SESIÓN 01

Análisis matemático
Universidad Nacional de Trujillo
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Recta Tangente.
⃗⃗⃗⃗⃗ la recta secante donde 𝑃(𝑥1 , 𝑓 (𝑥1 )) y 𝑄(𝑥2 , 𝑓 (𝑥2 )), son puntos que
Sea 𝑃𝑄
cortan a la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓 (𝑥). Sean:
{
∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ,
∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ) ,
el incremento de 𝑥.
el incremento de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥).
La recta secante ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 tiene pendiente:
𝑚𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗ =
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𝑓 (𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓 (𝑥1 )
=
𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥
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Sea el punto 𝑃(𝑥1 ; 𝑓 (𝑥1 )) fijo y 𝑄(𝑥2 ; 𝑓 (𝑥2 )) el punto que se mueve a lo largo
de la curva hacia el punto 𝑃(𝑥1 ; 𝑓 (𝑥1 )), es decir, ∆𝑥 → 0.
Si la recta secante ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 tiene posición límite entonces se tiene la recta tangente 𝑇
a la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥1 ; 𝑓 (𝑥1 )).
Definición. Sea 𝑓 una función continua en 𝑥 = 𝑥1 . La recta tangente a la gráfica
de 𝑓 en el punto 𝑃(𝑥1 ; 𝑓(𝑥1 )) es:
𝑓 (𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 )
𝑓 (𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1 )
= 𝑙𝑖𝑚
;
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
𝐚) 𝑚(𝑥1 ) = 𝑙𝑖𝑚
si el límite existe.
Donde 𝑚(𝑥1 ) es la pendiente de la recta tangente 𝑇 en el punto 𝑃(𝑥1 ; 𝑓 (𝑥1 )).
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𝑓 (𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1 )
= ±∞.
∆𝑥→0
∆𝑥
𝐛) La recta vertical 𝒙 = 𝒙𝟏 si: 𝑙𝑖𝑚
Si no se cumplen a) y b) entonces la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el
punto 𝑃(𝑥1 ; 𝑓 (𝑥1 )) no existe.
Definición. La recta normal a la gráfica de una función en un punto dado, es la
recta perpendicular a la recta tangente en ese punto.
Definición. La derivada de una función es otra función denotada y definida por:
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓 (𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥1 )
,
∆𝑥
si el límite existe en 𝑥 = 𝑥1 .
Observación. Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) entonces:
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓 (𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥1 )
∆𝑥
Como ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥1 ⟹ 𝑥1 + ∆𝑥 = 𝑥.
Si ∆𝑥 → 0 ⟹ 𝑥 → 𝑥1 entonces se tiene la fórmula alternativa:
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𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙𝟏
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏 )
,
𝒙 − 𝒙𝟏
si el límite existe.
Definición. (Derivada puntual) La función 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟼ ℝ es derivable en un
punto 𝑥1 ∈ 𝐼 si existe el límite
𝑓′(𝑥1 ) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥1
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑥1 )
= 𝐿.
𝑥 − 𝑥1
El número 𝐿 se llama derivada de 𝑓 en 𝑥1 y se representa por 𝑓′(𝑥1 ) (notación
debida a Lagrange).
Observación. La derivada de una función:
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
∆𝑥
denota un cambio de valor de la función cuando 𝑥 varía en ∆𝑥.
Notaciones. Denotamos a la derivada:
Notación Leibniz:
𝑑𝑦
∆𝑦
= 𝑙𝑖𝑚
,
𝑑𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑑
[𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
Notación subíndice: 𝐷𝑥 [𝑓(𝑥)].
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Geométricamente, la derivada de una función 𝑓 (𝑥) en un punto 𝑎 dado es la
pendiente de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto 𝑎
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La recta dibujada forma un ángulo 𝛽.
Este ángulo está relacionado con la pendiente de la recta, que es el valor de la
derivada en el punto de tangencia.
