Calculo-1-Rabuffetti-pdf

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Hebe T.,.Rabuffetti
I ■ - »V
Ilinill
BL A TENEO
5 1 7 .1 (0 7 5 ) Rabuffetti, H eb e T.
RAB
Introducción al análisis matennático: Cálculo 1. ·
15a. ed - B uenos Aires: El Ateneo, 1 9 99.
X, 5 0 2 p.; 2 3 X 16 cm.
IS B N 9 5 0 -0 2 -5 2 9 3 -7
I. Título - 1 . M a tem átic a - E n se ñ an za Universitaria
l a . edición, 1970
2a. edición, 1972
(am b as publicadas por Editorial C á e s e S. A.)
A d v e rte n c ia im p o rta n te :
El d e re c h o d e p r o p ie d a d de esta obra com prende p ara su autor la
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concordantes del Códirjo Pon;\l (art:;. . !), 10, / l, 17 Iny II r?\\)
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Patagones 2463 - (120?) Hiioinis Aitns, Mofuilillcii Anjftillii.i
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Internet: w w w .yenny cnin
e -m a il:lit)re ria s @ y c n n y Clini
Impreso en T G. C O LO R EFt-,
Paso 192, Avellaneda, Bs. As ,
el 12 de julio de 1999
Tirada: 500 ejemplares.
IM P R E S O EN LA ARG ENTIN A
I n t r o d u c c ió n al
A n á l is is M a t e m á t ic o
( C á l c u l o 1)
O
bras de la autora
Cálculo 1
m a t e m á t ic o . Cálculo 11
d e á l g e b r a . Lógica
d e á l g e b r a . Funciones
I n t r o d u c c ió n
a l a n á l is is m a t e m á t ic o .
I n t r o d u c c ió n
a l a n á l is is
T
emas
T
emas
Indice general
1. Nociones previas
I.
II.
III.
Lógica s im b ó lic a ..............................................................................
C o n ju n to s ...........................................................................................
El número r e a l.....................................................................................
1
7
11
Conjuntos de puntos
^
‘
1nt«rvil08 y e n to rn o s .........................................................................
Punto de a c u m u la c ió n .................................................................... . .
Punto in t e r io r ......................................................................................
IV Puntos aislados, adherentes, exteriores y fr o n te r a s .................
■ V Propiedad de B o r e i.............................................................................
)
27
30
37
39
41
3. Funciones escalares
IV.
V.
VI.
VII.
Relaciones fu n c io n a le s .....................................................................
Representación g r á f ic a .....................................................................
Funciones d efin id as e x p líc ita m e n te .............................................
C lasificación de fu n c io n e s ..............................................................
Álgebra de fu n c io n e s .........................................................................
Ecuaciones param étricas de una curva p la n a ............................
Ecuación polar de una curva p la n a .................................................
47
50
55
72
87
95
99
4. Limite funcional
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Vil
Límite f i n i t o .........................................................................................
Algunos lim ites f in it o s ......................................................................
No e xistencia de lim it e ....................................................................
Límites la te ra le s ............................. ...................................................
Teorem as sobre lím ites f i n it o s ............................................ ..........
Álgebra de lí m it e s ............................................................................
Lim ite in f in it o .....................................................................................
121
125
128
130
132
136
143
VII
VIII.
IX.
X.
Generalización del concepto de lí m it e ..........................................
Indeterm inación del lí m it e ...............................................................
Asíntotas lineales a curvas p la n a s ................................................
147
153
156
5. Continuidad
I. Función continua en un p u n t o .......................................................
II. Álgebra de funciones c o n tin u a s ....................................................
III. C ontinuidad en un c o n ju n to ...........................................................
IV. Extremos de fu n c io n e s ....................................................................
V. Funciones m o n ó to n a s .................................... .................................
VI. C ontinuidad u n ifo rm e ..................................... 1 ...............................
166
172
174
178
184
187
6. Derivada
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
Derivada de una fu n c ió n .................................................................
Función d e riv a d a ..............................................................................
C ontinuidad de una función d e riv a b le ....... ..............................
Álgebra de d e riv a d a s ........................................................................
C álculo de algunas d e riv a d a s ........................................................
A p lica ción geom étrica de la d e riv a d a .........................................
A p lica ción física de la d e riv a d a ....................................................
D iferencial de una fu n c ió n .........................................................
Tabla de derivadas u s u a le s .............................................................
194
197
199
201
207
213
221
223
232
7. M áxim os y m ínim os
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VUl.
IX.
Signo de la derivada p rim e r a ............................................................
Extremos 5le una fu n c ió n ...................................................................
Propiedades de funciones d e riv a b le s ...........................................
Funciones m o n ó to n a s .......................................................................
C riterios para determ inar extrem os lo c a le s ................................
Extremos a b s o lu to s ...........................................................................
Puntos de in fle x ió n ...........................................................................
Límites indeterm inados. Regla de L 'H o p Ita l................................
Estudio com pleto de fu n c io n e s .....................................................
240
241
245
¿51
255
260
270
277
287
8. Fórmula de Taylor
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Vil.
Polinom io de Taylor
.......................
Fórmula de T a y lo r ...............................
................................
Aproxim ación de lunclonoH
................................
G enoralización dol c rllo rio pura (Inlnm iin.n e x tre m o s .................
G eneralización dol crito rlo para dnlnf m in ili lac o n c a v i d a d . . . .
C ontacto de curvas planas
.......................
Curva osculatriz
.......................
304
306
310
313
316
318
320
9. Sucesiones numéricas
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Sucesiones n u m é ric a s ...................................................................
Punto de a g lo m e ra c ió n ....................................................................
Lim ite de s u c e s io n e s ........................................................................
Sucesiones m o n ó to n a s ....................................................................
Subsuceslones o sucesiones p a rc ia le s ........................................
Sucesiones de C a u c h y ....................................................................
327
329
330
336
345
348
10. S tr lfl· numéricas
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Serie g e o m é tric a ...............................................................................
Álgebra de s e r ie s ...............................................................................
Condiciones de c o n v e rg e n c ia .........................................................
Series de térm inos no n e g a tiv o s .....................................................
Convergencia absoluta y c o n d ic io n a l..........................................
C riterios de convergencia para series de térm inos
no n e g a tiv o s ....................................................................................
VII. Series a lte rn a d a s ...............................................................................
VIII. Series de fu n c io n e s ...........................................................................
354
356
357
359
3.60
365
374
376
11. Primitivas
I. Primitiva o a n tid e riv a d a .....................................................................
II. Intigraclón In m e d ia ta .......................................................................
III. Inttgraolón por regla de la cadena (s u s titu c ió n )........................
IV. Inttgrtoión por p a rte s ......................................................................
V. Inttgraolón de funciones trig o n o m é tric a s ................................
VI. Inlfgraolón de funciones r a c io n a le s ............................................
VII. Intagraclón de funciones irra c io n a le s .........................................
VIII. Otras Integraciones por s u s titu c ió n .............................................
IX. Tabla de p rim itiv a s ..............................................................................
12 .
386
388
390
395
398
401
411
415
421
integral definida
I.
II.
, ill.
IV.
V.
VI.
Vil.
VIII.
Sumas inferiores y s u p e rio re s ........................................................
Intooral de R ie m a n n ...........................................................................
Propiedades de la in te g r a l................................................................
Función In te g ra l..................................................................................
Intégralos im p ro p ia s .........................................................................
A pllcaclonos geom étricas de la in t e g r a l......................................
A p llcaclonos f í s i c a s ...........................................................................
Integración a p ro x im a d a ...................................................................
índice a lfa b é tic o ...............................................................................................
437
444
453
455
462
465
479
483
495
IX
1. NOCIONES PREVIAS
El análisis matemático en sí mismo comienza con el estudio de los conjuntos de
números reales y la noción de límite.
Estos conceptos fundamentales no pueden presentarse sin recurrir a otros con­
ceptos previos sobre conjuntos, cuantificadores, módulo, etc. Por ello es aconsejable
quG cualquier curso de análisis sea posterior a un curso elemental de álgebra donde
se den las nociones de lógica simbólica, conjuntos, relaciones y estructuras, necesa­
rias para encarar una introducción al análisis en forma actualizada.
Sin embargo, quienes inician este estudio no poseen generalmente los conoci­
mientos indicados, sino que los reciben paralelamente. Por eso la primera parte de
0 lt f oapitulo aitá destinada a una breve exposición de esos temas básicos, que
••rá n Ulllliado· #n desarrollos posteriores y son indispensables para su comprenalón. EbIob oonciptos previos se darán en forma sintética. El lector puede recurrir
P|ra wu aclaración h otros textos que tratan dichos temas en forma detallada.
A continuación do esos temas iniciales se presenta el conjunto de los números
f f i l N fDfdlantt su estructura axiomática. Es aconsejable dedicar atención especial
• I iMlem· da conlinuidad o axioma del extremo superior, que será utilizado posteriorin t n t t t n varias demostraciones.
El capítulo 3. donde se dan algunas normas generales para representar gráficnmente funciones escalares, es solamente una guía para el tema. Recién después
do haber finalizado el capítulo 7 puede completarse el gráfico de una función de
manera menos intuitiva. Sin embargo, es conveniente manejar desde el comienzo las
raprosontnciones gráficas, pues ayudan a interpretar conceptos abstractos fundamantalo·, como límite y continuidad.
Plnalmonlíi, so aconseja, en una primera lectura, dejar de lado algunos temas
fH i· puaden prnsontar dificultades al estudiante que recién se inicia en la materia.
I nofi tomna hnn '.ido señalados en el texto con la marca ♦.
Comon/nrofTios el [)lan propuesto dando algunos elementos de lógica matemá­
tica o simbolica.
I. Lógica simbólica
La matemática exige en cualquiera de sus ramas un lenguaje claro y preciso.
I ’.tas virtudes las proporciona la lógica matemática o simbólica, que da a cada ex(MoMón un significado exacto y a cada símbolo una interpretación sin ambigüedades.
1
Una manera sencilla de introducir el lenguaje lógico es proporcionada por el cál­
culo de proposiciones o cálculo proposicional.
Proposición es toda expresión acerca de la cual tiene sentido decir si es verda­
dera o falsa.
"3 es número entero",
"el diamante es una flor".
son dos proposiciones. La primera es verdadera y la segunda falsa.
La expresión "x es número par", en cambio, no es una proposición, pues no
puede afirmarse, con sentido, su verdad o faltedad.
A partir de las dos proposiciones consideradas pueden obtenerse otras.
Por ejemplo:
"3 es número entero y el diamante es una flor",
"3 es número entero q e l diamante es una flor",
"sj 3 es número entero, entonces el diamante es una flor".
Estas nuevas proposiciones se obtienen vinculando las iniciales mediante las
palabras y, o, si - entonces, . . . , etc. En lógica esta conexión se hace definiendo ope­
raciones entre proposiciones.
Como la cuestión fundamental es saber si la proposición resultante es verdadera
o falsa para cada valor de verdad de las proposiciones componentes, se suelen re­
presentar las proposiciones mediante letras minúsculas: p, q, r, s , . . . y se dan tablas
que proporcionan la información necesaria. Estas tablas se llaman tablas de verdad e
indican si el resultado de la operación es una proposición verdadera o falsa.
Operaciones del cálculo proposicional
1. Negación
p 'nop) e i una proposición falsa si p es verdadera, y verdadera si p esfalsa]
Abreviando verdadera con V y falsa con F, se obtiene latablasiguiente, que
define la operación Indicada;
i
Ejemplo
p : "el diamante es una flor" nn una proposición falsa.
Luego, su negación
p : "el dianuinlu nu os im¿i flo r" es verdadera.
2. Conjunción
p A q (p y q) es una proposición verdadera únicamente si p y q son ambai
verdaderas.
P
q
P Aq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Ef9mptò
•
p ! “4 # · nùmero p a r" es una proposición verdadera,
q : ‘'Bahia es capitai de B rasil" es falsa.
I>U8Q0, tu conjunción p a q : “4 e s nùmero par y Bahia es capitai de Brasil·' es
l l ñ i (mipoalolón fa i··.
9 Disyunción
p v q (poq) es una proposición falsa únicam ente si p y q son ambas falsas.
p V q
\
I I n
I
hablan'' m uni proposición falsa.
m im sf» pAf** M verdadtm
y m i^ m
P V q ¡ 'l a t mariposas hablan o 4 es número p ar” es
4. Oliyuntidn §Mclutlva
p M () (p é q ) a · verdadera solamente si una de sus componentes es verdade­
ra y la otra a i falaa.
P
q
P^ Q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
p : “4 es número p a r" es verdadera,
q
"Lima es capital de Perú" es verdadera.
I I» nriio cjr.o, () v q : "4 es número par ó Lim a es capital de Perú" es falsa
•M» linininn do iimji disyunción exclusiva.
5. Implicación
p => q (si p, entonces q) o (p implica q) o (q si p) es una proposición falsa sola­
mente cusndo p es verdadera y q es falsa.
p es el antecedente de la Implicación y q el consecuente.
P
q
condición
condición
suficiente
necesaria
Ejemplo
p : "5 es número negativo" es falsa,
q : "el ruiseñor es un árbol” es falsa.
Luego, la implicación p
es un á rb ol" es verdadera.
q : "si 5 es número negativo, entonces el ruiseñor
6. Doble implicación
p c=D q (p si y sólo si q) es una proposición verdadera solamente si p y
tienen el mismo valor de verdad. Es decir, si ambas proposiciones son falsas o ver
dadoras simultáneamente, lo que las hace lógicamente equivalentes.
p «
P
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
q
Ejemplo
P : "B es núm§ro Impar" os falsa,
q : "4 as númaro nagatlvo" es falsa.
La proposición p <=> q : "B as númaro Impar si y sólo si 4 es número negativa
es verdadera.
Las proposiciones compuestas obtenldn» pueden volver a combinarse pí
formar nuevas proposiciones.*
* N ota: al utilizar los sím bolos de las oporaclonoa lógtc.is, 1,0 establece un orden de preemioi
d a entre los m ism os, al igual que sucede con los blftiholos de la aritmética, para evitar el
excesivo de paréntesis. La convención indica quo "« > ’ os más fuerte que “ =» " y éste
fuerte q u e “
a
” y “ v ”.
Por ejem plo, la expresión: p = »
significa: (p =
4
se=»qvr=> p A r
s) c=> [(q v r) =» (p
a
r)].
Entre las operaciones indicadas tiene especial importancia la implicación, que
«parece continuamente en el enunciado de propiedades y teoremas.
Consideremos, como caso particular, la negación de una implicación, que se
Utillíará varias veces en este libro.
p rr> q
PA -^q
-q
PA- q
- (p ^ q )
Por lo tanto, la negación de una implicación es lógicamente equivalente a la
conjunción entre el antecedente de la implicación y la negación del consecuenté.
Por ejemplo, la negación de la proposición: "si las rectas a y b son paralelas,
nntonces los ángulos alternos son iguales", está dada por la proposición: "las rectas
M y/ b son paralelas y los ángulos alternos no son iguales".
Interesa conocer ciertas implicaciones asociadas a la implicación p =» q, que
llamaremos implicación directa.
q => p es la implicación reciproca.
~ p =5 ~ q es la implicación contraria.
^ q =. ~ p es la implicación contrarreciproca.
Ejemplo
Consideremos las siguientes proposiciones:
p : ABC es un triángulo equilátero,
q : ABC es un triángulo isósceles.
Implicación directa: si ABC es un triángulo equilátero, entonces ABC es un trián­
gulo isósceles.
Implicación reciproca: si ABC es un triángulo isósceles, entonces ABC es un
triángulo equilátero.
Implicación contraria: si ABC no es un triángulo equilátero, entonces ABC no es
un IrlAngulo isósceles.
Implicnción contrarreciproca: si ABC no es un triángulo isósceles, entonces ABC
no aa un Irirtnquio equilátero.
Para fnnllllnr algunas demostraciones, se puede probar que cualquier implica( i(‘)f) OH oquIVMldnte .i su contrarreciproca:
P
q
p >q
P
q
q
P
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
~q
-P
-q = ^ -I
V
F
V
V
Cuantificadores
Como ya se ha visto, la expresión "x es número p a r" no es una proposición, pero
se transforma en proposición si se reemplaza x por un número. Dicha expresión
recibe el nombre de función proposicional de una variable.
Una función proposicional puede transformarse en proposición verdadera para
algunos valores de la variable, para todos o para ninguno. Es conveniente disponer
de algunos símbolos que denoten esas posibilidades.
Si la función proposicional Se convierte en proposición verdadera para todo valor
de la variable, corresponde Indicarlo anteponiendo el cuantificador universal, que se
simboliza V y se lee "para todo" o "para cualquier".
Vx: X es mortal, significa que para cualquier valor significativo de x, la propo­
sición que se obtiene es verdadera.
Si se quiere Indicar que la función proposicional se transforma en proposición
verdadera para algún valor de x por lo menos, se antepone el cuantificador existenclal, que se simboliza 3 y se lee "existe", y significa que "existe por lo menos
uno".
3 x / X es rombo, se lee "existe x tal que x es rombo", y significa que por lo
menos hay una sustitución de x que transforma a la función proposicional en pro­
posición verdadera.
Puede deducirse fácilmente, por su mera significación lógica, la negación de los
cuantificadores mencionados.
Para negar que una propiedad es universal basta encontrar un caso en que sea
falsa, es decir, exhibir un contraejemplo. En efecto, para negar, por ejemplo, que
fodos los números enteros son pares, basta indicar que existe un número entero que
no es par, como el número 5.
Es decir: [ Vx: p(x)] « 3x / -p (x )
Análogamente, si se quiere negar que una propiedad es válida para algún x,
debe probarse que es falsa para todo x.
O aaa, 13x / p(x)] « Vx: p(x).
EJERCICIOS
1) H a ctr tabla· da verdad para la · •Igülentet leyes lógicas
a) p A q « q A p
a) pv q
qv p
b)
(p A q) A r p A (q A r)
b') (p v q) v r
p v (q v r)
c) p A (q V r) *-♦ (p A q)V (p A r)
o') p v ((] a r) (p v
q) a (p v r)
d) p «
( p)
o) (p
>q) a (p=> r) c=> (p=^ q A r)
2) Hacer lablns do vordíid pnrn Iak Hloulonton loyos lógicas:
a)
(p A q )c > pv q
( ) (p > (|) a (q => r) =» (p =» r)
b)
( p v q ) f > pA
(I) p A (p => q) => q
e)
q A ( p q) :i:>
p
I)
p^(p^q)^q
3) Hacer tablas de verdad para las mujuhmiU»;, loyes lógicas, correspondientes a
distintas formas del principio de reducción al absurdo:
a) p A ( '-q =5 r A - r) => q
c) p a (p a q
s ) a (p a ~q => ~s)
=> (
b) p A ^ q z=> - p » p=>q
d) (p
q a q) => ~p
4) N k · ' Im ilgutentes expresiones:
·) Vx € R: 3y € R /x < y
b) Vx: (x€ R => x€ Q)
· ) ( q = ^ - p ) A ( p v - r)
c) Vx: p(x) a 3y / q(y)
d)3 x€N /x +1<x
f) ( p v ~ q ) =» (q a - r)
6)
In dlcir ti la Información dada alcanza para dar
I··
proposiciones compuestas;
P es
1) -pvq ■· (P=> q)
á PAQ-»r « q
q es
r es
, í l pA
» -p v (r A
s)
i ) '(p*» q) A p A q A - p
P es
p v q es
f ) (p=> q) A (~p= > q v r)
6)
el valor de verdad de cada una de
F
F
F
V
F
Simplificar las siguientes proposiciones;
g)
[~ (p=D q) V (p A q )]
b) |( p A q ) v ~ q ] V (pA ~ p A -^q)
C) |p v (q A ~ p )] A [ p v ~(q A p )]
d)
( - P A - q ) a ( ~ p => ~q)
II. Conjuntos
"Conjunto" es un término que no se define. Los conjuntos se designan gene­
ralmente con las letras A, B, C, etc., y se indica cuáles son tos elementos que perte­
necen a cada conjunto. Esto puede hacerse en algunos casos por extensión, es decir,
enumerando los elementos del conjunto.
Por ejemplo; A = {0,1,2,3}; B = |a,b,cj.
0 por comprensión, indicando alguna propiedad que permite decidir cuáles son
loa elementos que pertenecen al conjunto.
Por ejemplo; C = {x / x es un número entero a o < x < 3};
D = {x / x es un ser humano}.
Obsérvese que C es el mismo conjunto A.
Si un conjunto no tiene elementos,' se lo designa con el símbolo é y se lo llama
conjunto vacío.
Consideremos los siguientes conjuntos;
A ^ {x / x es número real a x ^- i- i = 0 };
n
¡x / x > O a x < - 3 } .
t’ ntoR conjuntos carecen de elementos y por lo tanto son vacíos. Pongamos
A - 0, y n (í)2
Puodn probarse que existe un conjunto vacío único, y, por ello,
= <¿2 = (f)
y (/» 09 qI conjunto vacío.
Los conjuntos se pueden vincular entre sí mediante relaciones o pueden generar
Mijovos conjuntos mediante operaciones o leyes de composición.
Consideramos en primer lugar una relación entre conjuntos llamada inclusión.
Inclusión
1 I conjunto A está Incluido en el conjunto B si y sólo si se verifica que cada elenm illo do A pertenece a B. Se lo indica A c B (que se lee A incluido en B).
A c B c=> Vx: (x € A => x e B)
Ejemplo
Si A = {0,3.4,1 } y B = {0,1,2.3.4}. entonces A c B.
Con la definición anterior puede probarse fácilmente que el conjunto VMtO t lt á
incluido en cualquier conjunto.
Es decir, VA: <í) c A.
En efecto, c A c:^ Vx: (x e (f>
x e A), y esta implicación e t V t f d t d f f l
por tener antecedente falso.
Dado un conjunto cualquiera A, si A tiene n elementos es posible encontrir 2"
conjuntos incluidos en él. Cada uno de estos conjuntos recibe el nombre de subcon­
junto de A o parte de A.
Por ejemplo, si A = {0,3,4},
A, = 4>, A2 = (Oj. A3 = |3 ). A4 = |4 |,
As = 10,31, Ae = |0,4|, A; = |3,4), A, = (0,3,4)
son las partes de A.
El conjunto cuyos elementos son las partta da A · · llam · pOltntdi é f A O con­
junto de partes de A y se designa P^.
En el ejemplo dado,
- { a , .Aj,,A3 ,A4 ,Ab,A ,,A ,,A,}.
Igualdad de conjuntos
La inclusión de conjuntos es una relación antisimétrica, porque verifica la tiguíente propiedad: A c B a B c A = > A = B.
Esta propiedad permite considerar la igualdad de conjuntos de la siguiente ma­
nera: dos conjuntos son iguales si y sólo si cada uno de ellos está incluido en el otro.
O sea, A = B « a c B a B c A.
Es decir, en cualquier caso en que se deba demostrar la igualdad de dos con­
juntos debe probarse la doble inclusión, lo que equivale a probar que am t»s con­
juntos tienen los mismos elementos.
Definiremos ahora algunas operaciones usuales entre conjunto·.
Unión
La unión de A y B es el conjunto formado por los elementos de A o de B o de am­
bos conjuntos. Se lo designa A u B (que se lee A unión B).
O sea, A u B = { x / x e A v x € B } .
Ejemplo
S iA -
10.1,2} y B -
|0,1,3,4}, entonces A u B
= {0,1,2,3.4}.
Intersección
La intersección de A y B os el conjunto formado por los elementos comunta a
ambos. Se lo designa A i í B (quo se lee A intersección B).
O sea, A n B = { x / x í A a x t B } .
8
Ejemplo
Si A = {0,1,2} y B = {0,1,3,4}, entonces A n B
= {0,1}.
Diferencia
La diferencia A menos B (o complemento de B respecto de A) es el conjunto
formado por los elementos de A que no pertenecen a B.
A -B
= {x/xeA A
x / b }.
Ejemplo
Si A = {a,b,c,d} y B = {a,c}, entonces A - B = {b,d}.
Complementación
Al estudiar una teoría determinada, se llama conjunto universal o referencial al
conjunto formado con todos los elementos a que se refiere la misma. Generalmente
se lo designa U.
Si A es un conjunto cualquiera, se llama complemento de A a la diferencia
U - A.
Es decir,
(complemento de A) = U - A.
Por lo tanto, Vx: (x e
<=> x ^ A).
Es común designar A al complemento del conjunto A, o sea, A = C^,
Si se considera como conjunto universal al conjunto de los números reales,
e l complemento del conjunto de los números racionales es el de los números irracio­
nales. El complemento del conjunto R de los números reales es el conjunto vacío.
Es fácil probar que el complemento del complemento de un conjunto es este
conjunto. O sea, À = A.
Producto cartesiano
Al definir un conjunto no se considera un orden entre sus elementos. Asi, el con­
junto {a,b} es idéntico al {b.a}.
Algunas veces interesan especialmente conjuntos en que los elementosse con­
sideran ordenadamente, como las cuplas o pares ordenados.
El conjunto (a;b) se llama par ordenado y se define así: (a;b) = {{a,b}, {a}}.
Puede probarse que (a;b) = (c;d) » a = c a b = d.
à es la primera componente del par y b la segunda.
El producto cartesiano de A por B es el conjunto de todos los pares ordenados
cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a B.
A X B = {(x;y) / x e A A y e B }
Ejemplo
Si A = {0,1,2} y B = {3,4},
A x B = {(0:3).(0;4),(1:3),(1;4),(2;3).(2;4)},
A2- = A x A = {(0;0),(0;1),(0;2).(1:0),(1;1),(1;2),(2;0),(2;1),(2;2)},
B x A = {(3:0),(3;1),(3:2),(4;0),(4:1),(4;2)}·
02 = B X B = {(3:3),(3:4),(4;3).(4;4)}.
Obsérvese que, en general, A x B t B x A .
Relaciones binarías
Interesan muy especialmente los subconjuntos del producto cartesiano, pues
dados dos conjuntos A y B, cada subconjunto del producto cartesiano A x B esta­
blece una relación entre los elementos de ambos conjuntos.
Una relación binaria entre los elementos de A y B es, entonces, cualquier con­
junto incluido en su producto cartesiano.
relación A en B « í ^ c A x B
Análogamente, se dice que ^ es una relación binaria definida en el conjunto
A si es un conjunto incluido en A x A, o sea, si es un subconjunto o una parte de
A X A.
'K relación en A <=► '7^ c A^.
Se llama dom inio de una relación al conjunto formado por las primeras compo­
nentes de los pares que pertenecen a la relación. Recorrido es el conjunto forma­
do por las segundas componentes de los pares que pertenecen a la relación.
Ejemplo
Sea A = 10,1,8.6,3,2}
y 7^ = {(0;1).(0:8).(0;6),(1;8),(1;6)} una relación definida en A.
Dominio de '?^es el conjunto {0,1} y recorrido de '/^e s el conjunto {1,8,6}.
Además, como el par (0;1) pertenece a '2^, 1 es una imagen de O en la relación
8 es otra imagen de O, etc. Es decir, si el par (x;y) pertenece a la relación
y es
una imagen de x en la relación
Si ^ e s una relación binaria de A en B, se llama relación inversa de'T^y se
d e s ig n a ^ · ’ a la relación de B en A formada de la siguiente manera:
= {(y ;x )/(x ;y )e ^ }
Inmediatamente resulta:
Dominio
Recorrido
a
Recorrido
Dominio
Ejemplo
Sea A = {a,b,c} y
La relación inversa es
{(a;a),(b:c),(c;a)}.
= {(a:a),(c;b),(a;c)}.
EJERCICIOS
1) Hallar unión, intersección, diferencias y productos cartesianos de;
10
a)
b)
c)
A = {0.1,2,3.4}
A = {a.b.c}
A = {5,2.3}
B = {a,b}
B = {a.x.z}
B =é
2) Dar todos los subconjuntos de:
a)
b)
c)
A = {0.1.2}
B = {a.b.c.d}
M = {(0 ;l).(l:0 ).(i:i)}
3) Dar todas las relaciones posibles en A = {a.b}.
4) Indicar d om inio y recorrido de las siguientes
en el conjun to de los núm eros reales:
a) ^
b)
c)
relaciones
definidas
= {(0;0).(0;1).(2;1).(1;0)}
= {(a:a),(b:b).(c^),(a^)}
= {(3 :\/5 ).(\/2 ; V 5 ) . ( v ^ ; \ ^ ) }
5) Siendo A = { - 4 . - 3 .
siguiente condición:
2.
1.0.1,2,3.4}.
(a;b) 6 7^ <=> a e A
exhibir la relación
a
beN
a
definida en A por la
a+b = 5.
D a r í^ - ’ .
6) Indicar dominio y recorrido de cada una de las siguientes relaciones definidas en
R. Graficarlas
a)
b)
c)
d)
X :^ y
xT^y
xT^y
xT^y
e=> x^ +y^ = 9
« 4x^ f9 y^ = 36
c=> x ^ -4 y ^ = 1
» 9 y^-1 6 x^ = 25
III. El núméro real
La introducción del número roal es una etapa fundamental y puede hacerse de
distintas maneras. El camino más común es el que parte de los axiomas de Peano
para el número natural, luogo introduce el número entero utilizando pares ordenados
de naturales y el número racional mediante pares de números enteros de segunda
componente no nula, l a introducción del número real a partir de números racionales
difiere esencialmente do los pasos anteriores.
Dedekind y Cantor lloqaron ni número real por métodos equivalentes y caminos
distintos. Dedekind, utilizarido cortaduras en el conjunto de los números racionales,
y Cantor mediante clases do equivalencia formadas con sucesiones convergentes
de números racionales.*
Utilizando cualquiera de los dos métodos, definiciones adecuadas de adición y
multiplicación y una relación de orden, pueden probarse como teoremas las propie­
* U tilizarem os, como es común, la siguiente nomenclatura para designar a los conjuntos num é­
ricos m encionados: N p ara el conjunto de los números naturales, Z para el de enteros, Q para el
d e racionales y R p a ra el conjunto de los números reales.
dades conocidas del conjunto de los números reales. En especial p'.'ode probarse
que adquiere estructura de cuerpo conmutativo, ordenado y contim.io.
Como ambos métodos, presentan algunas dificultades, es más sencillo, en
curso de introducción al análisis, considerar al conjunto de b s núm-^ros reales, ' de
los reales positivos y a las operaciones de adición y muItipü;ación como conr-ptos
primitivos que satisfacen ciertos axiomas.
Estos axiomas se pueden clasificar en tres grupos que caracterizan ^1 campo
ordenado y continuo.
1. p io rn a s de cuerpo conmutativo
Suponemos, entonces, la existencia de un conjunto R, cuyoF elementos se de­
nominan números reales. Consideramos, además, que se puer'an definir en R dos
operaciones o leyes de composición binarias, a las cuales dt'nominamos adición y
multiplicación, simbolizadas, respectivamente, " + " y
q»« cumplen los siguien­
tes axiomas:
fK^) P ropiedad d e l cierre
La suma de dos números reales es un número real y el producto de dos números
reales es un número real.
O sea, VaVb ( a e R
a
beR
a+b€RA abeR).
Es decir, la adición y la multiplicación son leyes internas en R.
A ¡) Propiedad conmutativa
V a € R V b e R :( a + b = b + a
a
a b = b · a)
A j) P ropiedad asociativa
V a € R V b e R V c € R: [(a + b )+ c = a+(b+c)
a
(a b) c = a (b e)]
A J Existencia de elemento neutro
3 0 € R / V a € R; a + 0 = a
31 € R / V a € R: a · 1 = a
A^) Existencia de elemento simétrico
Va€ R :3 (-a )e R /a + ( - a ) = O
V a e R - {0} 3 a - ’ € R / a a “ ’ = 1
Ag) Propiedad distributiva
VaeR VbeR Vc€R;a
(b+c) = a b + a c
2. Axiomas de orden
Introducimos ahora, también en forma áxiomática, un nuevo concepto primitivo,
el de número real "positivo".
12
Para ello suponemos que existe un subconjunto no vacío de R. cuyos elementos
se llaman números positivos y al que designaremos
Se cumplen las siguientes propiedades:
O J Tricotomía
Va: (a e R => a = O y ae R·" v
ae R * )
0¿) Propiedad del cierre
La suma de dos números reales positivos es otro número real positivo y el pro­
ducto también.
VaVb: (a e R ·"
beR^
=» a + b e R *"
a
a beR*)
Es decir, + y · son leyes internas en R ·".
Los dos axiomas anteriores permiten ordenar los elementos de R. Para ello pue­
de introducirse la siguiente definición de la relación de "mayor", simbolizada " > ":
a > b c=> a + ( - b ) e R ^.
Puede probarse que “ > " es una relación de orden estricto total en R, pues
cumple las siguientes propiedades:
1) asimétrica:
2) transitiva:
3) lineal:
VaVb: (a > b => b > a);
· VaVbVc: (a > b a b > c
a > c);
VaVb: (a b‘ => a > b sí b > a).
Se define luego la relación "menor", simbolizada "< ":
a < b c=D b > a.
También puede definirse en R la relación de "mayor o igual", simbolizada " > ",
de la siguiente manera:
^
a¿=b c = » a > b v a = b.
Puede probarse que esta relación " > ” es una relación de orden amplio total
en R, pues cumple las siguientes propiedades:
1)
2)
3)
4)
reflexiva: Va: a > a;
antisimétrica: VaVb: (a s b
transitiva;
lineal.
a
b - a => a = b);
■Con los dos grupos de axiomas anteriores pueden demostrarse todas las pro­
piedades aritméticas conocidas de los números reales.
Falta considerar, todavía, la propiedad de "continuidad", que tiene importancia
fundamental en el esquema d e e s te libro y que j t o se estudia, generalmente, entre las
propiedades elementales d e l c o n ju n to R.
3. Axioma de continuidad
Este axioma caracteriza especialmente al conjunto de los números reales, ya
que el conjunto de los números racionales también constituye un cuerpo ordenado.
Corresponde dar, previamente, las definiciones de cotas y extremos de conjun-
lo · O rdtntdO ·, p u ·· el axioma de continuidad se refiere especialmente a conjun­
to · acotado·.
Cota superior
k es una cota superior de un conjunto C de números reales si y sólo si k es un
número real que no es superado por ningún elemento del conjunto.
O sea, k cota superior de C <=> Vx: (x e C =* x < k).
Un conjunto está acotadp superiormente si y sólo si tiene una cota superior.
Por ejemplo, el conjunto de los números reales negativos R “ está acotado supe­
riormente, ya que cualquier número no negativo es una cota superior para dicho
conjunto.
Obsérvese que si un conjunto tiene una cota superior, tiene infinitas cotas supe­
riores. En el ejemplo anterior, el número O es una cota para el conjunto de los núme­
ros negativos, pues sí x es cualquier número negativo, resulta x < 0. Es obvk) q u ·
cualquier número real a > O · · también una cota para el conjunto R~, p u ·· ·!
X < O y O < a, entonces x < a.
El conjunto de los números reala· no ••té acotado superiormente, pues para
cualquier número real k siempre es posibl· ancontrar otro número real x, tal que
X > k.
Supremo (extremo superior o cota superior mínima)
8 es el supremo de un conjunto C de números reala· al y •ók) ·!;
1) s es una cota superior de C
A
2) Si k es cualquier cota superior de C, entonces s ^ k.
Para el conjunto R " , de los números reales negativos, O es el supremo, pues
es la menor cota superior.
Puede probarse, utilizando la definición, que el supremo de On conjunto, si exis­
te, es único.
En efecto, sean k, y k^ suprerrnDS del conjunto C.
Consideramos, en primer lugar, qua k, a · auprarrK) y k ,, por aar aupramo, es
también cota superior.
Luego, como el supremo es la menor cota superior, raaulta k, « k|.
Análogamente, por ser
supremo y k, cota superior, es k j a. k,.
Por antisimetría, k, < k2 a kj < k, => k, = k^. O sea, que el supremo es
único.
También puede probarse la unicidad por reducción al absurdo. Para ello, sea k,
un supremo del conjunto C y k j otro. Si son números reales distintos, suponemos, sin
perder generalidad, k, < ks (1).
---------1------------ '—l·
k^
Como k^ es supremo, también es cota superior. Además, k j, por ser supremo,
es. la menor cota superior. Luego,
s k,, lo que contradice (1) y prueba la uni­
cidad del supremo.
El supremo de un conjunto acotado superiormente puede pertenecer o no al
conjunto.
14
En el caso del conjunto R'“ . formado por los números reales negativos, el su­
premo O no pertenece al conjunto.
En cambio, si se considera el conjunto de los números reales no positivos, el suprenno también es 0. pero, en este caso, pertenece al conjunto.
Si se consideran los conjuntos siguientes;
A = {x / X 6 R A 2 < X · 5} y
B = { x / x e R A 2 ·: X ■: 5>,
ambos conjuntos están acotados superiormente y el supremo para ambos es el nu­
mero 5. Pero 5 ^ A y, en cambio, 5 c B.
2
A
2
B
— o
------O
5
— o----5
■· -----
En el segundo caso al con)unto B tiene un elemento máximo que es el número 5.
Un conjunto do números reales tiene máximo, entonces, si tiene extremo supe­
rior o supremo y ésta pertenece al conjunto.
El conjunto de los números reales negativos no tiene, por lo tanto, máximo.
En cambio, el conjunto de los reales no positivos tiene como máximo al número 0.
Dofiniclonos análogas se establecen para cota inferior, extremo inferior y mínimo
de un conjunto
Es decir, h es cota inferior del conjunto A de números reales si y sólo si es un
número real que no supera a ningún elemento de A.
O sea, h cota inferior de A <=> Vx; (x€ A => x > h).
Si h es cota inferior, cualquier número real menor que h también es cota inferior.
Infimo, extremo inferior o cota inferior máxima es la mayor cota inferior.
Es decir, k es el Infimo del conjunto A si y sólo si;
1) k es cota inferior de A, y
2) Vk'; (k'co ta inferior do A
k ' ·? k).
Consideremos los siguiontos conjuntos;
A
B
{x / X e R A x > 0}
Ix / x c R
a
x
- ^O}
El conjunto A está acotado inferiormente pues O y todos los números menores
que O son cotas inferiores de A. O es el extremo inferior o ínfimo de A.
A
------- o------------------o
B
El conjunto B también tiene como ínfimo al número 0. En el conjunto B, además.
O es el mínimo, pues es el extremo inferior y pertenece al conjunto.
Un conjunto está acotado s i y sólo s i admite una cota superior y una cota in­
ferior.
15
ff/imp/0
A
{x / X e R A 0 5= X < 5}
A
0
5
0. 1, \ 2, etc., son cotas inferiores de A. 0 es el infimo y es m(nimc),
5, 6. 7, etc., son cotas superiores de A y 5 es el supremo, pero no es máximo
El conjunto A es un conjunto acotado.
Se llama conjunto mayorante de un conjunto al conjunto de todas sus cotas
superiores, y conjunto minorante al conjunto de todas sus cotas inferiores.
En el ejemplo anterior, conjunto mayorante de A = {x / x > 5} y conjunto mino­
rante
{x / X < OK
Obsérvese que el conjunto vacío es un conjunto acotado, pues cualquier nú­
mero real satisface la definición de cota superior para é y también la de cota in­
ferior.
O sea, mayorante de
= minorante de ó = R.
Por lo tanto, a pesar de estar acotado, el conjunto vacío no tiene supremo ni
ínfimo.
C j) Axioma de continuidad
Si un conjunto no vacío de números reales está acotado superiormente, enton­
ces tiene supremo.
Es decir, cualquier conjunto no vacío de números reales que admite una cota
superior tiene una cota superior mínima que es también un número real.
Esta propiedad, característica de! conjunto de los números reales, no se veri­
fica para el conjunto de los números racionales. En efecto, existen conjuntos de
números racionales acotados superiormente, cuyo supremo no es un número ra­
cional.
Paro probarlo, os decir, para demostrar que el axioma de continuidad no es
válido para el conjunto O de los números racionales, basta encontrar un caso en
que no t t vtrlfíquo, e · dtcir, un contrae)«mplo.
Sea A «I conjunto formado por todoa loa nümtroa radonalas nagatlvos, el coro
y loa raclonalea poaltivoa cuyo cuadrado aa manor o Igual qua 2
Es decir,
A
{x / X € O A (x - O V x'’
2)}
Este conjunto no es vacío y está acotado superiormente por cualquier número
racional positivo cuyo cuadrado sea mayor que 2.
o
1
\ / 2·
2
El suprerro de este conjunto A debería ser un número cuyo cuadrado es igual
a 2, o sea, \ 2, que no es núnero racional. Luego, A no tiene supremo en Q.
Consideremos el conjunto 3, definido por la misma regla que definió al conjun­
to A, pero cuyos elementos son púmeros reales:
16
B
|x / X e R
—
A (x < O V
< 2)}
'------------1------------------------v T
2
0
El supremo del conjunto B es \/2 , que es unnùmero reai.Luego, elconjunto
B tiene supremo en R.
Utilizando el axioma C, se puede demostrar que si un conjunto no vacío de
números reales está acotado inferiormente, entonces tiene ínfimo.
De los tres grupos de axiomas mencionados se deducen todas las propieda­
des que interesan del conjunto R.
Tiene especial aplicación, en análisis, el concepto de valor absoluto de un nú­
mero real y sus propiedades.
Valor absoluto
Definición
Se llama valor absoluto o módulo de unnúmero
positivo o cero, y a su opuesto si es negativo.
real almismonúmero
si es
a si a > O
Es decir,
|a{ =
L - a si a < O
De acuerdo con la definición: |5| = 5, | - 3| = - ( - 3) = 3. Por lo tanto, el mó­
dulo de un número real es siempre un número no negativo.
Teorem as
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Va: (a ^ O
|a| > 0)
Va: (la| = |- a|)
Va: (-|a | < a < \a\)
VaVb: (|ab| = |al|b|)
Vk > O Vx: (|x| < k « - k < x <
k)
Vk > O Vx: (¡xl > k < = > x s k v x < -k )*
VaVb: (|a+bl ^ la| + lb|) (desigualdad triangular)
Vne N
Va,
e R: (|ai - .. . ^ a j < la^j + la^i-i- .. .
VaVb: (|a| ;b| < |a b|)
VaVb: (|a b| - ||a| lb|l)
+ |a j)
Los teoremas anteriores y otros similares se demuestran aplicando directamen­
te la definición de módulo. Como esa definición consta de dos proposiciones, con-
En el teorem a 5. la proposición - k < x < k e s equivalente a la siguiente conjunción de
proposiciones:
k
x a x < k.
En el teorem a 6, en cambio, no debe utilizarse la expresión - k > x > k, pues no es
equivalen te a la disyunción
k > x v x ^ k, ya que el simbolismo indicado sólo se acepta
para reem p la zar una conjunción de proposiciones.
17
V d n t f t n t f l l n i f ntt dttdoblar la derrv;stración d^: cada teorema, considerando cada
m e Mparadam«nt·.
Frobartmoi, corno guía par? este tipo de demostraciones, los teoremas 5, 7
y I , cuyo uto es muy frecuente.
Tforam a 5
Vk > o Vx; (¡xj < k <=> - k < x < k)
Demostración
Primera parte:
|x| < k
-k < X< k
Consideramos dos casos, según x sea o no negativo.
a) X < O
Por definición de módulo: x < O =» |x| = - x .
Por propiedades de R:
x<
O =>
x < -x .
Luego, es:
x<
|x|..,
Como por hipótesis es |x| < k, resulta x < k.
Además, - x = |x| < k =* - k ·< x.
Luego, x < k A - k < x , que es la tesis.
b) X > O
Por definición de módulo: x > O => |xl = x.
Si reemplazamos | x[ por x en la hipótesis, queda: x :< k.
Por propiedades de R: x > O => - x < x.
Por transitividad: - x < x a x < k
- x < k.
Por propiedades de R: - x < k « - k < x .
Por lo tanto, x < k a - k < x , que es la tesis.
Segunda parte:
k r, X
k =9 |x| -s k
Consideramos también dos casos:
a) X < O
Por definición de módulo: x < O => |x| = x.
SI en la desigualdad de la hipótesis reemplazamos en el primer miembro x
por |x |, re s u lta -k í í - | x | .
Luego, es |x| < k.
b)
O
Por definición de módulo: x > O => 1^1 = X·
Como por hipótesis es x < k, resulta |x| < k.
X S:
Este teorema permite completar la consideración de conjuntos acotados.
En efecto, si un conjunto C es tal que Vx e C: jxj< k, el conjunto C está aco­
tado pues resulta - k < x < k y, por definición decotas, - k esuna cota inferior y
k es una cota superior del conjunto considerado.
Por otra parte, si un conjunto A está acotado, puede probarse que existe un
número positivo k tal que Vx: (x € A
|x| < k).
Por ejemplo, sea A = {x / 1 < x < 5}.
18
En este caso, también - 5 es una cota inferior y resulta - 5 5= x s 5. Luego,
5.
Si se considera B = { x / - 4 < x < - 1 }, resulta también x < 4, por lo cual
4 0 8 cota superior del conjunto B y, por lo tanto, Vx: (x € B => \x\ < 4).
O
sea, si es a X < b y k es el número máximo entre |al y lb|, entonces
resulta \x\ < k.)
Por lo tanto, puede probarse fácilmente la siguiente propiedad:
C es un conjunto acotado si y sólo si existe un número real k > O tal que
Vx: (x€ C => |x| '-i k).
|x|
r* O ftm a 7
VaVb: |a+b| < |a| + |b|
Dem ostración
Por el teorema 3, es:
- | a | < a < | a j . A - ¡ b l< b ^ |b l.
Si se suman miembro a miembro las relaciones anteriores, resulta:
-|a | - |b( < a+b < |a| + |b|.
Pero,-(|a | + |b|) < a + b < |a| + |b| <=> |a+b| <
|a| + |b|, por el teorema 5.
La propiedad anterior se generaliza para cualquier número de sumandos. Para la
demostración en este- caso general debe utilizarse el principio de inducción com­
pleta, que es eí siguiente: Sea p(n) una proposición asociadaa cada número natural
n, que puede ser verdadera o falsa. Si se cumple:
1) p(1) es verdadera
2) p(k) verdadera implica que p(k + 1) también es verdadera, cualquiera sea
el número natural k,
entonces p(n) es verdadera para todo número natural.
Teorema 8
V n e N Va¡ e R: |a ,+ a j+ .. . + a j < |a j +
+ · ■. + k l
Demostración p o r inducción
Sea p(n) la expresión: | a , + a j + .. .+ a„| < |a j + jajl + . . . + |an|.
1) p(1) es verdadera pues | a j < | a i | .
2) Vk: (p(k) verdadera => p(k+1) verdadera).
En efecto:
1«, la ,
y |( m ,
i a_,
f
. . . + ak + a ,,J = l ( a , + a j + .. . + a j + a , , J
( . . . t - a j + a,^^J < j a , + a j + .. . + a j + |a^^ J porteorem a?.
A(loni<1s,
I
H;, I . . . f a j + |a;^.,| '< '|a,| + ¡a^l + . . . + |a j + ¡a^, J por ser verdade-
lii |)(k).
I ’or transitividad, queda la tesis. Es decir, el teorema se ha demostrado por in­
ducción completa para cualquier número de sumandos.
19
Obsérvese que el principio de inducción completa es un recurso que permite
probtr propiedades válidas para cualquier número natural n.
O bM rvaclón Importante
SI a > O, >/a^ es el símbolo que designa la raíz cuadrada positiva del nú­
mero a.
Obsérvese además que
puede probarse que ^
Por lo tanto, si
y /W
no es necesariamente igual al número b, pues
= |b|.
b < O,
es
y / W = |b| = - b ,
y en este caso índice y
exponente no pueden cancelarse, pues V " b ^ = - b
b.
El lector debe familiarizarse con la idea de que el símbolo - b representa un
número positivo si b es negativo.
EJERCICIOS
1 ) Demostrar las siguientes propiedades de los números^wrfes:
a)
b)
c)
d)
e)
a + c = b + c =>
a= b
a c = b c = > a = bsic9to
a ·O= O
a -< -b ) = - ( a b )
( - a ) ■(-b ), - a · b
2) Demostrar los téoremas 1, 2, 3, 4, 6, 9 y 10 de válof atisoluto.
3) Demostrar por inducción completa qué:.
a)
b)
c)
Vn: (a ^ "-b ^ ")
Vn: ( a " - b " )
Vn: (a^" ’ +b^'^ ’ )
es divisible por (a+b)
es divisible por (a -b )
es divisible por (a+b)
4) Demostrar: si x^ ^ 2, entonces x no es número racional.
5) Representar gráficamente los siguientes conjuntos de números reales:
A
B
C
D
E
F
- {x/|xl<3}
=
{x / |x| < 5}
=
{x / |x| > 4}
= {x/lx-2|<4}
= {x/|x-2| <3}
=
{ x / j x + 1 | < 4}
G = {x / |x-6l < 1 V X = 8}
20
H
=
{x /x
L
=
{x / x < 2 a x > - 1 }
<
1 V x > 3}
M
N
P
S
T
V
=
=
=
=
=
=
{x/x<1 A x>2}
{x/lx+11>4}
{x/lx-2l>0}
{ x / 0 < |x + 2 l < 5 }
{ x / 0 < |x + 3| < 1 v x = 1}
{ x / 3 < l x - 2 l< 5} . ^
'
I ) 81 existen, hallar cotas, extremos, máximos y mínimos de los conjuntos ante­
riores.
7) Indicar cotas y extremos, si existen, de los siguientes conjuntos incluidos en R:
A = { x / - 1 < x < 3 v x = 5}
B = {x/x=1 v 4 < x < 6 }
C =
x / x = — A n€N(
n
D =
x/x =
E =
x /X =
F =
X/ X =
G =
x /x =
H =
x /x = ■
L
M
N
A n€ N
2n
2n
2n-h1
A n6 N
n-l·2
2n
5 n -4
A n€ N
A ne N
A ne N
= {x / x2 > 5 A
= {x / x^ < 3 A
= {x / x^ < 7}
P =
X / ^x =
x < 0}
X < 0}
A ne
nJ
V |x+4| < 1
8) Indicar cuáles de los conjuntos anteriores tienen máximo o mínimo.
9) Siendo A =
B =
{x /|x -1 |< 3
X / X =
4n—1
'
n+3
A
ne N , hallar
10) Hallar x e R tal que 2 x - 2 < |3 x -2 l
11) Idem si
x+ 2
x -2
12) Ídem si
3x+2
x+1
<
y
|x + 1 | 2 : 4 }
a
a
AnB.
|3 x-2 | < 3 x -1 .
1.
> 2.
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPITULO 1
B«oolón I
1)
d)
P
~P
V
F
F
V
~ (~ P )
V '
F
p «
~ (~p)
V
V
21
2)
a)
p q p Aq
3)
' (p A q)
-p V -q
(p A q)
^pv~q
a)
4)
a) 3 x € R / Vy € R: x > y
b) 3 x / x € R A x < Q
c) 3 x 7 -p (x ) V Vy; -q (y )
d) V x€ N: x+1 > x
e) (q A p) V (~p A r)
í) (p A r) V ~q
a) V
b) F c) no es suficiente
a)
p
b)
q
=> p
c) p v q
6)
5)
d) F
e) no es suficiente
d) p
Sección li
1)
c ) A u B - A
B X A -- </)
3)
A
-- <I>
B = A
= (¿
AxB
= (/)
B - A = (/;
{(a:a)}
^2
= {(b:b)}
'Ke
= {(a;a),(b:b)}
7^4
= Ua:b)}
'Ks
= {(b:a)}
7^7
= {(a;a),(a;b)}
Xa
= {(a;a),(b:a)}
7^ 1 0
= {(b:b),(b:a)}
'K u
= {(a:b),(b;a)}
= {(a:a),{b:b),(b;a)}
^ ,4
= {(a:a),(a:b),(b:a)} X l5
'K .s =
22
AnB
-
{(b:b),(a;b)}
7^12 = {(a:a),(b;b).(a:b)}
= {(b;b),(a;b),(b:a)}
4)
5)
II)
D,
{0,1,2}
Rec,
= {0,1}
b)
D ,,
{a.b,c}
Recu'
= {a,b,c)
c)
D,..
{3, \ / 2 . \ / l }
R ec,-
= {> /5 }
K
K
fl)
n)
b)
{( 4;9),(-3;8),(-2;7).(-1;6).(0;5),(1;4).(2;3).(3:2),(4:1)}
' -
{(9; 4),(8:-3),(7:-2),(6;-1),(5;0),(4:1),(3;2),(2;3),(1;4)}
Dom
{x/-3<x<3}
Rec
{y/-3<y<3}
Dom = { x / - 3 < x < 3 }
Rec
c)
Dom = ( x / x <
Rec
d)
1 vx> l}
= R
Dom = R
= {y / - 2 < y < 2}
23
Stoolón III
1) b) c # O => 3c ' / (a c) · c ' = (b c) c
c)
' => a · (c · c ’ ) = b (c · c
a= a · 1 = a(1 -^0) = a - 1 - ^ a O = a - a O
y también
’ ) => a = b
a = a *0
Luego, a + a O = a + 0 = 3 a O = O
d) a(- b) = a (-b ) + O = a (-b ) + ab - (-a b ) =
=
3) a)
a (- b + b ) + (-a b ) = ‘ a O - ^ ( - a b ) =
1) n = 1; a ^ -b ^ = (a ^ b )(a -b ) => a^
-(a b )
b^ = m (a-^b)
2) n = h: a ^^-b ^'’ = k (a-^b) (hipótesis Inductiva)
n = h - 1 ; a^'^ ”
Demostración
a 2(h 1, J^2lh n
b^' ^ '' = k' ( a- b) (tesis)
g 2h 2
^2" 2 = a’ " ■
a^^ b^ -
b^(a^'’ - b 2^) = a ^'"(a*b )(a -b )
= r(a ^b) -
a 2^ ( a ^ - b 2 )
b^ k (a -b ) =
s (a -b ) = k' (a-t^b)
5) A = {x / - 3 < X < 3}
B = { x/ - 5 <
X
C
= {x / X> 4 V
D
= {x /
< 5}
X
< - 4}
2 < X<
6}
- 0 ///A
4
-W /o -4
-2
E
= {x /
1
- = X 5}
F
= {x /
5 < X<
—
6
· /////////////// ·
-1
3}
-5
G = { x / 5 < x < 7}u{8}
H
L
-o / / / / / / / / / / / / / / o5
7
-tT A W ·1
- o H-f UiW -ho-
-1
2
M = (^
N = {x /
x
2:3v
P ^ { x / x ít 2}
24
x
<-5}
- m i· » ////-5
3
/ / / / / / / / / / / o/ / / / / / / / / / / /
i
-
|x /
7 - X· 3 A X ^
T -
|x /
4
|x /
·
2 A
X -r
3 ■ X
X
2)
- 3} u
• / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / · -7
2
3
{Il
1 V 5 < X < 7}
A CotQS superiores:
Conjunto mayorante
Colas infonores:
Conjunto minorante
3, 4, \ 11 .. .
= { x / x > 3}
- 3 , - 6. - \ 17
= { x / x < - 3}
o+H+o+hH-o-2
-4
3
1
• m m o ------- ----------- o - fu m ·
5
7
-1
-3
Supremo:
3.
No hay máximo
Ínfimo:
3.
No hay mínimo
5.
Supremo:
ínfimo:
-5 .
Máximo:
5
Mínimo: - 5
Supremo:
ínfimo:
6.
2.
Máximo:
Mínimo:
6
2
Supremo:
5.
- 1.
ínfimo;
Máximo:
Mínimo:
5
1
F Conjunto mayorante = {x / X > 3}.
Conjunto minorante = { x / x < - 5}.
Supremo:
ínfimo:
No hay máximo
No hay mínimo
G: Conjunto mayorante = ( x / x > 8}.
Conjunto minorante = Ix / X < 5}.
Supremo y máximo:
8
ínfimo:
5.
No hay mínimo
B Conjunto mayorante = {x / X ^ 5}.
Conjunto minorante = { x / x < -5 }.
C: No està acotado
D Conjunto mayorante = { x / x > 6}.
Conjunto minorante = { x / x < -2 }.
n
II
Conjunto mayorante = { x / x > 5}.
Conjunto minorante = {x / X < - 1}.
3.
5.
No está acotado
1 Conjunto mayorante = { x / x > 2}.
Conjunto minorante = {x / X < -1}.
Supremo:
ínfimo:
2.
1.
No tiene máximo
No tiene mínimo
M: Fs el conjunto vacío. Está acotado, pero no tiene extremos
N No está acotado
P No está acotado
/ylO
S ('onjunto mayorante = {x / X > 3}.
('onjunto minorante = { x / x < -71.
Supremo:
ínfimo;
3.
7.
Máximo:
Mínimo:
1 Conjunto mayorante = |x / x > 1}.
Conjunto minorante = ] x / x < 4}.
Supremo:
ínfimo;
1.
4.
Máximo:
1
No tiene mínimo
V Conjunto mayorante - {x / X > 7}.
Conjunto minorante = { x / x < -3 }.
Supremo:
ínfimo:
7.
-3.
A
Supremo y. máximo:
infimo y minimo:
5
-1
Supremo y máximo:
infimo y minimo:
6
1
Il
c
( '.()i)|unto m a y o r a n te
=
{x / x > 5}.
( '.()ii|unlo m in o r a n te
=
{ x /x < -1 }.
( ;o n )m iio m a y o r a n te
=
|x/x=r6{.
C o n ju n to m in o r a n te
=
{ x / x < l K
C o n ju n to m a y o r a n te
=
{x/x>1}.
C o n ju n to m in o r a n te
=
{x/x<OK
3
7
Máximo:
7
Mínimo: - 3
Supremo y máximo:
1
infimo:
0.
No tiene minimo
25
D: Conjunio mayorante = -^x / x s:
Conjunto minorante
Supremo y máximo:
= {x / x < 0}.
E: Conjunto mayorante = { x / x > i } .
Conjunto minorante
Conjunto minorante
0.
Nr nay minimo
Supremo:
1.
jo hay máximo
Infimo y minime
Supremo:
= |x / x <
3
Infimo y min'mo:
3
No hay máximo
±
3
G: No està acotado supenormente
Conjunto minorante = {x / x < 1}.
infimo y minimo:
H: Conjunto mayorante = { x / x > 1 1 }.
Conjunto minorante = {x / x < 2}.
11
Suprt:mo y máximo:
No hay minimo
infimo:
2.
L: Conjunto mayorante = { x / x > - \ ' " ^ / .
No està acotado inieriomnente
Supremo:
M; Conjunto mayorante = {x / x > 0}.
Conjunto minorante = {x / x < -
Supremo: 0.
infimo y minimo:
No tiene máximo
3
Supremo:
No tiene máximo
N; Conjunto mayorante
{x / x > \
No està acotado inferiormente
7}
P; Conjunto mayorante = {x / x > 6}.
Conjunto minorante = { x / x < - 5 } .
9) A n B
= • i x / x = — —^ A n e N
l
n+3
10) X > Y
11) X < 0
12)^x>0vx< -
26
Infimo:
= |x / x < — >
L
3-
F: Conjunto mayorante = { x / x >3} .
-
A X ìt -1
a
n>
-\^5.
1
No tiene máximo
Supremo y máximo:
6
infimo:
-5 .
No tiene minimo
10
2. CONJUNTOS DE PUNTOS
I. InUrvalos y entornos
L · goometría analítica establece una correspondencia entre puntos de una recta
If ñÚfntros reales, de tal fonna que a cada número real le corresponde un punto de la
h U i y ■ cada punto de la recta un único número real. La recta recibe el nombre de
| M | rtAl o espacio de una dimensión y los términos punto o número real se usan
iMlllIntAm onte.
En la representación gráfica se indica un punto origen sobre la recta que correslO n d · i l O y otro punto a su derecha para representar el 1, con lo cual queda estai l M k j · Ib escala. La relación de orden definida en R se interpreta geométricamente
H n ild tra n d o que si b > a, entonces el punto b está a la derecha del punto a.
^
lili correspondencia entre puntos y números reales facilita la interpretación
fVHIOhu demostracbnes y constituye un auxiliar poderoso para su comprensión,
•mbirgo. debe tenerse en cuenta que, si bien cualquier representación gráfica es
fUf d · claridad, en ninguna demostración tiene validez la utilización de recursos
V É fleo · puramente intuitivos.
A OOnlInuflclón se consideran algunas definiciones útiles.
K
M U fv tl··
lltn rto n ·
b;
1) Intwfvalo cerrado [a;b] es el co n ju n to de números reales form ado por a,
Il y luiloN lo« com prendidos entre ambos;
[a;b] = { x / x e R
a
I « longiliid dol intervalo
[a;b]
a
a<x<b}
b
es el número positivo
b - a.
27
2)
a y b:
Intervalo abierto (a;b) es el conjunto de números reales comprendidos entre
(a:b) = { x / x e R
a
a<x<b}
-oa
b
La longitud de (a;b) es también el número positivo b - a.
3)
Intervalo sem iabierto a izquierda o semicerrado a derecha (a;b] es el con­
junto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b:
(a:b] = { x / x e R
a
------------o
a
a<x<b}
· -----------b
Análogamente se define el intervalo [a;b).
También,
longitud de (a;b] = longitud de [a;b) = b - a.
Las definiciones anteriores se pueden generalizar considerando la semirrecta
y la recta como intervalos no acotados, lo que se expresa utilizando los símbolos
-t-x y - X . Estos símbolos deben ser considerados con especial atención, recordando
que se usan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales.
[a ;+ *) = { x / x > a}
o --------------------------------------(b ;+ *) { x / x > b }
b
-·
c
-o
d
(-*;c ] = { x / x < c }
(-* : d ) = { x / x < d}
{-x ;x ) = { x / x e R } = R
Entorno
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número positivo, entorno de
centro a y radio h es el intervalo abierto (a-h;a+ h ). Se lo designa E(a,h).
E(a,h) = {x / a - h < X < a+h}
o
E(a,h) = { x / | x - a | < h }
o------------------- · --------------------o —
a -h
a
a + ti
—
28
Los entornos suelen designarse Indicando solamente el centro, por ejemplo. E(a)
Entorno reducido
Si a es un punto cualquiera de la recta real y h es un número real positivo,
entorno reducido de centro a y radio h es el conjunto de puntos del Intervalo abierto
(a -h ;a + h ) del cual se excluye el punto a. Se lo designa E' (a,h) o E'(a).
E'(a,h) = { x / x 7t a a a h < x < a - h }
o
E'(a.h) = {x / O < ¡x-a| < h}
h
Obsérvese que exigir O < jx ai equivale a exigir x ^ a. pues ¡x a| = O c=> x = a.
De acuerdo con una propiedad de los conjuntos acotados (pág. 19 ). cualquier
conjunto acotado puede incluirse en un intervalo cerrado.
En efecto, si C está acotado, existe un número real positivo k tal que para cual­
quier elemento x del conjunto C se verifica; x; k. Por lo tanto, el conjunto C
está incluido en el inter^'alo cerrado \ kik].
Por ejemplo,
A = {x /
2<
X
< ^ 6} ^
A c I 6:61.
Un conjunto acotado está siempre Incluido en un entorno con centro en el origen.
Si C = {x / ix|
k} y h ' k, entonces C está Incluido en el entorno E(0,h)
de centro en el origen y radio h.
En el ejemplo anterior el conjunto A está incluido en un entorno de centro en el
origen y radio 7. En este caso debe tenerse en cuenta que el entorno de centro en
el origen y radio 6 no incluye al conjunto A, pues el entorno es un inténsalo abierto
y el número 6 pertenece al conjunto A pero no pertenece al entorno.
Existen, entonces. Infinitos entornos que Incluyen al conjunto A, pero en este
caso ninguno de ellos tiene un radio mínimo.
Si se considera el conjunto B = { x / 5 < x < 7 } , en este caso el entorno E(0,7)
es el entorno centrado en el origen de menor radio que Incluye al conjunto B.
