000 600 300 Este mes las empresas han recibido: N = 400 800 900 700 Las disminuciones producidas son: 1000 1000 600 300 400 700 M − N = 1000 1000 − 400 800 = 600 200 1000 1000 900 700 100 300 Las disminuciones porcentuales son: 40% 70% M − N = 60% 20% 10% 30% MATEMÁTICAS EN TU VIDA 1. Página 34 Solo es necesaria una arista que una los dos vértices, porque la representación en forma de grafo es independiente de la forma real de la carretera. 2. Página 34 0 1 M = 1 0 2 1 M 2 = 1 1 1 1 0 1 1 → Es una matriz simétrica. 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 3 1 0 → Es una matriz simétrica. 1 2 1 0 1 1 3. Página 34 El número máximo de aristas es 4 porque, si se añadiese otra arista, el vértice pasaría por segunda vez por alguno de los vértices, y el camino no sería simple. 4. Página 34 a) 40 b) 1 2 1 2 4 3 4 3 1 Matrices 5. Página 34 Calculamos la matriz de adyacencia y su potencia tercera: 0 1 M = 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 3 M 3 = 1 1 3 1 1 2 4 4 4 2 3 4 3 2 a24 = 4 → Hay 4 caminos de longitud 3 aristas. 41 Matrices 42 1