Por lo tanto:
𝑚 𝑇 = 𝑡𝑔(𝛽) = 𝑓′(𝑎)
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA
Velocidad Media. Si 𝑓 una función definida por 𝑠 = 𝑓 (𝑡 ) es la posición de un
móvil en el instante de tiempo 𝑡. La velocidad media en el intervalo de tiempo
[𝑡; 𝑡 + ∆𝑡 ] es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido.
𝑣𝑚 ([𝑡; 𝑡 + ∆𝑡 ]) =
∆𝑠 𝑓 (𝑡 + ∆𝑡 ) − 𝑓 (𝑡 )
=
∆𝑡
∆𝑡
Velocidad Instantánea. Sea 𝑓 una función definida por 𝑠 = 𝑓(𝑡 ) y una
partícula se desplaza a lo largo de una recta, tal que 𝑠 es el número de unidades
de la distancia dirigida de la partícula desde un punto fijo sobre la recta en
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𝑡 unidades de tiempo. La velocidad instantánea de la partícula a 𝑡 unidades de
tiempo es 𝑣, donde:
𝑣(𝑡 ) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
𝑓(𝑡 + ∆𝑡 ) − 𝑓 (𝑡 )
∆𝑡
𝒗(𝒕) = 𝒇′(𝒕) ⟺ 𝑣(𝑡 ) =
𝑑𝑠
,
𝑑𝑡
si existe.
Rapidez. Es el valor absoluto de la velocidad.
Es decir:
𝐑𝐚𝐩𝐢𝐝𝐞𝐳 = |𝒗(𝒕)| .
Ejemplo. Usar definición para calcular la derivada de la función:
𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥,
𝑓′(1),
𝑓′(0),
𝑓′(1).
Solución:
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
=
∆𝑥
(𝑥 + ∆𝑥)3 − 3(𝑥 + ∆𝑥) − (𝑥 3 − 3𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥
𝑥 3 + 3𝑥 2 (∆𝑥) + 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 − 3𝑥 − 3∆𝑥 − 𝑥 3 + 3𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥
3𝑥 2 (∆𝑥) + 3𝑥(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 − 3∆𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥 [3𝑥 2 + 3𝑥(∆𝑥) + (∆𝑥)2 − 3]
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 [3𝑥 2 + 3𝑥(∆𝑥) + (∆𝑥)2 − 3] = 3𝑥 2 − 3.
∆𝑥→0
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∴ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 3.
𝑓′(−1) = 0,
𝑓′(0) = −3,
𝑓′(1) = 0.
Ejemplo. Usar definición para calcular la derivada de la función
𝑓 (𝑥) = √𝑥 en 𝑥 = 3.
Solución:
𝑑𝑦
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
√𝑥 + ∆𝑥 − √𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑑𝑥 ∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
√𝑥 + ∆𝑥 − √𝑥 √𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥
)(
) = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚 (
∆𝑥→0
∆𝑥→0 ∆𝑥(√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥)
∆𝑥
√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥
∴
𝑑𝑦
∆𝑥
1
1
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
=
𝑑𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥(√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥) ∆𝑥→0 (√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥) 2√𝑥
∴
𝑑𝑦
1
=
,
𝑑𝑥 2√𝑥
⟹ 𝑓′(3) =
𝑓′(𝑥) =
1
2√𝑥
,
𝑑
1
(√𝑥) =
,
𝑑𝑥
2 √𝑥
𝐷𝑥 (√𝑥) =
1
2 √𝑥
1
2 √3
Álgebra de derivadas.
Teorema. Si 𝑓 (𝑥) = 𝑐,
𝑐 = constante, entonces 𝑓′(𝑥) = 0.
Demostración:
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
𝑐−𝑐
0
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
= 0.
∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥
∴ 𝑓′(𝑥) = (𝑐)′ = 0, donde 𝑐 ∈ ℝ.
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.
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Teorema. Si 𝑓 (𝑥) = 𝑥 entonces 𝑓′(𝑥) = 1.
Demostración:
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
∆𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚 (1).
∆𝑥→0
∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
∴ 𝑓′(𝑥) = (𝑥)′ = 1.
