UNIDAD 01

UNIVERSIDAD JUÁREZ
AUTÓNOMA DE TABASCO
NOMBRE DEL ALUMNO: MANUEL EDUARDO
ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL
PROFESORA: MARIA TERESA FERNANDEZ
MENA
FECHA: JULIO 2021
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
UNIDAD 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1.1Definición de límite de una función
1.2 Propiedades de los límites
1.3 Evaluación de límites
1.4 Límites infinitos y límites al infinito
1.5. Continuidad en un punto y en un intervalo
1.6 Rectas secantes y tangentes a la gráfica de una función
CONCLUSIÓN
REFERENCIAS
INTRODUCCIÓN
En esta presente Portafolio de evidencias de la materia de cálculo diferencial, explicamos
diferentes temas de la unidad uno, para una comprensión del tema de límites de
funciones haciendo uso de la definición de límite por medio de sus propiedades teniendo
en cuenta que el límite es la línea divisoria entre dos entidades o territorios sea esta línea
real o imaginaria y una función es la correspondencia entre dos conjuntos, de modo que
un elemento del primer conjunto corresponde a otro elemento único del segundo
conjunto, la cual se convertirá en una variable dependiente, así como haciendo análisis
y saber el uso correcto de cómo aplicarlas, se analizan mediante su gráfica y cómo se
comportan dichas funciones. La investigación tiene ejercicios resueltos para mejor
entendimiento de ella como también los conceptos básicos de cada tema de la unidad
definiéndolos primero para de ahí pasar analizar dichos ejercicios y resolverlos mediante
los ejercicios de practica que se realizó a para entender completamente el tema.
UNIDAD 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1.1Definición de límite de una función.
Limite
La línea divisoria entre dos entidades o territorios sea esta línea real o imaginaria. El
término proviene del latín limis, que quiere decir 'frontera' o 'borde'. Por ejemplo: "Los
Pirineos señalan el límite entre España y Francia".
En la matemática, límite se refiere a la magnitud fija en que los términos de una secuencia
se aproximan entre sí. Se utiliza en el análisis real y complejo.
Función
Representa es la correspondencia entre dos conjuntos, de modo que un elemento del
primer conjunto corresponde a otro elemento único del segundo conjunto, la cual se
convertirá en una variable dependiente.
Límite de una función
La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere
a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en
un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con
puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.
El límite de una función es el valor al que tiende ésta cuando la variable independiente
tiende a un valor a (x → a) y se escribe:
𝐿 = lim 𝑓(𝑥)
𝑋→𝑎
Límite de una función en un punto
Para ver el límite de una función en un punto, partimos de del concepto de límite.
A cualquier punto a de la recta real (valor al que tiende x), nos podemos acercar, en el
caso de la existencia del límite, tanto como queramos, tanto por su izquierda como por
su derecha. Son los límites laterales.
Al extremo derecho de la recta real, es decir, a +∞, solamente nos podemos acercar por
la izquierda; al extremo izquierdo de la recta real, es decir, a -∞, solamente nos podemos
acercar por la derecha. Ambos casos son los límites en el infinito.
En un punto de la variable x → a de una función f(x), podemos comprobar si existe el
límite y su valor, dándole valores a la variable cada vez más cercanos a a, por la izquierda
y por la derecha.
Límites laterales
Una función tiene límite si existen los dos límites laterales y éstos coinciden.
El límite de una función f(x) en a, si existe, este límite es único.
Se podrían dar valores a x cada vez más próximos a a por la izquierda o por la derecha.
Obtendremos el límite lateral por la izquierda, al que llamaremos L1 y/o el límite lateral
por la derecha, al que llamaremos L2.
Por lo tanto, para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser
iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha, L1 = L2.
Límites laterales por la izquierda
Se denomina límite por la izquierda (o límite lateral por la izquierda), al que llamaremos
L1 de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, c) y en un punto a, a la imagen,
o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a,
siendo x < a.
