Cálculo Tensorial para Física: Introducción y Métodos

Métodos para la Física.
I. Introducción al Cálculo Tensorial
Antonio Hernández Cabrera
Pilar Aceituno Cantero
Departamento de Física Básica. Universidad de La Laguna
16 de febrero de 2009
2
Índice general
I
Tensores
9
1. INTRODUCCIÓN
11
2. INDICES
15
2.1. Reglas para índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Índices mudos . . .
2.1.2. Índices libres o …jos
2.1.3. Contracción . . . .
2.2. Conexión entre índices y la
2.3.
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notación matricial
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Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Cambio de miembro en una igualdad. . . . . . . . . . . . . . . 18
3. ESPACIOS VECTORIALES
21
3.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Subespacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Relaciones entre subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4. Sistema libre. Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5. Variedad lineal L=[x1 :::xp ] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6. Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. APLICACIONES MULTILINEALES: ESPACIOS DUALES
4.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Condición necesaria y su…ciente para de…nir una aplicación
p-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Conjunto de las aplicaciones p-lineales. . . . . . . . . . . . . .
3
25
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4
ÍNDICE GENERAL
4.4. Cambio de base y de coordenadas contravariantes. . . . . . . 29
n
4.5. Espacios particulares del L[V1n1 ::::Vp p ; W m ] . . . . . . . . . . 30
5. PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOS VECTORIALES
5.1. De…nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
5.2. Producto tensorial de los vectores x1 2 V1n1 ; :::; xp 2 Vp p . . .
5.3. De…nición de tensor general . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Relación entre tensores y funciones p-lineales . . . . . . . . .
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6. TENSORES HOMOGÉNEOS DEFINIDOS EN V n (K).
6.1. Potencia tensorial de un V n (K): . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Potencia tensorial generalizada de orden r de un V n (K): . .
6.3. Tensor homogéneo T de…nido en V n (K): . . . . . . . . . . .
6.4. Sistema de componentes de…nido en V n (K): . . . . . . . . .
6.5. Criterios de tensorialidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1. Si veri…can las relaciones tensoriales matricialmente. .
6.5.2. Leyes del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. ÁLGEBRA TENSORIAL HOMOGÉNEA Y MODULAR
45
7.1. Suma y producto por escalar de tensores homogéneos. . . . . . 45
7.2. Contracción y producto contraído de sistemas de componentes
de…nidos en V n (K): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3. Tensores modulares o pseudotensores de…nidos en V n (K) . . . 46
8. TENSORES SIMÉTRICOS Y HEMISIMÉTRICOS
49
8.1. De…nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V n (K)
9.1. Fórmulas de generalizadas y desarrollos de determinantes.
9.1.1. 1) ti1 :::ip :::ir es hemisimétrico en un grupo de índices .
9.1.2. 2) ti1 :::ip :::ir es hemisimétrico en un grupo de índices .
9.1.3. 3) Desarrollo de un determinante . . . . . . . . . . .
9.2. Producto exterior de p vectores x1 ; :::; xp 2 V n . . . . . . . .
9.2.1. De…nición y naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2. Componentes de x1 ^ ::: ^ xp . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3. Hemisimetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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52
52
52
ÍNDICE GENERAL
5
(p)
(p)
9.2.4. Álgebra exterior Vn o n , de orden p, contravariante,
homogénea, de…nida en V n (K) . . . . . . . . . . . . . 52
(n)
9.2.5. Caso p = n, Vn . Tensores hemisimétricos de orden n. 53
(p)
9.2.6. Cambio de base asociada y de componentes en Vn . . 53
9.3. Producto exterior de funciones lineales (vectores de V n ) . . . 54
9.3.1. De…nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2. Naturaleza: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3. Hemisimetrías: . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Algebra exterior homogénea, covariante, de orden p.
9.4.1. De…nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(p)
9.4.2. Base de Vn asociada a ei : . . . . . . . . .
9.4.3. Caso p = n: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(p)
9.4.4. Cambio de base y componentes en Vn : .
9.5. Producto exterior de tensores. . . . . . . . . . . . .
9.5.1. De…nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Sistema de componentes p y " en V n (k). . . . . .
9.6.1. De…nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS Y EUCLÍDEOS
10.1. De…nición de producto escalar. . . . . . . . . . . .
10.2. Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Propiedades que no cumple el producto escalar. .
10.4. Matriz de Gramm de un sistema de vectores. . . .
10.4.1. De…nición: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2. Propiedades: . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Norma y módulo de un vector. . . . . . . . . . . .
10.6. Sistemas equivalentes de vectores en V n (K). . . .
10.7. Expresión analítica del producto escalar. . . . . .
10.8. Condiciones de Gei : . . . . . . . . .
10.9. Cambio de base para Gei : . . . . .
10.10.Coordenadas covariantes en En : . .
10.11.Base recíproca. . . . . . . . . . . .
10.11.1.Propiedad fundamental . . .
10.12.Expresiones del producto escalar en
. .
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En :
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6
ÍNDICE GENERAL
10.13.Cambio de base recíproca y de coordenadas covariantes en En :
10.14.Producto vectorial, producto mixto.
63
63
11.DUALIDAD EN UN En
67
11.1. Dualidad normal En En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11.2. Dualidad generalizada en espacios vectoriales. . . . . . . . . . 67
11.3. Tensores modulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
11.4. Simetrías y hemisimetrías de un tensor preeuclídeo. . . . . . . 68
11.5. Tensores preeuclídeos de segundo orden particulares en En . . . 69
11.5.1. Tensor regular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11.5.2. Tensor conjugado o traspuesto de un tensor T . . . . . 69
11.5.3. Tensor recíproco o inverso T R de un tensor T 2 En En ,
regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12.ÁLGEBRA EXTERIOR EN ESPACIOS EUCLÍDEOS
75
; xp 2 En : . . . . . . . . 75
12.1. Producto exterior de p vectores x1 ;
(p)
12.2. Álgebra exterior Vn de…nida en En :p . . . . . . . . . . . . . . 76
12.3. Espacio vectorial orientado V n (K): . . . . . . . . . . . . . . . 76
1 p
12.4. Tensores g; ; + jgj; p1 ; ; p; " de…nidos en un En : . . . . 76
+ jgj
g
12.4.1. Naturalezas tensoriales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
(p)
12.4.2. Tensor adjunto TA = adj(T ) de un tensor T 2 Vn en
un En : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
^ xp ) A :
12.5. Tensor adjunto del producto exterior (x1 ^
12.6. Producto vectorial y mixto en En : . . . . . . . . . . .
12.6.1. Producto vectorial: . . . . . . . . . . . . . . .
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12.6.2. Producto mixto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13.Bibliografía:
81
ÍNDICE GENERAL
Cediendo a mi descrédito anhelante
La mesticia que tengo me defrauda,
Y aunque el favor lacónico me aplauda,
Preces indico al celestial turbante.
Ostento al móvil un mentido Atlante,
Húrtome al Lete en la corriente rauda,
Y al candor de mi sol, eclipse cauda,
Ajando voy mi vida naufragante.
Afecto aplauso de mi intenso agravio
En mi valor brillante, aunque tremendo,
Libando intercalar gémino labio.
¿Entiendes, Fabio, lo que voy diciendo?
—Y cómo si lo entiendo. —Mientes, Fabio;
Que soy yo quien lo digo y no lo entiendo.
(Rinconete y Cortadillo, de un tal Miguel de Cervantes Saavedra)
7
8
ÍNDICE GENERAL
Parte I
Tensores
9
Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
Las estructuras matemáticas que desarrollan los físicos, siguiendo principios físicos, tienen una inquietante propiedad: la ubicuidad. Pueden trasladarse
de un marco conceptual a otro, sirviendo a muchos propósitos diferentes.
Un ejemplo claro es el de la geometría no euclídea. Durante milenios los
matemáticos trataron de comprobar si los postulados de tal geometría eran
independientes entre sí, con el …n de abandonar los que no lo fueran y encontrar una forma más estética y universal. Hasta el siglo XIX no se logró este
objetivo. Cuando Carl Friedrich Gauss y colegas desarrollaron una geometría
no euclídea para un espacio curvo nadie pensó que la nueva geometría fuera
aplicable al mundo real. Más tarde, Georg Friedrich Bernhard Riemann extendió la teoría a los espacios curvos de cualquier dimensión, creando un
modelo de gran belleza (y escasa utilidad en ese momento).
Pero no fué hasta el siglo XX cuando, casi de pasada y al empezar a
desarrollar la relatividad general, Einstein se percató de que una forma de
expresar su idea de la simetría que relaciona a distintos sistemas de referencia
entre sí era ligar íntimamente la gravitación con la curvatura espacio-tiempo.
Buscando alguna teoría matemática sobre espacios curvos dió con Grossman,
quién le puso al corriente sobre los trabajos de Riemann. Las matemáticas
estaban allí esperando a que Einstein hiciera uso de ellas, aunque ni Gauss,
ni Riemann, ni el resto de los geómetras del siglo XIX sospecharan que su
trabajo pudiera servir para algo útil, como son las teorías de la gravitación.
Aún más curioso es el caso de los principios de simetría, en particular de
la simetría interna. Esta simetría impone un tipo de estructura de familias
en la lista de posibles partículas elementales. El primer ejemplo conocido fué
11
12
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
el de los nucleones que constituyen los núcleos atómicos ordinarios: protón y
neutrón. Estos tienen, más o menos, las mismas masas por lo que se supuso que las fuerzas nucleares fuertes deberían seguir alguna simetría sencilla.
Las ecuaciones que determinan estas fuerzas deberían conservar su aspecto
formal al intercambiarse un neutrón y un protón. Es decir, la fuerza repulsiva entre protón y protón debería ser análoga a la existente entre neutrón y
neutrón, aunque no determinara la existente entre protón y neutrón. La sorpresa se produjo cuando, en 1936, se comprobó que esta fuerza era la misma
para las tres opciones, lo que dió lugar a la idea de que la transformación
protón-neutrón es contínua, con partículas con probabilidades arbitrarias de
ser protón o neutrón. También se encontró que los nucleones tenían enormes
analogías con otras seis partículas, descubiertas posteriormente y conocidas
como hiperiones, de masa similar e idéntico espín. Los Físicos, al buscar
alguna herramienta útil entre la literatura matemática para describir esta
fenomenología encontraron, con enorme sorpresa, que ya existlian y estaban
catalogados todos los grupos de simetría posibles en la teoría de grupos. Son
grupos abstractos que no dependen en absoluto de lo que se transforma. Los
grupos que actúan de forma continua son los llamado grupos de Lie, debido
al matemático noruego Sophus Lie. Estos son los grupos que afectan a las
rotaciones tridimensionales ordinarias y a la teoría electrodébil. En 1960,
Gell-Mann y N’eeman descubrieron que uno de estos grupos, el SU(3), era
el adecuado para catalogar a las partículas elementales. Este grupo incluso
permite predecir si alguna familia está incompleta y determinar sus características, antes de localizar a la oveja perdida, como así ha ocurrido.
Esta teoría de grupos había sido iniciada por Evariste Galois para demostrar
que no existen soluciones generales de las ecuaciones algebráicas de quinto
y sexto orden. Posteriormente fué continuada por Lie y catalogada por Élie
Cartan. Ninguno de ellos llegó a sospechar siquiera la enorme utilidad que
tendría en física. A esto es a lo que Eugene Wigner llamó ’la irrazonable
efectividad de la matemática’, en oposición a la ’razonable ine…cacia de la
pedagogía’. Da la sensación de que, los matemáticos, de forma inconsciente,
anticiparan las necesidades de los físicos. Y esto se debe a la cerrilidad de
Agustin-Louis Cauchy que impuso el método abstracto y riguroso entre los
matemáticos, método que puede ser independiente de la experiencia y el sentido común, pero no de la estética.
Como estamos viendo, tres han sido las grandes aportaciones de la Física
a la comprensión de nuestro mundo en el siglo XX: las Simetrías (Teoría de
Grupos), la Relatividad General y la Mecánica Cuántica. Todas ellas fueron
13
aceptadas casi de inmediato en los círculos cientí…cos por su belleza formal.
Lo podemos incluso extender a la primera estructura matricial de la Mecánica Cuántica de Heisenberg que ni el mismo atinaba a explicar con claridad,
debido a su interpretación de las matrices. Fué Schrödinger quién aclaró un
poco la situación, llegando a resultados análogos pero a partir de una formulación física más clara. La Mecánica Cuántica Relativista, idea de P. Dirac,
condujo a la Electrodinámica Cuántica y posteriormente, al ir apareciendo
nuevos campos tanto en la teoría como en la experiencia, a la Cromodinámica
y a la Teoría Standard, donde las simetrías juegan un papel esencial.
(Extraído de "El sueño de una teoría …nal", de S. Weinberg, ed. Crítica.
