CastroRicoJulioErnesto2019

FACULTAD TECNOLÓGICA
TECNOLOGÍA EN ELECTRICIDAD
SOFTWARE EN MATLAB PARA EL FLUJO ÓPTIMO CLÁSICO
PARA EL DESPACHO HIDROTÉRMICO
PRESENTADO POR:
JULIO ERNESTO CASTRO RICO
DIEGO ALBERTO ANZOLA BUSTOS
BOGOTÁ, COLOMBIA
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Índice
1. INTRODUCCIÓN
II
1.1. Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III
2. MARCO TEÓRICO
2.1. Flujo Óptimo de Potencia . . . . . . . . .
2.2. Despacho Económico . . . . . . . . . . . .
2.3. Modelo de la Planta Térmica . . . . . . .
2.4. Modelo de la Planta Hidráulica . . . . . .
2.5. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . .
2.6. Flujo Óptimo Clásico . . . . . . . . . . . .
2.7. Despacho sin Pérdidas de Transmisión . .
2.8. Despacho con Pérdidas de Potencia Activa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
3
4
4
5
6
3. METODOLOGÍA
3.1. Fase 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Teorı́a . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Funciones de Costos . . . .
3.1.3. Desarrollo de Ejercicios . .
3.2. Fase 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Desarrollo de los algoritmos
3.2.2. Uso de un compilador . . .
3.3. FASE 3 . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Uso de la interfaz GUIDE .
3.4. FASE 4 . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Manuales de usuario . . . .
3.5. Resumen de la metodologı́a . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4. RESULTADOS
9
4.1. Documentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2. Estructura de Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. INTERFAZ
12
6. MANUALES DE USUARIO
12
7. Casos de Estudio
7.1. Flujo optimo clásico sin pérdidas y sin restricciones de potencia activa .
7.1.1. Solución teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Solución en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Flujo optimo clásico sin pérdidas y con restricciones de potencia activa .
7.2.1. Solución teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Solución en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Flujo óptimo clásico con pérdidas y sin restricciones de potencia activa .
7.3.1. Solución teórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Solución en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Flujo óptimo clásico con pérdidas y con restricciones de potencia activa.
7.4.1. Solución teórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Solución en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
13
13
14
15
16
17
20
21
22
26
8. CONCLUSIONES.
29
9. BIBLIOGRAFIA
30
Referencias
30
10.ANEXOS
30
I
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Resumen
Contexto
El proyecto consiste en la elaboración de un software académico para la Universidad Distrital en MATLAB, para
el cálculo del flujo óptimo clásico donde se minimiza los costos de generación de energı́a. Además se propuso la
elaboración de manuales en cuanto a su uso y manejo del software.
Metodologı́a
La busqueda de información fue realizada en documentos relacionados con los sistemas eléctricos de potencia,
especialmente con el flujo óptimo clásico para describir el proceso de como minimizar los costos de generación
en sistemas que presenten o no pérdidas de potencia. El diseño e implementación de los códigos se realizó en el
software “Matlab” junto con el desarrollo de su interfaz gráfica para la interacción entre usuario y programa en
Guide.
Resultados
El software tuvo pruebas en 4 ejercicios para cada despacho, logrando una convergencia y obteniendo errores
inferiores al 1 %, donde el error más alto se presento en las potencias generadas alcanzando un 0.25 % y en los
otros cálculos como en algunas potencias generadas y costos incrementales se obtuvo valor del 0.001 %.
Conclusiones
El software desarrollado e implementado en Matlab cumple con su función de minimizar los costos de generación
adaptandose a las situaciones de despacho que se puedan presentar. Además el desarrollo de 2 manuales permite
dar a conocer el manejo del software SOPF junto con una explicación teórica sobre el flujo óptimo clásico.
Abstract
Context
The project consists in the elaboration of an academic software for the District University in MATLAB, for the
calculation of the classical optimum flow where the costs of power generation are minimized. It also describes
the development of manuals on its use and management of the software.
Methodology
The search for information was carried out in documents related to electrical power systems, especially with
the classical optimal flow to describe the process of how to minimize generation costs in systems that show or
not power losses. The design and implementation of the codes was done in the software ”Matlab.along with the
development of its graphical interface for the interaction between user and program in Guide.
Results
The software had tests in 4 exercises for each dispatch, achieving a convergence and obtaining errors lower than
1 %, where the highest error occurred in the powers generated reaching 0.25 % and in the other calculations as
in some powers generated and incremental costs, a value of 0.001 % was obtained.
Conclusions
The software developed and implemented in Matlab fulfills its function of minimizing generation costs by
adapting to the dispatch situations that may arise. In addition, the development of 2 manuals allows us to
present the management of the SOPF software together with a theoretical explanation of the classic optimal
flow.
II
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
1.
INTRODUCCIÓN
Los sistemas eléctricos de potencia buscan operar con un punto de equilibrio, donde todas las variables implicadas deben estar dentro de unos rangos para ası́ garantizar continuidad y eficiencia en el servicio para todos los
usuarios que estan conectados a la red. El flujo óptimo de potencia o conocido como OPF incorpora métodos
de optimización para sistemas eléctricos de potencia que presentan caracterı́sticas no lı́neales que por su complejidad, no permiten obtener una solución rápida acorde a la función objetivo que se requiere desarrollar.
Una variante del OPF conocida como flujo óptimo clásico busca minimizar los costos de generación a partir
de conocer las funciones de costos asociadas a cada planta dando prioridad de despachar más potencia con
las plantas más económicas, pero procurando que todas tengan un procentaje de participación. La inclusión
de restricciones de potencia y los modelos de las lı́neas de transmisión hace complejo determinar el respectivo
despacho, es por esto que la implementación de técnicas de optimización como los multiplicadores de Langrange,
permite dar solución al flujo óptimo, siempre y cuando se este trabajando con sistemas estables.
1.1.
Estado del Arte
Los métodos convencionales han permitido dar solución al flujo óptimo de potencia para sistemas sencillos,
donde no representa un grado de complejidad las funciones que se vayan a optimizar. Estos métodos se basan
en buscar puntos óptimos, procurando que se cumplan unas condiciones para una o varias funciones objetivo
previamente definidas. En cambio los métodos inteligentes surgieron por la complejidad que fueron presentando
los nuevos sistemas ante el aumento de su tamaño, y la implementación de elementos no lı́neales que resultan
dificiles de modelar. Ambos métodos son eficientes para resolver problemas aplicados al flujo óptimo de potencia,
especialmente en el flujo óptimo clásico donde ha permitido minimizar los costos de generación para sistemas
donde lo requiera. Algunos métodos implementados a nivel mundial se mencionan a continuación:
En la universidad de Oviedo, España una tesis de maestrı́a publicada en el año 2017 denominada “Despacho
económico de cargas en sistemas eléctricos de potencia: modelado, simulación y análisis” hace una explicación
acerca del modelamiento de plantas térmicas e hidraulicas, ası́ como el despacho económico cuando hay pérdidas
de potencia con sus costos de generación tomando como base un sistema de 6 nodos [1]. Esta tesis permite
comprender acerca del modelamiento de plantas térmicas e hidráulicas y su uso para el despacho económico.
Un artı́culo publicado en la IEEE en el 2015 del KPR Instituto de Ingenierı́a y Tecnologı́a en Coimbatore,
Tamilnadu en India denominado “Minimización del costo del combustible solucionando el despacho económico
incluyendo pérdidas de transmisión usando el enjambre por partı́culas modificado”, hace uso de tres algoritmos
para el despacho económico comparando la potencia que debe generar cada unidad con su respectivo costo
incluyendo las pérdidas de potencia en las lı́neas de transmisión[2]. Este documento permite conocer en el
despacho económico, la ecuación de balance de potencia, especialmente de reconocer la fórmula para las Pérdidas
totales de transmisión, que son incluidas en el desarrollo del presente programa.
Un artı́culo publicado en la IEEE, expuesto en la conferencia Internacional sobre energı́a eléctrica y sistemas de
potencia por parte del Instituto Nacional de Tecnologı́a Mauland Azad en Bhopal, India de nombre “ Solución
del flujo óptimo de potencia con mejora de la estabilidad de voltaje usando la optimización del lobo gris” usa
una técnica meta-heurı́stica inspirada en la naturaleza como es la optimización del lobo gris, modelo que se
inspiró en el comportamiento de la caza de los lobos grises[3]. Este articulo ayuda a comprender que existen
técnicas de optimización metaheurı́sticas para problemas no lineales que permiten generar algoritmos basados
en eventos que ocurren en la naturaleza.
Un artı́culo publicado en el 2015 en la Universidad Técnica Federico Santa Marı́a de Valparaiso, Chile titulado
“ Flujo óptimo de potencia utilizando Algoritmos evolutivos” aplica un método distinto como es el de programación por enjambre de partı́culas, donde escogen una población de posibles soluciones, plantean el algoritmo y
ası́ obtienen el despacho que deben realizar, ya sea de potencia activa, reactiva o de minimizar pérdidas en todo
el sistema[4]. Este articulo permitió conocer sobre el flujo óptimo de potencia y de sus diversas aplicaciones en
los sistemas eléctricos, basados en la topologı́a de la red y buscando la economı́a para encontrar una solución
óptima.
En la Universidad de Tarapacá en Chile, una publicación en el año 2000 de un artı́culo denominado “Despacho
económico con unidades de caracterı́sticas no convexas empleando algoritmos genéticos” implementa este método
cuando las funciones de costo son no convexas y no permiten la aplicación de métodos tradicionales, que puedan
determinar un punto óptimo de generación de las plantas y su respectivo costo[5]. Este articulo presenta la
solución de múltiples ejercicios usando algoritmos genéticos, que fueron usados como prueba en el programa
desarrollado, obteniendo resultados satisfactorios.
III
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
En la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellı́n se hizo un tesis de maestrı́a en el 2016 titulada “método
de solución para el despacho económico en lı́nea considerando restricciones y reglas de un mercado eléctrico”
usando dos métodos como son multiplicadores de Lagrange y programación lineal entera mixta, realizan el
despacho económico donde condicionan el sistema por un periodo de tiempo[6]. Esta tesis permite conocer el
flujo de potencia con incrementos de potencia para diferentes sistemas junto con sus respectivos costos, estos
aplicados si las plantas poseen restricciones de potencia o no. El flujo de potencia fue utilizado como comparación
en uno de los modelos que se evaluaron para realizar un despacho con Pérdidas de potencia y ası́ verificar que
el programa convergiera.
Unos investigadores de la Universidad Tecnológica de Pereira hicieron una publicación de un artı́culo en el
año 2017 en la revista Tecnura de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas denominado “Despacho
económico en sistemas de Potencia considerando estabilidad transitoria” donde el sistema se le hace tratamiento
como un sistema dinámico al despacho económico haciendo uso del método de enjambre por partı́culas donde
se calcula la potencia de cada unidad, incluyendo pérdidas de potencia y su respectivo costo total de generación[7]. Este documento permitió conocer el modelo de optimización cuando el sistema es sometido bajo una
perturbación considerando restricciones de estabilidad transitoria, aunque para este proyecto fue útil conocer
sobre las restricciones de desigualdad que sólo fueron utilizadas en estado estable.
