UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS APURE, VENEZUELA LA SERIE DE FOURIER Y APLICACIONES Ensayo Comunicaciones I Tarea 2 Autora: Rima Sawab Omar C.I: 28.485.884 Docente: Gerardo García Apure, Noviembre de 2021 Índice Introducción 3 Contenido 4 Fundamentos de la serie de Fourier 4 Señales periódicas que representan las series de Fourier 5 Las señales no periódicas que representa la transformada de Fourier 6 Espectros de potencia y energía 7 Referencias Bibliográficas 8 Introducción El análisis de las series de Fourier juega un papel central en el tratamiento de señales, su contexto inicial para el estudio de la disipación del calor en un medio sólido, pronto lo llevaron al desarrollo de soluciones para la ecuación de Laplace y la ecuación de Onda. Algunas señales muestran componentes periódicos que se repiten a intervalos fijos; estos son estudiados convenientemente por el análisis armónico basado en la serie de Fourier. Para el estudio en Ciencias de la Tierra es evidente que señales de esta naturaleza son solo ideales, pues no es común encontrar señales estacionarias, de manera que, al utilizar la serie y transformada de Fourier debemos de tener en mente todas las consideraciones necesarias para no generar resultados o interpretaciones erróneos. Por tal motivo en este ensayo se estará haciendo un análisis de las aplicaciones de las series de Fourier en las señales periódicas y no periódicas para comprender su significado y uso. Contenido Fundamentos de la serie de Fourier En matemáticas, una serie de Fourier descompone funciones periódicas o señales periódicas en la suma de funciones oscilantes simples, como senos y cosenos (o exponentials complejos). El estudio de la serie de Fourier Es una rama del análisis de Fourier. La serie de Fourier Se nombra en honor de Jean-Baptiste José Fourier (1768-1830), que hizo contribuciones importantes al estudio de la serie trigonométrica, después de investigaciones preliminares por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo la serie con el fin de solucionar la ecuación del calor en una placa de metal. En las ramas de la Electrónica e Ingeniería se trabajan diferentes formas de señales tales como: sinusoidal, cuadrada y triangular. Todas estas señales mencionadas son periódicas ósea que se repiten luego de un tiempo. La aplicación del osciloscopio nos permite entender un poco mejor como son estas señales que se pueden determinar calculando la Serie de Fourier para cada una de estas. Sistema de Comunicación Es la totalidad de los mecanismos que proporcionan el enlace para la información entre fuente y destino. Un sistema de comunicación eléctrico es aquel que ejecuta esta función principal, pero no exclusivamente, por medio de dispositivos y fenómenos eléctricos. Un hecho importante es que en general, cualquier señal que pase a través de un sistema lineal e invariante en el tiempo se distorsiona, es decir, cambia su forma. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen una herramienta matemática del análisis de señales la cual es empleada para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales. La transformada de Fourier permite analizar y/o también cambia la amplitud y fase de una señal sinusoidal pura cuando pasa a través de un sistema lineal e invariante en el tiempo. f(t) se expresa como la suma de una componente continua y diversas componentes sinusoidales. Durante la transmisión de información a través de un medio físico se producen una serie de fenómenos de atenuación, ruido, etc. que distorsionan la misma. Para poder realizar esta interpretación frecuencial de la señal transmitida se utilizar la transformada de Fourier para su análisis. La clasificación de las señales Las señales se clasifican en: Señales periódicas y no periódicas Señales aleatorias y deterministas Señales analógicas y discretas y Señales de energía y de potencia Las señales periódicas tiene la propiedad que su valor se repite luego de un desplazamiento de tiempo T, mientras que al contrario Las señales no periódicas en éste caso, los valores de la señal no se repiten para ningún valor del tiempo T. Así mismo Cuando una señal es determinista si no existe incertidumbre con respecto a su valor en cualquier instante de tiempo y una señal es aleatoria si existe algún grado incertidumbre antes de que la señal realmente ocurra. Por otro lado una Señal analógica es aquella que representa una magnitud