CoordenadasPolaresCilindricasEsfericasThomas

15.4
15.4
853
Integrales dobles en forma polar
Integrales dobles en forma polar
Algunas veces, las integrales son más fáciles de evaluar si cambiamos a coordenadas polares.
Esta sección describe cómo realizar el cambio y cómo evaluar integrales sobre regiones cuyas
fronteras están dadas por ecuaciones en coordenadas polares.
Integrales en coordenadas polares
Para definir la integral doble de una función sobre una región R en el plano xy, iniciamos dividiendo a R en rectángulos cuyos lados fueran paralelos a los ejes coordenados. Ésta era la
forma natural para usarlos porque sus lados tenían valores constantes, ya sea de y o de x. En
coordenadas polares, la forma natural es un “rectángulo polar”, cuyos lados tienen valores
constantes de r y u.
Suponga que una función f(r, u) está definida sobre una región R acotada por los rayos
u 5 a y u 5 b y por las curvas continuas r 5 g1(u) y r 5 g2(u). Suponga también que
0 # g1(u) # g2(u) # a para cualquier valor de u entre a y b. Entonces R está dentro de
una región con forma de abanico Q, definida por las desigualdades 0 # r # a y a # u # b.
Observe la figura 15.21.
a 2u
Ak
ub
(rk, uk)
R
a u
r
Q
u
r g2(u)
3r
2r
ra
r g1(u)
r
up
ua
u0
0
FIGURA 15.21 La región R: g1(u) # r # g2(u), a # u # b, está contenida en la región con
forma de abanico Q: 0 # r # a, a # u # b. La partición de Q mediante arcos de circunferencia
y rayos induce una partición de R.
Dividimos a Q con una rejilla de arcos y rayos. Los arcos se obtienen de circunferencias
con centro en el origen, con radios Dr, 2Dr, …, mDr, donde Dr 5 aym, mientras que los rayos
están dados por
u = a,
u = a + ¢u,
u = a + 2¢u,
Á,
u = a + m¿ ¢u = b,
donde Du 5 (b 2 a)ym9. Los arcos y rayos dividen a Q en pequeños parches llamados “rectángulos polares”.
Numeramos los rectángulos polares que están dentro de R (sin importar el orden), llamando a sus áreas DA1, DA2, …, DAn. Sea (rk, uk) cualquier punto en el rectángulo polar cuya
área es DAk. Luego formamos la suma
Sn = a ƒsrk, uk d ¢Ak.
n
k=1
Si f es continua en R, esta suma tiende a un límite cuando refinamos la rejilla para hacer que
Dr y Du tiendan a cero. El límite se conoce como la integral doble de f sobre R. En símbolos
tenemos
lím Sn =
n: q
6
R
ƒsr, ud dA.
854
Capítulo 15: Integrales múltiples
Para evaluar este límite, primero tenemos que escribir la suma Sn de forma que exprese
a DAk en términos de Dr y Du. Por conveniencia, elegimos a rk como el promedio de los radios de los arcos interno y externo que acotan al k-ésimo rectángulo polar DAk. Así, el radio
del arco interno que acota a DAk es rk 2 (Dry2) (figura 15.22) y el radio del arco externo es
rk 1 (Dry2).
El área de un sector en forma de cuña en un círculo que tiene radio r y ángulo u es
u
rk r
2
r
rk
rk r
2
Ak
Sector pequeño
1 # 2
u r,
2
como se aprecia, si se multiplica el área del círculo pr 2, por uy2p, es decir, la fracción del
área del círculo contenido en la cuña. De esta forma, las áreas de los sectores circulares subtendidos por estos arcos en el origen son
A =
Sector grande
0
FIGURA 15.22
La observación de que
2
área del sec área del sec ¢Ak = a
b - a
b
tor más grande
tor más pequeña
Radio interior:
1
¢r
ar b ¢u
2 k
2
Radio exterior:
1
¢r
ar +
b ¢u.
2 k
2
2
nos conduce a la fórmula DAk 5 rk DrDu.
Por lo tanto,
DAk 5 área del sector grande 2 área del sector pequeño
2
=
y
�2
Al combinar este resultado con la suma que define a Sn nos da
x2 y2 4
2
R
Sn = a ƒsrk , uk drk ¢r ¢u.
n
⎛
⎛
⎝�2, �2⎝
y �2
k=1
Cuando n : ` y los valores de Dr y Du tienden a cero, estas sumas convergen a la integral
doble
x
0
2
¢r
¢r
¢u
¢u
c ark +
s2rk ¢rd = rk ¢r ¢u.
b - ark b d =
2
2
2
2
lím Sn =
n: q
Una versión del teorema de Fubini dice que el límite aproximado por estas sumas puede evaluarse por integraciones sencillas repetidas con respecto a r y u como
y
r sen y �2
o
r �2 csc Sale en r 2
L
Entra en r �2 csc (b)
2
�2
0
ƒsr, ud dA =
R
0
y
6
R
El máximo es .
2
L
yx
R
El mínimo es .
4
x
(c)
FIGURA 15.23 Determinación de los
límites de integración en coordenadas
polares.
ƒsr, ud r dr du.
R
(a)
2
6
x
u=b
r = g2sud
Lu = a Lr = g1sud
ƒsr, ud r dr du.
Determinación de los límites de integración
El procedimiento para calcular los límites de integración en coordenadas rectangulares funciona para las coordenadas polares. Para evaluar 4R ƒsr, ud dA sobre una región R en coordenadas polares integrando primero con respecto a r y luego con respecto a u, se realizan los
siguientes pasos.