Descripción del Documento
Este documento contiene la descripción de un tema tratado en el curso de Sistemas de potencia relacionado
con el flujo óptimo clásico donde se hace uso del método de los multiplicadores de Lagrange, para hacer la
implementación y desarollo de un programa en MATLAB que realice el despacho de potencia con el objetivo
principal de minimizar los costos entre plantas de generación térmicas e hidráulicas para sistemas eléctricos de
potencia en estado estacionario.
IV
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
2.
2.1.
MARCO TEÓRICO
Flujo Óptimo de Potencia
El Flujo Óptimo de Potencia o conocido como OPF “Optimal Power Flow” es usado en los sistemas eléctricos
desde el control del sistema, planeamiento en su operación hasta el despacho de energı́a a la red. El principal
objetivo del OPF es optimizar las condiciones de operación en estado estacionario de un sistema eléctrico de
potencia. Un OPF ajusta las cantidades controlables para optimizar una función objetivo mientras satisface un
conjunto de restricciones operativas[8]. Las funciones objetivo a minimizar más comunes son:
Despacho económico (minimizar costos, pérdidas, generación o pérdidas de potencia activa en las lı́neas).
Máxima transferencia de potencia.
Número de reprogramaciones.
El OPF puede ser representado como un problema de optimización no lineal cuya formulación matemática se
representa en las ecuaciones (1),(2) y (3).
M inf (x, u)
(1)
h(x, u) = 0
(2)
g(x, u) < 0
(3)
Donde
x =Vector de n variables de estado.
u =Vector de n variables de control.
f (x, u) =Función objetivo.
h(x, u) =Restricciones de igualdad (Ecuaciones de la red).
g(x, u) =Restricciones de desigualdad (lı́mites en las variables).
2.2.
Despacho Económico
El despacho económico es la asignación óptima de los recursos de generación de energı́a eléctrica para atender la
demanda de un sistema eléctrico interconectado [6]. El objetivo del despacho económico es minimizar los costos
de generación ante un valor de demanda, todo esto sujeto a las restricciones de potencia de las plantas y a los
parámetros de la red. La formulación general se muestra en la ecuación (4).
FT (Pg ) =
N
X
Fi (Pgi )
i=1
Donde
FT =Función de costos.
Pg =Potencia generada.
N =Número de generadores.
Pgi =Potencia generada por planta.
U SD
h
(4)
El costo total será la sumatoria del costo inicial en función de la potencia generada de cada planta con las
unidades de [$U SD/h]. Cuando se cumpla esto se puede decir que la sumatoria de las potencias generadas debe
ser igual a la potencia demandada que posee el sistema como se muestra en la ecuación (5).
N
X
(Pgi ) = PD
[M W ]
(5)
i=1
En caso de que el sistema tenga pérdidas en las lı́neas, la ecuación (5) se le agrega un término nuevo como se
muestra en la ecuación (6).
N
X
(Pgi ) = PD + PL
i=1
Donde
PD =Potencia demandada.
PL =Pérdidas de potencia activa en las lı́neas.
1
[M W ]
(6)
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
El termino PL se representa en la ecuación (7).
N
N X
X
PL =
Pi Bij Pj
[M W ]
(7)
i=1 j=1
Los generadores además están sujetos a las restricciones de potencia activa mı́nima y máxima como se muestra
en la ecuación (8).
Pimin ≤ Pi ≤ Pimax
2.3.
(8)
Modelo de la Planta Térmica
Entrada (MBTU/h o $/h)
En las unidades térmicas existe un modelo matemático conocido como función de costo de operación o función
de consumo de combustible en la unidad generadora. Esta función representa la caracterı́stica de entrada y salida
de la unidad térmica [9]. Esta función tiene forma cuadrática donde en el eje de las ordenadas se encuentra la
entrada de energı́a H [Btu/h] y en el eje de las abscisas la potencia de salida neta en megavatios [MW] como se
puede observar en la Figura (1).
F
DH
DF
H
DP
P
PGmin
PGmax
PG
Salida (MW)
Figura 1: Curva caracterı́stica de entrada-salida de la unidad generadora térmica.[10]
La cantidad de energı́a H se expresa de la siguiente forma como se muestra en la ecuación (9).
H=
a 2
P + bPgi + c
2 gi
Btu
h
(9)
Esta función al ser multiplicada por el costo del combustible que esta en unidades de [USD/Btu], se obtiene la
función de consumo de combustible como se muestra en la ecuación (10):
U SD
a 2
(10)
f = Pgi + bPgi + c
2
h
Donde a y b hacen parte de los costos variables y c corresponde a los costos fijos en una central de generación.
Las unidades para cada termino de la función de costos son:
SD a= MUW
2h
U SD b= M W h
c= U SD
h
La obtención de la curva caracterı́stica de la planta térmica tasa de combustible vs Potencia de salida se puede
observar en la Figura (2).
Figura 2: Proceso de generación en la planta térmica.[11]
2
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Donde el proceso a seguir es el siguiente:
Se mide la entrada, la cantidad de combustible consumido por unidad de tiempo de funcionamiento de la
unidad térmica.
Se mide la salida, la potencia eléctrica desarrollada por el generador en MW.
Realizado el proceso se puede obtener la Figura (3) donde muestra una serie de datos que se pueden aproximar
a un polinomio de orden n mediante métodos analı́ticos. Esta curva representa la función de la planta térmica,
aunque existe una variación de su forma si la planta es una térmica a gas o de ciclo combinado.
Tasa de combus! ble - MBtu/h
3000
2500
2000
Aproximación de
paso de escalera
1500
Datos promediados
1000
500
50
100
150
200
250
300
Generación (MW)
Figura 3: Aproximación de la tasa de combustible.[12]
2.4.
Modelo de la Planta Hidráulica
Las plantas hidráulicas tienen caracterı́sticas de entrada-salida similares a las plantas térmicas. La entrada
está en términos de volumen de agua (m3 ) por unidad de tiempo y la salida en términos de potencia eléctrica
[MW][10] como se puede observar en la Figura (4).
Entrada
W
Salida (MW)
PG
Figura 4: Curva de entrada-salida de la unidad hidráulica.[9]
La Figura (4) se muestra la curva de entrada-salida donde se evidencia que tiene un comportamiento lineal. A
medida que se aumenta el volumen de agua, la potencia de salida tiende a aumentar desde su valor mı́nimo hasta
su valor máximo nominal. Para establecer un modelo de función de costo, primero se representa la generación
en su conjunto representada en la ecuación (11):
X
P Hji [M W ]
(11)
P Hj =
∈I
Donde
I =indicador del grupo de plantas hidroeléctricas.
P Hji =Potencia generada por la planta i durante el intervalo j.
3
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
La potencia generada es una función no lı́neal de la descarga de agua qji y de la caida de agua hw.
P Hj = φ(qji , hw)
[M W ]
(12)
Una investigación encontró una forma más sencilla de formular esta función conocida como modelo de GlimnKirchmayer [13] representada en la ecuación (13):
3
m
i
2
1
2
1
qj = k[a0 (b0j ) + a0 (b0j ) + a0 ][b0 (PHj ) + b1 (PHj ) + b0 ]
(13)
s
Donde k representa una constante de proporcionalidad. Si se toman periodos cortos de tiempo, variará levemente
la caı́da efectiva hwj , lo que permite que la función se simplifique en la ecuación (14):
3
m
i
1 2
1
(14)
qj = a(PHj ) + b(PHj ) + c
s
Expresándo la ecuación (14) en términos de función de costos al multiplicarla por un factor se obtiene la ecuación
(15):
a 2
U SD
f = P gi + bP gi + c
(15)
2
h
Este módelo sólo es valido para periodos cortos de generación. El término 1/2 que acompaña a la constante a
es necesario cuando se realice la derivada para obtener el costo incremental.
2.5.
Multiplicadores de Lagrange
Algunos problemas de optimización tienen restricciones que tienden a presentar una complejidad para la obtención de una solución óptima por el número de ecuaciones y variables que pueden estar involucradas para dicho
problema[14]. Existen diversas técnicas para resolver este tipo de problemas que permiten adaptar soluciones
teóricas y computacionales como pueden ser:
Multiplicadores de Lagrange.
Método del gradiente.
Método de Newton.
El método a implementar es el de los multiplicadores de Lagrange dado que permite encontrar la solución
cuando existe más de una variable. El método de los multiplicadores de Lagrange define que para determinar
los extremos relativos de una función f de dos variables x y y sujetas a la restricción g(x, y) = 0, se debe definir
una función auxiliar F de las tres variables x,y y λ como se muestra en la ecuación (16):
F (x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y)
(16)
Posteriormente al igualar a cero las primeras derivadas parciales de la ecuación (16), se formará un sistema de
ecuaciones como se muestra en las ecuaciones (17),(18) y (19).
Fx (x, y, λ) = 0
(17)
Fy (x, y, λ) = 0
(18)
Fλ (x, y, λ) = 0
(19)
Al resolver el sistema de ecuaciones se determina los puntos crı́ticos de f , donde estos dos primeros valores
obtenidos corresponden a los extremos relativos de x y y [15] .
2.6.
Flujo Óptimo Clásico
Cuando entra en operación plantas térmicas e hidráulicas para satisfacer un valor de demanda de potencia, se
busca priorizar que las plantas hidráulicas generen más potencia dado que sus costos de generación son menores
con respecto a las plantas térmicas. Es por esto que son usadas técnicas que permiten determinar un punto
óptimo de generación sin que se afecte otras variables establecidas en el sistema. El método planteado será válido
sólo para plantas térmicas para poder dar un balance de despacho entre estas mismas. Para plantas hidraúlicas
existen otros métodos que incluyen variables que no están establecidas para este despacho dado su complejidad
de implemetarse para este método de optimización.
4
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
2.7.
Despacho sin Pérdidas de Transmisión
Dado que se requiere minimizar los costos de generación sin tener en cuenta las pérdidas de potencia en las
lı́neas, ni restricciones de generación se puede hacer uso de los multiplicadores de Lagrange como se muestra en
la ecuación (20).
L(P gi , λ) =
N
X
Fi (P gi ) − λ
i=1
N
X
P g i − PD
i=1
!
(20)
Donde λ es el multiplicador de Lagrange y en la ecuación representa el costo incremental. Para obtener una
solución óptima se establecen las siguientes condiciones dadas en las ecuaciones (21) y (22).
∂L
∂FT
−λ=0
=
∂P g i
P gi
(21)
N
X
∂L
P g i + PD = 0
=−
∂λ
i=1
(22)
El costo incremental es el costo adicional en dólares por hora para incrementar la salida en un 1 [MW][16].
Cuando se tienen las funciones de costos en forma de función cuadrática como se muestra en la ecuación (15)
donde se relaciona la entrada y la salida, el costo incremental se puede representar como la ecuación (23) al
realizar la derivada de la función de costos con respecto a la potencia de cada generador.
U SD
∂Fi (Pgi )
(23)
λi =
= ai (Pgi ) + bi
∂Pgi
MWh
Se despeja P gi de la ecuación (23) en términos de a, b y λ para obtener la ecuación (24).
Pgi =
λ − bi
ai
[M W ]
(24)
Cuando se tienen varias plantas, los términos P gi se suman y se expresan como un P gT , obteniendo la ecuación
(25).
PgT =
λ − b1
λ − b2
λ − bn
+
+ ...... +
a1
a2
an
[M W ]
(25)
Despejando λ de la ecuación (25) y generalizando los términos a,b y PgT como sumatorias para n generadores
se obtiene la ecuación (26).
!−1
!−1 n
!
n
n
X
X bn U SD X
1
1
λ=
(PgT ) +
(26)
a
a
a
MWh
i=1 n
i=1 n
i=1 n
De forma simplificada la ecuación (26) se reduce a la ecuación (27).
U SD
λ = aT PgT + bT
MWh
Donde los términos que contienen las sumatorias se pueden representar en (28),(29) y (30).
!−1 n
X
M W 2h
1
aT =
a
U SD
i=1 n
!
n
X
bn
U SD
bT = a T
a
MWh
i=1 n
PgT =
n
X
Pgi
i=1
5
[M W ]
(27)
(28)
(29)
(30)
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
2.8.
Despacho con Pérdidas de Potencia Activa
Cuando el sistema presenta pérdidas de potencia la solución metodológica es incorporar una expresión para
las perdidas PL , como función de las potencias generadas por las unidades P gi . La formula general de PL , que
corresponde a un polinomio de orden uno, se conoce como fórmula de Kron [17] como se puede ver en la ecuación
(31).
PL =
N X
N
X
P Gi Bij P Gj +
i=1 j=1
N
X
P Gi Bi0 + B00
[M W ]
(31)
i=1
La ecuación de pérdidas de transmisión es obtenida a partir de conocer la potencia de los nodos que tengan
asociado un generador, la parte real de la Zbarra que seria igual a la inversa de la matriz de admitancias, la
matriz α que corresponde a las corrientes de salida de los generadores junto con su elemento In0 que corresponde
a la corriente nula en el nodo de compensación y la matriz de transformación de corrientes C que representa
la relación de las corrientes de las cargas con respecto a la corriente demandada total como se muestra en la
ecuación (32). Para la obtención de la ecuación de la ecuación de pérdidas todos los datos estarán en por unidad.