EJERCICIOS
I) Escribir como intervalos y, si es posible, como entornos los siguientes conjuntos;
A
('
I
II
M
{x/2<x<4}
Ix / -7 < x < -2 \
|x / -3 < X < 1} - { -1}
{ x / : x- 2j < 5 }
!x / O < |x -3 i < 1}
B = { x / 1 < x -£3}
D =
{x / - 1 < X < 3}
G = {x/-3<x<
1}
L =
{ x / ¡x^ 2¡ < 3}
N = { x / 0 < i x-4¡ < 2}
.’ ) P .ifii los conjuntos anteriores, hallar:
m)
A (t B
b) D
F
c) L n Ñ
29
3) Para cada uno de los siguientes conjuntos, dar un entorno con centro en el origen
que lo incluya:
A = {x / 2 < X
4}
D = {x / - 3 < x < 4 }
B = {x / --10 < x < 7} C = {x / - 6 < x < 6}
E = {x/|x¡<2}
F = {x/|x|<2}
4) Para cada conjunto dar, si existe, el entorno con centro en el origen de menor
radio que lo incluya:
A
= {x /
1< x < 4}
C
= |x /
3 ^ X < 7}
E - { x / 2 < x < 9 }
B = {x / -9 < X <
6}
D = |x / - 5 < X < - 2}
F = {x/4<x<5}
5) Para cada conjunto dar, si existe, un entorno de radio mínimo que lo incluya:
A
= ( 3:7)
B
C
= íx / x = — A ne
C
n
n
]
;
= (2:5J
D - Í
x
(
/
x
-(
i
)"
—
n
6) Escribir cada conjunto como intervalo y, si es posible, como entorno:
A = [x /
>2
C = [ x / J í ^ . 5
(
X "3
B = |x/|x
2i *| 2x
1| ' - 4}
D --.Íx /J ^ .· 2
X
)
E = {x / 1 < j2- x¡ < 3 A |x -1| < 2\
II. Punto de acumulación
Si C es un conjunto de puntos de la recta real, un punto a es punto de acumu­
lación de C si a todo entorno reducido de a pertenece por lo menos un punto de C.
El punto a puede pertenecer o no al conjunto C. pero la definición exige que en
cualquier entorno del punto a exista por lo menos un punto de C distinto del punto a.
Es decir:
a punto de acumulación de C »
VE'(a) 3 x / ( x e C
a
xeE' ( a) )
o
a punto de acumulación de C «
Vh > O 3x / (x e C
a
O < i x-ai < h)
o
a punto de acumulación de C
V E '(a):'E '(a) n C * ó
a -h
a
x a + h
Ejemplos
1) Si el conjunto C es un intervalo cerrado, todos sus puntos son de acumulación.
2) Si el conjunto C es un intervalo abierto, todos sus puntos son de acumulación y
también los extremos son puntos de acumulación de C aunque no pertenecen
al conjunto.
3) El conjunto N de los números naturales no tiene puntos de acumulación. Si a es
cualquier número natural, basta considerar un entorno reducido de centro a y
radio h < 1, y a ese entorno reducido no pertenece ningún número natural.
Esto prueba que ningún número natural es punto de acumulación del conjunto N.
O< h < 1
a -h
a+h
·-
1
2
3
a
Mediante un recurso similar puede probarse que ningún número real es punto de
acumulación del conjunto N.
4) El conjunto Q de los números racionales tiene a todos los números reales como
puntos de acumulación. El conjunto R de los números reales tiene a los números
reales como puntos de acumulación.
5) El conjunto A = X / X =
A ne N tiene un único punto de acumulación
que es el 1.
Conjunto derivado
El conjunto formado por todos los puntos de acumulación de un conjunto C es el
conjunto derivado de Q y se designa C'.
De acuerdo con los ejemplos anteriores;
t) C = [a;b]
C' = [a;b]
2) C = (a:b)
C' = [a:b]
3) N' = 6
4) Q' = R
R '= R
5) A' = {1}
Negación
Para probar que un punto no es de acumulación de un conjunto, basta encontrar
un entorno reducido del mismo al cual no pertenezca ningún elemento del conjunto,
como se ha hecho para probar que el conjunto N no tiene puntos de acumulación.
Es decir, a no es punto de acumulación del conjunto C si y sólo si existe un
entorno reducido de a al cual no pertenece ningún punto del conjunto, que es la
negación lógica de la definición de punto de acumulación.
o
a
no es punto de acumulaciónde C »
a
no
es punto de acumulaciónde
3 E' ( a ) / Vx ; ( x e C =>
C<=>
x ^ E' ( a) )
3E'(a) / E’(a)n C=é.
El recurso que se utilizó para probar que el conjunto N no tiene puntos de acu­
mulación es válido para demostrar que cualquier conjunto finito no tiene puntos de
acumulación, o su contrarrecíproco. según el siguiente teorema.
Teorema
Si a es punto de acumulación del conjunto C. entonces cualquier entorno del
punto a tiene infinitos puntos de C.
31
3) Para cada uno de los siguientes conjuntos, dar un entorno con centro en el origen
que lo incluya:
A = {x / 2 < X -1 4}
D = {x / - 3 < x < 4 }
B = {x / - 10 <
E = {x/|x¡<2}
X
< 7} C = {x / - 6 < x < 6}
F = {x/|x¡<2}
4) Para cada conjunto dar, si existe, el entorno con centro en el origen de menor
radio que lo incluya:
A = {x /
C - { x /
E = {x/
1 < X < 4}
3<x<7}
2 < X < 9}
B = |x / -9 < X < 6}
D = { x / -5 < X < F = {x/4<x<5}
2}
5) Para cada conjunto dar, si existe, un entorno de radio minimo que lo incluya:
A = ( 3:7)
C = íx /
V
X
B = (2:5j
= —
n
A ne
n]
;
D =Í x
(
1 )'^
/ x - (
^
n
a
ne N
6) Escribir cada conjunto como intervalo y, si es posible, como entorno:
A
= [x /
>
2
]
C =
x^3
B
--
{x / |x
d
= Í . , |
X/
2 · |2x
x
1¡ ·
4}
3|
)
E = {x / 1 < |2- x¡ < 3 A |x -1¡ < 2}
II. Punto de acumulación
Si C es.un conjunto de puntos de la recta real, un punto a es punto de acumu­
lación de C si a todo entorno reducido de a pertenece por lo menos un punto de C.
El punto a puede pertenecer o no al conjunto C, pero la definición exige que en
cualquier entorno del punto a exista por lo menos un punto de C distinto del punto a.
Es decir:
a punto de acumulación de C
»
V E ’(a) 3 x / ( x e C
o
a punto de acumulacióri de C
»
Vh > O 3x / (x e C a O < ^x-aj < h)
o
a punto de acumulación de C
c=3 V E '(a):'E '(a) n C
a -h
a
a
xeE' ( a) )
ó
x a + h
Ejemplos
1) Si el conjunto C es un intervalo cerrado, todos sus puntos son de acumulación.
2) Si el conjunto C es un intervalo abierto, todos sus puntos son de acumulación y
también los extremos son puntos de acumulación de C aunque no pertenecen
al conjunto.
30
3) El conjunto N de los números naturales no tiene puntos de acumulación. Si a es
cualquier número natural, basta considerar un entorno reducido de centro a y
radio h < 1, y a ese entorno reducido no pertenece ningún número natural.
Esto prueba que ningún número natural es punto de acumulación del conjunto N.
O
a -h
< h< 1
a+h
-- ·---·---·-- ·-- ·-- ·-- j-·--------- ·
1
2
3
a
Mediante un recurso similar puede probarse que ningún número real es punto de
acumulación del conjunto N.
4) El conjunto Q de los números racionales tiene a todos los números reales como
puntos de acumulación. El conjunto R de los números reales tiene a los números
reales como puntos de acumulación.
5) El conjunto A = j^x / x = -
a
j
n e N tiene un único punto de acumulación
que es el 1.
Conjunto derivado
El conjunto formado por todos los puntos de acumulación de un conjunto C es el
conjunto derivado de C y se designa C .
De acuerdo con los ejemplos anteriores;
t) C = [a:b] => C' = [a;b]
2) C = (a;b)
C' = [a:b]
3) N' = (A
4) Q' = R
R '= R
5) A' = {1}
Negación
Para probar que un punto no es de acumulación de un conjunto, basta encontrar
un entorno reducido del mismo al cual no pertenezca ningún elemento del conjunto,
como se ha hecho para probar que el conjunto N no tiene puntos de acumulación.
Es decir, a no és punto de acumulación del conjunto C si y sólo si existe un
entorno reducido de a al cual no pertenece ningún punto del conjunto, que es la
negación lógica de la definición de punto de acumulación.
o
a
no es punto de acumulaciónde C » 3 E ’( a) / Vx; ( x e C =>
a
no
es punto de acumulacióndeC<=>
x^ E' ( a) )
3E'(a) / E’(a)n C=<l>.
Fl recurso que se utilizó para probar que el conjunto N no tiene puntos de acunuilncion es válido para demostrar que cualquier conjunto finito no tiene puntos de
acumulación, o su contrarrecíproco, según el siguiente teorema.
Teorema
Si a es punto de acumulación del conjunto C. entonces cualquier entorno del
punió a tiene infinitos puntos de C.
31
Dem ostración
Utilizaremos un método indirecto, por reducción al absurdo.
Sea E'(a) un entorno reducido del punto a, al cual pertenecen solamente
n elementos de C, o sea, un número finito de elementos de C.
3 " h
a+ h
------- o-
- · ------- · — o X, . . .
X„
X,
Entre los n puntos de E'(a) hay uno de ellos cuya distancia al punto a es
nima. Sea x, dicho punto.
Es decir:
3x, / Vn
i: |x^-a| < |Xn-a|.
Por lo tanto, basta considerar cualquier entorno reducido de’ punto a cuyo
radio sea menor que dicha distancia para asegurarnos que a dichí· entorno reducido
no pertenece ningún punto de C.
Elijamos, por ejemplo, un entorno reducido cuyo radio -ea 'a mitad de dicha
.|x ,^a h
distancia. Al conjunto E '^
no pertenece ningú'· punto de C. Esto im2
plica que a no es punto de acumulación de C. Comr por hipótesis a es punto de
acumulación de C, queda probado el teorema por contradicción.
Como ya se ha visto, el contrarrecíproco del teorema anterior permite deducir
que si un conjunto tiene un número finito de elementos, entonces no tiene puntos de
acumulación.
El teorema recíproco es falso, pues existen conjuntos que tienen infinitos ele­
mentos y no tienen puntos de acumuiación, como el conjunto de los números natu­
rales y el conjunto de los números enteros.
Sin embargo, si un conjunto infinito está acotado, puede asegurarse la existencia
de por lo menos un punto de acumulación. Esta importante propiedad se demuestra
en el siguiente teorema.
^ Teorema de Bolzano-Weierstrass
Si un conjunto infinito está acotado, entonces dicho conjunto tiene por lo menos
un punto de acumulación.
Dem ostración
Sea M un conjunto de números reales infinito y acotado y [a;b] un intervalo
cerrado que lo contiene.
Es decir,
M c la:b].
Consideramos un conjunto auxiliar C, formado de la siguiente manera:
C = |x/x = a v
[a;x] tiene un número finito de elementos de M}.
C no es el conjunto vacío, pues ae C. Es decir C ^ (f>·
Además, como consecuencia de la hipótesis, [a;b] tiene infinitos puntos de M,
y entonces b ^ C.
32
Por lo tanto, b es una cota superior dei conjunto C, pues es mayor que cual­
quier elemento del conjunto C.
SI el conjunto C está acotado superiormente, entonces tiene supremo, por el
ixioma de continuidad de R. Sea k el supremo de C.
Luego, a í- k < b.
Caben dos posibilidades;
ke C ií k/^C .
k- e
k +6
1) Si ke C, es k = a o [a;k] contiene un subconjunto finito de M. Ahora bien,
al ser k el supremo de C, si elegimos cualquier número positivo e, resulta que el inter­
valo [k;k+e] tiene infinitos puntos de M, pues de lo contrario [a;k+€] tendría un nú­
mero finito de elementos de M y el número k+e pertenecería a C, lo cual implicaría
que k no es el extremo superior.
Luego, si para cualquier e > O el intervalo [k;k-t-e] tiene infinitos puntos de M.
tiene por lo menos un punto x€ M tal que X i t k y x^k- t - e.
Por lo tanto, a cualquier entorno reducido de centro k pertenece por lo menos
un punto
de M. Es decir, k es punto de acumulación de M.
2) Si k ^ C . entonces [a;k] tiene infinitos puntos de M. Para cualquier e > O
que sea menor que k - a , el intervalo [a ;k -€ ] tiene un número finito de elementos
de M. En efecto, si k es el supremo de C, entre k - e y k hay algún punto x € C y,
por lo tanto, [a;x] tiene un número finito de elementos de M. Luego, [a ;k - € ] tiene
la misma propiedad.
Ahora bien, si el subconjunto de M contenido en [a ;k -e ] es finito y el contenido
en [a;k] es infinito, el conjunto [k -e ;k ] tiene infinitos puntos de fvl y, por lo tan­
to, V€ > O enelintervalo [k -e ;k ] hayalgúnpunto xe M talque x ^ k - e y x k.
O sea, k es punto de acumulación de M.
Si el conjunto M tiene más de un punto de acumulación, el hallado por esta
demostración se encuentra a la izquierda de los demás.
Conjunto cerrado
Un conjunto al cual le pertenecen todos sus puntos de acumulación se denomina
cerrado. Es decir, un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos
de acumulación.
C cerrado <=► Va; (a punto de acumulación de C => aeC) .
Ejemplos
El conjunto R de los números reales es cerrado, pues le pertenecen todos sus
puntos de acumulación que son los números reales.
Un intervalo cerrado es, como su nombre lo indica, un conjunto cerrado.
Puede probarse fácilmente que cualquier conjunto que no tiene puntos de acu­
mulación es un conjunto cerrado.
En efecto, sea C un conjunto cualquiera que no tiene ningún punto de acumula­
ción.
De acuerdo con la definición, para que C sea un conjunto cerrado debe ser
verdadera la siguiente implicación;
33
si a es un punto de acumulació' de C, entonces a pertenece a C.
Pero el antecedente de esta imp!.^ación es falso, pues C no tiene ningún punto
de acumulación.
Luego, la Implicaciór. ss verdac*óra, pues cualquier implicación con antecedente
falso es verdadera, de acuerdo con la tabla de verdad correspondiente (pág. 4).
Por lo tanto, el conjunto N y el conjunto Z, que no tienen puntos de acumu­
lación, son conjuntos cerrados.
Cualquier conjunto finito es también un conjunto cerrado, pues según el con­
trarrecíproco del teorema visto en la página 31, no tiene puntos de acumulación.
Por la misma razón anterior, el conjunto vacío es un conjunto cerrado.
Obsérvese que, de acuerdo con la definición, un conjunto es cerrado si y sólo si
incluye a su conjunto derivado.
En efecto, C es un conjunto cerrado si y sólo si
Va; (a punto de acumulación de C => a € C) c=>
<=> Va: (a€ C ' =» a e C) <=> (C c C)
Negación
Un conjunto no es cerrado si y sólo si tiene un punto de acumulación que no
le pertenece.
C no es cerrado « 3a / (a punto de acumulación de C a af^C)
Ejemplos
El conjunto Q de los númerois^adonales no es cerrado, pues sus puntos de
acumulación son los números reales y, de éstos, los irracionales no pertenecen a O.
Es decir, Q no es cerrado, pues, por ejemplo
es punto de acumulación de
Q y V T í^ Q .
El intervalo semiabierto (a;b] no es cerrado, pues a es punto de acumulación
de (a;b] y a ^ (a;b).
Teorema
La intersección de dos conjuntos iiren-ados es un conjunto cerrado.
Dem ostración
Sean A y B dos conjuntos cerrados. Para probar que su intersección es un con­
junto cerrado debe probarse que si a es un punto de acumulación de A n B, enton­
ces a e A n B.
Si a es punto de acumulación de A n B, por definición, en todo entorno redu­
cido de a hay un punto x que pertenece al conjunto A n B. O sea, en todo entorno
reducido del punto a hay un punto x que pertenece simultáneamente al conjunto A y
al conjunto B. Por lo tanto, el punto a es punto de acumulación de A y también es
punto de acumulación de B.
Como A y B son conjuntos cerrados, todos sus puntos de acumulación les perte­
necen. Es decir, a e A y también a e B, lo cual implica que a e A n B.
En forma similar, puede probarse que la unión de dos conjuntos cerrados es un
conjunto cerrado.
34
^ Ttorama
El conjunto derivado de un conjunto A es un conjunto cerrado.
Demostración
Probar que A' es un conjunto cerrado es probar que le pertenecen todos sus
punios de acumulación.
Es decir, hay que probar; a punto de acumulación de A' =5 a€ A'.
I’ ero probar que ae A', equivale a probar que es punto de acumulación de A.
Por lo tanto, el teorema consiste en probar que cualquier punto de acumulación
do A' lambi(';n es punto de acumulación de A.
Si a os punto de acumulación de A', a todo entorno reducido del punto a. de radio
9 ' O, porlenece un punto x de A'.
X - rt
o------------------------------- o----------o—
a -e
a
X -
o------ o— o----e x
a -e
Como x e A', X es punto de acumulación de A, y en todo entorno reducido del
punto X hay un punto c e A.
Podemos elegir siempre un entorno reducido de centro x, con un radio 5 > 0.
tal que E'(x,5) c E'(a,e).
Luego, el punto ce E'(a,e).
Y, por lo tanto, en cualquier entorno reducido del punto a se puede encontrar un
punto c que pertenece al conjunto A.
Es decir, a también es punto de acumulación de A, y el teorema queda probado.
é Conjunto compacto
Un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Ejemplos
Un intervalo cerrado es un conjunto compacto.
R no es compacto pues no está acotado. N no es compacto por la misma razón.
El conjunto {a.b} es compacto, al igual que cualquier conjunto finito.
♦
Conjunto denso en sí
Un conjunto es denso en sí si y sólo si todos sus puntos son de acumulación.
Es decir,
C denso en sí <=> Va: (a e C => a punto de acumulación de C) <=►
c=> Va: (ae C => a e C').
Por lo tanto, un conjunto es denso en sí si y sólo si está incluido en su conjunto
dorivado:
C denso en sí <=► C c C'.
Ejemplos
El conjunto R de los números reales es denso en sí, pues todos sus puntos son
de acumulación.
35
El conjunto Q de los números racionales también es denso en sí, pues todos sus
puntos son de acumulación.
N y Z no lo son, pues ninguno de sus puntos es de acumulación.
Nota: Al comienzo el lector debe' poner espectaf -atencron para diferenciar las
definiciones de conjunto cerrado y conjunto denso en sí.
♦
Conjunto perfecto
Un conjunto es perfecto si .y sólo si es cerrado y denso en sí.
Es decir, un conjunto es perfecto si es igual a su conjunto derivado.
En efecto, si C es cerrado, entonces su derivado está incluido en él, y si C es
denso en sí, entonces su derivado lo incluye. Por lo tanto, C' c C a C c C'.
Luego, C = C'.
Ejemplos
R es un conjunto perfecto, pues R ' = R.
Un intervalo cerrado es un conjunto perfecto, pues [a;b]' = [a:b].
Q no es perfecto, pues es denso en sí pero no es cerrado.
Z y N no son perfectos, pues son cerrados pero no son densos en sí.
EJERCICIOS
1) Dar el conjunto derivado de cada uno de los siguientes conjuntos:
A
= (-2 ;5 )
H
=
{3,4.5}
B
= d ;7 ]
L
=
{x/x = . i A n€N}
c
= [0;4]
M = { x / x € R a O < |x -3 | < 2}
D= { x / x € Z A | x - 2 | < 5 }
N
=
{ x / x e O A |x |> 1}
E = {x / X € Q A |x -2 | < 5}
p = |x / X =
l
4 n -1
F={x/x
s
e R
a |x
- 2 | < 5 )
=
A n€
=
G = ( x / x € R A |x - 1 |s 3 )
n|
J
h ín
'
2) Indicar cuáles de los conjuntos anteriores son cerrados.
3) Dar el conjunto derivado de cada uno de los siguientes conjuntos:
36
A
={x/xeQ A
B
- |x / x =
(|x -1 | < 3 V x = - 3 ) ]
A n6
C
{x / x e Q A
D
^ X/ X
l
)n
3n
n |·
(|x 2| < 1 v x = 0)}
A ne
n ].
J
}
Q
-
i X/ X -
n e n |
A
n^-2
H
ix
-
/ X
( 1 ) "
J
—
A
n
ne n |
J
4
IndIOlir
i
O l t l l f l c n r los c o n ju n to s d e l e je rc ic io 1 y d e l e je rc ic io 3 e n c o n ju n to s c o m p a c to s .
cuí'ilos d e los c o n ju n to s a n te r io r e s s o n c e rr a d o s .
láAMBrtc
nrt sí
cí y\/ perfectos,
norfo/'tnc
d
tn io s on
Demostrar que la unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
7) Demostrar que la intersección de un número finito de conjuntos cerrados es un
OOnjunto cerrado. Idem para la unión.
I ) Probnr (lue si A c B, entonces A' c B'.
f)
Ill,
Punto interior
Un (njnlo a, perteneciente a un conjunto C, es punto interior al mismo si y sólo
•I exiHio un entorno de a totalmente incluido en C.
Es decir,
a punto interior a C c=> a e C
a
3E(a) / E(a) c C.
Al c()fi|unto de puntos interiores al conjunto C lo designamos C,.
9¡§mplos
1) Cualquier número real es interior al conjunto R de los números reales.
O 10·,
R
2) Un número racional no es interior al conjunto Q de los números racionales,
p u t i en todo entorno de un número racional hay números irracionales que no per{•n tc e n a O. Luego, Q, = ó.
3) Todos los puntos de un intervalo abierto son interiores a él.
4) n conjunto C = -|x / x =
O,
-
,
a
n e n |· no tiene puntos interiores. O sea.
i/<
Oonjunto abierto
Un conjunto A es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores.
I)« Mt:iiMr(io con los ejemplos anteriores, R es un conjunto abierto y Q no es un
nhuHto
( I Intnrvalo abierto (a,b) es abierto.
I
I IníMivalo semiabierto (a,b] no es abierto, pues b pertenece al conjunto y no es
un iMiiilo Inlorior al mismo.
I
I ( niijonio C no es abierto, pues, por ejemplo, 3e C y 3 no es interior a C.
( )liní‘»fvoso que el conjunto R de los números reales es un conjunto abierto y
«'■ifBiln 1o tnismo sucede con el conjunto vacío <t>.
I II rn in h io , ('I intervalo (a,b] no es ni abierto ni cerrado.
37
Teorema
La unión de dos conjuntos abiertos es -jn conjunto abierto.
Dem ostración
Sean A y B conjuntos abiertos, ^ebe probarse que cualquier punto que perte­
nece al conjunto A u B es interior .*1 mismo.
Es decir, debe probarse que
(x e A u B =>x Interior a A u B).
Si X e A u B, entonces x e A v x e B.
Supongamos x e A. Cono A es abierto, x es interior alconjunto A.
Luego, existe un ente no de x incluido en A. O sea,
3 E ( x ) / E ( x ) c A.
Pero, por consecuencia de la definición de unión:
Luego, por transitividad de la inclusión:
E(x) g A A
a c a u
B ^
e (x )
A c A u B.
g
a u b
y el teorema queda probado.
Si X € B se razona análogamente.
♦
Teorema
Si un confunto es abierto, su complemento es cerrado.
Dem ostración
Sea A un conjunto abierto y B su complemento, de acuerdo con la definición
dada en la página 9. Es decir, B está formado por todos los puntos del universal que
no pertenecen a A.
Si consideramos un punto cualquiera a del conjunto A, como A es abierto, todos
sus puntos son interiores. Por ello, existe un entorno del punto a totalmente incluido
en el conjunto A. A dicho entorno, entonces, no pertenece ningún punto de B, y por lo
tanto a no es punto de acumulación de B.
Luego, todos los puntos que no pertenecen a B no son puntos de acumula­
ción de B.
Es decir, a ^ B => a no es punto de acumulación de B, o su contrarrecíproco,
a punto de acumulación de B => a e B, y esto significa que B es un conjunto
cerrado.
Es bastante común tomar la propiedad anterior y su recíproca como definición de
conjunto abierto una vez definido conjunto cerrado. Es decir, un conjunto es abierto si
y sólo si su complemento es cerrado.
Aplicando el teorema anterior, se observa que el conjunto R de los números
reales y su complemento, el conjunto vacío, son ambos abiertos y cerrados.
EJERCICIOS
1) Dar el conjunto de los puntos interiores de cada conjunto del ejercicio 1 y del
ejercicio 3 de la página 36.
2) Decir cuáles de los conjuntos anteriores son abiertos.
3) Demostrar que si un conjunto es cerrado, entonces su complemento es abierto.
4) Demostrar que la intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
38
5) Para cada uno de los conjuntos siguientes, a) dar el conjunto derivado y el con­
junto de puntos interiores: b) justificar si los conjuntos iniciales son abiertos o
cerrados:
A = {x / O < |x + 2| < 1 v x = 0}
C = {x/|x+1|>2vx=l}
E =
IV.
4
-^x
/
X
= -
AneNj-
B = { x / |x -2 | > 3
a
0 <
x
<6}
D = { x / 0 < | x + 3 | < i v x = -1}
F =
-|x/x
=
^ n e n|·
Puntos aislados, adherentes, exteriores y fronteras
Punto aislado
Un punto a que pertenece a un conjunto C es un punto aislado si y sólo si existe
un entorno reducido de a al cual no pertenece ningún punto del conjunto C.
Es decir, a aislado en C <=>aeC a 3E'(a) / E'(a) n C = 4>.
Ejemplos
Cada número natural es un punto aislado en el conjunto N.
Lam ism o sucede con cada número entero en el conjunto Z.
En el conjunto C = {x / x > 2 v x = 0}, O es un punto aislado.
4
Punto adherente
Si en la definición de punto de acumulación se sustituye la frase entorno redu­
cido por entorno, se obtiene la definición de punto adherente a un conjunto.
Por lo tanto, a es punto adherente al coniuntó C si y sólo si a cualquier entorno
de a pertenece por lo menos un punto de C.
O sea, a punto adherente a C <=> VE(a); 3 x / ( x e C a x e E(a)).
Obsérvese que si un punto pertenece al conjunto, aunque esté aislado, es punto
adherente, pues la definición sólo exige que en todo entorno haya un punto del con­
junto que puede ser el centro del mismo.
Adherencia
El conjunto formado por todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama
adherencia del mismo y se designa Ag.
De acuerdo con la definición de punto adherente, puede piobarse que;
A3 = A u A ' .
Ejemplos
1) Sea
A = { x / 0 < x < 3 v x = 5}.
Todos los puntos del intervalo cerrado
lo os el punto aislado 5.
[0,3]
son puntos adherentes y también
39
Luego,
Ag = { x / 0 < x < 3 v x - 5 |
2) Sea
A = { x / 2 ^ x < 4 v x = 0[
0
2
= A u iOí.
4
En este caso A^ = A. Obsérvese que el conjunto A es un conjunto cerrado
pues todos sus puntos de acumulación le pertenecen.
Puede demostrarse que A es cerrado si y sólo si es igual a su adherencia.
♦
Punto exterior
Un punto a es exterior a un conjunto C si y sólo si existe un entorno del mismo al
cual no pertenece ningún punto del conjunto C.
Es decir, a exterior a C
3E(a) / E(a) n C = <¿.
Obsérvese que en este caso el punto no pertenece al conjunto.
Ejemplos
El punto 3 es exterior al conjunto de los números negativos.
El origen es exterior al intervalo (5:8).
♦
Punto frontera
Un punto es frontera cuando no es exterior ni interior al conjunto considerado.
Es decir, el punto a es punto frontera del conjunto A si y sólo si en todo entorno
del punto a hay algún punto que pertenece al conjunto A y hay algún punto que
pertenece a su complemento.
O sea;
a punto frontera de A c=> VE(a); (E(a) n A
í/> a
E(a) n Á
,/j).
De la definición resulta que un punto frontera puede o no pertenecer al conjunto.
Ejemplos
Un punto aislado es punto frontera.
El O es frontera para el conjunto de los números positivos y también para el
conjunto de los números negativos.
En el conjunto A = { x / 4 < x < 6 v x = 7}, 4, 6 y 7 son puntos frontera: 4 no
pertenece al conjunto, pero 6 y 7 pertenecen al conjunto A.
EJERCICIOS
1)
Considerar los conjuntos del ejercicio 1 y del ejercicio 3 de la página 36 y bus­
car puntos adherentes, aislados, exteriores y frontera.
2) Sea B = | x /
^
a ne
v x = 6j·. Hallar puntos frontera y puntos
exteriores.
3) Probar que un conjunto es cerrado si y sólo si es igual a su adherencia.
4) Probar que la adherencia de un conjunto es un conjunto cerrado.
5) Completar el cuadro siguiente:
40
No
Conjunto
Cerrado
No
cerrado
Abierto
abierto
Com pacto
Denso
en si
Perfecto
( 0 ; 1]
[0 ;i:
fO;i;
0 .1}
{
Q
R
6) Dar, en cada caso, un conjunto que cumpla las siguientes condiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
acotado, sin mínimo y abierto;
acotado superiormente sin supremo;
cerrado con punto de acumulación único;
no abierto con punto de acumulación único;
no abierto con dos puntos de acumulación.
7) Siendo A = E'(1.3) y B = | x / x =
b) B¡ u A ' y c) supremo de
1 -2 n
n+1
n€ N
hallar
a) A u B ' ;
A n B.
♦ V. Propiedad de Borel*
Una propiedad muy importante se cumple también en R como consecuencia
del axioma de continuidad. Es la propiedad del cubrimiento finito o propiedad de
Borel.
Cubrimiento abierto de un conjunto
Una familia F de conjuntos es un cubrimiento por intervalos abiertos del conjunto
A si y sólo sí se cumplen las dos condiciones siguientes:
1) Cada conjunto l„ de la familia F es un intervalo :abierto.
2) Todos los puntos del conjunto A pertenecen — por lo menos— a uno de los
elementos de F.
Es decir.
Vx € A 31^ e F / X 6 1,^
‘ Félix Borel (1 8 7 1 -1 9 5 6 ), m alem ático y político francés, profesor de la Facultad de C ien c ia s d e
l^arís y director científico de la Escuela Normal Superior.
41
Si se cumple el punto 2, diremos que F es un cubrimiento de A, o que F cubre
a A.
Ejemplo 1
Consideremos elintervalo cerrado A = [0;1].
1 1 1
°
La familia F =
í (-' t )
7
3
3
2
2
(4 ) (if)} es un cubrimiento por intervalos
abiertos de A.
Además, como F está formada por tres conjuntos, F es un cubrimiento finito de A.
La familia
^
cubrimiento por intervalos abier­
tos y finito de A.
En cambio, la familia H =
pues el punto
no es un cubrimiento de A,
no pertenece a ningún intervalo de H.
Ejemplo 2
Consideremos el intervalo cerrado C = [2;4],
Para cualquier elemento x e C determinamos el intervalo abierto ^x La familia formada por ios infinitos intervalos anteriores es un cubrimiento por
intervalos abiertos de C.
Es decir, F =
^
x € c j- es un cubrimiento infinito de C.
Trataremos de hallar un subconjunto finito de F que también cubra a C.
42
1.5
2
2.25
2,5
2,75
3,1 3,25
3.6
4
4,1
sea F, = [ ( 2 - Í 2 . | ) , ( 2 , 7 5 - Í 2 , 7 5 . i ) , ( 3 , 6 - Í 3 , 6 . i ) ] ,
La familia F, es un cubrimiento por intervalos abiertos de C y además F, c F.
Es decir, se ha podido hallar un subconjunto finito de F que también cubre al con­
junto C.
Esto siempre es posible si el conjunto C que se considera es un intervalo ce­
rrado. La propiedad se conoce con el nombre de teorema de Borel y es válida tam­
bién, en general, para conjuntos compactos.
Teorema de Borel
Si [a;b] es un intervalo cerrado y F es un cubrimiento por intervalos abiertos
del mismo, entonces existe un subconjunto finito de F que también cubre al inter­
valo [a;b].
Consideremos un conjunto auxiliar C, formado de la siguiente manera;
C = { x / x e [a:b] a [a;x] está cubierto por una parte finita de F}.
Admitiremos intervalos cerrados de la forma [a;al = {a), reducidos a un
único punto.
Probaremos que C no es vacío y está acotado superiormente.
En primer lugar, como a e [a;b], existe un elemento de F, el intervalo abierto I,,
al cual pertenece el punto a. El conjunto {1,} tiene un solo elemento y por lo tanto es
una parte finita de F.
Esta parte finita cubre al intervalo [a;a], y como a e [a;a], se deduce —por delinición de C— que a e C. Luego, C no es vacío.
Además, por la forma en que se ha elegido el conjunto C, b es una cota superior
dol mismo. Luego, C tiene supremo.
Sea k = supremo C. Es a < k < b.
Si probamos que k = b y además que k p pertenece al conjunto C, el teorema
(jijoda demostrado.
Suponemos k < b. Como ke [a;b], existe un intervalo abierto 1,^ de F al cual
|i»ulonoce k. Sean k, y
los extremos de 1,^. Por ser k el supremo de C y por ser
k , · k, existe h tal que k, < h < k y h e C .
43
Como h e C, sabemos que un subconjunto finito de F cubre al intervalo [a;h].
Sea F, dicho cubrimiento finito.
Como k<l <2 .existe h' tal que h' e [a;b] y k < h' < k j.
Se ve entonces que el intervalo[a;h']es cubierto por F| u ¡1^!. y resulta h' e C.
Esto es absurdo, pues h' es mayor que el supremo k.
Por lo tanto, k = b.
Ahora bien, como el supremo de un conjunto puede o no pertenecer a él, faltaría
probar que b 6 C. El razonamiento expuesto para probar que h' e C puede aplicarse
a k, y se obtiene k e C.
Como ya hemos visto que k = b, se obtiene b € C, lo cual prueba el teorema.
La tesis puede no verificarse si el intervalo considerado no es cerrado.
Por ejemplo, sea A = (0:2).
La familia F = | l
/
I
=
a
x
e a |· es un cubrimiento por intervalos abier­
tos de A.
Sin embargo, no es posible hallar un subconjunto finito de F que cubra al con­
junto A.
Nota: El teorema de Borel, así como el de Bolzano-Weierstrass, y otros teoremas
posteriores, como el de Weierstrass y el del valor intermedio para funciones conti­
nuas, admiten demostraciones bastante más simples sí se considera una propiedad
equivalente al axioma de continuidad de R: e/ teorema de b s intervalos encajados,
que se demostrará en el capítulo 9.
La razón por la cual prefiero no anticipar dicha propiedad es que, a pesar de
su fácil comprensión, lleva implícita la idea de límite de sucesiones, que se estudia­
rá posteriormente.
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPITULO 2
Sección I
1) A = [2;4]
B = ( -1 ;3 ]
C = [-7 ;-2 )
F = E '(-1 .2 )G = E (-2 ,1 )
M = E'(3,1)
2)a)[2;3]
3)
A
Ç
4) A Ç E(0,4)
(-1 ;3 ) = E(1,2)
L = [- 5 ;1 ]
N = E '(-4 ,2 )
b )[1 ;3 )
E Ç E(0,2)
D =
H = (-3 ;7 ) = E(2.5)
c) { - 4 } u [-2 :1 ]
E(0,5)B Ç E(0,11)
F
C
Ç E(0,7)
D Ç E(0,5)
Ç E(0,3)
B Ç E(0,9)
C no está incluido en ningún entorno con radio mínimo
D
Ç E(0,5)
E ídem que C
F
ç E(0,5)
5) A Ç E(2,5)
No existe entorno con radio mínimo que incluya a B ni a C.
D Ç E(0,1)
44
6) A = (0;3) =
C = (
e(
|: |)
B = (
3 ;- | ]
=
D = (0:1) =
e(
e
(,.|)
{ :|)
E = (-1 ;1 ) = E(0,1)
Sección II
1) A’ = [- 2 : 5 ]
F' = [-3 :7 1
B' = f1;7l
C' = C
D' = é
G' = [- 2 ;4 ]
H' = ώ
L' = {0}
N ’ = {x / xe R Λ ¡xi > 1}
2) C, D,G, H y S son conjuntos
3) A' = |-2;41
F· = { | }
M' = [1;5l
S' = <h
cerrados.
B· = lOl C
E' = M)
3
4
P’ =
E ' = [- 3 ;7 l
= |1;31
G· = 101
D' = {0}
H' = {2,-2}
4) Ninguno es cerrado.
Sección III
1) A,
=
(-2 :5 )
E,
=
ώ
L|
=
(/;
S|
=
(h
B.=
(1:7)C.= (0;4)
D,
= ώ
F, = (-3 :7 )
G,
= (-2 :4 )
H,
= <h
M| = M
N|
= f/>
P|
~
Para cada uno de los conjuntos del ejercicio 3, su interior es el conjunto vacío.
2) A, F y M del primer grupo son abiertos. En el segundo grupo ninguno es abierto.
5) a) A' = í - 3 : - 1 ]
B, = (5:6)
B' = [5;6]
C’ =
{x/|x
A, = E '(-2 ,1)
+11>2}
D' = [ - 4 : - 2 ]
C, =
{x/|x-1|>2}
►, = E’( 3,1)
E' = { - 5 }
=
F' = { - 2 }
■, = ώ
ώ
-Ι^Α
b) A no es cerrado pues
- 1 € A'
A no es abierto pues
Oe A
Λ
0 ^ Α.
B no es cerrado pues
66 B'
Λ
6^ Β
B no es abierto pues
5
€B
Λ
54 Β,
Λ
45
C no es cerrado pues
- 3 e C'
\
-3^C
C no es abierto pues
leC
A
1 4
c,
D'
A
-3^D
€D
A
-2 4
E no es cerrado pues
- S í E'
A
- 5 Í E
E no es abierto pues
-
3
€E
A
-3^E.
F no es cerrado pues
-
2
e
A
-
D no es cerrado pues
-3 €
D no es abierto pues
-
F no es abierto pues
2
F'
24
D,
F
A
/A
-
8
^
Sección IV
1) A 3 = [- 2 : 5 ]
Fa = [ - 3 : 7 ]
N3 = { x / x e R
2) B,
5)
6)
B , = [1;7]
C3 = C
□3
G3 = G
H, = H
L3 = L U { 0 }
P3 = P u { - | }
S3 = S
|x|>l}
A
= Bu{2}
E3 = [-3 :7 ;
0
M 3 = [1:5]
B, = R - B.
Conjunto
Cerrado
Abierto
Compacto
Denso en si
Perfecto
(0 : 1 )
no
sí
no
sí
no
(0 :1 1
no
no
no
sí
no
| 0 ;1 )
no
no
no
sí
no
.[ 0 : 1 1
sí
no
sí
sí
sí
{0 . 1 }
sí
no
sí
no
no
z
sí
no
no
no
no
Q
no
no
no
sí
no
R
sí
sí
no
sí
sí
<h
sí
sí
sí
sí
sí
Ejemplos: a) (4:7)
b) é
c y d) | x / ^x = - ^ A n 6
e) j x / X = (
7) a) 1 2:1)
46
=
u (1:4)
1)"
n~1
b) [ 2:4]
v
x = o|
A n e n}
c) - ^
3. FUNCIONES ESCALARES
I. Relaciones funcionales
En matemática, en física y en otras ramas de la ciencia o de la vida humana se
presentan relaciones binarias entre distintos conjuntos que tienen singular impor­
tancia. De estas relaciones interesan especialmente aquellas que hacen corres­
ponder a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo conjunto.
Este tipo de relaciones recibe el nombre particular de relación funcional o función.
Como sinónimos de función se utilizan, en general, los términos aplicación, transfor­
mación y correspondencia.
Por lo tanto, la idea fundamental en el concepto de función es que cada elemento
del dominio tiene una y sólo una imagen en el recorrido, aunque un elemento del
recorrido puede ser imagen de más de un elemento del dominio.
Si la aplicación se establece a partir de un conjunto finito, entonces se puede dar
la función indicando, por extensión, el conjunto de pares ordenados correspondientes.
Por ejemplo, si
A = {1,2,3}
y
f = {(l;\/2 ),(2 ;4 ),(3 ;4 )},
entonces f es una aplicación o función de A en el conjunto R de los números reales.
El conjunto A es el dominio de la función. El recorrido o conjunto de imágenes de
la función f es el conjunto { n/ 2,4}, que es un subconjunto de R.
También puede indicarse la función f anotando la imagen de cada elemento del
dominio a través de la función.
O sea,
f/f (1) = \ ^
A
f(2) = 4 A f(3) = 4.
En un esquema:
f: A
47
En este caso, la relación r, inversa de la relación funcional f, no es una función,
pues al elemento 4 de su dominio le corresponden dos imágenes en el recorrido.
O sea,
r = {(\/Y ;l),(4 ;2 ),(4 ;3 )}
no es una función.
Es decir, la relación inversa de una función no es siempre una función.
Si el dominio es un conjunto infinito, entonces la función debe indicarse mediante
una regla o conjunto de reglas que permitan obtener la imagen de cada elemento del
primer conjunto.
Por ejemplo, si se toma como dominio el conjunto de los números enteros, la
relación que a cada número entero le hace con-esponder el número doble es una
aplicación del conjunto Z de los números enteros en sí mismo.
Puede indicársela así;
f: Z
Z / Vx e Z; f(x) = 2x.
X es la variable independiente o argumento: f(x) es la imagen de x o el valor de la
función en x.
En el comienzo de un curso de análisis elemental interesan especialmente aque­
llas funciones cuyo dominio y recorrido son conjuntos de números reales. Se llaman
funciones reales de una variable real o funciones escalares.
Si
f: R
R / V x e R ; f(x) = 3 x -5 ,
entonces f es una función real de variable real x cuyo dominio es el conjunto de los
números reales y cuyo recorrido es el mismo.
La función anterior puede darse también indicando solamente la regla que per­
mite obtener las imágenes, quedando sobreentendido que su dominio es R.
3X-5
f: X
Si el dominio es solamente un subconjunto de R, debe indicárselo especial­
mente. De lo contrario, se considera como dominio el conjunto de todos los valores
reales de x para los cuales la imagen de x es también un número real.
Por ejemplo, si g: x ^
sobreentiende en este caso que el dominio es el
conjunto de los números reales del cual se ha excluido el cero. Es decir, la función g
no está definida en el punto cero, o sea, no existe g(0).
Si se desea dar una función con la misma regla anterior cuyo dominio sea el
conjunto R, la imagen de O debe considerarse especialmente.
Por ejemplo,
— si X ít O
h: X
X
5 si X = O
Por supuesto, h es una función distinta de g y la imagen de O es totalmente
arbitraria.
De la misma forma, en funciones escalares se sobreentiende, por ejemplo, que
el dominio de
s:
48
X
V 7
OS el conjunto de los números reales no negativos, y el de
t:
X
—> In X
(In
X
= log^ x)
es el conjunto de los números reales positivos.
Nota: El símbolo \ / x indica exclusivamente la raíz cuadrada no negativa del
número x.
Precisaremos los conceptos anteriores dando la siguiente definición de función:
Una relación f entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B es
una función de A en B si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
1) V xe A 3 y e B /( x :y ) e f;
2) (x;y) 6 f A (x;z) € f
y = z
Dominio de f: D, = A.
Recorrido de f: Rec, = { y / y € B
3 x € A /(x ;y ) € f}.
a
Ejemplos
Siendo
A = {a,b,c}
y
B = {y,z}
1) Si f = {(a :y), (b :y ), (c:y)}, entonces f es una función de A en B, pues se
verifican las dos condiciones de la definición.
2) Si g = {(a ;y), (b;z)}, entonces g no es función de A en B, pues el ele­
mento c del conjunto A no tiene imagen en B, es decir, no se verifica la primera condi­
ción de la definición. En este caso se puede obtener una función considerando como
dominio el conjunto A, = {a,b}, el cual verifica: A, c A.
3) Si h = {(a ;y), (a ;z), (b ;y ), (c;z)}, entonces h no es función, pues no se
cumple la segunda condición, ya que el elemento a del conjunto A tiene dos imáge­
nes en B.
Es decir, se tiene [(a:y) e h a (a;z) e h a y ^ z ] , que es la negación de la
Implicación considerada en la segunda parte de la definición de función.
EJERCICIOS
1) Siendo A = ¡a,b,c,d,mj y B = [0,1,2,31, indicar cuáles de las siguientes
rolaciones son funciones. En aquellas que no lo son, ver qué parle de la defini­
ción de función no se verifica,
f
l(a;0),(b;0),(c;1),(d;2),(m;3)J
g
l(a:0),(b;1),(c;2),(d:3),(m;3),(c;0)l
h -
l(a;1),(b;2)i
'^) RIondo
f:
x2 -3 x + 5 ,
X
hallar
ülondo
g: X ^
x ^ -x ,
hallar
:;i(tndo
h: x ^
Inx = log^ x,
f(0), f(3), f(-3 ), f(2x) y f(x-1 ).
g(0), g(a), g{a+h), g(x+h) y g (-5 ).
hallar
h(e), h(1), h(sen x)
y
h(e*).
t) Indicar dominio y recorrido adecuados a funciones escalares tales que:
I
I)
K
►V
X
2
« » \ / x^ -3
g:
X
s:
X
—»
=
tg
X
r: x ^
¡xl)
secx
49
t: X —>· In (3 -x )
m: x
q:
p: x
X
^
In |x -1 |
In |x|
1
x+ 4
r\: x —> In ( x - I )
1
u: X
x‘
4) Elegir dominio adecuado para cada una de las siguientes funciones escalares;
f: X
\ / x ^ -3 x + 2
g: x
2x'
In |x+2|
h: X
In (x -2 )
II. Representación gráfica
Las funciones escalares pueden representarse gráficamente en un plano donde
se ha introducido un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales El dominio se
considera sobre el eje de abscisas y el recorrido sobre el eje de ordenadas.
La representación gráfica de una función f está dada por los puntos (x;y) del pla­
no, para los cuales es y = f(x).
Suele usarse el nombre de grafo o gráfico para designar el conjunto de pares
que pertenecen a la función. Es decir, los términos función, gráfico o grafo funcional
son, en general, sinónimos.
Nosotros utilizaremos, por razones de comodidad, la palabra "gráfico'' para refe­
rirnos exclusivamente a la representación gráfica de una función
En estas etapas erementales, la representación gráfica, con sus consideraciones
geométricas, sirve para aclarar notablemente los conceptos abstractos.
Ejemplos
1) Sea la función f: x
x - l.
Su gráfico es el conjunto de puntos (x;y) del plano, para los cuales es y = x -1.
Obsérvese que la definición de función asegura que cualquier recta vertical corta
el gráfico a lo sumo en un punto.
50
2) Sea
g: X
g no es una función, pues la recta vertical de ecuación x = 4 corta al grá­
fico en dos puntos; (4;2) y (4;5), es decir, el número 4 tiene dos imágenes’.
Si eliminamos la segunda imagen de 4. por ejemplo;
h; X
(Mitonces h es una función.
En efecto, ahora la vertical de ecuación x
«n ()1 punto
(4:5) y 5 es la única imagen de 4.
4
corta al gráfico solamente
(’ or otra parte, al construir el gráfico de cualquier función,'es conveniente enconImr, fii existen, las intersecciones del mismo con los ejes de coordenadas.
I a intersección con el eje y, si existe, es única, de acuerdo con la definición de
fi/dcií*)!!, y se obtiene para x = 0.
I s (iGcir, si existe un punto de intersección del gráfico con el eje de ordenadas.
iil( 1)0 punto es (0:f(0)).
Las intersecciones con el eje x corresponden, si existen, a los puntos donde se
anula el valor de la función.
Los puntos del dominio donde el valor de la función es cero reciben el nombre
de ceros de la función.
O sea.
a cero de la fu nció n f|«=» f(a) = 0.
Si a es un número real, et gráfico de f corta al eje x en el punto (a;0).
Funciones pares o impares
En algunos casos, la representación gráfica de ciertas funciones puede simplifi­
carse, si se tiene en cuenta la simetría de la misma.
Por ejemplo, si una función f tiene el mismo valor en el punto x y en su opues­
to ( -x ) , la función es una función par.
Es decir, f es función par » Vx: f(x) = f(-x ).
El gráfico de una función par es simétrico respecto del eje de ordenadas.
El gráfico siguiente corresponde a una función par;
Las funciones
52
f: x
eos x,
g :x —»· x^,
h; x ^
|x|
son funciones pares.
En cambio, si los valores que alcanza f en números opuestos del dominio son
fiúmeros opuestos del recorrido, f es una función impar.
Es decir, f es función impar <=> Vx; f(x) = - f ( - x ) .
En este caso el gráfico es simétrico respecto del origen.
El gráfico siguiente corresponde a una función impar:
Las funciones
pares.
f; x ^
x,
g: x
sen x,
h: x -> x^
son funciones im­
Con un artificio simple puede demostrarse que cualquier función escalar es la
suma de tm a función par más una función impar.
En efecto, siendo f una función escalar, es
~
f(x) + f ( - x )
2
. f(x )-f(-x )
2
n
K/ V
f(X) + f(-X )
f(x )-f(-x )
Para h(x) = -------- --------- y g(x) = ---------- --------- , probaremos que h es par y g
m impar:
h (-x ) =
. = h(x) =» h función par
, ,
f( - x ) - f(x)
g( x) = —i—
f(x) - f( -x )
, .
...
— — = -g (x ) => g función impar
Consideramos, por ejemplo, f: R -► R /f(x ) =
llir.carnos la función par
h /h (x ) =
x^ f 3 * - 1 + ( - x ) ^ + 3 ’‘ -1
h(x)
I
U ( ; ( ) 0,
^(x)
h(x) =
+ 3” - 1
x)
2x^+3* + 3 ’'- 2
1
h(x) = x ^ - H - - ^ (3’‘ -i-3 *)
53
La función impar es
g(x)
^
g / g(x) =
x ^ + 3 ’* - 1 - [ ( - x ) ^ + 3 * - 1 ]
2
Luego,
g(x) = y
g(x) =
x2
+ 3 * - i - x 2 -3 * + 1
( 3 * - 3 *)
Por lo tanto,
f(x) =
x2 _ i
+ ± (3 *+ 3 X )+ ± (3 * _ 3 *)^
g(x)
h(x)
siendo h par y g impar.
EJERCICIOS
1) Hacer el gráfico de funciones dadas por las fórmulas siguientes, indicando domi­
nio y recorrido.
f:
x -
í " '
l
2x
■
2
-1
3 -x
. x+1
h: X
.
u: X
54
0
2
4
5
X
si - 1 <
1<
si
si 3 <
-5
-2 x
■ -4
-2 x + 1
-X
t: X
si - 1 < X <
si 0 < x <
2 < x<
si
si
4<x<
si
0 < X< 2
si - 3 < x < - 1
4X-3
n: X
0 < X :s 1
1< X< 3
x -3
2 -3 x
-1
2 -X
m: X
si
si
X
X
< 1
< 3
si
si
si
x> 1
x= 0
X < -1
si
si
si
X=
3
X> 4
X< 0
'
x2
.
x+ 2
si
si
X< 2
x^ + 1
x ^ -1
si
ai
x> 0
X< 0
X
> 2
2) Escribir cada una de las siguientes funciones como suma de una función par y
una función impar:
a) f(x) = sen 3x -
+ x + 5
b) f(x) = x + e '* - 3
III. Funciones definidas explícitamente
Una función escalar puede ser definida por cualquier recurso que permita hallar,
para cada punto de un dominio determinado, el valor de la imagen correspondiente.
El método más común es, como ya se ha dicho, dar una regla, o varias, que
permitan determinar f(x), conocido x, directamente mediante una sustitución numé­
rica. Es el caso de las funciones definidas en forma explícita.
Por ejemplo, si f: x —» x^-t-senx, la función í está definida explicitamente
por la expresión anterior.
Suelen llamarse funciones transcendentes las funciones exponenciales como
u: X -* a" (a > 0), las logarítmicas como h; x
Inx(logex), las trigonométriCHS, etcétera.
Si bien la terminología anterior es útil para introducir el tema, el concepto moder­
no de función lleva a prescindir de esquemas rígidos. Se prefiere dar amplia libertad
pura la construcción de funciones, con la única exigencia de respetar la definición.
Presentaremos, a continuación, algunas funciones definidas en forma explícita,
cuyo uso es muy común en el cálculo elemental.
Sin embargo, se aconseja al lector "crear" sus propias funciones hasta conse­
guir manejarlas con soltura.
Algunos ejemplos de funciones usuales son:
I)
Función constante
te s una función constante si y sólo si
Su gráfico es una recta horizontal.
3 k e R /V x : f(x) = k.
y = k
VI función idéntica
I «t» Im función idéntica sobre R si y sólo si cada número real admite como imaA ohft mismo número real. Es decir, Vx; f(x) = x.
Mu ynMlco os la recta que incluye a la bisectriz del primer cuadrante.
55
3) Función valor absoluto
f es la función módulo o valor absoluto si y sólo si Vx: f(x) = |x|, de acuer­
do con la definición dada en el capítulo 1.
Su gráfico está formado por las bisectrices del primero y segundo cuadrantes,
pues los valores de f son no negativos.
4) Función signo
La función signo está definida por la regla siguiente:
Vx: sgn x = —
X
Su dominio es el conjunto de los números reales, del cual se excluye el cero.
Su gráfico está formado por dos semirrectas horizontales, cada una sin su origen.
y
1
0
X
-1
56
Nota: Algunos autores prefieren definir la función signo de la siguiente manera:
sgn
1 si X > O
O si X = O
X=
-
1
si
X< O
En este caso el dominio dela función esR.
5) Función parte entera
Se llama parte entera de un número real x al menor de los números enteros
entre los cuales está comprendido si x no es número entero, y al mismo número
X si éste es entero.
O sea, parte entera del número real x es el número entero e si y sólo si
e < X < e + 1.
Si x es número real, su parte entera se designa ení (x).
Así.
ent(1,6) = 1;
ent(0,4) = 0;
ent(-3,7) = - 4 ;
ent(-0,2) = -1 ;
etcétera.
La función "paile entera" o "piso" es la que a cada número real le asigna, como
imagen, su parte entera.
Es decir,
f: X
ent (x).
Su gráfico es escalonado, formado por segmentos horizontales a los cuales no
los pertenece el extremo derecho.
Su dominio es R y su recorrido es Z.
h) Función mantisa
1 .1 función mantisa se define de la siguiente manera:
mant x: x -> x - e n t (x)
Am
mant (0,3) = 0 ,3 -0 = 0,3
57
mant (5.7) = 5 ,7 -5 = 0,7
mant (-0 ,6 ) = -0 ,6 - ( -1 ) = 0,4
mant (-2 ,8 ) = -2 ,8 - ( -3 ) = 0,2
etcétera.
Su dominio es R y su recorrido es [0;1).
7) Funciones trigonométricas o circulares
En trigonometría se consideran seis funciones trigonométricas: seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante, definidas mediante recursos geométri­
cos. Su utilización-es importante no sólo en geometría sino en física y en matemática
aplicada, en especial por su periodicidad.
Pueden definirse también en forma analítica utilizando series o integrales, y se
llega en todos los casos a las mismas funciones.
Indicamos a continuación sus propiedades más comunes y el gráfico de algunas
de ellas.
sen^x + cos^x = 1
sen (2x) = 2 sen x eos x
sen^ X =
sen
2
= 1
eos O = 1
1 - eos (2x)
c o s -^ = O
2
eos (2x) = cos^ x - sen^ x
sen 0 = 0
tgO = O
Las fórmulas anteriores pueden completarse con otras similares recurriendo a
cualquier libro elemental de trigonometría.
58
Rec,g = R
Dcoig = { X /X € R A
4
nn)
^®^colg ~ ^
Consideremos las funciones siguientes:
7T
a).
f: X
sen —
X
59
Busquemos, primero, los ceros de la función que, como ya se ha visto, son los
números del dominio que anulan el valor de la función.
En este caso,
f(x) = o <=> X = — A n € Z - {0}
n
En efecto.
Por otra parte, el mayor valor que puede alcanzar la función seno, para argu­
mento real, es el número 1.
Resulta:
f(x) = 1 -
X
- =
2
4n+1
A n € Z.
En efecto.
También interesan los puntos del gráfico donde la función seno alcanza el menor
valor, que es el número - 1 .
Resulta:
f(x) = - i -
X =
2
4n + 3
En efecto,
s e n - ^ = - 1 « — = 3 — + 2n7T a n e z .
X
X
2
Además
f
es una función impar, y su gráfico es simétrico respecto del origen.
b)
X
X
O
X
f: X
O
60
TT
sen — si
si X = O
8 ) Funciones hiperbólicas
Estas funciones son seis y se denonninan: seno iiiperbólico, coseno hiperbólico,
tangente hiperbólica, etc. Se las designa, respectivamente: sh, ch, th, etcétera.
Se obtienen combinando funciones exponenciales cuya base es el número irra­
cional e = 2 ,7 1 8 2 ...
Se las define así:
sh X =
th X =
sech X =
e* -
e*
ch X = -
2
e* -
e "*
coth X =
e* + e *
2
cosech X =
e* + e *
e* + e *
2
e* + e “ *
e* - e "*
2
e* - e -*
Se demuestra inmediatamente, utilizando las definiciones anteriores, que:
ch^
X -
sh^
X
= 1
ch^
X +
sh^
X
= ch (2x)
2 sh x ch x = sh (2x)
61
9) F unción lineal
1: X - * ax+b.
Su gráfico es una recta de pendiente a que corta al eje de ordenadas en el
punto (0;b).
La función constante, vista anteriormente, es un caso especial de la función
lineal donde a = 0. También lo es la función idéntica para a = 1 y b = 0.
Ejemplo
f: X ^
— X -
2
1
10) Función cuadrática
f: X -> ax^+ bx+c
a t O
El gráfico es una parábola cuyo eje y vértice sedeterminan
el procedimiento de "com pletar el cuadrado".
a) Sea
f: x
x ^ -2 x + 5.
f(x) = x ^ - 2 x + 5 => f(x) = ( x 2 - 2 x ^ 1 ) + 4
62
fácilmente mediante
f(x) = ( x - 1 ) 2 + 4
La parábola tiene como eje la recta de ecuación
punto (1 ;4).
b) Sea
h:
X
x = 1 y como vértice el
2 x ^ -x + 1 .
h(x) = 2 ( x ^ - | - ) + l x=> h(x) = 2 ( x ^ - y x + : j ^ ) —^ + 1
h(x) = 2 ( x - | ) % - ^
eje: x = vértice: f —
^
\ 4 8/
c) Sea
g: x
- 3 x ^ + 2 x - l.
g(x) = - 3 ( x 2 - | - x) -
1
g(x) =
g(x) =
63
eje: x = —
3
vértice
i i - í )
En este caso, por ser negativo el coeficiente de x^, la concavidad de la parábola
está dirigida hacia el eje negativo de ordenadas.
En general, la parábola correspondiente al gráfico de f: x ^ a (x -h )^ + m tie­
ne por eje la recta de ecuación x = h y por vértice el punto (h;m). La concavi­
dad es positiva si a > O y negativa para a < 0.
11) Función polinómica
La función lineal y la función cuadrática son casos especiales de funciones polinómicas del tipo
f: X
a„ X" + a.
+ . . . + ao
( V „ :a „ € R ) .
Es de especial interés, para construir el gráfico de una función polinómica, cono­
cer las raíces reales del polinomio correspondiente, o sea, los ceros de la función,
pues indican los puntos en que el gráfico corta al eje de abscisas.
Sea f: X
(x -1 )" ·
64
El número 1 es una raíz de orden cuatro* del polinomio f(x) = (x-1 )^. Luego,
el gráfico corta al eje x en a = 1, pero no lo atraviesa Esto sucede siempre que
la raíz es de orden par.
En cambio, si se trata de una raíz de orden impar, el gráfico atraviesa al eje en
dicho punto.
Sea
f; X
En el punto
(x -2 )^
(2;0)
el gráfico atraviesa al eje de abscisas.
Otro ejemplo:
f: X
(x -2 )^ íx+1)^.
■A/o/a. El número r es raíz del polinomio p(x) si y sólo si p(r) = 0. La raíz r es de orden m
(o tiene multiplicidad m) si y sólo si p(x) es divisible por ( x - r ^ y no lo es p o r (x - r r* '·
65
En (2:0) el gràfico atraviesa ai e)e de abscisas, pues 2 es raíz de orden impar.
En cambio, en ( -1 ;0) no lo atraviesa, pues -1 es raíz de orden par.
12) Funciones racionales
a „x" + a^,x"~^ + . . . + a,x + ao
(b„ lí O A tn a 1)
f: X
+ . . . + b,x + bo
El dominio de f excluye los valores que anulan el denominador.
Para hacer el gráfico es necesario observar en primer lugar si numerador y deno­
minador tienen factores comunes. En ese caso pueden simplificarse, indicando la
función con una nueva regla donde se aclare el dom inio correspondiente.
Sea
f: x
x ^ -4
x+ 2
También
. Su grállco es la recta de ecuación
(-í::-4 ).
Sea
66
g; x
f: x
y = x -2 ,
x
- 2 a x ^ - 2 .
de la cual se excluye el punto
En cualquier entorno reducido del punto x = 3, el conjunto de valores de g no
está acotado. Se dice que la recta de ecuación x = 3 es una asíntota vertical al
gráfico de g (este concepto se aclarará al considerar límite).
Como 3 es raíz de orden impar del denominador (previamente simplificado), los
valores de la función cambian de signo en un entomo conveniente sobre el eje de
abscisas a derecha e izquierda del punto x = 3.
Sea h: x
1
( x - 1 )^
Como 1 es raíz de orden par del denominador, si se considera un entorr»o conve­
niente sobre el eje de abscisas a ambos lados del punto x = 1 , la función toma en di­
cho entorno valores del mismo signo.
Como hemos dicho anteriormente, es aconsejable que cada uno decida "crear”
sus propias funciones. Una forma interesante de hacerlo es utilizar la definición de va­
lor absoluto.
Ejemplo 1
Sea f; R -> R / f(x) = lx -4 | + |x+ 2 |.
En el dominio R debemos considerar dos puntos críticos;
-2
0
-2
y 4.
4
Para x < - 2 e s lx - 4 l = - x + 4 a 1x+2| = - x - 2 pwdefiróción de valor absoluto.
Para - 2 < x < 4 es lx-4 1 = - x - i- 4 Ajx-í-SI - x + 2.
Para x > 4 e s | x - 4 | = x - 4 A l x + ■2 | = x + 2 .
si x < - 2 ;
Luego, f( x) = - x + 4 - x - 2
f(x) = - X + 4 + X + 2 si -2 < x < 4 ;
f(x )= X-- 4 + X + 2 si x > 4 .
Por lo tanto,
f; X
2x+ 2
6
2x- 2
si
si
si
x< - 2
-2 < x < 4
x> 4
07
El recorrido de f es {y / y ^ 6 ).
Obsérvese que hemos utilizado la siguiente definición de valor absoluto:
|a| = a si a >
0 a
la| = - a si a < 0 .
Nada cambia si se considera |a| = a si a > O A |a l= - a si a < 0 .0 sea, no se
alteran los valores que alcanza la función en los puntos críticos.
Ejemplo 2
S e af: x
1- |x + 2 |+ lx - 3 l.
El dominio de la función es R y podemos considerar tres subconjuntos del mismo;
D, = { x / x < - 2 }
□ 2 = {x / - 2 < x < 3 }
D 3 = { x /x > 3 }
pues |x+2| = - x - 2 A |x -3 | = - x + 3
pues lx+2l = x+ 2 A |x -3 | = - x + 3
pues |x+ 2 | = x + 2 A |x -3 | = x - 3
Luego,
si x e D , entonces f(x) =
si X € D j entonces f(x) =
si X 6 Do entonces f(x) =
1 + X + 2 -X + 3 ;
1-X -2 -X + 3 ;
1-X -2 + X -3 .
si
x < -2
si - 2 < x < 3
si
x>3
ijè m p k) 3
Sea f: X -> 3 -|x 2 -1 |.