de manera continua de manera parecida a la señal digital, una señal discreta solo tiene valores en una cantidad discreta de puntos. La diferencia está en que estos valores pueden tomar cualquier valor, es decir, no están cuantificados. Por todo lo anterior mencionado se puede decir entonces que si una señal x( t ) tiene Energía Total ( E ) finita y mayor que cero, se clasifica como una Señal de Energía. Estas señales tienen, además, una Potencia Promedio igual a cero. Si la señal x( t ) tiene Potencia Promedio ( P ) finita y mayor que cero, se clasifica como una Señal de Potencia Señales periódicas que representan las series de Fourier El análisis de Fourier nos permite expresar señales periódicas como una suma infinita (serie) de senos y cosenos. La importancia de esto radica en que nos facilita el trabajo del manejo con señales, ya que para que nosotros podamos procesar estas señales es necesario expresarlas como una combinación lineal de términos, lo cual nos lo proporciona la serie y la trasformada de Fourier. El procesamiento digital de es la manipulación matemática de una señal de información para modificarla o mejorarla en algún sentido. Este está caracterizado por la representación en el dominio del tiempo discreto, en el dominio frecuencia discreta, u otro dominio discreto de señales por medio de una secuencia de números o símbolos y el procesado de esas señales. La Series Fourier y la Transformada de Fourier resultan útiles para estos fines ya que permiten ver la distribución de frecuencias de la señal, esto discretiza la señal permitiendo que se almacenen digitalmente los valores de frecuencias para cada tiempo determinado, luego mediante un DAC siglas de “Digital-to-Analog Converter”, conversor digital a analógico en inglés se leen estos datos y se logra reproducir la señal original. Las señales no periódicas que representa la transformada de Fourier La Transformada de Fourier es un instrumento de gran valor para analizar las funciones no periódicas. Complementa de esta manera a la Serie de Fourier, que permite analizar sistemas donde están involucradas las funciones periódicas. Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en Serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral. Es decir, mediante la Serie de Fourier podemos representar una señal periódica en términos de sus componentes sinusoidales, cada componente con una frecuencia en particular. La Transformada de Fourier permite hacer esto mismo con señales no periódicas. La transformada de Fourier nos permite obtener el espectro de frecuencias de señales periódicas. Espectros de potencia y energía La señal de energía es una señal que sólo existe durante un intervalo finito de tiempo o que tiene la mayor parte de su energía concentrada en dicho intervalo. En el mundo real todas las señales que se transmiten tienen, por supuesto, energía finita. Sin embargo, con el fin de poder tratar señales, como las periódicas, definidas para todo tiempo, se definen las señales de potencia. Una señal de potencia es aquella que posee una potencia media finita pero distinta de cero para todo tiempo. Así que Si una señal x( t ) tiene Energía Total ( E ) finita y mayor que cero, se clasifica como una Señal de Energía. Estas señales tienen, además, una Potencia Promedio igual. Si la señal x( t ) tiene Potencia Promedio ( P ) finita y mayor que cero, se clasifica como una Señal de Potencia.a cero. Las señales periódicas, que existen para todos los valores de t, tienen energía infinita, pero en muchos casos tienen una Potencia Promedio finita, lo que las convierte en Señales de Potencia. Las señales limitadas en tiempo, es decir de duración finita, son Señales de Energía. Referencias Bibliográficas González, J. (Octubre 2016). La Serie de Fourier y sus aplicaciones. Recuperado el 14 de noviembre de 2021 de physicspr.com: http://www.physicspr.com/fourier.html Reyes, P. (2018). Análisis de Fourier y sus aplicaciones. Recuperado el 10 de noviembre de 2021 de Prezi.com: https://prezi.com/ggssalpulhaj/analisis-de-fourier-y-sus-aplicaciones/ Zaotitla, J (2015). Análisis de Fourier. Recuperado el 13 de noviembre de 2021 de UNAM.com: http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/jspui/bitstream/132.248.52. 100/139/5/A5.pdfa- venezuela.com. Telecomunicaciones. Recuperado el 23 de octubre de 2021 de a-venezuela.com: https://a-venezuela.com/index.php/es/envenezuela-2/telecomunicaciones