α1
Pg1
Pg2   0




PL =  ...   ...


Pgk   0
1
0
0
α2
..
.
...
...
..
.
0
0
..
.
0
0
...
...
αn
0


0
α1
0
0


..  C T R
∗  ..
 .
barra C
.


0
0
0
In0
0
α2
..
.
...
...
..
.
0
0
..
.
0
0
...
...
αn
0
∗ 
∗
Pg1
0


0
 Pg2 
..   .. 


.
  . 
0  Pgk 
1
In0
(32)
La matriz de transformación de corrientes C es obtenida a partir de establecer las corrientes de demanda y un
valor de corriente nula que depende del nodo de referencia del sistema. La matriz α contiene valores constantes
en su diagonal, estos dependerán al establecer que la potencia reactiva de los generadores sean una fracción
constante de la potencia activa de estos mismos denotado por la letra Sn mostrada en la ecuación (33).
P gn + jQgn = (1 + jSn )P gn
(33)
n
En la ecuación (33) el valor de S viene dada por la expresión Sn = ( Qg
P gn ) , este valor constante estará por cada
generador que exista en el sistema. La ecuación (33) puede expresarse como un valor de corriente de salida de
los generadores como se muestra en la ecuación (34).
In =
(1 + jSn )
P gn = αP gn
Vn∗
(34)
Despejando α se puede obtener los elementos que están contenidos en la diagonal como se muestra en la ecuación
(35).


α1 0 . . . 0
0
 0 α2 . . . 0
0


 ..
.
.
.. 
.
..
..
..
α= .
(35)
.


0

0 . . . αn 0
0
0 . . . 0 In0
Al tener el producto de las matrices de la ecuación (32) sin tener en cuenta los vectores de las P gn , se obtiene una
matriz denominada Tα la cual tiene la propiedad de ser igual al complejo conjugado de su propia transpuesta.
Esta propiedad se conoce como matriz hermitiana, los elementos que están por encima de la diagonal serán igual
al complejo conjugado de los elementos que están por debajo la diagonal principal. Además, otra propiedad de
este tipo de matrices es que su diagonal principal solo contiene elementos reales. Cuando se hace la suma de
las matrices Tα y Tα∗ , los elementos complejos de la matriz resultante se anulan quedando el doble de la parte
real simétrica como se muestra en la ecuación (36).


B11
B12
. . . B1j
B10 /2
 B21
B22
. . . B2j
B20 /2


 ..
..
.
.. 
..
..
(36)
 .

.
.
.


 Bi1
Bi2
...
Bij
Bi0 /2 
B10 /2 B20 /2 . . . Bi0 /2
B00
6
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
La ecuación (36) es conocida como la matriz B o de coeficientes de pérdidas. Esta matriz es simétrica, lo que
significa que es igual a su propia transpuesta. Los elementos tales como Bij para todo i 6= j y B00 tienen las
unidades en MW, en cambio los elementos Bi0 son adimensionales. Al reemplazar la ecuación (36) en (32) se
obtiene la ecuación (37).
PL = Pg1
Pg2
...
Pgn

B11
B21
..
.