1.
2.
3.
Elabore un bosquejo. Elabore un bosquejo de la región y marque las curvas de la frontera
(figura 15.23a).
Determine los límites de integración en r. Imagine un rayo L que parte del origen y que
corta a R en la dirección creciente de r. Marque los valores de r donde L entra y sale de R.
Éstos son los límites de integración en r. Estos límites por lo general dependen del ángulo
u que forma L con el semieje positivo x (figura 15.23b).
Determine los límites de integración en u. Obtenga los valores mínimo y máximo de u que
acotan a R. Éstos son los límites de integración en u (figura 15.23c). La integral iterada
polar es
6
R
ƒsr, ud dA =
u = p>2
r=2
Lu = p>4 Lr = 22 csc u
ƒsr, ud r dr du.
15.4
855
EJEMPLO 1
Determine los límites de integración para integrar f(r, u) sobre la región R que
está dentro de la cardioide r 5 1 1 cos u y fuera de la circunferencia r 5 1.
y
2
Integrales dobles en forma polar
r 1 cos Solución
1
2
–
2
1.
2.
x
3.
L
Entra
en
r1
Sale en
r 1 cos Primero trazamos la región y marcamos las curvas frontera (figura 15.24).
En seguida obtenemos los límites de integración en r. Un rayo típico que sale del origen
entra a R cuando r 5 1 y sale cuando r 5 1 1 cos u.
Al final, encontramos los límites de integración en u. Los rayos desde el origen que cortan
a R varían desde u 5 2py2 hasta u 5 py2. La integral es
L-p>2 L1
p>2
FIGURA 15.24 Determinación de los
límites de integración en coordenadas polares
para la región del ejemplo 1.
1 + cos u
ƒsr, ud r dr du.
Si f(r, u) es una función constante cuyo valor es 1, entonces la integral de f sobre R es el
área de R.
Área en coordenadas polares
El área de una región cerrada y acotada R en el plano de coordenadas polares es
Área diferencial en coordenadas polares
A =
dA = r dr du
6
r dr du.
R
Esta fórmula del área es congruente con todas las fórmulas anteriores, no obstante, no lo
demostraremos.
y
Sale en
r �4 cos 2
4
x
Entra en
r0
–
4
EJEMPLO 2
Obtenga el área encerrada en la lemniscata r 2 5 4 cos 2u.
Solución
Graficamos la lemniscata para determinar los límites de integración (figura 15.25)
y vemos, a partir de la simetría de la región, que el área total es cuatro veces la porción del primer cuadrante.
r2 4 cos 2
FIGURA 15.25 Para integrar sobre
la región sombreada, variamos r de 0 a
24 cos 2u y u de 0 a py4 (ejemplo 2).
L0
L0
p>4
A = 4
L0
24 cos 2u
r dr du = 4
c
r = 24 cos 2u
r2
d
2 r=0
du
p>4
p>4
= 4
L0
p>4
2 cos 2u du = 4 sen 2u d
0
= 4.
Cambio de integrales cartesianas a integrales polares
El procedimiento para cambiar una integral cartesiana 4R ƒsx, yd dx dy a una integral polar
implica dos pasos. Primero, en la integral cartesiana se sustituye x 5 r cos u y y 5 r sen u, y
remplazamos dx dy por r dr du. Luego, obtenemos los límites de integración de ambas coordenadas polares para la frontera de R. La integral cartesiana se convierte entonces en
6
R
ƒsx, yd dx dy =
6
ƒsr cos u, r sen ud r dr du,
G
donde G representa la misma región de integración descrita ahora en coordenadas polares.
Esto es como el método de sustitución del capítulo 5, excepto que ahora se sustituyen dos variables en vez de una. Observe que el área diferencial dx dy no se sustituye por dr du, sino por
r dr du. En la sección 15.8 estudiaremos de manera más general los cambios de variables (sustituciones) en integrales múltiples.
856
Capítulo 15: Integrales múltiples
EJEMPLO 3
Evalúe
6
ex
2
+ y2
dy dx,
R
donde R es la región semicircular acotada por el eje x y la curva y = 21 - x2 (figura 15.26).
y
y �1 x2
r1
1
0
–1
0
1
Solución En coordenadas cartesianas, la integral en cuestión es una integral fácil no elemen2
2
tal y no existe un modo directo para integrar ex + y con respecto a x o a y. Sin embargo, esta
integral y otras similares son importantes en matemáticas (en estadística, por ejemplo), así
que necesitamos encontrar una manera de evaluarlas. Las coordenadas polares nos ayudan en
este caso. Al sustituir x 5 r cos u, y 5 r sen u, y remplazar dy dx por r dr du, estamos en condiciones de evaluar la integral de la siguiente manera
6
x
FIGURA 15.26 La región semicircular del
ejemplo 3 es la región
0 … r … 1,
ex
2
+ y2
L0 L0
p
dy dx =
R
=
0 … u … p.
L0
p
1
2
er r dr du =
L0
p
1
1 2
c er d du
2
0
p
1
se - 1d du = se - 1d.
2
2
2
La r en r dr du era justo lo que necesitábamos para integrar er . Sin esto, no hubiéramos podido
obtener con facilidad la antiderivada para la primera integral iterada (la más interna).
EJEMPLO 4
Evalúe la integral
1
L0 L0
Solución
1
ax2 21 - x2 +
(1 - x2)3>2
b dx,
3
una integral difícil de evaluar sin tablas.