Barcelona, 2003, y que me viene al pelo. He tratado de apañar un poco la
abominable traducción original).
Estos apuntes tratarán de dar una idea de las matemáticas necesearias
para poder desarrollar la Relatividad General y las simetrías precisas para la
Teoría Standard. Para los dos primeros puntos señalados se supone que los
alumnos tienen una base general de la Mecánica Cuántica. En principio, el
alumno puede prescindir de los primeros capítulos y empezar por la Introducción a la Teoría de Campos. Pero si alguno está especialmente interesado por
las matemáticas y carece de la fe necesaria, no está de más que ojee los capítulos iniciales. Los apuntes estarán distribuidos en tres bloques diferentes,
cálculo tensorial, introducción a la teoría de campos, y grupos contínuos.
14
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capítulo 2
INDICES
2.1.
Reglas para índices
Vamos a empezar por establecer los ’codigos’ o normas del lenguaje que
vamos a utilizar a lo largo de la asignatura. No son difíciles de aprender y
tienen una enorme utilidad para facilitar los desarrollos matemáticos. Dado
que fue Einstein el que, por razones obvias, estructuró la geometría riemanniana para que la entendieran también los físicos, seguiremos la conocida como
notación de Einstein. Esencialmente consta de dos tipos de índices:
2.1.1.
Índices mudos
Son aquellos que aparecen repetidos en un monomio. Signi…can valores
de 1 a n y sumas. Ejemplo:
ai :
b = ai :1 b1 + ::: + ai :n bn ;
(2.1)
donde el índice es mudo. Estos índices pueden cambiar su nombre de forma
conjunta sin afectar a su signi…cado. En general, no se pueden poner 3 índices
iguales en un monomio.
2.1.2.
Índices libres o …jos
Estos índices encierran varias expresiones diferentes al darles valores. Es
el caso del índice i en (1). Si i toma N valores diferentes, (1) representa N
expresiones diferentes. Si aparece un índice …jo en una expresión, tiene que
15
16
CAPÍTULO 2. INDICES
estar en todos los monomios y miembros de dicha expresión a igual altura.
Más adelante analizaremos con detenimiento el por qué de las diferentes
”alturas” o posiciones de los índices
2.1.3.
Contracción
Esta operación consiste en pasar dos índices …jos a sumatorios. Por ejempo, la contracción de los índices primero y tercero de una expresión se representa como
C13 [aij :k ] = a j :
(2.2)
El producto contraído de dos sistemas de componentes es una contracción en
su producto respecto de un índice de cada factor. Ejemplo:
C25 [ai j bk lm ] = ai
bk l :
(2.3)
Es interesante comentar en este punto que, en ordenaciones o matrices cuadradas,
la contracción coincide con la traza de la matriz.
2.2.
Conexión entre índices y la notación matricial
Un producto contraído de dos sistemas de componentes se traduce en el
producto de las matrices que representan a dicho sistema. Ejemplo:
aji = bi
c :j
(2.4)
Para realizar esta operación elegimos al azar un índice. Tomemos, por ejemplo, el índice i como representativo de las …las de la matriz aji . Como dicho
índice está en la posición de columna, hemos de trasponer la matriz A y tener
en cuenta que columna por …la siempre multiplica a derechas:
AT = B C
(2.5)
Si llamamos i a las columnas, …la por columna multiplica a izquierdas, es
decir,
A = C T BT :
(2.6)
2.3. DELTA DE KRONECKER
17
Como vemos, todas las operaciones supuestamente ’contra natura’ siempre
están relacionadas con la izquierda, lamentable error que parece tener su origen en las religiones semitas, ya que la parte izquierda representa al principio
femenino. Pero eso es otro tema.
Pongamos algunos ejemplos algo más complicados.
Ejemplo 1.
ai p j c = m j n i ;
(2.7)
aquí a denota a los elementos inversos de una matriz. Elegimos el índice j
como …la, con lo cual nos queda
PC
1
(A 1 )T = M N T
(2.8)
Ejemplo 2.
ai = b
p
c
(2.9)
i
Si tomamos a como matriz …la k a1 :::an k = k ai k, el único índice de a indicaría columna:
8
9
a
1 >
>
>
> . >
>
<
.. =
(2.10)
columna
.. > = fai g
>
>
>
.
>
>
:
;
an
En nuestro ejemplo, si hacemos i …la,
Si hacemos i columna,
2.3.
fai g = C T B T fp g
(2.11)
k ai k = k p k BC
(2.12)
Delta de Kronecker
Se de…ne como
(ij) =
:j
i
=
i
:j
=
1 si i = j
)
0 si i 6= j
j
i
= Im
(2.13)
Su forma de actuar puede expresarse a través de los siguientes ejemplos:
18
CAPÍTULO 2. INDICES
Ejemplo 1: a i aj =
Ejemplo 2: a
2.4.
i j
:
i
j:
Si i es …la ) AA
1
=I
= aji : Si i es …la ) AT I = AT
Cambio de miembro en una igualdad.
Sistema de dos componentes.
Caso I.- Cuando un índice es …jo y otro sumatorio se subraya el sistema
de componentes, dado que hay que invertirlo, y se intercambian los índices.
Además, si están a la misma altura inicialmente, se suben o bajan en bloque.
Ejemplo:
(2.14)
ai j bk = ci jk ) bk = ci jk aj i
Caso II.- Cuando ambos índices son mudos en un sistema de componentes: No se puede pasar por sí sólo dicho sistema de componentes en una
igualdad. Ejemplo:
ai :j bj
c i=d
:
) C A B = D:
(2.15)
Para cambiar de miembro en la anterior igualdad a a, previamente hay que
pasar b ) ai :j c i = d : b j . Ahora se puede pasar a mediante el proceso
anterior.
Caso III.- Cuando los dos índices son …jos. Ejemplo: ai :j bjk = cki . Los
dos índices de c son …jos, con lo que hay que auxiliarse con la de Kronecker
para pasar este sistema de componentes al primer miembro de la igualdad.
Es decir, ai :j bjk ci = k: .
2.4. CAMBIO DE MIEMBRO EN UNA IGUALDAD.
19
20
CAPÍTULO 2. INDICES
Capítulo 3
ESPACIOS VECTORIALES
3.1.
De…nición
Un espacio vectorial V (K), de…nido sobre K, es un conjunto de elementos
x; y; z, llamados vectores, que han de cumplir dos leyes de composición:
A) Ley de composición interna: V
V ! (+) ! V =x; y ! x + y. Si se
cumple esta ley, el espacio es abeliano.
B) Ley de composición externa: K V ! ( ) ! V = ; x !
x:Esta ley
tiene las siguientes propiedades:
a) Asociativa ) ( ) x = ( x)
b) Tiene elemento neutro ) 1 x = x
c) Distributiva ) ( + ) x = :x +
x,
(x + y) =
x+
y
Para las leyes anteriores se consideran conmutativos los elementos de K.
El producto neutro se de…ne de forma que si :x = 0 () = 0 _ x = 0:
3.2.
Subespacio vectorial
Es un subconjunto de un espacio vectorial que, a su vez, forma espacio
vectorial. Un subconjunto S es subespacio si todas las operaciones con sus
elementos son cerradas, es decir, si x; y 2 S )
x+
y 2 S:
3.3.
Relaciones entre subespacios.
21
22
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Se de…ne como suma de subespacios a la operación:
S1 + S2 = fx=x = x1 + x2 g ;
(3.1)
con x1 2 S1 , x2 2 S2 :Y se de…ne como suma directa de subespacios a:
S1
S2
:::
Si
:::
Sp = S1 + ::: + Si + ::: + Sp
, Si \ (S1 + ::: + Sp ) = 0 ;
(3.2)
donde en la última suma, entre paréntesis, no está incluido Si :
Los espacios suplementarios son aquellos que sumados barren al espacio vectorial total. Los subespacios S1 y S2 son suplementarios si:
S1 ; S2
V = S1 + S 2
S 1 \ S2 = 0
(3.3)
Como consecuencia, en V n , si S1 y S2 son suplementarios, las bases juntas
de ambos con…guran la base V n .
8x 2 V =) 9 alguna descomposición
Si S1 ; S2 son suplementarios ()
.
=x = x1 (2 S1 ) + x2 (2 S2 )
En general, S1 ::::Sp son suplementarios si V = S1 ::: Sp . Y, para cualquier
V n , S1 :::Sp son suplementarios si sus bases juntas conforman la base de V n :
Además, para cualquier vector x 2 V n siempre existe la descomposición
x = x1 (2 S1 ) + ::: + xp (2 Sp )
3.4.
Sistema libre. Base.
x1 ; :::; xp es un sistema libre si i xi = 0 ) i = 0 :
Base de V es el conjunto de vectores tales que
a) son generadores
:
a) son linealmente independientes
Dimensión de V: es el número de vectores de la base. Para subespacios se
cumple que dim S1 + dim S2 = dim(S1 + S2 ) + dim(S1 \ S2 ):
23
3.5. VARIEDAD LINEAL L= X 1 :::X P :
3.5.
Variedad lineal L=[x1:::xp] :
De…nición: es el conjunto de generadores [x1 :::xp ]= fx = i xi g : Una
propiedad inmediata es que una variedad lineal es subespacio vectorial, con
dim [x1 :::xp ] igual al número de vectores linealmente independientes y al
rango xi :j : Se pueden expresar mediante distintos tipos de ecuaciones. Sea
L = [x1 :::xp ] ; con los vectores linealmente independientes;
Ecuación vectorial:
8x 2 L ) x =
i
xi =
i
vi ::j ej ;
(3.4)
siendo ej base de V.
Ecuación paramétrica:
xj =
j
vi ::j ;
(3.5)
el número de parámetros v ha de coincidir con dim L:
Ecuación en implícitas: se obtiene eliminando las constantes
xi = 0, con i 2 In y j 2 Im , con lo que dim L = n rango(aj :i ):
3.6.
j
) aj :i
Cambio de base.
Sean ej y e0 j dos bases de un espacio vectorial V n . Ambas bases están
relacionadas de tal forma que podemos pasar de una a otra mediante una
matriz conocida como matriz cambio de base:
!
!
!0
!
e 0i = a::j
i e j ) f e ig = A f e j g :
!
e 0j :
e 0j ) f!
e ig = A 1 !
e i = b:i j !
(3.6)
El efecto sobre los vectores es el siguiente:
8x 2 V n ) x =
x e
x0i e0i = x0i ai e
(3.7)
Es decir, las componentes en ambas bases se relacionarán mediante:
x0i = b :i x ) x0i = AT
1
fx g ;
xp = am:p x0m ) fxp g = AT fx0m g
(3.8)
24
CAPÍTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Capítulo 4
APLICACIONES
MULTILINEALES:
ESPACIOS DUALES
4.1.
De…nición
n
Dados ”p” espacios vectoriales V1n1 (K); :::; Vp p (K) y el espacio W m (K),
se llama aplicación p-lineal ', de…nida en los anteriores espacios, a toda
aplicación (es decir, todo elemento tiene imagen única) a:
V1n1 (K)
:::
'
(4.1)
Vpnp (K) ! W m (K)= (x1 ; :::; xp ) ! ' (x1 ; :::; xp )
con la condición de p-linealidad, es decir, ' es lineal para cada vector:
'
i1
ip
xip
1 xi1 ; :::;
p
1
p
!
=
i1
1
::::
ip
p '
xi1 ; :::; xip
1
p
!
(4.2)
:
'
Como ejemplo veamos la aplicación trilineal siguiente: V12 V23 V32 ! W 3 ,
especi…cada por
25
26CAPÍTULO 4. APLICACIONES MULTILINEALES: ESPACIOS DUALES
' 3x1 + 4x2 ; x1
1
1
3x2 ; x1
2
2
2
3
1
+18' x1 ; x2 ; x2
1
2
2
3
2
9' x1 ; x2 ; x1
3
1
+ 4' x2 ; x1 ; x1
3
8' x2 ; x1 ; x2
1
3
6' x1 ; x1 ; x2
= 3' x1 ; x1 ; x1
1
2x2
3
1
2
2
3
12' x2 ; x2 ; x1
3
1
2
3
(4.3)
+ 24' x2 ; x2 ; x2 :
1
2
3
Como consecuencia, en una aplicación p-lineal, ' x1 ; :::; 0; :::; xp = 0: La
n
dimensión de V1n1 ::: Vp p es la suma de las dimensiones de cada espacio.
4.2.
Condición necesaria y su…ciente para de…nir
una aplicación p-lineal
'
n
Sea V1n1 (K) ::: Vp p (K) ! W m (K). Para poder de…nir la aplicación
se requiere conocer su actuación sobre las bases de los espacios:
(x1 ;
' xi11 ei1 ;
; xp )
!