1 

 Bi1
B10 /2
B12
B22
..
.
...
...
..
.
B1j
B2j
..
.
Bi2
B20 /2
...
...
Bij
Bi0 /2


Pg1
B10 /2


B20 /2
  Pg2 


. 
..
 . 
. 
 . 
Bi0 /2  Pgn 
B00
1
(37)
Al hacer el producto de las matrices y generalizando la ecuación (37) para n generadores se obtiene una sumatoria
como se muestra en la ecuación (31).
3.
METODOLOGÍA
El proyecto está basado en el desarrollo de un programa con el objetivo de minimizar los costos de generación de
potencia en el despacho de plantas térmicas e hidráulicas usando el método de optimización de los multiplicadores
de Lagrange. El desarrollo de este programa fue realizado por fases puesto que se debió dar análisis para los
diferentes despachos que puedan existir, tratando de que resultados obtenidos de forma teórica sean iguales a
los realizados por el programa. Las fases propuestas abarcaron todo el proceso realizado para cumplir con el
objetivo principal planteado.
3.1.
Fase 1
Esta fase consiste en obtener bases teóricas sólidas para el método de optimización a implementar a partir de
documentos relacionados con el tema propuesto, además la adquisición, planteamiento y desarrollo de ejercicios
donde se abarque la mayoria de situaciones de despacho que puedan ocurrir dando su solución teniendo en
cuenta el objetivo a desarrollar.
3.1.1.
Teorı́a
Los fundamentos teóricos y busqueda de información se realizó a través de libros de la rama de la ingenierı́a
eléctrica, especialemente referentes a los sistemas eléctricos de potencia, ası́ como de artı́culos cientificos y
publicaciones de diferentes portales que esten expuestos en la red, los cuales proporcionarán la documentación
necesaria para la comprensión y entendimiento de conceptos básicos relacionados con el tema propuesto. Para
tener una claridad sobre los multiplicadores de lagrange, que es usado en el método clásico se hizo una busqueda
en libros de matemáticas relacionados con el cálculo multivariado y en libros de optimización para complementar
la teorı́a en el desarrollo de los documentos del presente proyecto.
3.1.2.
Funciones de Costos
Las curvas caracterı́sticas de las funciones de costos para las plantas térmicas e hidráulicas tienen la forma de una
función cuadrática. Esto permite establecer un modelo de función especı́fico para cada tipo de planta, las cuales
pueden ser utilizadas para realizar el despacho correspondiente aplicando el método de optimización adecuado.
Para verificar los diferentes despachos habrá una variación de los coeficientes asociados a cada planta estudiando
el comportamiento de la potencia despachada procurando minimizar los costos de generación, además limitando
su despacho cuando a cada planta se le agregue restricciones de generación de potencia activa como son mı́nimas
o máximas.
3.1.3.
Desarrollo de Ejercicios
La busqueda bibliográfica no sólo proporciono información del método de optimización que se implemento,
también dio a conocer ejercicios aplicados al tema propuesto. Estos ejercicios se dividieron en dos temas, uno
para sistemas con pérdidas de potencia activa y el otro sin incluir estas. En la busqueda de ejercicios se dio
prioridad a los sistemas con pérdidas de potencia puesto que estos dan el modelamiento de su sistema con
su matriz de admitancias y su respectivo flujo de potencia. Para el otro despacho cuando no hay pérdidas de
potencia, aparte de los ejercicios encontrados, fue posible plantear funciones de costos para una determinada
potencia de demanda y ası́ poder dar solución al problema.
7
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
3.2.
Fase 2
Esta fase consiste en la elaboración de los códigos para que realizen los despachos en el software de Matlab.
3.2.1.
Desarrollo de los algoritmos
El programa general incluirá dos tipos de despachos, uno con pérdidas de potencia activa en las lı́neas de
transmisión y otro sin incluir estas. Para cada despacho se incluirá o no las restricciones de potencia activa
de las plantas de generación. Los códigos realizados tendrán incluidos en cada despacho una serie de ciclos y
condicionales los cuales permitieron almacenar datos que son necesarios para realizar el despacho, que en el caso
de los datos de entrada pueden ser los valores obtenidos al realizar el flujo de potencia como son magnitud de
tensiones, angulos, potencia activas, reactivas, error establecido, potencia base, entre otras. Para el caso de los
datos de salida algunos de ellos son potencias activas generadas, variación del costo incremental por iteración,
costo por planta, entre otras. El programa está en capacidad de generar procesos iterativos procurando dar una
solución óptima al problema planteado cumpliendo con las restricciones de cada planta y de cumplir con el error
permitido.
3.2.2.
Uso de un compilador
Para la implementación de los códigos se hará uso de un software conocido como Matlab. Este programa permite
realizar diversos calculos, generar algoritmos, crear tablas, gráficas e implementar interfaz de usuario para los
programas desarrollados. Los códigos generados serán un paso a paso con un procedimiento acorde a cada
despacho a realizar.
3.3.
FASE 3
En esta fase se desarrollará la interfaz gráfica para el uso del programa haciendo uso de la herramienta GUIDE
que es un desarrollador de entornos de Matlab.
3.3.1.
Uso de la interfaz GUIDE
La elaboración de una interfaz gráfica se desarrollará en GUIDE. Esta herramienta permite crear aplicaciones
donde hay una interacción entre usuario y programa para tener un control de la misma. El programa contará
con botones para seleccionar las diferentes opciones que hay, casillas para ingresar datos, generación de tablas de
resultados con sus iteraciones, gráficas de las funciones de costos, entre otras opciones. Desarrollada esta interfaz
se debio dar un nombre a la aplicación como es de SOPF que significa “Software Optimal Power Flow”.
3.4.
FASE 4
Terminados los códigos e implementados en una interfaz gráfica, en esta fase será el último proceso el cual
corresponde a la creación de los manuales de usuario para los programas de despacho realizados.
3.4.1.
Manuales de usuario
Desarrollados los códigos junto con la implementación de la interfaz gráfica del programa, se elaboró dos manuales de usuario correspondientes a cada despacho. Un manual es de flujo óptimo clásico sin pérdidas de potencia
activa y el otro con pérdidas de potencia activa. Para cada manual además se incorpora si posee o no restricciones de potencia activa para los generadores. Cada uno de los manuales tiene una explicación teórica del presente
tema junto con el desarrollo de forma teórica y en el software para 2 ejercicios tratando de describir de manera
detallada la obtención de la solución.
3.5.
Resumen de la metodologı́a
Al tratar el proyecto por fases, es posible representar el proceso mediante un diagrama de flujo tratando de
abarcar todas las fases propuestas dando cumplimiento con el objetivo propuesto como se puede observar en la
Figura (5).
8
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Inicio
Flujo Óptimo Clásico
Búsqueda bibliográfica en
documentos y artículos
publicados en la red
Elaboración de ejercicios para el
OPF clásico con pérdidas y sin
pérdidas de potencia activa.
Desarrollo del código para los
despachos planteados en el OPF
clásico.
Implementación de una interfaz
gráfica para la interacción entre
usuario y programa.
No
Cumple
el
criterio
No
Si
Visualización de resultados a
través de una interfaz gráfica y
serie de datos.
Manual de usuario
Fin
Figura 5: Resumen de la metodologı́a.Fuente: Elaboración propia.
4.
RESULTADOS
La metodologı́a propuesta estableció una serie de etapas o fases las cuales permitieron llevar un orden en el
desarrollo del presente proyecto dando cumplimiento con el objetivo propuesto .
4.1.
Documentación
La fase 1 incorporó la investigación en documentos especifı́cos relacionados con el tema del flujo óptimo clásico
para sistemas eléctricos de potencia. Algunos de los documentos que proporcionaron información importante se
pueden ver en la Tabla 1.
9
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
#
NOMBRE
1
Análisis de sistemas de potencia
2
3
4
5
6
AUTOR
Análisis moderno de sistemas de
potencia
Power Generation, operation
and control
Optimization of power system
operation
Flujo óptimo de potencia
utilizando algortimos evolutivos
programados en digsilent
Despacho económico con
unidades de caracteristicas no
convexas empleando algoritmos
genéticos
7
Calculo de varias variables 2
8
El calculo 7 Ed.
John J.Grainger y William
D.Stevenson
Walter Brokering, Rodrigo
Palma y Luis Dı́az
Allen J.Wood y Bruce
F.Wollenberg
AÑO DE
PUBLICACIÓN
1996
2008
1996
Jizhong Zhu
2009
Edgar A.Moreno y Victor
H.Hinojosa
2015
Ildefonso Harnish, Raúl
Sanhueza y Horacio Dı́az
2000
Ron Larson y Bruce H.
Edwards
Louis Leithold
2014
1998
Tabla 1: Documentos relevantes.
4.2.
Estructura de Algoritmo
Entrando en el desarrollo de los códigos se propone en la fase 2 los tipos de despachos a realizar, donde a
cada despacho se le asigno las variables de entrada y salida junto con la implementación de un algoritmo que
permitiera minimizar los costos de generación. Esta fase se puede representar como un diagrama de bloques
como se puede ver en las Figuras (6), (7) y (8).
En la Figura (6) se muestra una descripción general de la representación del programa SOPF.
Figura 6: Diagrama de bloques. Fuente: Elaboración propia.
En las Figuras (7) y (8) se muestra la representación de las variables de entrada y de sálida para la opción del
flujo óptimo clásico sin pérdidas de potencia y con pérdidas de potencia.
Figura 7: Diagrama de bloques para el flujo óptimo clásico sin pérdidas de potencia. Fuente: Elaboración propia.
10
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Figura 8: Diagrama de bloques para el flujo óptimo clásico con pérdidas de potencia. Fuente: Elaboración propia.
A continuación se hace una breve descripción de los bloques principales para el programa SOPF.
BLOQUE SIN PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA
Este bloque abarca sistemas donde no se considera el modelamiento de lı́neas, transformadores y los generadores.
Para este bloque sus entradas indicarán si los generadores presentan restricciones de potencia activa.
BLOQUE CON PÉRDIDAS DE POTENCIA ACTIVA
Este bloque incluye la adición de sistemas donde hay un modelamiento de lı́neas, transformadores y generadores
cuya representación matemática se ingresa en forma de matriz de admitancias o matriz de impedancias. Este
bloque indica si los generadores presentan restricciones de potencia activa.
BLOQUE SIN RESTRICCIONES PARA DESPACHO SIN PÉRDIDAS
Este bloque como se ve en la Figura (7) incluye una serie de operaciones requeridas para minimizar los costos de
generación, a partir del ingreso de variables conocidas del sistema. Además su sálida corresponde a los resultados
del despacho seleccionado.
BLOQUE CON RESTRICCIONES PARA DESPACHO SIN PÉRDIDAS
La Figura (7) muestra un bloque en la parte inferior con el nombre de CON RESTRICCIONES, el cuál tiene
implementado un algoritmo que hace verificación de las restricciones de potencia de las plantas, ajustando la
sálida de potencia para cada función ingresada. La visualización de resultados se realiza mediante tablas y
figuras especificando todas las variables de sálida involucradas.
BLOQUE SIN RESTRICCIONES PARA DESPACHO CON PÉRDIDAS
En el caso de este bloque hay un modelamiento del sistema con una matriz de admitancias, con la excepción de
que las plantas de generación no poseen restricciones de potencia. Posee un algoritmo que evalúa los datos de
entrada generando procesos iterativos logrando cumplir el objetivo planteado. Este bloque se puede observar en
la Figura (8).