Las cosas mejoran si cambiamos la integral original a coordenadas polares. La región de
integración en coordenadas cartesianas está dada por las desigualdades 0 … y … 21 - x2 y
0 # x # 1, lo que corresponde al interior de un cuarto del círculo unitario x 2 1 y 2 5 1 en el
primer cuadrante. (Observe el primer cuadrante de la figura 15.26). Al sustituir las coordenadas polares x 5 r cos u, y 5 r sen u, 0 # u # py2 y 0 # r # 1, y remplazar dx dy por r dr du
en la integral doble, obtenemos
z
z 9 x2 y2
1
L0 L0
21 - x2
(x 2 + y 2) dy dx =
L0
=
L0
p>2
p>2
L0
1
(r 2) r dr du
r=1
r4
c d
du =
4 r=0
L0
p>2
p
1
du = .
4
8
¿Por qué la transformación a coordenadas polares es tan efectiva aquí? Una razón es que
x 2 1 y 2 se simplifica a r 2. Otra es que los límites de integración se vuelven constantes.
–2
x
(x 2 + y 2) dy dx.
La integración con respecto a y nos da
L0
9
21 - x2
2
x2 y2 1
2
y
FIGURA 15.27 La región sólida del
ejemplo 5.
EJEMPLO 5 Determine el volumen de la región sólida limitada arriba por el paraboloide
z 5 9 2 x 2 2 y 2 y abajo por el círculo unitario en el plano xy.
La región de integración R es el círculo unitario x 2 1 y 2 5 1, el cual se describe en
coordenadas polares por r 5 1, 0 # u # 2p. La región sólida se representa en la figura 15.27.
El volumen está dado por la integral doble
Solución
15.4
6
s9 - x2 - y2 d dA =
R
=
Integrales dobles en forma polar
2p
L0 L0
1
2p
1
L0 L0
2p
=
L0
=
17
4 L0
857
s9 - r2 d r dr du
s9r - r3 d dr du
r=1
9
1
c r2 - r4 d
du
2
4
r=0
2p
du =
17p
.
2
EJEMPLO 6 Usando integración polar, calcule el área de la región R en el plano xy encerrada
en la circunferencia x 2 1 y 2 5 4, arriba de la recta y 5 1, y abajo de la recta y 5 13x.
y
Solución En la figura 15.28 se presenta una gráfica de la región R. Observe primero que la
recta y 5 13x tiene una pendiente 13 5 tan u, de manera que u 5 py3. En seguida observe
que la recta y 5 1 interseca a la circunferencia x 2 1 y 2 5 4 cuando x 2 1 1 5 4, o x 5 13.
Aún más, la recta radial desde el origen que pasa por el punto ( 13, 1) tiene una pendiente 1y 13 5 tan u con un ángulo de inclinación u 5 py6. Esta información se muestra en la
figura 15.28.
Ahora, para la región R, cuando u varía de py6 a py3, la coordenada polar r varía desde
la recta horizontal y 5 1 hasta el círculo x 2 1 y 2 5 4. Al sustituir r sen u por y en la ecuación para la recta horizontal, tenemos que r sen u 5 1, o r 5 csc u, la cual es la ecuación polar
de la recta. La ecuación polar de la circunferencia es r 5 2. De esta forma, en coordenadas
polares, para py6 # u # py3, r varía de r 5 csc u a r 5 2. Se deduce que la integral iterada del
área nos da
y �3x
2
(1, �3)
y 1, o
r cscu
R
1
(�3, 1)
p 2
p 3 x y2 4
6
1
2
0
x
FIGURA 15.28 La región R en el
ejemplo 6.
6
R
2
Lp>6 Lcsc u
p>3
dA =
r dr du
r=2
=
Lp>6
1
c r2 d
du
2
r = csc u
=
Lp>6
1
C4 - csc2 uD du
2
=
p>3
1
C4u + cot uD p>6
2
=
p - 13
1 4p
1 4p
1
b - a
a
+
+ 13b =
.
2 3
2 6
3
13
p>3
p>3
Ejercicios 15.4
Regiones en coordenadas polares
En los ejercicios 1 a 8, describa, en coordenadas polares, la región dada.
1.
3.
y
1
2.
y
�3
y
9
4
–1
0
4.
y
9
x
1
0
4
x
0
1
x
0
1
x
15.7
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
En los ejercicios 31 y 32, obtenga
a. la masa del sólido.
875
z
b. el centro de masa.
Lc.m.
c. los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados.
31. Un cubo sólido en el primer octante está acotado por los planos coordenados y los planos x 5 1, y 5 1 y z 5 1. La densidad del cubo
es d(x, y, z) 5 x 1 y 1 z 1 1.
L
v xi yj
hi
32. Una cuña como la del ejercicio 22 tiene las dimensiones a 5 2, b 5 6
y c 5 3. La densidad es d(x, y, z) 5 x 1 1. Observe que si la densidad es constante, el centro de masa será (0, 0, 0).
33. Masa Determine la masa del sólido acotado por los planos
x 1 z 5 1, x 2 z 5 21, y 5 0 y la superficie y 5 2z. La densidad del sólido es d(x, y, z) 5 2y 1 5.
34. Masa Calcule la masa de la región sólida acotada por las superficies parabólicas z 5 16 2 2x2 2 2y2 y z 5 2x2 1 2y2 si la densidad
del sólido es dsx, y, zd = 2x2 + y2 .