; xipp eip
1
! ' (x1 ;
=
xi11
; xp ) =
xipp
p
ei1 ;
; eip
1
p
!
(4.4)
;
donde las componentes xi son conocidas,
con lo que se necesitan saber los
!
n1
:::
np grupos ' ei1 ; :::; eip
1
np
= 'i1 :::ip
j
j,
donde 'i1 :::ip
j
son n1
:::
p
m escalares.
4.3.
Conjunto de las aplicaciones p-lineales.
(Conjunto de aplicaciones p-lineales de…nidas en V1n ; :::; Vpn
n
W m : L V1n ; :::; Vp ; W m ):
1
y
1
p
p
4.3. CONJUNTO DE LAS APLICACIONES P-LINEALES.
27
n
1. L V1n1 ; :::; Vp p ; W m es una forma espacio vectorial, subespacio de
W m , siendo este último el espacio vectorial de las aplicaciones de V1n1 :::
np
n1
n
Vp p en W m(V1 ::: Vp ) . Hemos utilizado la notación donde AB es el conjunto
de aplicaciones de B en A.
n
2. La base de L V1n1 ; :::; Vp p ; W m , asociada al grupo de bases (ei1 ); :::; (eip );
1
p
i :::i
p
1
es el conjunto de aplicaciones p-lineales E:::::::::j
, donde i1 2 In1 ,...,ip 2 Inp , y
i1 :::ip
i1
i1
de…nidas como : E:::::::::j (ej1 ; :::; ejp ) = ::j1 ::: ::j1 j
1
p
Como consecuencia, 8' 2 L ;
' ej1 ;ej2 ;:::; ejp
1
2
p
!
= '::::::::j
j1 :::jp
j;
(4.5)
j :::j
p
1
' = '::::::::j
j1 :::jp E:::::::::j :
Problema 1.
Pasar a forma matricial:
1) a i b = d c : ei
2) a = bi cj dj i
Solución:
1) Se selecciona un índice …jo, y se toma como …la o como columna. El índice
i es …jo. Si i = f ila, entonces AT fb g = EC 1 fd g
Si i = columna, kb k A = d (C 1 )T E T
2) Como no hay índices …jos, se selecciona uno cualquiera. Si j = f ila,
a = kbi k DT fcj g. Si i = f ila, a = kcj k Dfbi g. Si i = columna, a =
kbi k DT fcj g:
Problema 2.
Simpli…car las expresiones:
1) (mij + mji )aij , siendo aij simétrico
2) (mij + mji ) ai aj
3) (mijk + mjki + mkij ) ai aj :ak
4) aijk bm ji , con A simétrica en índices 1 y 2, y B simétrica en los índices
2 y 3.
5) ( i :j k:l + i :l k:j )aik , siendo A simétrica.
Problema 3.
j,
28CAPÍTULO 4. APLICACIONES MULTILINEALES: ESPACIOS DUALES
Para los índices pertenecientes a In , con aij bi = 0, comprobar que, 8bj
y 8i; j 2 In , aij = 0:
Problema 4.
Comprobar que, si 8i; j; k 2 In , con aij bk = 0 ) aij = 0:
Problema 5.
En un espacio V 3 (R), se da el vector x = e01 + e02 e03 y el cambio de base
dado por e1 = e01 e03 ; e02 = e2 ; e03 = e01 + 2e02 . Se dan también los espacios
de…nidos por S1 = (e1 + e2 e3 ) y
2x1 + x2 + x3 = 0
S2
x1 x2 + 3x3 = 0
1) Calcular la dimensión, la base, las ecuaciones paramétricas e implícitas de
S1 ; S2 ; S1 + S2 y S1 \ S2 en la base ei :
2) Pasar x a la base ei :
3) Ecuaciones implícitas de S1 en la base e0i :
4) Buscar una base de un espacio suplementario de S1 y otra de S2 :
Solución:
1) dim S1 = 1, con la base de…nida en el enunciado. dim S2 = 1 con base
(4; 5; 3) ) v = 4e1 5e2 3e3 .
Sus ecuaciones 8
son:
< x1 = 4
paramétricas x2 = 5 .
: 3
x = 3
2x1 + x2 + x3 = 0
Las implícitas son las dadas en el enunciado, o bien
:
3x1 + 4x3 = 0
8
x1 + x3 = 0
<
1
2x + x2 + x3 = 0 , con S1 \
Para S1 \ S2 las ecuaciones en implícitas son
:
3x1 + 4x3 = 0
S2 = f0g. Por último, en forma vectorial, S1 + S2 = [e2 ; e1 e3 ; 4e1 5e2
3e3 ] = V 3 :
2) x = xi ei = x0i e0i . De donde,
x0i = b i x ) i = f ila ) fx0i g = (AT ) 1 fx g )
fx g =0
AT fx0i g
1
0
1
0
3 1
1 0
1
1 0 A
A 1=@ 0 1 0 A)A=@ 0
1
2 1
1 2 0
4.4. CAMBIO DE BASE Y DE COORDENADAS CONTRAVARIANTES. 29
9
9 8
18
0 0
1 < 1 = < 3 =
5
2 A
1
=
) x = 3e1 + 5e2 2e3 :
fx g = @ 3 1
:
; :
;
2
1 0 1
3
También se puede hacer por sustitución directa.
3) Implícitas de S10
en la base e0i : 1 8
9
0 0
1 < x01 =
2 A x02
; como x1 + x3 = 0 )
fxi g = AT fx0 g = @ 3 1
: 03 ;
x
1 0 1
01
02
03
01
x + x + x = 0 ) x = 0:
4) Para S1N tanto [e1 ] como [e2 ] o [e3 ] son suplementarios de S1 :Para S2N =
[e1 ; e2 ]:
0
4.4.
L
Cambio de base y de coordenadas contravariantes.
(Cambio de base y de coordenadas contravariantes en
n
V1n ; :::; Vp ; W m ).
p
1
n
Sea V1 ; ::::::::::; Vp ; W ! L V1n1 ; :::; Vp p ; W m y las correspondientes
i :::::::ip
0
0
bases ei1 ; :::::::::; ei2 ; j ! E 1
j : Si cambiamos a las bases ei1 ; :::::::::; ei2 ;
1
2
i :::::::ip
E1
j
mediante las matrices A1 ; :::; Ap ; D; ¿Cómo cambiará
0i :::::::i
i :::::::ip
::::
amos que E 1 jp = 1
E 1 p (I).
1 ::::: p j
::::
Por de…nición sabemos que E 1 p (ei1 ; :::::::::; ei2 ) =
1
Y que E
0i1 ::::ip
j
2
1
0
j
iP
i1
:j1 ::: :jP
(e0j1 ; :::::::::; ej2 ) =
2
1
:
1
1
2
0i1 :::::::ip
E
j ?. Supong-
:::
1
2
ip
i1
.
= : j1 :::: : jp dj :
ip
:
i1
= : j1 :::: : jp dj
1 :::: p j
0
j
E
0i1 :::::::ip
j
=b
(II).
P
:
P
:
(III). Como e0j1 = aj1 1 e 1 ,
sustituimos en las expresiones este tipo de cambio, obteniéndo,
:
i1 ::::ip
:
aj1 1 :::ajp p : 1 1 :::: : p p =
1 :::: p j
ip
i1
: j1 :::: : jp
i1 ::::ip
1
1
1
Despejando las ,
b
:j1
1
::::::b
p
1
:j1
1
1
::::::b
:jp
p
:jp
p
)
dj E
1 ::::: p
0
j
(4.6)
p
El cambio de coordenadas contravariantes se realiza de la siguiente forma:
Sea una ' genérica de L de tal forma que, en dos bases diferentes,
30CAPÍTULO 4. APLICACIONES MULTILINEALES: ESPACIOS DUALES
'='
'0i1 ::::::ip
'
E
1 :::::: p
1 :::::: p
j
b
i1
1
1 ::::: p
::::b
ip
p
= '0i1 ::::::ip
1 :::::
dj E
p
j
E
0i1 ::::::ip
j
=
=)
p
1
= '0i1 ::::::ip
j
i1
b
1
::::b
j
=)
p
1
'0i1 ::::::ip
ip
p
= ai1 1 ::::aip p dj '
1
1 :::::: p
(4.7)
:
p
Es común denominar en las componentes a los subíndices como covariantes
y a los superíndices como contravariantes. El origen de tal denominación
está en las invariancias bajo transformaciones de Lorentz (véase Grupo de
Lorentz: Relatividad).
4.5.
n
Espacios particulares del L[V1n1 ::::Vp p ; W m]
n
1. L[V1n1 ::::Vp p ; K]. Como base del cuerpo K se usa el 1, por costumbre,
aunque serviría cualquier otro número real. La base asociada sería E 1 ::::: p
donde no existe variación del subíndice …nal, por lo que se suprime en la
notación. 8f 2 L ) f = fi1 :::::ip E i1 :::::ip = f (ei1 ::::eip )
1
p
2. L[V n (K); K] V n = Espacio Dual de V n : Es el espacio de las funciones
(aplicaciones lineales) de V n (K): La base asociada a ei de V n (K) es E i e i ,
de tal forma que 8f 2 V n ) f = fi e i = f (ei ):
El cambio de base dual y de coordenadas sería:
e0 i = b i e
fi0 = ai f
(4.8)
Problema 6.
Dados los espacios vectoriales V12 (R); V23 (R); V32 (R) y W 2 (R), de bases
respectivas (ei1 );(ei2 );(ei3 ); ( j ). Se de…ne una aplicación trilineal ' : V1
1
V2
2
3
V3 ! W = '(ei ; ej ; ek ) = 'ijk
1
2
3
l
l,
siendo:
4.5. ESPACIOS PARTICULARES DEL L[V1N1 ::::VPNP ; W M ]
0
0 0
1 0 0
B
0 0
0 1 0
'ijk l = B
@
0 0
1 0 0
0 1
0 0 0
1) Hallar '(x; y; z), siendo x = e1
1
0
0
0
0
2e2 ;
1
31
8
>
>
<
1
i = f ila
j = columna
k = f ila matricial
l = columna matricial
y = e2 ; z = 2e1 e2
C
Ccon
A
>
>
:
2
3
3
2) Expresar ' en base de L[V1 ; V2 ; V3 ; W ], asociada a las bases dadas.
Problema 7.
Dado el espacio L[V 2 ; V 2 ; V 2 ; R] y el cambio de bases en V 2 (R)
1 0
2 0
fe g, se de…ne f 2 L = f (ei ; ej ; ek ) = fijk =
fe0i g =
1 1
0 0
función trilineal:
8 9 0
1
2 0
< x =
e1
y
1) Hallar f (x; y; z), siendo
=@ 0 0 A
:
e2
: ;
0 1
z
2) Expresar f en base de L asociada a ei :
3) Expresar f en base de L asociada a e0i :
4) Hallar f (e02 ; e01 ; e01 e02 ):
0 1
0 0
Problema 8.
Se da V 3 (R) con base ei . Se de…ne una función bilineal f en V 3 por
1
0
1 0 0
f (ei ; ej ) = fij = @ 0 0 2 A, con i …la y j columna.
0 2 0
1
0
1 0 1
Se da el cambio de base fe0i g = @ 0 0 1 A :
0 1 0
1) Hallar f (e1 ; e1 + e2 ):
2 Hallar f (e02 ; 2e01 e02 ):
3) Buscar la matriz de cambio de base en L2 [V 3 ; R] de la base asociada a ei
a la base asociada a e0i :
4) Expresar f en las dos bases de L2
5) Estudiar si 8(x; y) 2 V 3 ) f (x; y) = f (y; x):
Problema 9.
,
32CAPÍTULO 4. APLICACIONES MULTILINEALES: ESPACIOS DUALES
Dado V 3 (R) con base ei : Se de…ne f : V n ! K, función lineal = f (ei ) = fi ,
f (e1 ) = 5
con f (e2 ) = 0
f (e3 ) = 1
0
1
1 0 1
Se da el cambio de base fe0i g = @ 0 1 0 A fe g:
1 0
1
1) Calcular f (e1 + 2e3 ) en las dos bases.
2) Calcular f = fi e i en las dos bases.
3) Calcular e (e0j ) en forma matricial.
Problema 10.
Dados V 3 (R) y (f 1 ; f 2 ; f 3 ) 2 V 3 , con f 1 (x) = x1
2
x0
; f 2 (x) = 1
1 1 0
0
1
3
2
3
3
@
0 1 1 A fe g:
x x ; f (x) = x + x . Se da el cambio de base fei g =
1 0 1
1) Buscar la base e00i 2 V 3 de la cual la (f 1 ; f 2 ; f 3 ) es la dual en función de
ei .
2) Lo mismo en función de e0i :
3) Calcular f 2 (e01 2e03 ):
Problema 11.
