Universidad Metropolitana Dpto. de Matemáticas Modelo de Respuesta Primer Examen Parcial Matemáticas III 1.- Responde verdadero o falso siempre justificando tu respuesta a) El término general de la sucesión: b) Dada la serie c) la sucesión d) La serie , es converge si es alternante es geométrica con Solución: a) Falso: Dado que el primer término, primero término sería negativo es positivo y con la fórmula que nos dan el b) Falso. Existen muchos ejemplo de series que divergen y se cumple que una en la que el término general no sea creciente c) Falso. Para ser alternante los signos deben cambiar de un término a otro, y no es lo que sucede en este caso d) Falso. No es geométrica, esa expresión no es razón, ya que cambia a medida que cambia el [1 punto c/u] 2.- Considera la sucesión cuyo término general es: a) Determina si es monótona b) Determina una cota superior y una inferior, de ser posible c) Sin usar limite: ¿ converge? Solución: a) Para determinar la monotonía, debemos ver si es siempre creciente o siempre decreciente, para ello usaremos una función a valores reales que para coincide con Derivando tenemos Notamos que el denominador es positivo para todo número real, en particular si estudiemos el numerador, supongamos que , solo En otras palabras Por tanto es decreciente si y por consecuencia decrece para b) Se observa que siempre es positiva, por tanto podemos tomar como cota inferior a Ahora vemos si hay un máximo, al calcular la derivada tenemos Lo igualamos a De manera que y tenemos que es un valor crítico a la derecha por lo que en y a la izquierda hay un máximo y vale Así que podemos tomar como cota superior c) Dado que es acotada y decreciente, ya que para cualquier natural converge [2pts a) y b), 1 pt c)] 3.- Dadas las siguientes series, determina su convergencia a) b) c) Solución: a) Reescribamos la serie Ahora tenemos dos series para estudiar su convergencia I) es geométrica con por tanto convergente II) es telescópica Por tanto la serie telescópica converge Así converge (se puede decir a cuanto converge: ) b) Esta serie puede ser resuelta usando el criterio de la raíz ( no la vimos en clase, sin embargo quien la usó de manera correcta se le toma como buena), pero la resolveremos usando el criterio del cociente Por tanto la serie diverge, ya que el límite es infinito c) Notamos que: Por tanto la serie es divergente [2pts a) y b), 1 pt c)] 4.- Dada la serie de potencias Determina para cuales valores de converge la serie Solución: Para determinar los valores de converge la serie usaremos el criterio del cociente Donde De manera que la serie converge si Estudiemos en los extremos Si Si De manera que la serie Converge en [3 pts] 5.- A partir de Determina la serie de potencias de Solución: Antes vamos a modificar la función de manera que podamos usar la serie sugerida Ahora [3 pts]