Teoría y ejemplos
Teorema del eje paralelo Sea Lc.m. una recta que pasa por el centro de
masa de un cuerpo de masa m, y sea L una recta paralela a h unidades
de distancia desde Lc.m.. El teorema del eje paralelo dice que los momentos de inercia Ic.m. e IL del cuerpo con respecto Lc.m. satisfacen la ecuación
IL = Ic.m. + mh2.
(2)
Como en el caso bidimensional, el teorema ofrece una manera rápida de
calcular un momento cuando se conocen el otro momento y la masa.
35. Demostración del teorema del eje paralelo
a. Demuestre que el primer momento de un cuerpo en el espacio
con respecto a cualquier plano que pase por el centro de masa
del cuerpo es cero. (Sugerencia: Coloque el centro de masa del
cuerpo en el origen y suponga que el plano es el plano yz.
¿Qué le dice entonces la fórmula x 5 MyzyM?).
D
x
(h, 0, 0)
b. Para demostrar el teorema del eje paralelo, coloque el cuerpo
con su centro de masa en el origen, con la recta Lc.m. a lo largo
del eje z y la recta L perpendicular al plano xy en el punto (h, 0,
0). Sea D la región del espacio ocupada por el cuerpo. Luego,
con la notación de la figura,
IL =
9
ƒ v - hi ƒ 2 dm.
D
Desarrolle el integrando de esta integral y complete la demostración.
36. El momento de inercia con respecto a un diámetro de una esfera sólida
de densidad constante y radio a es (2y5)ma2, donde m es la masa de la
esfera. Obtenga el momento de inercia con respecto a una recta tangente a la esfera.
37. El momento de inercia del sólido del ejercicio 21 con respecto al eje z
es Iz 5 abc(a2 1 b2)y3.
a. Use la ecuación (2) para determinar el momento de inercia del
sólido con respecto a la recta paralela al eje z que pasa por el
centro de masa del sólido.
b. Use la ecuación (2) y el resultado del inciso a) para obtener el momento de inercia del sólido con respecto a la recta x 5 0, y 5 2b.
38. Si a 5 b 5 6 y c 5 4, el momento de inercia de la cuña sólida del
ejemplo 22 con respecto al eje x es Ix 5 208. Calcule el momento de
inercia de la cuña con respecto a la recta y 5 4, z 5 24y3 (la orilla
del extremo de la cuña es angosta).
Integración en coordenadas cilíndricas
P(r, u, z)
Para obtener las coordenadas cilíndricas en el espacio combinamos las coordenadas polares del
plano xy con el eje z. Esto asigna a todos los puntos en el espacio una o más ternas de coordenadas de la forma (r, u, z), como se muestra en la figura 15.42.
z
0
r
y
x
y
c.m.
Cuando un cálculo en física, ingeniería o geometría implica un cilindro, un cono o una esfera,
con frecuencia simplificamos nuestro trabajo usando coordenadas cilíndricas o esféricas, las cuales se presentan en esta sección. El procedimiento para hacer la transformación a estas coordenadas y evaluar las integrales triples resultantes es similar a la transformación a coordenadas
polares en el plano estudiada en la sección 15.4.
z
u
i
vh
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
15.7
x
(x, y, z)
y
FIGURA 15.42 Las coordenadas cilíndricas
de un punto en el espacio son r, u y z.
DEFINICIÓN Las coordenadas cilíndricas representan un punto P en el espacio
mediante ternas de coordenadas (r, u, z) donde
1. r y u son las coordenadas polares de la proyección vertical de P sobre el plano xy.
2. z es la coordenada vertical rectangular.
876
Capítulo 15: Integrales múltiples
Los valores de x, y, r y u en coordenadas rectangulares y cilíndricas están relacionados por
las ecuaciones usuales.
Ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las
cilíndricas (x, u, z)
x = r cos u,
y = r sen u,
r2 = x2 + y2,
z
u u0,
r y z varían
z z0,
r y u varían
z0
r = 4
p
u =
3
z = 2.
y
u0
r a,
u y z varían
x
FIGURA 15.43 Ecuaciones con
coordenadas constantes en coordenadas
cilíndricas producen cilindros y planos.
tan u = y>x
En coordenadas cilíndricas, la ecuación r 5 a describe no sólo una circunferencia en el
plano xy, sino todo un cilindro alrededor del eje z (figura 15.43). El eje z está dado por r 5 0.
La ecuación u 5 u0 describe al plano que contiene al eje z y forma un ángulo u0 con el semieje positivo x. Al igual que en las coordenadas rectangulares, la ecuación z 5 z0 describe un
plano perpendicular al eje z.
Las coordenadas cilíndricas son buenas para describir los cilindros cuyo eje corre a lo largo del eje z y a los planos que contienen al eje z o que son perpendiculares al mismo eje z.
Superficies como ésta tienen ecuaciones con coordenadas cilíndricas constantes:
0
a
z = z,
Cilindro, radio 4, su eje es el eje z
Plano que contiene al eje z
Plano perpendicular al eje z
Para calcular integrales triples sobre una región D en coordenadas cilíndricas, partimos la
región en n pequeñas cuñas cilíndricas, y no en cajas rectangulares. En la k-ésima cuña cilíndrica, r, u y z cambian por Drk, Duk y Dzk, y el mayor de estos números entre todas las cuñas
cilíndricas se llama la norma de la partición. Definimos la integral triple como un límite de las
sumas de Riemann aplicadas a estas cuñas. El volumen de una cuña cilíndrica DVk se obtiene al
multiplicar el área DAk de su base en el plano ru por la altura Dz (figura 15.44).