Teorema. Si 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ+ ,
entonces:
𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 .
Demostración:
(𝑥 + ∆𝑥)𝑛 − 𝑥 𝑛
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
.
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
Usando el binomio de Newton:
𝑓′(𝑥) =
= 𝑙𝑖𝑚
[𝑥 𝑛 + 𝑛𝑥 𝑛−1 (∆𝑥) +
∆𝑥→0
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥 [𝑛𝑥 𝑛−1 +
∆𝑥→0
= 𝑙𝑖𝑚 [𝑛𝑥 𝑛−1 +
∆𝑥→0
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2
(∆𝑥)2 + ⋯ + 𝑛𝑥(∆𝑥)𝑛−1 + (∆𝑥)𝑛 ] − 𝑥 𝑛
𝑥
2!
∆𝑥
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2
(∆𝑥) + ⋯ + 𝑛𝑥(∆𝑥)𝑛−2 + (∆𝑥)𝑛−1 ]
𝑥
2!
∆𝑥
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2
(∆𝑥) + ⋯ + 𝑛𝑥 (∆𝑥)𝑛−2 + (∆𝑥)𝑛−1 ]
𝑥
2!
= 𝑛𝑥 𝑛−1 .
∴ 𝑓′(𝑥) = (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1 .
Observación. Este teorema también es válido para 𝑛 ∈ ℝ.
Teorema. Sea 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓 (𝑥) ⟹ 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥), 𝑐 ∈ ℝ.
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Demostración:
𝑔′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
𝑐𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑐𝑓 (𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
𝑐 [𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)]
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
= 𝑐 𝑙𝑖𝑚
= 𝑐𝑓′(𝑥).
⏟
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
𝑓 ′ (𝑥 )
∴ [𝒄𝒇(𝒙)]′ = 𝒄𝒇′(𝒙) .
Teorema. Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas. Si:
ℎ(𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥) ⟹ ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥).
Demostración:
ℎ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
ℎ(𝑥 + ∆𝑥) − ℎ(𝑥)
∆𝑥
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) + 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
=
∆𝑥
= 𝑙𝑖𝑚 [
∆𝑥→0
= 𝑙𝑖𝑚
⏟
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
]=
+
∆𝑥
∆𝑥
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
+ 𝑙𝑖𝑚
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥).
⏟
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
=𝑓′ (𝑥)
=𝑔′ (𝑥 )
ℎ′(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′ (𝑥)
∴ [𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)]′ = 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙) .
Teorema. Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas. Si:
ℎ(𝑥) = 𝑓 (𝑥). 𝑔(𝑥) ⟹ ℎ′(𝑥) = 𝑓 (𝑥). 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥). 𝑓′(𝑥)
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Demostración:
ℎ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
ℎ(𝑥 + ∆𝑥) − ℎ(𝑥)
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥). 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
Restar y sumar en el numerador: 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥). 𝑔(𝑥)
ℎ′(𝑥) =
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥). 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 + ∆𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
∆𝑥
= 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥 + ∆𝑥).
∆𝑥→0
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
]
+ 𝑔(𝑥).
∆𝑥
∆𝑥
= 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) . 𝑙𝑖𝑚
⏟
⏟
∆𝑥→0
∆𝑥→0
=𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
+
∆𝑥
=𝑔′ (𝑥)
+ 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) . 𝑙𝑖𝑚
⏟
⏟
∆𝑥→0
∆𝑥→0
=𝑔(𝑥)
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
= 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥). 𝑓′(𝑥)
∆𝑥
=𝑓′ (𝑥)
∴ [𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙)]′ = 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙) + 𝒈(𝒙). 𝒇′(𝒙)
Teorema. Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas. Si:
ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥). 𝑓′(𝑥) − 𝑓 (𝑥). 𝑔′(𝑥)
⟹ ℎ′(𝑥) =
,
[𝑔(𝑥)]2
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) ≠ 0.