En este caso los puntos críticos del dominio son 1 y - 1 , que hacen |x ^ -11 = 0.
x < -1
1 -x < 1
x>1
x 2 -1 > 0
x 2 -1 < 0
x 2 -1 > 0
O se a.f: x
4 -x ^
x 2+2
4 -x 2
También, f: x
4 -x 2
' x^+2
1x2-1| =
x2-1
¡ x ^ - lj = -x ^+ 1
lx 2 _ l| =
X2_1
SI
si
sí
f(x) = 3 - x ^ + l
f(x) = 3 + x2-1
f(x) = 3 - x2+1
x < -1
-1 < x < 1
x>1
Funciones definidas im plícitam ente
Sea F(x;y) una expresión en dos variables x e y.
Por ejemplo:
F(x;y) = y + 3 x -1 .
Una función fe s solución de la ecuación F(x;y) = O si y sólo si Vx: F(x;f{x)) = 0.
1 11 (js te caso, se dice que la función f está definida im plícitam ente por F(x;y) = 0.
Sea
De la ecuación
F(x;y) = 2 x y -3 y + 1.
2 x y -3 y + 1
.o puede despejar
y = Por lo tanto, F(x;y) = 2 xy-3 y+ 1 = 0
•K[)resión explícita es
= O
1
2 x -3 .
define implícitamente una función f cuya
69
1
f:x
2 x -3
Algunas veces no es posible hallar Ja expresión explícita de la función indicada.
En otros casos, una expresión en dos variables puede definir más de una función.
Si F(x;y) =
+
entonces F(x;y) = O puede definir implícitamente dos
funciones distintas:
f:
X
V 4 -:
g :x
- \/4 - x 2
cuyos gráficos son respectivamente las semicircunferencias siguientes:
También puede suceder que una expresión en dos variables no defina implícita­
mente a ninguna función (con dominio no vacío). Por ejemplo, esto sucede si
F(x;y) = x^ + y2+ 1. En este caso, F(x;y) = O no se satisface para ningún par (x;y) de
números reales.
EJERCICIOS
1) Hacer el gráfico de f: x
e n t(x )-4
2) Hacer el gráfico de las siguientes funciones lineales, indicando las intersecciones
con ambos ejes.
f:
x ^
3x
m: x -»· - 2 x + 4
g :x
4 x -1
n: X
--------X + 2
3
t: X
x -2
3) Hacer el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas. Completar previamente
el cuadrado para hallar la ecuación del eje y las coordenadas del vértice de cada
parábola.
- f: X
m: X ^
r:
70
X
x ^ -6 x + 1 4
g :x
-x ^ + 4 x -1
h: x
x^ + 10x+23
-x ^ +3
n:
X
- x ^ + 2x + 2
t;x
x^+6x+11
2 x ^-1 2 x + 2 2
s:
X
x^
-^ ^ 4 x + 1 1
p:x
-2 x ^ + 4 x + 3
4) Hallar los ceros reales de las siguientes funciones polinómlcas y hacer el gráfico
indicando las intersecciones con ambos ejes.
f; X
x^-3x+1
g :x
x^-2x^-5x + 6
x^-16x^
’
m;
X
^ x^+3x^-x-3
n: x
r;
X
-> x ^ - x ^ - 4 x + 4
s: x —*· x ' * + 3 x ^ - 9 x ^ + 5x
h:x
x^+4x^-9x-36
x ^ -3 x ^ + 4
t: x
?)) Hacer el gráfico de las siguientes funciones, indicando dominio y recorrido.
x+ 4
x -2
I: X
4 x -1
2x+1
g :x
.
h:
3x+1
x+4
X
m:
2 x -5
4x+1
X
(i) Hacer el gráfico aproximado de las siguientes funciones, indicando el dominio.
1
I: x
x -3
x -4
t: X
x ^ -2 5
x+5
g :x
h; X
3
l;x
s; X
x^ + 1
x ^ -1 6
(x -1 )(x + 3 )
x -2
1
(x -2)2
/) Hacer el gráfico aproximado de las siguientes funciones, indicando dominio y re­
corrido.
x -1
(: x
x ^ + 2 x -3
I;
x ^ -x ^ + x -1
x -1
X
x ^ + x ^ -x -1
x+1
g :x
m;
X
X
h; X
n; X
2 x ^ -3 x
x ^ -3 x -4
s:
x ^ -5 x + 4
x+3
X
x ^ -x -2
x -2
x"’ - x
X
p:x
x^ + x - 2
x ^ -x -6
H) Graficar y hallar el recorrido de cada una de las siguientes funciones de R en R:
f: X ^
h: x
s: X
|x -5 | - lx + 3 i-1
g :x
¡x-31 - l2 x -1 | + 3
m: x ^
t:x
jx ^ -4 1 -1
3 |x -1 | - |2xl
l2 x -4 | + jx + S j- l
lx " - x l
U) Idem para
f; X
|2x+1|
|4 -x l
|x-31
si
si
si
x < -1
-1 < x < 5
x> 5
♦ 10) Indicar dominio adecuado, graficar, halJar intersecciones con los ejes y dar el
recorrido de
f;x
ix - ^
x+3
71
2x
4
11) Idem para f: X
^
12)
4
13) idem para
-> In
|x
4
14) idem p a r a i: x " - ^ jin
xj
idem para f : x
^ 15) idem para
f: x
f:x
->
- 1|
2 "'*·^'
4
16) idem para f ; x -»· —
^
17) idem para f:x -> jx+2|+
♦
18) idem p a ra f:x
x -3
^
|x2 + 2 x + 1 | - 2 |x+ 4 |- |x 2 - i l
Nota: Si algunos de los ejercicios propuestos en esta sección resultan dem asiado compli­
cados a esta altura del curso, puede volverse a ellos más adelante y realizar el estudio completo
de cada una de las funciones elegidas.
IV. Clasificación de funciones
1. Funciones sobre o suryectivas
Hasta ahora se han considerado funciones de un conjunto en otro, donde el
recorrido puede ser una parte del segundo conjunto. Si, en cambio, para una función
f de A en B el recorrido coincide con el conjunto B, entonces f es una aplicación de
A sobre B.
O sea, f: A ^ B es una aplicación de A sobre B si y sólo si
Rec, = B.
Por ejemplo,
f:x
5 x-1
es una función del conjunto R sobre sí mismo.
g: Z ^
Z / V xe Z: g(x) =
5x
no es una función sobre el conjunto de los números enteros, ya que el recorrido está
formado exclusivamente por los números enteros que son múltiplos de 5.
h: X ^
sen x
es una función que aplica el conjunto R sobre el intervalo [-1 :1 ].
Obséa'ese que, de acuerdo con las definiciones que hemos adoptado, una fun­
ción siempre lo es sobre su recorrido.
72
?
Funciones inyectivas o "uno a uno”
En una función, un misnno número real puede ser imagen de distintos elementos
del dominio, como sucede en f; x —» x^ donde, por ejemplo. 4 es la imagen de 2 y
también de - 2 .
Si se exige que cada elemento del recorrido sea imagen de un único elemento
fiel dominio, entonces la aplicación es inyectiva.
O sea,
f:A -> B
(!s inyectiva o "uno a uno" si y sólo si
Va e A Vb € A: (f(a) = f(b) => a = b)
(j su contrarrecíproco: (a
b => f(a)
f(b))
Es decir, una función inyectiva asigna a elementos diferentes del dominio ele­
mentos diferentes del recorrido.
Geométricamente, si la función es inyectiva. una recta horizontal corta al gráfico
a lo sumo en un punto.
Como ya se ha dicho.
f: X
—»
x^
no es inyectiva.
pues
Vx e D :(f(-x ) = f(x)
a
x
- x (si x
0);).
Para negar la inyectividad basta exhibir un contraejemplo. Es decir,
f no inyectiva < = > 3 a e A 3 b € A : (f(a) = f(b)
a
a it b ).
Un el caso anterior, por ejemplo,
3 2 3 - 2 /f(2 ) = f( - 2 )
A
2 /
-2 .
Si consideramos otra función f , , definida por ¡a misma regla anterior, pero cuyo
73
dominio es el conjunto de los números reales no negativos, entonces í, es una fun­
ción inyectiva.
La función f ^ cuyo dominio es un subconjunto del dominio de f es una restricción
de f.
Es decir, f, restricción de f
f,c f .
3. Función biyectiva o “uno & uno sobre”
f es una función biyectiva si y sólo si es inyectiva y suryectiva. En este caso
queda establecida una correspondencia biunivoca entre A y B.
Sea f: X
x^.
Las funciones biyectivas tienen extraordinaria importancia, pues sus relaciones
inversas son también funciones biyectivas.
Es decir, como ya se ha visto, si f es una función, su relación inversa puede o no
ser una función. Solamente si f es biyectiva su relación inversa es una función.
Sea
A = {a,b}
,
B = {y}
y
f = {(a ;y), (b;y)}.
f es una función de A sobre B que no es inyectiva.
74
La relación inversa g = {(y ;a ), (y;b)} no es función de B en A, pues no se cum­
plo la segunda condición exigida en la definición de función de que la imagen sea
única.
Sea
A = {a,b}
,
B = {y.z.k}
y
f = {(a ;y ). (b;z)).
f es una función inyectiva de A en B que no es suryectiva.
La relación inversa g = {(y ;a ), (z;b)} no es función de B en A, pues no cumple
l<) primera condición de la definición de función, ya que el elemento k de B no tiene
imagen en A.
Sea
A = {a,b}
,
B = {y.z}
y
f = {(a ;y), (b;z)}.
f es una función biyectiva de A en B.
La relación inversa g = {(y ;a ), (z;b)}, función biyectiva de B sobre A, se deno­
mina función inversa de f y se designa con el símbolo f V
O sea,
g = f ’ y además D, = Rec,, a Rec, = D ,..
De acuerdo con los ejemplos anteriores, puede probarse que la condición nece•..iria y suficiente para que la relación inversa de una función f sea función biyectiva es
(lue f sea biyectiva.
75
4 Teorema
Sea f una función y g su relación inversa: f es función biyectiva si y sólo si g es
función biyectiva.
Demostrarennos la implicación directa; si f es una función biyectiva, entonces su
relación inversa g es función biyectiva.
Sea
f: A ^ B y g: B
A.
Adennás,
g = Ub;a) / (a;b) e f}
y
f biyectiva.
Queremos probar;
1) g es una función;
2) g es biyectiva.
1) Para que g sea función deben verificarse las dos condiciones de la definición de
función.
Primera condición
Al ser f función de A sobre B. todos los elementos de B son segundas componen­
tes de los pares de f y, por lo tanto, primeras componentes de los pares de g.
Es decir,
D, = B.
Segunda condición
Al ser f inyectiva:
(a;b) e f
a
(c;d) e f A b = d = ^ a = c
(1).
Pero, por definición de relación inversa:
(a;b) € f «
(b:a) e g
y
(c,d) e f <=> (d;c) e g.
Reemplazando en (1), queda;
(b;a) e g A (d;c) e g A
76
b = d=D a = c.
que asegura la unicidad de la imagen.
Por lo tanto, g es una función de B en A.
2) Para que g sea biyectiva basta probar que es sobre A y que es inyectiva.
Primera condición
Al ser f una función y g su inversa, es
D, = ReCg = A.
Pero si el recorrido de g es A, la función g es sobre A.
Segunda condición
Por ser f una función, se cumple, de acuerdo con la segunda parte de la defini­
ción, que:
(a;b) € f A (c;d) e f A a = c = > b = = d .
Luego,
(b;a) e g A (d;c) e g
a
a = c = > b = d,
y la función g es inyectiva.
La demostración de la implicación recíproca es completamente análoga.
Definición
Si f es una función de A en B se llama función Inversa de f a la función f ' de
B en A / Vxe A V y f B
[f(x)] = X A f[f- ’ (y)] = y.
Por el teorema anterior, dicha función inversa existe y es única si y soto si f es
biyectiva. (En el teorema es g = f V )
Ejemplos
1) Sea f: X
3x - 1.
f es una función biyectiva del conjunto R en sí mismo. Por lo tanto existe su
función inversa f~’ .
El recurso más sencillo para encontrar la regla que defina a f “ ’ es escribir
y = 3x - 1
y despejar
f-:y
y+ 1
x =
^ ^ V
O
Resulta
77
Es costumbre, al anotar la regla que corresponde a
variable.
O sea,
f:x
f ’ :x
llamar también x a la
3x - 1,
x+ 1
El gráfico de f ’ puede construirse mediante simetría del gráfico de f respecto
de la recta de ecuación y = x.
2) Sea f: X
sen x.
f no es función biyectiva. Puede considerarse una restricción de f cuyo domi­
nio sea el intervalo ^ — ^ - y ] ·
O sea,
g; X ^
g ’:X ^
78
sen X A - — < x < — ,
2
2
are sen x.
Como se ha indicado al comienzo de este ejemplo, la función inversa de la fun­
ción seno es la función arco seno. Preferimos emplear esta notación para designar la
función inversa de la función seno y no la notación sen" ’ , que suele usarse en los
libros modernos y en las calculadoras, y que puede confundirse erróneamente con la
1
= (s e n x ) '
función cosecante, en la cual Vx
n-rr: cosec x =
sen X
Por las mismas razones la función inversa de la función coseno se designa arco
coseno, etcétera.
:i)
Sea
f: X
e\
f - ’ :x
4) Sea
f es b i ye ct iv a so b r e el c o n j u n t o d e los n ú m e r o s r ea le s positivos.
Inx.
t:x
f'" ;x
sh X.
arg sh x.
f es biyectiva en R.
Utilizando la definición, puede probarse que
arg sh x = In (x + Vx^ + l).
Ln efecto,
79
y = arg sh X «=> sh y = x
»y _
Multiplicando ambos miembros por
e ^ y -1 -2 x e '' = O «
= X « e y _ o y _ 2x = 0.
resulta:
(ey)^-2 x(e y)-1 = 0.
La igualdad anterior es una ecuación cuadrática en e^. que resolvemos aplican­
do la fórmula:
e'^ =
2 x ± V 4x“^+4
= x ± \ / x^ + 1.
Siendo Vy; e^' >0, solamente aceptamos la solución e'' = x + V x^ +1.
Por lo tanto, y = In (x + V x ^ + l), o sea, arg sh x = In (x + Vx^ + l).
Una fórmula análoga se obtiene para y = arg ch x.
Las funciones inversas de las funciones hiperbólicas y trigonométricas se utilizan
frecuentemente en el cálculo de integrales.
♦ Restricciones
Dada una relación binaria, llamamos restricción de la misma a cualquiera de sus
subconjuntos.
Es decir, para la relación
A x B,
es una restricción de ^ si y sólo si
En algunos casos, dada una relación binaria que no es función, interesa hallar
restricciones que lo sean, como ya hemos visto para funciones definidas en forma
implícita.
Ejemplo 1
Consideremos la siguiente relación definida en R;
'K = { ( x : y ) /x 2 - y 2 = 1}.
Su gráfico es una hipérbola equilátera, su dominio es D = {x / lx |^ l} y su re­
corrido es R.
80
a ) Busquemos una restricción que sea función.
Por ejemplo, f, = {(x ;y )/x ^
= 1 a y>Ol.
Se trata de una restricción de ^ pues f, c
En efecto,
V(x:y) :((x ;y )e f, => (x ;y )e í/().
El dominio también es
¡y /y > 0 |
D = {x /|x |> 1 },
pero el recorrido es
R"^ u {0} =
La misma función puede anotarse f^ = {(x;y) / y = \ / x^ - l} .
Otra restricción funcional es
= {(x;y) / y = - V x^ - l} .
En este caso, para el mismo dominio, el recorrido es R~ u {0} = {y / y^O}.
Tamt»én es otra restricción funcional de
la siguiente;
fg = {(1 ;0 ), (-1 :0 )}
condom inio{1 ,-1 }
y reconido(O}.
^
b) Busquemos una restricción de ^ q u e sea función inyectiva.
Por ejemplo, g, = {(x;y) / x ^ -y ^ = 1 a y>D a x>1} es función inyectiva de
A en R para A = { x / x > l } .
81
T am biéng 2 = {(1:0) . ( - 2 ; v / 3 ) ,( 3 :2 V ^ ) }
con dom inio D = ¡1,-2,31.
c) Queremos dar ahora restricciones de
que sean funciones biyectivas.
Las funciones g, y g j del punto b) son funciones biyectivas si elegimos adecua­
damente el segundo conjunto;
g, es biyectiva de A en R·*· u {0},
gj es biyectiva de D en {o, \A3, 2
Otra restricción funcional biyectiva de
h = {(x;y) / (y = \
/
- i
a
\Í2 ).
puede darse con el siguiente conjunto;
x > i) v (y = - \ / x ^ - i
Su dom inio es C = lx /lx | >1 v x = 1).
h es biyectiva de C en R.
a
x<
- i )}
Su recorrido es P. Demostraremos que
1) h inyectiva » Vx, V x j; ( h ( x j = h(x2 ) =:► x, = Xj).
______
P a ra x> 1 ;
h(x,) = h(Xj) => \ / x , 2 - 1 = V
-1 => x ,^ -1 = X2 ^ - 1 =>
^
X,2 =
=> jx j = |x^l
X, = X j,
p u e s x ,> O A X2 > 0 .
Para x < - 1 ;
h(x,) = h(x2 ) => - V x , 2 - 1 = - \ / x
^
p u e s x ,< O A
X,2 = x^2 ^
|xj = |xj
2^-1
_x^ = _X^_
X2 < 0 .
También resulta
x, = X2
y h es inyectiva.
2) h es sobreyectiva en R c=> Vy € R 3x e C; y = h(x).
Si y> 0 , entonces x = V 1 + y^.
Si y< 0 , entonces x = - V 1 + y^.
82
=> x ,^ -1 = x / - ^
Por lo tanto, h es biyectiva y admite función inversa h
Hlondo h ’ = {(x;y) / (y = \ / l +x^ a x 2: 0 )
v
(y = - v' 1 +x^ a
también biyectiva,
x < o) } .
El dominio de h ” ’ es R y su recorrido C = R Ejemplo 2
Definimos en R la siguiente relación binaria;
X^ y
Osea,
= |(x ;y )
9
»
4x2 + 9y2 = 36.
4
Su gráfico es una elipse, su^denninio eJ intervalo cerrado [- 3 ;3 ] y su recorrido
ol intervalo cerrado [- 2 :2 ],
(i) Hallar tres restricciones distintas que sean funciones con el mismo dominio [-3 :3 ];
B3
ti = {(x ;y )/4 x 2 + 9 y 2 = 36
^2
a
y>0}
Rec f, = [0;2]
= {(x :y )/4 x2 + 9 y 2 = 36 a y^O}
fg = { ( x ; y ) / ( y = - | V T ^
V
(y
=
A
- y v /9 -x 2
R e c fj = [-2 ;0 ]
0<x<3)
Recfg = (-2 ;2 ]
V
-3 < x < o )
A
■
b) Hallar una restricción de 'K Que sea función inyectiva;
g = f 3 - {(-3 :0 )}
Dg = (-3 :3 ]
ReCg = (-2 :2 ]
c) Hallar dos restricciones de ^ que sean funciones biyectivas y dar las funciones
inversas;
hi = | ( x ; y ) / y = - | v 9 -x ^
hi ’ = |(x ;y ) / y = - | - \ / 4 -x ^
h, '
a
a
o<x<3|
Dh^ = [0:3]
Rech, = [0:2]
osx<2|
=
{ (3 :0 ), (0 ;2 ), ( 2 ; - 2 ^ ) }
=
{ (0 ;3 ),(2 ;0 ),(-^ ^ ;2 )}
=
{3.0,2)
Rec„^
=
|o .2 ,-^ ^ }
4 C o n ju n to s num erables
Las funciones biyectivas tienen extraordinaria importancia no sólo para asegurar
la existencia de la función inversa, sino también para determinar el número cardinal
de un conjunto dado.
En efecto, se dice que dos conjuntos tienen el mismo número cardinal o son
coordinables o equipolentes si y sólo si existe una ápitcación biyectiva entre los
mismos.
Por ejemplo, los conjuntos A = {5,6} y B = {c,d} son coordinables, pues
existe una aplicación biyectiva entre ambos. Así, la función f / f(5) = c y f(6) = d
es una función biyectiva de A en B y el número cardinal de ambos conjuntos es "2” .
La noción de número cardinal puede extenderse también a conjuntos infinitos, y
dos conjuntos infinitos tienen el mismo número cardinal si y sólo si existe una aplica­
ción biyectiva entre ambos.
Cantor propuso el símbolo X q (aleph cero) para designar al número cardinal del
conjunto de los números naturales.
D efinición
Un conjunto infinito C es numerable si y sólo si es coordinabie con el conjunto de
los números naturales, es decir, si existe una aplicación biyectiva de C en N.
Puede probarse que el conjunto P de los números pares positivos es numerable,
84
( n efecto, la función f; P ^
N / Vx; f(x)
^
una función biyectiva en N.
Análogamente puede verificarse, eligiendo convenientemente una función bi­
yectiva en N, que el conjunto Z de los números enteros es un conjunto numerable.
El conjunto Q de los números racionales, a pesar de ser un conjunto denso en sí,
es un conjunto numerable.
Es decir, es posible establecer una aplicación biyectiva de Q en N.
Para obtenerla puede recurrirse al proceso siguiente, llamado de diagonalización.
Consideremos el siguiente esquema, en el cual se ubican todos los números ra­
cionales positivos;
1
2
3 —
4
5
1
2
i
1
3
i
1
4
2
2
3
4
2
2
5
2
2
3
3
4
, 3
3
5
3
2
4
3
4
4
4
5
4
^
/'
Ahora podemos numerar los elementos del cuadro anterior siguiendo el orden
marcado por las flechas y omitiendo los números que aparecen repetidos.
Se obtiene así la sucesión;
o.
3. 2.
1 . 1 . o.
y-^-l-3·
3· ' ■ ■ 2 ·
1.
3· 7 ·
■
a cuyos términos podemos designarlos;
(a,; a ji
83;
a ,;
. . . ).
Luego, la sucesión (0; a ,; - a , ; a^: - 3^2'· ■· ·) contiene a todos los números
racionales, y puede establecerse una aplicación biyectiva de Q en N de la siguiente
manera;
f;
O ^
1
a, -
2
-a ,
a^ -
3
4
- a , -> 5
~ Por lo tanto, el conjunto Q es numerable.
85
Sin embargo, no todos los conjuntos infinitos son numerables.
El conjunto R de los números reales no es numerable. Es decir, no existe nin­
guna aplicación biyectiva de R en N.
Para demostrarlo puede probarse, en p(imer lugar, que no es numerable el con­
junto (0;1) C R.
Para hacerlo se recurre a una demostración por el absurdo.
Recordemos, primero, que todo número rea! x puede expresarse como número
decimal de infinitas cifras, periódicas si x es racional y no periódicas si x es irracional.
Ahora bien, si el conjunto (0;1) formado por los infinitos números reales com­
prendidos entre O y 1 fuera numerable, sus elementos podrían escribirse de la si­
guiente manera:
n ,
=
0 ,a - |
a2
33
84 8 5
......................
a^
..........
b^ ..........
\
n2
—O,b^ b2 b3 b4 bg
\
^3
=
0 ,C i
C2 C3
C4 C5
...............
n4 = O, di d j da Ó4 d j
..........
Cp,
................
\
..........
Puede construirse ahora un número x e (0;1) que no figura en la sucesión an­
terior.
El número x = O, x, Xj X3 X4 X5 Xg .......... Xp .......... se construye de la siguien­
te forma:
En primer lugar, ninguna de sus cifras es O ni es 9, y, además,
X,
a, A Xj
b j A X3
7Í
C3 A x^
7^
d 4 A . . . . A x„ ^ n^
A
Por lo tanto, x e (0;1), pues como ninguna de sus cifras es O ni es 9, x ^ 0
y
t 0,999 . .. (0,999 . . . = 1 ).
Además, el número x difiere de cada número del arregloanterior por lo menos en
la cifra que aparece en la diagonal señalada con la flecha.
Por lo tanto, el número x no pertenece a la sucesión antefk>r y los números rea­
les del intervalo (0 ;1 ) no forman un conjunto numerable.
Con esto queda probado que R no es numerable, pues se demuestra fácilmente
que cualquier subconjunto de un conjunto numerable es también un conjunto nume­
rable.
Tampoco es numerable el conjunto de los números irracionales.
x
EJERCICIOS
1) Indicar si las siguientes funciones son inyectivas-o suryectivas: a) de Z en Z;
b) de O en O;
c) de R en R.
f: X
2 x-1
g: X ->· 5x
h: X -»· x2
86
Indicar cuáles funciones son biyectivas. Para esas funciones, anotar sobre qué
conjunto y dar f
Hacer ei gráfico de ambas utilizando simetría.
f;
X
g;
X
h; X
t:
X
eos
O < X < 7T
X
— V X - 1
log x ( l o g , o X )
— 2x2 - 1
:í ) Indicar dominio y recorrido de las siguientes funciones biyectivas y de sus inversas.
f;
2x - 3
X
g: X
x^
h :x-^\/4 -x2
t;
X
2x + 3
5x - 1
s:
X
x-2
x + 3
I;
X
—
m: X
n:
X —
u:
X
r: X
----x2 + 1
0<x<2
x>0
2x - 1
x + 3
1
—
X
1
x + 3
4x - 1
2x + 4
4) Graficar la siguiente relación, definida en R:
X -l^y »
4y2 - x2 = 9
;i)
b)
·;)
(í)
justificar que no es función;
dar una restricción que sea función indicando dominio y recorrido;
dar una restricción que sea función no inyectiva y justificar;
dar una restricción que sea función biyectiva y demostrar que lo es en los con­
juntos elegidos. Dar la función inversa,
h) ldí;m para x '? (y c=»
= x + 4.
V. Algebra de funciones
funciones iguales
Dos funciones son iguales si y sólo si están formadas por los mismos pares
niilciiiildos.
87
f = g c=> D, = Dg A V xe D,: f(x) = g(x)
Sean
(X
y
g:
X
-*·
X
+ 3) (X - 3)
x -3
+ 3.
f y g no son funciones iguales, pues el par (3:6) / f y, en cambio, pertenece a g.
Si consideramos una restricción de g, de cuyo dominio se ha excluido el número
3, entonces se obtiene una nueva función g , igual a f.
g,:x-^x + 3AXí t3
Las funciones escalares pueden combinarse para obtener nuevas funciones
escalares:
1. Suma de funciones
La función h es la suma de las funciones f y g si y sólo si:
D , = D, n Dg A Vx e D ,: h(x) = (f + g) (x) = f(x) + g(x).
2. Resta de funciones
La función h es la resta de las funciones f y g si y sólo si:
Dh = D, n Dg A Vx 6 Dhi h(x) = (f - g) (x) = f(x) - g(x).
3. Producto de funciones
La función h es el producto de las funciones f y g si y sólo si:
Dh = D, n Dg ^ Vx € D,: h(x) = (fg) (x) = f(x) · g(x).
4. Cociente de funciones
La función h es el cociente de la función f sobre la función g si y sólo si:
D , = D, n Dg - {x / g(x) = 0}
a
Vx e D ,: h(x) = -L (x) =
g
g(x)
Ejemplos
1) Sean
f : x - » Inx
y
1
I
88
D, = { x / x e R A
r
X
Dg = { x / x e R A X
> 0}
,
2}
f
1
g:x->lnx + ^ 1 ^
2) Sean
f: X
''
sen x
D, =
g :x^x-1
f
— :X
g
sen X
--------x-1
D
i
g
=
Dg = { x / x e R /\ X t
g .X , X - 1
f ■
sen X
O t t a n e Z}
1
1
S Composición de funciones
Dadas dos funciones, es posible, a veces, hallar una nueva función h. que se
llama función compuesta de g con f. mediante la siguiente regla:
h(x) = ( f og ) ( x) = f[g (x )].
Es decir, la función compuesta h = f o g resulta de aplicar sucesivamente dos
funciones, primero la función g y luego la función f.
Esto no siempre es posible, pues para que existan valores de la función com­
puesta h es necesario que el recorrido de g sea un subconjunto del dominio de f:
Hoc^ C D ,
Si el dominio de f no incluye al recorrido de g, se debe considerar una restricción
do la función g.
Obsén/ese que en el caso correspondiente a la figura anterior se compone una
loMricción de g con una restricción de f. Seguimos usando la expresión “ g compuesta
( ()i\ I" para simplificar el lenguaje.
En forma análoga puede definirse la función compuesta de f con g o de sus res­
ini (nones. También puede hacerse la composición de varias funciones, y se demuesliM (jue es asociativa.
89
Ejemplos
1) Sean
f:x
D, = R
3x
Rec„ = { y / y > 0}
D„ = { x / x s O }
g ;x
( f og) ( x) = f[g (x )] = f ( \ ^ )
= 3VT
Luego,
fog: X ^ 3 \ / ^
En este caso el dominio de la función compuesta coincide con el dominio de g.
En efecto, el recorrido de g es el conjunto de los números reales no negativos,
que es un subconjunto del dominio de f. Es decir, se cumple directamente; ReCg c D,.
D,
Rec,
D,
Rec,
f og
9
0 >
Si se quiere hallar g
o
fog
0
0
f. es
( g o f ) ( x ) = g [f{x)] = g(3x) = v ^ .
No se cumple ahora la condición exigida de que Rec, C Dg. Debemos buscar,
entonces, una restricción de f, considerando la parte del dominio de f cuya imagen es­
tá incluida en el dominio de g. Basta considerar el subconjunto de D, que se aplica so­
bre el conjunto de los números reales no negativos, es decir, también el conjunto de
los números no negativos.
Luego, consideramos
D,* = {x / x > o}.
Ahora,
Rec,* = { y / y > 0 }
y
Rec,* C D^.
Nota: D,* indica el dominio de la restricción de f y Rec,* su recorrido.
Gráficamente:
90
D,
Rec,
D
ReCj
Luego,
2) Sean
f:
X ->· V
X
- 1
y
g: X
-» ln
X.
Hallar g of:
( go f ) ( x ) = g [f(x)] = g ( V x - 1) = in ( V x - 1)
D,
Rec,
Dg
ReCg
gof
g
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
El único elemento de Rec, que no pertenece a D^ es el cero. Luego, se debe
oxcluir del dominio de f el elemento cuya imagen es O, es decir, el número 1.
Luego, consideramos f con dominio
D,* = { x / x > l}.
Ahora,
Rec,* = { y / y > 0},
-flec,* C Dg.
Por lo tanto,
Dgo, = D,*.
91
3) Sean
w
t: X — —
X
y
g: X -> sen x.
Hallar f o g :
f o g: X
Isen x|
senx
-
1
ReCg n D, = { x / 0 < l x | < l } .
Luego, se deben excluir del dominio de g los elementos que se aplican sobre 0.
Es decir,
Dg* = Dfog = { x / s e n x
0} = {x / x 9^ nTT A n e Z}.
Ya hemos señalado que la composición de funciones es asociativa. En efecto,
para f; A
B, g: B
C, h: C -> D, podemos demostrar que h o (g o f) = (h o g) o f:
V»:(ho(goO)(x)
= h(gof)(x)
= "(g (((x )))
V * : ( ( h o g ) o t ) ( x ) = (h o g )(f(x )) = h (g (f(x)))
Vx: (h o ( g o O) ( x ) =
= ((hog)ot)(x)
También se ha visto, a través de algunos ejemplos, que la composición de fun­
dones no es conmutativa.
Sí las funciones son biyectivas, puede hablarse, en ciertos casos, de conmuIttlvidad de cada función con su inversa.
Si f es biyectiva de R en R, se verifica Vx c R : (fo f"’){x) = ( f ’ of)(x) = x.
Es decir, la función compuesta f o f~' le asigna a cada número real x el mismo
número x como imagen. Lo mismo sucede con f ’ o f. O sea, la función compuesta
ts la función idéntica o la identidad de R en R.
Por ejemplo, siendo f; R — R / f(x) = 5x + 2, resulta:
R / f - ’ (x) =
f
x-2
(fof ’)(x) =
(f ' o f) (X) = f - '[ f ( x ) ]
x-2
5 (^4"^)+2 = X
= f - ’ (5x + 2 ) =
=
X
Si el dominio de la función biyectiva no es R, al componerla con su inversa se
obtiene la función idéntica, pero ésta puede estar d e fir^ a en conjuntos diferentes.
Seaf:A->B/f(x) =
2x — 1
x + 3
Puede demostrarse que f es biyectiva si
3x+ 1
2 -x
Ahora bien, al componer f o f \ el resuttado es la función idéntica con dominio
y recorrido B. Es decir, f o f “ ^ = Ib·
A -
R - { - 3 } y 8 = R - {2}, resultandof"’ (x) =
Eneíecto,Vx€B:(fof-')(x) = f[ r' (x )] = f (
+ 3
O sea, a la función compuesta f o f “’
no le pertenece el par (2;2).
Si queremos graficar f o f " \ resulta:
J )
=
6x + 2 - 2 + X
3x + 1 + 6 - 3x
7x
=
X.
Análogamente, al componer f ~ ^ o t, el resultado es la función idéntica con do­
m inio y recorrido A. Es decir,
o f = U3/
+
6x - 3 + X ^ 3
^
. . - 1 / 2x - 1 \
V x + 3 /
= X
En efecto, f M ---------— I = ---------j- z -------—r
2x + 6 - 2x + 1
V X + 3 /
p
/ 2x - 1 \
V x + 3 /
En este caso, a la función compuesta f % f no le pertenece el par ( - 3 ; - 3 ) y
su gráfico es:
Por lo tanto, no se puede indicar que
f of ’
=
f
^o
f.
EJERCICIOS
1) Indicar dominio y recorrido de f y de
g.
Hallar
f
Dar el dominio de cada una de las funciones halladas.
f :x
x + 3
g :x — 2x - 1
a)
f:x
V T
b)
g :x -> x^
c)
d)
e)
f;x
In X
f:x — V 9 - x^
f:x
Hallar f 0 g y g
f:x
a)
94
g :x — V x2 - 25
g :x — In (X - 2)
f, indicando sus dominios.
2x + 1
c)
d)
e)
f:x — tg x
f:x — In (x - 3)
f:x
In (x - 2)
f:x — in (x - 1)
h)
f:x — sen x
k)
f:x
V
m)
f:x
x2-
b).
g :x ->
x^ + 2
0
x2
g
f + g , f ~ g, f g , - g - , - j - , Q o f
g :x
sen
g ;x
2x - 3
g :x
x^ + 3
g :x
N^T
X
g :x — V x + 3
g :x — In (x^ - 1 )
-5
g;x
|x-5¡
1
g:x
1
x + 3
y
fog.
f:x
S)
x2 - 2
In (x -Í- 1)
g : x
3) Hallar dominio y recorrido de f o g.
a)
f: X
g: x
d) f;x
g:x
4) Sea f: A
In
X
|sen xl
c)
b)
f: X
X
g: x
x2 - 6x + 8
g:x
—
X
mant x
In (X + 3) e) f: x
v^'x^ - 9
-lx-21
g:
x
____ | x - 3 l
B / f(x) = V x^ + 1. a) Elegir A y B para que f sea biyectiva. b) De­
mostrar que lo es. c) Hallar í \
f)) Idem para f(x) = ^
d) Verificar f o f ’ = Ig. e) Verificarf % f =
1^.
1 - x'’ .
VI. Ecuaciones paramétricas de una curva plana
Hemos visto en este capítulo que los gráficos de funciones escalares son con
juntos incluidos en R^. En todos ellos, una recta vertical corta al gráfico a lo sumo en
un punto.
Curvas más generales pueden ser grafícadas utilizando dos funciones escalares
que dan una representación paramétrica de las mismas.
Por ejemplo,
C = {(x;y)/x = 2cost
a
y = 2 sen t
a
0<t<27r}
un conjunto formado por los puntos de una circunferencia con centro en el origen
y radio 2.
x = 2 eos t A y = 2 sen t son las ecuaciones paramétricas de la circunferen­
cia, y el número real t, variable, es el parámetro.
Sí elevamos al cuadrado y sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones, eli­
minamos el parámetro y obtenemos la ecuación cartesiana x^ + y^ = 4.
La curva C puede considerarse también como la trayectoria de un punto que
recorre la circunferencia en el sentido positivo o antihorario.
os
Si en las misfnas «auaciones paramétricas consideramos O < t < 47r, la circun­
ferencia es recorrida dos veces en el mismo sentido.
95
De la misma manera, x r. a eos t
y = b sen t son las ecuaciones paraméx2
w2
tricas de la elipse de ecuación cartesiana
= 1.
a
Recíprocamente, conocida la trayectoria de un punto móvil en el plano, podemos
tratar de hallar sus ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, la cicloide es la trayectoria
de un punto fijo d^ una circunferencia que rueda, sin deslizarse, sobre una recta.
Por la definición dada, es OA = PA = a t
Siendo P = (x;y), resulta:
X = OP' = OA - P'A = a t - a sen t A y = PP' = f\/lA - MB = a - a cos t.
Puede probarse, entonces, que las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:
X = a (t - sen t)
a
y = a (1 - eos t).
En general, si f y g son funciones escalares, obtenemos C ç
C = { ( x ; y ) / x = g(t) A y = f(t)
a
tal que
teD, nDg}.
Como caso particular podemos considerar aquel en que g es la función idéntica,
o sea,
C = {(x;y) / X = t A y = f(t)}.
En esta situación el conjunto C es, directamente, el gráfico de la función escalar f.
Ejemplo 1
Sea
C = { ( x ; y ) / x = 2 > /T
y = t^ a t > 0}.
x'*
Si eliminamos el parámetro, obtenemos y = — — . Sin embargo, C no es todo el
16
gráfico de la función escalar h: x -»
ID
parte del gráfico para la cual es x > 0.
96
a
ya que solamente está incluida en C la
iltm p lo 2
C = {(x;y) / X = eh t
a
y = sh t
a
t € R}
Al eliminar el paràmetro, obtenemos:
x 2 _ y 2 ^ ch^t - sh^t = 1
,
o sea, x^ - y2 = i.
Pero C es solamente una rama de la hipértx)la equilàtera, para x > 1, ya que
Vi: ch t ^ 1.
M
x
\ \
A y = t^ - 2
. t€R).
y
-V 2 \
\Ì2
-2
""t
y = t* - 2
97
Para dibujar la trayectoria correspondiente a C buscamos primero algunos valores
aislados según el cuadro siguiente;
t
-2
X -2 1
-4
0
2
0
7
y
-1
-V T
-3
0
v T
2
3
0
-1
0
4
21
-2
-1
0
2
7
1
-1
1
Además, observamos que; .
(t < - \ / 2
=>
(-> /2 st< 0
x < 0 A y > 0 )A
=>
0 < x < l A - 2 < y < 0 ) A
(O < t < \ Í 2
=»
(t > \ Í 2
x>0Ay>0)
=>
- 1 < x < 0 A - 2 < y < 0 ) A
Las representaciones paramétricas de las curvas forman parte de la teoría gene­
ral de las funciones vectoriales. (Cálculo 2, pág. 291.)
EJERCICIOS
1) Siendo C
2)
3)
4)
5)
=
|(x ;y )/x
=
g(t)
a
y
=
f(t)
a
t
e
D, H
Dg)
a) graficar g y f; b) eliminar el parámetro y obtener una ecyación cartesiana del
tipo F(x;y) = 0. c) siendo A = {(x;y) / F(x;y) = 0), graficar A y C y ver si coin­
ciden, , para g; t
t^ a f: t -► 2t.
Idem si g: t
2 eos t a f: t
4 sen^ t.
Idem si g: t
cosec t a f; t -♦ - cotg^ t a O < t < t
Idem si g: t
5 e’ a f; t
2 e·.
Ecuación cartesiana y gráfico de la astroide, cuyas ecuaciones paramétricas son:
X = a cos^ t a y = a sen^ t a a > O A 0 < t < 2 7 r .
98
VII. Ecuación polar de una curva plana
Coordenadas polares
Las coordenadas cartesianas ortogonales permiten ubicar un único punto del
plano mediante un único par de números reales (x;y).
Éste no es el único sistema de coordenadas que se utiliza en el plano, y, en algu­
nas ocasiones, otro sistema resulta más conveniente: el de coordenadas polares.
FbIg sistema tiene como elementos de referencia un polo O y un eje polar que coin­
cido con el semieje positivo de abscisas del sistema cartesiano ortogonal.
Para ubicar un punto P en el plano basta considerar su distancia r al polo y el án­
gulo t que forma el eje polar con el segmento OP, medido en radianes. Con esta de­
finición, r y t son números reales, el primero no negativo.
El par de coordenadas polares (r;t) que se asigna a un punto P del plano no es
único, pues le corresponden también, al mismo punto P, los infinitos pares (r;t + 2k7r)
cotí k e Z. Además, al origen le corresponden los infinitos pares (0;t) con t e R.
Por otra parte, dado un par de números reales, si se lo considera como coordenfidas polares de un punto del plano, es necesario interpretar qué significa que el númoro r sea negativo.
Para ello, dado el par (r;t), si r < O, entonces se le hace corresponder un punto
dol plano cuya distaricia al polo es - r y el argumento t + tt.
Por ejemplo, al par ^ - 2 ;- ^ ^ se le hace corresponder el punto P de la figura si­
guiente:
/
/
✓
Las fórmulas de pasaje al sistema cartesiano ortogonal son;
X
= r c o s í A y = r sent .
Obsérvese que, por ejemplo, al punto P de la figura siguiente, cuyas coordena­
das cartesianas son (0;3), le corresponden como coordenadas polares los infinitos
imros: (s ;-|+ 2 k 7 r) y ( - 3 ;3 y + 2 k 7 r ) con k e Z.
99
En general,
a P le corresponden las
coordenadas polares (r;t + 2k7r) y ( - r;t + (2k + 1)7t) con k e Z.
Nota: A veces es necesario establecer una biyección entre el conjunto de los puntos
del plano y el conjunto de sus coordenadas polares. Para ello puede exigirse r > O y
O < t < 277, y asignarle al polo el par (0;0) (Cálculo 2, pág. 54).
Ecuación p olar
Sean r y t coordenadas polares y f una función escalar. La ecuación r = f(t)
es la ecuación polar de f y el conjunto C = {(r eos t;r sen t) / r = f(t)) es su gráfico.
Obsérvese que la ecuación polar r = f(t) corresponde a las ecuaciones paramétricas X = f(t) eos t A y = f(t) sen t con parámetro t.
Ejemplo 1
La ecuación polar t = a corresponde a una recta que pasa por el origen y tiene
pendiente a.
Ejemplo 2
Para una circunferencia con centro en el origen y radio a, cuya ecuación carte­
siana es x2 + y2 = a2, la ecuación polar es r = a.
100
ijêm plo 3
Consideremos la ecuación cartesiana (x - a)^ +
= a^, que corresponde a
un« circunferencia con centro en ei punto (a;0) y radio a (a > 0).
Para obtener su ecuación polar vemos que
K''
2ax
+ a^ + y2
=
a^
c:^ x^ - 2ax
·► > r (r - 2 a eos t ) = 0 » r
= 0 v r
+ y"
=
O «=:► r^ - 2 arcos
t =
O
<=►
= 2 a eos t.
La ecuación polar es, entonces, r = 2 a eos t, pues r = O es el caso particular
■ I I ()U0 t
=
Obsérvese que si t es un ángulo del segundo o tercer cuadrante, resulta r < 0.
377
V
2
eos t = 4
2
1)1tic, ido en la posición ilustrada en la siguiente figura;
I '( II ejemplo, t =
101
X -
V3
2
y = 2
Graficar la curva de ecuación polar r = 2 ( 1 - 2 sen t).
Idem para r = |2 eos t|.
Idem para r = sen 2t.
Idem para r = t (espiral de Arquímedes).
1
Iriom para r = 1 + eos t (cardioide).
Encontrar la ecuación polar de la curva cuya ecuación cartesiana es xy = 1.
I Idom para x^ + y^ + 4 y = o.
) Idom para (x^ + y^)^ = g(x2 _ y 2 j (lemniscata de Bernoulli).
I
I Idem para y^(4 - x) = x^ (cisoide de Diocles).
ip u e s ta s a ejercicios
iPiTULO 3
telón I
o fU) os función; (c;2) e g a (c;0) e g
h no es función de A en B pues D^^ A
f(0)
f(K
5.
f(3)
=
5,
f(-3 )
= 23.
f(2x)
a
o
2
= 4 x 2 - 6 x + 5,
= x2 - 5 x + 9
1)
1,
b(«)
h(1)
= 0.
h(sen
x)
= ln (sen
x),
h(e*) =
x
D,
{x / x € R a x > 2 }
Ree, = {y / y € R a y s o }
0«
R
ReCg = iy / y > 0}
D,
{x
0.
{x / x € R
0,
0.
{x /X
D..
/ Xe R A
eR
|x|
> v '^ }
a X
(2 k + 1 )-|
A X < 3}
{-4}
{0}
0.
0.
1).
( - ^ - ;i]u [2 :^ x )
»>-
H
R
A k€Z}
ReCg = R
Ree, = R
- {x / X e R A X ifc 0}
Ix / X e R A X Tt 1 }
R
Rec^ = { y / y e R a y s o }
Rec^ = R
ReCq = R
ReCp = R - {0}
■'
Rec^j = iy / y < 0}
{-3 .-2 ,-1 }
| x / x > 2
A
X? t 3 }
103
D, -
( - 1;5] - {1}
Ree, = [-3 :1 )
Dn = ( - * :
0 ]U { 3 } U ( 4 ; + oc)
Rec„ = ( - * : - 7 ) u { - 4 } u [ 0 ;+oo)
105
2) a) f(x) = (5 - x^) + (sen 3x + x)
b) f(x) = (ch x - 3) + (x - sh x)
Sección ili
2) Intersección del gráfico de f con ambos ejes en (0;0)
g: intersección con eje x en
.
h: intersección con eje x en ^
m: intersección con eje xen (2;0),
n: intersección con eje xen (6:0),
t: intersección con eje xen (-2 ,0 ),
106
con eje y en (0;-1 )
^
con eje y en (0:4)
con eje y en (0;2)
con eje y en (0 ;-2 )
H l(x)
(x
g(x)
3)2 + 5
(x - 2 ) 2 + 3
- (x + 5)2 - 2
x2
eje: x - 3
vértice; (3:5)
eje; x = 2
vértice; (2,3)
eje; x = - 5
vértice; ( - 5 ; - 2 )
fn(x)
- -
+ 3
eje:
x= 0
vértice: (0;3)
n(x)
- - ( x - 1)2 + 3
eje;
x= 1
vértice; (1;3)
|(k)
= (x + 3)2 + 2
eje;
x = -3
vértice; (-3 :2 )
i ( k)
^ 2 (x - 3)2 + 4
eje;
x= 3
vértice; (3;4)
M«)=
(x + 6)2 - 1
eje;
x = -6
vértice; ( - 6 ; - 1)
|)(x)
= -2 (x - 1)2 + 5
eje;
x= 1
vértice; (1;5)
4) lulorsecciones del gráfico de g con el eje x:
con el eje y;
liil(!rsecciones del gráfico de hcon el eje x:
con el eje y:
Inli'rsecciones del gráfico de nn
con
con el eje y:
lnl(;rsecciones del gráfico de ncon el eje x:
con el eje y:
Iniersecciones del gráfico de tcon el eje x:
con el eje y:
Intersecciones del gráfico de rcon el eje x:
con el eje y:
Iniersecciones del gráfico de scon el eje x;
con el eje y:
h) 0,
-
Dg
R - {2}Rec,
=
( 1:0 ), (3:0), ( - 2 ;0).
(0 :6 ).
(3;0), (-3:0), (-4:0).
(0;-36).
el eje x: (-1:0), (1:0),(-3:0).
(0:-3).
(0:0), (4:0), (-4:0).
(0 :0 ).
(2:0),
(-1:0).
(0:4).
(2:0), (-2:0), (1:0).
(0:4).
(0:0), (1,0), (-5:0).
(0 :0 ).
= R - {1}x = 2
y = 1
ReCg = R - { 2 )
^
y
~
= R - {3}
es asíntota vertical
es asíntota horizontal
es asíntota vertical
= 2
es asíntota horizontal
X = _4
y = 3
0s asíntota vertical
es asíntota horizontal
D
4
y = —
•I) D,
D
D,
= R - {3}
= R - {-5 }
= R - {4 ,-4 }
X
es asíntota horizontal
= 3es asíntota vertical
El gráfico es el de la recta y = x - 5 excluido el punto
(-5 ;-1 0 )
X
= -4
Di
=R
y = 0
D^
= R - {2}
X
= 2
y = 0
es asíntota
vertical
es asíntota horizontal
es asíntota
vertical
es asíntota horizontal
107
7) D,
= R -{ -3 ,1 )
D, = R - { - i )
D . = R - (2)
D, = R - {1}
Rec,
asíntota vertical: x
ReCg = { y / y > - i }
ReCf, = R - {3}
Rec, = { y / y ^ i }
g(x) = x^ - 1 A x
h(x) = x + 1 A x
l(x)
=
-3
-1
2
x^ + 1 A X i t 1
Rec„ = R - { 0 , - i }
3
asíntota vertical: X = —
D„ = R - { 0 , 1 - 1 }
Rec„ = R - [ - i ; 0 ]
X
D, = R - { 1 - 2 }
Rec,
X = 1, X = - 2 son
asíntotas verticales
= R - {4.1}
Dp = R - {3 ,-2 }
Rec,
= R - { o .|}
D,
ReCp
= R -{1)
2
= 1, X = - 1 son
asíntotas verticales
X = 1
es asíntota vertical
= - 2 , X = 3 son
asíntotas verticales
X
109
110
Il)
= R - 11)
D,
Rec, = R
int. eje x: (0; 0) y (2; 0)
int. eje y: (0; 0).
H)
y
D,
=
Rec, = {y / y > 0}
int. eje x: (1; 0)
0
1
x
111
D,
= R
Ree, = (0; 1 )
int. eje y: ( o ; - j )
112
Ito c ló n IV
1) f os función inyectiva de Z en Z, pero no es suryectiva. Es biyectiva sobre Q y
HobreR. Idem para g.
h no es biyectiva.
I) f ': X — are eos x;
I
8)
g “ "': x
x^ + 1 (x 5:0);
h ··*: x -♦ 10^.
no es biyectiva.
t^;x
x + 3
5x - 2
s ':x
2 + 3x
1 - X
X
=
Ds
= R -
> /r
/ - ’ :x
m
°'
—
n - ’ :x -
1 + 3x
2 - x
J_
X
u “ ’ :x —
1 -
3x
X
r - ’ :x -
4x + 1
4 - 2x
-
=
{x
B
Rec,
j
{-3}
= R -
2
'-5->
ReCs = R - {1}
> 0}
/ X € R
A
X
Ree^ = { y / y e R
a
0<y<5}
D.
= R -
{-3 }
Ree^ = R - {2}
Dn
= R -
{0}
Rec„ = R -
Du
= R -
{-3}
ReCu = R - {0}
Dr
= R -
{-2}
Rec,
= R -
{0}
{2}
113
4)
a) no es función, pues, por ejemplo:
b) por ejemplo, f = [ ( x ; y ) / y =
a
1 f^—^ —
y n/S + x^
c) f no es inyectiva, pues ^ 4 ; - | - ^ € f
d) g
=
(x :y ) / y
ReCg =
5)
114
=
y
3
y /y ^ - 2 j
\/9
+ x^
g-^ =
(® ’ - ■ | · )
a
a
> o
—\
r 3
\
D, = R Rec, =
( ~ ^ ··!·)^ ^
x
^
Dg =
(x;y) / y = 4x2 - g
a
4 ^ -4
{x / x > o }
a
3')
> y
i) no os función con variable x, pues (0;2) e ^ A ( 0 ; - 2 )
e
D, = ¡ x / x > - 4 ]
" D f - (x;y)/y = vx + 4¡
a2 t - 2
Rec, = ¡ y / y >0!
í I) no 3. Todas las restricciones funcionales son inyectivas.
d) ( os biyectiva.
f “ "' = l(x;y)/y = x^ - 4
x > 0¡
a
iN O lón V
1) ■) D, =
= R
ReCf
D| . g =
D, . g =
Dg =
D,g =
= R
ReCg
Dg„ , =
R
D,„g =
} = R-í-3!
(Iüg)(x)
= 2x + 2) (gof)(x) = 2 x + 5
h) D, = ¡ x / x > 0¡
Rec, = ¡ y / y > 01
D„ = R
+g —
^ L =
- g — l^fg ~ ^g of ~ ^(og ~
D_g
9
=
lx/x>0)
¡x /x >0!
f
(fog)(x) =
(goO(x) =
c) D, = { x / x > 0 } Rec, = R
D f,
ReCg = R
g = D,
i^ y
Dg = { x / x s O l
g = D,g = Dj^
ReCg = { y / y s O }
= D,„g = { x / x > 0 } D g ^ , = { x / x > l }
9
D g = {x / X > O
A
X ^
1} (f o g) (x) = ln \ / T
(g o f) (x) = V ln x
T
d) D, = [- 3 : 3 ]
Df - 9 -
Rec, = [- 3 ; 3 ]
D, _ g -
D,g -
D j^ -
Dfog = [ e) D,
Dg = { x / l x | > 5 }
Dg
-
Dg^ ,
ReCg = R
~ (/)
(fog)(x) = V 3 4 -X 2
= RRec,= { y / y > 2 }
Dg = { x / x > 2 }
ReCg = R
D , . g = D, _g = D,g = Dg = D,^g = { x / x > 2 }
I
D , = {x / X > 2 A X ^
g‘
( g o f ) ( x ) = Inx2
3}
Dg„, =
R - {0}
2) a) (f o g) (x) = 2 sen X + 1
Dfog = R
(g o f) (x) = sen (2x + 1)
Dg„, = R
(f o g ) (x) =
in^ (x - 2) + 2
115
(gof)(x) = 2 t g x -
3
Dg..= R -
c) ( f o g ) ( x ) = Inx2
( gof ) (x) = ln*(x - 3) + 3
d) (fog)(x) = ln ( V 7 - 2)
(g o f)
(X) = Vl n
(X
= V ln
1) + 3
h) ( f og ) ( x ) = sen [ln (x^ - 1)]
( g o f ) (X)
= In íse n^x - 1)
1
m)(fog)(x) =
-
1
(X + 3)2
(gof)(x) =
1
S) ( f o g ) ( x ) = In2(x + 1) - 2
( g o f ) (X)
3) a) D , „ g
=
|x/x € R ax
k7T
a
k€Z
X
> 4}
{x /
X
> 3}
{x/x>
Df og
D gol
{x /
-
2}
{ x / x > 1 + e-3}
~
),„fl = l x / l x l > 11
ó
'gof
'fog
= R - {-3 }
Dgof = R
x2 + 2
= ln (x2 -
2
{x/x >3}
Dgof
- 2)
(X -
x/x = — +
Dfo. = R - {0}
-’fog
e) (to g )(x ) = ln(Vx + 3 - 1)
( g o f ) (X)
X / x = (2k + 1) JL + A
4
2
Dfog ~ R -
b) ( f o g ) ( x ) = t g ( 2 x - 3 )
1)
rttao
Dfog
=
{x /
D .o f
=
{ x / l x | > 1}
X
> -1}
€ Z)
R ec,„g = { y / y < 0 }
b) D ,,g = R -
{2.4}
Rec;„g = {1 ,-1 }
c) D,„g = R -
Z
== í y / y ^ 1}
d) D , . g = ( -1 :5 )
e) D , „ g = R -
Rec,„g = { y / y < In3}
(0:6)
Rec,,g = { y / y > 0 }
4) A = { x / x > l }
B = {y/y>0}
f “ Mx) = Vx2 -
1
(es un ejemplo)
5) A = { x / x > 0 }
B = {y /y < l}
f"^(x) = V i - x^
(es un ejemplo)
116
A
k<
x
2) a)
2
-TT
V
—7Γ/
21
1
/
1
/
1 /
' y
\
0
^
\2
\
\
\
7Γ
1
1
\
\
-
·
< /
1 /
-2
X
b)
y = 4 sen^ t
(y > 0)
+ y -
4 = 0
= 2 cost
t
b) χ2 + y - 1 = o
b) 5y -
118
2x = O
))
+ y 2/3 =
Sección VII
1) P, = (0:2)
P , = (-3 ;0 )
í)
; i
p, =
+ 2kT)
p, :
(-2 ^ 2 :
119
8)
= 2 cosec 2 1
9) r = - 4 sen t
10)
= 9 cos 2 1
11) r = 4 s e n t t g t
120
4. LIMITE FUNCIONAL
La idea de límite aparece intuitivamente en muchas situaciones. En geometría
elemental se define la longitud de una circunferencia como el "límite” a que tiende
una sucesión de perímetros de polígonos inscriptos en ella (o circunscriptos), cuando
la longitud d^ cada lado tiende a cero. La misma idea se utiliza para definir el área de
un círculo mediante áreas de polígonos inscriptos o circunscriptos. En física, para de­
finir la velocidad instantánea, se recurre al “ límite” de la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo considerado se hace cada vez menor.
Estas ideas sólo pueden hacerse precisas mediante la definición previa de límite
de sucesiones y de límite de funciones, siendo el primero un caso particular del se­
gundo.
En este capítulo nos ocuparemos solamente de límite funcional.
I. Límite finito
Nos interesa ver en qué condiciones los valores de una función escalar se apro­
ximan 9 un número real determinado cuando los puntos del dominio se acercan a un
punto a, que puede o no pertenecer a dicho dominio;
Consideremos la función f definida de la siguiente manera;
f;x
2x
4
-1
s ix
3
s ix = 3
121
El gráfico de f consiste en el punto aislado (3;4) y en una recta de la cual se ha
excluido el punto (3;5).
Calcularemos algunos valores de la función en un entorno reducido del punto 3,
es decir, sin preocuparnos por lo que sucede en dicho punto.
f(x)
2.8
2,9
2,99
2,999
3,001
3,01
3,1
3,2
4,6
4,8
4,98
4,998
5,002
5,02
5,2
5,4
Los valores de la función f se acercan al número 5 cuando los valores de x se
acercan al número 3. Aún más, la función puede alcanzar cualquier valor próximo a
5 con tal de considerar x suficientemente próximo a 3.
Si se desea, por ejemplo, que el valor absoluto de la diferencia entre 5 y f(x) sea
menor que un diezmilésimo, podemos consideraf-las siguientes proposiciones:
»
«
«
«
lf{x)-5l < 0 , 0 0 0 1
| ( 2 x - 1 ) - 5 | < 0,0001
|2 x - 6 ¡ < 0 , 0 0 0 1
|2(x-3)| < 0 , 0 0 0 1
|2| |x-3| < 0,0001
I
o,
0-0001
«
lx -3 | < — y
-
«
|x-3| < 0,00005
Por lo tanto, O < [x-3| < 0,00005 => |f(x)-5| < 0,0001.
En efecto.
X
2,99995
3
3,00005
f(x)
4,9999
Y/A
5,0001
y para valores de x en el entorno reducido de 3 de radio 0,00005, los valores co­
rrespondientes de f se encuentran en el entorno de 5 de radio 0,0001.
Obsérvese que se eligió primero el número 0 , 0 0 0 1 y, a partir de ese número,
se obtuvo el número 0,00005.
En general, para cualquier número e > O basta considerar
O < | x- 3| < —
2
8
= -J-, pues
2 |x -3 | < e=> |2 x-6 | < e => | ( 2x- 1) - 5| < e.
Para indicar que los valores de la función f se aproximan al número 5 cuando
se aproxima a 3, se utiliza el simbolismo: límgfíx) = 5, que se lee “el límite de los
valores de f en 3 es 5’’.
O bien, f(x) -> 5 si x — 3, que se lee “f(x) tiende a 5 si x tiende a 3 ” .
Otro símbolo equivalente, menos utilizado, es ^3 f = 5.
La expresión más utilizada es “ la función f tiene límite 5 en el punto 3 ” .
X
122
Consideremos ahora la función h; x
x ^ -4 x
x -2
Esta función no está definida en x = 2, pero sus valores se aproximan al nú­
mero 8 cuando x se acerca a 2.
Puede probarse que límjhíx) = 8.
Precisaremos los conceptos anteriores mediante la siguiente definición.
D efinición
El número € es el límite de los valores de la función f en el punto a si y sólo si:
1) a es punto de acumulación del dominio de f;
2) para cualquier número Dositivo e existe un numero positivo 6, tal que:
Vx:(x e D, A o < l x - a l < 6 =>lf(x) - € \ < e).
123
o sea, lím fg(x) = ^ »
2 ) V€
> O 36 > O / Vx;
(X
1) a punto de acumulación de D,:
€ D, A O < |x - aK 5 => |f(x) - i \ < e).
En general, el número 6 depende de e . Hallado un número 8 que satisfaga la
condición, cualquier número positivo 8' < 8 también la satisface. Además, un nú­
mero 6 que sirve para cierto e , servirá también para cualquier número mayor que e,
pero nada se podrá asegurar respecto de uno menor.
En el caso que estamos considerando, donde el límite es finito, interesa especial­
mente “ € tan pequeño como se quiera".
^
En la definición de límite se exige además que el punto a sea de acumulación del
dominio, para evitar que la definición de límite se satisfaga trivialmente en puntos
aislados.
En efecto, si a no es punto de acumulación del dominio de f, existe algún entorno
reducido de a al cual no pertenece ningún punto de dicho dominio. En ese caso,
el antecedente de la defiriición de límite resulta falso y la implicación verdadera. Pero
esto no corresponde a la idea intuitiva de “ acercarse al punto a tanto éome se quiera” .
En cambio, si el punto a es de acumulación del dominio, en todo entorno redu­
cido del mismo existe algún punto que pertenece al dominio de f y la implicación
debe ser verdadera con antecedente verdadero, o $ea, que existen puntos del dominio
distintos de a, pero tan próximos a él como se quiera.
Recordemos las definiciones de entorno y entorno reducido de un punto:
y
i f(x)_<f|<e 1 « f ( x ) e E ( ^ , € )
O < |x - a| < 5 1c=> X € E'(a, 8).
Teniendo en cuenta las equivalencias anteriores, la definición de límite finito se
puede expresar así;
Los valores de la función f tienen como límite el número real ^ en el punto a, que
es punto de acumulación de su dominio, si y sólo si para todo entorno de centro {
existe un entorno reducido de centro a, tal que
Vx; ( x e D , n E'(a) => f ( x ) e E ( 0 ) .
Gráficamente, para cualquier par de rectas horizontales h y h', con el punto (a; ¿)
ubicado entre las dos y a igual distancia de cada una de ellas, existen dos rectas ver­
ticales V y V ' con (a;
entre ambas y a igual distancia de ambas, tales que todo punto
del gráfico de f con abscisa distinta de a y ubicado entre v y v' también está entre
h y h'.
124
Obsérvese que 5 es el menor entre los números 8 y 6', determinados gráfica­
mente por las dos proyecciones, sobre el eje x, de las intersecciones del gráfico de
f con las rectas h y h'.
II. Algunos límites finitos
Probaremos la existencia de los siguientes límites finitos:
1 ) Límite de la función constante
f: x -> k
Puede probarse fácilmente que el límite de una función constante, en cualquier
punto de su dominio, es dicha constante.
Es decir, Vk e R; lím^ f = k.
Probar que el número k es el límite buscado significa encontrar, paracualquier
número positivo e , un número positivo 8 que satisfaga la condición exigida por la
definición.
En este caso, 8 es cualquier número positivo, pues para cualquier e positivo y
para cualquier S positivo, resulta:
Vx: (x e D, a o < |x - aj < 6 => jk - k| = O < e).