Sea f , función lineal tal que f 2 Lp [V n ; :::; V n ; R], con f : V n ::: V n !
R = (x1 ; :::; xp ) ! f (x1 ; :::; xp ). Buscar la condición necesaria y su…ciente para
que
f hemisimetrica , f alternada:
Problema 12.
Sean U (K); V (K) espacios vectoriales de dimensión …nita y (u1 ; :::; up ); (v 1 ; :::; v p )
dos familias de vectores de U ; V :
1) Demostrar que la aplicación T : U V ! K = 8(u; v) 2 U V ) T (u; v) =
(ui u)(v i v);con i 2 Ip ; es una aplicación bilineal.
2) Demostrar que para toda aplicación bilineal f : U V ! K existen dos
familias (ui ; v i ) = f (u; v) = (ui u)(v i v):
una función bilineal
3) Sean U 3 (R) y V 4 (R), de bases0ei y E j . Se considera
1
1 1 2 1
f : U V ! R f (ei ; E j ) = tij = @ 0 1 1 2 A
1 0 2 0
Hallar las familias (U 1 :::U p ); (V 1 :::V p ); del apartado anterior.
4.5. ESPACIOS PARTICULARES DEL L[V1N1 ::::VPNP ; W M ]
33
34CAPÍTULO 4. APLICACIONES MULTILINEALES: ESPACIOS DUALES
Capítulo 5
PRODUCTO TENSORIAL DE
ESPACIOS VECTORIALES
5.1.
De…nición.
n
Se llama producto tensorial de los espacios vectoriales V1n1 (K); :::; Vp p (K)
de bases (ei1 ); :::; (eip ) a un nuevo espacio vectorial que se representa por
1
n
Vp p ,
V1n1
p
; :::;
tal que:
n
a) Una base de V1n1 ; :::; Vp p es el conjunto de grupos representado por
n
ei1
::: eip , que se llama base de V1n1 ; :::; Vp p asociada a las bases
1
p
(ei1 ); :::; (eip ):
1
p
n
n
b) Se de…ne una aplicación p-lineal ' de V1n1 ; :::; Vp p en V1n1 ; :::; Vp p
por '( ei1 ; :::; eip ) = ei1 :::
eip (APLICACIÓN UNIVERSAL).
1
5.2.
p
1
p
Producto tensorial de los vectores x1 2
n
V1n1 ; :::; xp 2 Vp p
Es el vector de V1 ::: Vp que se representa por x1 ::: xp , y se de…ne por
i
x1 ::: xp = ' (x1 ; :::; xp ) = (por ser ' p-lineal) = x1 i1 :::xp p (ei1 ::: eip ):
1
35
p
36CAPÍTULO 5. PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOS VECTORIALES
5.3.
De…nición de tensor general
De…nido en V1 ; :::; Vp , es todo vector T del espacio vectorial V1 ::: Vp
Ej.: x1 ::: xp de…ne a un tensor tal que,
8
i1 :::ip
(ei1 ::: eip )
>
< t
1
p
0 i :::i
siendo ti1 :::ip las compo8T 2 V1 ::: Vp ; T =
0
0
p
1
:::
e
t
(e
)
>
i1
ip
:
1
nentes de T (son las x1
ti1 :::ip (ei1
eip ) = x1 i1
:::
1
p
xp )
:::
:::
ip
xp
p
El orden p del tensor es el número de componentes de T en un determinado
n
grupo de bases = dim(V1n1 ; :::; Vp p ) = n1 ::: np
5.4.
Cambio de bases
De forma esquemática podemos representar el cambio de base como
n
n
Espacios: V1n1 ; :::; Vp p ! V1n1 ; :::; Vp p
Bases: ei1 ; :::; eip ! ei1 ::: eip
1
Matriz: # A1
:::
e0ip
p
p
e0i1 :::e0ip ! e0i1
1
e0i1
1
p
e0ip
:::
1
p
= ai1 ; :::; aip
1
1
8T 2 V1 ::: Vp =
8
>
<
0 i :::i
T =
p
1
(e0i1 :::
>
: t
p
p
(e
t
1 ::: p
p
(e
e0ip ) = t
e p)
:::
1
1
0 i :::i
p
1
1
e p)
:::
1
1
p
p
ai1 1 ; :::; aip p (e
1
p
1
1
p
:::
e p)
p
=)
0
i1
t i1 :::ip = b
1
1
ip
; :::; b
p
t
1 ::: p
;
(5.1)
p
que son las expresiones conocidas como RELACIONES TENSORIALES.
5.5. RELACIÓN ENTRE TENSORES Y FUNCIONES P -LINEALES 37
5.5.
Relación entre tensores y funciones plineales
Podemos plantearnos ahora qué relaciones existen entre los tensores y
n
las funciones p-lineales. Dados los espacios V1n1 (k); :::; Vp p (k) tenemos que
np
np
n1
n1
V1 ; :::; Vp
Lp [V1 ::::Vp ; K]
n
n
O también, V1n1 ; :::; Vp p (Lp [V1n1 ::::Vp p ; K])
Problema13.
Dado un tensor T de…nido en V12 (R); V2 3 (R) y V32 (R)
0 1 0
1 0 1
T = ti j k (ei
;
ej
ek ), siendo ti j k =
1
0
0
2
1
3
10 0 0
0
0 0 1
@
0 1 0 A ; en V1 :
y las matrices de cambios de bases en V2 :
1 1 0
1 0
en V3 :
1 1
a) Componentes de T en las nuevas bases
b) Componentes de U = (e1 2e2 ) (e1 ) (e1 e2 )
1
1
2
3
Problema 14.
Dados V1n1 ; ::::; Vrnr , estudiar si V1n1 :::: Vrnr
(Lr [V1n1 ; ::::; Vrnr ; K]) = Lr [V1n1 ; ::::; Vrnr ; K]:
1:
1 1
0 1
;
2
Lr [V1 n1 ; ::::; Vr nr ; K] =
Problema 15.
Dado T 2 V 1 (K) W m (K), con T = x1 x2 descomponible) rang(tij )
Problema 16.
Dados x 2 V n (K); y 2 W m (K), hallar la condición necesaria y su…ciente
para que x y = y x:
38CAPÍTULO 5. PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOS VECTORIALES
Capítulo 6
TENSORES HOMOGÉNEOS
DEFINIDOS EN V n(K).
CRITERIOS DE TENSORIALIDAD
6.1.
Potencia tensorial de un V n(K):
z
Es el espacio vectorial V n
ciada a ei es ei1 ::: eip :
6.2.
p
}|
:::
Potencia tensorial generalizada de orden
r de un V n(K):
Es el espacio vectorial ( V n )p1
6.3.
{
V n = ( V n )p . La base de ( V n )p aso-
( V
n q1
)
:::
( V n )pr
( V
n qr
)
Tensor homogéneo T de…nido en V n(K):
Es todo vector de la anterior potencia tensorial generalizada. El orden de
T , o de la potencia tensorial, es r = p1 + q1 + ::: + pr + qr : La especie o
varianza de T viene dado por el número de contravarianzas p = p1 +:::+pr
y el número de covarianzas q = q1 + ::: + qr :
39
40 CAPÍTULO 6. TENSORES HOMOGÉNEOS DEFINIDOS EN V N (K).
Las componentes de T en ei son las coordenadas de T en la base asociada.
Como ejemplo tengamos a V n V n V n que tiene por base ei ej e k :
Se puede expresar el tensor en cualquier otra base, ya que,
e
e )
t (e
T =
)
0ij
0ij
0
0
0 k
t k (ei ej e ) = t k ai aj b k (e
e
e )
= t0ij k ai aj b
t
k
) t0ij k = b i b
j
a
k
t
(6.1)
El número de relaciones, en un caso general, es nr , que coincide con el
número de componentes de una base y con la dimensión de la potencia tensorial.
6.4.
Sistema de componentes de…nido en V n(K):
Es un conjunto de sistemas de componentes de igual orden, de…nido en
K, asociados uno y sólo uno a cada base de V n : Un sistema de componentes
de…nido en V n (K) tiene naturaleza tensorial homogénea si pueden ser las
componentes, en cada base, de un T homogéneo; o sea, si veri…can las relaciones de cambio de base.
6.5.
Criterios de tensorialidad.
(Criterios de tensorialidad para sistemas de componentes de…nidos en V n(K)).
Son los métodos para comprobar si el sistema de componentes tiene
naturaleza tensorial. Existen varios métodos:
6.5.1.
Si veri…can las relaciones tensoriales matricialmente.
Ejemplo:
Sea T 2 V n (K): ) t0i = b
Sea T 2 V
n
V
n
t ) ft0i g = (AT ) 1 ft g
= ai t ) ft0i g = Aft g:
) t0ij = ai aj t ) (t0ij ) = A(t )AT :
i
t0i
6.5. CRITERIOS DE TENSORIALIDAD.
41
Sea T 2 V n V n ) t0ij = b i b j t t ) (t0ij ) = (AT ) 1 (t )A 1 :
Sea T 2 V n V n ) (t0i j ) = A(t )A 1 :
Sea T 2 V n V n ) (t0i j ) = (AT ) 1 (t )AT :
El sistema de componentes ; correspondiente a (ij); es la matriz identidad
I en cualquier especie.
6.5.2.
Leyes del cociente
1a ley del cociente:
Si el producto algo-contraido de un sistema de componentes T 2 V n (K) por
un tensor arbitrario U da otro tensor V ) T tiene naturaleza tensorial.
Ejemplo:
en ei componentes t(ijk)
ui j en ei
vi
Sea T
tensor arbitrario; V
;
U
en e0i componentes t0 (ijk)
u0i j en e0i
vi0
tensor resultante del producto contraído. Si se veri…ca en una ei genérica que
0
t(
) u =v
y que t0 (ijk) ui l = vj0 kl , entonces T tiene naturaleza
tensorial homogéna, de tercer orden, contra-cova-contravariante. Se demuestra haciendo el cambio de base, ya que t0 (ijk) = b i aj b k t(
):
2a ley del cociente:
Si el producto sin contraer de un sistema de componentes T 2 V n (K)
por un tensor U , no nulo, da otro tensor V ) T tiene naturaleza tensorial,
dados su orden y especie por las reglas de índices.
Ejemplo:
, T tiene naturaleza tensorial homogénea, de segundo ort( ) u = v
den, contra-covariante. Se demuestra cambiando de base, ya que t0 (ij) =
b i aj t( ):
3a ley del cociente:
Si el producto contraído en un índice de un sistema de componentes
T 2 V n (K) por un tensor U de segundo orden, regular (sus matrices son
regulares), da un tensor V ) T tiene naturaleza tensorial, dados su orden y
especie por las reglas de índices.
jk
jk
en ei
en e0i
42 CAPÍTULO 6. TENSORES HOMOGÉNEOS DEFINIDOS EN V N (K).
4a ley del cociente:
Si el producto totalmente contraído de un sistema de componentes T 2
V n (K) por un producto tensorial de vectores y funciones lineales arbitrarios
da un tensor homogéneo de orden cero (escalar intrínseco) ) T tiene naturaleza tensorial, dados su orden y especie por las reglas de índices. Tengamos
pues, en una base ei genérica, el producto t(
) x f y = k. En otra base
0
0
0 i 0
0 k
ei ; t (ijk) x fj y = k (para escalares intrínsecos k 0 = k). Esto nos indica
la naturaleza homogénea de T , de tercer orden. Mediante el cambio de base
pueden saberse las especies del tensor:
t0 (ijk) b i x aj f b k y = t(
):x f y
h
i
0
i
k
t (ijk) b
aj b
t(
) :x f y = 0; 8:x ; f ; y
|
{z
} | {z }
+
+
C(
)
hay que quitarlos por partes
=) t0 (ijk) = ai
b j ak t(
)
Un ejemplo de la aplicación de las leyes del cociente sería en V n (K);
ei ! (ij)
: Sea x un vector
el sistema de componentes de…nido por
e0i ! (ij)
cualquiera de V n de tal forma que, en ei ; (ij) xj = xi y en e0i ; (ij) x0 j =
x0 i . Como x es arbitrario, se usa la primera ley del cociente con lo que
tiene naturaleza homogénea contra-covariante. Si (ij) xi = xj ;
tiene
naturaleza homogénea cova-contravariante.
Problema 17
1 1
fe g : Sean T; U ten1 2
sores homogéneos de…nidos en V 2 , de componentes, orden y especie dados
por, en ei : ti jkl = i k l j y en e0i : u0ij = i j ;
1) Componentes de U en ei
2) Componentes de T en ei y e0i , matricialmente.
3) Componentes de C12 [T ] en ei y e0i , matricialmente. Naturaleza tensorial.
4) Componentes de C23 [T ] en ei y e0i , matricialmente. Naturaleza tensorial.