Demostración:
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) 𝑓 (𝑥)
−
ℎ(𝑥 + ∆𝑥) − ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) 𝑔(𝑥)
ℎ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
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= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
(∆𝑥). 𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
Restar y sumar en el numerador: 𝑓 (𝑥). 𝑔(𝑥)
ℎ′(𝑥) =
𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) + 𝑓 (𝑥). 𝑔(𝑥)
(∆𝑥). 𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
[𝑔(𝑥).
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
] − [𝑓(𝑥).
]
∆𝑥
∆𝑥
=
𝑔(𝑥). 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
=𝑓′ (𝑥)
=𝑔(𝑥)
=𝑔′ (𝑥)
=𝑓(𝑥)
⏞ 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
⏞ 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
⏞
⏞
(𝑥) . 𝑙𝑖𝑚
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) . 𝑙𝑖𝑚
−
𝑙𝑖𝑚
𝑓
∆𝑥
∆𝑥
= ∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) . 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
⏟
⏟
∆𝑥→0
∆𝑥→0
=𝑔(𝑥)
=𝑔′ (𝑥)
𝑔(𝑥). 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑓 (𝑥). 𝑔′ (𝑥)
ℎ′(𝑥) =
[𝑔′ (𝑥)]2
′
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙). 𝒇′(𝒙) − 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙)
] =
∴ [
[𝒈(𝒙)]𝟐
𝒈(𝒙)
Observación. La derivada del producto de dos funciones se puede extender a
la derivada del producto de 𝑛 funciones diferenciables. Así sea:
𝐹′(𝑥) = (𝑓1 . 𝑓2 . 𝑓3 )′(𝑥) =
𝐹′(𝑥) = 𝑓1 (𝑥). 𝑓2 (𝑥). 𝑓3′ (𝑥) + 𝑓1 (𝑥). 𝑓2′ (𝑥). 𝑓3 (𝑥) + 𝑓1′ (𝑥). 𝑓2 (𝑥). 𝑓3 (𝑥).
La derivada del producto de 𝑛 funciones diferenciables es:
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(𝑓1 . 𝑓2 … 𝑓𝑛−1 . 𝑓𝑛 )′ (𝑥) =
′ ( )
= 𝑓1 (𝑥). 𝑓2 (𝑥) … 𝑓𝑛−1 (𝑥). 𝑓𝑛′ (𝑥)+𝑓1 (𝑥). 𝑓2 (𝑥) … 𝑓𝑛−1
𝑥 . 𝑓𝑛 (𝑥) + ⋯ +
+𝑓1 (𝑥). 𝑓2′ (𝑥) … 𝑓𝑛−1 (𝑥). 𝑓𝑛 (𝑥) + 𝑓1′ (𝑥). 𝑓2 (𝑥) … 𝑓𝑛−1 (𝑥). 𝑓𝑛 (𝑥).
Ejemplo. Usar los teoremas para calcular la derivada de:
𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 4.
Solución:
𝑓′(𝑥) = (𝑥 3 + 4)′ = (𝑥 3 )′ + (4)′ = 3𝑥 2 + 0 = 3𝑥 2 .
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) =
5
3
+
𝑥5 𝑥2
Solución:
5
3 ′
25 6
𝑓 𝑥) = ( 5 + 2 ) = (5𝑥 −5 )′ + (3𝑥 −2 )′ = −25𝑥 −6 − 6𝑥 −3 = − 6 − 3
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
′(
3
Ejemplo. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + √𝑥.
Solución:
′(
𝑓 𝑥) =
2
(𝑥 3
+
1 ′
𝑥2)
2 2
1 1
2 1 1 1
2
1
= 𝑥 3−1 + 𝑥 2−1 = 𝑥 −3 + 𝑥 −2 = 3 +
3
2
3
2
3 √ 𝑥 2 √𝑥
Ejemplo. Calcular la derivada de:
𝑓 (𝑥) = (𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 2)(𝑥 4 + 3𝑥 3 + 12).