BLOQUE CON RESTRICCIONES PARA DESPACHO CON PÉRDIDAS
Este bloque posee una complejidad en el algortimo usado dado que los ejercicio planteados poseen variables que
lı́mitan la obtención de una respuesta rapida. El proceso usado es iterativo cumpliendo una serie de criterios
como son error del sistema, número de nodos, entre otros. Los resultados son mostrados en gráficas y tablas
con el todo del proceso que debió realizar. Este bloque se puede observar en la Figura (8).
11
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
5.
INTERFAZ
La fase 3 abarca el diseño de la interfaz gráfica en GUIDE donde se desarrollo las ventanas para el ingreso
de datos y la visualización de los resultados acorde a cada despacho. Además se incorpora la exportación de
resultados en tablas de excel para poder verlos detalladamente.
6.
MANUALES DE USUARIO
Por último los manuales de usuario propuestos en la fase 4, dan una explicación del método de optimización
usado junto con el respectivo manejo del programa SOPF.
7.
Casos de Estudio
A continuación se muestran cuatro casos de estudio especı́ficos para cada tipo de despacho realizados de forma
teórica y en el programa SOPF.
7.1.
Flujo optimo clásico sin pérdidas y sin restricciones de potencia activa
Se tienen las siguientes funciones de costos para dos plantas de generación como se muestran en las ecuaciones
(38) y (39). Determinar el punto óptimo de operación económica para una demanda de potencia de 450 MW.
U SD
0, 05 2
(38)
Pg1 + 6,3Pg1 + 150
f1 =
2
h
U SD
0, 007 2
(39)
f2 =
Pg2 + 8,6Pg2 + 210
2
h
7.1.1.
Solución teórica
Para solucionar este problema primero vamos a realizarlo de forma teórica y posteriormente será desarrollado
en el programa SOPF.
Primero se determina el valor de λ o el costo incremental como se muestra a continuación.
−1
−1 1
1
6,3
U SD
1
1
8,6
λ=
(450) +
= 11,08
+
+
+
0,05 0,007
0,05 0,007
0,05 0,007
MWh
Realizando esta operación obtenemos que el valor de λ es de 11.08 [U SD/M W h]. Con este resultado se procede
a calcular el despacho de potencia para cada planta .
Pg1 =
Pg2 =
11,08 − 0,05
= 95,6 [M W ]
6,3
11,08 − 0,007
= 354,285
8,6
[M W ]
Obtenidas las potencias de generación por planta, se calcula el costo de operación para cada planta como se
muestra a continuación.
U SD
0,05
2
(95,6) + (6,3)(95,6) + 150 = 980,764
f1 =
2
h
U SD
0,007
2
(354,285) + (8,6)(354,285) + 210 = 3696,163
f2 =
2
h
Determinados los costos para cada planta ,se puede calcular el costo total de operación.
U SD
fT = 980,764 + 3696,163 = 4676,927
h
Como se puede observar en los costos por planta, la primera tiene un costo menor y la segunda un costo mayor.
Por lo tanto hay prioridad de despacho con la segunda planta dado que resulta más económica.
12
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
7.1.2.
Solución en SOPF
Dando solución al problema planetado, en la Figura (9) se puede observar los resultados del despacho donde
está la potencia que debe generar cada planta, el costo total y la participación porcentual.
Figura 9: Resultados del despacho. Fuente: Elaboración propia.
Además el botón que aparece en la parte inferior que dice visualizar datos adicionales como se ve en la
Figura (9), permite mostrar en pantalla el costo incremental en el que deben operar las plantas como se muestra
en la Figura (10).
Figura 10: Costo incremental. Fuente:Elaboración propia.
El despacho sale en una sola iteración donde la planta número 2 tiene un mayor valor de generación con un
78.75 % de generación frente a la planta 1 que tiene 21.24 %. Con sólo esta iteración permite calcular facilmente
el costo por planta y el costo total de operación en el sistema.
Se puede observar en la Tabla 2 que los resultados obtenidos al realizar los calculos de forma manual y en el
programa “SOPF”tienen una variación menor al 1 %, quiere decir que el programa tiene una alta precisión
para realizar dichos cálculos adaptándose a diversas situaciones que se puedan presentar.
λ
Pg1
Pg2
f1
f2
fT
Valor Teórico
11,0807
95,6140
354,3857
980,9191
3697,2793
4678,1984
TABLA DE ERRORES
Matlab
Error absoluto
11,0807
0
95,6140
0
354,3860
0,0003
980,9195
0,0004
3697,3
0,0207
4678,2018
0,0034
Error relativo
0
0
0,000084
0,0000407
0,000559
0,000072
Tabla 2: Comparación de resultados teóricos y SOPF para el flujo óptimo clásico sin restricciones de potencia
activa. Fuente: Elaboración propia.
7.2.
Flujo optimo clásico sin pérdidas y con restricciones de potencia activa
Se tienen las siguientes funciones de costos en las ecuaciones (40),(41) y (42) para tres plantas de generación.
Determinar el despacho para una demanda de potencia de 550 [MW].
13
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
f1 =
0, 004 2
Pg1 + 8, 7Pg1 + 200
2
f2 =
0, 089 2
Pg2 + 7, 1Pg2 + 150
2
f3 =
7.2.1.
0, 0045 2
Pg3 + 5, 6Pg3 + 230
2
U SD
100 [M W ] ≤ P g1 ≤ 300 [M W ]
h
U SD
80 [M W ] ≤ P g2 ≤ 250 [M W ]
h
U SD
130 [M W ] ≤ P g3 ≤ 350 [M W ]
h
(40)
(41)
(42)
Solución teórica
Para solucionar este ejercicio, primero se desarrollará teóricamente y posteriormente se realizará en el programa
SOPF.
Se determina el costo incremental calculando los términos aT y bT a partir de las ecuaciones (28) y (29). Con
la ecuación (27) se determina el costo incremental.
−1
1
1
1
+
+
0, 004 0, 089 0, 0045
−1 1
8, 7
1
1
7, 1
5, 6
bT =
+
+
+
+
0, 004 0, 089 0, 0045
0, 004 0, 089 0, 0045
U SD
λ = (2, 0684 ∗ 10 − 3)(550) + (7,2378) = 8,3755
MWh
aT =
El costo incremental obtenido es de 8,3755. Con este valor se procede a calcular el despacho de potencia para
cada planta.
Pg1 =
8, 3755 − 8, 7
= −81, 125
0, 004
[M W ]
Pg2 =
8, 3755 − 7, 1
= 14, 3314
0, 089
[M W ]
Pg3 =
8, 3755 − 5, 6
= 616, 777
0, 0045
[M W ]
Como la planta número 3 se pasa de su potencia máxima de despacho, ésta se deja con un valor fijo de 350
[MW] y se resta este valor de la demanda total.
PD1 = PD − Pmax
PD1 = 550
[M W ] − 350
(43)
[M W ] = 200
[M W ]
Cuando se ha restado la potencia máxima de la demanda total se vuelve a calcular el valor de λ para determinar
las potencias generadas de las plantas restantes.
−1
1
1
aT =
+
0, 004 0, 089
−1 1
8, 7
1
7, 1
bT =
+
+
0, 004 0, 089
0, 004 0, 089
U SD
λ = (3,8279 ∗ 10 − 3)(200) + (8,6311) = 9,3967
MWh
Se procede a calcular las potencias generadas.
Pg1 =
9, 3967 − 8, 7
= 174,1935
0, 004
[M W ]
Pg2 =
9, 3967 − 7, 1
= 25,8064
0, 089
[M W ]
14
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Como se puede observar los resultados obtenidos, el valor de potencia de la planta 1 esta entre sus lı́mites
de generación pero en caso de la planta 2 su valor es inferior en comparación con el valor mı́nimo que puede
despachar. Como la planta debe despachar algún valor de potencia que este dentro de su rango de operación,
esta planta se despacha a su valor mı́nimo y el restante que falta lo debe despachar la planta 2 dado que no hay
más plantas con las que se puedan iterar. Explicado esto las potencias resultantes son:
Pg1 = 120
[M W ]
Pg2 = 80
[M W ]
Pg3 = 350
[M W ]
Posteriormente se procede a calcular los costos por planta como se muestra a continuación.
U SD
0, 004
2
(120) + (8, 7)(120) + 200 = 1272, 8
f1 =
2
h
0,089
U SD
2
(80) + (7, 1)(80) + 150 = 1002, 8
f2 =
2
h
0,0045
U SD
f3 =
(350)2 + (5, 6)(350) + 230 = 2465, 625
2
h
El costo total será de:
fT = f1 + f2 + f3 = 4741, 225
7.2.2.
U SD
h
Solución en SOPF
Realizando el ejercicio en el programa SOPF se pueden observar los resultados en la Figura (11).
Figura 11: Gráfica y tabla de resultados. Fuente: Elaboración propia.
En la parte inferior donde aparece visualizar datos adicionales como se ve en la Figura 11, seleccionando esa
opción se muestra en pantalla los resultados por iteración, que tuvo que realizar el programa para poder hacer
el despacho cumpliendo con las restricciones de potencia establecidas. En la Figura (12) donde están todos lo
valores por iteración, da la opción de exportar los resultados obtenidos en un archivo excel.
15
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Figura 12: Datos adicionales. Fuente: Elaboración propia.
Se puede observar que el programa muestra en una ventana el número de iteraciones que necesito para poder
relizar el despacho. Cada iteración muestra la potencia generada, el costo incremental y el costo de despacho
individual y total. Para el caso de este ejercicio la solución se da en 3 iteraciones, donde la planta número
3 tiene un mayor porcentaje de generación y el restante queda repartido entre la 1 y 2. Estos resultados son
bastante importantes dado que permite verificar si se ha realizado un correcto procedimiento cuando se tenga
que realizar cálculos por iteraciones. En la Tabla 3 se puede observar que el error entre los resultados teóricos
y los obtenidos por el programa son menores al 1 %.
λ
Pg1
Pg2
Pg3
λ
Pg1
Pg2
f1
f2
f3
fT
TABLA DE ERRORES
Iteración 1
Valor Teórico
Matlab
Error absoluto
8,3755
8,3755
0
-81,1250
-81,1168
0,0082
14,3314
14,3318
0,0004
616,7777
616,7850
0,0073
Iteración 2
Valor Teórico
Matlab
Error absoluto
9,3967
9,3968
0,0004
174,1750
174,1935
0,0185
25,8056
25,8065
0,0009
Funciones de Costos
1272,8
1272,8
0
1002,8
1002,8
0
2465,625
2465,6
-0,025
4741,225
4741,2
-0,025
Error relativo
0
0,01
0,00279
0,00118
Error relativo
0,00425
0,01062
0,00348
0
0
-0,00101
-0,000527
Tabla 3: Comparación de resultados teóricos y SOPF para el flujo óptimo clásico con restricciones de potencia
activa. Fuente: Elaboración propia.
Realizando un análisis por cada planta, la tercera planta resulta bastante económica con respecto a las otras dos,
las cuales se evidencio que resultan bastante costosas. Al variar el costo incremental por las iteraciones restantes,
su despacho de potencia seguı́a sin ajustarse, por lo tanto, se debio realizar el despacho fijo acorde a sus lı́mites
de generación. Con este método se pudo ajustar para que todas tuvieran un porcentaje de participación en el
despacho.
7.3.
Flujo óptimo clásico con pérdidas y sin restricciones de potencia activa
Se tiene el siguiente sistema eléctrico de potencia que consta de 4 nodos el cual está planteado en el libro
“Análisis de Sistemas de potencia” de John Grainger y William Stevenson como se ve en la Figura (13). Se pide
determinar el despacho óptimo para un error de 1 % y una Sbase de 100 MVA.
16
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Nodo 1
Nodo 4
Cable 2
Gen 1
191.315 MW
230 kV
230 kV
Cable 1
Carga 2
258.822 MVA
Cable 3
230 kV
230 kV
Gen 2
350 MW
Carga 1
280.195 MVA
Nodo 3
Cable 4
Nodo 2
Figura 13: Ejercicio con pérdidas sin restricciones.[16]
Se muestran las funciones de costos en las ecuaciones (44) y (45) asociadas a cada planta de generación.
0,008 2
U SD
Pg1 + 8Pg1 + 180
f1 =
2
h
0,0096 2
U SD
Pg2 + 6,4Pg2 + 250
f2 =
2
h
(44)
(45)
En la Tabla 4 se muestra los datos de las lı́neas, las tensiones de los nodos de control y las potencias activas y
reactivas de las cargas. Todos los datos están en por unidad.
DE BARRA
A BARRA
1-4
1-3
2-3
2-4
DATOS DE LA LINEA
Z serie
Y PARALELO
R
X
B
0.00744 0.0372
0.0775
0.01008 0.0504
0.1025
0.00744 0.0372
0.0775
0.01272 0.0636
0.1275
DATOS DE LA BARRA
GENERACIÓN
CARGA
BARRA
P
V
P
Q
1
1.0
2
3.18
1.0
3
2.20 1.3634
4
2.80 1.7352
Tabla 4: Datos de las lı́neas y los nodos.[16]
En la Tabla 5 se muestra el flujo de potencia del presente sistema, también en por unidad.
BARRA
1
2
3
4
CASO BASE
GENERACIÓN
VOLTAJE
P
Q
MAGNITUD ÁNGULO
1.913152 1.872240
1
0
3.18
1.325439
1
2.43995
0.96051
-1.07932
0.94304
-2.62658
Tabla 5: Flujo de potencia.[16]
7.3.1.
Solución teórica.
Los pasos a realizar en todo el procedimiento se encuentran en valores en por unidad por facilidad de cálculos.
Para dar solución a este problema, primero se debe calcular la matriz Zbarra a partir de los datos de las lı́neas
como se ve en la Tabla 4.
17
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA


2,911963 −1,786620 −0,795044 −0,072159
−1,786620 2,932995 −0,072159 −1,300878
−3

Rbarra = 
−0,795044 −0,072159 2,911963 −1,786620 ∗ 10
−0,072150 −1,300878 −1,786620 2,932995


−2,582884 −2,606321 −2,601379 −2,597783
−,2,606321 −2,582784 2,597783
−2,603899 

Xbarra = 
 −2,601379
2,597783 −2,582884 −2,6063121
−2,597783 −2,603899 −2,606321 −2,582784
(46)
(47)
Ahora se calcula las corrientes de carga asociadas a los nodos 3 y 4, esto a partir del flujo de potencia de la
Tabla 4.
I3 =
−2,2 + j1,36340
P3 − jQ3
=
= 2,694641∠147,1331◦
∗
V3
0,96051∠1,07932◦
I4 =
P4 − jQ4
−2,8 + j1,73520
= 3,493043∠145,5863◦
=
V4∗
0,94304∠2,62658◦
Determinadas las corrientes de carga, se procede a calcular las constantes d a partir de las corrientes de carga
calculadas anteriormente.
d3 =
I3
= 0,435473 + j0,006637
I3 + I4
d4 =
I4
= 0,564527 − j0,006637
I3 + I4
Posteriormente se calcula las constantes t.
t1 =
Z11
= 0,993664 + j0,001259
d3 Z13 + d4 Z14
t2 =
Z12
= 1,002681 − j0,000547
d3 Z13 + d4 Z14
Luego se puede calcular la matriz de corrientes C.

1

0
C=
−0,432705 − j0,007143
−0,560958 + j0,005884
Posteriormente podemos encontrar

0
0

1
0

−0,436644 − j0,006416 −0,432705 − j0,007143
−0,566037 + j0,006964 −0,560958 + 0,005884

4,282185 + j0
−0,030982 − j0,010638
5,080886 + j0
CT Rbarra C∗ = −0,030982 + j0,010638
0,985724 + j0,005255
1,367642 − j0,006039
Despues calculamos la corriente nula.
In0 =

0,985724 − j0,005255
1,367642 + j0,006039 ∗ 10−3
0,601225 + j0
1
−V1
=−
= −0,000436 − j0,387164
Z11
0,002912 − j2,582884
Conociendo los datos del flujo de potencia de la Tabla 5 se procede a calcular los α.
α1 =
1,872240
1 − j 1,913152
1 − js1
=
V1∗
1∠0◦
1 − j 1,325439
1 − js2
3,18
α2 =
=
V2∗
1∠ − 2,43995◦
Al determinar los α se puede calcular la matriz hermitiana.
18
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

−0,049448 + j0,004538 0,375082 + j0,380069
5,963568
0,194971 + j0,539511 ∗ 10−3
0,194971 − j0,539511
0,090121

8,383183
Tα = −0,049448 − j0,004538
0,375082 − j0,380069
A la matriz Tα obtenida anteriormente se omite la parte real obteniendo la matriz B o de coeficientes de
pérdidas.


 
9,383183 −0,049448 0,375082
B11
B12
B10 /2
 B21
B22
B20 /2 = −0,049448 5,963568 0,194971 ∗ 10−3
0,375082
0,194971 0,090121
B10 /2 B20 /2 B00
Determinada la matriz B se procede a calcular el valor de λ.
λ=
1
1
+
0,008 0,0096
−1
8
6,4
(500) +
+
0,008 0,0096
U SD
λ = 9,454545
MWh
1
1
+
0,008 0,0096
−1
Posteriormente teniendo el valor del costo incremental se puede determinar las potencias que pueden generar
cada planta). El valor de a se debe multiplicar por el valor base dado que toca trabajar sólo con valores en por
unidad.
 0,8
λ1

+ 2 ∗ 8,383183 ∗ 10−3
−2 ∗ 0,049448 ∗ 10−3
0,96
λ1
−2 ∗ 0,049448 ∗ 10−3
+ 2 ∗ 5,963568 ∗ 10−3


Pg1
Pg2


=
(1 − 2 ∗ 0,750164 ∗ 10−3 ) −
8
λ1
(1 − 2 ∗ 0,389942 ∗ 10−3 ) −
6,4
λ1
Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede calcular las potencias generadas.
(1)


(1)
Pg1 = 1,512870
Pg2 = 2,845238
Posteriormente se procede a calcular las pérdidas de potencia activa usando la ecuación (31). Expandiendo la
sumatoria de las PL para dos plantas de generación obtenemos la ecuación (48).
2
2
PL = B11 Pg1
+ 2B12 Pg1 Pg2 + B22 Pg2
+ B10 Pg1 + B20 Pg2 + B00
(48)
PL = 0,069373
Luego se realiza el balance de potencia, el cual además determina el error del sistema.
(1)
(1)
(1)
PD + PL − (Pg1 + Pg2 ) = 5,069373 − 4,358108 = 0,711265
El error excede al valor planteado inicialmente, por lo que se debe recalcular las Pg . Ahora se determina el
cambio incremental de λ.
U SD
0,711265
(1)
= 10,99758
∆λ = (9,454545 − 0)
4,358108 − 0
MWh
Se calcula λ obteniendo
λ
(2)
=λ
(1)
+ ∆λ
(1)
= 9,454545 + 1,543035 = 10,99758
U SD
MWh
Determinado el nuevo valor de λ, se calcula nuevamente las potencias generadas. Esto se debe realizar hasta
cuando su cumpla con el valor del error establecido. Los resultados de las iteraciones se muestran en la Tabla 6.
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
1
2
3
4
Tabla de Resultados
VALOR TEÓRICO
λ
P g1
P g2
PL
9.4545 1.5128 2.8452 0.0693
10.9975 3.0413 4.2125 0.1861
9.8957 1.9582 3.2409 0.0969
9.8409 1.9032 3.1919 0.0932
ε
0.7112
-2.0678
-0.1021
-0.0019
Tabla 6: Tabla de resultados por iteraciones. Fuente: Elaboración propia.
19
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Como ya se cumple el valor del error, se procede a calcular los costos de generación por planta y el costo total
de la operación del sistema. Para calcular el costo de operación por planta, las potencias calculadas deben ser
multiplicadas por la potencia base.
U SD
0,008
2
(190,32) + (8)(190,32) + 180 = 1847,44
f1 =
2
h
0,0096
U SD
2
f2 =
(319,19) + (6,4)(319,19) + 250 = 2781,85
2
h
Ahora se determina el costo total de operación de todo el sistema.
U SD
fT = f1 + f2 = 4629,29
h
7.3.2.
Solución en SOPF
Ingresados todos los datos, el programa SOPF mostrará en ventana el resultado del despacho como se puede
ver en la Figura (14), donde esta la potencia generada, las curvas de las funciones de costos y el porcentaje de
generación, todo esto por planta.
Figura 14: Resultados del despacho. Fuente: Elaboración propia.
Seleccionando visualizar datos adicionales como se puede observar en la Figura (14), se habilita una nueva
ventana como se ve en la Figura (15), donde el programa debió realizar 4 iteraciones para cumplir con el
error definido. En la parte izquierda se muestra la generación por iteración, en la ventana del medio el costo
incremental, las pérdidas y la variación del error y por último en la parte derecha el costo de generación por
planta y el costo total de operación.
Figura 15: Resultados por iteraciones. Fuente: Elaboración propia.
20
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Habilitando la opción Exportar Datos se pueden visualizar los datos de las iteraciones y calculos realizados
en un archivo excel como se ve en la Figura (16).
Figura 16: Resultados por iteraciones. Fuente: Elaboración propia.
En la Tabla 7 se puede observar los resultados teóricos y los obtenidos en el programa SOPF. Todos los datos
se presentan en valores en por unidad.
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
1
2
3
4
λ
9.4545
10.9975
9.8957
9.8409
Tabla de
VALOR TEÓRICO
P g1
P g2
PL
1.5128 2.8452 0.0693
3.0413 4.2125 0.1861
1.9582 3.2409 0.0969
1.9032 3.1919 0.0932
Resultados
ε
0.7112
-2.0678
-0.1021
-0.0019
λ
9.4545
10.9948
9.8943
9.8400
VALOR MATLAB
P g1
P g2
PL
1.5128 2.8453 0.0682
3.0388 4.2102 0.1835
1.9567 3.2397 0.0953
1.9023 3.1913 0.0917
ε
0.7100
-2.0655
-0.1011
-0.0019
Tabla 7: Resultados teóricos y en el programa SOPF. Fuente: Elaboración propia.
Con los resultados de forma teórica y en el programa SOPF, al hacer la comparación del error relativo y
absoluto para ambos despachos, se puede observar que el calculo de estos da un valor menor al 1 % como se
puede observar en la Tabla 8. Esto significa que el programa cumple con el objetivo de minimizar costos de
generación y con los cálculos a realizar.
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
1
2
3
4
Tabla de Resultados
ERROR ABSOLUTO
ERROR RELATIVO
λ
P g1
P g2
PL
λ
P g1
P g2
0
0
0,0001 0,0011
0
0
0
0,0027 0,0025 0,0023 0,0026 0,0002 0,0008 0,0005
0,0014 0,0015 0,0012 0,0016 -0.0001 0,0007 0,0003
0,0009 0,0009 0,0006 0,0015
0
0,0004 0,00001
PL
0,0158
0,0139
0,0165
0,016
Tabla 8: Tabla de comparación de errores. Fuente: Elaboración propia.
7.4.
Flujo óptimo clásico con pérdidas y con restricciones de potencia activa.
En las ecuaciones (49) y (50) se tienen las funciones de costos para dos plantas de generación.
0,074 2
U SD
f1 =
80 [M W ] ≤ Pg1 ≤ 220 [M W ]
Pg1 + 6,6Pg1 + 175
2
h
0,009 2
U SD
f2 =
130 [M W ] ≤ Pg2 ≤ 300 [M W ]
Pg2 + 8,1Pg2 + 210
2
h
La Figura (17) muestra el sistema de 4 nodos a despachar.
21
(49)
(50)
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Nodo 1
Gen 1
186.79 MW
Carga 1
58.825 MVA
Cable 2
230 kV
Nodo 2
230 kV
Cable 1
Carga 2
199.997 MVA
Cable 3
230 kV
230 kV
Carga 1
280.195 MVA
Nodo 3
Cable 4
Gen 2
318 MW
Carga 4
94.118 MVA
Nodo 4
Figura 17: Ejercicio con pérdidas con restricciones.[18]
Los siguientes datos son de la matriz Ybus:


8,9852 − j448360
−3,8156 + j19,0781 −5,1696 + j25,8478
0
−3,8156 + j19,0781 8,9852 − j44,8360
0
−5,1696 + j25,8478

Ybus = 
−5,1696 + j25,8478
0
8,9852 − j44,8360 −3,0237 + j15,1185
0
−5,1696 + j25,8478 −3,0237 + j15,1185 8,1933 − j40,8638
En la Tabla 9 se muestra el flujo de potencia del presente ejercicio. Todos los datos se presentan en valores en
por unidad.
BARRA
1
2
3
4
GENERACIÓN
P
Q
1.8679 1.1449
3.18
1.8142
CASO BASE
VOLTAJE
MAGNITUD ÁNGULO
1.0
0
1.02
1.5231
DEMANDA
P
Q
0.50 0.3099
1.70 1.0535
2.0 1.2394
0.80 0.4958
VOLTAJE
MAGNITUD ÁNGULO
1.0
0
0.9824
-0.9760
0.9690
-1.8720
1.02
1.5231
Tabla 9: Flujo de potencia.[18]
Determinar el despacho para una demanda de potencia de 500 [MW], una potencia Sbase de 100 MVA y un
error de 1 %.
7.4.1.
Solución teórica.
Todos los datos en la solución del presente ejercicio se presentan en por unidad. Se procede a calcular las
corrientes de carga asociadas a los nodos 3 y 4, esto a partir del flujo de potencia de la Tabla 9.
I1 =
P1 − jQ1
−0,5 + j0,3099
=
= 0,5882∠148,2093◦
V1∗
1,0∠0◦
I2 =
−1,7 + j1,0535
P2 − jQ2
=
= 2,0357∠147,2372◦
∗
V2
0,98241∠0,9760◦
I3 =
−2,0 + j1,2394
P3 − jQ3
=
= 2,4281∠146,3415◦
V3∗
0,9690∠1,8720◦
I4 =
P4 − jQ4
−0,8 + j0,4958
=
= 0,9227∠149,7345◦
∗
V4
1,02∠ − 1,5231◦
Determinadas las corrientes de carga, se procede a calcular las constantes d a partir de las corrientes de carga
calculadas anteriormente.
22
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
I1
= 0,09845 + j0,00147
I1 + I2 + I3 + I4
I2
= 0,3407 − j0,0007
d2 =
I1 + I2 + I3 + I4
I3
= 0,4064 − j0,0071
d3 =
I1 + I2 + I3 + I4
I4
d4 =
= 0,1543 + j0,0064
I1 + I2 + I3 + I4
d1 =
Posteriormente se calcula las constantes t.
Z11
= 0,9940 + j0,0012
d1 Z11 + d2 Z12 + d3 + Z13 + d4 Z14
Z12
= 1,0028 + j0,0005
t2 =
d1 Z11 + d2 Z12 + d3 Z13 + d4 Z14
t1 =
A continuación se puede calcular la matriz de corrientes C.

0,9021 − j0,0015
−0,3386 + j0,0003
C=
−0,4039 + j0,0065
−0,1533 − j0,0065
−0,0986 − j0,0015
−0,3416 + j0,0008
−0,4075 + j0,0073
0,8452j − 0,0063
Posteriormente se encuentra

3,6264
CT Rbarra C∗ = 1,0795 + j0,3061
0,4270 + j0,0653
Despues se calcula la corriente nula.

−0,0978 − j0,0015
−0,3386 + j0,0003

−0,4039 + j0,0065
−0,1533 − j0,0065

−1,0795 − j0,3061 0,4270 − j0,0653
3,6295
4,1690 − j0,0246 ∗ 10−3
4,1690 − j0,0246
1,4018
1
−V1
=−
= −0,0004 + j0,3869
Z11
0,0029 − j2,5842
Conociendo los datos del flujo de potencia de la Tabla 9 se procede a calcular los α.
In0 =
1,1449
1 − j 1,8679
1 − js1
α1 =
= 1 − j0,6129
=
V1∗
1∠0◦
1 − j 1,8142
1 − js2
3,18
α2 =
=
= 0,9949 − j0,5330
V2∗
1,02∠ − 1,5231◦
Al determinar los α se puede calcular la matriz hermitiana.

4,9887
Tα = −1,4291 − j0,0424
0,1039 − j0,1635

−1,429 − j0,0424 0,1039 + j0,1635
4,6237
0,0766 + j0,1654 ∗ 10−3
0,0766 − j0,1654
0,0209
A la matriz Tα obtenida anteriormente se le quita la parte real obteniendo la matriz B o de coeficientes de
pérdidas.

 

4,9887 −1,429 0,1039
B11
B12
B10 /2
 B21
B22
B20 /2 = −1,4291 4,6237 0,0766 ∗ 10−3
0,1039
0,0766 0,0209
B10 /2 B20 /2
B00
Determinada la matriz B se puede calcular el valor de λ.
λ=
1
1
+
0,074 0,009
−1
6,6
8,1
(500) +
+
0,074 0,009
U SD
(1)
λ = 11,9493
MWh
23
1
1
+
0,074 0,009
−1
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Posteriormente teniendo el valor del costo incremental se puede determinar las potencias que pueden generar
cada planta como se muestra a continuación. El valor de a se debe multiplicar por el valor base (Sbase) dado
que es necesario trabajar sólo con valores en por unidad.


7,4
11,9493
+ 2 ∗ 4,9897 ∗ 10−3
−2 ∗ 1,429 ∗ 10
−2 ∗ 1,429 ∗ 10−3
0,9
11,9493
−3
+ 2 ∗ 4,6237 ∗ 10
−3


Pg1
Pg2


=
(1 − 0,1039 ∗ 10−3 ) −
−3
(1 − 0,0766 ∗ 10
)−
6,6 
11,9493
8,1
11,9493

Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede calcular las potencias generadas para la primera iteración.
(1)
(1)
Pg1 = 0,7285
Pg2 = 3,8321
Luego se procede a calcular las pérdidas de potencia activa a partir de la ecuación (48).
(1)
PL = 0,0633
Ahora se calcula el balance de potencia, el cual además determina el error del sistema.
(1)
(1)
(1)
PD + PL − (Pg1 + Pg2 ) = 0,5027
El error excede al valor planteado inicialmente, lo cual se debe recalcular las Pg . A continuación se determina
el cambio incremental.
0,5027
U SD
(1)
= 1,3172
∆λ = (12,0361 − 0)
4,5417 − 0
MWh
Se calcula λ(2) obteniendo
λ(2) = λ(1) + ∆λ(1) = 12,0361 + 1,3780 = 13,2665
U SD
MWh
Teniendo el valor de λ(2) , se puede calcular las potencias generadas, las pérdidas y la variación del error.


7,4
13,2665
+ 2 ∗ 4,9897 ∗ 10−3
−2 ∗ 1,429 ∗ 10
−2 ∗ 1,429 ∗ 10−3
0,9
13,2665
−3
+ 2 ∗ 4,6237 ∗ 10
−3


Pg1
Pg2


=
(1 − 0,1039 ∗ 10−3 ) −
−3
(1 − 0,0766 ∗ 10
)−
7,4 
13,2665
8,1
13,2665
Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede calcular las potencias generadas.
(2)

