8 8 8 8 y N N aN N + bN N

V.C.A.F.
Hoja 7
1.- Sea (X,N N) un espacio normado .
a) Probar que la adherencia de la bola abierta es la correspondiente bola
cerrada.
b) Si Ba(r) c Bb(s), probar que r < s y que Na-bN < s-r.
2.- Probar que en todo espacio de Banach toda sucesión de bolas cerradas,
no
vacías,
y
encajadas
(e.d.
Bx
An e N)
(rn+1) c Bx (rn)
n+1
n
tienen
todas
ellas un punto en común.
3.- Sea X un espacio normado. Sea BX la bola unidad. Probar que BX es un
conjunto convexo.
4.- Poner un ejemplo de una sucesión, de sucesiones,
xn = (xkn)8k=1
n e
N,
que verifique que:
a) (xn) pertenece a l8 y l1, converge a 0 en l8, pero no converge en l1
b) (xn) pertenece a l8 y l2, converge a 0 en l8, pero no converge en l2
c) (xn) pertenece a l2 y l1, converge a 0 en l2, pero no converge en l1
d) (xn) pertenece a c0 y l2, converge en c0, pero no converge en l2.
5.- Encontrar x e c0, tal que x m lp
6.- a) Si N N1 y N N2
para todo p e [1,8).
son dos normas sobre un espacio vectorial X,
probar que las expresiones:
aN N1 + bN N2
(a,b>0)
y
unidad
cerrada
max{N N1, N N2}
definen nuevas normas sobre X.
b)
Calcular
la
bola
R2
en
en
la
norma
N N = max{N N1,2N N2}.
7.- Comprobar que en
una norma sobre
R2
N(x1,x2)Np = ( x1
1
p
1
+
x2
1
1
p)1/p,
0<p<1, no es
R2.
8.- Sea X un espacio normado separable e Y c X
cerrado. Probar que Y es separable.
un subespacio vectorial
9.- Determinar cual de los siguientes conjuntos es convexo:
1
i
1) {f e C[0,1] :
j f(t)dt = 1 }
2
0
2) {x e l8 : NxN8 e (1,2) }
8
3) {x = (xn) n=1 e c0 : xn < 1/n
An e N}
10.- Sea (X,N N) un espacio de Banach. Si A c X tiene la propiedad de que
para todo
A c F +
e > 0
existe un conjunto finito F = {x1,x2,...,xs} c X de modo que
eBX, probar que A es un conjunto precompacto (e.d. A
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es compacto).