Para un punto (rk, uk, zk) en el centro de la k-ésima cuña, ya hemos calculado en coordenadas polares que DAk 5 rkDrkDuk. Entonces DVk 5 DzkrkDrkDuk y una suma de Riemann para
f sobre D tiene la forma
Sn = a ƒsrk , uk , zk d ¢zk rk ¢rk ¢uk .
n
k=1
La integral triple de una función f sobre D se obtiene considerando el límite de las sumas de
Riemann con particiones cuyas normas tienden a cero
Volumen diferencial en coordenadas
cilíndricas
lím Sn =
n: q
dV = dz r dr du
9
D
ƒ dV =
9
ƒ dz r dr du.
D
Las integrales triples en coordenadas cilíndricas se evalúan entonces con integrales iteradas,
como en el siguiente ejemplo.
z
r Δr Δu
r Δu
Δz
Δu
r
Δr
FIGURA 15.44 En coordenadas cilíndricas,
el volumen de la cuña se aproxima mediante
el producto DV 5 Dz r Dr Du.
EJEMPLO 1 Defina los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una
función f(r, u, z) sobre la región D acotada abajo por el plano z 5 0, a los lados por el cilindro
circular x2 1 (y 2 1)2 5 1 y arriba por el paraboloide z 5 x2 1 y2.
Solución
La base de D también es la proyección R de la región sobre el plano xy. La frontera
de R es la circunferencia x 2 1 (y 2 1)2 5 1. Su ecuación en coordenadas polares es
x2 + s y - 1d2 = 1
x2 + y2 - 2y + 1 = 1
r2 - 2r sen u = 0
r = 2 sen u.
15.7
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
877
La región aparece en la figura 15.45.
Determinamos los límites de integración comenzando con los límites en z. Una recta M
paralela al eje z que pasa por un punto típico (r, u) en R, entra a D en z 5 0 y sale en
z 5 x 2 1 y 2 5 r 2.
A continuación obtenemos los límites de integración en r. Un rayo L que pasa por (r, u)
partiendo del origen, entra a R en r 5 0 y sale en r 5 2 sen u.
Por último, determinamos los límites de integración en u. Cuando L barre R, el ángulo u
que forma con el semieje positivo x va desde u 5 0 hasta u 5 p. La integral es
9
L0 L0
p
ƒsr, u, zd dV =
D
2 sen u
L0
r2
ƒsr, u, zd dz r dr du.
El ejemplo 1 ilustra un buen procedimiento para determinar los límites de integración en
coordenadas cilíndricas. El procedimiento se resume como sigue.
Cómo integrar en coordenadas cilíndricas
FIGURA 15.45 Determinación de los
límites de integración para evaluar una
integral en coordenadas cilíndricas
(ejemplo 1).
Para evaluar
9
ƒsr, u, zd dV
D
sobre una región D en el espacio en coordenadas cilíndricas, integrando primero con respecto
a z, luego con respecto a r y al final con respecto a u, siga los pasos siguientes.
1.
Elabore un bosquejo. Trace la región D junto con su proyección R sobre el plano xy.
Marque las superficies y curvas que acotan a D y a R.
z
z g2(r, u)
D
r h1(u)
z g1(r, u)
y
x
R
r h2(u)
2.
Determine los límites de integración en z. Trace una recta M paralela al eje z, que pase por
un punto típico (r, u) de R. Mientras z crece, M entra a D en z 5 g1(r, u) y sale en g2(r, u).
Éstos son los límites de integración en z.
z
M
z g2(r, u)
D
r h1(u)
z g1(r, u)
y
x
R
(r, u)
r h2(u)
878
Capítulo 15: Integrales múltiples
3.
Determine los límites de integración en r. Trace un rayo L desde el origen que pase por
(r, u). El rayo entra a R en r 5 h1(u) y sale en r 5 h2(u). Éstos son los límites de integración en r.
z
M
z g2(r, u)
D
z g1(r, u)
a
b
y
u
x
r h1(u)
R
(r, u)
ub
ua
r h2(u)
L
4.
Determine los límites de integración en u. Cuando L barre R, el ángulo u que forma con el
semieje positivo x va desde u 5 a hasta u 5 b. Éstos son los límites de integración en u.
La integral es
9
ƒsr, u, zd dV =
D
z
4
z x2 y2
r2
r = h2sud
z = g2sr, ud
Lu = a Lr = h1sud Lz = g1sr, ud
ƒsr, u, zd dz r dr du.
EJEMPLO 2
Encuentre el centroide (d 5 1) del sólido encerrado por el cilindro x 2 1 y 2 5 4,
acotado arriba por el paraboloide z 5 x 2 1 y 2, y abajo por el plano xy.
Trazamos el sólido, acotado arriba por el paraboloide z 5 r 2 y abajo por el plano
z 5 0 (figura 15.46). Su base R es el disco 0 # r # 2 en el plano xy.
El centroide del sólido sx, y, zd está en su eje de simetría, en este caso, el eje z. Esto hace
que x = y = 0 . Para hallar z , dividimos el primer momento Mxy entre la masa M.
Para encontrar los límites de integración para las integrales de la masa y el momento,
continuamos con los cuatro pasos básicos. Completamos nuestro bosquejo inicial. Los demás
pasos dan los límites de integración.