5) Componentes de C [U ] en ei y e0i , matricialmente. Naturaleza tensorial.
6) Componentes de C14 [U T ]
7) Componentes de C13 [U T ]
Dado V 2 (R); y el cambio de base fe0i g =
6.5. CRITERIOS DE TENSORIALIDAD.
43
44 CAPÍTULO 6. TENSORES HOMOGÉNEOS DEFINIDOS EN V N (K).
Capítulo 7
ÁLGEBRA TENSORIAL
HOMOGÉNEA Y MODULAR
7.1.
Suma y producto por escalar de tensores
homogéneos.
Son las operaciones del Espacio Vectorial potencia tensorial de donde
proceden vectores.
7.2.
Contracción y producto contraído de sistemas de componentes de…nidos en V n(K):
Dado un sistemna de componentes T 2 V n de componentes en dos bases
ei : t(ijk)
ei : t( j )
) C13 [T ] =
: Si T son componentes
diferentes
e0i : t0 (ijk)
e0i : t0 ( j )
de un tensor homogéneo entonces, ”si se contraen índices de distinta especie
) Cij [T ] tiene naturaleza tensorial”. Pero si se contraen índices de igual
especie, en general el resultado de la contracción no es tensorial.
Ejemplo:
45
46CAPÍTULO 7. ÁLGEBRA TENSORIAL HOMOGÉNEA Y MODULAR
Tengamos el tensor T 2 V n V n V n de componentes en dos bases
ei : tij k
ei : t j
) C13 [T ] =
diferentes
e0i : t0ij k
e0i : t0 j
, entonces, t0ij i = ai aj b i t
=(
Como t0ij k = ai aj b k t
i
2
como ai b =
) = aj t
, donde hemos sumado n componentes.
Como se puede apreciar, el resultado de la contracción consiste en reducir en
dos el orden del tensor contraído.
Producto contraído de dos tensores homogéneos es una contracción en su producto tensorial. Se realiza respecto de un índice de cada factor.
Aplicación de un tensor homogéneo a un vector. Es su producto
contraído en índices contiguos y de distinta especie. Veámoslo con un ejemplo.
Sean T 2 V n V n y x 2 V n . La aplicación como postfactor es x T =
T x = tij xj e i
serán
xi ti j ej : Si T 2 V n V n , las aplicaciones
x T = xi tij e j
iguales en simetría.
7.3.
Tensores modulares o pseudotensores de…nidos
en V n(K)
Un tensor T modular de peso ! 2 K es un sistema de componentes
de…nido en V n que veri…ca las relaciones tensoriales modulares. Veámoslo
con el siguiente ejemplo: Sea T tensor modular, de tercer orden, peso !,
contra-cova-contra, de componentes en dos bases diferentes:
ei : ti j k
. Si al hacer el cambio de bases obtenemos que
T
e0i : t0 ij k
t0
i
j
k
= jAj! bi
a
j
bk
t
;
(7.1)
T es modular de peso !. Este tipo de tensor es corriente en Electrodinámica
y en Relatividad. Si ! = 0 el tensor es homogéneo. El álgebra para tensores
modulares es idéntica a la de los homogéneos. El conjunto de los tensores
modulares de orden, especie y peso cero forman un espacio vectorial. Es
interesante anotar los siguientes puntos:
1. En caso de que ! 6= 0, los tensores T modulares no se pueden poner en
base de la correspondiente potencia tensorial. Es decir, T 6= ti j (ei e j ).
2. Las contracciones funcionan igual que en los tensores homogéneos, pero
conservando el peso.
7.3. TENSORES MODULARES O PSEUDOTENSORES DEFINIDOS EN V N (K)47
3. Los productos de tensores tienen por peso la suma de los pesos de cada
tensor.
4. Siguen valiendo todas las leyes del cociente, pero teniendo en cuenta el
párrafo anterior para los pesos.
Problema 18.
Sea un V 2 (R), donde se de…ne el tensor T , de cuarto orden, cova-covacontra-contravariante,
de componentes
1 en ei :
0
4 2
0 0
0
0
C
B
2 1
0 0
C : Se da el cambio de base e1 = e1 +0 e2 :
tij kl = B
A
@
e2 = e1
0 0
4
2
0 0
2
2
1) Buscar las simetrías y hemisimetrías de T .
2) Descomponer T en productos del máximo número de tensores sin contraer, de forma que, en ei , los dos primeros tengan por primera componente
el 2, siendo el primer tensor homogéneo y el último modular, con peso 1.
Expresarlos en las dos bases.
3) Calcular todos los tensores de segundo orden contraídos de T en ei :
4) Calcular todos los tensores doblemente contraídos de T en las dos bases.
5) Componentes de T en e0i :
6) Naturaleza tensorial del sistema de componentes tij 12 :
Problema 19.
Siendo A y B tensores homogéneos asimétricos de segundo orden, covariantes, y U; V tensores homogéneos de primer orden contravariantes, todos
de…nidos en V n (K), y cuyas componentes veri…can que [aij kbij ]ui = 0 y
[aij k 0 bij ]v i = 0, 8(i; j) 2 In y k 6= k 0 ;
1) Demostrar que aij ui v j = bij ui v j = 0:
2) Expresar k en función de las componente de los tensores. Naturaleza de k
48CAPÍTULO 7. ÁLGEBRA TENSORIAL HOMOGÉNEA Y MODULAR
Capítulo 8
TENSORES SIMÉTRICOS Y
HEMISIMÉTRICOS
8.1.
De…nición.
Un tensor T homogéneo o modular en V n (K) se dice que es simétrico o
hemisimétrico en un grupo de índices si sus componentes, en cualquier base,
son simétricas o hemisimétricas en dicho grupo de índices.
Consecuencia: Si en una base las componentes de un tensor son simétricas
o hemisimétricas en un grupo de índices a igual altura, el tensor es simétrico o hemisimétrico en cualquier base. Sin embargo, si las componentes de
un tensor son simétricas o hemisimétricas en un grupo de índices de distinta especie, al cambiar el tensor de base no tiene por qué conservarse la
simetría o la hemisimetría. Esta característica puede patentizarse con el siguiente ejemplo. Sea T 2 V n V n V n ; con ti jk = tk j i en ei . Hay que
demostrar que en otra base, e0i , t0i jk = t0k ji . Haciendo el cambio de base,
t0i jk = ai b j ak t
y t0k ji = ak b j ai t
) t0i jk = t0k ji . Luego,
se conserva la hemisimetría para índices de la misma especie.
Problema 11
Sea f , función lineal de…nida por f 2 Lp [V n ; :::; V n ; R] : V n :::V n ! R
p
f
(x1 :::xp ) ! f (x1 :::xp )
Se dice que f es alternada si : f (x1 :::xp ) = 0 cuando se repiten dos vectores,
y que f es hemisimétrica si : f (:::xi :::xj :::) = f (:::xj :::xi :::):
1)Demostrar que f hemisimétrica () f alternada.
49
50
CAPÍTULO 8. TENSORES SIMÉTRICOS Y HEMISIMÉTRICOS
CONDICIÓN NECESARIA:
Si f es alternada, f (:::xi :::xi :::) = 0: Como f (:::xi :::xi :::) = f (:::xi :::xi :::) =
0
Esto sólo es cierto para cuerpos de característica 0 (ej. los reales).
CONDICIÓN SUFICIENTE:
f (::: xi + xj ::: xi + xj :::) = 0, por alternada. Por p-linealidad tenemos que
f (::: xi ::: xi :::) + f (::: xi ::: xj :::) + f (::: xj ::: xi :::) + f (::: xj ::: xj :::) = 0
!0
!0
por alternada
por alternada
=) f (::: xi ::: xj :::) = f (::: xj ::: xi :::)
2
2) Se
de…ne f 2 L1
ej ek ) =
3 [V
13
1i 0
0 (R); R] f (e
20
0 0 0
0 0 1
0 1 0
4@ 1 0 0 A @ 0 0 0 A @ 0 0 1 A5
0
1 0
1 0 0
0 0 0
siendo F = fijk : Ver si f (ei ej ek ) es totalmente hemisimétrico.
Vemos que fijk es simétrico en 10 y 20 índices por ser simétricas las matrices
en la ordenación usual. Para ver si lo es en los índices 10 y 30 , se ordena de
forma 0
que los índices 101y 30 indiquen …la y columna:
i = f ila
@
k = columna A =
fijk
j = matriz
10
0
10
1
0
0 0
0 0 0
0 0 0
@ 1 0 0 A@ 0 0 0 A@ 0 0 0 A
0
1 0
0 0 0
0 0 0
{z
}|
{z
}|
{z
}
|
j=1
j=2
j=3
En este caso ya no es hemisimétrica =) f no es alternada.
3) LpH [V n ; R]
Lp [V n ; R] son las funciones p-lineales hemisimétricas. Calcular la base y la dimensión. La base.asociada a ei (conjunto de
(i :::i )
(i :::i )
(i :::i )
funciones p-lineales hemisimétricas) es EH1 p EH1 p (ej1 :::ejp ) = j11:::jpp
n
:Tienen que ser funciones hemisimétricas. Se ve que
p
sí lo son en la : Los índices entre paréntesis indican que están ordenados de manera preestablecida, como ocurrirá en el Algebra Exterior. Así,
(i :::i )
8f 2 LpH [V n ; R] ) f = f(i1 :::ip ) EH1 p .
cuya dimensión es
Capítulo 9
ALGEBRAS EXTERIORES
DEFINIDAS EN V n(K)
9.1.
Fórmulas de generalizadas y desarrollos de determinantes.
1) ti1 :::ip :::ir es hemisimétrico en un grupo de índices
9.1.1.
1 ; :::;
p
() ti1 :::ip :::ir =
( 1 :::
i1 :::ip
p)
t(
1 ::: p )
ip+1 :::ir
2) ti1 :::ip :::ir es hemisimétrico en un grupo de índices
9.1.2.
(
)
:::
p
1
() ti1 :::ip :::ir = p!1 i1 :::i
t( 1 ::: p ) ip+1 :::ir sin ser la t estricta
p
en sus índices. Estricto quiere decir estrictamente ordenados los índices, y se
simboliza poniendo los índices ordenados entre paréntesis.
1 ; :::;
9.1.3.
3) Desarrollo de un determinante
ai1 j1
..
.
aip
p
j1
j
ai1 p
..
..
.
.
j
aip p
=
(
j1 :::jp
1 ::: p
1 ::: p
i1 :::ip
ai1 1 ::: aip p
j
a 1 j1 ::: a p p
51
52
CAPÍTULO 9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V N (K)
ai1 j1
..
.
..
aip j1
9.2.
9.2.1.
ai1 jp
..
.
.
aip jp
1 ::: p
j1 :::jp
1 ::: p
i1 :::ip
De…nición y naturaleza
1 :::
1:::p
p
(x
1
x p ) ) x1 ^ ::: ^ xp 2 ( V n )p
:::
Componentes de x1 ^ ::: ^ xp
:::
p
1
x1 ^ ::: ^ xp = 1::::p
x 1 i1 ::::x
i
x1i1
x1 p
..
..
..
(ei1 :::
.
.
.
ip
i1
xp
xp
9.2.3.
ai1 1 ::: aip p
a 1 j1 ::: a p jp
Producto exterior de p vectores x1; :::; xp 2
Vn
x1 ^ ::: ^ xp =
9.2.2.
=
ip
p
:::
(ei1
eip ) =
eip ) = ti1 :::ip (ei1
i1 :::ip
x 1 :::xp p :(ei1
1 ::: p 1
:::
:::
eip ) =
eip )
Hemisimetrías
A) T = x1 ^ ::: ^ xp es un tensor totalmente hemisimétrico.
B) Tiene le hemisimetría especial de unos productos exteriores respecto
a otros.
9.2.4.
(p)
(p)
Álgebra exterior Vn o n , de orden p, contravariante, homogénea, de…nida en V n (K)
De…nición:
Es el conjunto de todos los tensores T de orden p, totalmente contravariantes,
homogéneos de…nidos en V n (K), x1 ^ ::: ^ xp
Propiedad:
(p)
Vn
(p)
( V n )p , con operaciones cerradas ) Vn es espacio vectorial.
9.2. PRODUCTO EXTERIOR DE P VECTORES X 1 ; :::; X P 2 V N
(p)
Base de Vn
53
asociada a una base ei de V n :
(p)
Es el conjunto de vectores de Vn ; e(i1 ) ^ ::: ^ e(ip ) , con i1 ; :::ip 2 In )
n
(p)
:
dim Vn = Cn;p =
p
(p)
Además, 8T 2 Vn ; T tiene por coordenadas t(i1 :::ip ) (e(i1 ) ^ ::: ^ e(ip ) ): Para
demostrarlo hay que tener en cuenta que e(i1 ) ^ ::: ^ e(ip ) son
(A) generadores, con lo que:
(p)
8T 2 Vn ; T = ti1 :::ip (ei1 ::: eip ) =
i1 :::ip
( 1 ::: p )
(ei1 ::: eip ) = t( 1 ::: p ) (e( 1 ) ^ ::: ^ e( p ) ):
( 1 ::: p ) t
(B) e(i1 ) ^ ::: ^ e(ip ) son linealmente independientes. Si existiera otro conjunto análogo ) ( 1 ;:::; p ) e( 1 ) ^ ::: ^ e( p ) = p (tensor nulo).