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿1
𝑋→𝑎−
Límites laterales por la derecha
Se denomina límite por la derecha (o límite lateral por la derecha), al que llamaremos L2
de una función f(x) definida en el intervalo abierto (a, b) y en un punto a, al valor que toma
esta función f(x), cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, pero siendo x > a.
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿2
𝑋→𝑎+
REFERENCIAS:
Martinez, A. (20 de Marzo de 2011). Función. Obtenido de Conceptodefinicion.:
https://conceptodefinicion.de/funcion/
Porto, J. P. (2011). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Obtenido de Definicion.de: https://definicion.de/limite-deuna-funcion/
1.2 Propiedades de los límites.
Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar
el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se
le denomina álgebra de los límites.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Sustitución directa
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
lim 𝑥 2 = (3)2 = 9
𝑥→3
lim (2𝑥 + 1) = 2(3) + 1 = 7
𝑥→3
EJERCICIOS DE PRACTICA
Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites.
Sabiendo que lim 𝑓(𝑥) = 3 y lim 𝑔(𝑥) =
𝑥→2
lim[3𝑋 2 + 𝑋] = lim 3𝑋 2 + lim𝑋
𝑥→4
𝑋→4
𝑥→4
𝑥→2
4
= 3(4)2 + 4 = 3(16) + 4 = 52
lim[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =3+4=7
𝑥→2
EJERCICIOS DE PRACTICA
Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por
una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado.
Sabiendo que lim 𝑓(𝑥) = 4
𝑥→2
Sabiendo que lim 𝑓(𝑥) = 3
𝑥→2
lim [31 ∙ 𝑓(𝑥)] = 31(4) = 124
lim[31 ∙ 𝑓(𝑥)] = 31(3) = 93
𝑥→2
𝑥→2
EJERCICIOS DE PRACTICA
Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de
los límites de estas.
lim [
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
] = 𝑥→𝑎
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
Sabiendo que lim 𝑓(𝑥) = 3 y lim 𝑔(𝑥) =
Sabiendo que lim 𝑓(𝑥) = 6 y lim 𝑔(𝑥) =
4
2
𝑓(𝑥) 3
=
𝑥→2 𝑔(𝑥)
4
𝑓(𝑥) 6
= =3
𝑥→2 𝑔(𝑥)
2
𝑥→2
lim
𝑥→2
𝑥→2
lim
𝑥→2
EJERCICIOS DE PRACTICA
Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites.
lim[3𝑋 2
𝑥→4
Sabiendo que lim 𝑓(𝑥) = 3 y lim 𝑔(𝑥) =
𝑥→2
2
∙ 𝑋] = lim 3𝑋 ∙ lim𝑋
𝑋→4
𝑥→4
= 3(4)2 ∙ 4 = 3(16) ∙ 4 = 292
𝑥→2
4
lim [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 3 ∙ 4 = 12
𝑥→2
EJERCICIOS DE PRACTICA
Propiedad de la función potencial: el límite de una función potencial es la potencia
del límite del base elevado al exponente:
lim[𝑓(𝑥 )]3 = [lim 𝑓(𝑥 )]3 =23 = 8
𝑥→2
𝑥→2
EJERCICIOS DE PRACTICA
Propiedad de la raíz: el límite de una raíz es la raíz del límite:
lim √
𝑥→2
2𝑥 2 + 1
2𝑥 2 + 1
2(2)2 + 1
9 √9 3
√
√
= lim
=
=√ =
=
𝑥→2 3𝑥 − 2
3𝑥 − 2
3(2) − 2
4 √4 2
REFERENCIAS:
Serra, B. R. (2018). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Obtenido de Universo Formulas:
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limite-funcion/
PERALTA, P. L. (s.f.). LIMITES. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1gina-principal/limites
1.3 Evaluación de límites.
El método de evaluación de límites consiste en evaluar en la función a la cual le queremos
hallar el límite el número al cual tiende la variable x.