Los límites en z. Una recta M paralela al eje z, que pasa por un punto típico (r, u) en la
base, entra al sólido en z 5 0 y sale en z 5 r 2.
Los límites en r. Un rayo L que pasa por (r, u) saliendo desde el origen, entra a R en r 5 0
y sale en r 5 2.
Los límites en u. Cuando L barre sobre la base, como una manecilla de reloj, el ángulo u
que forma con el semieje positivo x va desde u 5 0 hasta u 5 2p. El valor de Mxy es
Solución
M
Centroide
x2 y2 4
r2
x
u=b
y
(r, u)
L
FIGURA 15.46 El ejemplo 2 muestra cómo
encontrar el centroide de este sólido.
Mxy
r2
2p
2
2p
2 5
2p
2
2p
r2
2
z2
=
z dz r dr du =
c d r dr du
L0 L0 L0
L0 L0 2 0
=
r
dr du =
L0
L0 L0 2
2p
c
2
r6
d du =
12 0
L0
2p
32p
16
du =
.
3
3
El valor de M es
M =
L0 L0 L0
2p
=
L0 L0
2
r2
2p
dz r dr du =
r3 dr du =
L0
2p
L0 L0
4 2
2
r2
cz d r dr du
0
2p
r
c d du =
4 du = 8p.
4 0
L0
15.7
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
Por lo tanto,
z
f
z r cos f
32p 1
4
= ,
3 8p
3
Coordenadas esféricas e integración
r
y
y
x
=
M
y el centroide es (0, 0, 4y3). Observe que el centroide está fuera del sólido.
r
0
u
Mxy
z =
P(r, f, u)
x
879
FIGURA 15.47 Las coordenadas esféricas
r, f y u y su relación con x, y, z y r.
Las coordenadas esféricas ubican puntos en el espacio mediante dos ángulos y una distancia,
1
como muestra la figura 15.47. La primera coordenada, r = ƒ OP ƒ , es la distancia del punto
al origen. A diferencia de r, la variable r nunca es negativa. La segunda coordenada, f, es el
1
ángulo que OP forma con el semieje positivo z. Se requiere que esté en el intervalo [0, p].
La tercera coordenada es el ángulo u medido en coordenadas cilíndricas.
DEFINICIÓN Las coordenadas esféricas representan un punto P en el espacio
mediante la terna ordenada (r, f, u) en la que
1. r es la distancia de P al origen.
1
2. f es el ángulo que OP forma con el semieje positivo z (0 # f # p).
3. u es el ángulo de las coordenadas cilíndricas (0 # u # 2p).
f f0,
r y u varían
z
f0
P(a, f0, u0)
En los mapas de la Tierra, u se relaciona con el meridiano de un punto sobre nuestro planeta y f con su latitud, mientras que r se relaciona con la altitud sobre la superficie terrestre.
La ecuación r 5 a describe la esfera de radio a con centro en el origen (figura 15.48).
La ecuación f 5 f0 describe un cono cuyo vértice está en el origen y cuyo eje está a lo largo
del eje z. (Ampliamos nuestra interpretación para incluir el plano xy como el cono f 5 py2).
Si f0 es mayor que py2, el cono f 5 f0 se abre hacia abajo. La ecuación u 5 u0 describe el
semiplano que contiene al eje z y forma un ángulo u0 con el semieje positivo x.
Ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las coordenadas
cartesianas y cilíndricas
u0
y
x
x = r cos u = r sen f cos u,
z = r cos f,
y = r sen u = r sen f sen u,
(1)
r = 2x 2 + y 2 + z2 = 2r 2 + z 2.
FIGURA 15.48 Las ecuaciones de
coordenadas constantes en coordenadas
esféricas dan esferas, conos y semiplanos.
EJEMPLO 3 Determine una ecuación en coordenadas esféricas para la esfera x 2 1 y 2 1
(z 2 1)2 5 1.
Solución
Usamos las ecuaciones (1) para sustituir x, y y z:
x2 + y2 + sz - 1d2 = 1
r2 sen2 f cos2 u + r2 sen2 f sen2 u + sr cos f - 1d2 = 1
2
2
2
2
2
Ecuaciones (1)
2
r sen fscos u + sen ud + r cos f - 2r cos f + 1 = 1
1
r2ssen2 f + cos2 fd = 2r cos f
6447448
u u0,
r y f varían
6447448
r a,
f y u varían
r = r sen f,
1
r2 = 2r cos f
r = 2 cos f .
r 7 0
880
Capítulo 15: Integrales múltiples
El ángulo f varía desde 0 en el polo norte de la esfera hasta py2 en el polo sur; el ángulo u no
aparece en la expresión de r, reflejando la simetría con respecto al semieje z (véase la figura
15.49).
z
2
2
2
x y (z 1) 1
r 2 cos f
2
EJEMPLO 4
Determine una ecuación en coordenadas esféricas para el cono z = 2x2 + y2.
Solución 1
Use la geometría. El cono es simétrico con respecto al eje z y corta al primer
cuadrante del plano yz a lo largo de la recta z 5 y. El ángulo entre el cono y el semieje positivo z es, por lo tanto, py4 radianes. El cono consta de los puntos cuyas coordenadas esféricas tienen a f igual a py4, de manera que su ecuación es f 5 py4. (Véase la figura 15.50).