( 1 ;:::; p ) i1 :::ip
::: eip = p )
( 1 ::: p ) ei1
(
1 ;:::; p )
9.2.5.
i1 :::ip
( 1 :::
p)
=
i1 :::ip
= 0; 8(i1 ; :::; ip ) 2 In :
(n)
Caso p = n, Vn . Tensores hemisimétricos de orden n.
En este caso sólo hay un elemento en la base del espacio, por lo que
(n)
dim Vn = 1: La base asociada a la ei es la e1 ^ ::: ^ en . Es decir, 8T 2
(n)
Vn ) T = t1 n (e1 ^
^ en ), donde t1 n es un sistema de componentes de
n estricto, es
V n . Además, 8ei ) ti1 in = i11 nin t1 n = "i1 in t1 n , siendo 1
decir, ordenado de 1 a n. Hemos introducido aquí el tensor de permutaciones
"i1 in = i11 nin , donde la permutación de dos índices implica un cambio de
signo. Al igual que la delta de Kronecker puede valer 1, -1, o 0. El último
caso corresponde al de dos índices repetidos.
Mediante la 2a ley del cociente se puede demostrar que t1 n es un tensor
de orden cero y peso -1, es decir, un escalar contramodular. Esto es debido
a que "i1 in tiene peso 1, mientras que "i1 in tiene peso -1. Otra forma de
verlo es haciendo un cambio de base:
t01 n = b 1 1
b n nt 1 n = b 1 1
b n n 1 1 n n t1 n = jAj 1 t1 n , por ser
t 1 n totalmente hemisimétrico.
9.2.6.
(p)
Cambio de base asociada y de componentes en Vn
a(ip ) p (e 1 ^
(A) El cambio de base viene dado por e0(i1 ) ^:::^e0(ip ) = a(i1 ) 1
::: ^ e p ). Pero esta última aún no es base del álgebra exterior por no ser
.
54
CAPÍTULO 9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V N (K)
estrictas sus componentes (las alfas no están entre paréntesis, es decir, no
tienen por qué estar ordenadas). Aprovechando las hemisimetrías podemos
escribir,
(e 1 ^ ::: ^ e p ) = (j11 jpp) (e(j1 ) ^ ::: ^ e(jp ) ) ) e0(i1 ) ^ ::: ^ e0(ip )
(j )
(j1 )
=
a(i1 ) p
..
..
(e(j1 ) ^ ::: ^ e(jp ) ), que ya tiene la base adecuada.
.
.
(jp )
a(ip )
a(i1 )
..
.
(j1 )
a(ip)
Luego,
(j )
(j1 )
(e
1
a(i1 ) p
..
..
(e(j1 ) ^ ::: ^ e(jp ) )
.
.
(jp )
a(ip )
a(i1 )
..
.
^ ::: ^ e p ) =
(j )
a(ip) 1
(9.1)
(B) Para las componentes hemos de relacionar t( 1 p ) con t0(i1
forma de hacerlo es sustituyendo directamente el cambio de base:
En la base ei tenemos que T = t( 1 p ) (e 1 ^ ::: ^ e p ):
En la base e0i , T = t0(i1 ip ) e0(i1 ) ^ ::: ^ e0(ip ) =
t0(i1
t0(i1
)
ip )
ip )
(
1)
(
a(ip)
1)
a(i1 )
..
.
jAp j (e
1
(
a(i1 )
..
..
.
.
(
a(ip )
ip )
. Una
p)
(e
1
p)
^ ::: ^ e p ) =
^ ::: ^ e p ) )
t0(i1
ip )
= jAp j
1 (
t
1
p)
(9.2)
:
Otra forma es hacer el cambio directo de componentes:
:::
(i )
(i )
( i )
( i )
t0(i1 ip ) = b 1 1
b p pt 1 p=b 1 1
b p p (j11 jpp) t(j1 jp ) = jAp j 1 t(j1 jp ) :Hay
que hacer constar que jAp j es un menor del determinante total de cambio de
base jAj. Es decir, sólo cuando p = n ) t01 n = jAj t1 n
9.3.
Producto exterior de funciones lineales
(vectores de V n)
9.3.1.
De…nición:
Es un tensor f 1 ^
^ fp =
1 p
1
p
(f
1
f p ), con p
n.
9.4. ALGEBRA EXTERIOR HOMOGÉNEA, COVARIANTE, DE ORDEN P.55
9.3.2.
Naturaleza:
f1 ^
^ fp 2 ( V
orden p.
9.3.3.
) es un tensor totalmente covariante, homogéneo, de
n p
Hemisimetrías:
f 1 ^ ^f p es un tensor totalmente hemisimétrico, con hemisimetría especial
dada por:
f1 ^
^ f p = i11 ip p f 1i1 : : : f pip (e i1
e ip ) = ti1 ip (e i1
e ip ),
donde ti1 ip = i11 ip p f 1i1 : : : f pip es totalmente hemisimétrico, dadas las
propiedades de la de Kronecker generalizada.
9.4.
Algebra exterior homogénea, covariante,
de orden p.
(Algebra exterior homogénea, covariante, de orden p, Vn
en V ).
9.4.1.
(p)
o
(p)
n
de…nida
De…nición:
Es el conjunto de tensores homogéneos, de orden p, totalmente covariantes y
(p)
totalmente hemisimétricos como el f 1 ^ ^f p : Vn forma espacio vectorial.
9.4.2.
Es e
(i1 )
9.4.3.
Base de Vn
^
^e
(ip )
(p)
asociada a ei :
, de forma que
8T 2 Vn (p) ) T = t(i1
ip ) (e
(i1 )
^
^e
(ip )
)
Caso p = n:
Cuando el número de índices que entran en el producto exterior coincide con
la dimensión del espacio, sólo existe una ordenación linealmente independiente. Es decir, sólo hay un elemento en la base del álgebra exterior, de modo
(n)
^ e n y t01 n = jAj t1 n , es un tensor
que 8T 2 Vn
) T = t1 n e 1 ^
comodular, de orden 0, es decir, un escalar comodular.
56
CAPÍTULO 9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V N (K)
9.4.4.
Cambio de base y componentes en Vn
b(
(e0
(i1 )
^
^ e0
(ip )
)=
(i1 )
1)
..
.
9.5.
9.5.1.
ip )
=
(
1)
(
a(ip )
1)
a(i1 )
..
.
.
:
(ip )
1)
..
.
(e
(
1)
t(
1
(i )
b( p ) p
(i )
b( p ) 1
=)
t0(i1
..
b(
(p)
(
a(i1 )
..
...
.
(
a(ip )
^
^e
(
p)
)
(9.3)
p)
p ):
(9.4)
p)
Producto exterior de tensores.
De…nición:
(p)
(q)
(r)
Dados T1 2 Vn ; T2 2 Vn ; T3 2 Vn se de…ne como producto exterior
de dichos tensores a:
(
)
(
)
(
)
T1 ^ T2 ^ T3 = t1 1 p t2 1 q t3 1 r
(p+q+r)
(e 1 ^ ::: ^ e p ^ e 1 ^ ::: ^ e q ^ e 1 ^ ::: ^ e r ) 2 Vn
Problema 20.
Dado un V n (K), estudiar si los espacios L[V n ; V n ]; L[V n ; V n ]; L[V n ; V n ]; L[V
son isomorfos canónicos con los espacios de tensores de segundo orden de…nidos
en V n :
Problema 21.
Las componentes en una base ei de V n (R) de un tensor A covariante de
segundo orden veri…can la relación Baij + Caji = 0, 8i; j 2 In , con B; C 2 R.
¿Tiene carácter intrínseco la relación?¿Se deduce alguna peculiaridad para
A?.
Problema 22.
Sea T un tensor homogéneo contra-cova-cova-contravariante, de…nido en
2
V (R), hemisimétrico en los índices (1 y 4) y (2 y 3).
1) Calcular C25;36 [T x1 x2 ], con x1 ; x2 2 V 2 (R), en función de x1 ^ x2 :
2) Naturaleza tensorial de una componente cualquiera de T .
n
; V n]
9.6. SISTEMA DE COMPONENTES
P
Y " EN V N (K).
57
3) En una base cualquiera ei , dada t121 2 = 5, ordenar matricialmente las
ti jk l :
Problema 23.
Un sistema de índices varía de 1 a n. Se da la matriz A = ai j , regular,
de tal forma que:
j
ai1 j1
ai1 p
..
..
..
U(i1 ip ) =
t(j1 jp ) . Despejar t(j1 jp ) a partir de U(i1 ip ) .
.
.
.
jp
j1
aip
aip
9.6.
9.6.1.
Sistema de componentes
p
y " en V n(k).
De…nición:
Con el …n de utilizar una notación mas abreviada es común recurrir a la
notación siguiente:
0j1 jp
j1 jp
0
p = i1 ip en una base ei , o i1 ip en una base ei :
" = "(i1
in ) = 1i1 nin = i11 nin que es invariante.
2p
tensores diferentes del tipo p , con naturalezas
Existen C2p;p =
p
tensoriales diferentes, según el orden de los super y subíndices. Es decir,
j j
aunque no es costumbre en este caso ordenar los índices, existen tanto i1 ip 1 p
j j
como 1 p i1 ip y las posible variantes.
Por su parte " tiene naturaleza tensorial de orden n, totalmente contravariante, modular de peso 1. Existe la versión totalmente covariante,
que es modular de peso -1. Estas dos últimas características pueden comprobarse mediante un cambio de base. Para el primer caso, como p = n,
i1
in = 1;
; n: Entonces,
0 1
1
n
"
= a1
an n bj1 1 bjn n j11 jnn =
an n j11 jnn = jAj.
jAj bj1 1 bjn n "j1 jn ; ya que a1 1
Problema 24.
En V 3 (R) nos dan los vectores sigientes:
x1 = e1 + e3
x2 = e1 e2
x3 = 2e1 + e2 + e3
Calcular:
58
1)
2)
3)
4)
CAPÍTULO 9. ALGEBRAS EXTERIORES DEFINIDAS EN V N (K)
Componentes
Componentes
Componentes
Componentes
de
de
de
de
(2)
x1 ^ x2 en base de V3 :
x1 ^ x2 en base de ( V3 )2 :
(3)
x1 ^ x2 ^ x3 en base de V3 :
x1 ^ x2 ^ x3 en base de ( V3 )3 :
Problema 25.
Dado un V 4 (R) donde se de…ne un tensor T = tijk (e
componentes
0
1
0 0 0 0
B 0 0 2 4 C
B
C
@ 0
2 0 5 A
4 5 0 1
0 0
0 0
2
4
B 0 0 0
C
0
B
C
@ 2 0 0
2 A
0 1
0 4 0 2
:
0
2 0 5
B 2 0 0 2 C
C
B
@ 0
0 0 0 A
2 0 0 1
0 5
0 4
5 0
B 4 0
2
0 C
C
B
@ 5 2 0 0 A
0 0 0 0
i
e
1) Expresar T como combinación lineal de productos exteriores.
2) Expresar T como producto exterior. Expresión general de T .
j
e k ) de
Capítulo 10
ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS
Y EUCLÍDEOS
10.1.
De…nición de producto escalar.
Un espacio vectorial pre-euclídeo (o euclideano) En es un V n (R) en el que
se de…ne una aplicación g : V n V n ! R, bilineal, simétrica y regular, de
tal forma que, para un par de vectores x; y 2 V n V n ! g(x; y) = x y 2 R
se ha de satisfacer que
1) Bilinealidad: ( i xi ) ( j y j ) = i j (xi y j )
2) Simetría: x y = y x
3) Regularidad: Si 8x 2 V n ; x y = 0 ) y = 0. Es decir, el único vector
ortogonal a todos los del espacio es el vector nulo.
Esta aplicación se denomina producto escalar. Un espacio euclídeo En es
un pre-euclídeo en el que se exige que 8x 2 En ) x x > 0, excepto si x = 0:
Es decir, la norma ha de ser positiva. En consecuencia, la positividad de
la norma implica la regularidad.
10.2.
Ortogonalidad.
1) x; y 2 En son ortogonales , x y = 0:
2) fx1 ; xp g forma un sistema ortogonal , (8i; j 2 In e i 6= j ) xi xj = 0).
En los sitemas vectoriales anteriores no se considera el 0.