Límite de una función en un punto
Para encontrar el limite se sustituye en la función el valor al que tienden las x
EJERCICIOS DE PRACTICA
1. lim(3𝑥 + 1) = 3(2) + 1 = 7
𝑥→2
3. lim5 = 5 El límite no importa si la
𝑥→3
función es una constante, la
2. lim 2𝑥 2 = 2(−4)2 = 32
𝑥→−4
4. lim(3𝑥 3 − 5𝑥 2 )(2𝑥 − 3) = (3(3)3 −
𝑥→3
respuesta es la misma constante
5(3)2 )(2(3) − 3) = 108
Limites por factorización
Se evalúa el límite remplazando y si en el caso de que el resultado sea una
indeterminación se resuelve por el método de factorización buscando el factor común.
EJERCICIO DE PRACTICA
𝑥 2 − 4 (2)2 − 4 0
=
=
𝑥→2 𝑥 − 2
2−2
0
lim
𝑥 2 − 4 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
=
=𝑥+2=4
𝑥→2 𝑥 − 2
𝑥−2
lim
Limites por racionalización
Este tipo de limites se presenta cuando aparece una raíz en el numerador o el
denominador de una función racional y está al ser evaluado el límite se vuelve cero en el
denominador.
EJERCICIO DE PRACTICA
√𝑥 − 1 (√𝑥 − 1) (√𝑥 − 1)
=
𝑥→1 𝑥 − 1
(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)
lim
lim
𝑥−1
𝑥→1 (𝑥
− 1)(√𝑥 + 1)
=
1
√1 + 1
1
=
2
REFERENCIA:
Serra, B. R. (2018). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Obtenido de Universo Formulas:
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limite-funcion/
PERALTA, P. L. (s.f.). EVALUACION DE LIMITES. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1ginaprincipal/limites/evaluacion-de-limites
1.4 Límites infinitos y límites al infinito.
Límites infinitos
Los limites infinitos son tipos de límites en los que una función 𝑓(𝑥) se hace infinita (ya
sea positiva o negativa) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda o por la derecha.
1
En este caso cuando x se aproxima o tiende a cero en la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
𝑓(𝑥) = 𝑥
x
F(x)
x
F(x)
10
0.1
-10
-0.1
5
0.2
-5
-0.2
4
0.25
-4
-0.25
3
0.333
-3
-0.333
2
0.5
-2
-0.5
1
1
-1
-1
0.5
2
-0.5
-2
0.2
5
-0.2
-5
0.1
10
-0.1
-10
0.01
100
-0.01
-100
Se observa que Tabulando la función cuando x tiende a cero por la derecha, los valores
de la función que son positivos son cada vez más grandes. Es decir, los valores de la
función aumentan. Mientras que, cuando x tiende a cero por la izquierda, los valores de
la función son negativos, son cada vez más pequeños. Es decir, los valores de la función
disminuyen.
Gráficamente en ambos casos, 𝑓(𝑥) crece o decrece sin tope, sin fronteras. Esto es, El
símbolo de infinito (∞) no significa que el límite exista, ya que no representa un número
real. Simboliza el comportamiento no acotado (sin fronteras) de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎.
De manera que, al decir que "el límite de 𝑓(𝑥)cuando 𝑥 tiende a a es infinito" se interpreta
que el límite no existe.
Límites al infinito
Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en
positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor finito
o puede diverger a infinito (límite infinito).