O sea, se verifica la definición de límite para f(x) = k y para £ = k.
2) Límite de la función idéntica f: x
x
Puede demostrarse de inmediato Va e R: lím^ x =
a.
En efecto, considerando un numero positivo 8 < e , resulta:
V € > O 35 < e /
(X
e D,
a
O < |x - a| < 8 => |f(x) - ^| = |x - a| < 8 < e).
3) Límite de la función lineal f: x — px + q (p
Probaremos Va e R: lím^ (px
q) = pa
0)
q.
Con la intención de encontrar el número 8 > O correspondiente a la definición de
límite, podemos hacer el siguiente planteo auxiliar:
|f(x) - e \ < e < ^ |(px V q) _ (pa
C=> 1p ( x - a)| < e «
Ip I
Ix - a| < € «
q)l < e «
Ix - al <
Ip I ■
Luego, para cada e > O es posible determinar el número 6 tal que
O < 5 < - r - r , y se verifica:
iPl
0 < |x . - a | . < - j ^ => l p | l x - a l < € = >
|px - paj < € =>
=> 4px -I- q - pa - ql < € => |f(x) - (pa -l· q)| < e.
125
4) Límite de una función cuadrática f: x
(x - a)'
Se verifica Va e R: línigíx - a)^ = 0.
|
Tengamos en cuenta que:
|(x - a)^ - 0| < € c=» |(x - afV < e c=> Ix - a i’ < e <=> |x - a| < \ ^ .
Luego, en este caso, 6 es cualquier número positivo menor o igual que % /T .
En efecto.
Ve > O 38 = \ Í T /('O < Ix - a| < \ Í T
=> l(x - a)^| < ( V T ) ^ = e).
Veamos ahora un caso particular.
Consideremos f; x
3x^ + 4x - 6 en el intervalo [1; 3].
Demostraremos que lím j f(x) = 14.
Debemos encontrar 6 / |f(x) - 14[ < e si O < ¡x - 2| < 5
a
1< x <
3.
Ahora bien, lf(x) - 14] < e c=> |(3x^ + 4x - 6) - 14[ < e <=> |3x^ + 4x - 20| < e.
El polinomio p(x) = 3 x 2+ 4x - 20 es divisible por (x - 2), y resulta
p(x) = (x - 2) (3x + 10).
Luego, |x - 2| |3x + 10| < e c=^ |x - 2| <
Como x e [1; 3 ], para
X = 1 es S' =
Elegimos el menor 8, o sea, O < 8 <
|3x + 10| ■
13
y para
X
= 3 es 8 =
19
19
InvirtiendQ el camino que nos permitió hallar el número 8, obtenemos:
O<
X
e
19
- 2 <
,
.
€
X - 2 <
' ■
|3x + 10|
|3x + 10| Ix - 2| < e
|3 x2 + 4x - 20| < € => lf(x) - 14| < € .
♦
5) Otros límites
2x
. Probaremos que su límite en el punto 5, que es de acu­
x + 4
a) S e a f : x
mulación de su dominio, es
10
Para ello debemos encontrar 8(e) > 0 tal que Ve > O, si O < |x - 5| < 8, entonces
2x _
x + 4
< e.
9
Realizamos algunos cálculos auxiliares que facilitan la obtención del número 5 (e).
2x
x + 4
^ 8
9
10
9
< e <=>
Ix - 5|
< e
Ix + 4|
18x - lOx - 40
9(x + 4)
< € c=>
8x - 40
9(x + 4)
< e
| x - 5 | < - e l x + 4|
Si X e (4;6), podemos elegir O < 6 < 9e, observando qu^ pedir 4 < x < 6 equi­
vale a exigir O < 6 < 1.
126
En efecto, si ó es el menor número entre 1 y 9e, obtenemos:
|x - 51< 9e => |x - 51 < 9e
|x + 4| >
8
=» |x - 51 < 9e
q-
pues
si 4 < x < 6 .
Luego, Ix - 5| < - | € jx + 41 =>
2x
x + 4
< €
10
< €.
Por lo tanto, 5 = mínimo (1, 9€).
b) Probaremos que lím_,
+ 4 J = 1.
3 + 3x
lf(x) - e \ =
Por lo tanto, ^
3 |x +
< e »
Ixj
Jx +
1 1<
* 3
— |x|.
En este caso no conviene elegir O < 6 < 1 , pues ello equivale a pedir - 2 < x < O
y, al buscar el menor 6 , no existe un S(e) positivo para todo el intervalo ( - 2 ; 0).
Por ello exigimos O <
6
1
3
1
< — , o s e a ,----- < x < ------ .
Por lo tanto, si S = mínimo
IX + 1 K - 6
2
2
a i)·
2
resulta:
6 lx + 1 j< € = » 3 -2 lx+ 11 < €.
Como X < - - j r . es lx| > 4 - y también - r V < 2.
2
' '
2
lx|
1
Luego, 3 · 2 Ix + 1| < e
X + 1
Ix +
1|
< e
< € => lf(x) - I l < e.
EJERCICIOS
1) Probar que la función f: x -> 3x + 2 tiene límite 14 en el punto 4.
2) Probar que la función f: X
3) Hallar
6
f 5x + 3 s\
si
Xe
para e = lO "* si f: x
8x
X
2 ..
tiene límite 13 en el punto 2.
= 2
+ 1 y se calcula el límite en x = 0.
4) Hallar 5 si f: x
x^ - 3x + 5 para cualquier x e [2; 4] y demostrar que lím 3 f(x) =
= 5.
5) Demostrar que lím^ f(x) = 17, hallando 6 válido para cualquier x del intervalo (2; 6 )
si f(x) = x2 - X + 5.
6)
Idem para a) límg (x^ + 5x) = 18 si x € [1;3];
127
b) lírrig
(x3- 3x^ + 4x) - 12 s ix e(1;5):
c) lím,
(x^- 2x + 9) = 8
si x e [0;2]:
d) limg (x2- 5x - 1) = - 7
7) Demostrar que iim^ (x -- a)^ = 0.
8) Probar, hallando 5(e), que lím.
9) Idem para lím
3 x^ + 7
10) Idem para lim^
si X e [2;4].
x + 2
x^ - 2x + 1
'8 ■
x^ + 1
=
1
-
1.
III. No existencia de limite
Recordemos una vez más la definición de límite finito:
lim^ f(x) = ^ c=> Ve > 0 35 > 0 / V x ; ( x e D ,
a
0 < |x - a| < 8 => lf(x) - <f| < e).
Veamos ahora cómo puede negarse la expresión anterior.
Para que la función f no tenga límite en el punto a, la definición de límite no
debe verificarse para ningún número real ( , es decir,
V ^eR ;-
Ve > 0 35 > 0 / V x : ( x e D ,
a
0 < |x-a|< 8= >
|f(x) - <f'| < e) .
Ahora bien, para negar la proposición anterior, hay que negar los cuantificadores
y además negar la implicación mediante la conjunción entre el antecedente y la ne­
gación del consecuente, según lo demostrado en la página 5.
O sea, f no tiene límite en el punto a si y sólo si
V<f : 3e > O / V5 > O 3 x /
(X
€ D, a O < |x - a| < 5
a
|f(x) -
s e).
Gráficamente, la expresión anterior significa que, para cualquier número real ( que
se proponga como posible límite finito de f en el punto a, siempre es posible encontrar
un entorno de t tal que, en cualquier entorno reducido del punto a, hay por lo menos
un X del dominio para el cual f(x) queda fuera del entorno de €.
128
o sea, existen dos rectas horizontales h y h' en las condiciones indicadas en la
fl^jura, tales que,’ para cualquier par de verticales v y v', hay un punto del gráfico, con
abscisa distinta de a, que está ubicado entre las rectas verticales pero no entre las
roelas horizontales.
♦ Ejemplo
Consideremos la función f: x
Puede demostrarse que no existe límite para los valores de esta función en el
punto cero.
Para ello probarenrios en primer lugar que el número 1 no es el límite buscado.
En segundo lugar probaremos que ningún número real ^
1 es dicho límite.
Si se verifican las dos proposiciones anteriores, entonces los valores de f no
llenen límite en el punto x = 0.
1) Para probar que 1 no es el límite mencionado, consideremos un entornode 1de
radio e = — .
2
En cualquier entorno reducido de centro O incluido en el eje de abscisas, hay
puntos X € D, a la izquierda de O para los cuales f(x) = - 1 .
Es decir, para los cuales f(x) está fuera del entorno E ^ 1,
.
2) Para probar que ningún número real ^ ^ 1 es el límite de los valores de f en O,
elegimos e =
, pues si ^
1, resulta- e > 0.
129
Ahora bien, en cualquier entorno reducido del origen, hay puntos x a la derecha
de O para los cuales f(x) = 1.
Por lo tanto, para esos x;
| f ( x ) - <>1 = il - ( \ > 1 ^ 1 ^ =
Es decir, queda probado que la función f no admite a ningún número real como
límite en el punto 0.
De manera similar puede verificarse que las siguientes expresiones no corres­
ponden a números reales;
lím^ sen
;
límg ent (x) si a e Z ;
lím j ^ ^ ^
y
r 1 si X € Q
im^ f(x) SI f; X -»> "t „
_
^
lO s ix e R - Q .
EJERCICIOS
1) Verificar que lím^ sen
no es cero.
2) Verificar que límg [mant (x)] no es uno.
Ixl — X
3) Probar que no existe lím .------------ .
IV. Límites laterales
Hasta ahora, al hablar de límite, hemos considerado puntos próximos al punto de
acumulación a, a ambos lados de dicho punto. Es decir, números reales en un entor­
no reducido de centro a, a derecha e izquierda del punto a. Interesa, en algunos ca­
sos, el comportamiento de los valores de la función en puntos del dominio a un solo
lado de a, esto es, en un semientorno a la derecha o a la izquierda del punto a.
Sea f: x
Ya se ha probado que no existe límite finito en el origen.
Ahora bien, el origen es punto de acumulación del conjunto de los números rea­
les positivos, es decir, de los puntos situados a la derecha del origen. Puede pen­
sarse, entonces, en el límite de los valores de la función cuando x tiende a O con va­
lores positivos exclusivamente.
A la derecha de O, para cualquier x próximo a O, se satisface la definición de lí­
mite con el número 1.
Se dice en esta situación que los valores de la función tienen límite 1 a la derecha
de O, y se indica;
l¡mo+ f(x) = 1,
que se lee "1 es el límite de los valores de f cuando x tiende a O por la derecha” .
De la misma forma;
limo- f(x) = que es el límite por Iq izquierda.
130
1,
Definiciones
1) Límite por la derecha
( es el límite por la derecha de la función f en el punto a si y sólo si;
1) a es punto de acumulación de C = ¡x / x e D, a x > a¡;
2) Ve > O 36 > O/ (x e D, A a < x < a + 6 =» |f(x) - M < e).
2) Límite por la izquierda
f es el límite por la izquierda de la función f en el punto a si y sólo si;
1) a es punto de acumulación de C = i x / x e D, a x < a|;
2 ) V e > 0 35 > 0 / ( x e D , A a - o < x < a = > lf(x) - / 1< e).
Considerando en cada caso semientornos a la derecha o a la izquierda del punto
se pueden interpretar topològicamente las definiciones anteriores.
Se prueba fácilmente que si una función admite al mismo número real como
límite por la derecha y por la Izquierda de un punto de acumulación a, entonces dicha
función tiene límite finito en el punto a.
O sea;
a,
Iím3 +f(x) = / A límgwf(x) = ( => límg f(x) = ( .
También puede probarse que si los límites por la derecha y por la izquierda del
mismo punto son distintos, entonces la función no tiene límite finito en el punto.
EJERCICIOS
1) Hallar los siguientes límites laterales;
a) lím^^mant (x)
y
lím - mant (x)
b) lím j^ent (x)
y
lím - ent (x)
c) lím o.lx]
y
lím ^-|x|
131
2) Probar que f: x
X -
.
f 3x^
Idem para f; x i „
3)
'
^
X
no tiene límite en O, utilizando límites laterales.
SI
l 2x
« 1.
X> 1
en el punto 1.
x < 1
4) Hallar límites laterales en 2 si f: x —
2 -x
|x - 2 1 ’
5) Probar, hallando 6(e) en la definición correspondiente, que lim i+ ^ -^ - 1 ^ = 3.
6) Encontrar, para cada función, límites laterales en cada punto x^ i'>jicado:
f:x
h: X
{
2
2x - 4
SÍ
X
si
X
x^ + 5
7 - x^
si
si
X > 1.
si
si
X
2
X
X2 + 1
< 3
> 3
X <
X
a) Xq = 3 b) Xq = 5
c) y, = -1
en Xq = 1
1
< -1
> -1
a)
Xq
= 1 b)
X,
= O
V. Teoremas sobre límites finitos
De la definición de límite finito se derivan las siguientes propiedades:
Teorema 1
Si una función tiene límite finito en un punto de acumulación a. entonces existe
un entorno reducido del punto a donde la función está acotada.
Antes de presentar una demostración formal haremos algunas aclaraciones.
Si la función.! tiene límite £ en el punto a, la definición de límite se verifica para
cualquier número positivo e. Si elegimos un valor fijo cualquiera de e, por ejemplo,
6 = 1 , obtenemos algún número 5 positivo tal que si x e E'(a, 5), entonces € - ^ <
< f(x) < e +
Luego, - 1 es una cota inferior para el recorrido de f en dicho entorno redu­
cido, y ^ + 1 una cota superior para dicho conjunto.
132
La propiedad también se verifica en E (a.S). Pero si la función está definida en a,
pueden cambiar las cotas mencionadas. En el caso de la figura, por ejemplo, una cota
luperior es el máximo entre f(a) y + 1, o sea, f(a). En otra situación, una cota infe­
rior puede ser el mínimo entre f(a) y ^ - 1.
En la demostración siguiente probamos que existe k > O tal que lf(x)| < k si
X € E'(a,S).
Demostración
Sea lím^ f(x) = f y elijamos e = 1.
Por la definición de límite, para e = 1,
38 > 0 / | f ( x ) - ^1 < 1 si 0 < | x - a | < 8 .
Además, por la propiedad 9 del valor absoluto (pág. 17), es:
|f(x)|-|^|<|f(x)-^|.
Pero lf(x)| - \ € \ ^ |f(x) - <f| a |f(x) - £ \ < ^ = > |f(x)| - |<^1 < 1 , por transitividad de
la relación de menor.
Luego, |f(x)| < l<f"| + 1 = k si O < |x - a| < 8.
Por lo tanto, k es una cota de la función f en el entorno reducido de a de radio 8.
Obsérvese que utilizamos, por razones de economía de lenguaje, la expresión
"función acotada” , que significa "el conjunto de los valores de la función está aco­
tado” o “ el recorrido de f está acotado” , según la definición de conjunto acotado dada
en el capítulo 1.
Teorema 2
Si una función tiene límite finito í en un punto de acumulación a, y se considera
el número k >
entonces existe un entorno reducido del punto a donde, para cual­
quier x de ese entorno, es f(x) < k.
Demostración
Sea lím^ f(x) =
Como por hipótesis es k > ^, resulta k - ^ > 0.
Vamos a elegir un número e positivo y menor o Igual que k - f .
Es decir, sea O < e < k Por la definición de límite,
3 8 > 0 / 0 < | x - - a | < 8 ^ [f(x) - ¿ \ < k - f .
Por la propiedad 3 del valor absoluto (pág. 17), es:
f(x)-^<|f(x)-i^|.
Por lo tanto,
f(x) -
< k - <!" si
0 < |x-a l-< 6 .
y también
f(x) < k
si
O < |x - a| < 8.
k- f
Gráficamente, si elegimos, por ejemplo, e = — - — > O, puede determinarse
133
2) Probar que f: x
3) Idem para f: x —
X
-
X
no tiene límite en O, utilizando límites laterales.
X
3x^ si X > 1
en el punto 1.
2x «i. X < 1
4) Hallar límites laterales en 2 si f: x
2 -x
ix -2 r
5) Probar, hallando 5(e) en la definición correspondiente, que lim i* ^ -^ - 1 ^ = 3.
6) Encontrar, para cada fLinción, límites laterales en cada punto x^ iMjicado:
f:x
g :x
h: X
{L- 4
+ 5
{r:
{ x^ + 1
si
si
X
si
si
X> 1
X < 1
si
X
si
X >
X
< 3
> 3
a) Xq = 3 b) Xq = 5
en Xq = 1
< -1
-
c) x, = -1
1
a) Xq = 1 b) X,, = O
V. Teoremas sobre límites finitos
De la definición de límite finito se derivan las siguientes propiedades;
Teorema 1
Si una función tiene límite finito en un punto de acumulación a, entonces existe
un entorno reducido del punto a donde la función está acotada.
Antes de presentar una demostración formal haremos algunas aclaraciones.
Si la función, f tiene límite £ en el punto a, la definición de límite se verifica para
cualquier número positivo e. Si elegimos un valor fijo cualquiera de e, por ejemplo,
e = 1, obtenemos algún número 5 positivo tal que si x € E'(a, 5), entonces € - \ <
< f(x) < + 1.
Luego, - 1 es una cota inferior para el recorrido de f en dicho entorno redu­
cido, y + 1 una cota superior para dicho conjunto.
132
La propiedad también se verifica en E (a,6). Pero si la función está definida en a.
pueden cambiar las cotas mencionadas. En el caso de la figura, por ejemplo, una cota
superior es el máximo entre f(a) y e + ^, o sea, f(a). En otra situación, una cota infe­
rior puede ser el mínimo entre f(a) y Z’ - 1.
En la demostración siguiente probamos que existe k > O tal que lf(x)| < k si
X e E'(a, 6).
Demostración
Sea lím^ f(x) =
y elijamos e = 1.
Por la definición de límite, para e = 1,
36 > 0 / | f ( x ) < 1 si 0 < l x - a l < 5 .
Además, por la propiedad 9 del valor absoluto (pág. 17), es:
|f(x)|-M <|f(x)-^|.
Pero |f(x)| - l^í’ l ^ |f(x) - ^1 a |f(x) - f \ < ^ => lf(x)| - \f \ < 1, por transitividad de
la relación de menor.
Luego, |f(x)| < |^| + 1 = k si O < |x - a| < 8.
Por lo tanto, k es una cota de la función f en el entorno reducido de a de radio 8.
Obsérvese que utilizamos, por razones de economía de lenguaje, la expresión
"función acotada” , que significa “ el conjunto de los valores de la función está aco­
lado” o "el recorrido de f está acotado” , según la definición de conjunto acotado dada
en el capítulo 1.
Teorema 2
Si una función tiene límite finito £ en un punto de acumulación a, y se considera
el número k > €, entonces existe un entorno reducido del punto a donde, para cual­
quier x de ese entorno, es f(x) < k.
Demostración
Sea límgf(x) = £.
Como por hipótesis es k > ^, resulta k - ^ > 0.
Vamos a elegir un número e positivo y menor o igual que k - £.
Es decir, sea O < e < k Por la definición de límite,
36 > O / O < |x -- a| < 8 => |f(x) - f \ < k - £.
Por la propiedad 3 del valor absoluto (pág. 17), es:
f(x)-^< lf(x)-^|.
Por lo tanto,
f(x) - £ < k - e
si
f(x) < k
si
O < jx - a|^ < 6,
y también
O < |x - aj < 6.
k- /
Gráficamente, si elegimos, por ejemplo, e = ---------> O, puede determinarse
133
E'(a, 8 ) / V x ; (x e D, n E'(a. 8) => f(x)< k).
Análogamente, si una función tiene limite ( en el punto a, y k es un nùmero reai
menor que (\ entonces existe un entorno reducido de a donde f(x) > k.
En particular, si una función tiene limite positivo en el punto a, es decir, si ^ > 0,
considerando, en el teorema anterior, k = 0, puede asegurarse la existencia de un
entorno reducido del punto a donde la función toma valores positivos.
O sea, / > O =» ( 3E' ( a) / x € E'(a)
n D,
f(x)>0).
Por las mismas consideraciones;
/^ < 0
=> ( 3 E ' ( a ) / x e E ' ( a )
n D, => f ( x ) < 0 ) .
Es decir, en un entorno reducido del punto a, la función tiene el mismo signo que
su límite en dicho punto.
♦ Esta propiedad no se cumple, en general, si se considera un entorno de a en lugar
de un entorno reducido. Basta para ello, por ejemplo, si ( > O, que f(a) exista y sea
un número negativo o cero.
Teorema 3
Si dos funciones f y g están definidas en el mismo conjunto D con límites f: y ('
respectivamente en el punto de acumulación a, y / <
entonces existe un entorno
reducido del punto a donde Vx; f(x) < g(x).
DemostraciónSea: lím^ f(x) = e, lím^ g(x) = / ’ y ^ < f .
Por propiedad del conjunto de los números reales, 3 c e R / r < c < í'.
Por el teorema anterior;
¿<c
^
38 > 0 / V x ; ( x e E ' ( a , 8) n D ^
> c => 3 8 ' > 0 / V x ; ( x € E ' ( a , 8')
f(x)<c),
n D =» g ( x ) > c ) .
En la Intersección de ambos entornos se verifican simultáneamente las dos con­
diciones.
Si, por ejemplo, 8 < 8 ', resulta;
134
f(x) < c < g(x) si O < |x a| < 5,
o sea,
f(x) < g(x)
Sí
0<|x-a|<8.
Una propiedad análoga se demuestra s\ £ > £'.
Unicidad d el lim ite
Una consecuencia inmediata del teorema 3 es la unicidad del límite.
En efecto, si lím^f(x) = £ a límgf(x) = £' a £ ^ £' , entonces, en un entorno
rnducidodel punto a, Vx; f(x) ^ f(x), que es una contradicción.
Teorema 4
Si dos funciones f y g, definidas en un mismo conjunto D, tienen límites finitos
í y (" en un punto de acumulación a, y existe un entorno reducido del punto a donde
Vx: f(x) > g(x), entonces £ > £’ .
Este teorema es contrarrecíproco del teorema 3 e indica que las desigualdades
t)o cambian su sentido con el paso al límite.
Es importante observar que Vx;f(x) > g(x) no excluye la posibilidad lím^fíx) =
lím Q(x).
t ¡empio
Consideremos las funciones f: x
Elijamos D , = Dg = { x / x e R
a
Vx € D,; f(x) > g(x)
x^ + 3
y
g: x -> x + 3.
x> 1 }.
a
lím, f(x) = lím, g(x) = 4.
Teorema 5
Si f, g y h son tres funciones definidas en el mismo conjunto D, y además;
1)
lím j(x ) = £ A límghíx) = £,
y 2) Vx; (x e D A x a => f(x) < g(x) < h(x)),
ontonces lím g(x) = £.
Demostración
Prefijado e > 0;
36 > O / |f(x) - ^1 < e
O < |x - aj < 6
si
0 < | x - a | < 6 (1),
£
y
36' > O / |h(x) - <^| < e si O < [x - aj < 5'
o
- e < f(x) < £ + e
si
o
£ -€ <
h{x) < £ + e si
O < |x - a| < 8' (2).
Si 8 < 6', entonces, por (1) y (2), Vx e D;
135
0<|x-a|<6=>
e - e < f(x) a h(x) < ^ + e
= > / ’ - € < f(x) ^ g(x) ^ h(x) < e + €
=» e - e < g(x) < ^ + e
lg(x) -
< e.
Es decir, iímggíx) = e.
Podemos aplicar este teorema a la relación trigonométrica siguiente:
Vx: (O <
X
< y
Dividiendo por sen x
=> sen x < x < tg x).
0:
y
1< —^
sen
X
sen
x
sen X
1 > ---------> eos X
X
Ahora bien, lím_ 1 = 1, y puede probarse que:
lím^j eos X = 1.
Luego, resulta lím^
- = 1
EJERCICIOS
1)
x^
Calcular lím .—----------° 1 - eos X
2) l'^ o
3)’
V r
''f^° o ----sen(2x)
limo
4) '‘'^0
°
X sen X
eos X - 1
3x
5)
'
°
5x
6) hm^6)
'O
sen (4x)
7)
/
O
2x
8) hmo8)
°
°
sen (mx)
^ ^
sen (nx)
9
,,
x
sen ( S ttx)
lím 10) lim
■
’ sen(Trx)
VI. Algebra de límites
Suma de límites
Si las funciones f y g, definidas en un mismo conjunto D, tienen límite finito en el
punto de acumulación a, entonces la función f + g tiene como límite en dicho punto
la suma de los límites.
O
sea, si límaf(x) <= f
líma(f + g) (x) =
y
límag(x) = t , entonces
+ r.
Demostración
Si aplicamos la definición de límite a la función f y a la función g,
136
Vr - O 36 > O / Vx:
y l A'
>0/Vx: ( x t D
eD
a
A
O < |x - al < 5
lf(x) “ ^1 < - | )
0 < | x - a l < S ' => lg(x)
^'1 < - | ) ·
En la intersección de ambos entornos se verifican simultáneamente tas dos relaOiQnes anteriores, es decir:
V«;(xeE'(a,6)nE'(a.8')=,
|f(x) - <-1 < A
^ |g(*) -
< -1 ^
Sumando las dos últimas expresiones, resulta:
|f(x)
^l + | g ( x ) - ^ ' l < | - + - | = e.
Por la desigualdad triangular:
|f(x)
g(x) - t \ s |t(x) - ( \ + |g(x) - C \ .
Luego, por transitividad. es:
lf(x)-^ + g ( x ) - r |< € .
Ordenando, y aplicando la definición de suma de funciones:
|{f + g) (x) - ( ^ + D | < € .
Finalmente, por definición de límite, es:
lima (f + g) (X) = ^ + r .
El teorema se generaliza fácilmente por inducción completa para la suma de n
funciones con límite finito.
Rosta de límites
Si límaf(x) =
límag(x) = t , entonces lím a(f-g) (x) = e - C .
Esta propiedad puede obtenerse como consecuencia de la anterior, viendo, pre­
viamente, lím a[-g(x)] = - t .
Infinitésimo
f es infinitésimo en el punto a si y sólo si límaf(x) == 0.
Por ejemplo,
f: X
X
es infinitésim o en 0;
g: X
X - a es infinitésim o en a;
h :x
senx es infinitésim o en 0.
Aplicando la definición de límite, se observa de inmediato que
límaf(x) = ^ c=> lima[f(x)-<^] = 0.
O sea,.
I{maf(x) = ^
es infinitésimo en a. '
Teorema
El producto de un infinitésimo en el punto a por un número real, o por una función
acotada en un entorno del punto a, es un infinitésimo en el punto a.
Sea límaf(x) = 0.
137
Demostración
1
) Probaremos, en primer lugar, que el producto de un infinitésimo en el punto a
por un número real cualquiera k es un infinitésimo en el mismo punto a.
O sea, queremos demostrar líma[k · f(x)] = 0.
Si k = O, el teorema queda probado de inmediato.
Si k t ' O, para cualquier número positivo e,
también es positivo.
rl
Luego, utilizando la definición de límite para la función f, resulta:
ve > o 38 >
D n E'(a,6) =» |f(x)-0| < - j | - ) .
0 / V x:(k €
P e ro .lfM I <
= . |k| ■|f(x)| < €c=> |k-f(x)| < €.
Por lo tanto,
V€ > O 36 > 0 / V x : ( x e D n E'(a,6) =>| k- f ( x ) - 0| < e).
Luego, es líma[k f(x)] = 0.
2)
Probaremos también que si g es una función acotada en un entorno del pun­
to a, entonces líma[f(x) · g(x)] = 0.
Si g está acotada en un entorno del punto a, existe un número positivo k tal que:
V x : ( x € D n E(a,6) => lg(x)| < k).
Además, aplicando la definición de límite a la función f, resulta:
V€ > O 36' > 0 / V x : ( x e D n E'(a,6') => if(x)l < - ^ ) .
Si 6 < 6', en E'(a,6) se cumplen simultáneamente:
lg(x)| < k A |f(x)| <
O sea, lf(x) · g(x)| < k · - ^
e
k
= e.
Por lo t£'.ito, es:
l'ma[f(x) · g(x)] =
0.
Prcducto de lími’»s
Si las funciones t v g definidas en un mismo conjunto D tienen límite finito en el
punto de acumulación entonces fg tiene como límite en dicho punto el producto de
los límites.
Demostración
Sealímaf(x) -
138
límag'/) =
(fg)
(X)
- ^ . r = f(x) · g(x) - ( ■ ( ' = f(x)g(x) - f( x ) r + f( x )r - ( ■ ( ' =
= f(x) [ g { x ) - r ] + e' [f(x )-n O )·
Observemos esta última expresión. Por el teorema 1 (pág. 132), f está acotada
en un entorno del punto a, y por la consecuencia demostrada en la página 137,
g es infinitésimo en a. Luego, el producto f(x) · [g (x ) - ^ '] tiene límite cero en el
punto a.
Por razones simiíares» también e' ■[f(x)-^^] es infinitésimo en el punto a.
Es decir, por (1):
l'm a [(fg )(x > -/-< ^ 'I = lím a [f( x ) - ( g ( x ) - r ) ] + lím a [^ ^ '-(f(x )-^ )] = O.
Luego, es
l«ma(fg)(x) = f ' t ’.
El teorema se extiende fácilmente, por inducción completa, al producto de n
funciones.
Si las n funciones son iguales, queda:
V n € N : Iím a[f(x)f = [limafíx)]".
Además, si n > 2 y Vx : f(x) s O, es:
lima
= v^límaf(x).
En efecto, Vx € D Vn € N - {1}:
\/?Ó0 = t(x) » f(x) = [t(x)]", según la definición de raíz enésima.
Del segundo miembro de esta equivalencia se deduce:
lím a f(x )
=
lím a [t( x )]" .
Aplicando la propiedad anterior,
lím a [t( x ) ]"
=
[lím a t( x ) ]" .
Luego,
limaf(x) = [límat(x)]", lo cual es equivalente a:
r\.------------v lím a f( x )
=
lí m a t( x ) .
Y reemplazando t(x) en la última expresión, queda:
\/lím a f(x )
=
lím a \/fÓ 0 ·
Cociente de límites
Si dos funciones f y g, definidas en el mismo conjunto D, tienen límites finitos en
el punto de acumulación a y el límite de g no es nulo, entonces el límite de — es el
g·
cociente de ambos límites.
139
Demostración
Sea límaf(x) =
límag(x) = t
y
0.
1) Demostraremos primero el caso particular lima
4
g(x)
Tiene sentido hablar de la función — en un entorno del punto a, pues, por la
9
propiedad de límite finito demostrada en la página 134,
e ^ O => 3 E ' ( a ) ' / V x : ( x e E'(a) n D => g(x)
Por otra parte, límg
j_
e'
1
g(x)
lima
o).
1
1
L g(x)
=
0.
1
1
1 _ e' - g(x) _ . . .
, 1
( 1).
g(x)
r
g{x)¿'
g(x)
Para probar que la última expresión es infinitésimo en el punto a, bastará probar
Ahora bien,
que existe un entorno de a donde la función — está acotada, pues el primer factor
g
es infinitésimo en a y
Como
e =
es un número real.
es el límite de los valores de g en el punto a, si elegimos
> O 36 > 0 / Vx: ( x e D A O < |x -a | < 6
lg(x) -
^'1 <
Ahora bien, por propiedad 10 del valor absoluto (pág. 17), es:
llg(x)l
Como ! g ( x ) - ^'1 <
- k 'll ^ I g W- ^ ' l ·
por transitividad resulta:
jg(x)l -
k 'll <
Aplicando la propiedad 5 del valor absoluto a la última expresión, queda:
lr |
Luego,
O sea,
|g(x)l -
k 'l <
ig(x)l <
|g(x)l ^
si o < Ix-aj < 6.
Finalmente, resulta : V x : ( X € E'(a,6)
1
g(x)
<
función — está
g
acotada en E'(a,5).
Por lo tanto, la expresión (1) es el producto de un infinitésimo por un número real
y por una función acotada en un entorno del punto a. Por teoremas anteriores
(pág. 137), es un infinitésimo en el punto a.
140
Es decir,
lím.
1
L g(x)
= lím.
e' J
(r-g M )
g(x) J
=
0.
Se ha probado entonces:
lím.
c
g(x)
2) Para demostrar el caso general basta considerar, en un entorno conveniente
del punto a, el cociente
g(x)
como el producto f(x)·
g(x)
y aplicar el teorema del
límite de un producto.
Resulta, entonces.
lím.
f(x)
g(x)
= lima f(x)
g(x) J
= límaf(x) · lima
g(x)
= e
Funciones trascendentes
Consideraremos ahora el límite de algunas funciones trascendentes, como la
función logarítmica y la función exponencial. El concepto de logaritmo puede ser in­
troducido de varias formas y, en cada caso, se demuestran por métodos diferentes
las propiedades conocidas en el campo real.
(En un curso más avanzado de análisis, por ejemplo, se puede definir logaritmo
natural utilizando integrales, de la siguiente manera:
Va > O ; ln a
dx
■ í:
y demostrar, a partir de esta definición, las propiedades usuales en R.)
En cualquier método que se utilice, la función exponencial y la función logarítmi­
ca se definen en forma tal que resulta:
y = b*
logty = X.
Utilizando propiedades de los logaritmos de números reales, puede demostrarse
que, si una función f tiene límite finito y positivo en un punto a, entonces “ el límite del
logaritmo es el logaritmo del límite’’, es decir:
lima[logbf(x)] = logb[límaf(x)] (b > l).
♦
Demostración
Sea límaf(x) = ^ > 0.
f(x)
Por el teorema del limite de un cociente: límg —
Ahora bien, siendo
b > 1
lima
y
e > O,
= 1.
resulta b' > 1,
y por lo tanto es
= 1 < b*
141
Por una propiedad del limite finito (pág. 133),
3 E ' ( a , 5 ) / V x ; ( x € D, n E ’ (a,6 )
=>
< b‘ ) ·
Por las mismas razones, siendo b~' < 1, resulta;
3 E ' ( a , 5 ' ) / V x ; ( x e D, n E’(a,5’) =>
Luego, si 5 <
6 ’, V x ;(x
> b "').
e D, O E’(a,6 )=> b " ‘ <
< b '^ .
Por propiedad del logaritm o de base b > 1, es:
logbb * < logb
■ < logbb‘ .
Además, en el entorno mencionado se verifican las siguientes proposiciones,
cada una equivalente a la anterior:
- e < logb
»
-e
< logbf(x) -
«=^
< €«
logb^ < e »
llogbf(x) -
logb/j < €.
Aplicando la definición de límite, resulta la tesis, pues es
•líma[logbf(x)] = logb/.
También puede probarse, para la función exponencial, que
líma[k''*'] =
(k > 0 ),
y para la función potencial exponencial, que
lima [f(x)9<**] = [límaf(x)]''^«9<*Mlímaf(x)>o).
EJERCICIQS_^
Calcular los siguientes límites:
1) lim,
2)
Xx^ +
"
..
7.
x^ - 4x
2
6 x^
+
12x
+
1
/ x2
8
x5 + 3 X + 2 ----------
sen^ x + 3 sen x - 4
sen^ x - 3 sen x + 2
cos^ X + 3 eos X - 4
---------
'" " 3
6)
Iím3
8)
llm_,
2x - 3 \ X
V x ^ - 4x + 3 /
-
/ x ^ - 2x - 3 \
\
2x2 -x'^ -
142
)
X + 1
X X -
3
2
x^ - X - 6
9) lima
11) lím
13) lím,
15) lím.
19) limo
^
^_
10) iílím;
x^ + X - 12
x^ + x^ - x - 1
1
12) lím
2 x^ - 2 X
X - 1
14) lim,
V x-2
x -4
x'^ - X - 2
2x2 - X - 1
x^ + X - 2
1
16) lim.
2x - 2
cos(6x) - cos(2x)
x2
18) lime
V 1 - s e n X - V i +sen x
20) lime
X
tg(3x) - sen(5x)
2x
^
~ 16x + 20
x^ - 3x + 2
22) limt
'
“
x-" - 3
sen(3x) + x
X - sen(2x)
Vx^ + X + 4 - 2
X
2 - n/x - 4
x^-64
VII. Limite infinito
La no existencia de limite finito puede significar,^ corno se ha visto, que existen
límites finitos distintos a derecha y a izquierda del punto de acumulación elegido,
como sucede en el origen para la función signo (pág. 130). También puede significar
que la función oscila, como sucede en el origen con la función sen — (pág. 60 ).
O bien,' que cuando x se aproxima al punto de acumulación, los valores de la función
superan, en valor absoluto, a cualquier número positivo prefijado.
Consideremos la función f; x
, que n© tiene límite finito en el origen.
Si prefijamos cualquier e > O, siempre es posible encontrar un entorno reducido
del punto de acumulación O en el cual los valores correspondientes de la función son
mayores, en valor absoluto, que e.
Por ejemplo, si e = 10®,
> 10®, lo cual equivale a: ]x| <
^
10 ®
> 10®, y en el entorno reducido de O,
de radio 10 ®, cualquier x del dominio tiene una imagen mayor, en valor absoluto,
que 10®.
143
sición:
O < |x -0 | < 6
> e , pues |x| < —
> e.
Definición
Una función tiene límite infinito en el punto de acumulación a de su dominio si y
sólo si para cualquier número positivo € existe un número positivo Ô, tal que:
Vx:(x6Dt
A O < |x -a | < S
'|f(x)| > t ) ·
La recta de ecuación x = a se denomina asíntota vertical al gráfico de la función f.
En este caso interesa especialmente e "tan grande como se quiera".
144
Por convencióri, para indicar la situación anterior se admite el simbolismo si­
guiente;
límaf(x) = X.
El concepto de límite infinito se puede diversificar, considerando el signo de los
valores de la función;
llrti ,f(x) = + oc »
Ve > O 36 > O/ Vx; (x e D, a O < Ix - a| < 5 => f(x) > e)
y
llin,f(x) = -oo<=> Ve > 0 36 > 0 / V x ; ( x e D ,
a
O < | x - a | < ó => f(x)< - e).
lím af( x)
línriaf(x) = + ^
=
-
2C
=
2
/ lomplo 1
Utilizando la definición, probaremos que límg
x -3
c. Ello se verifica si y
•.olo si;
ve > O 36 > O / Vx: ( x e D,
a
>€ I.
o < | x-3l < 8
x-3
Obsérvese que O < |x-3| < 8
- ^ > - L
|x -3 |
Por lo tanto, si elegimos - ^ = e, o sea, ^
5
se satisface inmediatamente la
(If'linición propuesta.
/ inmplo 2
líms
^ c=> ve > O 38 > 0; ^ 0 < |x -5 | < 8
x -5
Vf'inos que
2x-6
x -5
2X -6
x -5
>el.
>
145
Exigimos: 0 < 6 < 1
4 < x < 6 = ^ |x -3 | > 1.
Luego, si 5 = mínimo ^1,
0 < | x - 5 | < — =>
€
4
resulta:
= > Í 2 - - p í — > € =>
|x -5 |
lx -5 |
x -5
|x -5 |
>€.
Ejemplo 3
líms
p ^ ^ ^ — - = cx: « V € > 0 3 5 > 0 ; ( 0 < |x -5 l < 8
x^ - 4x - 5
\
x -3
x2 - 4 x - 5
>€ I.
Observamos que:
x-3
x^-4x-5
___ t 3 | ___ > í ^
lx -5 ||x + 1 l
1,-51 < J . I» -3 |
€ l x+l |
Si exigimos O < 8 < 1, o bien 4 < x < 6, resulta lx -3 | > 1 y también |x+1| < 7.
Luego, podemos elegir 6 = min ^ 1,
·
Ahora bien,
O < |x -5 l < 8
'
'
'
lx~5l < — =»
'
76
—,
> € => ——
> e.
7]x-5|
|x + 1 ||x -5 l
La última implicación mantiene el sentido de la desigualdad, pues se ha reempla­
zado el numerador 1 por un valor mayor y el denominador 7 por un valor menor, lo
que incrementa la fracción.
EJERCICIOS
1) Demostrar que limo
2) Demostrar que Iím4
^ ^
^ ^ ^
3) Demostrar que limo
4) Demostrar que limo
5) Demostrar que Iím7
= a:
= + oo
^
= - oo
3
= *
5x-1
=
6) Demostrar que lím? -----x -2
146
x-2
7) Demostrar que lím_.
x2
-2 x-3
VIII. Generalización del concepto de límite
Interesa también considerar una definición de límite para cada uno de los casos
llguientes;
1) límite finito para x ^
± x;
2) límite infinito para x —»· ± x .
Si f es una función definida en un conjunto no acotado, aceptamos las siguientes
definiciones para los casos propuestos:
Primer caso: límite finito en un conjunto no acotado
Km.
f(x) =
V€ > O 35 > 0/ Vx: (xe D, a|x| > 6
l ím.,f(x) =
llm , f(x) = «
|f(x) - í\ < e)
V e > 035 > 0 / V x : ( x e D , A X > 5 => lf(x) - ¿”| < e)
ve
> 0 35 > 0 / V x : ( x e D , a x < - ó
=> |f(x) - ¿\ <
e)
l
a recta de ecuación y ^ / se denomina asíntota horizontal al gráfico de la
(unción f.
De acuerdo con el gráfico, se verifica lím.,, f(x) ^ ¿ y lím ^ f(x) = (. También,
liiii í(x) =
Obsérvese que en este caso debëf elegirse el mayor entre los números Ô y Ô'.
/ ¡('IIIpío 1
Sea f: x
147
Para calcular lím , f(x) es conveniente dividir numerador y denominador por x,
1
3
observando que — y — son infinitésimos si x —» x.
X X
2 +—
Resulta lim^
^
x -3
■ = lím ^--------= 2.
1 -A
X
Se verifica, además, lím.X f(x) = 2 y l í m xf(x) = 2.
Probaremos, por ejemplo, que lím, f(x) = 2. Para ello Ve > Odebemos encon­
trar 6(e) > O, tal que
2X+1
x -3
Vx: ( x e Di A x > 5
Observemos que
X >
¿
-
2x + 1
x -3
X
-
> 3 +
2 < e
Ejemplo 2
Sea f: x
148
2x^1
x-3
5x+1 ¡
x-2 I
-
2
-
2
< el
|x -3 |
X- 3> Y
=> | x - 3 1 > y
|x-3|
< ea
Dobemos probar que Ve > O 36(e) > O, tal que:
Vx: íx e Di A
5X + 1
Ix-21 ■
11
I logimos 6
ó
=>
X <
x + 2| >
< el.
11
-5
X 2
5x + 1
- 5
x -2
-6
X <
-
11
11
-X
>
11
-X
+ 2>
11
lx-2i>
|x-2| < e
11
If(x )-5 |< e.
^faniplo 3
hnn I X
x^ - 4x + 3
x^ + 1
I '.ira calcular lím^ f(x) se puede dividir numerador y denominador por x^:
x^ - 4x + 3
x^ + 1
= lím.
=
1.
1+
149
Resulta también lím *. f(x) = 1 y
lím , f(x) = 1.
♦ Ejemplo 4
Sea f: X
V x^ + 1 - 1
Para calcular lím. f(x) podemos dividir numerador y denominador por \ x^ = ¡xL
Como el valor |x| depende del signo del número x, deben calcularse separadamente
l í m f ( x ) y lím. . f(x).
X
1x1
Considerando x > O, resulta lím . ^ f(x) = lím .
1 4= lím
1+
Si
X
1
1
¡x|
< o, resulta lím_. f(x) = lím
¡7 .
= lím
150
-1
=
-
1.
1
x"
_ 1
¡x|
1
1
Itg u nd o caso: límite infinito en un conjunto no acotado
llm^^
f(x) =
035> 0 /V x ;(x e D ,
a
|x|>
5 =>
|f(x)l >
e)
lini + 00 f(x) = + 00
Ve > 0 35> 0 / V x ; ( x e D ,
a
x >
5 ^
f(x) >
e)
llm + o.
00
Ve > 0 35> 0 / V x : ( x e D ,
a
x >
5 =>
t(x) < - e )
llfii - oc i(x) = + 0°
Ve > 0 35> 0 / V x : ( x e D ,
A X < - 5
llm _ ^
Ve > Ó35 > 0 / V x ; ( x e D , A X
f(x) =
V€
00
-
f(x) = -
00
>
<-5
=>
f(x) >
e)
=>
f(x) < - e )
§l§mplo
I · ! ! I: X
x^ + 1.
lim .x (x^
+ 1) = + ®
lim _. (x^
+ 1) =
lím.
+ 1) =
Tamhión;
(x^
00
r.ll HCIClOS
I) Domostrarque lím. — = 0
X
,'| I )(!niostrar que lím.
= 0
2x+5
I) I )<‘mostrar que lím+ . --------- = 2
x+1
151
4) Calcular los siguientes limites:
a) lím .
b) lím-,
d) lím .
f) lím-
3x- 5
2x + 3
(dividir numerador y denominador por x)
2x + 3
'
2x + 1
x^ - 3x + 5
2x + 3
V
e) lima
“
x^ - 2x + 3
3x^ - 5x + 1
„
8x - 3 x ^ + 1
9x^ - 2x + 4
3x^ + 5x - 1
- 2
X
3»
b) lím.
V x^ + 1 + X
vx^+T+
(dividir numerador y denominador por \ / x ^ = Ixj)
5) a) lim+
6) a) lim ..
-----V 4 x2 + X - X
b) lím_=
^
+ X -
X
...
Vx + X + Vx + 1
7) a) hm+oc-^^----------- 7 ^ = -----x + V x +1
r
V x + X + \/x + 1
b) lim _*-^^----------- , . L _ ----X+ Vx + 1
8) a)
b) lím -.
\/ j ? · + x + 1 + x
9) a) u n ,,.
V4»^ + x + r+ N / ? T 7
V9x^
+
X
Vx^+x + l + V ^
V P T v n + x
V 4 x^ + x +
+ 2 + 3x
10) a) lím +. e’«
V 9 x^ +
b) lim _ „ e^
c) lím +„ e -x
d) Iím_c, e “ ’'
e) I(m+„ ti 1A
f) lím_
th X
b) limo- (
3
11) Calcular los siguientes límites laterales:
a) limo+ (
3
c) límo+ ( e
*)
*)
d) limo- ( e
*)
*)
12) Calcular los siguientes límites laterales:
1
1—
a) límo+ - — —
-L
2
+ 3*
“
b) límo+
l^dividir numerador y denominador por 3 * )
152
1_Q*
1
2 + 3*
X
1
+ V ín T
+ 2 + 3x
S* -
2
d) lirrio-
c) linrio-^-----------2
5
R"
-
9
j_
*
3^5·'
IX. indeterminación del limite
Ya se ha indicado que una función cuyo límite es cero en el punto a se llama
Infinitésimo. De la misma forma, si una función tiene límite infinito en el punto a, se
llama infinito. Ambas denominaciones valen también para el caso de x tendiendo a
Inlinito.
“
Puede considerarse, en especial, el cálculo de límites y la comparación de infi­
nitésimos e infinitos, pero se trata solamente de casos particulares del límite de una
función.
f(x)
En general, si f y g son infinitésimos en el punto a y límg
¿
O, entón­
eos f y g son infinitésimos del mismo orden, y si
= 1, se llaman, además, infinilósimos equivalentes.
f(x)
SI límg
= O, entonces f es de orden superior a g,
y üi^ límg
=
00 ,
entonces, f es de orden inferior a g.
f(x)
Recuérdese que al hablar de límg
para f y g infinitésimos, como límg g(x) = O,
no ;;o puede aplicar el teorema correspondiente al límite de un cociente. Para calcular
(jiclio límite pueden hacerse previamente todas las simplificaciones, operaciones y
•uiilituciones convenientes, recordando que x - a ^ 0.
tlnmplos
1)
I
X
^ = l i m o l i m o
2x^ - x - 1
'
X
(sen x) = 1 · O = 0.
(2x + 1 ) ( x - i r
2X + 1
llm, — p--------------------------------------------------------------------- = lim,
x^+x-2
(x + 2) ( x- 1)
x + 2
^
^
= Iim ,--
•
Corr-.iderando el polinomio p(x) = 2x^ - x - l.c o m o p(1) = O, por el teorema
{lili testo p(x) es divisible por ( x - 1) . Lo mismo sucede con el denominador.
R llm,
x - 2 ( x - 2 ) (x+1)
,,
x+1
-2----- ------- -- - lim 2
^ = lim j--------- = x.
X - 4x + 4
( x- 2) ( x- 2)
x-2
I
os ejemplos anteriores indican que el cociente de dos infinitésimos puede tener
Miol(|iii<,r límite, finito o infinito, según las funciones elegidas.
' H! dice, por ello, que el cociente de dos infinitésimos es un caso de indetermih ui ( I d limite.
Aii!(,‘s de referirnos a los casos de indeterminación del límite hemos de aclarar
UMii ve/ más este concepto. Un límite es indeterminado cuando no puede anticiparse
M iln ifiiiiin a rse el resultado y se delsen efectuar simplificaciones, reemplazos lícitos,
■Il , .mies de encontrarlo.
153
Por ejemplo, el producto de un Infinitésimo por una función acotada tiene límite
nulo (pág. 138). Por lo tanto, está determinado. En cambio, no puede anticiparse el
resultado para el límite del producto de un infinitésimo por una función no acotada.
Este es un caso de límite indeterminado.
Enunciamos a continuación distintos casos de indeterminación del límite.
Casos de indeterminación del límite
1) Cociente de dos infinitésimos.
De la misma forma, las expresiones siguientes corresponden a límites indeter­
minados:
2) Cociente de dos infinitos.
3) Producto de un infinitésimo por un infinito.
4) Suma de dos infinitos de distinto signo.
5) f(x)3‘**
si f ( x ) ^ l
y
g (x )-^ ^ :.
6)
si f(x ) ^ 0
si f(x)-^oc
y
y
g(x)^0 .
g(x)-^0.
f(x)9‘*'
7) f(x)9<*>
Para calcular límites donde se presentan casos de indeterminación, conviene,
como ya se ha visto, recurrir a artificios de tipo algebraico.
0
Por ejemplo, para calcular lím ^------ 5---------^----- , que es el cociente de dos infinl3x^ - x + 3
tos, se puede dividir numerador y denominador por x^.
Resulta lím^ —
^
^
1
En forma análoga, lím^
^
X
= lím., —------------------—
+ x'^ + 9 x
1
= O
9
(dividiendo numerador y denomiriador por x ' * ) . , ,
Para calcular un límite del tipo 5 se recurre al nùmero e.
/
8 = lím-, (
1
1\
+ — I
= limo
~
(1 + x)
* (véase cap.
Por ejemplo, tratemos de calcular lím.
9).
X-i- 3
x- 2
Se trata de una función potencial exponencial, cuya base tiende a
nente tiende a infinito.
Haremos intervenir al número e = lím., (
154
1
+ —
1
y cuyo expo­
5 3x
Iini,
1
1+
\
x-2
5
'
x-2
x- 2
Téngase en cuenta que el cálculo de límites indeterminados puede requerir, a
• li l i altura del curso, recursos artificiosos, como cambios de variables o reemplazo
d0 inlinitésimos por otros equivalentes. Salvo que se quiera agilizar cierta destreza
pura descubrir artificios, es preferible dejar la resolución de los casos más compliOmlos para aplicar la regla de L’Hópital, que utiliza derivadas y facilita notablemente
lOM c.^lculos.
IJ I nCICiOS
Calcular los siguientes límites;
1
X„
lim ,
« V 2x
1) linio
(l + Sx)*
2)
( - | ^
!1) lirn,
/ 2x+1 \
\2x-3/
4) lím..
1+5x\^* ^
(-L 1 5 L )
V 3 + 5x /
6) línrix
-—
h) lirno [cotg x - cotg{2x)]
3 x^
+
8)
6
lím
)
_ 5^ ^ 2
2---------- —
2x^ + 3x - 1
Sx"· +
2 x^ - 1
2
X
1
U) hm , — 3X-^ - x*^ + 2x + 4
11) limo
1:1)
hin.
bx
3x + 1
sen^x + sen x - 2
sen^x - 4 sen x + 3
-IC\ lír«
2x
16) limo
(f^ )
,
,
U) liin,,
4x^ + 2x^ + 6x
--------- 2---- ---------x'^ - 2x
lu) ’ ’"MidoJ; X
k'll) '.K’ndo f; X
x'* + x^ + X
x'^ - 2x
18) limo
— | - , calcular: a) l í m_ 3f(x); b) límjfíx); c) lím J(x).
^
X
— ^ . c a l c u l a r a ) lím _if(x);b) límjfíx); c) l í m_ 3f(x).
"i" ,4x ~i" 3
155
21) limo
V5 +
X -
VS
VSx + 1 - V x + 3
.22) jim ,
v 5 x + 3 - V3x + 5
23) lirrix
5x + 1
3x + v/)T
24) lim^
2x + 3
5x=
25) lím.
7 +
X V x
27) limo
26) „m,
(
^
28) limo
(cosx)
-
^
)
X. Asíntotas lineales a curvas planas
Ya se ha considerado, en el capítulo 3, al aproximar el gráfico de funciones ra­
cionales, la idea de asíntota.
Volvemos ahora sobre la misma idea, utilizando límite.
1)
Asíntota vertical
Definición
La recta de ecuación x = a es asíntota vertical al gráfico de la función f s i )
sólo si límaf(x) =
Ejemplo 1
Sea f; x
lím
x^ - 25
X+ 5
x*" - 25
= 3c => la recta de ecuación x = 5 es asíntota vertical al gráfico da
Ejemplo 2
Sea f: X —
156
(x -2 )'
1
Urn·,
■ (x-2)'
=
la recta de ecuación x = 2 es asíntota vertical ai gráfico de f.
00
7) Asíntota horizontal
Ooíinición
La recta de ecuación y = ^.es asíntota horizontal al gráfico de la función f si y
lólo si límxf(x) =
Ejomplo
Sea f: x
l
i
x'^ - 2x - 3
m x r =
x2 - 2 X - 3
>
· la recta dé ecuación y = 1 es asíntota hórizontaL
Además,
lím_i
x^ — X
-2
X
-
¿X
_
v5
=
00
la recta de ecuación
X
=
-
1 es asíntota vertical,
157
lima
-
X
la recta de ecuación x = 3 es asíntota vertical
x'^ - 2x - 3
Obsérvese que el gráfico de f corta a la asíntota horizontal en el punto (-3 :1 ).
El gráfico de una función puede cortar a una asíntota horizontal u oblicua en n
puntos. Por ejemplo, la función f: x
2 "* sen x admite como asíntota horizontal al
eje X y lo corta n veces para cualquier número natural n.
3) A síntota o blicua
Definición
La recta de ecuación y = px +
q(p ¿ 0) esasíntota oblicua algráfico de la
función f si y sólo si lím» [f(x) - (px + q)] = 0.
En este caso se verifica lím „f(x) = » y f(x) = px + q + g (x), donde g esinfinl^
té sim o para
'
Ejemplo
Sea f: x
x^ + 2x
X - 2
Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua es conveniente efectuar la div
sión de polinomios. Resulta f(x) = (x + 4) +
8
Luego, la recta de ecuaci(¡
x - 2
y = x + 4 es asíntota oblicua al gráfico de f. En efecto, es lím^ [f(x) -- (x+4)]
8
= lím.
=
0.
- 2
Asíntotas de este tipo aparecen en funciones racionales cuando el grado d
numerador es mayor en una unidad que el grado del denominador.
En efecto, si la función racional considerada es el cociente de la función polin
mica f, de grado n > 2, sobre la función polinómica h, de grado n - 1, al efectu
dicho cociente resulta:
X
- ií í l— =
h(x)
s(x) +
r(x)
____
h(x)
doluJo s es un polinomio de primer grado y r es un polinomio de grado menor que el
do h. según se ha visto en el ejemplo anterior.
Luego,
es infinitésimo para x
^ y s es una función lineal, cuyo gráfico es
HHiniota oblicua al gráfico de la función racional — .
h
EJERCICIOS
I ) Gráfico aproximado, indicando asíntotas, para cada una de las siguientes fun­
ciones:
,
X- 1
l : x - ^ --------x + 2
g: x
^
x^ - 4x^ + 3x
h : x ^ ------- ------------x^ + 2x
.
t:x
2) Asíntota horizontal al gráfico de f: x -♦
x + 4
x^ - 16
x^ - Sx^ - X + 3
x*^ + X
y2 _ 2x
_ 3^ _
V
4
intersección con el mis­
ino. (Resolver la ecuación que se obtiene al igualar valores.)
'IV i 1
♦
.1) Idem para f: x
2x^ - X
x2 - 2x - 3
Indicar dominio y ecuaciones de las asíntotas lineales a los gráficos de las si­
guientes funciones. Hacer un gráfico aproximado, buscando previamente las intíírsecciones con ambos ejes.
,
x^ - 2x - 3
l : x ^ — ::-------- --------------X·^ - 2x‘^ - X + 2
x^ + X -
6
x^ - 6x + 9
x^ - x^ - 4x + 4
x^ + x^ - 2x
x^ - X - 6
x^ + 3x
x-2
1;: X
. .^
h; X
----- ;--------- r--------------
x·^ - x"' - 6x
x^ - 3 x
m: X —»— -----------x^ - 16x
x^ + 3x^ - lOx
( ) : x - ^ — ^------ T I ---- 1—
x^ - 4x^ T 3x
. ^
t: X
n; X
x^ + 2x
X + 3x - 4
-
x^
3x
+ 1
x^ + 3
x^
4x^ - X - 4
x^ - 4
'.) Indicar en qué puntos el gráfico de f corta a su asíntota oblicua si f;x
x·" - 1
3x^ + 1
v3 . 2x - 1
.') Dar una función cuyo gráfico admita dos asíntotas verticales y una horizontal.
M) l),ir una función cuyo gráfico admita una asíntota vertical y una oblicua.
')) Dar una función cuyo gráfico corte a su asíntota oblicua.
10) Hallar dominio, asíntotas, Intersecciones con los ejes y recorrido. Hacer el grá3x - 6
f ico si f ; X
-
x - 2
x^ + 2x - 15
X - 1
11) ídem para f:x
12) Dominio, asíntotas, intersecciones con los ejes y gráfico sí f;x
13) íd e m s ifix
3x^ - 6x^
x^-4
2x^ - 2x - 4
14) Hallar el conjunto de todos los números reales que satisfacen la siguiente ína
cuacion:
x -1
x+1
< 1.
^ Para verificar la solución se sugiere graficar f / f(x) =
15) ídem si
x -7
x -5
16) ídem si
x -2
x -1
4‘
< 5.
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPÍTULO 4
Sección II
1) O < 5 < y
2) O < 5 < 4 5
3; O < 5 < 0,0000125
6) a) O < 5 <
b) O < 8 <
24
6
29
c) O < 6 < €
160
d) o < δ < -|7) o <
δ < ^
8)
δ < min (1,46)
o<
9) O<
δ < min
10) 0 <
δ < min ( γ .
Ί")
Sección IV
1) a) 0;1
b) 2;1 c) O
2) l(mo+ f(x) =
3) Km,* f(y) =
O limo3 lim i-
4) Iím2 + f(x) = - 1
Iím2 -
f(x) = - 2
f(x) =
2
f(x) =
1
B) O < δ < min
β) lima* f(x) = lima- f(x) = 2
f(x) = Hms- f(x)
= 6
llm _n.f(x) = lim _ i- f( x ) = 2
lim^^
g(x) = H m i-g(x)
= 6
llm _ i. h(x) = 2 lim _ i- h (x )
limo*
h(x) = limo-h(x)
= 1
Ifc c ló n V
1) 2
2) - 2
Il ~
3)
-1-
= -2
4) 0
5) 0
6)
7)
-|
8) k
10) 5
Iccclón VI
')
9 )·}
4
10)0
7
1/)
2) 4
4
16
18) - 4
3) 0
11)0
4) 2 ™
12)2
19) - 1
6) 0
5) - 5
1 3) 1
20)4
4
14)^
4
21) - 1
7) - i
2
15)44
22) -
8) 4
1 6 ) ^
6
64
Itoclón VII
Ι)()
δ < —
€
2 ) 0 < δ < —
€
3 )0 < δ <
4) O < δ <
^
y /^
161
5) o < f) < Y
7) O < 8 < mín
6) O < 6 < mín
Sección VIII
3) 8 > -|-
1) 8 > ·
6) a) 2
g) -
^ ' - 1
7) a) 1
b) + ®
8) a) 1
b) + oo
j
10) a) +
f) 3
e) ^
b) - oo
5) a) 1
9) a)
d) 0
c , | ·
4) a) I
b) + oo
b) 0
00
b) 0
í l ) a) w
e) 1
f) -
1
d) 00
c) 0
b), - 1
12) a) ^
d) + 00
c) 0
c) 1
^ ' - 1
Sección IX
1)
2) e^
6 ) |
7) v:
3) e^
8) 0
12) y
16)
17)
-1
26) O
14) e'®
18) 1
23) - |
27) 1
-
7
1
3
22) v T
25) X
9) -
13)
5) X
4) e "
1
15) e"
19) a)oc= b ) - |
0)1
24) 0
28) 1
Sección X
1) f: X = - 2 as. vertical
g; X =
162
4 as. vertical
y = 1 as. horizontal
y = O as. horizontal
h: x = - 2 as. vertical
y = X -
6 as. oblicua
t:
y = X -
4 as. oblicua
X
=
O as. vertical
20)
?)
y -= 1
:i) y -
•1) D,
2
as. horizontal
intersección en (-4:1)
as. horizontal
intersección en ( - 2 :2)
= R -{ 2 ,1 ,- 1 }
X
Dg = R - { - 3 ,2 }
D. = R -{ 3 }
X = -3
D, = R - { 0 , - 3 }
X = -3
Ds = R - { 2 , - 3 , 0}
X = -3
D,
X
= R - { 1 ,- 2 }
D . = R -{ 0 ,4 ,- 4 }
D„ -
R
y
=
X
= -2
X
= 4
-1
as. vert.
as.
y
as. vert.
y =
y
y = O as. hor.
x - 2 as. obliclua
= 1
as. horizontal
vert.y = x - 2 as. oblicua
yx
= Oas. vert.
y = O
as. hor.
yX
x=
= 1 as. vert.
y = O
as. hor.
- 4 as. vert.
y = O
as. hor.
R -{0,1,3}
X
1
y
X
= 3 as. vert.
R -{2,-2}
X = 2
y
X
=
-^ x
=
y
- 2 as. vert.
=
1as. hor.
y = x + 4 as. oblicua
as. oblicua.El gráfico de f lacorta en ( - 3 ; - 1 )
as. oblicua.El gráficode fia corta en ^ - 2 ;
2x + 3
f(x) =
(x -1 )(x + 5 )
It) Cjemplo:
x^ + 5
f(x) =
x-2
f icmplo: f(x) =
3 .
X -i- 1
-
x^ + 8
3
x-^
10)l(x) =
=
X
as. oblicua
/) [Zjemplo:
y)
y
= 3 as. vert.
y = X
X
0)
= 2
+
X
X ^2-
+ 2
D, = R - Í 2 .- 1 }
Rec, = R -{0 ,1 }
as. hor.: y = O
163
11)
D, = R -{1 }
as. vert.: x = 1
Rec, = R
as. oblicua: y = x + J
as. vert.;
as. oblicua; y = 3x - 6
int. eje x ;
(0;0)
int. eje y ;
(0;0)
164
13)
D, =
as. vert.: x = - 1 x = 2
as. hor.: y = 0
int. eje y : ^0; -
14)|x/x>0)
16) { x / x
< 7
15)
x/x < 5v 5 < x
33
V x
23
v x > |]
165
5.
C O N T iM lIP A D
Sea f una función \ a . t punto de acumulación de su dominio. Como ya se ha
visto, el punto a puede
. j pertenecer al dominio de f, es decir, el valor í(a) puede
existir o no como númv · o real.
Por otra parte, la idea de límite se desvincula de lo que sucede en el punto a, y
el símbolo límaf(x) tiene un sentido independiente del valor f(a).