59
60
CAPÍTULO 10. ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS Y EUCLÍDEOS
3) Dos subespacios S1 y S2 son ortogonales si todo vector de uno de ellos es
ortogonal a todos los del otro.
4) El complemento ortogonal Sn de un subespacio S En es el subconjunto
de vectores de En ortogonales a todos los vectores de S: Sn es espacio vectorial.
Sin embargo, Sn no es suplementario de S en En , pero sí lo es en En .
10.3.
Propiedades que no cumple el producto
escalar.
1) No es asociativo: (a b) c 6= a (b c).
2) No es cancelativo: a b = a c ; b = c a no ser que la igualdad sea 8a:
10.4.
Matriz de Gramm de un sistema de vectores.
10.4.1.
De…nición:
En un espacio En se llama matriz de Gramm de (x1 ;
xp ) a:
1
0
x1 x1
x1 xp
C
B
..
.
.
..
..
G=@
A : El grammiano es el determinante de G =
.
xp x1
xp xp
(x1 ;
xp ) = jGx j :
10.4.2.
Propiedades:
-G es simétrica de dimensión p p:
-Si (x1 ; xp ) es un sistema ortogonal ) G es diagonal.
-Si (x1 ; xp ) es linealmente independiente ) G es regular.
-En espacios euclídeos, (x1 ; xp ) 0, y G está de…nida positiva.
10.5. NORMA Y MÓDULO DE UN VECTOR.
10.5.
61
Norma y módulo de un vector.
1) Norma de un vector: 8x 2 En ; N (x) = x x, que puede ser mayor, igual o
menor que cero. La norma sólo está de…nida positiva en los espacios euclídeos.
p
2) Módulo de un vector: 8x 2 En , jxj = + N (x):
10.6.
Sistemas equivalentes de vectores en V n(K).
Dos sistemas fx1 ;
[y 1 y 2 ], etc.
10.7.
xp g y fy 1 ;
y p g son equivalentes si [x1 ] = [y 1 ], [x1 x2 ] =
Expresión analítica del producto escalar.
Sea la aplicación g : En
En ! R = 8 (x; y) 2 En
En , de modo que
x y = (xi ei )(y j ej ) = xi y j ei ej = gij xi y j = xi G y j :
(10.1)
A gij xi y j se le denomina forma bilineal fundamental de En en forma
contravariante, en la base ei :
10.8.
Condiciones de Gei :
En En ; Gei es simétrica en R, n n: Además, es regular.
En En , Gei además de simétrica ha de estar de…nida positiva, es decir, N (x) =
gij xi y j 0.
Como podemos observar, es norma general llamar a g!
e j = gij . Así, de
e i!
ahora en adelante gij sólo corresponderá al producto escalar de vectores de
las bases, gij = ei ej :
10.9.
Cambio de base para Gei :
Dado el cambio de base e0i = ai e , como gij0 = e0i e0j = ai aj :e e =
ai a j g )
(10.2)
Ge0 i = AGei AT
62
CAPÍTULO 10. ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS Y EUCLÍDEOS
Este tipo de cambio de base recibe el nombre de transformación congruente.
10.10.
Coordenadas covariantes en En:
Las coordenadas covariantes de un vector x en una base ei de En son un
conjunto n de números reales tales que xi = x ei : En consecuencia, xi =
(xj ej ) ei = gij xj que, en forma matricial será fxi g = Gei fxj g: De estas
expresiones se deduce que xj = g ji xi :
10.11.
Base recíproca.
Se llama base recíproca ei de la base ei a la que veri…ca ei ej = i j : Si
ei = ij ej y ei e = i ) ( ij ej ):e = i = ij gj ) ij = i g j =
g ij ) ei = g ij ej , o bien,
(10.3)
fei g = Gei1 fej g:
Si de…nimos Gei = g ij = ei ej = (g i e ) (g j e ) =
= g i g j g = g i j = g ij )
Gei = Gei
1
:
(10.4)
La base recíproca de la recíproca coincide con la base original de partida.
En sistemas ortonormales y sólo en En , fei g = Gei1 fej g = fei g: Es el caso
de los sitemas cartesianos ortonormales y, como veremos, de los sistemas
naturales.
10.11.1.
Propiedad fundamental
Las coordenadas covariantes de un vector en una base determinada son las
contravariantes en la base recíproca. En efecto, sea x 2 En : Entonces,
x = xj ej = g ji xi ei = xi ei :
(10.5)
10.12. EXPRESIONES DEL PRODUCTO ESCALAR EN EN :
10.12.
63
Expresiones del producto escalar en
En:
Aprovechando la propiedad fundamental podemos escribir que:
x y = (xi ei ) (y j ej ) = gij xi y j = kxi k Gei fy j g
x y = (xi ei ) (yj ej ) = g ij xi yj = kxi k Gei1 fyj g
x y = (xi ei ) (yj ej ) =
x y = (xi ei ) (y j ej ) =
10.13.
j i
i x yj
i
j
j xi y
= xi yi
= xi y j
Cambio de base recíproca y de coordenadas covariantes en En:
Dado el cambio de base e0i = ai e y sabiendo que G0ei = AGei AT , podemos
ver que:
fe0i g = (AT ) 1 G 1 A 1 AGfe g = fe0i g(AT ) 1 fe g )
x = x0i e0i = x0i bi e )
10.14.
e0i = b i e ;
(10.6)
x0i = ai x :
(10.7)
Producto vectorial, producto mixto.
Se de…ne como producto vectorial de dos vectores a:
x1
x2 =
p
e1 e2 e3
g x11 x21 x31
x12 x22 x32
1
=p
g
e1 e2 e3
x11 x12 x13 :
x21 x22 x23
(10.8)
64
CAPÍTULO 10. ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS Y EUCLÍDEOS
Se de…ne como producto mixto de tres vectores a:
[x1 ; x2 ; x3 ] =
p
x11 x21 x31
g x12 x22 x32
x13 x23 x33
1
= p
g
=
x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
:
El volumen depun paralepípedo viene dado por:
V (x1 ; x2 ; x3 ) =
(x1 ; x2 ; x3 ) = j[x1 ; x2 ; x3 ]j :
El área de p
un paralelogramo viene dada por:
A(x1 ; x2 ) =
(x1 ; x2 ) = jx1 x2 j :
(10.9)
10.14. PRODUCTO VECTORIAL, PRODUCTO MIXTO.
65
66
CAPÍTULO 10. ESPACIOS PRE-EUCLÍDEOS Y EUCLÍDEOS
Capítulo 11
DUALIDAD EN UN En
11.1.
Dualidad normal En
En.
Dado que la base ei 2 En se transforma en los cambios de base de la misma
forma que la base e i 2 En , se dice que En y En son isomorfos naturales. En
consecuencia, En En y ei = e i . Esta propiedad va a ser de gran importancia
en Física, por poderse trabajar indistintamente con un espacio determinado
o con su dual.
11.2.
Dualidad generalizada en espacios vectoriales.
Dos espacios vectoriales U (K) y V (K) son duales, con dualidad generalizada, si existe una aplicación g : U V ! K = 8u 2 U y 8v 2 V )
g(u; v) = u v, siendo g bilineal y regular. Es decir, se han de cumplir las
propiedades siguientes:
(u v):
1) Bilinealidad: ( u) ( v) =
2) Regularidad por la izquierda: Si (8u 2 U; u v = 0K ) , v = 0V :
3) Regularidad por la derecha: Si (8v 2 V; u v = 0K ) , u = 0U :
En consecuencia,
1) Si U (K) y V (K) son de dimensión …nita y son duales entre sí, ambos
tienen igual dimensión.
2) Para dos espacios de dimensión …nita, con bases ei ; j , la matriz Gei j =
ei
j es regular.
67
68
CAPÍTULO 11. DUALIDAD EN UN EN
3) Dos espacios vectoriales de dimensión …nita, e igual para ambos, son
duales.
11.3.
Tensores modulares.
Los tensores modulares en En se de…nen y funcionan exactamente igual
que en V n :
Un tensor preeuclídeo se llama isotrópico si sus componentes de una cierta
especie son iguales en cualquier base. Un caso de este tipo es p .
11.4.
Simetrías y hemisimetrías de un tensor
preeuclídeo.
Un tensor preeuclídeo se llama simétrico o hemisimétrico en un grupo de
índices si, en una base ei , las componentes correspondientes a esos índices,
que han de estar a igual altura, son simétricas o hemisimétricas.
Consecuencias:
1) Al igual que en V n , dentro de la especie determinada por los índices, se
conserva la simetría y hemisimetría al cambiar de base.
2) Además, todas las especies de componentes que tengan esos índices a igual
altura también son simétricas o hemisimétricas.
Ejemplo:
Sea T 2 ( En )3 , con componentes, en la base ei , tijk , hemisimétricas en los
índices i:j. Según la segunda consecuencia, ti jk también son hemisimétricas
en i; j:
ti jk = gi gk t j , hemisimétricas estas últimas, por el enunciado, en ; :
tk j i = gk gi t j = gk gi t j = ti jk , como queríamos demostrar.
Propiedad:
La contracción de un tensor pre-euclídeo en dos índices hemisimétricos es el
tensor nulo. Recordemos que la contracción de un tensor preeucídeo en dos
índices es otro tensor preeuclídeo si las especies de componentes contraídas
tienen los índices a distinta altura. Por esta razón, para poder contraer es
preciso cambiar de altura uno de los índices en los que las componentes son
hemisimétricas.
Ejemplo:
11.5. TENSORES PREEUCLÍDEOS DE SEGUNDO ORDEN PARTICULARES EN EN .69
Sea, en En , el tensor T = tij k (ei ej ek ), hemisimétrico en i; j. Contrayendo
estos índices,
C12 [T ] = t k ek = 0, puesto que g t k = 0K : Sin embargo, t K 6= 0K .
11.5.
Tensores preeuclídeos de segundo orden
particulares en En.
11.5.1.
Tensor regular:
Es aquel que tiene la matriz de componentes regular en alguna base. Si
esto ocurre, la matriz de componentes es regular para cualquier especie y
base:
Si (ti j ) es regular ) (t0i j ) = A(t )A 1 también es regular.
Si (ti j ) es regular ) tij = gj ti ) (tij ) = (ti )G también es regular.
11.5.2.
Tensor conjugado o traspuesto de un tensor T
Es el tensor euclídeo T c 0 8ei , cuya la matriz de componentes covacovariantes es la traspuesta de la matriz de las componentes cova-covariantes
de T: Es decir, (t0ij ) = A(t )AT ) (t0ij )T = A(t )T AT : En consecuencia,
se veri…ca que:
8
9
c
T
(t
)
)
(t
)
=
(t
)
>
>
ij
ij
ij
>
>
<
(tij ) ) (tcij ) = (tij )T =
componentes de T
componentes de T c :
j
c j
i T
(t
)
)
(t
)
=
(t
)
>
>
j
i
i
>
>
: i
;
(t j ) ) (tci j ) = (ti j )T
11.5.3.
Tensor recíproco o inverso T R de un tensor T 2
En En , regular.
Es el tensor preeuclídeo T R 0 8ei , y la matriz de sus componentes
cova-contravariantes es la inversa de la matriz de las componentes covacontravariantes de T . Por lo tanto,
(t0i j ) = A(t )A 1 ) (t0i j ) 1 = A(t ) 1 A 1 : En consecuencia, tendremos
70
CAPÍTULO 11. DUALIDAD EN UN EN
8
j
) = (ti j ) 1
(t j ) ) (tR
>
i
>
< ij
(t i ) ) (tRj i ) = (tj i ) 1
que para las componentes de un T regular
ij
1
>
(t ij ) ) (tR
ij ) = (t )
>
:
ij
Rij
(t ) ) (t ) = (tij ) 1
de T R :
9
>
>
=
componentes
>
>
;
Problema 26.
Dado un V 4 (R) y el tensor T = tij (ei ej ), de componentes
0 0 1 0
0 0 0
3
tij =
1 0 0 0
0 3 0 0
y el vector x = e1 3e2 + e4 , calcular:
1) U = T ^ x
2) Lu de…nida como el conjunto de vectore de V 4 (R) tales que U ^ x = ,
siendo el tesor nulo.
3) Descomponer U en producto exterior de tensores.
Problema 27.
0
1 1 0
B
1
1 0
Sea un V 4 (R). Se introduce una conexión mediante Gei = B
@ 0
0 1
0
1 0
1) Clasi…car la conexión. ¿Cuál es el índice del espacio?.
x2 x4 = 0
2) Clasi…car los subespacios S1 [(1101)(0010)(0001)] y S2
x3 = 0
3) Buscar los complementos ortogonales de S1 y S2 . ¿Son suplementarios de
S1 y S2 , respectivamente?.