Solución:
𝑓′(𝑥) = (𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 2)(𝑥 4 + 3𝑥 3 + 12)′ +
+(𝑥 4 + 3𝑥 3 + 12)(𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 2)′
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𝑓′(𝑥) = (𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 2)(4𝑥 3 + 9𝑥 2 ) + (𝑥 4 + 3𝑥 3 + 12)(3𝑥 2 + 2𝑥 + 1).
Ejemplo. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 6)(4𝑥 − 5)(𝑥 3 + 8).
Solución:
𝑓′(𝑥) = (𝑥 2 + 6)(4𝑥 − 5)(𝑥 3 + 8)′ + (𝑥 2 + 6)(4𝑥 − 5)′(𝑥 3 + 8) +
+(𝑥 2 + 6)′(4𝑥 − 5)(𝑥 3 + 8)
= (𝑥 2 + 6)(4𝑥 − 5)(3𝑥 2 ) + (𝑥 2 + 6)(4)(𝑥 3 + 8) + (2𝑥)(4𝑥 − 5)(𝑥 3 + 8)
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 (𝑥 2 + 6)(4𝑥 − 5) + 4(𝑥 2 + 6)(𝑥 3 + 8) + 2𝑥 (4𝑥 − 5)(𝑥 3 + 8).
Ejemplo. Calcular la derivada de: 𝑓(𝑥) = 12𝑥√𝑥(1 + 3𝑥 2 ).
Solución:
1
3
𝑓 (𝑥) = 12(𝑥) (𝑥 2 ) (1 + 3𝑥 2 ) = 12 (𝑥 2 ) (1 + 3𝑥 2 ).
𝑓′(𝑥) =
3
12 [(𝑥 2 ) (1
+ 3𝑥
2 )′
+ (1 + 3𝑥
3 ′
2 ) (𝑥 2 ) ]
3
1
3 1
1 + 3𝑥 2
2) ( ) 2]
2
2
2
(
)
(
)
(
[(𝑥
)
(2𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = 12
6𝑥 + 1 + 3𝑥
𝑥 = 36𝑥
+
2
2
𝑓′(𝑥) =
1 4𝑥 2
36𝑥 2 (
+ 1 + 3𝑥 2
) = 18√𝑥(7𝑥 2 + 1).
2
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Calcular la derivada de: 𝑓 (𝑥) =
2𝑥 2 + 13
6𝑥 3 − 8𝑥 − 1
Solución:
(6𝑥 3 − 8𝑥 − 1)(2𝑥 2 + 13)′ − (2𝑥 2 + 13)(6𝑥 3 − 8𝑥 − 1)′
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥 3 − 8𝑥 − 1)2
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(6𝑥 3 − 8𝑥 − 1)(4𝑥) − (2𝑥 2 + 13)(18𝑥 2 − 8)
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥 3 − 8𝑥 − 1)2
−32𝑥 4 + 186𝑥 2 − 4𝑥 + 104
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥 3 − 8𝑥 − 1)2
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Calcular la derivada de: 𝑓 (𝑥) =
2 + 5√𝑥
10 + √𝑥
Solución:
𝑓′(𝑥) =
(10 + √𝑥) (2 +
1 ′
5𝑥 2 )
− (2 + 5√𝑥) (10 +
2
(10 + √𝑥)
1
𝑓′(𝑥) =
1 ′
𝑥2)
1
𝑥 −2
𝑥 −2
(
)
(10 + √𝑥) 5 (
) (2
(
)
2 − + 5√𝑥) 2
2
(10 + √𝑥)
(10 + √𝑥) (
𝑓′(𝑥) =
5
1
) − (2 + 5√𝑥) (
)
2√𝑥
2 √𝑥
2
(10 + √𝑥)
1
(50 + 5√𝑥 − 2 − 5√𝑥)
48
24
2 √𝑥
𝑓′(𝑥) =
=
=
2
2
2
(10 + √𝑥)
2√𝑥(10 + √𝑥)
√𝑥(10 + √𝑥)
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. Calcular la derivada de: 𝑓 (𝑥) =
3𝑥 3 + 𝑥 + 2
5𝑥 2 + 1
Solución:
(5𝑥 2 + 1)(3𝑥 3 + 𝑥 + 2)′ − (3𝑥 3 + 𝑥 + 2)(5𝑥 2 + 1)′
𝑓′(𝑥) =
(5𝑥 2 + 1)2
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(5𝑥 2 + 1)(9𝑥 2 + 1) − (3𝑥 3 + 𝑥 + 2)(10𝑥)
𝑓′(𝑥) =
(5𝑥 2 + 1)2
15𝑥 4 + 4𝑥 2 − 20𝑥 + 1
𝑓′(𝑥) =
(5𝑥 2 + 1)2
Ejemplo. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = 5.