La función f puede estar definida en a y no tener limite finito en dicho punto. Pue­
de existir límaf(x) y no existir f(a). Pueden existir el límite y el valor de la función y ser
distintos números reales. O bien pueden existir ambos y coincidir.
I. Función continua en un punto
Si existe límite finito en un punto de acumulación a, si existe el valor f{a) y, ade­
más, ambos números son iguales, se dice que la función f es continua en el punto a.
Por lo tanto, la continuidad de una función en un punto de acumulación de su
dominio se refiere a tres condiciones: la existencia de límite finito en a, la existencia
de f(a) y la coincidencia de ambos valores.
Definición
Sea f una función y a un punto de acumulación de su dominio: f es continua en a
si y sólo si:
1) 3f(a):
2) 3 límaf(x) (finito);
3)
Iím3 f(x) = f(a).
Si a no es punto de acumulación del dominio se conviene en considerar que f es
continua en dicho punto si existe f(a).
Como la continuidad se basa en el concepto de límite, puede darse también la
definición utilizando entornos convenientes de a y f(a): f continua en a c = >
c=D V e > O 38 > O / Vx: (x 6 D, a |x - a| < 8 => lf(x) - f(a)| < e).
Nótese que, respecto de la definición de limite finito, se han introducido dos mo­
dificaciones. En primer lugar, se ha reemplazado el número ( por el número f(a). En
166
jndo lugar, no se exige que el entorno de a sea reducido, es decir, no se exige
1 0 · , pues f está definida en a y en dicho punto se verifica:
f | > 0 : ( l ( a ) - ( ( a ) = O < € ).
Obsérvese también que en el caso de una función continua los símbolos de funy de límite pueden conmutarse: límaf(x) = f(límaX).
§ltOontinuidades
Si no se verifica la definición dé continuidad en un punto a, la función considefld a es discontinua en a.
Esto puede suceder si no se cumple una cualquiera de las tres condiciones que
Rlge la definición. Es decir, una función puede ser discontinua en a porque no existe
·) o porque no existe limaf(x), o porque ambos existen pero son distintos.
Í
iito 1
Sea f: x
. Estudiemos la continuidad de f en el punto 3, que es punto
x - 3
i · acumulación de su dominio.
3 no pertenece al dominio de f, o sea, no existe f(3). Sin embargo, existe
llni,f(x) = 6.
El gráfico de f es una recta de la cual se ha excluido el punto (3;6).
Puede conseguirse una función f^, continua en el punto 3, de la siguiente manera;
f, = f u {(3; 6)}.
Es decir, la función f, tiene como imagen del número 3 el valor del límite consiilnrado, o sea, fi(3 ) = 6.
Obsérvese que f,, continua en 3, no es la misma función inicial, pues el par
6) €'f 1 y, en cambio, (3; 6) f.
En éste caso suele decirse que la función f presenta una discontinuidad "evitaliio” en el punto 3.
167
Caso 2
1) Sea f: x -> ent x. Estudiemos la continuidad en el origen.
y
1
- 1
-
-r1
0
1
1
i------
1
1
■—
?
,
1
i
1
2
X
- 1
La función está definida en el origen y f(Q) = 0. Como ya se ha visto, f no tien
límite finito en dicho punto. En este caso la discontinuidad suele llamarse "esencia
Utilizando la definición de límite por la derecha, puede decirse que esta función |
continua a la derecha de a, pues
límo+ent(x) = f(0).
2) Sea g; X
En el punto 4 la función no tiene limite finito. Como la función anterior, la funcl<
g presenta una discontinuidad esencial en dicho punto.
Si se considera la función gs: x -
1
x -4
k
si
si
X
^ 4
= 4
X
aunque ahora la función está definida en 4, la discontinuidad también es esenc
168
+ 3 si X
1
N f :x
2
si
X
= 1
I l gràfico coincide con e! de la paràbola y = x^ + 3, con excepción del punto
qua ha sido reemplazado por el punto aislado (1; 2).
In oste caso, lim-i (x^ + 3) = 4, f(1) = 2 y llm if(x) t f(1)·
Dt la misma forma indicada en el caso 1, la discontinuidad de f es “evitable" en
ito 1.
In resumen;
1) f presenta una discontinuidad evitable en el punto a si y sólo si f es discontinua
on a y existe limite finito de f en a;
I) I presenta una discontinuidad esencial en el punto a si y sólo si f es discontinua
on a y f no tiene límite finito en a.
1
f
X
x3
x^ + 2x - 3
- 3x2 - X + 3
Encontrar los puntos de discontinuidad y clasi-
ntnos en primer lugar el dominio de f.
(x — 1) (x + 3)
T x+ 1)(x-1)(x-3)
^
PJ _ p
D '-
/ -I
19)
’ •3'
Luogo, f es discontinua en 1, - 1 y 3.
Como lím,f(x) = lím,
X+ 3
(x + 1 ) ( x - 3 )
= - 1 , la discontinuidad en el punto 1 es
)ln
( ’. n in o lím ,f(x) = 2c, la discontinuidad en el punto - 1 es esencial. Análogamenl l l I· illficontinuidad en el punto 3 es esencial porque Iím3 f(x) = ».
169
♦
Ejemplo 2
f;x
- | x - 7|
3
x^ - 6x + 3
tg x
si X
>
si X =
si O < X
si x < 0
5
5
< 5
A X i ^ ( 1 - 2n)— A n e N
7T
2
X = (1 - 2n) — A n 6 N
O
si
Hallar los puntos de discontinuidad y clasificarlos. Estudiar continuidad lateral
en dichos puntos.
El dominio de f es R. Es discontinua en 5, en O y en (1 - 2n) — con n e N.
En 5 la discontinuidad es evitable. Las restantes discontinuidades son esencia
les. En O es continua por derecha.
EJERCICIOS
1) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados
cuando corresponda, clasificar el tipo de discontinuidad:
f: x - ^ Ixl
en X = O
en X = O
170
en X = O
sen —
h:x
xsen—
x
e n tx
m; Xs:x·
e nx = O
enx = 3
x2 - 25
si X ^ - 5
X + 5
r:x
6
x2 -
n: X
en X = - 5
si
X
= -5
100
en X = 10
- 10
2) Estudiar continuidad a derecha e izquierda de:
en X = 1
f : X -> ent x
X
en X = O
g:x-^2^
_L
3»
h: X
2
-
en x = O
_L
3* + 2
mant x
m: X
en X = - 1
3) Encontrar y clasificar los puntos de discontinuidad de:
X
- 3
m: X
x^
X -
2
x^ + X -
6
-
t:x
x ^ - 3x + 2
x^ + 3x^ + 2x
r: X
x^ + X - 6
x^ + 4x + 3
s; X
x -2
x^ + x2 - 6x
4) Sea
|x + 2|
(: X
si
X
< O
ent (2 - x)si O < X < 2
1
six> 2
- O
3
V.X
A—
3
a x
Hallar los puntos de discontinuidad y clasificarlos. Estudiar continuidades laterales
en dichos puntos.
!)) Idem si
sh
f:x
X
si
X
sen —
X
X -
.x2 -
X
<
O
si O < X < 1
3|+ |1 - xl + 2 si
6x + 13
si
1 <
>
X
X
< 3
3
171
6) Definir en el intervalo [ - 3 ; 3] tres funciones h, f y g, tales que;
h sea continua en [ - 3;3];
f presente una discontinuidad esencial en x = 1 y en x = 2,
g presente una discontinuidad evitable en x = -2 .
y
7) Definir una función que presente dos discontinuidades evitables y una esencial.
8) Definir una función que presente una discontinuidad esencial con límite infinito y
otra esencial sin límite infinito.
II. Algebra de funciones continuas
Recurriendo a los teoremas correspondientes de límite finito puede demostrarse;
Si f y g son dos funciones definidas en el mismo conjunto D y ambas son conti­
nuas en el punto a, entonces
í) f + g es continua en a;
2) f - g es continua en a;
3) fg
4) —
es continua en a;
es continua en a si
g(a) t 0.
g
Demostraremos, como ejemplo, la primera parte.
!íma(f + g) (x) = límaf(x) + límag(x), aplicando el teorema de límite de una
suma.
límaf(x) + límag(x) = f(a) + g(a), por ser f y g continuas en a.
f(a) + g(a) = (f + g) (a), por definición desuma de funciones.
Luego, lím^íf + g) (x) = (f + g)(a), yla función f + g es continua en a.
De la misma manera se demuestran las proposiciones restantes.
Continuidad de la función compuesta
Teorema
Sean f y g dos funciones para las cuales ReCg c D,. Si g es continua en a y f
es continua en g(a), entonces la función compuesta f o g es continua en a.
Debe probarse; límg (f o g) (x) = límg f [g(x)] = f [g(a)].
172
Demostración
Como f es continua en g(a) = b, prefijado cualquier número 6 > O,
36, > 0 / ( y e D , A | y - b | < 6 , => lf(y) - f(b)| < e).
aplicando la definición de continuidad a \á función f en el punto b = g(a).
Si consideramos la parte del dominio de f que incluye al recorrido de g, la expre­
sión anterior es válida para y = g(x).
Es decir,
Ve > 0 3 5 , > 0 / ( g ( x ) e D ,
a
Ig(x) - g(a)t < 8,
|f [g(x)] - t[g (a )]| < e ).
Además, como g es continua en a, puede aplicarse la misma definición anterior
n la función g eligiendo e, = 5, > 0.
Por lo tanto,
> O / (x e Dg A |x - a| < 5 => |g(x) - g(a)| < S,).
Ordenando convenientemente las implicaciones anteriores, resulta;
V e > 0 35i > 0 35 > 0 / [ ( x e D g a |x - a| < 5)
=>
(Q(x) e D. A |g(x) - g(a)| < 5 ,) => |f [g(x)] - f [ g(a)]| < t ] .
Finalmente, por transitividad de la implicación:
V í - O 35 > O /
y
(X
e Dg a |x - a| < 5
l(f
o
g) (x) - (f o g) (a)| < e),
función compuesta fo g es continua en a.
A plicación
Investigar la continuidad de las dos funciones compuestas f o g y g o f en el punto
2, si f: X -♦ ent(x) y g; x —» \ /lT .
Por el teorema anterior, f o g es continua en 2 si g es continua en 2 y f es con­
tinua en g (2).
La función raíz cuadrada es continua en el punto 2 y re s u lt^ (2 ) = \/~2 .
Además, la función parte entera es continua en el punto \/~2 (véase pág. 57).
Luego, la función f o g; x ^ ent (\A x ) es continua en 2.
Para estudiar la continuidad de g o f en el punto 2 debemos investigar primero
| l I es continua en 2 y luego si g lo es en f(2).
En este caso, la función parte entera no es continua en el punto 2 por carecer
d · limite en dicho punto. Luego, no puede aplicarse el teorema.
Se demuestra fácilmente que la función g o f: x —» V ent x no es continua en 2.
Valores de una función continua en un entorno
d tl punto de acumulación
necordando que si la función f es continua en el punto de acumulación a, es
jltn J(x) ^ f(a), se pueden aplicar las propiedades del límite finito a las funciones
I oniiiuias.
I ’i ir Gjomplo, si se aplica la propiedad de límite finito demostrada en la págiim 1 ri, se deduce que si una función es continua en un punto de acumulación a,
B i i i i . i K e x i s t e un entorno de a donde la función está acotada.
I ·. decir,
í continua en a
=>
3E(a)3k e R/ Vx ; ( x e E(a) n D( =» |f(x)| < k).
173
De la m ism a form a se puede a plicar otra propiedad dem ostrada en la pá ­
gina 133 y probar de inm ediato el teorem a siguiente;
Si f es continua en el punto de acumulación a y f(a) 5 k, existe un entorno de a
donde Vxe D,;f(x) s k, respectivamente.
Es decir, para una función f continua en el punto de acumulación a,
si f(a) > k,entonces 3 E (a)/V x: (x f D, n E(a) => f(x) > k);
si f(a) < k, entonceS|3E(a)/Vx; ( x « D, n E(a) => f(x) < k).
En especial, s ik = 0.
f ( a ) s O = > 3E(a) / Vx; (xe D, n E(a) => f(x) 5 O, respectivamente).
Si f(a) = O, nada puede asegurarse del signo de f(x) en un entorno de a.
En cambio, si a es punto de acumulación del dominio de una función continua f,
y toma valores positivos y negativos en todo entorno de a. entonces f(a) = 0.
Esta propiedad puede probarse fácilmente por reducción al absurdo.
En efecto, suponiendo que la tesis es falsa, caben dos posibilidades:
1) f(a) > O => 3E(a) / Vx; (x e D, n E(a)
f(x) > O). que niegala hipótesis
2) f(a) < O =► 3E(a) / Vx; (x e D, n E(a) =o f(x) < 0). que también mega la hi­
pótesis.
Luego, como f es continua en a, f(a) existe y es cero.
EJERCICIOS
Estudiar la continuidad de las siguientes funciones compuestas en los puntos
indicados;
1) fo h
en
X
=
si
f;
X
-> ln
1
si
f;
X
-> ent x
= 3
si
2) f 0 h en
X =
3) f 0 h en
X
4) fo h
TT
2
en X = 1
si
X
X
f; X
y
h; x - ^ sen x
y
h;
y
h; x - ^
mant x y
X
—> ln
X
X
- 3
V
III. Continuidad en un conjunto
Una función f es continua en un conjunto de puntos si y sólo si es continua en
cada punto de ese conjunto.
f continua en C <=> Vx; (x e C
f es continua en x).
La definición de continuidad en un punto asegura que el conjunto C es un sub­
conjunto del dominio de f.
Como la definición de continuidad se ha dado en puntos de acumulación y tam­
bién en puntos aislados, se puede encarar el estudio de las propiedades de las fun­
ciones continuas, y más adelante de las funciones derivables, para funciones defini­
das sobre conjuntos de tipo muy diverso.
•
Para evitar dificultades nos ocuparemos solamente de funciones definidas en in­
tervalos o en unión de intervalos (acotados o no) de números reales.
174
f
Consideraremos que una función es continua en un intervalo cerrado [a; b] si
| | oonlinua a derecha de a, a izquierda de b y en cada punto interior al mismo,
í
Intuitivamente, para una función escalar definida sobre un interv-alo incluido en
| | i la Idea de continuidad se refleja en un gráfico sin saltos ni puntos aislados.
Es decir, si una función f continua sobre un intervalo alcanza en el mismo dos vaI M · distintos f(x i) y f(x 2 ), entonces alcanza también todos los valores comprendidos
in tra ambos números reales.
En especial, si una función f es continua en el intervalo [a; b], f(a) > O y f(b) < O,
Inionces existe un punto interior a dicho intervalo donde el valor de la función se
lUla. Es decir, existe, por lo menos, un punto c entre a y b donde el gráfico de la
nclón atraviesa al eje de abscisas.
C
En el gráfico anterior hay tres puntos: c, c, y Cj. para los cuales se verifica la
Pfüpiodad mencionada.
Fsta propiedad, conocida como teorema de Bolzano* o teorema de los ceros de
I · · (unciones continuas, tiene importancia para el cálculo aproximado de raíces de
fUalquier polinomio de coeficientes reales.
Por ejemplo, tratemos de hallar una raíz real del polinomio
p(x) = x5 - I2x^ + 49x3 - 76x2 + 48x - 64.
Calculamos
linomio se anula,
Calculamos
fn«nto, es p(4) =
p(2) = - 4 0 y p(5) = 26. Según el teorema de Bolzano, el po­
al menos una vez, entre 2 y 5.
p(3) = - 10. Luego, una raíz está ubicada entre 3 y 5. Efectiva0 y 4 es raíz del polinomio.
Si la raíz no es un número entero, aplicaciones reiteradas del teorema de Bolfiino permiten acotar los valores de raíces racionales o irracionales.
Soa p(x) = x^ +
- 2x^ - 2x2 - I5x - 15.
r.ilculam os p(1) = - 3 2 a p(2) = - 2 1 a p(3) = 192.
I xiste una raíz real r tal que 2 < r < 3.
I ‘insiguiendo con los cálculos, resulta:
p(2,1) < O A p(2.2) < O A p(2,3) > 0.
' liiKii.irdo B olzano (1 7 8 1 -1 8 4 8 ), sacerdote, filósofo y m atem ático, profesor de la Universidad
il*
Su obra principal, P arado jas d e l infinito, fue postuma.
175
Luego, 2,2 < r < 2,3.
También p(2,22) < O a p(2,23) < O a p(2,24) > 0.
Luego, 2,23 < r < 2,24.
Continuando los cálculos puede obtenerse r con tantas cifras decimales exactas
como se desee.
En nuestro caso r es el número irracional \ / T = 2,23...
El teorema de Bolzano puede demostrarse directamente, o ser considerado co­
mo caso particular del siguiente teorema.
Teorema del valor Intermedio
Si f es continua en [a; b] y k es un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces
existe un punto c, interior al intervalo [a; b], donde la función alcanza el valor k.
Sea f continua en [a; b] yj(a ) < k < f(b). Debe probarse que 3c e (a; b) / f(c) = k.
Demostración
Consideremos el subconjunto de [a; b] formado por todos los puntos x / f(x) < k.
Es decir, S = { x / x e [ a ; b ] a f(x) < k}.
S
tiene por lo menos un elemento, pues a e S, ya que a e [a; b] y f(a) < k por
hipótesis. Luego, S no es vacío. Además, b ^ S, pues f(b) > k y b es una cota supe­
rior del conjunto S.
Por lo tanto, S es un conjunto no vacío y acotado de números reales.
De acuerdo con el axioma de continuidad de R, tiene un extremo superior c y es
a < c < b. Demostraremos que f(c) = k.
Por el absurdo:
1) Sif(c) < k, por un teorema anterior (pág. 1V4),
3S > O / Vx:
(X
e E(c, 6) => f(x) < k).
c -6
c
xc+5
Por lo tanto, hay algún x > c para el cual f(x) < k. Es decir, 3 x / x e S y x > c .
Esto contradice que c es el supremo, de S.
176
2) Si f(c) > k, por el mismo teorema anterior (pág. 174),
38' > 0 / Vx: (x € E(c, 8') => f(x) > k).
Esto indica que ningún punto de S està a la derecha de c - 8', es decir,
V x e S : x < c - 6 ' . Por lo tanto, c - 8' es una cota superior de S menor que el su­
premo. Absurdo.
Luego, f(c) = k.
Además, a < c < b, pues si fuese a = c seria f(c) = f(a) < k, y si fuese b = c
■oria f(c) = f(b) > k, y se llegaría a las mismas contradicciones anteriores.
Si existen varios puntos x donde f(x) = k, el punto c correspondiente a esta de­
mostración es el que está a la izquierda de todos ellos.
Una demostración análoga vale si f(a) > k > f(b).
El teorema demostrado indica que una función continua en un intervalo [a ;b ]
nicanza en dicho intervalo, por lo menos una vez, todos los valores comprendidos
«nire f(a) y f(b). También suele darse esta propiedad diciendo que si una función
continua alcanza dos valores diferentes en [a; b], alcanza también todos los valores
Intermedios. Para ello basta considerar el teorema en cualquier subintervalo [x,; X2 ]
Incluido en [a; b].
Si se considera el teorema del valor intermedio para el caso particular de k = O,
rosulta el teorema que ya hemos utilizado para acotar raíces de polinomios:
Teorema de Fiolzano
Si f es una función continua en el intervalo [a; b] y f(a) · f(b) < O, entonces existe
un punto c, interior al intervalo, donde f(c) = 0.
I JERCICIOS
I ) F’or el mismo camino utilizado para probar el teorema del valor intermedio, demos­
trar directamente el teorema de Bolzano.
:') Demostrar el teorema del valor intermedio si f(a) > k > f(b).
I) a) Sea f: x ^ x^ - 2x^ + 3 en [ - 1 ; 2]; verificar el teorema del valor intermedio
[)ara k = 2.
177
b) Idem para g: x
- ¿ x ^ en [ - 3 ; 0] y k = - 3 .
4) a) Sea f: x ->· x^ - Sx^ - 3x - 1 en [0; 3]. Verificar el teorema de Bolzano,
b) Idem para g: x —> x" - 2x^ - 5 en [0; 2].
5) Hallar con dos cifras recimales exactas una raíz real de
p(x) = x^ + x3 - 10x2 - 11x - 11.
6) Idem si p(x) = x^· 2x^ - 19x2 - 48x - 120.
IV.
Extremos de funciones
Máximo absoluto
Consideremos una 'unción f definida sobre un conjunto A.
El valor f(c) es el máximo absoluto de la función f en el conjunto A Q D , s\ y
sólo si f(c) no es superad.'^ por ninguno de los valores f(x) que alcanza la función
en dicho conjunto A.
Es decir,
f(c) máximo absoluto de f en A » V x : ( x e A => f (x)<f ( c)) .
El conjunto A pi;ode ser el dominio de f o puede ser un subconjunto del mismo.
En general, el valor f(c) es el máximo absoluto de f si se cumple la definición an­
terior con A = dom.nio de f.
O sea, f(c) eí: el máximo absoluto de f si y sólo si f(c) es el máximo del recorrido
de f.
Mínimo absoluto
El valor f(c) es el mínimo absoluto de la función f en el conjunto A Q D , s \ y só­
lo si f(c) no supera a ninguno de los valores f(x) que alcanza la función en dicho
conjunto A.
Es decir,
f(c) mínimo absoluto de f en A c=> Vx; (x e A => f(x) > f(c)).
El valor f(c) es el mínimo absoluto de f si se cumple la definición anterior con
A - dominio de f.
O sea, f(c) es el mínimo absoluto de f si y sólo si f(c) es el mínimo del recorrido
de f.
Máximo local o relativo
Consideremos una función f cuyo dominio es el conjunto D, y sea c un punto
interior a dicho dominio.
El valor f(c) es un máximo local o máximo relativo de f si y sólo si existe un en­
torno del punto c tal que los valores que toma f en los puntos de dicho entorno no su­
peran el valor f(c).
Es decir,
f(c) máximo local <=► 3E(c) c D / V x : (x e E(c) => f(x) < f{c) ).
178
local o relativo
I · c un punto interior al dominio de una función f.
I Vilor f(c) es un minimo local o minimo relativo de f si y sólo si existe un entorpunto c en el cual se verifica que el valor f(c) no supera a ninguno de los valoquG toma f en los puntos de dicho entorno.
I l decir,
f(c) mínimo local c=> 3E(c) c D / Vx: (x € E(c) => f(x) > f(c) ).
OrAllcamente:
I mciximo absoluto en [a; b] y máximo local.
tninimo absoluto en [a; b] (no es mínimo local).
) mínimo local (no es mínimo absoluto).
) m.^ximo local (no es máximo absoluto).
) mínimo local (no es mínimo absoluto).
Rl una función tiene máximo (o mínimo) absoluto en un conjunto, dicho valor es
(í«loo
Puede suceder que la función alcance dicho valor máximo (o mínimo) en más de
yn punió del conjunto. Por ejemplo, el máximo absoluto de la función seno es el núIN ro 1 y la función toma dicho valor en infinitos puntos del dominio.
Daremos a continuación algunos ejemplos para aclarar las definiciones antéItefin
%(Himp/o 1
Consideremos la función f, correspondiente al gráfico siguiente, cuyo dominio es
h y tal que lím^f(x) = - » .
179
El número f(b) es el máximo absoluto de f y también es máx/no local. f(c) es
solamente máximo local. f(a) es míninrio local, pero f no tiene m in no absoluto.
Consideremos ahora un subconjunto del dominio, esto es, -^l intervalo cerrado
[a ; b]. f(a) es mínimo absoluto de f en [a; b] y f(b) es máximo at'soluto de f en [a; b].
En el intervalo semiabierto a izquierda (a; b], f no tiene míiimo at)soluto, y en el
intervalo [a; b), f no tiene máximo absoluto. En ninguno de los tres intervalos consi­
derados la función tiene extremos locales.
En el intervalo abierto (a; b), f no tiene extremos absolutos ni locales.
Ejemplo 2
Sea la función g: x
— si 3
X
O sí X =
El dominio de g es R y g no tiene extremos absolutos ni locales en R.
Si se considera el conjunto [0; 2], g(0) = O es mínimo absoluto de g en [0; 2] y g
i'io tiene máximo en este conjunto.
En el intervalo [ 1 : 2 ] , en cambio, g tiene máximo y mínimo absolutos.
Ejemplo 3
■ - | x + 2|
Sea f : x
m
4 -
x^
sí
sí
0 < X < 3
si
X > 3
x<
0
■
El dominio de f es R.
K
En el gráfico podemos observar que:
■ *8 ) =
O es máximo local;
=
4 es máximo local y absoluto, y
; K3) = - 5 es mínimo local.
fslo hay mínimo absoluto, pues lím _,f(x) = -<».
El recorrido de f es { - * ; 4 ].
Los ejemplos anteriores muestran que una función puede tener máximo absoluto
I fninimo absoluto en algunos conjuntos y no tenerlos en otros, y que existen funciom · que no tienen máximo ni mínimo absolutos en su dominio.
Una forma de asegurar la existencia de máximo y mínimo absolutos para una
ilón en un conjunto es exigir que la función considerada sea continua en un in­
alo cerrado.
I
Es decir, si una función f es continua en un intervalo cerrado, entonces f tiene
piéxlm o absoluto y mínimo absoluto en dicho intervalo.
Obsérvese que una función tiene máximo absoluto si su recorrido está acotado
iriormente y el supremo pertenece al recorrido. De la misma íormaTúna función
mínimo absoluto si su recorrido está acolada inferiormente y el ínfimo del recole pertenece.
f KO)
S
'dioramas de Weierstrass*
f primer teorema
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a; b], entonces f está aco­
tad· on dicho intervalo.
O sea, f continua en [a, b]
f acotada en [a; b].
^fw ostración
Consideremos el conjunto S formado por los elementos c del intervalo para los
malos se cumple que la función f está acotada en [a; c].
Osea, S = { c / c e [ a ; b ] a f acotada en [a ;c ]}.
Para poder aplicar el axioma de continuidad de R demostraremos que S no es
Violo y está acotado superiormente.
En efecto, a € S. Luego, S ^ <fi, y como S c [a; b], b es una cota superior.
Por lo tanto, S tiene supremo, al que designamos Cq, y es Cq b.
Además, a < Cq. En efecto, como f es continua a derecha del punto a, por una
Pfoplodad anterior (pág. 173), existe un semientorno a derecha de a, de radio S, en el
lü«l f ostá acotada.
H-------)—
c a -I- 8
Mnii W(;ierstrass (1815-1897). S e inició conrto profesor dé e n señ an za secundaria. Luego, en
•tt« (iiiDosas clases y sem inarios en Berllh, Inéistió siem pre en la necesidad ab soluta de
tiyni t*ii las dem o straciones m a te m á tic a s .
181
Es posible entonces encontrar un punto c, entre a y a + 5, tal que se cumpU
que f está acotada en [a; c]. Luego, c e S y o a. Esto asegura a < c ^ Cq.
Es decir, a < Cq ^ b.
Si se prueba que Cq = b y que Cq € S, se cumple la tesis.
Por el absurdo, supongamos Cq < b.
a
Cq - S
Cq
Co + 8
b
Por hipótesis, f es continua en Cq, ya que
a < C o < b ^ C o€[ a; b] ,
Por el mismo teorema anterior (pág. 173), existe un entorno de Cq, de radio
donde la función está acotada, y puede encontrarse5/E(Co,6) ^ [a;b].
Luego, existe un número real k’ > O, tal que
V x:(x e E ( C o , ó ) ^
|f(x)| < k’)
(1).
Podemos elegir Ci y C2 en el entorno de Cq, en forma tal que se verifique:
Cq - 6 < Ci < Cq < C2 < Cq + 6.
Además, c, pudo elegirse entre los elementos del conjunto S, pues, si no ex
tiera entre Cq- 6 y Cq un elemento del conjunto S, Cq- 6 serla una cota superior c
conjunto S menor que el supremo.
Por lo tanto, c , e S y f está acotad3 -^n [a; c J . Es decir, existe un número rf
k, tal que
Vx: (x e [ a ; c i ] i=> lf(x)|s k).
Además, por ( 1), como c ^ y Cj e (Cq- 6; Cq+ 6):
Vx: ( x € [ C i ; c 2] =»
k').
Si k > k ' , k es cota para la función en la unión de ambos intervalos:
[ a ; c i ] u [ c i ; c 2 ] = [a;c2].
Entonces, f esta acotada en [a; Cj] Luego, C2 e S y Cj > Cq.
Absurdo, pues Cp es el supremo de S.
Resulta, por lo tanto, Cq = b.
Por ser f continua en b, mediante un razonamiento análogo al anterior puede é
girse c , en un semientorno a la izquierda de b y probar que f está acotada
[a; C i]u [ c , ; b ] = [a; b ].
Es decir, f está acotada en [a; b] y el teorema queda demostrado.
Segundo teorema
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a; b ], entonces alcafl
en dicho intervalo máximo y mínimo absolutos.
Dem ostración
Por el teorema anterior, la función f está acotada en [a; b ]. Para probar la ex
tenda de máximo absoluto basta considerar la acotación superior del recorrido.
182
Uncía de mínimo absoluto se demuestra en forma análoga considerando cotas
Iflores
Como el recorrido de la función f está acotado superiormente, por el axioma de
linuidad de R tiene supremo. Sea m dicho supremo.
Se cumple, entonces, Vx; (x e [a; b] => f(x) < m).
El número real m puede o no pertenecer al recorrido de f. Si pertenece, se trata
máximo absoluto, es decir, debe probarse que
3 c e [a; b ] / f ( c ) = m.
Por el absurdo, supongamos que no existe dicho punto, es decir,
Vx; (x € [a; b]
f(x) < m ).
En este caso, Vx e [a; b] es m - f(x) > 0.
Tione sentido, entonces, considerar en el intervalo [a; b] la función
1
m
f(x)
0.
>
Fsta función g es continua en [a; b] por ser el cociente de dos funciones conti­
l i y además m - f(x) ^ 0.
Por el primer teorema, la función g está acotada en [a; b].
Soa m' el supremo correspondiente,
l ijogo,
: (x í I a; b] => g(x) = ----- - < m' a m' > o).
'
m - f(x)
/
Ahora bien,
■ i(x)
< m' =>
—^
m
< m - f(x)
f(x) < m ----m
Poro m ----- ^ < m, pues —^ > 0.
m'
m'
Rosulta entonces Vx; ^x e [a; b] => f(x) < m
Ln expresión anterior indica que el recorrido de la función f admite una cota su)r f n -----que es menor que el supremo m. Pero esto es un absurdo, que
m
/Ino de suponer, para todo x del intervalo, f(x) < m.
Por lo tanto, existe al menos un punto c del intervalo [a; b] para el cual se veril(r)
m, y m es, entonces, el máximo absoluto de la función f en el intervalo ce­
lo
| a: b].
ijrH C iC IO S
t) I )ntiiostrar que una función continua en un intervalo cerrado alcanza mínimo ab­
ut línlo, utilizando el extremo inferior del recorrido.
Il
I lidiar supremo e ínfimo, si existen, para cada una de las siguientes funciones:
183
r 2
—
X
2
f; X
g: X
2| - |4 - x|
h;
X ■
16
< - 1
SI
X
si
-1 <
si
X
X
< 2
> 2
3) Hallar máximo y mínimo absolutos de f: x -» 3x - 5 en [ - 2 ; 3].
4) Idem para f: x
x^ - 6x + 4 en [ - 2 ; 5].
5) Hacer un gráfico de f y ver si admite extremos absolutos o locale . siendo
f(x) = ¡X ' 4| + |x
2|.
6) Idem si
í; x
127
3x
si
-3 <
X <
10
10
SI
X > —^
si
X
si
si
X >
3
7) Idem si
X
f: x
2x
4
< -2
-2 < X< 1
í
V. Funciones monótonas
Una función escalar f definida en un conjunto D es creciente en D si y sólo
para todo par de puntos X i C D y X s e D :
(X, < Xj rs» f(x,) < f(X2 )).
La función f es estrictamente creciente en D si y sólo si
V x, e D V x j e D: (x^ < X2 => f(Xi) < f(x 2 ))·
De manera análoga:
decreciente en D » V x, e D V x j e D: (x, < X j => f ( X i ) ^ f í x a ) )
f estrictamente decreciente en D <=» V x, e D V x j € D: (x , < X j
f ( X i) > f í x j ) )
Las funciones crecientes y también las decrecientes se llaman, en general, fi
ciones monótonas.
f
^ Existencia de función inversa
Ya se ha visto en el capítulo 3 que una función biyectiva tiene función inveì
que es también biyectiva. Puede demostrarse que las funciones estrictamente mo
tonas son funciones biyectivas y existe, por lo tanto, para cada una, la función invef
Además, algunas propiedades de la función son válidas también para la función
versa, como por ejemplo la continuidad.
184
Teorema
Si f es estrictamente creciente en [a ; b ] y es continua en dicho intervalo,
intonces:
1)existe f~ ’ en [f(a); f(b)]
2)(“ ’ es estrictamente creciente en [f(a)¡ f(b)]
3)
f ' ’ es continua en [f(a); f(b)]
1) Por el teorema del valor intermedio (pág. 176), si k es cualquier número real
comprendido entre f(a) y f(b), entonces;
3 c € ( a ; b ) / f ( c ) = k.
\
Es decir, f es una función sobre [f(a); f(b)].
'
Además, podemos probar que f es inyectiva, o sea, que c es único para cada
^número k.
En efecto, por ser f estrictamente creciente en [a; b],
X ^ < X g = » f ( X , ) < f(X2),
f l decir, elementos distintos tienen imágenes distintas y la función es inyectiva.
Por lo tanto, f es biyectiva y existe su función inversa f ‘ \ biyectiva en [f(a); f(b)].
2) Sean y ^ e y j d o s puntos cualesquiera del intervalo [f(a );f(b )], que es el do­
minio de f “ \
Existen X, y Xj en [a; b ] / y , = f ( x i ) y f ( x 2 ) = V2·
Para probar que f e s estrictamente creciente en [f(a); f(b)] debemos verificar;
Vy,Vy2:(yi<y2=> f-^yj < f-'(y2)),
que equivale a demostrar;
f(x,)<f(x2)
f-Mf(Xi)]<f-Uf(x2)].
Por definición de función Inversa;
f-·' [f(Xi)l < f-'lfíx z )] »
xi < X2
1uego, queremos probar;
f(X^)<f(X2)
X,<X2.
Consideremos la implicación contrarrecíproca;
-
X , > X 2 = > f(X,)>f(X2).
1 sta implicación es verdadera por ser f estrictamente creciente en [a; b],
I Mogo, queda probado que f es estrictamente creciente en el conjunto indicado.
185
3)
Demostraremos que
es continua en cualquier punto interior al intervalo
[f(a): f(b)], y con una pequeña modificación puede demostrarse que también lo es en
f(a) y en f(b).
Sea yo un punto cualquiera del intervalo [f(a); f(b)]. Por las condiciones dadas,
3 c e ( a ; b ) / y o = f(c).
Para probar que f e s continua en
= f(c), debe verificarse:
Ve > O as > 0 / |y - yol < 5
|f-My) - fM y o )! < e .
La proposición anterior es equivalente a la siguiente:
Ve > O 35 > O / |f(x) - f(c)l < 8 => |x - c] < e .
Elijamos un entorno cualquiera de c, de radio e > O, tal que:
E(c. e) c (a; b).
Vx: (x e E(c, e ) = >
|x -c |< e = >
c-e< x< c-^e ).
Como f es estrictamente creciente en [a; b],
c - e < X <■ c + e ^
f(c - e) < f(x) < f(c + e).
Podemos encontrar un entorno de
= f(c), de radio 8, que esté incluidoen el
intervalo (f(c - e); f(c + e)). Para ello basta tomar 8 igual al menor entrelos dos
números positivos
h = f(c) - f(c - e)
y
h' = f(c + e) - f(c).
Por lo tanto, cualquier punto y que pertenece al intervalo (f(c) - ó; f(c) + 6) tan
bién pertenece al intervalo (f(c - e) ; f(c + e) ).
Es decir,
f ( c ) - 5 < y < f(c) + 6 => f(c )-e ) < y < f(c + e)
Además, por f"^ estrictam ente creciente;
(1).
f (c- e) < y < f(c + e) =:> f~ M í(c -e )] < f ” '' (y) < í"M^(c + e)]
(2).
Finalmente, por definición de función inversa:
f - ^ [f(c - e)] < f ■ ’ (y) <
Aplicando transitividad a las
'' [f(c + e ) ] = ^ c - e < x < c + e
implicaciones
Ve > 036 > 0 / ( f ( c ) ^ 6 < y < f{c) + 6
O sea, Ve
(3).
(1), (2) y (3), resulta:
=> c - e < x < c + e).
> 0 36 > 0/ (l y - f(c)l< 6 =» |x - d < e).
proposición que, com o se ha indicado, es equivalente a la siguiente:
186
í
Ve > 0 3Ó > 0/(|y - YoK 6 => |f' ’ (V) - f “ Myo)l< e),
b u · prueba la continuidad de f " ’ en un punto cualquiera Vo, interior al intervalo
I · ) ; f(b)].
I
Por un razonamiento similar, considerando intervalos [a; a + e) y (b -e ;b ], se
m e b a la continuidad de f " ’ en los puntos f(a) y f(b) (a la derecha de f(a) y a la izPjulerda de f(b)).
i VI. Continuidad uniforme
Consideremos la función f: X—»·— en el intervalo (0; 1). Es sencillo demostrar
X
osla función es continua en dicho intervalo, pues
f i í (0; 1 ) : l í m 3 ^ =
A
a
Si se trata de escribir la expresión anterior utilizando números positivos e y 5,
I puede observar que 5 no depende solamente de e sino también del punto eiegido a.
l'n efecto, al buscar 8 para un número e prefijado se observa que:
< €
a - X
< e
Xa
IX - al
< e c=> X - a < e
lai = 5.
11 depende de cada punto a donde se investiga la continuidad.
Interesa ver si es posible encontrar en el intervalo (0; 1) un número positivo 6
pueda utilizarse para cualquier punto a € (0; 1).
Puede demostrarse que ello no es posible, pues a medida que el punto a se
)xlma a O, el 8 es cada vez menor y tiende a cero.
Cuando no es posible, como en el caso indicado, encontrar un número 6 válido
cualquier punto del conjunto elegido, se dice que la función no es unifórme­
le continua en dicho conjunto.
SI. en cambio, se considera la función dada por la misma fórmula en cualquier
/alo (a; b), abierto o cerrado, para a > O, siempre es posible hallar, prefijado 6,
I · > O válido para cualquier punto del Intervalo.
En efecto, consideremos por ejemplo la función dada por la misma fórmula.
1
. en el conjunto A =
X/ X > —
2)
Trataremos de encontrar, para cualquier número positivo e, un número positivo 8
dependa exclusivamente de € y para el cual se verifique la definición de contiId on cualquier punto a € A.
Híibiamos obtenido 8 = e | x | - | a | . Si tomamos x y a en el conjunto A, es
’ f
|x| · |a| < e · - ^ · - ^ , y el número 8 =
punto
I s decir, sea e > 0
y
será válido para cualquier
aeA.
0<5<-^.
|^ |A V n e A ;^ |x -a |< -| = e - y ^ e - lx i- la l) .
yaque
| x | > -1
y
|a| > y .
187
Ahora bien,
< e »
lra|
-
1
X
1
< €.
a
1
Luego, Ve > O 35 > O / Vx e A V a e a: ( jx - a| < 6 <
~
1
Lo mismo sucede para la función considerada en cualquier conjunto B = (k; + oo)
si k > 0. Prefijado cualquier e > O, bjsta hacer O < 5 < e· k^.
En los casos mencionados, la .unción
f; x
—» — es uniformemente continua en el
X
conjunto A y en el conjunto B.
Obsérvese que el concepto de continuidad uniforme es esencialmente distinto
del concepto de continuidad.
La continuidad en un ccijunto es una propiedad de carácter/oca/, pues depende
de que la función sea continua en cada punto del conjunto considerado.
En cambio, la continuidad uniforme en un conjunto es una propiedad global, rela­
tiva a todo el conjunto y no a cada uno de sus puntos en particular.
Definición
La
fu n c i ó n f e s
Ve > O 35 > O / (6
= > :|f(X i)
- f( x j) l
<
uniformemente continua
d e p e n d e s ó lo d e
e n el c o n ju n to
D
si
y
só lo si
e y D} AVx, eO VXj e D; ([x, -
X jl <
5
=>
e).
Resulta de inmediato que si una función es uniformemente continua en un con­
junto D, entonces es continua en D.
Para ello basta considerar X, = x y Xj = a, y la definición anterior indica que
f es continua en cualquier punto a del conjunto D.
La propiedad recíproca de la anterior, en cambio, no es válida, como lo prueba el
ejemplo ya visto de la función f:
x ^
^ en el intervalo (0;1), que es continua en dicho
intervalo abierto pero no es uniformemente continua en é l
Puede probarse, sin embargo, que una función continua en un conjunto com­
pacto es uniformemente continua en él.
Probaremos la propiedad anterior para intervalos cerrados mediante el siguiente
teorema.
Teorema de Heine*
Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces es uniformemente
continua en él.
Demostración
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a;b]. Por ser f continua en
[a;b], es continua en cada punto c que pertenece a dicho intervalo.
Enrique H ein e (1 8 2 1 -1 8 8 1 ), analista alem án que publicó en 1872 una memoria donde se
puso por prim era vez la teoría del núm ero irracional que lleva el nombre de Cantor.
188
ex·
Luego, elegido cualquier número positivo e , al aplicar la definición de continuidad
()uede asociarse, a cada punto c del intervalo, un entorno de radio S, donde S depen­
do de e y de c, tal que
g
Además, como |x - c| < —
|x - c| < S, es válida también la proposición si­
guiente:
Vx: ( x t E ( c , - | ) =
|f(x)-f(c)|< -|).
Consideremos el conjunto formado por los infinitos entornos del tipo anterior,
(|ue corresponden, para el número e elegido, a cada punto del intervalo [a: b).
Ese conjunto es un cubrimiento abierto infinito del intervalo cerrado [a; b]. Por el
Irorema de Borei (pág. 43), existe un subconjunto finüc del mismo que también cut)ro 1a; b].
Se aC = {
e
(
\
c,
. ^ ) .
2 /
e
( c , . ^ ) ........... e ( c. ^ ) }
\ ‘
2 /
\ " 2
dicho cubrim iento
(Idito.
Sea 5 el menor entre los números positivos
5i
82
Es decir, 5 = min
Probaremos que 5, elegido a través del proceso anterior para cada número
O, verifica la definición de continuidad uniforme en [a;b].
Sean x , y Xj dos puntos cualesquiera de [a; b] para los cuales es |x ,
''
Ool)omos probar ¡f(Xi) - ((Xj)! < e.
Por ser el conjunto C un cubrimiento de [a; b], x, pertenece a uno de los entor­
nos de dicha colección.
f
Sea E ^Cr, —
di cho entorno. Es decir, x , e E ^c^, —
·
f
Por lo tanto. |f(Xi) - f(Cr)| < - ^
(1).
Ahora bien:
\* í
»
|i,
c,| = |(X2 - x j + (X, - c J i < |X2 - x ,l + |x, - c j < 8 +
•\
5,
6,
< —- + —^
2
2
= 8,.
^
Iliego,
c,|< 6,
l ’oro, según se ha visto al elegir cada número 8^
|. ,
.; ,1 < 8 , =. |f(x 2) - f ( c . ) | <
(2 ).
l>»-‘(1)y(2):
189
|t(x ,) - t(x j)| s |((x,) - f(c,)| + |f(c,) - f(x j)| < ± + ±
= f.
Luego, Vx, e [a; b] Ve > 0 36 > 0 (encontrado a través del procedimiento in­
dicado) /|x , - X2|< =>i |f(x,) - f(X2)|< e, y el teorema queda probado.
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPÍTULO 5
Sección I
1)
2)
3)
4)
190
f:
g:
h:
m:
s:
r:
n:
f:
g:
h;
fn:
f:
m:
n:
t:
g:
r:
h:
s;
continua en O
discontinuidad esencial; no existe g(0) ni hay límite finito
discontinuidad esencial; no existe h(0) ni hay límite finito
discontinuidad evitable; limo m (x) = O
discontinuidad esencial; s(3) = 3, pero no hay límite
discontinuidad evitable; lím_ 5 r(x) í= - 1 0
discontinuidad evitable; lím^o n(x) = 20
continua a derecha de 1
discontinuidad evitable a izquierda, pues limo- QW = O
discontinuidad evitable a derecha haciendo h, (0) = 1 o evitable a izquieí
haciendo hj (0) = - 1
continua a derecha de - 1
discontinuidad evitable en x = 3 y esencial en x = - 2
discontinuidad evitable en x = 2 y esencial en x = - 3
discontinuidad esencial en x = O y evitable e n x = 4 y x = - 4
discontinuidad esencial e n x = 0, x = - 2 y x = - 1
discontinuidad esencial en x = n tt (n e Z)
discontinuidad evitable en x = - 3 y esencial en x = - 1
discontinuidad esencial en x = 1, continua a derecha,
discontinuidad evitable en x = 2 y esencial e n x = 0 y x = - 3
D, = R. Discont. esenciates ea (X 1, 2 y 3.
Continua a izquierda de 0, a izquierda de 1 y a derecha de 2
B)
D, = R - { 3 }. Discontinuidad esencial en 1 y evitable en 3.
Continua a izquierda de 1
6 ) [ lemplo: h: x
7) rjem plo; f: x
x^, f: x
(X
1
,g:x
- 1) (X - 2)
x2 - 4
X+ 2
(X + 2) (x - 1)
presenta discontinuidad evitable en
+ 2) (x - 1) (X - 5)
x = 1 y discontinuidad esencial en x = 5.
(X
x = - 2
y
I) Ejemplo:
flX
1
„ si X > o
- 3
5 + 3x si X < O
discontinuidad esencial con límite infinito en x = 3
X
y discontinuidad esencial sin límite infinito en x = O
Ito c ló n II
1) I .. h continua en X =
2) f no es continua en h(1) = O
S) I (u) es continua en h(3) = O
4) f no es continua en h(1) = 1
Icflclón II!
1) fl) 1:, = 1,
I·) 1: = - 1 ,
pues
pues
f(Ci) = 2
f(-1 ) =
y
-3
- 1 < 1 < 2 (c 2 =
y
-l€ (-3 ;0 )
191
4) a) c = 1,
pues
b) c = V l + yJW,
f(0) =
pyes
-1 ,
f(3) = 8,
0< 1 < 3
f(V 1 + V6) = 0
5) r, = 3,31 Fj = -3,3 1
y
y
f(1) = 0
V i + VSe (0;2)
6) r, = 4,89
-
-4 .8 9
Sección IV
2)
3)
f: - 2 ínfimo y mínimo absoluto
no existe supremo
g: - 2 ínfimo y mínimo absoluto
2
supremo y máximo absoluto
h; 8 supremo (no es máximo)
- 2 ínfimo (no es mínimo)
f(3) =
4 máximo aboluto
4) f ( - 2 ) = 20 máximo absoluto
f(-2)
-11 mínimo absoluto
f(3)
- 5 mínimo absoluto
5)
6 mínirrK) absoluto
6 mínimo local y lo alcanza en
los infinitos puntos de [ - 2 : 4 ]
6)
f( - 3 ) = 2 máximo local
f(0) = - 7 mínimo local
f( - ^ )
=
máximo local y absoluto
no existe mínimo absoluto pues lím ,f(x) = - o o
192
T
)
»4 minimo absoluto
i4 minimo locai y lo alcanza en los puntos de [1; +oo)
hay máximo absoluto, pues 2 es supremo del recorrido pero no es máximo ya que
•Kiste f ( - 2)
193
6. DERIVADA
Una de las ideas básicas en análisis es el concepto de derivada. Para introducir
dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas, uno físico y el otro geomé­
trico. El primero es el cálculo de la velocidad instantánea de un móvil y el segundo la
definición de recta tangente a una curva en un punto de la misma.
Los dos problemas conducen al mismo cálculo: el límite de un cociente de incre­
mentos cuando el denominador tiende a cero.
Prescindiremos inicialmente de los problemas mencionados, que dieron origen
al cálculo diferencial, y definiremos derivada de una función en un punto interior a su
dominio en forma analítica. La velocidad instantánea y la determinación de la recta
tangente serán consideradas, más adelante, como aplicaciones de la definición.
I. Derivada de una función
Si f es una función definida en un intervalo abierto y se consideran dos puntos
distintos a y X de dicho intervalo, puede formarse el cociente
— ^ ^ .c u y o n u m e X
3
rador es la diferencia entre los dos valores 1(x) y f(a) de la función o “variación de I4
función" y el denominador es la diferencia entre los dos números x y a o “ variación d«
la variable” , por lo cual el cociente considerado representa la “variación media” de i|
función en el intervalo entre a y x, y suele denominarse “cociente incrementar’.
Si se busca el límite de dicho cociente en el punto a y dicho límite es un númerfl
real, se lo llama derivada finita de la función f en el punto a.
D efinición
Sea f una función definida en un intervalo abierto y a un punto cualquiera di
dicho intervalo. La función f tiene derivada en el punto a si y sólo si existe el límlt<
del cociente
en el punto a.
x - a
Si el límite .es un número real, la derivada es finita y se designa:
,. <a) = lim ,
^
194
X
- a
L¡empio 1
Sea f: X —>
+ 3 . Veamos si f es derivable en el punto a = 4.
Por definición, f' (4) = lím^ ■
X
- Iim,
- 4
= lím^ (x^+3) - 19 ^
X - 4
= lím^ (x + 4) = 8.
Luego, para la función considerada, es f' (4) = 8.
/ lomplo 2
Sea g:
X
^ x^. Hallar g' (2).
g ' (2) = l í m g ^
X “
= Iím2 (x^+2x+4) = 12.
¿
Si en algún punto del dominio de la función considerada no existe el límite del
cociente incremental indicado, la función no es derivable en ese punto. Si el límite no
•xiste como número real, pero es un límite infinito, se dice que la función tiene derivnda infinita en ese punto.
3
Por ejemplo, sea f: x ^ v x.
,.,0 ) = -fm„
Si el cociente incrementai no tiene límite finito en el punto a, pero admite límites
finitos distintos a derecha e izquierda de a, dichos valores se llaman derivada a dere­
cha y derivada a izquierda del punto a. Se designan, respectivamente, f (a+) y f ' (a").
Consideremos f: x —> |x|.
Esta función no es derivable enel origen, pues
f (0) - limo
~ i?* = limo
“
X- O
° X
y iBto limite no existe, según se ha visto en la página 129.
SI buscamos el límite a derecha del origen para el cociente incrementai, resulta:
l i m o * = l i m o * = 1 y, por lo tanto, f' ( O * ) = 1.
Análogamente, por la izquierda:
limo-
= limo- ~ ~
= -1 => f' (O' ) = - 1 .
Notnciones usuales
Indicamos a continuación algunas notaciones que suelen utilizarse para deslghni i.i derivada de una función f en un punto x:
I)
dx
dx
donde y = f(x): etcétera,
195
La derivada en el punto x suele también definirse mediante las siguientes ex­
presiones:
f'(x) =
; f ' (x ) = lím ,^o
f ' ( x ) = lím_^,_o f(x-^Ax)— í ( ^ .
EJERCICIOS
1) Aplicando la definición, calcular las siguientes derivadas:
t' (4) si
f' (3) si f: X -> X'
h' (0) si h:
X —► X -
t:
X^
X+ 1
- 4x'
m' (3) si m: X ^
k
X + 1
g' (2) si g ; x ^ —
n' (1) si n: X
r' (4) si r: x —*· ln x
e' (4) si (:
s' (3) si s:
p' ( - 2 ) si p:x
2-X'
Vx"
X
3-x'
X
3x^ - 9
2) Aplicando la definición, calcular derivada a derecha e izquierda de los puntos
indicados:
en X = 3 para f: x -► Ix - 3t; en x = 5 para g: x — - |x - 51
3) Ver si existe la derivada en O para las siguientes funciones:
s e n — si X Tt o
x s e n — si
X
f:
X it
X
X
g:x
O
si
X
O
= O
x^ · sen — si
h:
X
si
X
= O
O
X
O
si
X
= O
4) Ver en qué puntos no es derivable f si f(x) = lx+ 4 |+ l5x-1 0|+ 1 .
5) Idem para f si f: x
196
-x^-6x-3
si x < - 1
x+3
si - K x < 2
x^-2x+2
si x>2
o
II. Función derivada
El valor f'(a), considerado como imagen para cada punto a del dominio donde f
·■ derivable, permite definir una nueva función f ' que se llama función derivada de f.
Es decir, f' es la función derivada de f si y sólo si:
f ' (a) = Jim,
®
x - a
Va € D, donde dicho límite existe.
'
El dominio de f' está formado por los puntos a del dominio de f para los cuales
•Kiste f' (a).
Por lo tanto,
c D,.
Como f ' es una función, llamada función derivada de f o función derivada de
t, bI se aplica el mismo razonamiento anterior puede buscarse su función derivada,
quo será la derivada primera de f y la derivada sdgunda de f.
En general, si existe
se llama derivada enésima de la función f a la deriva­
da primera de
Osea,
Notaciones usuales son:
(x):
: D.^f
dx^
para la derivada segunda en el punto x;
(x) ;
derivada enésima en el punto x; etcétera.
Íj9m plo 1
Hallar f' y f " si f ; x - ^ 5 x ^ + 3x.
Para encontrar f' basta calcular f'(a) para cualquier número a € D, donde la
función sea derivable.
' ( ’( i) = lím
®
(5x^+3x) - (5a"+3a)
x -a
^
®
S (x ^ -a ^ ) + 3 (x -a )
x -a
^
» Km, (5x+5a+3) = 10a + 3.
Luego, como a es un punto cualquiera del dominio,
f'(a) = 10a + 3 => f ' : x - ^ 1 0 x + 3.
Por el mismo procedimiento respecto de f' calcularemos f ” :
,..(a) = lím.
^
.
II,n.
x -a
= I
x -a
J 1 0 íM ;M 1 0 a + ^ ^
®
x -a
= 10.
luego, V a e D , : f"(a ) = 10
y
f":x-> lO .
^jaiitplo 2
Hallar g' y g " si g : x - + \ / ) r
(x>0).
197
g'(a) = lím.
= lím
Luego, g ' : x
2V ^’
1
1
g..(a) = Ifm,
^
X- a
-
= Km
= lim
·
^ 2 V iV à ( x - a )
1
1
2 V x N /a (N /T + V a ) .
4a V T
Por lo tanto, g " : x - ^ ------4x V x
Ejemplo 3
Hallar g ‘"' si g: x -> sen x.
Aplicando la definición de derivada, es:
g'(a) = lím,
X- a
Para calcular ei límite anterior puede recurrirse a una fórmula trigonométrica, que
transforma en producto la resta (sen x - sen a).
Esta fórmula es : sen x - sen a = 2 sen —— — eos
2
^
Resulta entonces:
„
X- a
X+ a
2 sen — -— eos--------g'(a) = \ím,
X- a
X- a
= lím. I -----------^—
1 · lím. í eos ^ ^ - Ì = 1 · eos a = eos a.
Luego, Vx: g'(x) = eos x = sen
Calcularemos aflora la derivada segunda de g.
Por definición, g "(a ) = límg ■
-— £2LE_
X
3
Podem os utilizar para calcular el límite anterior la fórmula trigonom ètrici
„
X+ a
X- a
eos X - eos a = - 2s e n ---------- s e n ---------- .
Queda entonces:
_
X+ a
X- a
- 2 sen — -— sen — -—
g "(a ) = lím
X- a
198
s e n ^
x-a
2
- 1 · sen a =
Uono, Vx: g"(x) =
t
- sen a.
- s e n x = sen^x + 2 ^ y
'or inducción, puede demostrarse:
V x e R V n e N : g * " ’(x) = s e n ^ x + n - ^ ^
T*orema
Si f es una función constante, entonces f es derivable en todo su dominio y su
ítrlv a d a en cada punto es nula.
Sea f: X ^ k.
V a e R : f'(a) = lím^
= l
X
a
í
m
x
^
= Iím3 O = 0.
a
tá r e m e
f
\
%
r
Si f es la función idéntica, entonces f es derivable en todo su dominio y su derion cada punto es el número 1.
f: X ^ X.
V a e R : f'(a) = l
í
m
,
® x - a
= lím— — ■= lím 1 = 1.
^ x - a
^
Por el mismo procedimiento se pueden hallar las derivadas de otras funciones
jales.
ÍRCICIOS
Hallar f " y g·'aplicando definiciones si f: X ^ x^ + 2
Hftilar f·"’ si f:
X
-> eos
y
g: x l n
x.
x.
|i Continuidad de una función derivable
Pnra una función, la propiedad de ser derivable es más fuerte que la de ser contiI s decir, la derivabilidad asegura la continuidad, mientras que el recíproco no se
iplo, pues existen funciones continuas en un punto que no son derivables en él.
Osea,
derivabilidad, ^
continuidad.
fN rtm a
í ;i una función tiene derivada finita en un punto, entonces es continua en dicho
pUiMii
199
Es decir, el teorema asegura que si existe un número real k, tal que k = f'(a),
entonces f es continua en a.
Demostración
S ix
a: f(x) -
f(a) =
.( x-a) .
X —a
Calculando el límite er^ el punto a, es:
límg [f(x) -
f(a)] = límg
f(x) - f(a)
L
x-a
(x-a)
Aplicando el teorema del límite de un producto, es:
límg [f(x) -
f(a)] =límg-^^^^^—
x -a
· límg ( x- a) = f'(a) 0 = 0.
Finalmente:
límg [f(x) - f(a)] = O
<=> límgf(x) =
f(a)
=> f continua en
a.
Como ya se ha indicado, el recíproco del
teorema anterior no es válido, pues una
función continua en un punto no es necesariamente derivable en él.
Consideremos, por ejemplo, la función f: x
|x|.
f es continua en el origen, pero, como ya se ha visto (pág. 195). no tiene derivada
finita en él, pues la derivada a derecha es 1
y a izquierda -1 .
Algo similar sucede con la función f: x
- |x -2 | en el punto x =
2.
f es continua en x = 2
y no existe f'(2), pues
f'(2") = - 1
y
f' (2") = 1.
EJERCICIOS
1) Indicar en qué puntos f es continua pero no derivable
si f: x - ^ |3x-1l + |x ^-4 | + 1.
Í2 -2 X
2)
ídem si f : x - ^
x^-6
3
six<-4
si-4<x<0
six>0
3) Dar un ejemplo de una función continua y no derivable en dos puntos de su do­
minio.
200
K Álgebra de derivadas
irivada de una suma
Si f y g son derivables en el punto a, entonces f + g es derivable en a y su derijn es la suma de las derivadas.
Es decir, (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a).
lostración
Aplicando la definición de derivada a la función (f+g), es:
x -a
Por definición de suma de funciones:
(í^g)'(a)
^
f(x) + g(x) - f(a) - g(a) ^
x -a
f(x) - f(a) + g(x) - g(a)
x -a
Aplicando ef teorema del límite de una suma, resulta:
,,,g ).(a ) =
^
^
x -a
®
= f(a ) + g'(a).
x -a
Ivada de una diferencia
(f-g )'(a ) = f'( a ) - g '( a ) .
La demostración es análoga a la anterior.
(vada de un producto
SI f y g son derivables en a, entonces el producto es derivable en a y su derivada
(Ig)'(a) = f'(a) g(a) + f(a) g'(a).
stración
81 aplicamos la definición de derivada a la función (fg), es:
(,g,.,a) = lím.
( * 9 ) W - .<a.) .<g)X
Si
X
d
Por definición del producto de funciones:
(fg).(a) = Ito .
BI on el numerador del segundo miembro sumamos y restamos f(a)g(x), resulta:
(fg)'(a) = iim^
~
X
+ ^(a)9(x) ~ ^(a)9(a)
a
l ’or propiedad distributiva es:
(fg).(a) =
®
[^x)-f(a)]g(x) + f(a)[g(x)-g(a)]
X —a
201
Aplicando los teoremas de limite de suma y producto, queda:
(fg)'(a) = límg
X
~ H
■límgg(x) + lím^fía) ■límg
X—a
Como la función g es derivable en a, entonces g es continua en a y límgg{x) = g(a).
Además límaf(a) = f(a), por ser f(a) una constante.
Luego, al reemplazar valores, queda la tesis.
Consecuencia
Si k € R , es (kf)'(a) = kf'(a).
En efecto, si se aplica el teorema anterior y se tiene en cuenta que la derivada á
una constante es cero (pág. 199), resulta:
(kf)'(a) = Q. f(a)+k • f ' ( a) =k · f ’(a).
Ejemplos
h(x) =
r(x)
X
· sen x
= 3=> r'(x)
=> h'(x) = 1 ■sen x + x eos x
= 3 ·—
2 \/jT
Derivada de una potencia de exponente natural
Si n es un número natural y f: x -» x", entonces f es derivable y f': x
Por inducción:
n x"
1°) si n = 1, es f(x) = X y f'(x) = 1 por teorema anterior (pág. 199);
I
2°) si n = h, es f(x) = x^. Suponiendo que f'(x) = h x ^ " \ debe probarse qu^
propiedad se cumple para n = h + 1.
i
Es decir, debe probarse que la derivada de f(x) = x'” ^’ es f'(x) = (h + i)xH
Sabemos que f(x) = x*’ *^ = x^ ■ x, por definición de potencia de expon!
natural.
¡
O sea, f(x) = x^ ■X.
Si derivamos la expresión anterior utilizando la fórmula para derivar un
ducto, es:
f'(x) = (x"')' X + x" · 1
(1).
Ahora bien, por la hipótesis inductiva: (x^)' = h · x^' V
Reemplazando el valor anterior en (1), resulta:
f'(x) = ( h x ^ " ’ ) - x + x^ = hx^ + x^ = (h + 1)x^.
que es la tesis.
Ejemplo
f(x) = x^
202
=> f'(x) = 7jí®
De. .Vada de un cociente
Si f y g son derivables en a y g(a) t 0, entonces
d o ™ d a e s : ( l) '( a ) =
'9 /
es derivable en a y su
>’ (a)9(a) - ^ ) g :(a L .
[gia)]^'
Oomostración
Aplicando la definición de derivada a la función
es:
(a)
x -a
Por la definición de cociente de funciones:
f(x)
f(a)
( i) '» ■
Efectuando operaciones;
/J -V (a ) .
V
Ita
"
>(>09(a)
g (x)g(a)(x-a)
SI en el numerador sumamos y restamos f(a)g(a), queda:
= lím
^
f(x)g(a) - f(a)g(a) + f(a)g(a) - f(a)g(x)
g(x)g(a)(x-a)
= IInfla
[f(x) - f(a)]g(a) - f(a)[g(x) - g(a)]
g(x) g (a )(x -a )
^
M l i m g ( a , _ ,(a)-§(íL lSÍ5L
..
= lim
X -a
x -a
g(x) g(a)
Aplicando el álgebra de límites correspondiente y la continuidad de la función g
I fl punió a, queda la tesis.
senx
— T-
V
eos X · x^ - sen X · 2x
=> h'(x) = ----------------------------------
^■dn de una función compuesta (Regla de la cadena)
MI ol t(«corrido de la función g está incluido en el dominio de la función f, puede
como ya hemos visto, la función compuesta fog.
Mi Iti (unción g es derivable en un punto a interior al dominio de g, y la función f es
ÉptVühln (tn el punto g(a) interior al recorrido de g, entonces la función compuesta
f||
iliMivable en a y su derivada es:
á
203
(fog)'(a) = f' [g(a)] g'(a).
Si aplicamos la definición de derivada a la funciór '° 9 ©r» el punto a, es:
(f.g )1 a ) = l l m , , .
