Variable aleatoria - UJAP

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ
DIRECCIÓN GENERAL DE ESTUDIOS BÁSICOS Y GENERALES
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
PROFESORA: ARGELIA PANDARES
VARIABLE ALEATORIA
Se denomina variable aleatoria a la función que adjudica eventos posibles a números reales
(cifras), cuyos valores se miden en experimentos de tipo aleatorio, en otras palabras es aquella función
que permite asignar un número real y solo uno, a cada evento elemental dentro de un espacio muestral
y se simbolizan con las últimas letras del alfabeto en mayúsculas.
Estos valores posibles representan los resultados de experimentos que todavía no se llevaron a
cabo o cantidades inciertas. Se trata de asignar un número entero o decimal, a un evento al azar;
posteriormente se determina su media aritmética, desviación típica y varianza.
Variables Aleatorias Discreta: Una variable aleatoria es discreta si los números a los que da lugar son
números enteros. La forma de calcular las probabilidades de una variable discreta es a través de la
función de probabilidad.
Variable Aleatoria Continua: Una variable es continua en caso de que los números a los que dé lugar
no sean números enteros, es decir, tengan decimales. La probabilidad de que se dé un suceso
determinado correspondiente a una variable aleatoria continua viene establecida por la función de
densidad.
Función de distribución de probabilidad:
La distribución de probabilidad es un modelo teórico que describe la forma en que varían los
resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles
resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se clasifican como
discretas o continuas: En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar solo un número
limitado de valores. En la continua, llamada función de densidad y función de distribución.
La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria
“x” asociada a un experimento aleatorio y se representa como: f(x) y es la probabilidad de que X tome
un valor x, es decir, P(X = x)
Función acumulada F(x)
La función de distribución acumulada asociada a una variable aleatoria real: X (mayúscula)
sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad, es una función matemática de la variable real: x
(minúscula); que describe la probabilidad de que X tenga un valor menor o igual que x. Intuitivamente,
asumiendo la función f como la ley de distribución de probabilidad, la función de distribución
acumulada sería la probabilidad de que la variable aleatoria “ X ” , tome valores menores o iguales a
“x”, es decir:
P (X ≤ x)
En cuanto a la representación gráfica de una variable aleatoria, se suele emplear un diagrama de
barras si la variable es discreta y una curva acumulada si la variable es continua.
Profa. Argelia Pandares
Medidas estadísticas de una variable aleatoria discreta:
* Valor Esperado: La media aritmética «μ» o valor esperado «E(X)» es un promedio ponderado de los
valores que asume la variable aleatoria cuando los pesos son las probabilidades. Es una medida de
tendencia central. Cuando se trabaja con una variable aleatoria discreta, la media o valor esperado se
calcula mediante la siguiente fórmula:
μx = E(X) = Σxi * f(X = xi)
La media μ de una variable aleatoria discreta X se encuentra al multiplicar cada posible valor de X por
su propia probabilidad y luego sumar todos los productos.
* Varianza: La varianza «V(X)», es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de una
variable aleatoria de su media y se calcula con la siguiente fórmula:
σ2 = V(X) = [Σ(xi)2 * f(xi)] * (μx)2
* Desviación típica o estándar: La desviación estándar σ es la raíz cuadrada positiva de la varianza y
mide en cuanto se aleja o se acerca los valores de la variable al valor promedio calculado «μ».
σ = √σ2
EJERCICIO:
1) Se estudia la cantidad de inasistencias de los 100 estudiantes de tres cursos durante el semestre y se
determinó la información que se muestra en la tabla. Si se denomina X = número de inasistencias
registradas en el semestre, determine el valor esperado, la varianza y la desviación típica.
X
0
1
2
3
5
6
P (X = x) 10/100 20/100 10/100 40/100 10/100 10/100
x
0
1
2
3
5
6
f(x) = P(x)
10/100 = 0,1
20/100 = 0,2
10/100 = 0,1
40/100 = 0,4
10/100 = 0,1
10/100 = 0,1
F(x)
0,1
0,3
0,4
0,8
0,9
1
x * f(x)
0
0,2
0,2
1,2
0,5
0,6
Σ [x * f(x)] = 2,7
x2
0
1
4
9
16
25
x2 * f(x)
0 * 0,1 = 0
1 * 0,2 = 0,2
4 * 0,1 = 0,4
9 * 0,4 = 3,6
25 * 0,1 = 2,5
36 * 0,1 = 3,6
Σ [x2 * f(x)] = 10,3
Cálculo del valor esperado:
μx = E(X) = Σxi * f(X = xi)
μx = E(X) = 2,7
El valor esperado es 2,7 por lo que se espera que los estudiantes falten entre 2 o 3 veces a clases, con
mayor posibilidad a que falte en 3 ocasiones.
Profa. Argelia Pandares
Cálculo de la varianza:
σ2 = V(X) = [Σ(xi)2 * f(xi)] * (μx)2
σ2 = V(X) = 10,3 * (2,7)2
σ2 = V(X) = 10,3 * 7,29
σ2 = V(X) = 3,01
La varianza es 3,01 lo que quiere decir que los datos se dispersan en promedio de la media aritmética
en 3,01 unidades cuadráticas.
Cálculo de la desviación típica:
σ = √σ2
σ = √3,01
σ = 1,735
Al ser la desviación típica igual a 1,735 se puede decir que los datos se dispersan en promedio de la
media aritmética en 1,735 unidades.
Profa. Argelia Pandares