Solución:
La pendiente de la recta tangente es 𝑓′(𝑥), en 𝑥 = 5
𝑓′(𝑥) = 2(𝑥) − 3 ⟹ 𝑓′(5) = 7
La recta pasa por el punto de tangencia 𝑃(5, 𝑓 (5)) = 𝑃(5, 10).
La ecuación de la recta tangente es: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
𝑦 − 10 = 7(𝑥 − 5) ⟹ 𝑦 = 7𝑥 − 25
Ejemplo. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
𝑓 (𝑥) = (3𝑥 − 2)2, que es paralela a la recta de ecuación 𝑦 = 6𝑥 − 5.
Solución:
La pendiente de la recta tangente es 6 porque es paralela a 𝑦 = 6𝑥 − 5.
Calcular el punto de tangencia 𝑃(𝑥, 𝑓(𝑥)). El punto de tangencia debe cumplir
que 𝑓′(𝑥) = 6; por tanto:
[3(𝑥 + ∆𝑥) − 2]2 − (3𝑥 − 2)2
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
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Universidad Nacional de Trujillo
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
Análisis matemático
∆𝑥(9∆𝑥 + 18𝑥 − 12)
= 18𝑥 − 12
∆𝑥
18𝑥 − 12 = 6 ⟹ 𝑥 = 1.
Como:
El punto de tangencia es 𝑃(1, 𝑓 (1)) = 𝑃(1, 1).
∴ La recta tangente es:
𝑦 − 1 = 6(𝑥 − 1) ⟹ 𝑦 = 6𝑥 − 5
Ejemplo. La distancia recorrida por un autobús en los cinco primeros segundos
desde que sale de un paradero viene dada por la ecuación de movimiento
𝑠 = 𝑓(𝑡 ) = 𝑡 2. ¿Qué velocidad llevará en el instante 𝑡 = 3 segundos?
Solución:
La velocidad en el instante 𝑡 = 3 es la tasa de variación instantánea en 𝑡 = 3
(3 + ∆𝑡 )2 − 32
𝑓 (3 + ∆𝑡 ) − 𝑓(3)
∆𝑡(6 + ∆𝑡 )
𝑣(𝑡 ) = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
=
∆𝑡→0
∆𝑡→0
∆𝑡→0
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
𝑣(𝑡 ) = 6 m/s.
Ejemplo. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo
con la ecuación:
𝑠(𝑡 ) = 𝑡 3 − 12𝑡 2 + 36𝑡 − 24, 𝑡 ≥ 0.
Determinar los intervalos de tiempo en los que la partícula se mueve a la
derecha, a la izquierda y el instante cuando la partícula cambia de sentido.
Solución:
𝑣(𝑡 ) =
𝑑𝑠 𝑑 3
= (𝑡 − 12𝑡 2 + 36𝑡 − 24) = 3𝑡 2 − 24𝑡 + 36
𝑑𝑡 𝑑𝑡
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Análisis matemático
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𝑣(𝑡 ) = 3(𝑡 2 − 8𝑡 + 12) = 3(𝑡 − 2)(𝑡 − 6) = 0. ⟹ 𝑡 = 2 y 𝑡 = 6.
La velocidad instantánea es cero cuando 𝑡 = 2 y 𝑡 = 6, es decir la partícula
está en reposo en esos instantes.