«<>9)M - ((°g)(a)
X —a
También, por definición de derivada, es:
y
g’(3) =
llm ._ ,- ^ i| e F
Podemos escribir, pensando en las tres Jefiniciones anteriores:
¡fog)(x) - (fog)(a) _ f[gWl - flg(a) i . 9(x) - 9(a) s¡ ^ * 3
x - a
g(x) - g(a) ■
x - a
a
q (x)« (a )
Buscando el limite de cada miembro de la expresión anterior para x->a, y recol
dando, corno g es continua, que x^a.im plica g(x)
g(a), obtenemos:
..
(fog)(x) - (foo)(a)
l'H l.-,
^
,,
([g(x)l - l[9 (a);
= l'r^9,.H9(a)
g(*) . g(a)
g(x) - g(a).
'" " .-a
,_ a
Es decir, (fog)'(a) = f [9(3)1 ■9 '(a).
Obsérvese atiora que esta demostración sólo ss licita si la función ges inyectivi
pues fiemos exigido que x # a asegure g(x) 9tg^a).
Si g no es inyectiva, la expresión (1) no t¡ene sentido si x^ta pero g(x)=g(a).
lo tanto, necesitamos una demostración general que abarque el caso en que la fu
ción g no es inyectiva. Esa demostración es la siguiente.
♦ Demostración
Definamos una función auxiliar h cuyo dominio es el recorrido de g, de la sigu
te manera:
f'(b) -
y - b
si y ^ b
h :y
O si y = b
204
(b = g(a))
RecK
Probaremos, en primer lugar, que la función h es continua en el punto b = g(a).
Para ello debemos probar
Ahora bien,
lím. [h(y)]
lím^ [h(y)] = h(b) = 0.
= lím.
f'(b)
f(y) - f(b)
y - b J
= lím jf '( b ) ] - lim,
L
f(y) - m
y b
J
= f'(b) - f'(b) = 0.
Hemos probado, entonces, que la función h es continua en b = g(a), y como g
• continua en a, pues por hipótesis es derivable en a, resulta, aplicando el teorema
continuidad de funciones compuestas (pág. 172), que la función h og es continua
a. es decir,
lima(hog)(x) = (hog)(a) = h[g(a)) = h(b) = 0.
Osea, límah[g(x)] = 0
(1).
Consideremos nuevamente el valor de la función h en cualquier punto y
b:
Luego, podemos escribir:
= f(b ) - h(y),
imbién:
f(y) -
f(b) = f'(b) (y-b) -
h(y) (y-b),
Idad que se verifica también si y = b, como puede comprobarse mediante la
illtución correspondiente.
Ahora bien, por los requisitos exigidos desde la hipótesis, es Vy: y = g(x). Luego,
|n la última igualdad obtenida reemplazamos b por g(a) e y por g(x), obtenemos:
t(g(x)] - f [g(a)] = f' [g(a)] [g(x) - g(a)] - h[g(x)] [g(x) - g(a)].
Podemos dividir ambos miembros por (x-a), considerando x
a, y resulta:
.llg W ) - Ug(a)l ^ C[g(a)] g W - 9 - W _ _ h [g W ] ·
X
^
X
3
X
el
Calculando el límite en el punto a y utilizando (1), queda:
(fog)(x) - (fog)(a)
x -a
llm-,
=
[g(a)] g'(a) - O g'(a).
I-:í decir, (fog)'(a) = f' [g( a)] · g'(a), que es la tesis.
)/)/() 1
Ni m i i
f: X ^
X®
y
g: x - > g (x).
I·· (fog)(x) = [g(x)]®
V
(ío g )'(x )
= 6[g(x)f-g'(x).
205
Ejemplo 2
Seanf:x->x"
y
g:x-^g(x).
Es
(fcg)(x) = [g (x )r
y
(fog)'(x) = n [ g ( x ) r ’
g'(x).
Ejemplo 3
Sean f: x
Es
y
x^
y
g: x
5x + 1.
(fog)(x) = (5x + 1)^
(fog)'(x) = 3 ( 5 x + 1 ) ^ - 5 = 1 5( 5x+1) ^
En general, si se trata, por ejemplo, de derivar la expresión y = sen (3x^ + 2x),
se obtiene y = cos(3x®-t-2x) · (ISx“* + 2).
La regla de la cadena se extiende también para derivar funciones compuestas da
varias funciones.
Consideremos la expresión y = cos^(5x2-7x) = [cos(5x2 - 7x)]3.
Se obtiene:
y '=
3cos^(5x^-7x)[-sen(5x^-7x}.(10x-7).
Análogamente, si y = v''sen(x^-8),
resulta
y ' = ----- = L = = r · cos(x^-S) · 2x.
2 \/s e n (x 2 -8 )
^
EJERCICIOS
1) Derivar:
f(x) =
( x-1)^
r(x) = x^ V 3 + x^
9(x) =
Kx) = (2x-1)(3x+ 5)
3 x -1
s(x) = (2x+4) (2 -3 x ) (x^ + 1)
t(x) =
2x^ - 4x
5 + x^
2) Hallar derivada primera y segunda:
f(x) = ( 3 x + 5 ) ( 1 - 2 x )
g(x) = V F T T
h(x) = — y ^ -—
2x^ + 3
3) Derivar:
f(x) = sen(5x^+3x)
r(x) = [sen
X
g(x)= se n( Vx )
4 -cos(3x)]^
h(x)= co s(3x^-ln5)
s(x)= ( —^ — — )
V x^ + 1 /
t(x)= sec^(3x)
4) Derivar:
Ux)
206
=
\/l + -V
9(x)
=
^lx |
+ X
h(x)
=
1 + eos 2x
eos 2x
. Cálculo de algunas derivadas
Í
irivada del logaritmo natural
Probaremos que si
f: x
ln x, entonces f x - ^ —.
X
^m o s tra ció n
Si
a > O, es:
Por teorema de límite (pág. 141), el límite del logaritmo es el logaritmo dei límite.
O sea,
f'(a ) = ln
lím.
Para calcular este límite, que corresponde a un caso de indeterminación, harepM>· Intervenir el número e.
ln
Ivada logarítmica
La regla de la cadena o regla de derivación de funciones compuestas aplicada
^I Lg, donde f es logaritmo natural, es útil en muchas ocasiones para el cálculo
[ i · derivadas.
Soan f: X —► ln X y g: x -♦ g(x).
I’n los puntos donde está definida, es:
(fog)(x) = ln [g (x)]
y
(fogV(x) =
1
g(x)
g'(x).
207
Aplicación a la función potencial
Si f; x -> x** (k€ R y x > 0), puede considerarse ln [f(x)] = k Inx.
Derivando los dos miennbros de la expresión anterior, resulta:
f'(x)
^ k i-
f(x)
X
f'(x) = f ( x ) k · ^
f'(x) = x ' k Y
f'(x) = k x·'
fórmula ya obtenida para potencia de exponente natural (pág. 202) y que aho
resulta válida para cualquier exponente real.
Ejemplo
f(x) = X " 5 =» .t'(x) = - 4 X " °
5
Aplicación a la función exponencial
Si
f: X -> k* (k € R
y
k > 0),
puede considerarse:
ln[f(x)] = x i n k .
Derivando,
f(x)
f'(x)
= f(x)lnk
f'(x)
= k*
Ink
Tanto en el caso de la función potencial como en el de la exponencial, si la b|
o el exponente son a su vez funciones compuestas, se aplica la regla de la cadtl
Ejemplo 1
Calcular f ' si
f: x ^
5in(x«+3)
f(x) =
ln [f(x )] = I n ( x ^ + 3 ) l n 5
-
^
f(x)
= - ^ - 2 x - I n 5
x^ + 3
f'(x) =
· ln 5
x^ + 3
208
tmplo 2
Calcular f'
si f : x - > x * .
f(x) = x*
ln [f(x)J = x · ln x
f'(x)
= ,ln X + X —1
f{x)
X
f'(x) = f(x) (ln X + 1)
f'(x) = X* (ln X + 1)
irivadas de funciones trigonométricas
Ya se ha cafctilado eae ste capítulo (pág. 198) la derivada de la función seno.
Illando la fórmula que transforma en producto la resta (sen x - sen a).
Se obtuvo f(x) = senx =i> f'(x) = cosx.
Por el mismo procedlmienfé se calculó la derivada de la función coseno;
f(x) = cosx
=> f'(x) = - s e n x .
Para derivar las demás funciones trigonométricas resulta sencillo aplicar la fórUla ue permite derivar un cociente.
Por ejemplo, si
Wonces
f(x) = tg x =
,
^
COS X
cos^ X + sen^ X
l
,
*f'(x) = ------------- ;----------- = -------- ;— (para
cos'^ X
COS
X it 0).
cos'^ X
De igual forma se deduce:
f(x) = cotg X
l(x) = s e cx
f(x) = cosecx
=» f'(x) = -------1—
sen*^ X
(para sen X
0)
=> f( x ) = tg x secx
=> f'(x) = - c o t g X ■cosecx
dvadas de funciones inversas
SI f es una función biyectiva con derivada finita no nula en el punto a, entonces f ' ’
derivada finita en f(a) y esta derivada es -
t t t “·
f'(a)
Hìsiración
l'or definición de función inversa:
Vx:
f
[f(x)] =
X.
! ii derivamos la expresión anterior aplicando, para derivar el primer miembro, la
ffUin (lo la cadena, resulta:
209
((
Si
f'(x) Í
0,
')'Í<(X»
l'W
=
1.
(I ' ) ' [ f ( x ) l =
A p lic a ció n
Sean f una función biyectiva y g su función inversa.
Se conocen los valores siguientes: f(5) = 13; f'(5)
f(13) =
Calcular, si es posible,
g'(l3)
y
= 7;
2; f'(13) = 6.
g ’(2).
D„ = Rec,
D, = Reo
Aplicando el teorema anterior,
1
g'(13) = g' [f(5 )] =
Como
si f'(5)
0.
f'(5) = 7 , e s g'(13) =
Análogamente,
g'(2) =
f'(13)
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
f;x -s e n x
g: X
are sen x
|
s x <
(g = f ’ )
1
O
b = sen a
-1
210
por el teorema anterior: g'(b) =
^^
si f'(a)
T (3)
0.
Como ya se ha visto, si f(x) = sen x, entonces f'(x) = eos x.
Luego, f'(a) = eos a.
Por lo tanto, g'(b) =
Osea,
^
eos a
^
\ / 1 - sen^a
^
V l - b^
slg(x) = are sen x, entonees Vx it i :g' ( x) = -
1
_____
V I - x^
Do la misma forma se obtiene:
g:x-»areeosx
=» g ' : x - »
q: X —
aretg x
=> g': x -»■
g: X
are eotg x
=> g ': x
-
1
1
ffiplo 1
i Cnicular
f ' si f : x —► are eos (ax).
: Aplicando la fórmula obtenida para derivar la función arco coseno y la regla de la
|||nii, resulta:
f'(x) =
V i - a^ x"
mp/o 2
Calcular
f' si
f: x a r e tg (x^+5):
í ' W = -------Á —
1 + (x ^ + 5)2
Mvada de una función definida implícitamente
i Bi) ha visto en el capítulo 3 (pág. 69) que una función f puedeestar definida
Plcllnmente por una expresión del tipo F(x,y) = O donde y = f(x).
Puode calcularse f' derivando la expresión que define implícitamente a f.
llnn
F(x,y) = 2x^ + xy - y^ X -
1 = 0.
Ili ( ostá definida implícitamente por la expresión anterior, es:
2x^ + xf(x) -
[f(x)]^ · X - 1
=0.
I »Olivando, y
teniendo en cuenta que elprimer miembro representa una función
m»*l(iMlo, cuya derivada es nula, se tiene:
211
6x^ + f(x) + xf'(x) -
3 [f(x )r
f'(x) x -
[f(x )r = 0.
Despejando:
3 [ f ( x ) ] 2 .x - x
si el denominador no es nulo.
En general, en la expresión que resulta, aparece f(x).
EJERCICIOS
1) Calcular
f'
si:
X® + 3x^ - sen x
2 ) f:x
eos (6x) + ln (2x) - \Zx"
3) f: X - ► tg(3x) - 4 cos(6x)
4) f:x
ln(sen x) + sen(ln x)
5) f:x -> (x ® + 3 x )(x ^ -2 )
6) f:x
(x ^ + 3 x ^ )(1 -\/x )
7) f : x - í. ^x-2+3x^ ® ) ( v ^ - 2 x ^ )
8) f:x
( V x -
1)
f: X
10) f:x
9) f: X-»· (x^+3x)^(2-x)·^
1 - \/x
t +
V x-2
) (3x * - 5 )
y
Vx
12) f:x-
^*+1
14) f:x-
V a re sen (5x^)
16) f:x-
cos(arc sen x^)
17) f: x ^ are tg(ln x^)
18) f:x-
e tgx*
19) f: x -> ln(cosec x + cotg x)
2 0 ) f:x
sec
21) f : x ^ t g ( x 2 + i )
2 2 ) f;x
are sen x · are tg x
2 4 ) f:x
e are eos x*
11) f:x
\/x + 2
73; f:x-»*ln M ln x)
15) f:x -> a rc tg
x^ + 1
x^-1
lnx2
2 3 ) f : x - ------
are tg(3x)
2 5 ) f : x - > x V 9 - x ^ + 9 are sen 4 “ '
2 6 ) f:x-»-ln
2 7 ) f:x -+ a rc s e n —
2 8 ) fix-
3
1+
x^
2x^
X
+
X
X
+
X
+ 2
+ 1
e* + e *
e*
2 9 ) f:x -> tg ^ 5 x ) -tg (5 x ) + 1
3 0 ) fix
ln X + e* sen x^
3 1 ) frx-í-sh ^x + th^^x
3 2 ) f:x
2ch (x -3 ) + coth^x
33 ) f : x - e “ *<3x).cotg(5x)
3 4 ) f :x
2*8 * · arctg (2x)
3 5 ) f : x - > x '" '^
3 6 ) f:x
In (vs eñ x ^ )- e*'^’
212
Ì7 )
\ X -* \ l
V
38)
1-thx
90) 1 : x - > ln (x + \/x ^ + 9 )
4"
2
2
~ 4"
“T
6
2
^ 0 ) f; x ^ cos x V l + s e n ^ x
/------- ; = f;x^Vl+V6x
13; f : x ^
f: X
,
, 4 / 1 +x
arct gx
42; f: x I n y - j — ----------- ^
x_ a r c ^ + 1 _
V x^ + 1
W; f: X ^ 2 are tg
^ In
V 1+X
K) Demostrar; si
^
vT+x + \ / l - x
f(x) =
entonces
xf(x) + 1 -
( l - x ^ ) f ' ( x ) = 0.
V l-x ^
)) a) Demostrar: si f, g, y h son funciones derivables, entonces
(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'.
b) Derivar: y = sen (sen x) -Jx sen x + cos x) · cos^ x.
4) Derivar: a) f: x
b) f: x - ♦ logg x
log x
6) Sea f una función biyectiva y h su función inversa. Se conocen los datos siguien­
tes: f(1) = - 4 , f(0) = 9, h(6) = 10, h ' ( - 4 ) = 2, h'(6) = 4 y f'(0) = 3. Hallar
l'( 1 ) .h '( 9 ) ir f'n a ) .
0) Sea f una función biyectiva y g su función inversa. Conocidos ios datos: f(3) = 7.
f(5) = 3, g'(7) = O y f'(5) = O, ver si existen f'(3) y g'(3).
T) Derivar las siguientes funciones definidas implícitamente:
a) 2x^ -
3xy -i- y = 5
í—
c) v x -
4y -t- y^x
e) x^
+
y
g) a r c t g y
= X + y^
-y+
=6
-
2
X= O
b) x^ -
xy + y^ = - 1
X^
v/3
d) x + ------------— =
f) 3yx^-
2
y
^
2y^x^
=
xy
y =
O
h) cos(y+x) -
+
2x
i) — + — + 7 = 0
X
VI.
y
Aplicación geométrica de la derivada
En geometría se puede definir la recta tangente a una circunferencia como la
pnrpendicular al radio en su extremo. Esta definición carece de sentido en curvas que
no son circunferencias.
Tampoco puede utilizarse como base de una definición la idea de que la recta
Inngente tiene un solo punto común con la curva, como puede observarse en ol
Uirtdco siguiente:
213
t es tangente a la
curva en P y atravie­
sa a la misma en A y
en B.
Se trata entonces de definir, en forma general, la tangente a una curva en un
punto de la misma.
Sea el siguiente eí gráfico de una función derivable f:
Consideremos el
punto A sobre la
curva y otro punto
cualquiera P ^ A.
La recta AP es una
recta secante a la
^
curva y su pendien­
te es la tangente
trigonométrica del
ángulo BAP.
Es decir,
pendiente de AP = tg BAP =
x -a
Si el punto P se acerca sobre la curva al punto A, la recta secante AP tiende (
una posición limite que corresponde a^ la recta tangente a la curva en el punto A
La pendiente de esta recta “ límite" es la tangente trigonométrica del ángulo TAB,
O sea,
/\
pendiente de AT = tg TAB = lím^ f(x) - f(a)
x -a
Ahora bien, resulta lógico entonces interpretar geométricamente a la derivada ef
un punto como la pendiente de la recta langente a la curva en el punto considerado
En definitiva, y de acuerdo corv las· consideraciones intuitivas anteriores, se d#
fine la recta tangente al gráfico de una función en un punto del mismo como la redi
214
j · pasa por dicho punto y cuya pendiente es la derivada de la función en el punto
)rrespondiente.
finición
Recta tangente al gráfico de una función derivable f en el punto [a;f(a)] es la
to a la cual pertenece dicho punto y cuya pendiente es f'(a).
Si la función no tiene derivada finita en el punto considerado, pero tiene deriva­
l i Imitas distintas a derecha e izquierda, el punto del gráfico es anguloso, como
3©do en el origen para la función f: x
jx].
Fn efecto, como ya se ha visto, la función f no es derivable en el origen y, por lo
Mo. no hay recta tangente a la curva en el punto (0;0).
Como la función tiene derivadas a derecha e izquierda del origen, pueden consiIfiirso semirrectas tangentes-a derecha e izquierda del punto (0:0).
Semirrecta tangente a derecha de (0:0) es la que tiene origen en dicho punto y
llonte igual al número f^O' ) = 1. Semirrecta tangente a izquierda de (0:0) es la
llone origen en dicho punto y pendiente f'(0 ) = - 1.
Si una función es continua y tiene derivada infinita en un punto de su dominio, la
1· tangente a la curva en [a;f(a)] es la vertical que pasa por dicho punto.
Es decir, damos la siguiente definición.
Inlción
Lq recta de ecuación x = a es tangente vertical al gráfico de f en el punto
( ·)] si y sólo si
®
x -a
= X
Ffito sucede, por ejemplo, en el punto (2;1) para la función siguiente:
215
Iim,
f(x )
^
X
- f(2)
- 2
VX
- 2
= lim ,-------------
^
X - 2
1
= lim,
" v'(x-2)"
Luego, la recta de ecuación x = 2 es tangente vertical a la curva en (2¡1).
♦ Nota: Si se quiere dar una definición rigurosa de tangente vertical a una curva
un punto de la misma, debe exigirse, igual que se hizo para las tangentes obllcuj
que las dos semirrectas tangentes a derecha e izquierda de! punto considerado sel
semirrectas opuestas.
Es decir, se puede dar la siguiente definición de tangente vertical, más fuerte c
la anterior: la recta x = a es tangente vertical al gráfico de f en el punto [a;f(
si y sólo si:
lím a+ f(x) - t(a)
x -a
lím a+
=
+ oo
f(x) - f(a)
X -a
lím^-
f(x) - f(a)
x -a
lím^,.
f(x) - f(a)
x -a
)
En el ejemplo anterior,
Km,
= lím ,-
x -2
linip-
1
V(x-2)2
f(x> - f(2)
^ = lim,X - 2
1
-
+ 00.
\/{x -2 f
Luego, las semirrectas tangentes son opuestas y la recta x = 2 es tange
vertical.
Consideremos, en cambio, la función
En este caso, limo +
y
lím o -
f(x) - f(0)
X - O
=
=
X- O
límn-
f: x ^ x
límo+-^^—
= límn0-
—
límo+ 2 r~ ~
vx
^
3
Vx
Luego, si se adopta la segunda definición propuesta para tangente vertica
recta x = O no cumple los requisitos exigidos y solamente la semirrecta superloi
tangente en el origen.
En estas condiciones, el punto (0:0) es un punto cuspidal del gráfico.
216
t
Si la derivada en un punto es nula, la tangente a la curva en el punto coffesponlente es una recta horizontal.
O
sea, la recta de ecuación y = f(a) es tangente horizontal al gráfico de f en el
unto [a;f(a)] si y sólo si f'(a) = 0.
Esto sucede, por ejemplo, en el punto (0 ;-1 ) para el gráfico de
f:x -^ x 2 -1 :
i
Resulta,
Vx:
f'(x) = 2x
y
f'(0) = O
Luego, la recta de ecuación y = - 1 es tangente horizontal a la curva en
| l punto (0; - 1). . '
litc ta tangente
Si se quiere hallar la ecuación de la recta tangente en el punto [a;f(a)|, basta
lonsiderar la ecuación de la recta que pasa por dicho punto y tiene pendiente f'(a).
= J íL iM .
X -a
l ’ero tg a = f’(a), y resulta f’(a) =
I
uego,
X ”” d
ya que t(a) = f(a).
t(x) = f'(a )(x -a ) + f(a).
217
La función lineal correspondiente a la recta tangente está dada por la siguieni
expresión:
t:
f'(a )(x -a ) + f(a).
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f: x - * x^ + 5 en el punto
abscisa a = 2.
a = 2
Además,
Va:
f'(a) = 2a., Luego,
f(a) = 9
f'(2) = 4.
t(x) = 4 (x -2 ) + 9 = 4x + 1.
Luego, y = 4x + t es la ecuación de la recta tangente a la curva considerada ·
el punto (2:9).
Recta normal
Puede definirse la recta normal al gráfico de una función derivable, en un puní
del mismo, como la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
Es decir recta norm al al gráfico de la función derivable f en el punto [a;f(a)l
es la recta que pasa por dicho punto y tiene pendiente — - 4 — si f ' (a) ^^0.
f (a)
Su ecuación es;
n(x) - f ( a ) ________ 1 _
x -a
^
f'(a) ■
Es decir,
y la función lineal correspondiente a la recta normal en [a;f(a)] está dada por la (
guiente expresión:
1
f(a)
218
(x -a ) + f(a).
En el ejemplo anterior, como la tangente en el punto (2;9) tiene pendiente 4, la
ffnol en ese punto tiene pendiente - — , y su ecuación es;
4
19
Si la recta tangente a una curva en el punto [a;f(a)] es la recta horizontal de
Ilición y = f(a), la normal en ese punto es la recta vertical de ecuación x = a.
ngulo entre dos curvas
Se define como ángulo entre dos curvas, en un punto que pertenece a ambas, al
fígulo formado por las rectas tangentes a cada una en el punto de intersección.
Si las funciones que definen las curvas son derivables, puede hallarse dicho
figulo mediante las respectivas derivadas en el punto.
Llamamos a ,2 al ángulo que forman las curvas C, y C j en el punto P de coordeíldns cartesianas (Xq,· yg).
tg a , — tg a,
1,+ t g a ,tg c 2
Pero tg a , = f', (Xq)
Luego, tg
«,2
=
' 9 “ · · ‘9 “ 2 *
- '·
tg a j = f '2 (Xq)·
f ' 2 (Xo) -f'i(X o )
1 + f 'i (Xo)í'2(Xo)
§il§mplo
1 I punto de intersección es (1;1).
r,
(x )
= 2 x - 2 :=> f'i(1) =
tg a i 2 =
0
A
f'2 ( x ) =
-3
=> a ,2 = a rc tg (-3 ) = ^ 0 , 2 = 1 0 8 °2 6 '
219
EJERCICIOS
1) Recta tangente y recta normal al gráfico de cada una de las siguientes funcionei
en el punto de abscisa indicado:
a= 1
g: x ^ 3 - 7x
a= 2
h: X ^ 2 - V x
a= 9
s: X-» x^ - 3x^ + 2
a = -1
r X x ^ -3 x ^ -9 x + 3
a = 3
v:
a = -1
f:
X —>
- 5x + 3
atgx _
1
ln(x+e)
3x^+
—
X
q: x ^ e^*-sen(2x) + 1
m: x —♦cos(2x)-cotg x + 3 a =
p :x
X^
a = o
a= 0
r: x -♦ ln (1 + x ^ )-e '^ ’'+tg(77-x) a = 0
2) Indicar para cada función lospuntos del gráfico donde la tangente es horizontal
f:
X
x^ - 3x + 2
.
x
h: x ^ —------9 - X
g:
X
s: x
-♦ x^ - 6x + 5
x
4 -
X
3) Indicar en qué puntos del gráfico la tangente tiene pendiente 9 para la fundó!
f: X
x^ - 9x^ + 36x.
4) Indicar en qué puntos la tangente al gráfico de f forma con el eje positivo di
abscisas un ángulo de 45° si f: x
- 7x + 17.
5) Indicar si hay algún punto en el gráfico de f: x -> x^ ~
gente forma un ángulo de 60°.
6) La tangente al gráfico de f: x
punto. Hallarlo.
220
x^ + 4 en el punto (1:5) corta al gráfico en otn
¡T) Sea í: X
3x^ - 5x^ + 17. ¿En qué puntos la recta tangente forma un ángulo
[
do 135° con el eje positivo de abscisas?
x3
------ +
3
pendiente 2?
i) Sea
f;x ->
7
— x
2
o
-
14x
- 7. ¿En qué puntos la recta tangente tiene
I) Ver si en algún punto la recta tangente al gráfico de f: x — x^ + x - 2 es paralela
n la recta de ecuación y = 4x + 5.
I está definida implícitamente por x^ + x^y - 4x + 4y = O con
Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el
y
= f(x).
origen.
1) Si f: X - > X ln X, encontrar el punto en que la recta normal algráfico es paralela
a la recta de ecuación y = x + 1 y escribir su ecuación.
| | ) Indicar si en algún punto el gráfico de cada una de las siguientes funciones tiene
tangente vertical:
f:x ^ V (x -1 )^
+2
h:x-^V36-x^
g :x -> 2 -V x + 2
s;x^\/x
t; x
1 - \/x + 1
v;
w; X
1 + Vx + 1
p: X
X
^ Vx - 1
2 - v x - 3
19) Hallar el ángulo que forman, al cortarse, las curvas definidas por el siguiente par
de funciones:
f^ :x -^ -x ^
14) Idempara
+ 4x + 4 :
f2 : x - > x ^ - 4 x + 4.
^
"4
^ T
VII. Aplicación física de la derivada
Consideremos una recta r con un sistema de abscisas de origen O y un punto
¡IWvll P.
¡
Sea f la función que describe el movimiento del punto P sobre la recta r tal que
p irn cada instante t, f(t) es la distancia s = OP. Esta función f se llama ley de moviIhltnlo y sus valores dan el camino recorrido en el tiempo t.
Por ejemplo, sea f: t
t^ - 3t.
Si
t = O es f(t) = O, y el punto se encuentra en el origen.
Para t = 1 es f(t) = -2 , y el punto se ha desplazado hacia la izquierda del
•du<'n.
I’ara t = 3 es f(t) - O, y el punto móvil se encuentra nuevamente en el origen,
| | i »Mera.
1 I movimiento rectilíneo del punto P puede representarse gráficamente de la
liU iiirnie manera:
221
Obsérvese que, aunque
t= 3
t= 4
______ ________ ________ el móvil se desplaza
___ ®
sobre una recta, si
t=1 P t = 0
se quiere hacer el
9
gráfico de la ley de
4
I
m ovim iento correspon­
- 3 - 2 -1
O 1
diente se obtiene
una parábola.
Cuando el móvil pasa de la posición A a la posición B. la variación en la posición
del punto es f(4) - f(3), correspondiente ^1 intervalo de tiempo 4 - 3 = 1 0.
El cociente entre ambos es la velocidad media en el intervalo [3;4].
Interesa también conocer la velocidad del móvil en un instante determinado: por
ejemplo, para t = 4. Para ello se pueden, considerar intervalos de tiempo cada vez
más pequeños.
Se define como velocidad instantánea en el instante t = 4 el límite de la veloci­
dad media en intervalos que contienen al punto 4 en su interior.
Es decir,
V. = i. · - . - “
f2 _ 3t _ 4
En nuestro ejemplo, V4 = lím ^------------------- = lím^ (t+ 1 ) = 5.
La velocidad en cualquier instante t se obtiene, entonces, derivando la función f.
Es decir, v(t) = f'(t) = 2t - 3 .
3
La velocidad se anula si t = - j . O sea, en el instante t =
1 ,5
el cuerpo está en
reposo. En el gráfico se observa que en ese instante cambia el sentido del moví*
miento.
La aceleración en un instante puede definirse, de manera similar, como la deriva­
da segunda de f en el instante t considerado, o como la derivada de la velocidad en
ese instante.
1
Es decir,
a(t) = f"(t) = v'(t).
En nuestro ejemplo,
a(t) = f''(t)
= v'(t) =
2.
Es decir, para todo t, ía aceleración es constante.
EJERCICIOS
1)
I
Para cada ley de movimiento, indicar en qué instante se anula la velocidad, cuán«
do es negativa, cuándo es positiva, y representar el movimiento gráficamenU
sobre una recta:
s: t -«■ t^ - 5t
O< t < 7
f; t
O< t < 2
1 + t - t^ + 2t^
g : t - ^ t ^ - 4t^ + 3
22 2
0<t<5
^
h :t^ 2 t^ -6 t+ 1
0<t<4
8) Para las leyes del ejercicio anterior indicar en qué instante se anula la aceleración.
3) Indicar la aceleración para el instante en que se anula la velocidad del móvil que
responde a esta ley de movimiento:
s :t-^ t + Y
t> 1 .
VIII. Diferencial de una función
Al dar la definición de derivada de una función en un punto x, se indicaron disnotaciones que suelen utilizarse para designar a dicha derivada (pág. 195).
Entre ellas, se indicaron las dos notaciones siguientes:
llntQS
f'(x )
dx
La segunda expresión suele leerse “ derivada de y respecto de x", y puede jusllflcarse si se define previamente diferencial de una función.
Apliquemos la definición de derivada a la función f en el punto x, llamando h al
Incremento de x.
ES f(x ) = lím
h^O
h
.
Una propiedad de límite finito, vista en la página 137, indica que la diferencia
in lre la función considerada y su límite es un infinitésimo en el punto donde se calcula
•I limite.
Es decir, f '( x ) ----- — ! í í l _ = g(h), y g es un infinitésimo en cero.
h
Si multiplicamos la expresión anterior por h
o, queda;
f'(x) h -
[f( x + h ) - f( x ) ]j = g(h) h
Es decir, las expresiones f'(x) · h y [f(x+h) - f(x)] son aproximadamente iguaI · · para valores muy pequeños de h.
El número [f(x+h) - f(x)] es el incremento de la función correspondiente a un
Incremento h para x.
Los incrementos suelen designarse, en general, con el símbolo A. Así, es común
dasignar Ax al número h o incremento de x.
El incremento [f(x + h) - f(x)] puede designarse A f (x;h), que selee "incremento
de f en X respecto de h” , o, más simplemente. Ay, aunque esta notación sueleutiiilarno de manera imprecisa.
La expresión f'(x) · h se llama "diferencial de f en el punto x respecto de h "
y nn designa df(x;h) o, más simplemente, dy.
Veamos en un gráfico la interpretación geométrica de los dos números consiilomdos:
Ay = Af(x;h) = f(x + h) - f(x)
dy = df(x;h) = f'(x) · h
223
S ¡J e s ig n a m o s
AB
la
■jn g it u d d e l s e g m e n t o
Á B , r e s u lta , o b s e r v a n ­
d o e l g rà fic o :
AB =
tg a
·
h = f'(x ) · h =
= d f (x ; h ).
Es decir, la longitud AB/;orresponde al diferencial de f en x respecto del incre­
mento h.
Por otra parte, la longitud BC corresponde al incremento Af(x;h).
j
En un entorno de x, cuanto menor es el número h, más se aproximan las longl^
tudes AB y BC. O sea, la resta AB - BC tiende a cero si h tiende a cero.
i
Por lo tanto, si reemplazamos BC por AB, estamos reemplazando el gráfico de
entre x y x + h, por la recta tangente en el punto [x;f(x)].
Es decir, se puede aproximar el valor f(x+h) conociendo el valor f(x) y el diferen­
cial de f en X respecto de h. El error que se com ete al reemplazar f(x + h) por
f(x) + df (x;h) puede hacerse m enor que cualquier c > O prefijado, si se tom a h
convenientem ente pequeño.
Trataremos ahora de formalizar las consideraciones anteriores dando la defini­
ción de diferencial. Para ello debemos tener en cuenta que el diferencial de una fun­
ción en un punto x depende del punto x considerado y del incremento h. O sea, el
diferencial depende de dos variables: x y h.
i
Si f es una función escalar, se puede definir entonces, a partir de ella, una fun­
ción df que depende de dos variables.
La función df se define de la siguiente rnanera:
df: (x;h)
f'(x) · h, para todo número x donde f es derivable y para cualquier
número real h.
La nueva función df se llama diferencial de f, y, como hemos dicho, es función de
dos variables. Una función de dos variables se llama también función de vector o
campo escalar.
El valor df(x;h) es el “ diferencial de f en el punto x respecto de h” . Nótese que h
es un número real cualquiera, mientras que x es un punto interior al dominio de f
donde existe derivada finita, es decir, x pertenece al dominio de f'.
En especial, si f es la función idéntica, f: x ^ x,
Vx Vh: df(x;h) = f'(x) · h = 1 ■h = h.
Es decir, el diferencial de la función idéntica, en cualquier punto y respecto de
cualquier incremento h, es igual a dicho incremento. Esta propiedad suele indicarse:
dx = Ax = h.
Por lo tanto, df(x;h) = f'(x) · h = f'(x) ■dx,
o bien, dy
= f'{x) · dx.
Si dx t O, es f’(x) =
'
dx
224
Es decir, la derivada en un punto x puede hallar
como el cociente de los diferenciales indicados. Esta conclusión justifica, entont, la notación dy
dx
que se adopta a veces para designar a la derivada.
De la expresión anterior dy = f’(x)-dx
para d iferenciar funciones.
Porejemplo, y = sen x
=> dy =
y = x^ · cos X => dy =
'
se pueden deducir fácilmente las recos x · dx
(2x cos x - x^ sen x) dx =
= 2x · dx ■cos X + x^(-se n x) dx =
= d(x^) ■cos X + x^ · d(cos x).
Como la derivada de una función sólo difiere del diferencial en el factor dx, todas
| | l formulas para derivación son válidas para diferenciación.
Asi,
y = f + g => dy = df + dg;
y = f - g => dy = d f - g + f -dg¡etcétera
l^llcación
Si f;x — x ^ - 2 x + 1 , hallar dy y Ay en el punto x = 3 para un incremento
- 0,1. Es decir, calcular df(3;0,1) y Af(3;0,1).
V x:f'(x) =
2 x -2 .
Luego, f'(3) = 4.
Aplicando la definición,
dy = df(3:0,1) = f'(3) 0.1 = 4 0,1 = 0,40;
Ay =
Af{3;0,1) = f(3,1) - f(3) = 4.41 -
Por lo tanto. Ay -
dy = 0,41 -
4 = 0,41.
0.40 = 0,01.
Es decir, si se reemplaza f(3,1) por f(3) + df(3;0,1), el error que se comete es
«l(! 0,01.
El cálculo de diferenciales presenta distintas aplicaciones. Una de ellas proporI lona otro método para calcular la derivada de una función definida implícitamente,
(lilorenciando la expresión correspondiente.
225
Sea, por ejemplo, la expresión siguiente:
2
x^ + xy -
y^x -
1 = O,
ya considerada en la página 211.
Podemos diferenciar la expresión anterior teniendo en cuenta la definición (
diferencial respecto de un incremento dx. El diferencial del primer miembro es nu
pues dicho miembro representa una función constante.
Resulta:
6x^ dx + X dy + y dx -
3y^x dy - y^dx = 0.
Luego,
dx(6x^ + y - y^) = dy (3y^x-x).
Finalmente,
dy
^
6 x^.+ y - y^
dx
3y^x - X
quecoirtdde con la derivada ya obtenida por otro método.
También pueden utilizarse los diferenciales para derivar funciones presentada
en forma paramétrica.
Yahemos visto que una ctirva plana puede definirse por dos ecuaciones par
mélricas: x = g(t) a y = f(t) x (pág. 96).
Aligual que lo que sucede con las funciones dadas en forma implícita, las ecu
ciones paramétricas pueden definir una o más funciones escalares con y = h(x'
En esecaso, si f y g son derivables, puede hallarse la derivada de h.
Para ello, como g y f son derivables, también son diferenciables, y resulti
dy = f'(t) dt A dx = g '(t)d t,
Por lo tanto, si g '(t)
O, es:
Suele indicarse y' =
donde y' indica derivada respecto de x, mientras qi
y y¡(indican derivadas respecto del parámetro t. O sea, y = f'(t) a x = g'(t).
Puede hallarse, entonces, la recta tangente a la curva en un punto (Xjjiyo) de
misna.
Suecuación es — — ^
que puede anotarse, \jtili2 and 0 la notación di
X — Xq
Xq
deMnante, de la siguiente manera:
X - ^0
Xo
Por ejemplo, si
resulta
y - yo
ÿo
x = 3 t^ ------ j —
a
y = t^ + 2,
x = 6t +
a
y = 3t^.
,
dy
3t^
,
L u e g o , = --------- — .o s e a , y' =
6t + 4 t^
226
= 0
.
3t^
6t + 1
Si quiere hallarse la ecuación de la recta tangente en el punto correspondiente
• t = 1 , obtenemos:
x -2
y - 3
- 0.
7
3
Por lo tanto, la recta tangente a la curva en el punto (2:3) tiene ecuación
También puede hallarse la derivada segunda de h con y = h(x). Para ello,
■lando y '=
g'(t)
. es
y "=
dx V g'(t) /
Recurriendo a la regla de la cadena, resurtí:
í
\
dx V\ g'(t)
g
/
„
^
/
f'(t) \
g'(t) /
V
dt
dt
JL
,
con dx = g'(t) dt.
X y
y x - y x
y " = ^ — TTrT—
Suele indicarse
..
oblen
,,
x y
y ” = — 7 ^^-— .
(xF
«
En nuestro ejemplo es
6t
+
6
-
1
x
= 6
¿
----- ^
a
y =
6
t.
3t'
6t
36t^ + - J - - 18t^ + - J
y"
=
1
IBt^ + - ! p
\3
18t^ + 12t^
y”
=
(6t^ + 1)^
í )tio ejemplo
ü
dy
d^y
Hallar las derivadas primera y segunda — — y -----dx
dx*^
+ sen t A y = 2t^ - cos t.
SI
227
P a r a a p lic a r la s fo r m u la s o b te n id a s c a lc u la m o s ;
X
=
2t + e o s t
y =
,, ^
''
y"
X =
2 -
sen t
y
=
6t^ + s e n t
X
'
=
12t + c o s t
yx - yx
2 t + eos t
^
(1 2 t-i-c o s t ) ( 2 t + co s t ) - ( 2 - s e n t ) ( 6 t ^ - s e n t)
(x)^
=
y
6t^ + s e n t
(2 t4 C 0 S t)^
Í2t^ - 14t eos t - 2 sen t -f 6t^ sen t + 1
(2t + eos t)^
También una función escalar, o varias, pueden definirse mediante una ecuación
polar (pág.100). En esej;¿i^oya vimos .que puede considerarse al argumento t como
parámetro.
O sea, r = f(t) con x = f(t) eos t a y = f(t) sen t.
Diferenciando, si existen las derivadas, resulta:
dy
dx
_
f'(t) sen t ~ f(t) eos t
f ’(t) eos t - f(t) sen t
Utilizando la notación ya vista para las derivadas respecto del parámetro t, obte­
nemos;
dy_ r sen t
dx
Como ya sabemos,
dv
r eos t
r eos t - r sen t
indica la pendiente de la recta tangente. En este caso,
la recta es tangente a la curva en el punto P de coordenadas polares r y t.
Si dividimos numerador y denominador por r eos t, queda;
tg « =
tg t + —
_______ r _
1 - -í- tg t
r
"-Á
Por ejemplo, si la ecuación polar de una curva es r = 2 + eos t, buscamos Ié'
pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de la curva, dado por sus coor·
denadas polares.
228
Para ello,
r = 2 + cos t
f = - sen t
.
tg a = -
2+ cos t
- sen t
.
2 + cos t , .
1 -------------------tg t
sen t
tg t +
sen t tg t - 2 - cos t
tQ a = ------------------------------^
2 sen t + 2 tg t
Si queremos hallar la pendiente de la recta tangente en el punto correspondiente
7T
\/ 2
\/ 2
• t =
vemos que es r= 2 + — ^— ■ Además, es s e n t= c o s t = — ^— y
tg t = 1.
_2_ VT
Por lo tanto,
tg a = — -------— ----------—
+2
= ------ = V 2 - 2.
2 + V2
Interesa también, a veces, encontrar el ángulo /3 que forma la recta tangente en
P con el radio vector OP.
Para ello, observamos que es /3 = a - t.
Luego,
'9 '’ “
Como
1 + tg « tg t
tg t + 4 tg a = ----------------,
' 9 “ '9 *
resulta:
1 - y tg t
tg t + 4- - tg t + 4 - tgM
tg/3 = '
'
1 - — tg t + tg2 t +
tg t
r
r
-d ^ tg ^ t)
Finalmente, obtenemos
tg /3 = - r
r
llcación
r
I lallar el ángulo en el punto correspondiente a t = O si la ecuación polar de la
fuiva os r = 3 (1 - 3 sen t).
r = 3 (1 -3 s e n t)
=►
f= -9 c o s t
I uego,
^ ^
'9 ^ -
3 (1 - 3 sen t)
_ 9 eos t
, _
==>9/3
3 sen t - 1
3 cos t
229
t = o => tg/3=-y
=> /3= arctg(-yj => /3=161°34'
Obsérvese que el ángulo que forman entre sí dos curvas que se cortan puede
obtenerse como diferencia de los ángulos que foi man las respectivas tangentes con
el radio vector del punto de intersección.
Para ello, vemos que a ,2 = 02 ~
Luego, tg a , 2 =
1
tg p 2 - iQ P i
+ tg /3 'tg ¡3 ’
r,
" “ 7^
r,
Ejemplo
Hallar el ángulo que forman las curvas C, y C2 , cuyas respectivas ecuacionei
polares son:r = eos t, r = 1 - cost, en el punto de intersección de coordenada!
polares
Para 0 ,. r = c o s t =>
Para C j. r = 1 -
r = -s e n tt.
c o s t =>
f= s e n t.
En el punto de intersección:
r, = r, = i
I
2
2
P o rlo ta nto ,
,
f , -----------^
, í, = ^
* 2
2
2
tg ^ ,
= -
a
tg ^ 2 =
2V 3
Luego.
tg a ,2 = ----- => tg a ,2 = v ^
=>
« 12= - t ·
EJERCICIOS
1) Calcular Ay
a) y = y /x
230
y
dy para:
en x = 4 respecto de Ax = 10“ *.
b)
y
=
c)
y
=
-
en
X
X
x^
=
2 respecto de Ax = 10
-
3en
X
=4
respecto deAx=
10"^.
2) Calcular el error que se connete si se reemplaza f(5,02) por f(5) + df(5:0,02)
para f: x — x^ - 3x.
3) Calcular las derivadas del ejercicio 7 (pág. 213) diferenciando las expresiones
dadas.
4) Hallar derivadas primera y segunda de cada una de las siguientes funciones
dadas por ecuaciones paramétricas:
a)
X= t^
b)
X= e'
c)
X =
t
+ 5
y =1
- t^
y = e^‘ .
-
-J -
y
=
t
+
y.
6) Ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las siguientes curvas
on el punto correspondiente al valor indicado para el parámetro:
n) X = 3 cos t
y = 4 sen t
t = —.
4
d^y
I ) Hallar la expresión de y '" = —
para una función dada por las ecuaciones
dx'
liftm é tric a s x = g(t) a y = f(t).
T) Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación polar r = cos t
para t = y .
I) Idem para r = 1 + cos t en un punto cualquiera de la curva.
I) Hallar el ángulo que forma la recta tangente con el radio vector si la ecuación
polar de la curva es r = 2 + sen t
para
t = 0.
10) Hallar el ángulo que forman la curva C ,. de ecuación polar r = 3(1 -s e n t), y la
curva Cj, de ecuación polar r = 1 + sen t, en el punto correspondiente a
' ^ i-
11) l(lt!in para C-,: r = 4(1- s e n t ) y C 2: r = 4 s e n t
para t =
6
y para t =
6 ■
II) :.i. indo la ecuación polar de C,; r = cos t y la de Cj: r = sen t, a)hallar los
IMinios de intersección, b) el ángulo que forman las curvas en ésos puntos.
231
IX. Tabla de derivadas usuales
f'(x)
f(x)
k ...
.. O
x"
.. n x "
.
'
J_
ln X
X
g'(x)
" g(x)
ln g ( x )
g(x)
±
h(x)
g(x)
h(x) . . .
..g '(x )
±
h '( x )
.. g '(x ) -h (x )
g(x) ....
+
g (x )
h '( x )
g ' ( x ) ■ h (x) - g (x ) · h ' ( x)
h(x)
[ h (x ) ]2
. e"
k*...
. k*
k9(x) .
.
· ln
k^**’
k
· ln
k
· g '(x )
lo g .x
lo g Q(x)
g(x) g'(x) ·logae
[g(x) h ' ( x ) - l n [ g ( x ) ]
ih (x)
+
[g(x)]9<*> [1 + lng(x)] g'(x)
X*....
X* (I nx - 1)
sen X
eos X
eos X ..
-
tg X . . . .
sec^x
co tg X ..
. - cosee^x
sec X ...
tg X - s e c X
cosec X
232
sen X
.-
eo tg X · e o s e c x
h(x)
g'(x) ~l
g(x) -I
f(x)
f'(x )
1
ar e s e n x .........
\ / r ^
1
-
a re e o s x
\ / i" ^
1
are tg x . .
1 + x^
1
-
a re e o tg x
are s e c x .
1 + x^
t
1
a re c o s e c x
Vx^ -
X
1
sh X ...................
ch X
ch X ...................
sh X
Ih X .....................
sech^x
co th X ...............
-
cosech^x
Beeh X ..............
-
s e c h x · th X
cosech X —
-
c o s e c h X · co th x
1
arg s h X ...........
V i + x^
1
arg ch X ..........
arg th X ..........
nrg c o th x . . .
1
1
-x 2
1
x^-1
urg s e c h x . . .
iirg c o s e c h x
X
\/í^ T T
233
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPÍTULO 6
I
i
Sección I
1 ) l'( 3 ) = 6
h '( 0 ) = 1
2)f'(3*)=1
3)
g '( 2 ) = ^ . i
f'( 3 - ) = - i
(4) = J
gx5")=-1
f'(0) y g'(0) no existen
S’ ( 3 ) = - ^
g '(5 ") = 1
h'(C^ = O
4) no 3 f' en - 4 ni en 2
5) no 3 f' en - 1 ni en 2
Sección II
1 )f" :x -> 6 x
g ":x -* --^
2)
(x) = eos ( x + n
Sección III
1)
2 y
-2
2) en - 4 (en O f no es continua)
3) Ejemplo: f(x) = |x+5| + |x -1 | + 7
en - 5 y en 1
Sección IV
1) f( x )
r'(x) =
(x -1 )^
g 'M
=
^
3 x ( 2 + x ^)
h 'W = 7 + 12X
(3x-1)^
^
V 3 + x^
-
2)
,34x^
+ 2x^ - 20
(x 2 + 5)2
f'(x) = -1 2 x -
7f"(x ) = -
12
g'(x) =—t4 = -
g"(x) =
h '( x ) = - ^ ÍL _
h "(x ) = - 1 2 í 2 x ! z 2 L
V x^ + 1
^ ^
234
(2x^+3)^
^^
( x ^ + i) V x ^ + i
(2x^+3)='
_g
Ι'(χ) = (10x + 3)cos(5x2 + 3x)
g'(x) =
V x cos ( V x )
^
h'(x) = - 12x^sen(3x^-In5)
r'(x) = 5 [sen x + eos (3x)]‘* · [eos x - 3 sen (3x)]
3 (x -3 )^ (6 x -x ^ + 1)
t'(x) = 6 íg(3x) · sec^(3x)
- 1x1
í'(x) =
x^ V i + x^
y ( 2 x )·^ /^ S ÍX >0
g'(x) =
O
si x<0
- 2 eos
h'(x) =
X
s e n ·" X
Bección V
1)
1) 5x^ + 9x^ -
3)
3
cos^3x
+ 24 sen 6x
5) 7x® + 9χ2 -
14
11)
13)
15)
17)
4) cotg
lOx^ -
3
9;
2) - 6 s e n 6x + — ------ ^ -=
^
2 vx
cosx
5
6
X
X
+ cos(ln x)
6) -^ ^ ^ (6 x V jT + 1 2 V )T - 7x^ - 15x)
-
2 V )T
(x^ + 3x)^ (1oX + 2 4 -5 x^)
( 2 -x )"
10)
V x (i +
1
(x -4 ) v 7
4 In^ (ln x)
X ln X
12) X* (x ln X + X + 1)
14)
-2 x
x'’ + 1
3
[1+Ιη^(χ3)] x
16)
5x
V are sen 5x^ V l - 25 x'*
- 2x^
V i - x"
18) e'9*'
3x^
cos^(x^)
235
19) -
1
1+ X
20) - ^ t g - ^ - ^
x^
X
cosecx
21) 2xsec^ (x^ + 1) ln x^ + — tg(x^ + 1)
23)
____________
3x^ (1+9x^)2 \ - 1
3x'
a rctg S x
(arctg S x)'
^
T ^
V
I
X
are senx
1 + x'
- 2 x e are cos X-
24)
V i - x"*
- 6x - x^ - 1
26)
25) 2 V 9 - x ^
27)
(x ^+ x + 2 ) (2x^+x+1)
-
28)
|x l\/F ^
29)
22)
sec
5(4tg35x-1)
2
.2x
cos^ 5x
30) — + e* sen x^ + 2x e* cos 1
X
31) sh2x + Gth^xsech^x
32) 2 sh ( x -3 ) - 2 coth x ·. cose<
- 3 sen X cos(5x)
33) e'=°®‘^*>
^en^(5x)
sen(5x)
ln 2 are tg(2x)
34) 2'^'·
■+
cos^ x
1 + 4x^
]
x '"v x (ln x + 2 ln V x )
35)
36) — cotg X - 2x e*' ^ ^
2x
1
37)
4ch‘ ( - | )
2 V c h x - sh X
39)
1
V
qT
1
38)
- 2 sen^ X
40)
'
v T + sen'^ X
41)
42)
2n/ ^ V
i
+V6x
1 -
43) are tg x (1 + x^) - 7
x^
i
- X
+ X
3) a) (fgh)' = (fg)'h + (fg)h' = (f'g+fg')h + fgh' = f'gh + fg'h + fgh'
b) y' = cos(sen x) cos^x(x sen x + cos x) +
+ X sen(sen x) cos^x - sen(sen x) (xsenx + cosx)sen2x
4) Recordamos la siguiente propiedad: logt, x = log^ e · log^ x
a)
log e
5) f 'd ) = Y
236
b)
log, e
= i
''0 0 ) = 7
no existen
3 (y-2 x^)
2x - y
1 - 3x
c)
X
- 3y"
y5
1 + 2y^
;------- —
(4 -3 y ^ x )2
)2VVx7·
(4-
d)
y 2 J^2 ^ 3 y j^ 4
+ 3y^ x
2 - 1 5 yx"* + 4xy^ + y
1 - 3x^
O
1 -3y2 .
1 + y^
« ) - V T
h)
3x ^ -
6y ^ x^ -
X
-^ e n (x .y )
1 + sen (x+y)
x^
te ló n VI
1 0 t:y = -
3x +
g) t:y = -
7x +
h) t:y = - A +
6
n: y = €x - 55
n: x = 3
24
X
n: y = — +
7
V) t:y = - 7 x - 5
m)
77
t:y =
n; y = -
e
r) t:y = (2 + 77)
2)
f)
h)
(1 -
X
i)
no existen
:\) (3;54)
n; y =
X
4) (2;7)
I
15
7
x + — + 2
2
n: y = - x
q) t;y = x + 2
P) t:y =
19
X
s) t:y = 9x + 7
0 t:y = -
79
^
X
n : y . y -
+ 2
e
e + 1
n :y = — — — x 2 + 77
g) ( V T ; 5 - 4 \ / l )
1
( - V ^ ; 5 + 4V"2)
s) no existen
5) no existe
6) ( - 2 ; - 4 )
237
9) ( - 1 ; - 4 )
y
12) f) (1:2)
V)
(1;0)
10) y = x
g) (-2 :2 )
(1:0)
w)
13) en(0;4)
y
14) en (O :^ )
h) (6:0),
(-1 :1 )
p)
en(4;4)
a ,2 = 0
11)
y = x -
(-6 :0 )
s) (0:0)
3e
t) ( - i ; i )
(3:2)
= a rc tg ^ ^
y
en ( - 6 ; ^ )
c.,2 = a r c t g ( = ^ )
Sección VII
1) s) V = O si t = 2,5 ; V < O si O < t < 2,5
y
v > 0 si t > 2,5
t= 5
*=2.5 < “ 3
----
-6 ,2 5
f) Vt:
V
0
> 0
t= 0
t= 2
0 1
15
g )v = 0 s i t
= 0 0 t
= — ; v < O s i O < t <
3
—
3
y
v > 0 s i t > -
t= 2 .6 < ------------------------------- ,^0
-6 ,4 8
h)
V
= 0 si
0
t
3
= 1,5 ; V < 0 si 0 <
t
< 1,5
y
v > 0 si
*= 1 ·5 < ______________„
-3 ,5
2) s) Vt: a = 2
0
1
f) a = 0 si t = - ^
6
h) Vt: a = 4
3 )v = 0
238
a = -^
3
s it = 3
g) a = 0 si t = —
3
t
> 1.5
ic ló n Vili
I a) dy = 0,0000250
b) dy = 0.0300
c) dy = 0,0800
Ay = 0,0000249
Ay = 0,0301
Ay = 0,0801
I) 1(5,02) = 111,446008
Í
f(5) + df(5;0,02) = 110 + 1,44 = 111,44
= 0,006008 < 0,01
- 1
= 2e’
y" = 2
t^ - 1
c) y' =
1
9
X
-
+- 4 > / 2 ‘
«^1
4t^
(t^ + 1)^
n(x) =
_3
4
80
n(x) = 9 x
( x ) 2 y - x y x - 3 x x y + 3(x)^ y
(¿)S
n/3
7) ig « = ^
3
TT
2
1B)
y
t^ + 1
4
3
6) y'
3
4t
y" =
*
8) tg aa =
^cos t -e o s 2t
sen t + sen 2t
11) a ,2 =
I y
a) se intersectan en el origen y para t =
9)
^
tg
2
27T
«12
=
(Nótese que el origen tiene para C,
loordenadas polares ^0; - y j y para Cg (0,0>.)
b) en los dos puntos de intersección las curvas son ortogonales.
239
7. MAXIMOS Y MINIMOS
En muchas situaciones interesa conocer en qué puntos del dominio una funcióf
alcanza un valor máximo o mínimo o en qué intervalos la función es creciente o d f
creciente.
En economía, por ejempío, las funciones correspondientes a una demanda nof
mal son decrecientes y la:; de oferta normal son crecientes.
Otro problema corriente es el del fabricante que desea conocer las dimensional
del envase de un producto para que el gasto de material sea mínimo, o cuál camirK
debe elegir para que el rendimiento del transporte sea máximo.
Si bien en la vida cotidiana esos problemas responden a diversos factores der (í>
fluencia y la solución m atem ática corresponde a funciones de vectar o de v ii
rias variables, la intro du cción al tem a debe darse com o aplicación del cálcul<
diferencial para funciones escalares.
Ya se han visto en capítulos anteriores las definiciones de funciones monótona!
y de máximos y mínimos absolutos y locales. Se verá ahora de qué manera el cálcuH
de la derivada permite localizar los intervalos en que una función es monótona
aquellos puntos del dominio en los cuales el gráfico de la función presenta algunai
características especiales.
I. Signo de la derivada primera
Teorema 1
Si el punto a es interior al dominio de la función f y f tiene derivada finita y positivi
erra, entonces existe un entorno reducido del punto a en el cual se verifica:
Vx; [( x >a=> f(x) > f(a))
a
(x
< a
f(x) < f(a ))].
Demostración
Por hipótesis, f'(a) = lím,
> 0.
x -a
Por una propiedad de límite finito (pág 134), existe un entorno reducido del pun
to a donde Vx;
240
tiene el mismo signo que su límite.
t
Cs decir, 3 E' (a) / Vx € E' (a):
> 0.
x -a
Para que el cociente indicado sea positivo en el entorno considerado, es necesay suficiente que el numerador y el denominador tengan el mismo signo.
Es decir, si el denominador x - a es un número positivo, entonces el numerador
) ((a) es también un número positivo.
0 sea, X - a > O =? f(x) - f(a) > O (1).
1 n otra posibilidad es que denominador y numerador sean ambos negativos.
0 sea, X - a < O =3*' f(x) - f(a) < O (2).
1 uego, de (1) y (2) resulta:
V x : [ ( x > a => f(x))> f(a) a
(x
< a => f( x ) < f( a ) ) ],
os la tesis.
Obsérvese que en este caso, cuando la derivada f' (a) es positiva, f(a) no puede
(f máximo ni mínimo local.
(:n efecto, í(a) no es máximo, pues se ha visto que para x > a resulta f{x) > f(a),
cual contradice la definición de máximo para f(a).
Análogamente, f(a) no es mínimo, pues para x < a resulta f(x) < f(a), que contra0 · la definición de mínimo para f(a).
S i el
el punto
pu
a es interior al dominio de la función f y f tiene derivada finita y negaon a, entonces existe un entorno reducido del punto a en el cual se verifica: '
I
V x: Í ( x > a =>
f(x ) < f ( a ) )
a
( x < a => f(x ) > f ( a ) ) ] .
La demostración es análoga a la del teorema anterior.
Hota: La propiedad demostrada en el teorema 1 suele indicarse diciendo que si una
función f tiene derivada positiva en un punto, entonces f es estrictamente creciente
dicho punto.
I
Para ello se define previamente crecimiento estricto en un punto de la siguiente
.fnanora:
f estrictamente creciente en el punto a <=> 3E(a) / [ ( x > a A x e E(a) =>
=> f(x) > f(a)y A (x < a A X e E(a) => f(x) < f(a ))].
Es decir, el crecimiento en un punto asegura la existencia de un entorno donde el
Incromento de x y el incremento de y tienen el mismo signo.
Análogamente, el teorema 2 puede enunciarse: si una función f tiene derivada
n«().iliva en un punto, entonces f es estrictamente decreciente en dicho punto. Es
riocir, existe un entorno del punto donde el incremento de x y el incremento de y tienon signos opuestos.
II. Extremos de una función
Se llaman valores extremos de una función los máximos y mínimos locales o abde la misma.
Para encontrar los extremos locales de una función se puede recurrir a su definiIII in, investigando los valores que alcanza la función en distintas partes del dominio.
hdIijIgs
241
En algunos casos puede resultar sencillo utilizar ese método, como sucedt
ejemplo siguiente:
Sea f: x
1
x2 + 4
y = x2 + 4
2 X
Para x = O es f(0) =
Luego f(0) = - ^
y
vx.
^
l(x) < -J-
es un máximo local de f. que, en este caso, es también máJ
absoluto de f en R.
1
Obsérvese que en este ejemplo f(0) = — es máximo absoluto en cualquier
4
conjunto del dominio al cual pertenezca el origen.
En la mayoría de las funciones, sin embargo, no es simple localizar extremo
comparación de vatores.
En el ejemplo anterior puede observarse que la derivada de latunción 1 se
en el origen, pues:
v x :('(x )=
y
f(0) = 0.
Esta circunstancia parece sugerir la idea de que la función alcanza valores
mos en aquellos puntos donde el gráfico admite tangente horizontal.
Esta idea no es. correcta, pues una función puede alcanzar máximo o
local en puntos donde no hay tangente, es decir, en puntos donde fa función
derivable, como sucede en la ^función f: x - j x - l j :
f(1) es máximo local y absoluto de f y no existe f'< l).
Consideremos también la función f : x - > (x - 3 ) ^ + 1·
242
I n un mínimo local y en el punto [3; f(3)] el gráfico tiene tangente vertical (semi<«).
h» lo tanto, en este caso, al igual que en el anterior, la función alcanza un extrejbI on un punto del dominio donde no tiene derivada finita,
rimbién puede suceder que el gráfico tenga tangente fiorizontal en un punto del
y que el valor correspondiente de la función no sea ni máximo ni mínimo local,
lucede en la función f: x
x^ + 1.
|*(l) - 3x2
f'(0)
tn o! punto (0;1) el gráfico tiene tangente.borizontal y no hay extremo.
Por lo tanto, la condición de tener derivada nula en un punto no asegura la exisllM ln de extremo para una función. Pero si una fúnción derivable tiene un extremo
un punto interior a su dominio, entonces dicha derivada es nula.
Fs decir, la anulación de la derivada primera es condición necesaria para la exisIMV;lii de máximo o mínimo local si la función es derivable y el punto correspondiente
H Ininrior al dominio de la misma.
Probaremos esta condición en el siguiente teorema.
ftorom a
;')i I tiene derivada finita en el punto c y alqanza un máximo o mínimo local en el
|<unl() c, interior al dominio de f, entonces f'(c) = 0.
o sea, c interior D,
a
3f’(c)
a
f(c) máximo local
=>
f(c) = 0.
243
Dem ostración
Como por hipótesis existe el número real f'(c), caben tres posibilidades!]
f’(c) > O f’(c) < O Y f(c) = 0.
1) Si f'(c) > O, por el teorema 1 (pág. 240)existe un semientorno a derecl"
donde Vx; f(x) > f(c). Esto implica que f(c) no es máximo local. Absurdo.
2) Si f'(c) < O, por el teorema 2 (pág. 241)existe un semientorno a izquiert
donde Vx; f(x) > f(c). Esto Implica que f(c) no es máximo local. Absurdo.
Luego, f'(c) = 0.
Ejemplo
Sea f; X ^ (x - 3)^ + 1.
La curva correspondiente es una parábola con la concavidad dirigida hacia i
y cuyo vértice es el punto (3; 1).
+ 1
f(3) = 1 es un mínimo local de la función.
De acuerdo con el teorema, como f es derivable, f' (3) debe ser nula.
En efecto, Vx e R; f' (x) = 2(x - 3) y f’(3) = 0.
En este ejemplo, f(3) es también el mínimo absoluto de f.
Como se había visto en el último ejemplo anterior (pág. 243), el recíproc
teorema no es válido, pues la existencia de tangente horizontal no implica la exil
eia de un extremo.
Por lo tanto, como el problema de localizar extremos es de singular importa^
deben buscarse criterios que permitan asegurar la existencia de los mismos.
Estos criterios, aplicados a funciones derivables en puntos interiores a su
nio, completan la información dada por la condición necesaria demostrada.
También tiene importancia ubicar los extremos locales cuando éstos apar
en puntos donde la función no es derivable.
Finalmente, debe dedicarse especial atención a aquellos valores que son
mos o mínimos absolutos pero no son simultáneamente máximos o mínimos loci
En este capítulo estableceremos varias condiciones que aseguran la exist«(*
de extremos locales. Para poder demostrarlas, probaremos previamente algunas]
piedades de las funciones derivables.