1
f
r
Solución 2
Use álgebra. Si usamos las ecuaciones (1) para sustituir x, y y z obtenemos el
mismo resultado:
y
x
z = 2x2 + y2
FIGURA 15.49 La esfera del ejemplo 3.
z
r cos f = 2r2 sen2 f
Ejemplo 3
r cos f = r sen f
r 7 0, sen f Ú 0
cos f = sen f
4
f =
r = 4
Esfera de radio 4, centro en el origen
p
3
p
u = .
3
Cono que abre hacia arriba desde el origen, formando
un ángulo de py3 radianes con el semieje positivo z
f =
y
FIGURA 15.50 El cono del ejemplo 4.
dV = r2 sen f dr df du
Sn = a ƒsrk, fk, uk d rk2 sen fk ¢rk ¢fk ¢uk .
r sen f
n
r sen f Δu
rΔf
Semiplano, acoplado con el eje z formando un ángulo
de py3 radianes con el semieje positivo x
Al calcular integrales triples sobre una región D en coordenadas esféricas, partimos la
región en n cuñas esféricas. El tamaño de la k-ésima cuña esférica, que contiene a un punto
(rk , fk , uk ), está dado por los incrementos Drk , Duk , Dfk , en r, u y f. Tal cuña esférica tiene
como aristas un arco circular de longitud rk Dfk , y otro arco circular de longitud rk sen fk Duk ;
su espesor es Drk . La cuña esférica aproxima bien un cubo de las mismas dimensiones, cuando
Drk , Duk y Dfk son pequeños (figura 15.51). Se puede demostrar que el volumen de la cuña
esférica DVk es DVk 5 rk 2 sen fk Drk Dfk Duk para un punto (rk , fk , uk ) elegido dentro de la
cuña.
La suma de Riemann correspondiente para una función f(r, f, u) es
Volumen diferencial en coordenadas
esféricas
z
0 … f … p
Las coordenadas esféricas son útiles para describir esferas con centro en el origen, semiplanos
acoplados a lo largo del eje z y conos con vértice en el origen y eje a lo largo del eje z. Superficies como éstas tienen ecuaciones con valores constantes para las coordenadas:
z �x2 y2
4
x
p
.
4
k=1
Cuando la norma de la partición tiende a cero y las cuñas esféricas son cada vez más pequeñas,
las sumas de Riemann tienen un límite si f es continua:
lím Sn =
Of
r
Δr
u
x
u Δu
FIGURA 15.51 En coordenadas esféricas,
dV = dr # r df # r sen f du
= r2 sen f dr df du.
n: q
y
9
ƒsr, f, ud dV =
D
9
ƒsr, f, ud r2 sen f dr df du.
D
En coordenadas esféricas, tenemos
dV = r2 sen f dr df du.
Para evaluar integrales en coordenadas esféricas, por lo general integramos primero con respecto a r. El procedimiento para encontrar los límites de integración es como sigue. Restringiremos nuestra atención a la integración sobre dominios dados por sólidos de revolución en
torno del eje z (o partes de ellos), tales que los límites de u y f sean constantes.
15.7
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
881
Cómo integrar en coordenadas esféricas
Para evaluar
9
ƒsr, f, ud dV
D
sobre una región D en el espacio en coordenadas esféricas, integrando primero con respecto
a r, luego con respecto a f, y por último con respecto a u, siga estos pasos.
1.
Elabore un bosquejo. Trace la región D junto con su proyección R sobre el plano xy. Marque las superficies que acotan a D.
z
r g2(f, u)
D
r g1(f, u)
R
y
x
2.
Determine los límites de integración en r. Trace un rayo M desde el origen hacia D formando un ángulo f con el semieje positivo z. Trace además la proyección de M sobre
el plano xy (llámela proyección L). El rayo L forma un ángulo u con el semieje positivo x.
Al crecer r, M entra a D en r 5 g1(f, u), y sale en r 5 g2(f, u). Éstos son los límites de
integración en r.
z
fmáx
fmín
f
M
r g2(f, u)
D
r g1(f, u)
ua
x
3.
ub
y
R θ
L
Determine los límites de integración en f. Para cualquier u dado, el ángulo f que M
forma con el eje z va desde f 5 fmín hasta f 5 fmáx. Éstos son los límites de integración
en f.
882
Capítulo 15: Integrales múltiples
4.
Determine los límites de integración en u. El rayo L barre R cuando u va de a a b. Éstos
son los límites de integración en u. La integral es
9
ƒsr, f, ud dV =
D
z
Esfera r 1
Lf = fmín
Lr = g1sf, ud
ƒsr, f, ud r2 sen f dr df du.
El volumen es V = 7D r2 sen f dr df du, la integral de f(r, f, u) 5 1 sobre D.
Para determinar los límites de integración para evaluar la integral, comenzamos bosquejando D y su proyección R sobre el plano xy (figura 15.52).
Los límites de integración en r. Trazamos un rayo M desde el origen hacia D que forme
un ángulo f con el semieje positivo z. También trazamos L, la proyección de M sobre el plano
xy, junto con el ángulo u que forma L con el semieje positivo x. El rayo M entra a D en r 5 0
y sale en r 5 1.
Los límites de integración en f. El cono f 5 py3 forma un ángulo de py3 con el semieje
positivo z. Para cualquier u, el ángulo f puede variar desde f 5 0 hasta f 5 py3.
Los límites de integración en u. El rayo L barre R cuando u va de 0 a 2p. El volumen es
Solución
Cono f p
3
R
u
x
Lu = a
r = g2sf, ud
f = fmáx
EJEMPLO 5 Calcule el volumen del “cono de helado” D cortado en la esfera sólida r # 1
por el cono f 5 py3.