La partícula se mueve hacia la izquierda cuando 𝑣 es negativa.
La partícula se mueve hacia la derecha cuando 𝑣 es positiva.
∴ la partícula se mueve hacia la izquierda en el intervalo (2; 6).
la partícula se mueve hacia la derecha en los intervalos: [0; 2) y (6; +∞).
la partícula cambia de signo en 𝑡 = 2 y 𝑡 = 6.
𝒕
0
1
2
3
4
𝒔 −24
1
8
3
−8
𝒗
15 0 −9 −12
36
5
6
7
8
−19 −24 −17
8
−9
36
0
15
En 𝑡 = 0 la partícula está a 24 u. a la izquierda del origen y se desplaza hacia
la derecha.
En 𝑡 = 1 la partícula está a 1 u. a la derecha del origen y sigue moviéndose a la
derecha
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En 𝑡 = 2 la partícula está a 8 u. a la derecha del origen y está en reposo; y luego
cambia de signo (de sentido) e inicia el movimiento hacia la izquierda.
En 𝑡 = 3 la partícula se encuentra a 3 u. a la derecha del origen y se desplaza
hacia la izquierda….
Ejemplo. La emisión diaria de gases, en toneladas, en una fábrica viene dada
por la expresión
𝑡
𝑔(𝑡 ) = (20 − 2𝑡 ),
8
con 0 ≤ 𝑡 ≤ 10
estando 𝑡 medido en horas. Calcular la tasa de variación instantánea de 𝑔(𝑡 )
para 𝑡 = 5 horas.
Solución. Tasa de variación instantánea de 𝑔(𝑡 ) es:
𝑔(5 + ∆𝑡 ) − 𝑔(5)
𝑔′(5) = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑡→0
∆𝑡
5 + ∆𝑡
50
[20 − 2(5 + ∆𝑡 )] −
8
8
∆𝑡
−2(∆𝑡 )2
−∆𝑡
8
𝑔(5) = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
=0
∆𝑡→0
∆𝑡→0 4
∆𝑡
Derivadas Laterales.
Definición. Sea 𝑓 una función definida en 𝑥 = 𝑥1 .
La derivada de 𝒇 por la derecha de 𝑥 = 𝑥1 es:
𝒇′+ (𝒙𝟏 ) = 𝒍𝒊𝒎+
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙𝟏 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏 )
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏 )
⟺ 𝒇′+ (𝒙𝟏 ) = 𝒍𝒊𝒎+
𝒙→𝒙𝟏
∆𝒙
𝒙 − 𝒙𝟏
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Análisis matemático
Definición. Sea 𝑓 una función definida en 𝑥 = 𝑥1 .
La derivada de 𝒇 por la izquierda de 𝑥 = 𝑥1 es:
𝒇′− (𝒙𝟏 ) = 𝒍𝒊𝒎−
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙𝟏 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏 )
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏 )
⟺ 𝒇′− (𝒙𝟏 ) = 𝒍𝒊𝒎−
𝒙→𝒙𝟏
∆𝒙
𝒙 − 𝒙𝟏
Observación. Para que una función tenga derivada en el punto 𝑥 = 𝑥1 se debe
cumplir que la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda deban
existir en dicho punto y además las derivadas laterales sean iguales. Es decir:
𝑓−′ (𝑥1 ) = 𝑓+′ (𝑥1 )
−𝑥, si 𝑥 < 0
Ejemplo. Sea 𝑓 (𝑥) = { 2
𝑥 , si 𝑥 ≥ 0
Determinar si existe la derivada en el punto 𝑥 = 0.