244
fopiedades de funciones derivables
lbujar la curva correspondiente a una función derivable en un intervalo ceverifica esta propiedad geométrica: si se ífaza la recta que pasa por los
Í
I de la curva, es posible hallar un punto interior al intervalo donde la tangráfico es paralela a dicha recta.
La figura (1) corresponde al caso particular en que la función alcanza valores
U ti en los extremos del intervalo. La figura (2) corresponde al caso general.
La propiedad ilustrada en la primera figura se demuestra en el teorema de Rolle,
^opiedad general se prueba mediante el teorema del valor medio,
ln ambos teoremas exigiremos que la función sea derivable en el intervalo abiercontinua en los extremos, es decir, no es necesario exigir que la función tenga de­
ja finita (lateral) en J o s .e x tre n ^ d e l intervalo. Por razones de simplicidad puede
jarse una hipótesis más fuerte que la anterior, exigiendo que la función sea derien el intervalo cerrado.
Í
lira m a de Rolle*
SI f es una función continua en el intervalo [a; b], tiene derivada finita en (a; b) y
- í(b), entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a; b) donde f'(c) = 0.
^ 0 , ^stración
Al ser f continua en el intervalo cerrado [a; b ], por el segundo teorema de
Walorstrass (pág. 182), alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos.
Sea m el mínimo absoluto y M el máximo absoluto de f en [a; b].
Si m = M, entonces f es constante en [a; b]. Por un teorema anterior (pág. 199),
la (lorivada de una constante es cero.
Luego, Vx e [a ;b ]:f’(x) = O, y la tesis se verifica para cualquier punto c interior
•I liilervalo.
Si m
M, entonces uno de los dos valores es distinto de f(a).
' Miguel Rolle (1 6 5 2 -1 7 1 9 ), matemático francés a quien la teoría de ecuaciones debe imporl«Mins contribuciones.
245
Se presentan los tres casos siguientes.
1)
Si es nn í(a) y M = f(a), como m es ei mínimo absoluto de f en [a;b],
m < f{a).
Por lo tanto, f alcanza el mínimo absoluto en un punto c, interior al interval©. U
go, f(c) es mínimo absoluto y también es mínimo local. Por un teorema antei
(pág. 243), como f es derivable, es^t*(c) = 0.
2)
Si es M ^^<a) y rn = f(a), como M es el máximo absoluto, es M >
Por un razonamiento análogo al anterior, f(c) = M es máximo absoluto y
cal y f’(c) = 0.
3)
Si m t f(a) y también M
f(a), la función f alcanza el mínimo m en un ji
to c interior al intervalo y el máximo M en un punto c ’, también interior al ¡ntení
[a; b].
246
|η ifJla situación ambos extremos absolutos son también locales. Luego, es
lO y f’(c’) = 0.·
ILoe casos 1, 2 y 3 pueden sintetizarse en uno solo de la siguiente manera:
[# M. entonces uno de ellos, por lo menos, es distinto de f(a) = f(b). Por lo tanto,
dicho extremo absoluto en un punto c, interior al intervalo, y f(c) es, al mismo
po, extremo absoluto y local. Por un teorema anterior (pág. 243), f'(c) = 0.
Millar un punto c, correspondiente al teorema de Rolle, para f: x -♦ x^ - 3x^
le¡3).
f(0) = O y
f(3) = O
>M - 3x2 - 6x
• M ’ ■ 3x(x - 2)
Rosulta: f’(2) = 0. Luego, en c = 2 es f’(c) = O y además c e (0;3).
La derivada también se anula en c’ = O, pero c’ no es interior al intervalo conlitra do .
|||ertm a del valor medio del cálculo diferencial
■ Si f es una función continua en el intervalo [a: b] y tiene derivada finita en (a; b),
lWonces existe un punto c e (a; b) tal que:
f(c ) =
b - a
247
Demostración
Consideremos la recta r, determinada por los puntos [a; f(a)] y [b; f(b)]. Llame­
mos también r a la función representada por la recta r.
La ecuación de r es:
f(b) - f(a)
b - a
o sea, Vx . R: r(x)
Si k = -
b - a
=
b —a
^
x -
r(x) - f(a)
x -a
b —a
a . f(a).
a + f(a), entonces la función lineal correspondiente es:
r :x ^ ií ^ I ^ x
+ k.
Luego, Vx: r'(x) =
D “ 3
Determinemos una función auxiliar h = f - r.
La función h es derivable en (a; o) por ser la resta de dos funciones derivables,
y h'(x) = f'(x) - r'(x).
Por razones análogas, h es continua en [a; b] y, además,
h(a) = f(a) - r(a) = 0 y h(b) = f(b) - r(b) = 0.
Por lo tanto, la función h cumple las condiciones exigidas por la hipótesis del teo­
rema de Rolle, y entonces 3 c e (a; b) / h' (c) = 0.
P eroh'(c) = f'(c) - r'(c) = f'(c) Luego, 3 c e (a; b) / f'(c) = ®
~
b - a
= 0.
^
b - a
Gráficamente· puede observarse que la recta que une los. puntos [a iíía ) ] y
[b; f(b)] es paralela a la recta tangente a la curva en [c; f(c)]. En efecto, según el teo­
rema demostrado, ambas tienen igual pendiente.
Ejemplo
Hallar un punto c, correspondienle al teorema del valor medio, para f: x
- 3 x + 4 en el intervalo [a ; b] = [O; 2],
248
2x^ -
b - a
=
H2) - f(0) .
= 4C-3
4c
J.
2 - 0
Luego, por el teorema indicado, 3c e (0; 2) /
^ f(0 ) ^
4c
-
3.
-
Si reemplazamos valores y efectuamos operaciones:
‘’ 2’ - =
4c- 3
=>
4c-3=1
=>
c = 1.
Por lo tanto, la tangente al gráfico en el punto
Níi por los puntos (0; 4) y (2; 6 ).
(1
; 3) es paralela a la recta que pa-
Consecuencias del teorema del valor medio
1. Si f es una función derivable en un intervalo I, y en todos los puntos del intervalo la
derivada de f es nula, entonces f es constante en I.
Demostración
Consideremos un inlen/alo cualquiera [x ,; X j] C 1.
La función f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [x ,; Xj].
Luego, 3 c e (x, ; x 2 ) / f '( c ) *
C om of'(c) = O, resulta
P e r o iííá ^ ^
X2 - Xi
= O=
X2 - Xi
X2 - X t
^
q
f(x,) = t(x,).
Como X, y X2 son dos puntos cualesquiera del intervalo I, Vx e I: f(x) = f(Xi) =
f(x2) = k.
Por lo tanto, se ha probado
V x € l: ( f '( x ) = Q=> 3 k € R / f ( x ) = k).
Si dos funciones tienen la misma derivada en cada punto de un intervalo I, enton­
ces dichas funciones difieren en una constante.
Es decir, si f y g son derivables en un intervalo I, y Vx e l:f’(x) = g’(x), entonces
3k € R / Vx e I: f(x) - g(x) = k.
2.
Demostración
V x e l : f '( x ) - g '( x ) = (f - g )'(x ) = 0.
Por la consecuencia anterior,
3 k e R / V x e l : ( f - g) (x) = k.
O sea, Vx e I: f(x) - g(x) = k.
Estas dos propiedades, demostradas como aplicación del teorema del valor me­
dio, son de importancia fundamental en el cálcula integral.
249
Teorema generalizado del valor medio (teorema de Cauchy)*
Si f y g son funciones continuas en el intervalo cerrado [a;b], tienen derivada
finita en e\ intervalo abierto (a;b) y Vx e (a; b): g’(x) O, entonces 3ce(a;b) /
f(b) - f(a) ^ f'(c)
g(b) - g(a)
g'(c) '
Obsérvese que en la hipótesis no es necesario exigir g(b) - g(a)
O, aunque
esta expresión aparece en
la tesis como
un
denominador.Sifuera g(b)= g
teorema de Rolle indica que en'algún punto interior al intervalo se anula la derivada
y esto contradice una de las condiciones de la hipótesis.
Demostración
Consideremos la función auxiliar
p : x ^ [ f ( b ) - f ( a ) ] g ( x ) - [ g ( b ) - g(a)]f(x).
Esta función es derivable en (a; b), pues es la resta de dos funciones derivables
multiplicadas cada una por una constante. También es continua en [a; b] por el mis­
mo razonamiento.
Además, es p(a) = p(b), pues:
p(a) = f(b)g(a) - f(a)g(a) - g(b)f(a) + g(a)f(a) = f(b)g(a) - g(b)f(a),
y p(b) = f(b)g(b) - f(a)g(b) - g(b)f(b) + g(a)f(b) = g(a)f(b) - f(a)g(b).
Luego, la función p satisface las condiciones exigidas por el teorema de Rolle.
Por lo tanto, 3 c e (a; b) / p'(c) = 0.
Derivando la función p, en el punto c resulta:
p'(c) = [ f ( b ) - f ( a ) ] g '( c ) - [ g ( b ) - g ( a ) ] f '( c ) = 0.
Como g’(c) O y g(b) - g(a) t O, de la expresión anterior se deduce la te-,
sis efectuando pasaje de términos:
f(b) - f(a)
g(b) - g(a)
^ f'(c)
g'(c)
Este teorema incluye el teorema del valor medio como caso particular si g
es la función idéntica, es decir, si V xe [a ;b] es g(x) = x.
♦ El teorema de Cauchy admite una interpretación geométrica similar a la del teore­
ma del valor medio para curvas planas más generales definidas en forma paramétrica
por dos ecuaciones x = g(t), y = f(t), donde es a < t < b.
En el gráfico resulta el vector h’(c) paralelo al vector (h(b) - h(a)), y c es un pun­
to interior al intervalo paramétrico [a;b].
Para justificar la proposicic^ anterior conviene recurrir a una función vectorial
h = (g; f) y al vector tangente h' (c), pero en este texto no estudiaremos funciones
vectoriales (Cálculo 2, pág. 137).
■ Agustín Cauchy (1789-1857), matemático francés. Dedicó especial atención a los fundamentos lógicos
del análisis matemático.
250
EJERCICIOS
1) Hàliar.c,-<»rrespondiente al teorema de Rolle, para:
f:x - > ,3 + 2x - x2
e n [-2 :4 ]
h: X -» x^ - 4x^ + 10 en [0;4]
g :x --
^ ^ ^ ix - 7)^ en [0;7]
t; x - + x^ - 3x^ + 1
e n [- 1 ; 2 ]
2) Hallar c, correspondiente al teorema del valor medio, para:
f:x
2x
x^ + 1
h: x — n/ x - 1
e n [ - 1;3]
en[1;3]
g:
X
t:x -^
8x^ - 6x^ + 9x
V x^
en [1;4]
en[0;1]
IV. Funciones monótonas
En el capítulo 5 (pág. 184) se han dado las definiciones de funciones monó­
tonas en un conjunto. Veremos ahora cómo se pueden vincular esas definiciones
con el signo de la derivada, cuando las funciones que se consideran son funciones
derivables.
Si una función derivable es creciente en un intervalo 1, la derivada en cualquier
punto del mismo es positiva o nula.
En efecto, en cualquier punto del gráfico la recta tangente al mismo forma,
con el eje positivo de abscisas, un ángulo agudo o nulo. Por lo tanto, la pendiente
de la recta tangente, o tangente trigonométrica del ángulo mencionado, es un nú­
mero no negativo.
De la misma forma, si la función es decreciente, la recta tangente en cada punto
del gráfico forma con el eje positivo de abscisas un ángulo obtuso o llano. Por lo tanto,
la pendiente de la recta tangente corresponde a la tangente trigonométrica de un
ángulo
< ¡3 ■< ir,que es un número no positivo.
251
g decreciente; g'(x) = tg /3 < O
Formalizaremos las consideraciones geométricas anteriores, demostrando los
teoremas correspondientes.
Teorem a 1
Si una función es estrictamente creciente (o creciente) en un intervalo I, enton­
ces en cada punto de dicho intervalo, donde f es derivable, la derivada es no negativa.
O sea, f derivable y estrictamente creciente en l => va e l:f’(a) > 0.
Demostración
Como f es estrictamente creciente en I;
X < a => f(x) < f(a)
y
Luego, en ambas situaciones: —
x -a
x> a=
f(x) > f(a).
> 0.
Por una propiedad de límites finitos (pág. 134):
^
X -a
Luego, Va: f'(a) > 0.
Teorem a 2
Si f es una función estrictamente decreciente (o decreciente) en un intervalo, en­
tonces en cada punto de dicho intervalo, donde f tiene derivada finita, la derivada es
no positiva.
La demostración es análoga a la anterior.
En realidad, interesan fundamentalmente los teoremas recíprocos de los anterio-.
res, que permiten, de acuerdo con el signo de la derivada primera en un intervalo,
indicar si una función es creciente o decreciente en dicho intervalo.
Así, si la derivada primera es positiva en un intervalo, se prueba que la función es
estrictamente creciente en el mismo, y si es no negativa, que la función es creciente.
252
ftorem a
Si f es derivable en el intervalo I, y Vxe l:f’(x) > O, entonces f es creciente en I.
| l f'(x) > O, entonces f es estrictamente creciente en I.
O^rnostración
Para probar que f es creciente en I debe probarse, para cualquier par de puntos
i , y Xp del intervalo:
X l < X j = » f ( X , ) < f(X2).
Sea X, < X2 · Por el teorema del valor medio (pág. 247),aplicado en el intervalo
| k , ; x 2 ]C I:
f( X i)-f(X 2 )
Xi - Xí
= í'(Xo) (Xi < Xo < X2 )·
Por lo tanto, f(x,) - f(x 2 ) = f'(Xo) (Xi - X2 ) (1)·
Como habíamos elegido x, < Xj, es x, - Xg < 0. Luego, por la regla de los sig­
nos, en el producto que aparece en el segundo miembro de la expresión (1),
si f’(Xo) > O, entonces f(Xi) - ((Xj) < 0.
O sea, Xi < X2
f(Xi) < f(xa) y f es creciente en 1.
Si f’(Xo) > O, entonces f(Xi) - f(X2) < 0.
O sea,Xi < X2 => f(Xi) < f(x2) y f es estrictamente creciente en I.
Análogamente se prueba el siguiente teorema.
Teorema
Si f es derivable en el intervalo I, y Vxe I e s f’(x) < O, entonces f es decreciente
on I. Si f’(x) < O, entonces f es estrictamente decreciente en I.
Ejemplo 1
Indicar en qué partes del dominio la función f: x —>■x^ es creciente.
f'(x) = 3x2
Por lo tanto,|V-xt f'(x ) > O.
Luego, f es creciente en todo su dominio.
Además, en este caso, f es estrictamente
creciente en todo su dominio.
253
Ejemplo 2
Indicar en qué partes del dominio la función f; x
decreciente.
+ 3x^ - 1 es estrictamente
^
Vx: f’(x) = 3x2 + 6x = 3x(x + 2).
f’(0) = 0.
Luego,
2) = O y
Resulta: f’(x) < O s i - 2 < x < £ l
Por lo tanto, f es estrictamente decrecieate en eí intervalo (-2^0).
EJERCICIOS
1) Indicar en qué subconjuntos del dominio las siguientes funciones son crecientes o
decrecientes, de acuerdo con el signo de su primera derivada:
h :x -» 2 x 3 + 9x2 - 24x
f: x ^ 3x^ - 2X + 5
g:x
m:
X
r:j(- ^ 4 x ^ ( x - 1)^
4x - x^
3x - 2
1 -
s:
X
X
2) Idem para f: x
300 -
1000
x + 3
V (4 - x)^ (2x - 4)
g:x
x^ - X + 1
X + 1
h: X ^
X
V 5x - x^
3) indicar en qué subconjuntos del dominio las siguientes funciones son estrictamente crecientes:
f:
X -»
m:
X -
x^ + 3x + 5
2x - 3
X -
1
g: X-+ xi/3(x _ 2 )‘
h: X
\ / V ^ 2 x
1
s: X
(X -
3) 2
4) Indicar en qué subconjuntos del dominio las siguientes funciones son estrictamen­
te decrecientes:
f : x ^ 5 - ( x -3 )2 g : x ^ x ' ’ - 2 x 2 h: x-» < x + 1 )^ (x - 2)^
254
f in-*
m: X
+ 2
- 6x +
31
s: X
X + 2
Vtrificar que las siguientes funciones son estrictamente decrecientes en los inter­
valos indicados:
l:x - > ( x -
O
1)^^ en ( - 1 : 1 )
g: X -> \ / 1 - x^ en (0: i )
en (0:9)
h: X
m: X
8
x^ + 6x + 8
en ( - 3 ; - 2 )
V. Criterios para determinar extremos locales
Se ha repetido varias veces que no basta la anulación de la derivada de una funOlón en un punto interior a un conjunto para asegurar la existencia, en dicho punto, de
•n extremo local. Si se quieren hallar., .entonces, los extremos localesde una función,
dobe completarse la intqnnación mediante ptron^'datos.
Daremos a continuación varios criterios que permiten asegurar la existencia de
un máximo o de un mínimo local.
Criterio 1: Estudio de los valores de la función
Si c es un punto interior ai dominio de una función derivable f y f'(c) = O, para
inber si f(c) es un máximo local pueden considerarse los valores de f en un entorno
do c y ver si satisfacen la definición.
Es decir, si es posible determinar un entorno de c tal que, para cualquier punto x
del entorno, el valor f(x) correspondiente es menor o igual que f(c), entonces f(c) es
máximo local.
La misma idea puede utilizarse para verificar la existencia de mínimo local.
Ejemplo
Sea f: x
x2 + 1
. Utilizando el criterio anterior ubicar, si existen, máximos y
mínimos locales.
255
f'(x) =
x2 - 1
Deseamos ver, ahora, si f(1) = 2 y f ( - 0 = - 2 son extremos locales de
Observamos que, para cualquier x pr^itivo y distinto de 1, es
f(x) > 2, pues·^·^ ^ ^
2
six > O
En efecto, si x es positivo, es;
x2+l
>2
c=>
x2
+ 1 > 2 x <=i
x2
+ 1 -2 x > 0
<=» (x -1)2 > O, expresión qu^
se verifica si x :^1.
Por lo tanto, f(1) = 2 a<=: un mínimo local de f.
De manera análoga, puede probarse, para cualquier x negativo y distinto de 1
f(x) < - 2, pues ^ ~ * ~ ^ < - 2 s i x < 0
a
x
:^1.
Por lo tanto, f( - 1 ) = - 2 es un máximo local de f.
En general, este criterio presenta dificultades de cálculo, pues exige consid®
rar los valores de una función en los infinitos puntos de un entorno y puede llevai
a conclusiones falsas si se consideran solamente algunos valores de la función er
puntos aislados del entorno.
Criterio 2: Variación del signo de la derivada primera
Si f es una función derivable, c es un punto interior a su dominio donde se anulaf
y existe un entorno de c tal que para todo x en el semientorno a izquierda de c esf'(x)
positiva, y para todo x a derecha de c es f'(x) negativa, entonces f(c) es un máximo
local de f.
O sea,
3 E ( c ,8 ) /V x : [ ( x € ( c - 5 ;c) => f '( x ) > 0 ) a ( x e ( c ; c + 5) => f '( x ) < o ) ] = >
=> f(c) máximo local.
Se suele abreviar este criterio diciendo que si la derivada primera pasa de posi
tiva a negativa cuando x pasa de izquierda a derecha del punto c, entonces f(c
es máximo local.
256
^ m o stra ció n
I
Por teoremas anteriores (pág. 253):
||*(x) ^ O en (c - 8; c] => f creciente en (c - S; c] (1) y
f ix ) < O en [c; c + 5)
f decreciente en [c; c + 8) (2).
Luego, por (1), Vx e (c - 8; c] es f(x) < f(c),
y por (2), Vx c [c; c + 6) es f(c) > f(x).
Por lo tanto,
V x :( x c E ( c ,8 ) => f( x )< f( c ))
V. de acuerdo con la definición. f(c) es máximo local.
En forma análoga se demuestra el criterio pára determinar un mínimo locti, q u f
dice:
Si f es una función derivable, c es un punto interior a su dominio donde se a n u ltf
y existe un entorno de c tal que para todo x en el semientorno a izquierda d · Ot |
f'(x) negativa, y para todo x a derecha de c es f'(x) positiva, entonces f(c) es un rn|b i
nimo local de f.
*|
Es decir, f(c) es un míninio local si la derivada primera pasa de negativa a P O lkl
tlva cuando x pasa de izquierda a derecha del punto c.
1
Ejemplo
,
Hallar los extremos locales de f: x ^ x \ / x + 1 , utilizando el criterio de la dfft·
vada primera.
El dominio de f es D, = l x / x > - 1 | .
Calcularemos la derivada de f:
f'(x) = V x + 1
Vx: ^ x > - 1
O sea,
f’(x) =
Luego, f ^
3x + 2
2V>T+T
= - 2
si
2V X + t)
x > -1 .
E sf’(x) = 0
si
X =
puede ser un extremo local.
257
Estudiaremos el signo de los valores de lafunción derivada f'en un entorno di
Como para todo x > - 1 es f'(x) =
^
, el signo de f'(x) depende dé
2V X + 1
signo del numerador, ya que el denominador siempre es positiva
2
Luego, a izquierda, x < - — =* 3x + 2 < O
O*
f'(x) < O,
2
y a derecha, x > — - => 3x + 2 > O
si
De acuerdo con el criterio indicado,
f'
(x) > 0.
un mínimo local de f.
Criterio 3: Signo de Ja derivada segunda
Si f es una función derivable, £ es un punto interior a su dominio donde-sé anula
f' y existe f" (c ) < O, entonces f(c) es un máximo local de f.
Obsérvese que este criterio difiere, fundamentalmente de los anteriores, pues
solamente debe investigarse el signo de la derivada segunda en un punto y no exige
su cof>slderación en un entorno.
Demostración
S e a f"(c ) = lím, - L W _ z £ l£ L < o .
X- c
Por una propiedad del límite finito (pág. 134),
3 E '( c ) /V x : ^ x e E '( c ) =>
f '( x ) - f '( c )
-< O
C om of'(c) = O, e s - ^ - ^ < 0 .
X - c
Para que este cociente sea negativo, numerador y denominador deben tener
signos opuestos, o sea,
a izquierda de c: x - c < O => f'(x) > O, y
a derecha de c: x - o
O =» f'(x) < 0.
Por el criterio de la derivada primera, f(c) es máximo local.
En las mismas condiciones, si T'(c) > O, puede probarse que f(c) es mínimo local.
Este criterio es cómodo si la derivada segunda es fácil de calcular, pues, como
se ha dicho, sólo exige conocer su signo en un punto. No puede utilizarse si la función
elegida no tiene derivada segunda en el punto, y presenta inconvenientes si la segun­
da derivada es difícil de hallar. Además, no proporciona ninguna información si la
derivada segunda existe pero es nula en el punto considerado.
258
fftm plo
Hallar extremos locales de f: x
|v«da segunda.
x^ + x^ - x + 2, utilizando el criterio de la de-
Calcularemos la derivada de f.
Resulta:
V x :f'(x ) = 3x2 + 2 x - 1 .
La derivada se anula para x^ = - 1
y para
Xj =
O
Buscaremos ahora la derivada segunda de f:
V x :f"(x ) = 6x + 2.
De acuerdo con el criterio de la derivada segunda, hay que determinar su signo
en los puntos donde se anula f'.
Resulta f ” ( - 1) = - 4 < O, y, por lo tanto, f( - 1) = 3 es un máximo local de f.
= 4>0
y
es un mínimo local.
EJERCICIOS
1) Hallar, si existen, extremos locales de las siguientes funciones utilizando el criterio
1, que estudia los valores de la función:
f:x
1 + X'
g :x
r2 _ 3x - 10
h:
X
-» 5x - 4
2) Hallar extremos locales, si existen, aplicando el criterio 2, que estudia el signo de
la derivada primera en un entorno:
f: x ->
X'*
- 4x^ + 4x^
h : x ^ x ^ - 3x^ + 6
s: x
x2 + 1
3) Hallar extremos locales aplicando el criterio de la derivada segunda:
f:x^x^(x-1)
h: x - ^ (x - 1)3 (x - 3)
r: x
1 + \A x
259
s:x-^ (x - 2)^ (x + 1)2 p;x-»5x^-^ n:x x ^ - 4x^ + 10
t ; x ^ 10x^(x - 1)2
^:x^x
g: x-»>2x3 + 3x2 - 12x + 5
2
_ A
m :x -> ^ + ^ - 6 x + ^
u; x x ^ - 4x^ + 5
v; x -» 3x'* - 24x2 + 4
VI. Extremos absolutos
En la mayoría de los problemas de matemática aplicada no interesa hallar los ex
tremos locales sino los extremos absolutos que alcanza una función en su dominio
en algún intervalo, determinado, generalmente, por las condiciones del problema.
Ahora bien, si el máximo o el mínimo absolutos corresponden a una función dert
vable y la función alcanza dichos valores en puntos interiores al conjunto consid··
rado, entonces los extremos absolutos serán, al mismo tiempo, extremos locales.
En ese caso bastará ubicar los extremos locales mediante el criterio más conva·
niente y luego determinar cuáles de ellos son, a la vez, extremos absolutos.
Ejemplo
Hallar, si existen, máwpríaTfiTnimo absolutos para;
f;x — Sx'· - 4x3 - 12x2 + 3.
V x ;f'(x ) = 12x3 - 12x2 - 24x = 12x(x2 - x - 2).
Buscaremos ahora los puntos donde se anula la derivada anterior.
Resulta f'(x) = 0 si Xi = 0, X 2 = -1 , ^3 = 2 .
Para determinar si en algunos de los puntos anteriores la función f alcanza un
extremo local, utilizaremos el criterio de la derivada segunda:
V x :f"(x ) = 36x2 - 2 4 x - 24.
Hallaremos el signo de f " en cada uno de los tres puntos seleccionados:
260
)enx,=
0 ;f"(0 )
= - 2 4 < 0 = » f(0)
=
3 es máximo local;
) en Xj = - 1 ; f" ( - 1) = 36 > 0 => f( - 1 ) = - 2 es mínimo local;
) en X3 = 2 ;f"(2 )
= 72 > 0 => f(2)
= - 2 9 es mínimo local.
f
Ahora, bienrla función f alcanza mínimo absoluto en el punto 2, y f(2) = -2 9
|s el mínimo absoluto de f. En cambio, f no tiene máximo absoluto, pues lím J(x) = + x
^ los valores de f superan a cualquier número real.
Si se quieren hallar los extremos absolutos de f en un conjunto acotado, deben
Investigarse especialmente los valores que alcanza la función en los extremos de ese
conjunto, pertenezcan o no al mismo.
Por ejemplo, si se considera la función f sobre el intervalo [0; 2], f(0) = 3 es el
máximo absoluto y f(2 )= -2 9 es el mínimo absoluto.
En el intervalo (0; 2), en cambio, la función no tiene ni máximo ni mínimo abso­
lutos.
Puntos críticos
Como se ha indicado en el ejemplo anterior, al buscar los extremos absolutos
de una función definida sobre un conjunto acotado, deben considerarse especial­
mente los valores que alcanza la función en los extremos del mismo.
Además, si la función que se investiga no es derivable en algún punto, hay que
tener en cuenta el valor de la función en dicho punto. La función f: x -> |xl, por ejem­
plo, no es derivable en el origen y alcanza mínimo local y absoluto en dicho punto.
Por ello, al buscar los extremos absolutos de una función es importante conside­
rar especialmente los puntos de los distintos tipos mencionados, que son puntos cla­
ves en la investigación que se efectúa. Los llamaremos puntos críticos de la función,
y daremos la siguiente definición.
Definición
Si f es una función continua, definida sobre un intervalo (abierto o cerrado), el
punto c es un punto critico de f en dicho intervalo si se cumple una de las siguientes
condiciones;
1 ) c es interior al intervalo y f' existe y es nula en c;
2 ) c es interior al intervalo y f no es derivable en c (no hay derivada finita):
3) c es uno de los extremos del intervalo.
Como ya se ha dicho, el problema de encontrar los extremos absolutos de una
función continua en un intervalo, se simplifica si se buscan primero los puntos críticos
de la función en dicho intervalo.
Ejemplo 1
Encontrar, si existen, los extremos absolutos de f; x ->
valo cerrado f - ;
L
2
(x -
1 )^
en el inter­
.
2
Para encontrar los puntos críticos de f en
r
~
1
calcularemos primero V :
261
S
x -» (x
t:x -^
g;
X
2)% x
1 0 x^(x
-t
1 )^
1) ^
p : x —» S x -
—
/;x ^ x ^ - —
m:x->^--^
ó
X
^ 2x^ - 3x^ -- 12x + 5
4x-
n; x
u: x
4x^ - 5
¿
10
6x
*
v; X - > 3x^
31
D
- 24x^ - 4
Vi. Extremos absolutos
En la mayoría de los problemas de matemática aplicada no interesa hallar los ex­
tremos locales sino los extremos absolutos que alcanza una función en su dominio o
en algún intervalo, determinado, generalmente, por las condiciones del problema
Ahora bien, si el máximo o el mínimo absolutos corresponden a una función denvable y la función alcanza dichos valores en puntos interiores al conjunto conside­
rado, entonces los extremos absolutos serán, al mismo tiempo, extremos locales
En ese caso bastará ubicar los extremos locales mediante el criterio más conve­
niente y luego determinar cuáles de ellos son, a la vez. extremos absolutos.
Ejemplo
Hallar, si existen, máximo y mínimo absolutos para:
f : x — 3x"
Vx f ' ( x ) = 12x^
4x3
12x^
I2x^ - 3.
24x = 12x(x=^
x
2)
Buscaremos ahora los puntos donde se anula la derivada anterior
Resulta f'(x) = 0 si x, = 0 , X j= 1, X3 - 2 .
Para determinar si en algunos de los puntos anteriores la función f alcun/w un
extremo local, utilizaremos el criterio de la derivada segunda:
V x :f" ( x ) = 36x?
24x
24.
Hallaremos el signo de f " en cada uno de los tres puntos seleccionador»
260
1) <Mi X ,
on X;,
3) on X ,
0 :f"(0 )
24 < O =>
1 :f" ( 1 )=
36>0=>
2 :f"(2 )
= 72 > O =>
f(0)
f(2)
--
3 es máximo local;
2 es mínimo local;
29 es mínimo local.
Ahora bien, la función t alcanza mínimo absoluto en el punto 2, y f(2) ^
29
«s ol mínimo absoluto de f. En cambio, f no tiene máximo absoluto, pues lím ,f(x) = · >
y los valores de f superan a cualquier número real.
Si so quieren hallar los extremos absolutos de f en un conjunto acotado, deben
mvof.'ic.uso especialmente los valores que alcanza la función en los extremos de eso
(:o n|U fit(), porlenezcan o no al mismo.
Por ejemplo, si se considera la función f sobre el intervalo [0: 2], f(0)^ 3 es el
fíi.'iximo absoluto y f(2) = - 29 es el mínimo absoluto.
f fl ol intervalo (0; 2), en cambio, la función no tiene ni máximo ni mínimo abso
lulos
P u n to · críticos
Como so ha indicado en el ejemplo anterior, al buscar los extremos absolutos
di» una función definida sobre un conjunto acotado, deben considerarse especial
rnonlo los valores que alcanza la función en los extremos del mismo
Adomás, si la función que se investiga no es derivable en algún punto, hay quo
lonor on cuenta el valor de la función en dicho punto. La función f; x — |x|, por ojcm
pío, no os donvable en el origen y alcanza mínimo local y absoluto en dicho punto
Por olio, al buscar los extremos absolutos de una función es importante conside
rur ospocialmonto los puntos de los distintos tipos mencionados, que son puntos cla­
vos on ln investigación que se efectúa. Los llamaremos puntos críticos de la función.
y duremos la siguiente definición.
0§nnlción
SI I es una función continua, definida sobre un intervalo (abierto o cerrado), el
punto C es un punto critico de f en dicho intervalo si se cumple una de las siguientes
OOndlclones:
1) C es interior al intervalo y f' existe y es nula en c;
2) oes interior al intervalo y f no es derivable en c (no hay derivada finita);
3) c es uno de los extremos del intervalo.
Oorno ya S(· ha dicho, el problema de encontrar los extremos absolutos de una
IUM(;I(')»\ continua on un intervalo, se simplifica si se buscan primero los puntos críticos
(lo III lililí.K'jn en dicho intervalo.
I
l»n\f}l() I
I M( oiili.II, M (>xisl(Mi, los extremos absolutos de f. X > \ 4x (x
1
V itin I iM l.id n
1 )·'on ol intor
,2
l'.ii.t i'iicontrar los puntos críticos de I en
c a lc u l a r e m o s p rim ero I'
9R1
Vx
4- 0.( (x)
4(7x‘' · - 8x + 1)
3 v 'l6 x '’'
La derivada anterior no existe en el punto O y se anula en los puntos 1 y y
Por lo tanto, los puntos críticos de f son:
tipo í;x , = 1
y
tip o 2: X j= O,
X2 = y
donde se anula f’;
donde no existe f (hay derivada infinita):
tipo3: 3 =
y
b = 2.
que son los extremos del intervalo.
Puede probarse que f
máximo local y f(1) = O # ·
un mínimo
limo local.
9 3 -
Además
\/ 2
es el mínimo absoluto de f en el Intervalo
1
- ÿ ; 2 . El valor í(2) = 2 es el máximo absoluto de f en [ ~ y ¡ 2 j.
Ejemplo 2
Hallar extremos absolutos y locales de f, si existen:
a) en su dominio, b)en(0¡2), c ) e n ( - 3 ; 4 ], si f: x ^ Ix^ - 4| - 1.
262
·) El dominio do I es R y los puntos críticos son;
Upo t) 0. pues f’(0) = 0;
tipo 2) 2 y - 2, pues en ellos ( no es derivable;
tipoJ) como ol dominio no está acotado, buscamos lím , , f(x)
|(x) -
Eslo limito asegura que I no tiene máximo absoluto en R
Obsorvonios que
x*’
(
X·'
X
X '’
1
5
3
5
si
si
si
X ·
2
X
■
O sSIi xX· ^ 2) 2 ) A (^f ' ( x1) - O s i
2 < X < 0)
0
· 0
O ssii O
( f ' ( x ) - O s i x - 2)
X - 22 )) 1 A
0 •· X
^
A
f''(0 ) 2<0
Puede verificarse además que l( 2) = f(2) -
l'(x)·
[l'(x )
f( 2) mínimo local.
► f(2) mínimo local.
> f(0) máximo local.
1 es minimo absoluto
b) En (0,2) I no tiene extremos absolutos ni locales.
c) En 1- 3; 4] f(2) = í( - 2) máximo absoluto.
- 1 m inim o local y absoluto, f(0) máximo local, y
Ejemplo 3
Averiguar cuál es el terreno rectangular de mayor área que se puede rodear
con 100 metros de alambre.
La primera parte del problema consiste en expresar las condiciones anteriores
en lenguaje matemático.
Llamemos x a un lado cualquiera del rectángulo. Si el perímetro es 100, el otro
lado es 50
x.
50
- X
263
C.I a i o a u v i io vviailyuiu v a i a u a u a
■ ■ 0 hv>iv b iu ii « l y u i v i i i · .
a(x) - X(50
X),
Para hallar el nùmero x, que da el àrea m àxima de un rtoténg u lo fn I · ·
condiciones requeridas, debemos considerar la función ••c a la r q u t · Old·
x le asigna como Imagen el Area del rectángulo corre^pondltntf.
Es decir, la función a: x
50 x - x*.
El dominio de la función a e¡jr^ condicionado por la Indo!· del probltmi y
serVx:0 < x < 50.
nùfTWQ
Calcularemos ahora la derivada de la función a;
Vx:a'(x) = 50 - 2x.
Los puntos críticos de la función a son O y 50 como extremo· d f I domink)
blecido, y el punto 25 donde se anula la derivada a '.
Calculamos ahora la derivada segunda de la función a:
Vx:a"(x) = -2 .
Luego, a (25) = 625 es un máximo local. Se comprueba fácllm«nt· qu· M M ·
bión el máximo absoluto de a.
Si interpretamos el resultado anterior en el problema planteado. rftuN ·
|Í
rectángulo de mayor área y perímetro 100 es el cuadrado de lado 25.
9/H§
Ejemplo 4
Hallar el rectángulo de mayor área con base en el eje de a b ao l··· y
Q
opuestos en puntos de la cun/a de ecuación y =
dibujo:
264
, de acuerdo con ·! llg u ltn t·
Hi Ia ImiiP d ii
r « d à n g u l( ) os ?x, su a lt u r a e s tà d a d a por el valor d e la o r d o fiiu l.i
» · dwilf, b^B0 - 2x, altura
Iti ÉIM cJ«l fictàngulo
-----,
' 4
p o d id o e s a (x )
®
2x.
x^ ♦ 4
16x
I A ftItNilòn t l o a l A r c o r r o s p o n d ie n te e s a: x
X^ 4 4
y Ü i lllintinlo, d t ACUtrdo c o n
9 1 /à m m reNlM poaitivos
m HMNi(iliimoii la
la in d o le g e o m è t r ic a del p r o b le m a , e s el con|unto do lu;
d e r iv a d a d e la fu n c ió n a,
64 - 16x2
(x2 + 4) 2 ·
V x e s a '(x )
M |KiMlí) M , iln lu M n in n d «
y
2 os u n p u n to crítico d e la función, p u e s es in terior al d o m in io
n d o m á s e s f' (2 )
=
0.
h l OAlaulAtnoN ln d o n v a d a s e g u n d a d e la fu n ció n a, resulta:
^
^ ’
ni p i m ío
US a " (2 )
-
3 2 x (x 2 -
12)
(x^ + 4)^
■
1 < 0. P o r lo tanto , a ( 2 ) e s un m á x im o lo cal d e la
hllMili*))! Aiiim
265
Puede comprobarse fácilmente que a(2) es también el máximo absoluto de la
función a.
Luego, el rectángulo de mayor área, en las condiciones pedidas, que corres
ponde al valor x = 2, es el de base 4 y altura 1.
♦ Ejemplo 5
Hallar ef cono de mayor superficie lateral que puede inscribirse en un cono d(
radio T y altura 3, de acuerdo con la figura siguiente:
Utilizando la fórmula que da la superficie lateral de un cono, el área correspor
diente al cono inscripto es
a(x) =
7TX. g( x) .
donde la generatriz es
g(x) = \ / x 2 + [h(x)]2.
Para calcular h(x) podemos comparar los triángulos semejantes
A B C y A B ' C ', d o n : l e - ^ =
^
BC
B;C'
Reemplazando valores en la igualdad anterior, resulta:
h(x) = 3(1 - X) .
Por lo tanto, g(x) = V x^ + 9 (1 - x)^ = V 10x^ - 18x + 9.
Luego, Vx > O es a(x) = tt x · \ / lOx^ - 18x + 9.
El área, entonces, depende exclusivamente de x, y utilizando la expresión ar
rior puede anotarse la función escalar correspondiente:
a: x —► 77 x V lO x 2 - I8x + 9.
De acuerdo con los datos del problema y el significado geométrico asignado i
variable x, el dominio de la función área determinada es el intervalo abierto (0¡,
266
Por lo tanto, los puntos O y 1 son puntos críticos de la función, ya que son los exIftmos del dominio determinado.
Para buscar los demás puntos criticos calculamos la derivada de la función a.
Obtenemos:
^
^ r( 2 0 x ^ -2 7 x + 9)
V lOx^ - 18x +
La derivada a’ se anula en los puntos
9
3
'
X
^2
3
= y , ambos interiores al
Intervalo (0; 1).
Puede verificarse, mediante uno cualquiera de los criterios estudiados, que el
Vilor a
6S un mínimo local y el valor a ^*1·^
un máximo local.
Sin embargo, como la función área considerada es continua en el intervalo abier­
to (0; 1), no alcanza necesariamente extremos absolutos en dicho conjunto.
En este caso no tiene ni máximo ni mínimo absolutos, pues ambos corresponden
I los extremos del intervalo abierto.
El problema planteado, por lo tanto, no tiene solución.
Nótese que, al encarar un problema de este tipo, es necesario un análisis exhausllvo de las condiciones planteadas y de la función obtenida para resolverlo. Si se reluolve mecánicamente el problema considerando solamente los puntos del dominio
llonde se anula la derivada primera, pueden obtenerse conclusiones erróneas.
IJE R C IC IO S
I) Hallar los puntos críticos de cada una de las funciones siguientes y clasificarlos:
l : x ^ | x + 4|
q: X
-> x ^ + 2x
h: x ~ ^2x^ rr X
e a [-e ;-1 ]
t: x
2|xl - x^en [ - 1 ; 1]
en [ - 3 ; 4]
s: X
1 X - 1 1 + |x + 1|
e rT [- 4 ;0 ]
m:
X
^ ^ 7 - 3x +
r:
X
| x 2 - 3| + | 2 x - a l · - 1
5
-»· 2 - |x^ + 2x - 1 5 j
267
2) Hallar extremos absolutos, si existen, de las funciones consideradas en los e ji
cicios de la sección V (pág. 259).
3) Extrennos absolutos, si existen, de
3
f:x
1
-
r: X
X
1 + 1x1
g :x
en [1; 9]
h; X
x^ - 2x + 3
X - 1
en [ - 1 ; 4]
x^ - 2x + 1
ei> (0; 3]
1 -|x|
p :x
x2 - 2x - 3
x2 - 4
en [ - 1 ; 1]
q :x
v: x
x 2 - |xl
e n [-1 ;2 )
u :x ^ x 3 - 3x2 + 5
s: X
|x-3l
enJ0;4)
t;x
x^ - 2x^
e n [-1 ;3 )
n: x
en ( - 1 : 3 ]
w: X
e-.x
- 6x2+ I2x
en ( - 1 ; 1)
en ( - 1 ; 1)
x2
-
en R
m: x —► x“* - 4x^ +,.10 en [ -1 ; 4
V 25 - x2
^
x^ +3x2 + 3x
e n [-1 ;5
+ 3 en [ - 2 ;
4) Area máxima de un triángulo isósceles de perímetro 12.
5) ¿Cuál es el cilindro recto de mayor volumen que puede inscribirse en un cof
recto de radio 6 y altura 24?
6) Dividir el número 100 en dos partes cuya suma de cubos sea mínima.
7) Rectángulo de menor perímetro y área 100.
8) ¿Cuál es el triángulo isósceles de mayor área que puede inscribirse en un eirá
lo de radio unidad?
9) ¿Cuál es el cilindro de volumen 1 y superficie total mínima?
10) En un triángulo isósceles de base 6 y altura 10 se inscribe otro triángulo isós<
les de modo que las bases de ambos triángulos son paralelas y el vértice del f
gundo está en el punto medio de la base del primero. Se busca el de área máxirt
11) Se quiere alambrar con 200 m de alambre un campo rectangular adyacente a
muro. Hallar el de mayor área.
12) Hallar el rectángulo de área máxima inscripto en un triángulo isósceles de ba»
y altura 6, de acuerdo con el gráfico adjunto.
268
Un rectángulo de perímetro 12 gira sobre uno de sus lados para engendrar un ci­
lindro. De todos los rectángulos posibles, ¿cuál genera el cilindro de mayor vo­
lumen?
- - 3
h(x)
) Dpdo un cuadrado de lado e , separar cuatro cuadrados de sus vértices y determi­
nar las dimensiones-de la caja de volumen máximo y base cuadrada que se pue­
de construir.
e
) |) Encontrar un número real x tal que x + ^ tenga valor mínimo.
|||) Entre los sectores circulares de perímetro 8, ¿cuáles el demayor área?
^7) Cilindro de mayor volumen y área total 300.
M ) ¿Cuál es el cono de mayor volumen que se engendra ü'hacer girar alrededor de
[
un cateto un triángulo de hipotenusa 5?
¿Cuál es el cono recto de menor volumen que puede circunscribirse a una esfera
de radio 4?
|0) Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo encima cuyo diá­
metro es igual a la base del rectángulo. Si el perímetro total de la ventana es 2,
hallar las dimensiones para que su área sea máxima.
De todos l03 cilindros rectos que se pueden inscribir en un cono circular recto,
269
demostrar que la altura del cilindro de volumen máximo es un tercio de la alturi
del cono.
22) Un triángulo isósceles tiene perímetro 2 p y se lo hace girar alré3edor de su base,
¿Qué lado tiene el triángulo que engendra el cuerpo de volumen máximo?
23) Idem sí el triángulo gira alrededor de la altura de la base.
24) ¿Cuál es el cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de
radio a?
25) ¿Cuál es el rectángulo de perímetro máximo que puede inscribirse en una semi­
circunferencia de radio a?
26) El perímetro de un sector circular es 2 p. ¿Cuál es el radio del círculo si el sector
tiene área máxima?
27) El perímetro de un cuadrado y la longitud de una circunferencia de radio a suman
2
p. ¿En qué condiciones la suma del área del cuadrado más el área del círculo
es mínima?
28) Se desea construir la letra Y con las siguientes dimensiones:
12
¿Cuál es la longitud del segmento vertical para que la suma de las 3 longitudes
sea mínima?
VII. Puntos de inflexión
Así como el signo de la derivada primera de una función está vinculado con el
crecimiento o decrecimiento de la misma, el signo de la derivada segunda está vinci/*í
lado con la concavidad del gráfico correspondiente.
270
>ncavidad de una curva
La curva correspondiente a una función derivable f es "cóncava hacia arriba" o
|ne concavidad positiva en el punto [a; f(a)] si y sólo si existe un entorno reducido
punto a, donde la curva está por encima de la recta tangente a la misma en dicho
jnto. (La concavidad de la curva está dirigida hacia el sentido positivo del eje de orianadas.)
De acuerdo con consideraciones anteriores (pág. 217), la ecuación de la recta
Inngente en el punto [a; f(a)] es:
t(x) = f(a) + f ' ( a ) ( x - a )
Consideremos una función auxiliar g = f - t.
Resulta g(x) = f(x) - t(x) = f(x) - [f(a) + f'(a) (x - a)].
El valor g(x) es la diferencia entre la ordenada de la cun/a y la ordenada de la
rocta t para un punto cualquiera x del dominio de f.
Por lo tanto, la curva es cóncava hacia arriba en el punto [a; f(a)] si y sólo si exis­
to un entorno reducido del punto a tal que, para todo punto x de dicho entorno, el valor
g(x) es positivo.
En efecto, si g(x) es positivo, la ordenada de la curva es mayor que la ordenada
de la recta tangente, y la curva, en cada punto x del entorno, está por encima de la
recta tangente. Se cumple también la implicación recíproca.
Análogamente, la curva de una función derivable f es "cóncava hacia abajo" o
llene concavidad negativa en el punto [a; f(a)] si y sólo si existe un entorno reducido
del punto a, donde la curva está por debajo de ia recta tangente a la misma en dicho
punto. En este caso la concavidad de la curva está dirigida hacia el sentido negativo
del eje y.
271
En este caso, 3 E '(a , 5) / Vx:(x e E'(a, 8) =:► g(x) = f(x) - t(x) < 0).
Según indicaciones anteriores, el signo de la derivada segunda permite detemnt
nar el sentido de la concavidad de una curva, de acuerdo con el siguiente teorema
Teorema
Si una función f tiene derivada segunda positiva en un punto a y existe f ' finita en
un entorno de a, entonces el gráfico de f es cóncavo hacia arriba en el punto [a; f(a)].
Demostración
Consideremos nuevamente la función g, que indica la diferencia entre la ordena­
da de la curva y la ordenada de la tangente en [a; f(a)] para un punto x del entorno de
centro a y radio 6, donde existe f’.
Es
g(x)
f(x) - [f(a) + f'(a) (X - a)]
(pág. 271)
y también g(x)
[ f ( x ) - f ( a ) ] ^ f ( a ) ( x - a ) (1).
Si se aplica el teorema del valor medio (pág. 247) al intervalo entre a y x, es po­
sible encontrar un punto c entre a y x / f(x) - f(a) = f' (c) (x - a).
Reemplazando en la expresión (1) resulta:
g(x) = f'(c) ( x - a ) - f'(a) (x - a) = [f'(c) - f'(a )] (x - a) (2),
para c entre a y x.
Ahora bien, por hipótesis, f"(a ) es positiva, es decirj
f" (a ) = lím.
f'(x) - f '( a )
> 0.
x -a
Por una propiedad de los límites finitos (pág. 134),
3 E' (a, 6') / V x :(x e E' (a, 8')
x -a
o)
Para que este cociente de incrementos sea positivo, numerador y denominador
tienen el mismo signo.
Es decir, (x > a => f'(x) > f'(a )) a (x < a => f'(x) < f'(a)).
Supongamos 8 < 8'. Si x pertenece al entorno reducido del punto a de radio 8,
también el punto c pertenece a dicho entorno y se verifica:
272
(x > a
f'(x) > f'(a)
f'(c) > f'(a ))
(x < a => f'(x) < f'(a) => f'(c) < f'(a )).
Por lo tanto, los dos factores de la expresión (2) tienen el mismo signo.
Es decir, V x:(x e E'(a, 6)
g(x) > 0 ), y el gráfico de f es cóncavo hacia arriba
•I punto [a ;f(a )].
De la misma forma se demuestra, si f"(a ) es negativa, que el gráfico de f es cón|V0 hacia abajo en el punto [a; f(a)].
Kn resumen,
f " positiva
=> gráfico de f cóncavo hacia el eje y positivo.
f " negativa
gráfico de f cóncavo hacia el eje y negativo.
El criterio para verificar la existencia de extremos locales utilizando la derivada
igunda (pág. 258) es un caso particular de la propiedad que se acaba de demostrar.
En efecto, f’(a) = O a f” (a) > O => f(a) mínimo local, ya que la tangente es
Orizontal y la curva es cóncava hacia-arriba,
[
Análogamente, f ’(a) = O a f ” (a) < 0
=> í(a) m áxim o local, ya que la
Mngente es horizontal y la curva es eónóava hacia abajo.
ijêm plo
Sea f: X -► 2x^ - Sx^ + 5. Estudiar la concavidad del gráfico correspondiente.
Derivamos f y luego V para hallar f " :
f'(x) = 8x3 -
6x =>
f" (x ) = 2 4 x 2 -6 .
El signo de la derivada segunda determina el sentido de la concavidad.
Buscamos los valores de x para los cuales es f " (x) > 0.
24x2 _ 6 > O si
O sea,
Luego
24x2 _ e > o
si
x^ > 4 4
|x| > - ^
f " (x) > O si x > - ^ v x < ~ y
Por lo tanto, el gráfico de la función f es cóncavo hacia arriba en el conjunto
A -
^
'
t
I
Análogam ente,f"(x) < O si-lxl < ^ . Luego, el gráfico es cóncavo hacia abajo
en el conjunto B = | ^ x / - - l < x <
273
Para completar el gráfico de f vemos que la intersección con el eje de ordenac
s el punto (0; 5). Por otra parte, la ecuación bicuadrada 2x'* - 3x^ + 5 = O no tic
aíces reales y el gráfico no corta al eje de abscisas.
Además la derivada primera f' se anula en tres puntos; x, = 0. Xg =
V
X,
=
-
Puede verificarse que f(0) = 5 es máximo local y que
V 3 \
, /
\/3 \
31
8
es mínimo local y absoluto.
unto de inflexión
El punto [a; f(a)] del gráfico de una función derivable f es un punto de inflexión i
sólo si en el mismo la curva cambia el sentido de su concavidad.
Si, por ejemplo, existe E(a, 5) tal que el gráfico de f es cóncavo hacia abajo er|
a - 5; a) y cóncavo hacia arriba en (a; a + 5) (fig. 1), entonces el punto [a; f(a)] e4
e inflexión. De acuerdo con la definición de concavidad en ambos semientornos, lai
ingente al gráfico atraviesa al mismo en dicho punto.
Según propiedades anteriores, si f” (a) = 0, y existe un-entorno de a tal q u e f^
s positiva en (a - 6; a) y negativa en (a; a + ó) (o recíprocamente), el punto consideraf
o es de inflexión.
>74
lmp/0
Hallar, si existen, puntos de inflexión en el gráfico de f : x
12
x2 + 4
Si buscamosjajcferivada:
-2 4 x
Vxes f'( x) =
Calculemos ahora la derivada segunda de f. Resulta, para todo x:
*„/ X _
^
- 2 4 ( x 2 + 4)2 + 9 6 x 2(x 2 + 4)
- 2 4 ( x 2 + 4) + 96x2
(x2 + 4 ) ^
(x2 + 4 )3
24(3x2 - 4)
(x2 + 4)3
f"(x ) = 0
si
= y
2 \/~ 3
Por lo tanto, la derivada segunda se anula en los puntos x , = —
Luego, los puntos [x^; f(x ,)] y [Xg; f(x 2 )] pueden ser puntos de inflexión. Para
verificarlo debe estudiarse la concavidad del gráfico en algún entorno de cada uno de
ellos.
Veamos qué sucede en el punto [x ,: f(X i)].
(° <
X <
Por lo tanto.
2 ^3
f ''( x ) < o J
A
,:^ X
> 2 y^
f"(x )> o y
r 2 \/ T ,/2 \/3 \-1
. ^
— - — ; f ^ — - — j es un punto de inflexión.
Análogamente, puede demostrarse que ^
^
es otro
punto de inflexión.
Luego, el gráfico de f presenta dos puntos de inflexión;
276
/_
V
2 V ^. 9\
/ 2 \^
3
4 /^ V
3
4 )
Obsérvese que la condición de ser nula la derivada segunda es necesaria
no suficiente para la existencia de un punto de inflexión.
Por ejemplo, sea f; x -» x^.
f'(x) = 4x3 => f"(x ) = 12x2.
En este caso, f " se anula en el origen y allí no hay inflexión. Puede proban
fácilmente que la función tiene mínimo local y absoluto en el origen.
También debe tenerse en cuenta que puede haber inflexión en un punto dond
no existe f " .
Por ejemplo, consideremos la función f : x - » x \ / ) ^ + 1.
La función dada es f / Vx: f(x) = x^'^ + 1.
Calculemos f' y f ” .
Resulta Vx: f’(x) = y x^'3 = 0 Vx
0: f” (x) =
10
9 W
La derivada segunda no existe en el origen, pero es positiva a derecha del mi
mo y negativa a izquierda.
Además, como f es derivable en el origen, hay recta tangente y la cun/a es có
cava hacia arriba a derecha del origen y cóncava hacia abajo a la izquierda. Por
tanto, el punto (0; 1) es punto de inflexión.
276
Píira encontrar, entonces, los puntos de inflexión de un gráfico, interesa considefnpecialmente los puntos donde se anula f " , si ésta existe, perc también hay que
ttr en cuenta los puntos del dominio donde no existe f" .
Condiciones suficientes para la existencia de punto de inflexión se verán en el
ipltulo siguiente, como aplicación de la fórmula de Taylor.
jE n c ic io s
) Indicar en qué partes del dominio los gráficos de las siguientes funciones son cón­
cavos hacia arriba:
OA
^
3x - 1I
g : x ^ —------ —
r: X ^ — z—
—
h: x
—
r-----f: x
_L 1
1
v3 + 1
3x + 5
x^ +
x^
)) Indicar en qué partes del dominio los gráficos de las siguientes funciones son
cóncavos hacia abajo:
f: x
-^
x ^^3(x
+ 2)
g :x - > 2 x 3 + x
h: x
— -—
X -f
r: X -^x 2 (x
s:
X
x(x^
m:
+ 5)
-
x
n: x
4)
^
1
(x - 3 ) ( x + 2 ) ^
2 \/
x^
+ 1 -
x^
3) Puntos de inflexión en el gráfico de cada una de las siguientes funciones:
f:x
- ^ x ^
g:x
h:
x
r:x
s:
^2
1
t: X
m :x ^ (x
+ 1
el*')
p:
X
-> 3 x2 + -1
x - ^ ( x + 1 ) “’ (x -
->
(x
u: x
3)
w
-
1)3(x
+
^
3 ) ^ (x
x
- 2)
-
4)
’ ' 3( x + 2 )
: X - > x “ - 4x3 + 5
4) Intervalos de concavidad positiva o negativa:
a) f : x ^ ^ - x 3 - 18x2 + 40x - 5
b )f:x ^ x 2 -^
c) f: x ^ x^ + cos x
5) f : x ^ x 2 - —L ·
6 x3 ’
a) punto de inflexión; b) ecuación de la recta tangente a la cun/a en dicho punto.
VIII. Límites indeterminados. Regla de L’Hôpital
Para calcular el límite de un cociente se ha demostrado en el capítulo 3 (pág. 139)
la propiedad correspondiente:
277
llm M
=
* g(x)
lim ,g(x)
si se cumple la condición de que el límite del divisor no es cero.
Al considerar límites infinitos puede observarse que son equivalentes las siguifi
tes expresiones:
Iim 3g(x) = O y
límg- ^ ^ =
00 ,
y puede probarse también que si el divisor tiene límite nulo y el dividendo tiene límí
finito no nulo, entonces el límite del cociente es infinito.
Por lo tanto, queda por resolver un caso que aparece frecuentemente, presen
tado en el capítulo 3 (pág. 154) como un caso de indeterminación del límite: el co·
dente de dos Infinitésimos. Este caso de indeterminación suele simbolizarse con l(
expresión -?■, y un ejemplo lo constituye lím n-^^íli- = 1 calculado en dichio capíti>
O
X
lo (pág. 136).
En muchas circunstancias se puede destruir la indeterminación recurriendo a lai
funciones derivadas, mediante un método conocido con el nombre de regla di
L’Hópital.*
Teorem a 1
Sean f y g dos funciones derivables en un entorno reducido de un punto a, y
g ’ (x) 4^ O en todo punto X de dicho entorno.
Si Iím3f(x) = O,
llmag(x) = 0
y
l í m g - ^ l^ = €, entonces límg
9W
9(x)
Se considerará primero el semientorno a la derecha del punto a, es decir, el inter­
valo abierto (a; a + h), y los límites se calcularán por la derecha del punto a. Puede
demostrarse, luego, la misma propiedad en el intervalo (a - h; a), es decir, calculan­
do límites por la izquierda.
Finalmente, entonces, la propiedad es válida a la derecha y a la izquierda del
punto a, es decir, es válida en el entorno reducido del punto a.
♦ Dem ostración
Para demostrar la primera parle utilizaremos el teorema generalizado del valor
medio en el intervalo [a;x] S E(a;h), que no puede aplicarse directamente a las fun­
ciones f y g pues no se conoce el comportamiento de éstas en el punto a, y el teorema
mencionado exige, por-lo menos, continuidad en los extremos del Intervalo, además
de derivabilidad en su interior.
Por ello consideramos dos nuevas funciones":'
F:
X
( W s i x ^ a
O
SI X = a
Como limafM = límaF(x) = 0
gamente, G es continua en a.
3
y
^^
F(a) = O por (1). F es continua en a. Análo­
* Gu illerm o de L’H ópital (1661-1704). Fue uno de los divulgadores del cálculo diferencial. Su
obra se apoya en la de su m aestro Juan Bernoulli.
278
Bi r.ü considera el intervalo cerrado [a; x], donde x es un punto cualquiera de
♦ h), puede aplicarse el teorema generalizado del valor medio (pág. 250). En
O, F y G son continuas en [a; x], derivables en (a; x) y, además, por nipótesis,
• g' no se anula en (a; x).
t
Por lo tanto, 3 c e (a; x
)
a
<
G ( x )- G ( a )
ES decir,
^
G(x)
c
^
<
G'(c)
G'(c)
x
.
(2).
Como f y F coinciden en (a; a + h) y también coinciden g y G en dicho intervalo,
l|(í(a¡a + h) es F’(x) = f’(x) y G’(x) = g’(x). Además, como ce(a;a + h), es
« (c )-r(c ) y G'(c) = g'(c).
Calculando el límite de la expresión (2), a derecha del punto a, es
* " · GW =
°
Ahora bien, c depende de x y esíá entre a y x. Pof elto, el punto c pertenece a
lUolquier entorno del punto a al cual pertenezca x. Aplicando la definición de límite.
Reemplazando en (3) resulta
= ^·
De la misma forma se prueba l(ma_
= límg.
considerando el inter­
valo (a - h; a).
Luego, el teorema queda probado en el punto a.
El teorema puede completarse, si existen f’(a)
n„,a: l i m , ^
*g(x)
=
g'(x)
y
g ’(a) t O, de la siguiente ma-
9 (a)
En efecto,
f(x) - f(a)
!’,ͧ L =
fl'(a)
» - a___ = Km
llm g M - g ( a )
'M -
“ 9M - 9(a)
= Km J W
‘ g(x)'
®
X -a
ya que por existir f’(a), f es continua en el punto a y es f(a) = límaf(x) = 0. Por las
tnismas razones resulta g(a) = 0.
Obsérvese que no se ha exigido'previafrhente la continuidad de f’ y g’ en el punto a.
Ejemplos
lím
,^
= lím o ^
= 1
279
In(x + 1 )
limo— ^-------^
X
1
= limo— —
"x+1
= 1
Puede suceder, al aplicar la regla, que las funciones f' y g' sean infinité
el punto a y satisfagan también la hipótesis del teorema anterior. En este caso |
volver a aplicarse la misma regla utilizando las derivadas segundas. De la mitr
ma, la regla puede aplicarse en forma reiterada para funciones con n derivada· i
condiciones exigidas. Esta propiedad se demuestra por inducción.
Ejemplo
lím,
3x - 3 sen x
= lím
3 - 3 eos
°
3^2
X
= lím.
3 sen X
,,
3 eos x
= limn---- 1---6x
Generalización de la regla de L’Hôpital
La regla demostrada admite varias generalizaciones que permiten su aplicí
a distintos casos de límites indeterminados.
Para completar el casçjçJelxociente d e dos infinitésimos falta considerar fur
nes infinitésimas para x —>·
Teorema 2
Sea k un número positivo cualquiera,y para todo x > k sean f y g
dosfunción·
derivables en x, con g’(x) t 0. Silím + oof(x) = O y lím + „g(x) = O, entonces
f(x)
■■
gx
f'(x)
g X
♦ Dem ostración
1
Consideremos t = —. Con este cambio de variable, si x tiende a +, oo^ entof
ces t tiende a O*.
Si para todo x > k
gM
es
""°G(t)
F{t) = f(x)
y
G(t) = g(x)
( 1).
(2 ).
Ahora bien, por hipótesis,
lím + „f(x) = límo.F(t) = O y
lim ^ ,g (x ) = límo.G(t) = 0.
Por lo tanto las funciones F y G, cuya variable es t, satisfacen la hipótesis del
primer teorema de L’Hópital, y se cumple, entonces;
Para hallar F' y G' debemos aplicar la regla de derivación de funciones com­
puestas, pues por (1);
280
lamente:
y Q’(t);^ 0
SI
lím«..
•«I
0< t<
• ■ ( i ) (-T^)
J lííL
lím,
g'W
POf lo tanto, es lím *
9W
= lím «. Z Ü I
G(t)
(3).
por (2).
por (3).
Luegt», resulta lím *
= lím ^
9(x)
®s la tesis.
Q \X)
)/o
1
..
—e*T =
—e*r
=
---xe*T = O-
Puede demostrarse una propiedad análoga si x-* - »
y, en general, si x —» .
^ ra m a 3
Sean f y g dos funciones derivables en todo punto x
Hm,l(x) = +
00 ,
llmag(x) = + »
y
límg·
a,
^ , entonces
y
g’(x) 1 0.
Si
^ ·
♦ Demostración
Como límaf(x) = + », préTIjado k > O, existe un intervalo (a;a + 6)/Vx:
(k ( (a;a + 6) => f(x)> k). Análogamente, 3 6 7 V x:(xe (a;a + 6’) => g(x) > k) (1).
Si es 6 < 6’, existe en (a; a + 5) el cociente
«m
f(x)
g(x)
Consideremos ahora un intervalo (a; XoJ-incluido en (a; a + S). Es decir, fijamos
el intervalo (a; a + 6 ) un punto X q .