4) Sea x = e1 + 2e4 : Buscar la proyección ortogonal de x sobre S1 y S2 .
5) Buscar la base recíproca de e1 .
Problema 28.
Sea E3 , con la métrica Gei
1
1 0 1
= @ 0 1 0 A : Se da el cambio de base
1 0 2
0
1
1 0 1
(e0i ) = @ 0 1 0 A (ei ).
0 0 1
1) Clasi…car E3 .
2) Buscar la base recíproca de ei en función de e0i .
0
1
0
1 C
C:
0 A
1
:
11.5. TENSORES PREEUCLÍDEOS DE SEGUNDO ORDEN PARTICULARES EN EN .71
3)
4)
5)
6)
7)
Buscar la base recíproca de e0i en función de la recíproca de ei :
Buscar la base recíproca de e0i en función de ei :
Buscar la base ortogonal de E3 en función de ei :
Buscar la base ortonormal de E3 en función de ei y e0i :
Poner en forma covariante al vector x = e1 2e3 en las bases ei y e0i :
Problema 29.
1 1
. Se da el tensor euclídeo, de cuarto
1 2
orden, cova-contra-cova-contravariante,
1 de componentes en la base ei :
0
0
2
0 0
0
C
B
0 0
0 2
C y el cambio de base e1 =0 e1 e2 :
ti kj l = B
A
@
e2 = e1
2 0
0 0
0 0
2 0
1) Buscar las simetrías y hemisimetrías de T .
2) Relacionar T con el tensor . ¿Es T isotrópico?.
3) Buscar los tensores procedentes de las contracciones simples y dobles de
T.
Sea E2 , con la métrica Gei =
Problema 30.
1
2 1 1
Dada la métrica Gei = @ 1 1 1 A, estudiar si existen tensores eu1 1 2
clídeos hemisimétricos de segundo orden, distintos del tensor nulo, cuyas
componentes mixtas en la base ei sean hemisimétricas. Hacer lo mismo para
las simetrías. ?‘Es general el resultado obtenido?.
0
Problema 31.
Sea En , euclídeo y el sistema v 1 ;
; v n 2 En . Se foema la matriz M
cuyas …las 1; 2;
; n son las coordenadas contravariantes de los vectores
v1;
; v n . Se pide:
1) Naturaleza tensorial de los cofactores de una …la cualquiera de M .
; v n forman base, buscar las coordenadas covariantes de la base
2) Si v 1 ;
recíproca en función de los cofactores anteriores.
Problema 32.
Sea T un bivector de V n (K), es decir, un tensor antisimétrico dos veces
contravariante.
1) Mostrar que si T es descomponible en un producto de dos vectores, el
sistema de ecuaciones lineales S, dado por T ij xk + T jk xi + T ki xj = 0,
admite solución no nula.
72
CAPÍTULO 11. DUALIDAD EN UN EN
2) Recíprocamente, si S admite solución no nula para xi , demostrar que
existe un vector y 0 T ij = xi y j xj y i . Se puede, mediante un cambio de
componentes, considerar a x como el primer vector de la base.
3) Deducir que un bivector de R4 es descomponible si y sólo si sus componentes veri…can T 12 T 34 + T 23 T 14 + T 31 T 24 = 0.
11.5. TENSORES PREEUCLÍDEOS DE SEGUNDO ORDEN PARTICULARES EN EN .73
74
CAPÍTULO 11. DUALIDAD EN UN EN
Capítulo 12
ÁLGEBRA EXTERIOR EN
ESPACIOS EUCLÍDEOS
12.1.
Producto exterior de p vectores x1;
En:
; xp 2
^ xp = 1 1 p p (x 1
Es el tensor pre-euclídeo, de orden p en En ; x1 ^
x p ): El producto exterior tiene por componentes x1 ^
^ xp =
ip
p
1
i1
x p (ei1
eip ) ) componentes de
1 p x 1
ti1
ip
=
x1 i1
..
.
xp
x1 ^
^ xp =
1 p
1
p
x
x
1 ii
ti1
ip
=
p ip
i1
(ei1
x1i1
..
.
xpi1
x1 ^
i
x1 p
..
..
.
.
i
xp p
(12.1)
eip ) ) de componentes
x1ip
..
..
.
.
xpip
:
(12.2)
^ xp es un tensor totalmente hemisimétrico, con hemisimería especial.
75
76 CAPÍTULO 12. ÁLGEBRA EXTERIOR EN ESPACIOS EUCLÍDEOS
12.2.
(p)
Álgebra exterior Vn
de…nida en En:p
1) Es el conjunto de tensores preeuclídeos de orden p, totalmente hemisimétricos, de…nidos en En siendo x1 ^
^ xp un ejemplo típico.
p
(p)
2) Vn
es espacio vectorial, subespacio de ( En )p = En .
^ e(ip ) )
(e(i1 ) ^
(p)
3) Las bases de Vn asociadas a ei son
, tales que, 8T 2
(i1 )
(e ^
^ e(ip ) )
t(i1 ip ) (e(i1 ) ^
^ e(ip ) )
(p)
.
Vn , T =
(i1 )
^ e(ip ) )
t(i1 ip ) (e ^
4) Relación entre ambos tipos de bases y componentes :
(e(i1 ) ^
g(ip ) p (e 1 ^
^ e(ip ) ) = g(i1 ) 1
^ e p) =
g(i1 )(j1 )
g(i1 )(jp )
..
..
..
(e(j1 ) ^
^ e(jp ) ).
.
.
.
g(ip )(j1 )
g(ip )(jp )
(i1 ip )
(i1 ) 1
t
=g
g (ip ) p t 1 p (siendo t 1 p totalmente hemisimétrico) =
g (i1 )(j1 )
g (i1 )(jp )
..
..
..
.
.
.
.
(ip )(j1 )
(ip )(jp )
g
g
5) Si p = n ) t1
12.3.
n
= g 1 t1
n:
Espacio vectorial orientado V n(K):
En V n (K), se dice que dos bases ei y e0i tienen igual orientación si el determinante de la matriz de cambio de base es positiva (jAj > 0). La orientación
es una relación de equivalencia, por lo que establece una partición en clases
de equivalencia. Sólo existen dos clases.
V n (K) está orientado si sólo se consideran bases de igual orientación.
12.4.
1 p
Tensores g; ; + jgj; p1 ; ; p; " de…nidos
+ jgj
g
en un En:
Los tensores
p; " son isotrópicos por de…nición.
12.4. TENSORES G;
12.4.1.
1 p
; + jGj; p1 ; ; P; " DEFINIDOS EN UN EN :77
+ jGj
G
Naturalezas tensoriales:
1) g se transforma como G0 = AGAT ) g 0 = jAj2 g ) naturaleza tenensorial
modular, de orden 0, peso 2.
1
1
1
2) se transforma como 0 = jAj 2 ) naturaleza tensorial modular, orden
g
g
g
0, peso -2.
p
p
p
3) + jgj ) + jg 0 j = jAj + jgj ) naturaleza tensorial modular, de
orden 0, peso 1 (Solo para En orientado).
4) p1 ) p1 0 jAj 1 p1 ) naturaleza tensorial modular, orden 0, peso
-1.
+
jgj
+
jg j
+
jgj
p
5) ) 8ei : son las constantes i1 :::in = + jgj"i1 :::in ) naturaleza tensorial
homogénea ) preeuclideo de orden n.
p
1 :::in
6) ip
= g i1 1 :::g in n + jgj" 1 ::: n =
n
11
:::g n n = p1 "i1 :::in :
= + jgj i11:::i
::: n g
+ jgj
p
+ jgj solo se de…ne en espacios vectoriales orientados.
se llama tensor de permutación u orientación. Es totalmente hemisimétrico:
(n)
2 Vn )
( 1:::n
e1 ^ ::: ^ en = p1 e1 ^ ::: ^ en
+ jgj
:
(12.3)
p
1
n
e
^
:::
^
e
=
+
jgj e1 ^ ::: ^ en
1:::n
12.4.2.
Tensor adjunto TA = adj(T ) de un tensor T 2
(p)
Vn
De…nición:
en un En :
Se de…ne como tensor adjunto del tensor T al tensor
TA = p!1 C1;n+1 [
T ], es decir, sus componentes serán:
..
.
p;n+p
TA =
8
>
<
>
:
1
ti1 ip (eip+1
p! i1 in
1 i1 in
ti1 ip (eip+1
p!
i2 ip
1 i1
(eip+1
i2 in ti1
p!
ein )
ein )
ip+2
e
in
e )
2 Vn(n
p)
:
(12.4)
78 CAPÍTULO 12. ÁLGEBRA EXTERIOR EN ESPACIOS EUCLÍDEOS
Consecuencias:
H
Como ti1 ip
|{z}
ir
H
TA =
TA =
z }| {
ip
U i1
jp+1 js
= p!t(i1
ip ) ir U
(i1 ip ) ip+1
(e
(i1 ip )ip+1 in t
(i1 ip )ip+1 in
t(i1 ip ) (eip+1
(i1 ip ) (ip+1 )
(e
(i1 ip )(ip+1 in ) t
(i1 ip )(ip+1 in )
t(i1 ip ) (e(ip+1 )
(i1 ir ) js
, tendremos que,
ein )
, o, también,
ein )
e(in ) )
:
e(in ) )
Propiedades:
1a (TA )A = ( 1)p(n p) T
(p)
2a T1 ; T2 2 Vn ) (T1 = T2 , adjT1 = adjT2 )
(p)
3a T1 ; T2 ; T3 2 Vn ) [( T1 + T2 + T3 )A = (T1 )A + (T2 )A + (T3 )A ]:
12.5.
Tensor adjunto del producto exterior
^ x p )A :
(x1 ^
^ xp ) A =
Es el tensor T = (x1 ^
(i )
(i1 )
x1
x1 p
..
..
..
= (i1 ip )ip+1 in
(eip+1
.
.
.
(i )
(i )
xp 1
xp p
(i )
x1 1
p
..
= g"
.
(i1 )
p
xp
g
(i1
1
1 n
(i1 ip )ip+1
in )
x1 1
p
ein ) =
(i )
x1 p
..
...
(eip+1
.
(i )
xp p
(i1 ip ) ip+1
(e
in t
xp
p
ein ) =
p
g"t(i1
ip )
(eip+1
ein ) =
xp ):
(12.5)
ein ) =
)
T = (x1 ^
^ xp )A = C1;n+1 (
..
.
p;n+p
x1
12.6. PRODUCTO VECTORIAL Y MIXTO EN EN :
79
12.6.
Producto vectorial y mixto en En:
12.6.1.
Producto vectorial:
Es un vector v 2 En , que se de…ne como:
v = x1
xn 1 = (x1 ^
^ xn 1 ) A =
in 1 in
j1
e
xn 1
i1 in x1
)
=
i1 in
x1;i1
xn 1;in 1 ein
p
v = + g
x1 1
..
.
xn 1
e1
1
= +p
g
12.6.2.
..
.
1
x11
..
.
x1 n
..
.
=
xn 1 n
en
..
xn 1;1
e1
.
x1n
..
.
:
xn 1;n
en
(12.6)
Producto mixto:
Es un escalar intrínseco u 2 R, que se de…ne como:
j1
xn 1 in
i1 in x1
u = [x1
)
xn ] = (x1 ^
^ xn ) A =
i1 in
x1;i1
xn;in
x1 1
p
..
u = + g
.
xn 1
1
= +p
g
x11
..
.
xn1
x1 n
..
..
.
.
xn n
..
x1n
..
:
.
.
xnn
=
(12.7)
80 CAPÍTULO 12. ÁLGEBRA EXTERIOR EN ESPACIOS EUCLÍDEOS
Capítulo 13
Bibliografía:
1. Lichnerowicz, A.: Elementos de cálculo tensorial, Aguilar (1972). A pesar
de su relativa antigüedad sigue considerándose como la base imprescindible
del cálculo tensorial. Lo cierto es que el cálculo tensorial no ha variado mucho,
a nivel docente, desde el pasado siglo.
2. Levi-Civita, T.: Der absolute Di¤erentialkakül, Springer (1928). Libro
histórico para los adeptos e iniciados.
3. Cartan, E.: Leçons sur la géometrie des espaces de Riemann, GauthierVillars (1946). Es otro libro histórico, bastante claro e interesante.
4. Lawden, D.F.: An introduction to tensor calculus, relativity and cosmology,
Wiley (1986). Aunque más moderno que los anteriores está enfocado a la
relatividad general.
5. Anderson, J. L.: Principles of relativity physics, Academic Press (1967).
Al igual que el anterior, se centra en la relatividad general.
6. González de Posada, F.: Problemas de análisis tensorial, Copygraph (1972).
Los problemas que incluímos en nuestros apuntes han sido extraídos de este
texto. Contiene una rica colección de problemas con sus soluciones.
81