Veamos un caso, con un límite al infinito en la siguiente función:
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥
Su límite cuando la variable tiende a infinito es:
1
lim 𝑥 𝑥 = 1
𝑥→∞
Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a +∞. Como se ve en el
siguiente cuadro, el límite tiende a 1:
x
f(x)
10
1.2589
100
1.0471
1000
1.0069
10000 1.0009
Visto en esta gráfica:
EJERCICIOS DE PRACTICA
lim 𝑥 3 + 𝑥 5 = ∞
𝑥→∞
lim −2𝑥 = −∞
𝑥→∞
lim
1
𝑥→∞ 𝑥
=0
3𝑥 2
3
= lim
2
𝑥→∞ 5𝑥
𝑥→∞ 5
lim
REFERENCIAS:
Espinosa, D. J. (s.f.). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Obtenido de Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM:
http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m61unidad02.pdf
PERALTA, P. L. (s.f.). LIMITES INFINITOS. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1gina-principal/limites/limitesinfinitos
1.5. Continuidad en un punto y en un intervalo.
Continuidad en un punto
La continuidad en un punto estudia si una función es continua en un punto. También se puede
estudiar la continuidad en un intervalo o la continuidad lateral.
Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua
si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.
Condiciones

La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a f(a)

Existe el límite de f en el punto x = a:
Existe lim 𝑓(𝑥) => lim = lim
𝑥→𝑎

𝑥→𝑎+
𝑥→−𝑎
La imagen de a y el límite de la función en a coinciden
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la
función es discontinua en a
Ejercicio.
EJERCICIOS DE PRACTICA
Estudiar la continuidad o discontinuidad en x=1 y x=4 de la siguiente función definida
a trozos:
2−𝑥
𝑓(𝑥) = { 1
𝑥−2
𝑠𝑖 − ∞ < 𝑥 < 1
𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑠𝑖 4 < 𝑥 < ∞
Veamos primero si es continua en x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:
La función f existe en 1 y su imagen es:
F(1)=1
Existe el límite de f en el punto x = 1:
lim 𝑓(𝑥) = lim 2 − 𝑥 = 1
𝑥→1−
𝑥→1−
lim 𝑓(𝑥) = lim 1 = 1
𝑥→𝑥+
𝑥→1+
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) → lim 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→1−
𝑥→1+
𝑥→1
La imagen de 1 y el límite de la función en 1 coinciden:
𝑓(1) = 1 = lim 𝑓(𝑥)
𝑥→1
Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es
continua en x=1.
Ahora veamos si es continua en el punto x=4
La función f existe en 4 y su imagen es
𝑓(4) = 1
Veamos que no existe el límite de f en el punto x = 4
lim 𝑓(𝑥) = lim 1 = 1
𝑥→4−
𝑥→4−
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 − 2 = 2
𝑥→4+
𝑥→4+
lim 𝑓(𝑥) = 1 ≠ 2 = lim (𝑓𝑥) → 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim𝑓(𝑥)
𝑥→4−
𝑥→4+
𝑥→4
Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4.
Por lo tanto, la función f es continua en x=1 pero discontinua en x=4.
Continuidad en un intervalo.
Continuidad en (a,b)
una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en todo punto
interior de (a,b).
Ejemplos:
CONTINUIDAD EN [𝑎, 𝑏]
Una función f es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es continua en (a, b) y además
continua a la derecha de a
(lím f (x) = f (a) )
y
a
la
izquierda de b (
).
Ejemplo:
Continuidad en [𝒂, b)
Una función f es continua en un intervalo semiabierto [𝑎,b), si es continua en (a, b) y
además continua a la derecha de a.
Ejemplo:
Continuidad en (a, 𝒃]
Una función f es continua en un intervalo semiabierto (a, 𝑏], si es continua en (a, b) y
además continua a la izquierda de b.
Ejemplo:
REFERENCIAS:
Muños, M. V. (s.f.). Continuidad de funciones. Obtenido de DSpace:
https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/2/1486.pdf
Internet, A. (15 de Mayo de 2015). Continuidad de una función en un punto y en un intervalo abierto, y
cerrado. Obtenido de Academia Internet:
https://www.youtube.com/watch?v=rI2EMhRAr2g&t=337s
PERALTA, P. L. (s.f.). CONTINUIDAD EN UN PUNTO. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1ginaprincipal/limites/continuidad-en-un-punto
1.6 Rectas secantes y tangentes a la gráfica de una
función.