(2)
Pg1 = 0,9103
Pg2 = 5,0837
Posteriormente se procede a calcular las pérdidas de potencia activa a partir de la ecuación (48).
(2)
PL = 0,1114
Se procede a calcular el balance de potencia, el cual además determina el error del sistema.
(1)
(1)
(1)
PD + PL − (Pg1 + Pg2 ) = −0,8826
El error excede al valor planteado inicialmente, ası́ que nuevamente se debe recalcular las Pg . Ahora se determina
la variación del costo incremental.
U SD
−0,8826
(2)
= 0,8110
∆λ = (13,2665 − 11,9493)
5,994 − 4,5606
MWh
Se determina λ(3) quedando
λ
(3)
=λ
(2)
+ ∆λ
(2)
= 13,2665 − 0,8110 = 12,4555
U SD
MWh
En la Tabla 10 se continua con las iteraciones hasta que se cumpla el error como es en la iteración número 4.
24
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
Tabla de Resultados
VALOR TEÓRICO
λ
P g1
P g2
PL
11.9493 0.7285 3.8321 0.0633
13.2665 0.9103 5.0837 0.1114
12.4555 0.7983 4.3164 0.0803
12.4229 0.7939 4.2862 0.0792
1
2
3
4
ε
0.5027
-0.8826
-0.0344
-0.000831
Tabla 10: Tabla de resultados por iteraciones. Fuente: Elaboración propia.
Como se puede observar en la Tabla 10 en la cuarta iteración del ejercicio, el error está por debajo del establecido
inicialmente, pero los valores de las potencias generadas, no estan dentro de los lı́mites de operación de cada
planta. Por lo tanto se despacha la planta número 2 a su máxima potencia , y se hace la resta de la demanda
total menos el máximo de despacho de la planta número 2 como se ve en la ecuación (51). Con la potencia
restante se procede a calcular nuevamente λ y la potencia generada de la planta que hace falta por despachar
como se ve en la ecuación (52).
PD1 = PD − Pmax
PD1 = 500
[M W ] − 300
[M W ] = 200
(51)
[M W ]
(52)
Cuando se ha restado la potencia máxima de la demanda total se vuelve a calcular el valor de λ para determinar
las potencias generadas de las plantas restantes.
−1
1
aT =
0, 074
λ(5)
−1 6,6
0, 074
U SD
= aT ∗ PD1 + bT = 21,4
MWh
bT =
1
0, 074
Determinado el valor del costo incremental, se puede calcular el valor de la potencia generada para la planta 1.
h
i
i
h
7,4
7,4
−3
−3
(1
−
0,1036
∗
10
)
−
+
2
∗
4,9898
∗
10
P
=
g1
21,4
21,4
Se resuelve para la quinta iteración para la potencia del generador 1 :
(5)
Pg1 = 1,9433
Se recalcula las pérdidas de potencia con la ecuación (48).
(5)
PL = 0,0447
Posteriormente se calcula el error manteniendo la demanda total de 500[MW].
(5)
(5)
(5)
PD + PL − (Pg1 + Pg2 ) = 0,1014
Como el error aún está por encima del establecido se debe recalcular la Pg1 . Nuevamente se determina el cambio
incremental de λ.
∆λ
(5)
0,1014
= −6,6518
= (21,4 − 12,4237)
−0,1368
U SD
MWh
Se calcula λ(6) obteniendo
λ(6) = λ(5) + ∆λ(5) = 21,4 − 6,6518 = 14,7482
25
U SD
MWh
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Continuando con las iteraciones el proceso termina con la iteración número 7 donde el error está por debajo del
establecido como se puede ver en la Tabla 11.
Iteración 5
Iteración 6
Iteración 7
Tabla de Resultados
VALOR TEÓRICO
λ
P g1
P g2
PL
21.4
1.9433 3.0 0.0447
14.7482 1.0792 3.0 0.0389
22.1357 2.0380 3.0 0.0458
ε
0.1014
0.9597
0.0078
Tabla 11: Tabla de resultados por iteraciones. Fuente: Elaboración propia.
Como el valor del error ya está por debajo del establecido inicialmente, además las potencias generadas de cada
planta ya están dentro de sus lı́mites de operación, se procede a cálcular los costos de cada generadora y el
costo total de operación. Los datos de las potencias calculadas deben ser multiplicadas por la potencia base del
sistema.
U SD
0,074
2
(203,8) + (6,6)(203,8) + 175 = 3056,8542
f1 =
2
h
0,009
U SD
f2 =
(300)2 + (8,1)(300) + 210 = 3045
2
h
Ahora se procede a calcular el costo total de operación.
fT = f1 + f2 = 3056,8542 + 3045 = 6101,8542
7.4.2.
U SD
h
Solución en SOPF
Ingresados todos los valores de los generadores y las cargas a continuación se muestran los resultados del
despacho como se ve en la Figura (18).
Figura 18: Resultados del despacho. Fuente: Elaboración propia.
Seleccionando la opción Visualizar Datos adicionales se muestran los resultados por iteración como se ve en
la Figura (19). El software realiza el despacho en 7 iteraciones, mostrando los resultados por cada una de ellas,
cumpliendo con el error definido previamente.
26
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Figura 19: Resultados del despacho por iteración. Fuente: Elaboración propia.
Para ver más detalladamente los resultados por iteración en la parte inferior aparece un botón que dice Exportar
datos como se observa en la Figura (19), esta opción permite mostrar en pantalla el compilado de las iteraciones
en un archivo excel como se puede ver en la Figura (20).
Figura 20: Resultados del despacho en Excel. Fuente: Elaboración propia.
En la Tabla 12 se muestran los resultados teóricos como los obtenidos en el programa SOPF.
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
1
2
3
4
5
6
7
λ
11.9493
13.2665
12.4555
12.4229
21.4
14.7482
22.1357
Tabla de
VALOR TEÓRICO
P g1
P g2
PL
0.7285 3.8321 0.0633
0.9103 5.0837 0.1114
0.7983 4.3164 0.0803
0.7939 4.2862 0.0792
1.9433
3.0
0.0447
1.0792
3.0
0.0389
2.0380
3.0
0.0458
Resultados
ε
0.5027
-0.8826
-0.0344
-0.0008
0.1014
0.9597
0.0078
λ
11.9493
13.2662
12.4554
12.4236
21.4
14.7676
22.1340
VALOR MATLAB
P g1
P g2
PL
0.7285 3.8321 0.0631
0,9102 5.0832 0.1112
0.7982 4.3162 0.0801
0.7939 4.2860 0.0790
1.9439
3.0
0.0442
1.0817
3.0
0.0386
2.0377
3.0
0.0453
Tabla 12: Resultados teóricos y en el programa SOPF. Fuente: Elaboración propia.
27
ε
0.5025
-0.8823
-0.0343
-0.0009
-0.1009
-0.9568
-0.0076
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
En la Tabla 13 se puede observar que uno de los mayores errores fue del 0.2571 % , lo que indica que el programa
cumple con el objetivo establecido dado que la compración entre lo teórico y lo obtenido en el programa SOPF
no superán el 1 %. Haciendo análisis a los resultados, la planta 2 al superar su lı́mite de generación se debio
despachar a su máxima potencia de generación y seguir iterando con la planta número 1 hasta que se cumpliera
con el error logrando que en la séptima iteración se cumpliera con los requerimientos exigidos como son el error
y que las plantas despacharan acorde a sus restricciones de potencia.
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
Iteración
1
2
3
4
5
6
7
Tabla de Errores
ERROR ABSOLUTO
ERROR RELATIVO
λ
P g1
P g2
PL
λ
P g1
P g2
PL
0
0.0013 0,0007 0,0109
0
0
0,0007 0,0017
0,0002 0,0052 0,0434 0,0188 0,0002
0
0
0,0017
0
0,0011 0,0143 0,0126 0.0001
0
0
0,0015
0,0007 0,0157 0,0006 0,0145
0
0
0
0,0018
0
0,0015
0
0,0422
0
0
0
0,0094
0,019 0,2571
0
0,0236 0,001 0,0023
0
0,006
0,0016 0,0256
0
0,0457
0
0,001
0
0,0099
Tabla 13: Tabla de comparación de errores. Fuente: Elaboración propia.
28
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
8.
CONCLUSIONES.
Se realiza una investigación acerca del flujo óptimo clásico, con base a minimizar los costos de generación
para el despacho hidrotérmico usando el método de los multiplicadores de lagrange. Se obtiene además el
modelo de función de costos para plantas térmicas e hidráulicas usados en el presente método.
Se desarrolla una aplicación con el objetivo de minimizar los costos de generación para el despacho hidrotérmico capaz de poder ingresar variables de entrada y mostrar de manera detallada los resultados del
correspondiente despacho.
Se realiza unos documentos guia donde se explica el desarrollo e implementación del método de optimización usado y una explicación para el manejo del respectivo programa elaborado mediante manuales de
usuario para el programa SOPF.
Se elaboran ejercicios para las distintas situaciones de despacho que puedan ocurrir, ası́ como la implementación de códigos capaces de dar una solución óptima, evidenciando errores inferiores al 1 % en
los problemas planteados donde el error más alto correspondio al 0.2571 % para un cálculo de potencia
generada en una iteración.
29
FLUJO OPTIMO CLÁSICO PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
9.
BIBLIOGRAFIA
Referencias
[1] C.D.Gonzáles, “Despacho económico de cargas en sistemas eléctricos de potencia: modelado, simulación y
análisis”. 2017
[2] J. Rizwana, R. Jeevitha, R. Venkatesh, and K. S. Parthiban, “Minimization of fuel cost in solving the power
economic dispatch problem including transmission losses by using modified Particle Swarm Optimization,”,
pp. 1–4, 2016.
[3] R. H. Bhesdadiya and I. N. Trivedi, “Stability enhancement using Grey Wolf Optimization,” pp. 232–238,
2016.
[4] V. Hinojosa and E. A. Moreno, “Flujo óptimo de potencia utilizando algoritmos evolutivos programación
en digsilent,” no. July, 2015.
[5] H. V. S. H. D. R., “Despacho económico unidades de caracteristicas no convexas empleando algoritmos
geneticos.”, 2000.
[6] K. de J. Berrio Castro, “Método de solución para el despacho económico en lı́nea considerando restricciones
y reglas de un mercado eléctrico”, p.25, 2016.
[7] D. O. D.Tamayo, A.Garcés, “Despacho económico en sistemas de potencia considerando estabilidad transitoria,” Rev. Tecnura, vol. 21, no. 51, pp. 27–41, 2015.
[8] P.E Oñate Yumbla, “Solución del problema de flujos de potencia óptimo con restricciones de seguridad por
un optimizador de particulas modificado’ ,p.99, 2008.
[9] P. Jizhong Zhu,“Optimization of power system operation.”, 1st ed. New Jersey: John Wiley and Sons, 2009.
[10] B.F.W. Allen J.Wood,“Power generation, operation and control.”, 2nd ed,. vol 1. New York: John Wiley
and Sons, 1996.
[11] D.Econ and S.EL,“Despacho Económico de Unidades Térmicas en un Sistema Eléctrico de Potencia”,
pp.1-49.
[12] G.L.V.A.H.Noyola, W.M.Grady, An optimized Procedure for Determing Incremental Heat Rate Characteristics., vol.5 ,no. 2, pp. 376-383, 1990.
[13] C.R.Freire, “Predespacho de Potencia en empresas eléctricas de distribución incluyendo generación propia”.,
Escuela Politecnica Nacional, Quito, 1993.
[14] R.Larson and B.Edwards,Cálculo 2,no.1.2014.
[15] Louis Leithold, Cálculo, 7th ed. Malibu, 1998.
[16] W.D.S.J.John j.Grainger, “ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA”, 1st.ed.1996.
[17] W.Brokering,R.Palma and L.Vargas, “Los Sistemas Eléctricos de Potencia”. p.472,2008.
[18] “https://manautomata.files.wordpress.com/2012/10/capitulo5.pdf”.
10.
ANEXOS
Parte del desarollo del presente proyecto, se elaboraron dos manuales de usuario para aprender a usar el programa
SOPF los cuales son:
Manual de usuario para el programa SOPF en el flujo óptimo clásico sin pérdidas de potencia activa.
Manual de usuario para el programa SOPF en el flujo óptimo clásico con pérdidas de potencia activa.
30