M
D
u=b
L
y
FIGURA 15.52 El cono de helado del
ejemplo 5.
2p
V =
r2 sen f dr df du =
9
L0 L0
L0
p>3
D
2p
=
=
L0 L0
L0
2p
p>3
c
r2 sen f dr df du
2p p>3
r3 1
1
sen f df du
d sen f df du =
3 0
3
L0 L0
p>3
c-
1
1
cos f d
3
0
du =
L0
2p
a-
p
1
1
1
+ b du = s2pd = .
6
3
6
3
EJEMPLO 6 En el ejemplo 5, un sólido de densidad constante d 5 1 ocupa la región D.
Determine el momento de inercia del sólido con respecto al eje z.
Solución
En coordenadas rectangulares, el momento es
Iz =
9
sx2 + y2 d dV.
En coordenadas esféricas, x 2 1 y 2 5 (r sen f cos u)2 1 (r sen f sen u)2 5 r2 sen2 f. Por
lo tanto,
Iz =
9
sr2 sen2 fd r2 sen f dr df du =
9
r4 sen3 f dr df du.
Para la región del ejemplo 5, esto se convierte en
2p
Iz =
L0 L0
2p
L0
p>3
=
1
5L0 L0
=
1
5L0
2p
p>3
a-
1
r4 sen3 f dr df du =
2p
L0 L0
s1 - cos2 fd sen f df du =
1
1
1
1
+ 1 +
- b du =
2
24
3
5L0
p>3
c
1
5L0
2p
2p
r5 1
d sen3 f df du
5 0
c-cos f +
cos3 f p>3
d du
3
0
p
5
1
du =
s2pd =
.
24
24
12
15.7
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
883
Fórmulas para conversión de coordenadas
CILÍNDRICAS A
ESFÉRICAS A
ESFÉRICAS A
RECTANGULARES
RECTANGULARES
CILÍNDRICAS
x = r cos u
y = r sen u
z = z
r = r sen f
z = r cos f
u = u
x = r sen f cos u
y = r sen f sen u
z = r cos f
Fórmulas correspondientes para dV en integrales triples:
dV = dx dy dz
= dz r dr du
= r2 sen f dr df du
En la siguiente sección ofrecemos un procedimiento más general para determinar dV en
coordenadas cilíndricas y esféricas. Por supuesto, el resultado es el mismo.
Ejercicios 15.7
Evaluación de integrales en coordenadas cilíndricas
Evalúe las integrales en coordenadas cilíndricas de los ejercicios 1 a 6.
2p
1.
L0 L0 Lr
2p
3.
L0 L0
2p
5.
22 - r 2
L0
u>2p
1
L0 L0 Lr
2p
6.
1
1
2p
dz r dr du
3 + 24r 2
1>22 - r
1>2
L0 L0 L-1>2
L0 L0 Lr 2>3
4.
L0 L0
p
dz r dr du
218 - r 2
3
2.
324 - r 2
L-24 - r 2
u>p
dz r dr du
2p
9.
10.
3
L0 L0 L0
z>3
1
2z
2
24 - r 2
L0 L0
L0
b. dr dz du
3 dz r dr du
c. du dz dr
Obtención de integrales iteradas en coordenadas cilíndricas
13. Dé los límites de integración para evaluar la integral
z dz r dr du
9
ƒsr, u, zd dz r dr du
como una integral iterada sobre la región acotada abajo por el plano
z 5 0, a los lados por el cilindro r 5 cos u y arriba por el paraboloide z 5 3r2.
sr2 sen2 u + z2 d dz r dr du
14. Convierta la integral
r3 dr dz du
1
8.
2p
L-1L0 L0
1 + cos u
4r dr du dz
2p
L0 Lr - 2
a. dz dr du
2
Cambio de orden de integración en coordenadas cilíndricas
Las integrales que hemos visto hasta ahora sugieren que hay órdenes de
integración preferidos para las coordenadas cilíndricas, pero es usual que
otros órdenes funcionen y que en ocasiones sean más fáciles de evaluar.
Evalúe las integrales de los ejercicios 7 a 10.
7.
coordenadas cilíndricas que dan el volumen de D usando los siguientes órdenes de integración.
sr 2 cos2 u + z 2 d r du dr dz
L0
1
L-1L0
21 - y2
L0
x
sx 2 + y 2 d dz dx dy
en una integral equivalente en coordenadas cilíndricas y evalúe el resultado.
En los ejercicios 15 a 20, enuncie la integral iterada para evaluar
7D ƒsr, u, zd dz r dr du sobre la región D dada.
15. D es el cilindro circular recto cuya base es la circunferencia r 5 2 sen u
en el plano xy y cuya parte superior está en el plano z 5 4 2 y.
2p
z
sr sen u + 1d r du dz dr
z4y
11. Sea D la región acotada abajo por el plano z 5 0, arriba por la esfera
x2 1 y2 1 z2 5 4, y a los lados por el cilindro x2 1 y2 5 1. Enuncie
las integrales triples en coordenadas cilíndricas que dan el volumen
de la región D, usando los siguientes órdenes de integración.
a. dz dr du
b. dr dz du
c. du dz dr
12. Sea D la región acotada abajo por el cono z = 2x2 + y2 y arriba
por el paraboloide z 5 2 2 x2 2 y2. Enuncie las integrales triples en
y
x
r 2 sen