Una recta secante es aquella recta que corta a una curva en dos puntos (al menos), a
medida que estos dos puntos elegidos se van acercando la recta secante tiende a
convertirse en una recta tangente.
Una recta tangente es aquella recta que se “apoya” en un punto de una curva,
manifestando cual es la dirección que toma la curva para ese punto.
Cuando h tiende a 0, o lo que es lo mismo cuando Q tiende a P, la recta secante se
convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta tangente
será:
Ejercicio:
Dada la función f(x)=8x-x2-10, calcular la ecuación de la recta tangente a su gráfica en
el punto de abscisa x=3.
Tenemos la función f(x)=8x-x2-10
Calculamos su derivada: f'(x)=8-2x
Necesitamos:
Un punto x o= 3 yo = f(xo) = 8·3-32-10 = 5 P(3,5)
y la pendiente: m = f'(xo) = f'(3) = 8-2·3=2
La ecuación de la recta tangente será pues:
y-5=2(x-3), despejando y=2x-1
REFERENCIAS:
Wajs, E. (2013). Recta Secante y Tangente . Obtenido de campus.ort:
http://campus.ort.edu.ar/descargar/articulos/422336/
PERALTA, P. L. (s.f.). CONTINUIDAD EN UN PUNTO. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1ginaprincipal/limites/continuidad-en-un-punto
CONCLUSIÓN
En este trabajo del portafolio se presentó todos los temas de la unidad uno abarcando lo
que es principalmente límites y continuidad de funciones como tema general de la
materia, todo este trabajo toco los temas derivados del general, los cuales son definición
de límite de una función, propiedades de los límites, evaluación de límites, límites infinitos
y límites al infinito, continuidad en un punto y en un intervalo, rectas secantes y tangentes
a la gráfica de una función. Todos los temas van relacionados de la mano manejando un
papel fundamental para el desarrollo de cada uno, para así calcular límites de funciones
haciendo uso de la definición de límite y por medio de sus propiedades, por la presente
concluimos que estos temas son base fundamental para la siguiente unidad, así como
también para temas de la carrera siendo fundamental para materias complementarias de
esta, así como la base.
REFERENCIAS
Espinosa, D. J. (s.f.). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Obtenido de Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM:
http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m61unidad02.pdf
Internet, A. (15 de Mayo de 2015). Continuidad de una función en un punto y en un intervalo abierto, y
cerrado. Obtenido de Academia Internet:
https://www.youtube.com/watch?v=rI2EMhRAr2g&t=337s
Martinez, A. (20 de Marzo de 2011). Función. Obtenido de Conceptodefinicion.:
https://conceptodefinicion.de/funcion/
Muños, M. V. (s.f.). Continuidad de funciones. Obtenido de DSpace:
https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/2/1486.pdf
PERALTA, P. L. (s.f.). CONTINUIDAD EN UN PUNTO. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1ginaprincipal/limites/continuidad-en-un-punto
PERALTA, P. L. (s.f.). EVALUACION DE LIMITES. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1ginaprincipal/limites/evaluacion-de-limites
PERALTA, P. L. (s.f.). LIMITES. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1gina-principal/limites
PERALTA, P. L. (s.f.). LIMITES INFINITOS. Obtenido de EJERCICIOS PARA RESOLVER:
https://sites.google.com/view/resuelva-para-aprender/p%C3%A1gina-principal/limites/limitesinfinitos
Porto, J. P. (2011). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Obtenido de Definicion.de: https://definicion.de/limite-deuna-funcion/
Serra, B. R. (2018). LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Obtenido de Universo Formulas:
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limite-funcion/
Wajs, E. (2013). Recta Secante y Tangente . Obtenido de campus.ort:
campus.ort.edu.ar/descargar/articulos/422336/