Solución:
En 𝒙 = 𝟎 . Usando definición de derivada lateral:
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𝑓−′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚−
𝑥→𝑥1
𝑓−′ (0) = 𝑙𝑖𝑚−
𝑥→0
𝑥<0
𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑥1 )
⟹
𝑥 − 𝑥1
𝑓(𝑥) − 𝑓 (0)
−𝑥 − 0
−𝑥
= 𝑙𝑖𝑚−
= 𝑙𝑖𝑚−
= −1
𝑥→0
𝑥→0 𝑥
𝑥−0
𝑥
𝑥<0
𝑥<0
⟹ 𝑓−′ (0) = −1
𝑓+′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚+
𝑥→𝑥1
𝑓+′ (0)
𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑥1 )
⟹
𝑥 − 𝑥1
𝑓(𝑥) − 𝑓 (0)
𝑥2 − 0
𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚+
= 𝑙𝑖𝑚+
= 𝑙𝑖𝑚+
= 𝑙𝑖𝑚+𝑥 = 0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0 𝑥
𝑥→0
𝑥−0
𝑥
𝑥>0
𝑥>0
𝑥>0
𝑥>0
⟹ 𝑓+′ (0) = 0
Como:
𝑓−′ (0) ≠ 𝑓+′ (0) ⟹ 𝑓′(0) no existe.
∴ 𝑓 (𝑥) no es derivable en 𝑥 = 0.
𝑥 3 − 1,
si 𝑥 < −1
Ejemplo. Sea 𝑓 (𝑥) = {2𝑥 + 1, si − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
𝑥 2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 > 1
Determinar si es derivable en 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1.
Solución:
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∗) En 𝒙 = −𝟏 . Usando definición de derivada lateral:
𝐚) 𝑓−′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚−
𝑥→𝑥1
𝑓−′ (−1)
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑥1 )
𝑓(𝑥) − 𝑓 (−1)
⟹ 𝑓−′ (−1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥 − 𝑥1
𝑥+1
𝑥<−1
(𝑥 3 − 1) − (−1)
𝑥3
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
= +∞
𝑥→−1
𝑥→−1 𝑥 + 1
𝑥+1
𝑥<−1
𝑥<−1
𝑓−′ (−1) = ∞.
𝐛) 𝑓+′ (−1) = 𝑙𝑖𝑚+
𝑥→𝑥1
𝑓+′ (−1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥>−1
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𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑥1 )
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (1)
⟹ 𝑓+′ (−1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥 − 𝑥1
𝑥+1
𝑥>−1
(2𝑥 + 1) − (−1)
2𝑥 + 2
2(𝑥 + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
=
𝑥→−1 𝑥 + 1
𝑥→1
𝑥+1
𝑥+1
𝑥>−1
𝑥>−1
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𝑓+′ (−1) = 2.
Como: 𝑓−′ (−1) ≠ 𝑓+′ (−1) ⟹ 𝑓′(−1) no existe.
Entonces 𝑓(𝑥) no es derivable en 𝑥 = −1.
∗∗) En 𝒙 = 𝟏 . Usando definición de derivada lateral:
𝐚) 𝑓−′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚−
𝑥→𝑥1
𝑓−′ (1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥<1
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑥1 )
𝑓(𝑥) − 𝑓 (1)
⟹ 𝑓−′ (1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 𝑥1
𝑥−1
𝑥<1
(2𝑥 + 1) − 3
2𝑥 − 2
2(𝑥 − 1)
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚 (2)
𝑥→1 𝑥 − 1
𝑥→1 (𝑥 − 1)
𝑥→1
𝑥−1
𝑥<1
𝑥<1
𝑥<1
𝑓−′ (1) = 2.
𝐛) 𝑓+′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚+
𝑥→𝑥1
𝑓+′ (1)
𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑥1 )
𝑓 (𝑥) − 𝑓(1)
⟹ 𝑓+′ (1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 𝑥1
𝑥−1
𝑥>1
(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) − 3
(𝑥 − 1)2
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 − 1) = 0.
𝑥→1
𝑥→1 𝑥 − 1
𝑥→1
𝑥−1
𝑥>1
Como:
𝑥>1
𝑥>1
𝑓−′ (1) ≠ 𝑓+′ (1) ⟹ 𝑓′(1) no existe.
Entonces 𝑓 (𝑥) no es derivable en 𝑥 = 1.
∴ 𝑓(𝑥) no es derivable en los puntos: 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1.
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