281
-H —
a+ 8
Si X es un punto cualquiera entre a y Xq, puede verificarse, efectuando las Oi
raciones indicadas en el segundo miembro, que es válida la siguiente expresiónt
1 - f(Xc
f(x)
f ( x ) ___________
f(x) - f(xn)
g(x) - g(xo)
g(x)
(2 ).
. _ g(xp)
g(x)
pues g(x) t g(Xo). según el teorema de Rolle, ya que, por hipótesis, g' no se anuN
y tampoco se anula g por (1).
Por el teorema de Cauchy (pág. 250), en el intervalo [x; Xq]
□ - . f(x)-f(xo)
^
f'(c)
g(x)- g (xo)
9'(c)
Reemplazando en la expresión (2), resulta:
1
f'(c)
g'(c)
^
f(x)
g(x)
^(xq)
f(x)
■, para c entre x y Xq
g(xo)
1 _
g(x)
Si se calcula el límite a derecha del punto a, es:
1
g'(c)
^Xn)
g(x)
g(xp)
g(x)
Resulta
T(X;
= O, pues el límite del denominador es infinito y el numerado
I
es una constante. Análogamente, lí m a · ^ ^ = 0.
Luego,
,3 ,.
Ahora bien, c depende de x y está entre x y Xq.
X
a
Como lím
g'(x)
Xo
c
a + h a + ó
> O 3h > O / x e (a; a + h)
f'(x)
-
g'(x)
< e.
Encontrado h > O, cualquier núméro positivo h' menor que h satisface la expre­
sión anterior.!Basta buscar h' suficientemente pequeño, o sea, tomar x suficiente­
mente próximo al punto a para que el punto c pertenezca al intervalo (a; a + h) y se
282
I |Mn)t)ión
t"
r
f’ (c)
- /
g'(c)
jlln, entonces, lím,
< e.
^
g'(c)
^
reemplazando en (3) es: lima
gix)
= /.
iQUíil forma se prueba la propiedad a izquierda del punto a, y vale, por lo tan-
r
lím.
sen*" X
=
1.
El teorema 3 es también válido, en las mismas condiciones, para x —>· -x.
Los demás casos de indeterminación (pág. 154) pueden llevarse a los casos anífos mediante recursos algebraicos o aplicando logaritmos.
pHTiplos
• l i o 3: producto de un infinitésimo por un infinito
í
Trataremos de calcular / = lim
Para poder aplicar el teorema 1 escribiremos el producto anterior como cociente
!(· dos infinitésimos en el punto - j .
77
^
2
1
Resulta / = lím _ --------- = ifm ------- —
t cotg X
f
1
sen'^ X
C«Ro 4: suma de dos infinitos de signos opuestos
Deseamos calcular / = lím-
1
1
L X - 3
ln(x - 2) J
La expresión anterior puede escribirse como el cociente de dos infinitésimos en
»1 punto 3.
1
.
- 1
- 2) ~ .... .. In(x - 2) +
X -2
teorema 1
283
_________ 3 - x _________ _
(x - 2) ln(x - 2) + X - 3
'
-1
ln(x - 2) + 2
_ _ Jl_
2
teorema 1
En general, si se desea expresar la resta de dos funciones como un cociefl
se recurre al siguiente artifido algebraico:
1
1
1
f(x) - g(x) ^
(f(X)
o 1A g(x) ^ 0).
f(x)g(x)
Caso 5: límite de una función potencial exponencial si la base
tiende al número 1 y el exponente a infinito
3 \ 2*
1 +—\ .
Aplicando logaritmos, si f(x) = (
(
Jn,«x) = 5 « i n ( l + - | ) .
Luego, l í m [ ln f ( x ) )
=
=
2x
= lím’. ,
2x · ln ^ 1 4 -2 .J J =
lfm „
T Z II7 7
teorema 2
“
2x2
teorema 3
lím .,[ln f( x ) ] = 6 = > ln [lím . ^ f(x)] = 6 (pág. 141).
Luego, lím . ^ f(x) = e®.
Caso 6: límite de una función potencial exponencial si la base y
el exponente son infinitésimos
Calcular e = límQ.(x*).
Si f(x) = x \
es
lnf(x) = xln x .
J_
límo»(lnx*) = lím o.(xlnx) = lím o * -!^ = limo------ lím o-(-x) = 0.
teorema 3
284
*
limo (Inx*) = O => In(límo.x^) = O y ln ^ = O => / = e° = 1.
Luego, límo-íx*) = 1.
Caso 7: límite de una función potencial exponencial si la base
•8 un infinito y el exponente es un infinitésimo
V sen *
—j
(
-t
1 V sen X
—j
, es ln f(x) = sen x · ln — .
Luego,
limo [Inf(x)] = lín^o- s e n x - l n ( - ^ )
=
_ J_
- ln X
,,
x
l i r r in ·------------------ = l i m n . ----------------cosecx
- co s x
^
r
sen^ X
teorema 3
=
,,
sen^ X
xcosx
linrio.-----------------
=
senx
x
senx
cosx
l i m n . ------------------------------=
0.
Luego, límo.f(x) = e° = 1.
Nota: La regla de L’HópItal, que permite, en el cálculo del límite, reemplazar a
ciertas funciones por sus derivadas, sólo puede aplicarse, como se ha indicado, al
cociente de dos infinitésimos o al cociente de dos infinitos. Los restantes casos de in­
determinación del límite deben reducirse previamente a uno de los dos'casos mencio­
nados mediante operaciones algebraicas o mediante la.aplicación de logaritmos.
EJERCICIOS
1) Calcular los siguientes límites aplicando la regla de L’Hópital
X^ -
4X + 3
d ) l,n ,..± 4
e)
X 2
,
tq
v2 j . i;v
/
X
U
V
”
■ '
_
X -
.)
sen^x
2) Calcular aplicando la regla de L’Hôpital
a)
\
:
fn V
\
3
e2* -
I'
1
X - sen
x
'
b) lím ,
^cotg ( I - x )
^
285
d) lime
c) lím.
In X
In X + X
e) lím,·
X In X
f) lim .
cotg X
cotg 5x
In X
3) Aplicar la regia de L’Hópital (0 · x ):
a) lim i [In x cotg(1 - x)]
b) limo[(2x - x^) · cotg x]
d) limo [In (5x) (2x - sen x)]
4) Aplicar la regia de L’Hópital (x - x):
a) lim, ( — Í----------- )
'
’VX- 1
In x /
b) "■"’ o ( - p r h - - l i ^ )
c) l i m , / — Í------ tgx\
d) lim o ^ Y - cosec xJ
/
e) lime
■|n(x + 1)
v2
1
f) limo^cosec^ x - • ^ ^
5) Aplicar la regia de L’H6pitar(1’^);.
2x + 1
c) limo(2x + e*)
b) lim, (2x - i)««9(*- 1)
d) limo(x +
f) lim,(1 + 3 ln x ) “ ®«=<'-*>
6) Aplicar la regia de L’Hópital (0°):
a) lim i.(x - 1)* ■ ’
b) lim ,.(x _ i)inx
c) lim „ . (cos x) ( f - < )
7
d) lim o.x“ "*
e) limo · (sen x)'9*‘
f) limo, (sen x)T^
1
7) Aplicar la regia de L’Hópital (x®):
1 \ ln(x * 1)
b) limo.(cotg x)®«"*
c) lim _ (x 3 - 2 ) ^ .
e) lim ^
286
(tg x)cos X
d) lim^
(3 +
X) *
|X. Estudio completo de funciones
Como síntesis de los temas expuestos en este capítulo y en los capítulos de limite
y continuidad haremos ahora el estudio completo de algunas funciones.
ilem plo 1
I:
|x2 - 161 + |x^ - 4j -
7
X
< -4
x2 -
16 > O A x2 - 4 > O
f(x) = 2x2 - 27
4 < X
< -2
x2 -
16 < OA x2 - 4 > O
f(x) = 5
x^ -
16 < O A x^ - 4 < O
f(x) = -2x2 +
2<
X
< 2
2
x
<
x
> 4 = > x^ - 1 6 > 0 a x 2 - 4 > 0
<
4
= >
x2
-
16< 0 a x2 - 4 > 0
13
f(x) = 5
f(x) = 2x2 - 27
Luego, D, = R, y f puede definirse también de la siguiente manera:
f:x
2x2 - 27 sr
4
5
sí 2 < |x| < 4
-2 x 2 + 13 si 1x1 < 2
( es función par, pues Vx: f(x) = f(-x ).
4x
O
-4x
sí
si
si
lx ( > 4
2 < 1x1 < 4
|x| < 2
287
P untos crítico s
no 3 f ’( x ) si x= - 4 v
x =- 2
f’(x) = O si x = O V x f ( - 4 ; - 2 )
v x = 2 v x = 4.
v X£(2;4).
M onotoriía
í ’(x) > 0 s i x > 4
V
- 2 < . x < 0 .
L u e g o , f c r e c e e n ( - 2 ; 0 ) y e n (4; + x )
O si x < - 4 V 0 < x < 2 .
Luego, f decrece en (0; 2) y en ( - x ; -4 ).
f ’(x) <
C oncavidad
(f"(x ) = 4 s i | x | > 4 ) A (f"(x ) = - 4 s i | x | < 2 ) .
Por lo tanto, la concavidad es positiva en ( - x ; - 4 ) y en (4;
en ( - 2 ; 2).
x), y es negativa
Extrem os
f " (0) = - 4 < O => f(0) máximo local
f(x) mínimo local si x e [ - 4 ; - 2 ] v x e [2; 4],
El valor de cada mínimo local es 5, que es también mínimo absoluto.
Rec, = [5; + x ).
La función no tiene máximo absoluto, pues lím^f(x) = + x .
Ejem plo 2
f : x - ^ e ' 3*')
D, = R
lím ,f(x) = O => y = O asíntota horizontal.
f'(x) = -6xe< 3*').
P untos c rític o s
O es punto crítico pues f ’(0) = 0.
M onotonía
f'(x) > O sí X < 0. Luego, f crece si x < 0.
f' (x) < O si X > 0. Luego, f decrece si x > 0.
288
Concavidad
t"(x ) = -6 e < 3’'^' + 36x2e<
f’’ (0) = - 6
r'(x ) > O »
=>
=> f"(x ) = e'
(3 5 x 2 _ 6).
f"(0 ) < O => f(0) máximo local.
36x2 > 6 <=> x2 > - ^ <=> |x| >
6
6
/
vT\
/V6
Luego, la concavidad del gráfico es positiva en í - — g - j y en I —q - \
\
l"(x ) < O si |x| <
Luego, la concavidad es negativa en
^ i ~
-
^ ® indica que puede haber puntos de inflexión en
Como en ambos puntos cambia el sentido de la concavidad, ambos son puntos
do inflexión.
Si existe f ' ” y esta derivada no se anula en los puntos donde es nula f " , puede
demostrarse que hay inflexión en el punto correspondiente sobre la curva (pág. 314).
En nuestro caso:
í'"(x ) =
1 0 8 xe<
- '" ( ^ ) *
- 216x3eí-3*’ ) => f" '( x ) = I 0 8 x e< 3*') (i - ax^) =>
«
<
«
Volvemos a afirmar, entonces, que
^
^
~
® ^
los de inflexión.
La función es par, pues f( - x ) = e<“ 3*’) = f(xj
Rec, = (0; 1]
289
f(0) = 1 es máximo local y absoluto.
La función tiene ínfimo, que es el número O, pero no tiene mínimo absoluto, pul
O ¿ Rec,.
Ejemplo 3
X
ln X
f;x
D, =
- {1 }
lím,f(x) = X => X = 1 asíntota vertical ^ l í m , = + *
lím ^ 3,
_x_
In X
a
lím,.
ln X
+ 3c (por regla de L 'Hôpital).
•írrio
^ -T
Inx^ = O·
f'(x ) =
~
In x = 1 => f ( x ) = 0.
In^x
O sea, f' (e) = O => e punto crítico.
M onotonía
Como el denominador de-i··; fn^ x = [ln x]^ es siempre positivo, el signo de f'
depende del numerador.
ln X > 1 »
ln X > ln e =» x > e ^
f' (x) > O
f crece,
ln X < 1 »
ln X < ln 0 =» X < e =» f' (x) < O => f decrece.
Luego, f crece en (e; + x ) y decrece en (0; 1) y en (1; e).
C oncavidad
In^x
f"(x ) =
' '
x ln ^ x
2 - In x
X In^x
f ''( e ) > 0 => f(e) mínimo local.
Para que f''(x ) sea positiva se presentan dos posibilidades:
1) 2 - ln x > O
A
X In^ X > O »
A In x > ln 1
2) 2 - ln X
290
<
O
<=^x < e ^
A
X
In^ X < O
c=>
ln X < 2
a
x
A
ln x > O c = > ln x < ln e^
a
x>1<=>1<x<e2
>
e2 a x
<
1,
que nopuede verificarse.
Luego, f " (x) > O si 1 < x < e^, y el gráfico tiene concavidad positiva en (1 ¡e^).
Por otra parte, f"(x ) < O si
1) 2
-
ln x > O
1)
A
X
In^
X
x<e^A
< O v 2) 2 - ln x
0<x<1=>
<
O
a
x In^ x
>
0.
0<x<1.
La curva tiene concavidad negativa en (0; 1).
2)
X >
e^
A X
> 1 =>
La curva tiene concavidad negativa en (e^;
X
> e^.
+ oo).
f” (x) = O si Inx = 2. Como además en e^ cambia el sentido de la concavi­
dad, ^e^;
e^^ es punto de inflexión.
Rec, = { y / y
< 0
V y > e}.
No hay extremos absolutos.
EJERCICIOS
Estudio completo de cada una de las siguientes funciones:
„3
- X ,2
'
1) f:x
2) f:x
x^ -f 1
x + 3
3) f: x - ^ x 2 - |4x + 121 - 1
4) f:x
3x
x^ + 4
6) f:x
5) f:x
7) f:x -4 . |x + 4| - 1x2 _ 5| + 2
x^ - X
x + 2
X
x^ -
8
8) f:x - > |x2 - 9| + |x - 5| + 2
291
9 )f:x-3 x^--L
,0 ;,:x ^ - !íin Ü
X
11) í : x ^
'
M ^x-121
X + 1
X
_3
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPITULO 7
Sección III
1) f:c = 1
2) ,;c, -
g :c = 1
h: c = 3
/ .- T .-^ y e S
^ _
1+>/93
g e = — -—
u..
t: c = O
A 7 + V 65
_____ 8
h.c = - '■<=- l 7
3
Sección IV
3
g decrece si x >
-------------2
v
3 ·
-2
x<
y crece
h decrece si - 4 < x < 1y crece si x >
3
r crece s i x < - ^
O
m crece si x < 1
2) f crece en
v
x > i
v
x
>
1 v
2
si -
l
2
x < - 4.
3
decrece s i- ^ < x <
D
s crece s i x > - 3
y
< x<
1.
v
x<-3
y en (4 ;+ *) y decrece en
g crece en ( - x ; - 1 ) y en (1; + x ) y decrece en ( - 1 ; 1).
h crece en ^ 0 ;
3)f:VxeR
m :x< 1 vx> 1
4)
f:
X
r: X
292
> 3
< O
V decrece en
5^
g :x< yvx> 3
h :x> 2 vx< -2
s:x<3
g:x<-1vO < x<1
h :-1<x< —
O
m ;-3
s:x< -2 vx> -2
<
X
< 2
jclón V
3\
—j
49
= ----- — minimo locai
(
h; no hay
P ((0 ) y f( 2 ) mínimos locales; f( 1 ) máximo local
h(0 ) máximo local y h(2 ) mínimo local
s(0) = 3 máximo local
B)
^ mínimo local
fi(
1)
=
^ ( t )
mínimo local s(2 ) =
0
0
mínimo local
s(0 ) máximo local
máximo local n(3) = - 1 7 mínimo local
l i - i
V 5 / máximo local t( 1 ) =
m(
0
minimo locál
56
3) = - 7^ máximo local m(2) == J
f { - ^ ) = 3 mínimo local
13
—— mínimo local
6
q(1) = - 2 mínimo local g ( -2) = 25 máximo local
u(3) = - 2 2 mínimo local
v(0) = 4 máximo local
v(2) = - 4 4 mínimo local
v ( -2 ) = - 4 4 máximo local
Sección VI
1) f:tip o 2 :C i
= -4 ,
tipo 3: Cj
g: tipo 3: Cl
= -3 ,
Cj = 4
h: tipo 3; Cl
= -4 ,
C2 =
t:tip o 2 :c ,
= 0,
tipo 3; Cg
s: tipo
1:
= -
6,
C3
=
-1
0
= -1 ,
0 3
=
1
todos los puntos del intervalo ( - 1 ; 1 ),tip o 2 ;c , = -
m ;tip o 1 :C i =
Cj = -
t i po 2: C3 =
n;tipo 1:Ci = 1
tipo
2 :C2
= v'T , C3 = - V ^ , C
r.tipo 1;Ci = - 1
tipo
2 ;C2
= -5 ,c ^ = 3
3 \
(
49
4
1,
Cj =
1
O
= -4
mínimo absoluto, h: no hay
2) f(0) = í(2) = O mínimo absoluto, h: no hay, s(0) = 3 máximo absoluto
3) ^
mínimo absoluto, h
mínimo absoluto, r(0) máximo absoluto,
293
s ( - 1 ) = s(2) = O m ínim o absoluto
p; no hay
n(3) = - 17 mínimo
absoluto
t: no hay, : no hay, m; no hay, g: no ho/, u(3) = - 2 2 mínimo
absoluto, v(2) = v (-2 ) = - 4 4 mínimo absoluto
3)
f(0) mínimo local y absoluto. No hay máximos localc-'S ni absoluto
g(0) = 1 mínimo local y absoluto
r; no hay extremos locales en [1; 9], r(1) máximo absoluto,
r(9) mínimo absoluto
h(1 + \ / 2 ) mínimo local, h(1 - \/~ 2) máximo local
p (- 1 ) mínimo absoluto, p(1) máximo absoluto
q(3) máximo absoluto, q
V
(V ^ I
mínimo absoluto.
mínimo absoluto: no hay máximo absoluto
s(3) = O mínimo absoluto; no hay máximo absoluto
t( - 1 ) = - 3 mínimo absoluto; no hay máximo absoluto
u: no hay extremos absolutos
m (- 1 ) máximo absoluto, m(3) mínimo absoluto
n(0) máximo absoluto; no hay mínimo absoluto
¿’(3) = 9 máximo absoluto; no hay mínimo absoluto
w ( - 2 ) = 1 mínimo absoluto; no hay máximo absoluto
4) triángulo equilátero de lado 4
5) el radio de la base del cilindro es 4 y su altura 8
6) 50 y 50
7) cuadrado de lado 10
8) triángulo equHátero de lado
9) radio = ■3-J__:
10) base 3 y altura 5
11) altura 50 y base 100
12) altura 3 y base 2
13) altura 2 y base 4
p
14) altura de la caja es —
15)
X
= V 2
16) radio 2
294
17) radio 5
18) radio
19) radio 4 y /2 y altura 16
20) radio
23) ^
4 +
^
24) altura =
7T
p
2 a \Ì3
a
25) f , =
26 )
27) lado = 2a
28) 16 - 2 V I
Sección VII
h: si - 1 < X < 0 V X >
r: SI X >
V3.
2) f: si 0 < X < 1;
3) f; (0: 0);
w :(0 ;5 ).
g: (0; 0).
f: si X > -
In 3
g: si X < 0;
h: si X < - 1 ;
m: si X < ----- :
3
s; si X < 0;
V 3 -,
n; en R.
h; no hay;
( 2 ;- 1 1 )
4) a) concavidad positiva en (-o c ;-2 )y en (3; +!==) y negativa en ( - 2 ; 3)
b) concavidad positiva en (-3 c ;fl) y'en <1 ; +® ) y negativa en (0; 1)
295
c) concavidad positiva en R
5)3)
b)y = | x - |
Sección Vili
e) 3
f) 0
b) 1
C) + X
d) 5
e) 0
0 0
b) 2
c) - 1
d) 0
c)
d) 0
e)
2 ) a) 0
3) a) - 1
1
2
1
d) 0
b)
4) a)
5
C) 27
1) a) - 1
b)
2
1
2
X
1
2
0
1
3
b) e2
C) e3
d) e
e) e ' ’
f) 6 “
6 ) a) 1
b) 1
C) 1
d) 1
e) 1
f) e
7) a) 1
b) 1
C) e3
d) 1
e) 1
f) 1
5) a)
e
Sección IX
1) D, = R - { - 3 } A . V . : x = - 3 A . 0 . : y = 3 - x
f crece en ( - 6 ; - 3 ) y en ( - 3 ; 0) f decrece en (0; + x ) y en ( - x ; - 6 )
Concavidad positiva en (-oo; - 3 ) y negativa en ( - 3 ; + « )
f( - 6 ) = 12 minimo locai y f(0) = 0 m áxim o local.
No hay extremos absolutos. No hay puntos de inflexión
296
2) D,
= R
A.O.: y = X
I
(X) -
xHx^+3)
..v-j
(X2o +. 1)2
--- ,
_
'
2X3 - x^)
(^2
1)3
f crece en R.
No hay extremos locales ni absolutos. Concavidad negativa en (-v'3 ;0 )
3) D, = R. Puntos críticos - 3 y 2
f:x -
x2 + 4x + 11
x2 - 4x - 13
Si X < - 3
si X > - 3
f decrece en ( - x ; 2) y crece en (2; + x )
f(2) = - 1 7 mínimo local y absoluto
Concavidad positiva en R
Rec, = {y / y > -1 7 }
297
y = X - 3 A. oblicui
X = -2 A.V.
4) D, = R - { - 2 }
Puntos
criticos: ( - 2 + \/~S) y ( - 2 - \ / 6 ) inters. eje x: (0; 0) y (1; 0).
>L
f'(x) =
x^ + 4x - 2
(X + 2)2
12
'
''''
(X + 2)3
f crece en ( -^c; - 2 - \ Í 6 ) y en ( - 2 + v ^ : +=c)
f decrece en ( - 2 - \ / ^ ; -2) y en ( - 2 ; - 2 + \ / 6 )
f ( - 2 - \/~ 6) máximo local
f ( - 2 + \ / ^ ) mínimo local
Concavidad negativa en ( - « ; - 2 )
Concavidad positiva en ( - 2 ; + » )
Rec,
No hay extremos absolutos:
lím_^f(x) = - X =o no hay mínimo absoluto
lím^.^f(x) = + x
5) D,
= R
no hay máximo absoluto
y = O A.H.
función impar
f'(x ) =
Puntos críticos: 2 y - 2 .
f crece en ( - 2 ;2 ) y decrece en ( - « ; - 2 ) y en (2; + « )
3
f( - 2 ) = mínimo locai y absoluto
f(2) = -^ e s máximo local y absoluto f ” (x) = —
4
'
' '
(x2 + 4)3
Concavidad positiva e n ( - 2 > /3 ; 0) y en (2 y/Z-, + x )
Concavidad negativa e n (-3 o ; - 2 V 3 ) y en (0;2 v ^ ) .
298
12 - 3x2
(x2 + 4)2
juntos de inflexión
ion: (0; 0), ^
2 v 3 ; l ^
H
p^®c - r ——■—
6)D, = R - i 2 |
f'(x) =
x = 2A.V.
y = OA.H.
-2 x3 - 8
(x3 - 8)2
Punto crítico: f crece en ( - x ; - \A 4 )
f decrece en ( - \/~4·, 2) y en (2; +oc)
f{ - ^ 4 ) máximo local
y,i^\ _
6x2(x3 + 16) Concavidad positiva en ( - » ; - 2 \ ^ ) y en (2; + « )
(x3 - 8)3
Concavidad negativa en { - 2 \ 2 , 2 )
'¥ )
ió n :^ - 2 ^ ;
Punto de inflexión:
Rec, = R
299
7)
f: x - >
f -x ^ -
-x ^ +
x2 +
X + 3
si X < - 4
X+ 1 1
s i-4 < x< - V T
si - \ / ~ 5 < X < y / T
X +
1
- x ^ + X + 11 si
x> y / T
Puntos criticos: - 4 , \ Í 5 , - \ / T (no 3 f')
(f' = 0)
f ( - 4-)m
in ir
mínimo
local
/—
f( V 5) máximo local y absoluto
f( - \ Í 5 ) máximo local
No existe mínimo absoluto, pues lím J(x)
Rec, = (-o o; 6 + V s ]
8)
x^ -x 2 f:x
X
X
- 2 si X < - 3
+ 16 si - 3 < X < 3
x ^ -x -2
si 3 < x < 5
x^ + X - 12 six > 5
Puntos críticos: - 3 , 3, 5
300
y
f ( - 3)
= 10 mí.'imo local
f( -
máximo local
f(3 ) =
4
mínimo local y absoluto
No exii-'te máximo absoluto, pues lím J(x) = + »
Concavidad positiva en ( - x ; -
|y en (0; + * )
de inflexión
Concavidad
lím .^f(x) = + x
no 3 máximo absoluto (también límo-f(x) = + x )
límo-f(x) = - X
no 3 mínimo absoluto
Rec, = R
301
10)
x2
4 si Ixl > 2
f:x
----- — si Ixl < 2
Puntos criticos: 2 y
A
X it
0
2, donde no 3 f'
Función impar
f crece en ( - » ; - 2 ) y en (2;+®)
f decrece en ( - 2; 0) y en (0; 2)
f ( - 2 ) máximo locai y f(2) minimo locai
Concavidad negativa en (2 ;+ » ) y en ( - 2 ; 0)
Concavidad positiva en ( - « ; - 2 ) y en (0;2)
No existen extremos absolutos
((2;0) y ( - 2 ;0 ) no son puntos de inflexión, pues en ellos no hay recta tan-
f crece en ( - x ; - 4 ) y en (3; + * )
f decrece en ( - 4 ; - 1 ) y en ( - 1 : 3 )
f( - 4 ) = - 3 máximo local f(3) = - 3 mínimo local
Concavidad positiva e n ( - * ; - 4 ) y en ( - 1 ; 3)
Concavidad negativa en(3; + x ) y en ( - 4 ; - 1 )
No existen extremos absolutos
Rec, = R
302
303
8. FORMUL A DE TAYLOR
Los polinon’ios en una variable, con coeficientes reales, determinan funciones
simples que tieiien la propiedad de ser derivables. Si el polinomio es de grado n, ad­
mite n polinomios, no idénticamente nulos, que son sus derivadas sucesivas. .
En muchas ocasiones resulta conveniente aproximar una función derivable no
polinómica mediante un polinomio particularmente elegido, y precisar la aproxima­
ción o error que se comete al reemplazar el valor de la función en un punto cualquiera
X de su dominio por el valor, en el mismo punto, del polinomio seleccionado.
Es decir, si f es la función considerada y p el polinomio que la reemplaza, inte­
resa conocer, para el número x del dominio, el valor de la diferencia
r(x) = f(x) - p(x).
Si una función f tiene n derivadas sucesivas finitas en un punto c, existe y es
único ei polinomio de grado n cuyas derivadas sucesivas coinciden con las derivadas
de la función f. Para comprobarlo consideraremos previamente la expresión de los
coeficientes de un polinomio cualquiera utilizando sus derivadas sucesivas.
I. Polinomio de Taylor*
Sea p la función polinómica de grado n y coeficientes reales A,,, A , , A j, . .Ar,.
Es decir, p: x -> Ag + A ,x + AjX^ + AgX^ + ......... 4- A „x".
Si c es un número real cualquiera, siempre es posible expresar el polinomio p
según las potencias del binomio (x - c), para lo cual basta efectuar las divisiones su­
cesivas por dicho binomio.
Se obtiene así una expresión del tipo siguiente:
p: x ^ ao + a,(x - c) + a 2 (x - c )2 + a 3 (x - c)3 + . . . -^ a jx - c r
O sea, Vx e R: p{x) = ao + ai(x - c) + a jíx - c)^
+ a,(x-0 "
a^{x - c f + . . . +
( 1 ).
* Brooks Taylor (1685-1731). Su obra m ás importante, Introducción al cálculo de diferencias fi­
nitas, qu ed a resumida en la fam osa fórmula que lleva su nombre. Cultivó adem ás física, música,
pintura y filosofía.
304
Calcularemos sus n derivadas sucesivas:
Vx; p'(x) = a, +
P lx ) =
p’” (x) =
2 a 2 (x
- c) + 3a^{x - c)^ + ......... + n a„(x - c)" ' ^
+ 3 !a 3(x - c) + .... + n(n - 1 ) a„(x - 0 )"-^
! a 3 + ....... + n(n - i) (n - 2) a„(x - c ^ - ^
282
3
p<"^(x) = n! a„ (como puede demostrarse por inducción).
En el punto c las funciones determinadas por las expresiones anteriores alcan­
zan los valores siguientes:
p(c) = ao,
p’ (c) = ai,
p” (c) =
2 la 2,
p” ’ (c) = 3!
83 ,...,
p‘")(c) = n!a„.
Por lo tanto resulta:
ao = p(c),
a, = p'(c),
aj =
83
=
...a,
=
Reemplazando en ( 1 ) es:
p(x) = p(c) + p'(c)
(X
- c) +
(X
- c )' +
............... +
(X -
c)",
que recibe el nombre de polinom io de Tsiylor.
Si se considera f*°’ (x) = f(^) y se recuerda que O! = i, la expresión anterior
puede condensarse de la siguiente manera:
y
” '
p W ( c ) (X - c ) "
K ^o,
h!
Si se elige, en especial, c = O, el polinomio queda expresado en la forma:
p(x) = p( 0 ) + p '( 0 )x +
o
p(x) =
x 2 + ........+
X"
¿
h= o
h!
que recibe el nombre de polinomio de M aclaurin*.
Aplicación
La fórmula de Taylor permite expresar un polinomio según las potencias del bi­
nomio (x - c) sin necesidad de efectuar las divisiones sucesivas. Para ello basta
hallar su valor y el de sus derivadas en el punto c y aplicar la fórmula.
Por ejemplo, se desea expresar el polinomio.
p(x) = x^ - 7x3 + x2 - 2x + 1
según potencias del binomio (x + 1).
* Colin Maclaurin (1698-1746). Fue discípulo de Newton y profesor en la Universidad de
Edimburgo.
305
p' (x) = 4x^ - 21x2 + 2 x - 2
p
p
" (X) =
(X) =
^
p
12x2-42x^2
=>
p '(-1)
24x - 42
=>
p'^'ix) = 24
_29
=
56
1)
=
-66
=> p' ^ ' ( - l )
=
24
P"'
(-
Además, p ( - 1) = 12.
Luego,
p(x) = 12 - 29(x - 1) - - ^ ( x * 1)2 - - ^ ( x - 1)= * - ^ ( x - D '
p(x) = 12 - 29{x + 1) + 28(x + 1)2 - 11(x ^ 1)^ + (x ^ 1)'*
EJERCICIOS
1) Escribir p(x) = x^ + x^ - x2 - 6x - 6 según potencias de (x + 1)
a) por divisiones sucesivas; b) por fórmula de Taylor.
2) Escribir p(x) = 3x^ - 13x2 + 14x + 7 según pótencias de (x - 2) aplicando !a
fórmula de Taylor.
II. Fórmula de Taylor
Sea f una función con n derivadas sucesivas finitas en cualquier punto de un in­
tervalo I. Si c e I, dichas derivadas finitas en c son:
f'(c), f" ( c ) ............f<">(c).
El polinomio
p(x) = f(c) + f ' ( c ) ( x - c ) + - í ^ ( x - c ) 2 + . . . + i ^ ( x - c ) "
es el polinomio de Taylor correspondiente a la función f en el punto c. Sus n deri­
vadas sucesivas coinciden, en el punto c, con las derivadas de la función f:
p’ (c) = f’ (c),
p” (c) = f” (c) . . . p'">(c) = f">(c) y, además, p(c) = f(c).
Consideremos, por ejemplo, la función f: x -> e*.
Sus derivadas sucesivas son Vx: f'(x) = e ’' = f"(x) = . . . = f'"'(x).
El polinomio de Taylor correspondiente a f en el punto c = 1. es:
p(x) = f ( i ) - f ' ( i )
(X
- 1) +
(X -
1)^ +
..
+ .1 ^
y en este caso, f(1) = f'(1) = ___ = f‘">(l) = e ’ = e.
Luego, reemplazando en (1), es:
p(x) = e + e(x - 1) * - | - ( x - 1)= * . . . + - ^ ( x - 1)"
306
(X
- D"
(1).
n
h=o h!
Interesa conocer el valor de r(x) = f(x) - p(x),
n
0
sea, de
r(x) = e* - ^
K —n
· I·
on un punto x perteneciente a un entorno del punto c = 1.
El valor r(x) se llama resto de Taylor o término complementario, y su valor depen­
de, para cada x, de h.
Si h = 1, es r(x) = e* - [e + e(x - 1)] = e*- ex.
Si h = 2. es r(x) = e* - [e + e(x -
=
1) +
e* - e X - - j (x^ - 2x + 1) =
Por lo tanto, para x próximo a 1, el resto considerado se hace menor al aumentar
el grado del polinomio que aproxima la función.
Si h = 1, es decir, si se considera el polinomio de Taylor de primer grado, la
aproximación obtenida se llama aproximación lineal de la función en el punto elegido.
Si h = 2, es decir, si el polinomio es de segundo grado, la aproximación es cuadrá­
tica, etcétera.
Hallaremos, en general, la expresión del resto de Taylor mediante el siguiente
teorema.
Teorema
Sea f una función con derivada finita de orden (n + 1) en todos los puntos de un
entorno del punto c. Si x es un punto cualquiera de dicho entorno, entonces existe
un punto z entre x y c tal que:
f(n+ 1)
f(x) = p„(x) + l _ ^ ( x
-
c )" *',
donde p„ es el polinomio de Taylor, de grado n, correspondiente a f en el punto c.
O sea,
f(x) = f(c) + f'(c) (X - c) + . . . +
(X - c)"
- c r*’
Demostraremos el teorema para un punto x ubicado en el semientorno a derecha
del punto c. Una demostración análoga puede hacerse para un punto x en el semien­
torno a izquierda.
307
Dem ostración
Sea X un punto del entorno consioerado / x > c. El punto x es un punto fijo par^
toda la demostración.
— (----------------------------- ------------------------------)-------------c -8
c
z x c + 8
Definiremos en el intervafp Lc;*x] dos funciones auxiliares F y G de la siguientf
manera:
¡
v t 6 [c; X]: F(t) = t(x) - f(t) - f (t) (x - t) - f " (t)
y
- . . . - ('"'(t)
G(t) = (X - t ) " - " ’
Las funciones F y G satisfacen la hipótesis del teorema generalizado del valor
medio (pág. 2$0), y p of lo tanto, 3 z € (c; x) /
m - H y ) ^ JLS L
G(c) - G<x)
G '(z)
' ’■
Ahora bien, F(x) = O y G(x) = O, como puede observarse haciendo el reem­
plazo de t por x en las expresiones que definen a las funciones F y G.
Al calcular F' debemos tener en cuenta que f'(x) = O, pues f(x) es una cons­
tante.
Resulta: F'(t) = - f '( t ) - f” (t) (x - t) + f'(t) - f ’ "(t)
-
- f<" ^
(t)
Cancelando términos es; F'(t) = -f^"
Por lo tanto
+ ^"(t) (x - t) -
’ >(t)
—r ^ ·
n!
F'(z) =
Por otra parte, G '(t) = - ( n + 1) (x - t)" y G'(z) = - ( n + 1) (x - z)".
Reemplazando en (1) es;
F(c) ^
G(c)
- f ( " ^ ^)(z) (X - zY
ni
^ f<” "^>(z)
- ( n + 1) (X - z)"
(n + 1)!'
Luego, F(c) = G(c)
Sustituyendo en la expresión anterior los valores F(c) y G(c), resulta:
f(x)-f(c)-f(c)(x-c)-
. . . - f<")(c) C -
Pasando términos al segundo miembro se llega a la tesis:
f(x) = f(c) + f( c ) (X - c) + . . . + f ( " i ( c ) - í 2 - ^ + l<" ·
308
La expresión anterior es la fórmula de Taylor. íEI térnnino complementario tiene
misma expresión formal que los términos del polinomio de Taylor, pero el valor de
derivada de orden (n + 1) no se calcula en el punto c sino en un punto z que está
Ubicado entre c y x.
Si c = O se obtiene la fórmula de Maclaurin:
t
f(x) - f(0) + f'(0)x + f " ( 0 ) ^ + . . . + f( " H O ) - ^ + f< " " ’>(z)2!
n!
(n+1)!
pura z entre O y x, que puede indicarse z = hx
siO < h < 1.
♦ Nota: Utilizando el símbolo de sumatoria, pueden precisarse algunas expresio­
nes del teorema anterior.
KD = (M - ¿ .’ "*«) (« - ')'
1= 0
i!
Derivando, es
f(i^ ^)(t) (X - t)'
i = O
'=
f<'’ (t) (X - t ) ' - M ( - 1 )
1=0
' ■
Para poner en evidencia que las dos sumatorias de la última expresión coinci­
den, salvo en un término, puede hacerse un cambio de notación eh la primera sumaloria haciendo j = i + 1 y considerar en la segunda sumatoria que el término corres­
pondiente a i = O es nulo.
Queda:
F'(t) = - "1^
F-m =
-
V
'
i) T
'
(” (t) ( x - t ) l - ’
(i-1)!
nr
- y f"l(l)(x-t)'-'
á i
(i-1)!
■
Desdoblando la primera sumatoria resulta:
( x - t y - ^ _ f("^i)(t) ( x - t r
(j-1)!
n!
Cancelando, queda: F'(t) = —
^
n!
~
^ V
(x-t)i-^
(j-1)!
··
.
i
EJERCICIOS
1) Fórmula de Maclaurin para la función f: x — e*.
2) Aproximar la función seno mediante un polinomio de quinto grado en el punto
^ = f·
3) Aproximar la función coseno mediante un polinomio dq sexto grado en c = 0.
309
4) Fórmula de Taylor
en los siguientes casos:
f:x---lnx
n=
5 c = 1
g: X ^ are tg X
n=
4
h : x — cosecx
n=
3
4
c = 1
c = —
5) Fórmula de Maclaurin en los siguientes casos:
f: X —*· sen X
n = 7
h : x —»secx
g : x —>cosx
n = 5
t : x —»e" *
n = 3
n = 4
III. Aproximación de funciones
El cálculo del valor de un polinomio en un punto cualquiera x, ubicado en un
entorno de un punto c, donde se conoce e) valor del mismo y de sus derivadas suce­
sivas, es un problema sencillo. La fórmula de Taylor permite utilizar este cálculo sim­
ple para aproximar funciones que no son polinomios, mediante el polinomio de Taylor
correspondiente. La aproximación es más precisa cuanto mayor sea el grado del po­
linomio.
El término complementario, o resto de Taylor, permite estimar la aproximación
obtenida, ya que es la diferencia entre ei valor de la función en el punto considerado
y el polinomio correspondiente.
Os ea, r(x) = f(x) - p(x) y también |r(x)| = |f(x) - p(x)j.
Si se halla un número positivo e tal que |r(x)| < e, entonces |f(x) - p(x)| < e.
Es decir, si se considera como valor de la función f en el punto x el valor numé­
rico, en dicho punto x, del polinomio p, el error cometido es, en valor absoluto, menor
que el número e.
Ejemplo 1
Aproximar f(x) = e 2* mediante un polinomio de grado 3 y acotar el error que se
comete para X = 0,1.
Utilizamos la fórmula de Maclaurin.
Para ello:
f(x)
f'(x)
f"(x)
f ' ” (x)
f'^íx)
=
=
=
=
=
e
=>
f(0) =
1
- 2 e 2* =5
f'(o) = - 2
4e
=, f"(0 ) = 4
8e 2* ^
f"'(0 ) = - 0
1 6 e 2* => fiv( 2 ) = I6e
2!
2*
310
-1
2x ^ 2x2 -
3
con z entre O y x.
3!
4!
El error de la aproximación elegida está dado por el término complementario
'<(«) = - f e
Parax = 0,1
es
e = — e " “ (0,1)' con O < z < 0,1.
3
o in
O b ie n e = 4 -^ ^
3
a
O<
z
< 1 0 -’.
Para acotar el error debamos elegir una cota inferior para e^^, ya que se encuen­
tra en el denominador y el valor aumenta al disminuir éste. Para z > O es e^^ > 1.
Luego, al reemplazar
por 1, resulta:
.< |io Como el error suele estimarse según potencias de 10, para encontrar cifras
exactas afirmamos que
€ < -|- 10-'* =? 6 < lO-'*.
Si calculamos
=
1 - 0,2 + 0,02 - 4 0,001,
O
1
ol valor e ^ = 0,818667 admite un error menor que 10
tro cifras decimales exactas.
y tiene, por lo tanto, cua­
1
Es decir, e "5’ = 0,8186.
Ejemplo 2
Aproximar la función logaritmo natural mediante un polinomio de cuarto grado.
Consideremos la fórmula de Taylor con un polinomio de cuarto grado:
f(x) = f(c) + f'(c)
- c) +
(X
+-
l i Í ( x - c ) 5
Luego, f(x) = ln x
f'(x)
=
1
x
1
f"(x ) f" '(X )
^
x^
2
(X - c)2 +
(z entree y
(X - c)3+
(x - c)^ +
x).
SI c = 1, es f(1) = 0.
f'( 1 )
=
1
f" (1 )
=
-1
f'" (1 )
=
2
f'^ íl)
=
-3 !
X3
f'V (x )
-
3!
y4
311
f''(x) =
(zentre 1y
X).
Por lo tanto.
O s e a ,p M = (> - 1) -
~
para z entre 1 y x.
S is e e lig e x e n e lin te n /a lo (1 ; 1,1),e s l < z < 1,1
y
y
< 1·
Considerando los valores anteriores, de (1) se obtiene:
k5 M I< -^^= »
L u e g o .In x
=
|r5(*)l<l0-*.
(x - 1) 2
3
4
con c < 10~® si 1 < x < 1,1.
Por ejemplo, si elegimos x = 1,01, resulta:
In 1,01 =- 0,0099503 con 5 cifras decimales exactas,
es decir.
In 1.01 = 0,00995.
EJERCICIOS
1) Aproximar las siguientes funciones mediante polinomios de grado n, acotando el
error que se comete al despreciar el término complementario:
f : X -► cos
X
n = 4
0<x<0,1
g:x-»senx
n = 5
O < x < 0,2
h : x ^ e ’‘
n = 4
O < x < 0.5
2) Hallar \/~ e con 5 cifras decimales exactas.
3) Hallar cos
6
con 4 cifras decimales exactas.
4) Hallar sen 0,5 con 5 cifras decimales exactas.
5) Siendo ln 3 = 1,0986, hallar ln 4 con 4 cifras decimales exactas.
312
IV. Generalización del criterio para determinar extremos
En el capítulo anterior se dio un criterio para ubicar máximos y mínimos locales
•n puntos interiores al dominio donde se anula la derivada primera (puntos criticos
del tipo 1), que depende del signo de la derivada segunda en dicho punto.
Ese criterio puede volver a demostrarse utilizando la fórmula de Taylor.
Por la condición necesaria para existencia de extremos locales investigamos el
punto c, donde f'(c) = 0.
La fórmula, en ese caso, es:
tw = t(c) + f " ( c ) i í ^ ^ + f " - ( c ) - f c ^ +
Si f"(c )
bimos:
. . . + r„(x).
O, consideramos como resto al término de segundo grado y escri­
f ( x ) - f ( c ) = f" (z )
(X -
c )-
( 1).
Ahora bien, el signo del segundo miembro depende del signo de f''(z), pues
Vx:
> O si X Í:C.
Si f" (c) > O, como f" es continua por existir f " ’ , en un entorno conveniente tam­
bién es f " (x) > 0. En efecto, por una propiedad de las funciones continuas (pág. 174),
si f" (c ) > O, entonces existe un entorno de c donde f " tiene el mismo signo que su
límite. Eligiendo x en dicho entorno, como z está entre c y x, resulta f"(z ) > 0.
Luego, en (1) es f(x) - f(c) > 0.
Es decir, para cualquier x perteneciente ai entorno elegido de c, el valor f(x) es
mayor que f(c), lo que asegura que f(c) es el menor valor de f en el entorno, o sea, f(c)
es mínimo local.
Análogamente, se prueba que si f"(c ) < O, entonces f(c) es máximo local.
O sea, llegamos nuevamente al criterio ya demostrado en la página 258.
Pero dicho criterio no ofrece conclusiones para el caso en que la derivada se­
gunda se anule en el punto considerado.
En ese caso podemos extender el desarrollo de Taylor con n = 3. Como
f'(c ) = f" (c ) = O, obtenemos:
f(x )-((c )
=
f'(z )
.
313
Veremos qué sucede si f ' " (c) :^0.
Suponiendo que f " ' (c) > O, por la propiedad mencionada de las funciones conti­
nuas, es f " ' ( z) > O en un entorno de c. Pero (x - c)^ cambia de signo según x s t
encuentre a izquierda o a derecha de c.
Por lo tanto,
f ( x ) - f ( c ) = f "' ( z) (X - c)'
3!
es positivo si X > c y negativo si x < c. O sea, f(c) no es extremo local.
f(c)
Algo similar sucede si f " ' ( c) < 0.
Por otra parte, como f ” (c) = O es condición necesaria para existencia de punto
de inflexión, y la recta tangente atraviesa a la curva en (c; f(c)), este punto es de in­
flexión (con tangente horizontal).
Si f’ "(c) = O, extendemos el desarrollo de Taylor con n = 4. Con el mismo
razonamiento hecho en la phmera parte, si f'^íc) > O, entonces f(c) es mínimo local, y
si f'^(c) < O, entonces f(c) es máximo local.
Generalizando las demostraciones anteriores, vemos que si f '(c) = f''(c) =
f'"(c) = ........f" - ^>(c) = O A f""’ (c) t O, entonces habrá extremo local si n es par
y habrá inflexión, en un punto donde la recta tangente es horizontal, si n es impar.
O
sea, si c es un punto interior a'l dom inio de f y la función f tiene n deriva­
das fin itas continuas en c, que son nulas hasta la orden (n - 1) inclusive, y f<">(c)
^0, resulta:
si n es par y f'">(c) > O, entonces f(c) es mínimo local;
si n es par y f*"'(c) < O, entonces f(c) es máximo local.
Finalmente, si n es impar, entonces (c; f(c)) es punto de inflexión.
Ejemplo 1
Seaf; X- » x^ ^ 2.
314
Vx; f-(x) = 4x3
f'(0) = O
f"(0 ) = O
f"(x) = 12x2
f"' (x) = 24x
f"'(0 ) = O
f'^(x) = 24
f"" (0)
=
24
Como el orden de la primera derivada que no se anula en el origen es cuatro,
número par, y dicha derivada es positiva, la función tiene un mínimo local en
X = 0. Es decir, f(0) = 2 es un mínimo local.
Ejemplo 2
Sea
-
f; X — (X
- 1.
3)^
Vx: f'(x) = 5(x - 3)^
f"(3 ) = O
f"(x) = 20(x - 3)3
f"' (x) = 60(x - 3)2
f' "(3) = O
f'^(x) = 120(x
f''(3 ) = O
3)
f''(3) = 120
f^(x) = 120
La primera derivada no nula en el punto 3 es la derivada quinta. Luego, hay in­
flexión en el punto (3: 1).
Ejemplo 3
Sea f:
X
f(x)
=
- 4 ( x - 3)3
f"(x)
=
- 12(x -
f"'(x)
f' V(x)· =
^
(x
- 2 4 (x
-2 4
3)^ - 6.
3)2
- 3)
f'(3) = O
f"(3) = O
f "' (3) = O
f ' V (3 )
=
-2 4
n = 4. número par ' f'"'(3) < O =» f(3) máximo local.
315
EJERCICIOS
1) Hallar extremos locales, si existen, de las siguientes funciones:
f:x-.) ' - 1
g;
X
- X®
+ 3
h:
X-»
(x
5)3
t;x —
(X
- 2)'* - 5
s: x - * tg x - sen x
-
3
m:
X
7x^
-
5
2) Estudiar el comportamiento de f en el origen si
f : X —» X® cos 2x + (1 - cos x) V?
x^
x^
3) Idem para f: x —» tg x - x - — ----- ·
O
O
V. Generalización del criterio para determinar la concavidad
Consideremos nuevamente la fórmula de Taylor con término complementario de
segundo grado:
f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f " ( z ) - ^ ^ ^ ^ .
O sea, rjíx ) = f " ( z ) - ^ ^ .
Según se ha visto en la página 217), la ecuación de la recta tangente al gráfico
de f en el punto (c;f(c)) es:
t(x) = f(c) + f'(c) (X - c).
Por lo tanto,
f(x)
[r{c)+ f(c)(x - c)] =
«
t(x ) - t( x ) =
Por consideraciones ya hechas en la sección anterior, en un entorno del punto c:
f"(c ) > O => f"(z) > O => f"(z )
~
> O =5 f(x) - t(x) > 0.
Esto significa que la curva está por encima de la recta tangente en el entorno
elegido.
316
Se llega así a la misma conclusión obtenida anteriormente (pág. 272): si
l"(c) > 0. entonces existe un entorno de c donde la curva está ubicada encima de la
recta tangente, o sea, es cóncava hacia arriba.
Análogamente, si f " ( c ) < O, el gráfico es cóncavo hacia abajo.
La fórmula de Taylor permite generalizar la conclusión anterior ya conocida para
el caso en que se anule la segunda derivada en el punto c.
En efecto, basta extender el desarrollo hasta la primera derivada que no se anule
en dicho punto.
Si f "(c) =
.........
= f*''
^>(c) = O A f‘"'(c)
O, entonces la diferencia entre
la ordenada de la curva y la de la recta tangente está dada por el término comple­
mentario:
_
f'^'(z)(x-c)^
Si la derivada enésima es continua, el signo de f*"'(z) será el mismo de f'"’(c),
para x en un entorno conveniente.
Si n es impar, el signo de r^íx) depende de la ubicación del punto x, a derecha
o a izquierda del punto c.
En efecto, (x - c)'' es positivo para x a derecha de c y negativo para x a izquierda
de c, y, cualquiera que sea el signo de f'" ’ (c), el término r„(x) cambia de signo
para x ubicado a derecha o a izquierda de c. Por lo tanto, de un lado la curva está por
encima de la recta tangente y del otro por debajo de ella, es decir, en el punto (c; f(c))
la curva cambia el sentido de su concavidad. Se trata, entonces, de un punto de in­
flexión. En este caso, si f'(c) ^ O, entonces en el punto de inflexión la recta tangente
es oblicua.
S i n es par, en cambio, el signo de r^(x) depende del signo de f'"'(c), pues
Vx . (X - c)^ > O si x
n!
C.
Es decir. f'"'(c) > O indica que la curva es cóncava hacia arriba en (c;f(c)), y
f'"''(c) < O indica que es cóncava hacia abajo en dicho punto.
317
EJERCICIOS
1) Sentido de ia concavidad de los gráficos siguientes en los puntos indicados:
h: X (x + 2)'* - 3x + 4
en x = - 2
f: X ^ X® + 2x - 1
en X = O
g: x -> (x - 3)2 (x + 1)+ X
en x = 3
m: X
en x = - 1
- x '' - 4x3 -
6x2 - X - 1
2) Puntos de inflexión en los gráficos de las siguientes funciones:
f:x-^2x3-1
g: x - ^ (X - 1)3 (X - 2)
h: X ^ 2x'* - 3x + 5
n : x - ^ ’ x^ - 4x 3
m: x
- 4x ^ 5
s;x^se nx-x
♦ VI. Contacto de curvas planas
Consideraciones sinnilares a las anteriores se pueden hacer respecto de los
gráficos de dos funciones f y g que tienen en común el punto (c;f(c)), es decir,
f(c) = g(c).
Puede suceder que, además, f’(c) = g’(c), en cuyo caso los dos gráficos tienen
la misma tangente en (c;f(c)). Se dice, en esta situación, que las curvas están en
contacto en dicho punto.
Si también es f"(c) = g” (c), el contacto es, por lo menos, de segundo orden.
Será de segundo orden si, además, f ” ’(c) t g” ‘(c).
Definición
Dos curvas asociadas a funciones escalares tienen, en un punto común, un con­
tacto de segundo orden si y sólo si las derivadas primera y segunda de las funcio­
nes respectivas son iguales en dicho punto, y distintas y finitas, en el mismo punto,
ias derivadas terceras.
Consideremos dos funciones f y g que tienen derivada tercera continua en el
punto c. Si se cumple: f(c) = g(c) a f’(c) = g’(c) a f”(c) = g”(c) y además f” ’(c) t g” ’(c),
entonces las curvas correspondientes tienen un contacto de segundo orden en
el punto (c;f(c)).
318
Si aplicamos la formula de Taylor para un punto x en un entorno del punto c y
para n = 3, resulta:
f(x) = f(c) + f'(c) (x - c) +
f"(c)
2!
(x - c)2 +
g(x) = g(c) + g’(c) (x - c) + - 2 ^ (x - c)^ +
(X - c)3
(x - c)^
f’’’( z ) - g ’’’(z)
3!
Si es f'” (c) g '” (c) en un entorno conveniente también es f” ’(z) t g” ’(z), y el
signo de la resta f(x) - g(x) depende del signo de (x - c)^
En este caso, entonces, las curvas se atraviesan en el punto (c; f(c)), t5ties
f(x) - g(x) cambia de signo según el punto x esté en el semientorno a derecha o a iz­
quierda del punto c.
Las consideraciones y las definiciones anteriores pueden generalizarse.para un
contacto de orden n.
Restando ambas expresiones queda: f(x) - g(x) = (x - c)^
Definición
Dos curvas correspondientes a funciones que tienen derivada de orden (n -i- 1)
en el punto c tienen un contacto de orden n en el punto (c; f(c)) si y sólo si coinciden
los valores de las n primeras derivadas en el punto c y existen y son diferentes las de­
rivadas de orden (n + 1) en dicho punto.
En este caso, si
y
+ son continuas, por la fórmula de Taylor es:
f n ^ D ( z ) _ g(n -l)(z )
(n + 1)!
Luego, si n es un número par, como ( n + 1 ) resulta impar, la diferencia (f(x) cambia de signo a derecha e izquierda del punto c y las cun/as se atraviesan
punto (c; f(c)).
Si en cambio n es impar, como ( n + 1 ) resulta par, la diferencia (Ux) no cambia de signo en un entorno del punto c y las curvas no se atraviesan
punto (c; f(c)) .
g(x))
en el
9(x))
en el
Ejemplo
Consideremos las funciones
f: x - ^ X
+ 1+
2x + 1
y
g:x
319
Parac = 1, es f(c) = g(c) = 5.
Calculemos la derivada primera de cada función. Resulta Vx
f,x , =
=
1
0:
-
A
g' (x) = - 4 - - 4 - ^ 4x.
Por lo tanto, f'(1) = g ' ( l ) =
3.
Si derivamos nuevamente es:
,,
( --4x - 2) x'· - 4x^( --2x2 - 2x) _
“
x0
4x= * 6 x^ _
x®
4x * 6
x^
A
g"W = “3^4.
Resulta f ” (1) = g” (1) = 10.
Al calcular la tercera derivada de ambas funciones se obtiene:
4x'‘ - 4 x 3(4 x - 6 )
_
'
'XJ ~
g -M
~
..n
X®
-12x^ - 2 4 x ^
B
X®
12x
“
24
.-i
X^
=
Resulta
=
g " '( i ) =
.3 5
- 1 8
Por lo tanto, las curvas tienen un contacto de segundo orden y se atra ­
viesan en el punto (1; 5).
EJERCICIOS
1)
Orden de contacto de los gráficos de las siguientes funciones para c =
4
f; x - >
g: X ^
2)
X +
.
1
2x
1.
^
+ ---------5—
- x ^ i- 5(x - 1)
Orden de contacto en c =
~
2
para:
f : x —»x^ - 4 x - 7
g:x-*x^
2x
1
♦ VIS. Curva osculatriz
Si se cor^sidera el gráfico de una función I y un punto (c: l(c)) del mismo, otra
curva, de una familia determinada, es la curva osculatriz al gráfico en e se punto si es
la que tiene el contacto de orden más elevado con el gráfico.
Por ejemplo, si la función f tiene derivadas í’ y f” , el polinomio
320
f” (c)
(X-C)2,
-2 T
cuyo gráfico es una parábola de eje vertical, tiene, al menos, contacto de segundo
orden con la curva asociada a f. Es, por lo tanto, la parábola osculatriz. (Cualquier
otra parábola cuadrática que pase por el punto (c;f(c)) tiene, a lo sumo, un contac­
to de primer orden con ei gráfico de f.)
p(x) = f(c) + f ’( c )(x -c ) +
Si se consideran las circunferencias que pasan por el punto (c; f(c)), interesa,
on especial, aquella que tiene contacto de segundo orden con el gráfico de f.
Esa circunferencia es la circunferencia osculatriz y su radio recibe el nombre de
radio de curvatura en el punto considerado.
La circunferencia osculatriz puede determinarse considerando que la expresión
que la define tiene dos derivadas coincidentes con f' y f " en el punto c.
Sea (x - Xq)^ + (y - yo)^ =
(1) la ecuación de la circunferencia osculatriz
buscada, donde (Xq: yo) es el centro y r el radio.
Consideremos sólo un arco de circunferencia correspondiente a un entorno de
c, con el objeto de que sea efectivamente la curva de una función (ya que la circun­
ferencia completa no lo es).
En un entorno tal como el que acabamos de mencionar es;
(y - yo)^ =
r^ -
(X - X o ) ^ p o r ( 1 ) .
Derivando:
2(y-yo)y' = -2(x-xo)
(y - yo)y' =
- ( x - xo)
(2).
Derivando nuevamente:
(y - yo)y" + y'^ =
-i·
Luego, y - yo = -
1 + y'2
y"
(3)
1 + y'^
si y”
0.
y"
Reemplazando (3) en (2);
, 1 + y'2
X - Xo = y —
(4)
Xo = X - y'
1 + y'^
y "
Para encontrar el radio se reemplazan los valores (3) y (4) en (1):
321
2\ 2
(1 +y-2)
2\ 2
, 2 ji+ jr i
y..2
d + y'^)^
y-.2
= r2
( y' 2+ 1) = r‘
y"=
y"=
r =
|y..|
Luego, si existe la circunferencia osculatriz al gráfico de f en el punto (c; f(c)
y tiene centro (Xq; yo) y radio r, es:
w '(1 + w '2 \
Xo = X -
^
donde x = c,
y"
1 J. »,-2
M J. w*2>3/2
■ . yo = ' v +
y = f(c),
y’ = f ’{c),
y” = f ” (c).
'
r es el radio de curvatura en el punto y su recíproco, si existe, es la curvatura d t ’
la cun/a en el punto considerado (en valor absoluto). El punto (Xq; Vo) es ei centro d ·
curvatura.
Nota: Si se considera que la inclinación a de la recta tangente a una curva en un
punto depende de la longitud s del arco correspondiente, puede definirse la curvatura
en un punto como la derivada
ds
mino, a la misma fórmula anterior.
en el punto considerado. Se llega, por este ca-
Ejemplo
Circunferencia osculatriz al gráfico de f: x ^
322
en (1 ; 1).
f
( X)
2x
-
f' (1)
f(x) = 2
_ ^
"o
2
f " (1) = 2
2(1 ^ 4) ^
2
'
1
Vo
=
^
_4
- 22 _
2
(xo:yo) =
7
{
2
(1 + 4)3/2 _
5 vT
En este caso, |Kj = y
Además, K =
=
.
pues f " ( 1) > 0.
EJERCICIOS
1) Circunferencia osculatriz al gráfico de;
f: X - >
x^
1 en (1; 2), g: x ^
2) Curvatura del gràfico de
f;
x
x “* - 3x en (1; -2 ).
x^ - 3x + 5 en (2; 7),
g:x^x3en
3) Cun/atura de f; X — sen X para ^
4) Radio de curvatura de f; x —«· 4 sen x - sen 2x para ^ ^
5) Centro y radio de curvatura r’e f; x
e* en (0; 1).
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPITULO 8
Sección I
1) p(x) = (x - D " - 3(x ^ 1)3 - 2(x ^ 1)2 _ 5(x + 1) - 1
2) p(x) = 3(x -- 2)3 . 5(x - 2)2
2(x - 2) ^ 7
S ección II
323
a » ---------- K - - 1 ) · i r ( ·
f ) - ^ ( - - í ) —
3) c o s x = 1
zentrexyO
4)
+
inx = ( x - , ) - i l ^
2
+ i L
^
_
i í _ i i : - i i ^
A
5z
3
->i
zentrexyl
arctgx = - f + - 1 (x - 1) - - l ( x - 1)^ ^ - ^ ( x - 1)^ co secx =
vA
2 -V T (
x
- ^ )
+ -5 :^ (
x
5 sen^ z cos z + 6 cos^ z /
6sen^z
V
5) sen x = x
—
+ —
v2
cos
X
- cos z
v4
.1
= 1
-
- ^ ) ' - \ ^
4
x"
y5
= 1— — + — —
2!
4!
sec X = 1 +
~
sen
z
5!
Ssenzcos^z + Gsen^z
cos^z
2!
X
2!
X +
„3
„4
3!
4!
Sección III
1
y3
s e r, X =
X
Y5
^
^
v2
e* = 1 * X r
k e l < 10
„3
-----f
2!
v4
—
4!
3!
'
1
Ircl < ------- ^-------< 10 ^
' ^
120 · 16
2) Consideramos la fórmula de Maclaurin para e* con x = y
v v =
1
^
3) c o s ^
6
2
2V2/
4ó a y
= 0.8660
4) sen 0,5 = 0.47942
_L
24
6V2/
=
'''I
( l \ v
V2/
y
n= 6
_ L ( I )
120 \ 2 /
^ á e r <
|r7| < 10 ^
\ r j \ < 10 ^
5) ln 4 = 1.0986 * — -----— ^ — ---------------------------------- — ^ ^--------^—
3
18
81
324
1215
4374
324
= 1,3862
Sección IV
1) f(0) mínimo local
s: no hay
g(0) máximo local
h: no hay
t(2) = 5 mínimo local
m: no hay
2) f'(0) = f"(0 ) = f " ' ( 0 ) = O A f'V(O) = 1 2 > 0 = > f(0) mínimo local
3) f'(0) = f"(0 ) = O A f"'(0 )
=> (0: 0) punto de inflexión
Sección V
1)
f: hacia arriba
g; hacia arriba
h: hacia arriba
m: hacia abajo
2)
h: no hay
f;(0:-l)
m; (0; 5)
s: puntos de abscisa 2nTr con n e Z
n:(0: 0)
Sección VI
1) tercer orden
2) no hay contacto
Sección VII
5vT
2
1.
vT
2)
3 v ^
1681
f:K =
3) K =
4) r = ^
192
125
-1
4
5) (xo;yc) = ( - 2 : 3 )
r = 2\/2
325
9. SUCESIONES NUMÉRICAS
La palabra sucesión se utiliza con frecuencia en el lenguaje cotidiano y tiene el
mismo significado que en matemática, o sea, el de un conjunto ordenado de elemen­
tos. Así, se habla de la sucesión de los días o de la sucesión de los números naturales
con la misma interpretación intuitiva.
Al considerar una sucesión de elementos se conoce cuál es el lugar que ocupa
cada uno mediante una regla o reglas que permiten ubicarlo. Hay un primer término al
cual generalmente se designa a ,, un segundo término a j, un término enésimo o ge­
neral a„, etcétera.
La sucesión suele abreviarse:
(a J
= ( a i ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ......... . . . )
y los puntos sucesivos finales indican que consideramos sucesiones de infinitos tér­
minos.
Ejemplos
donde Vn e N: a„ = —
n
donde V n e N ; b n = ( ~ y )
■Cn = n - 1 si n es par
(c J
= (2: 1 ; 4 : 3 : 6 : 5 ; ...).
donde Vn e N:
Cn = n - 1 si n es impar
si n = 1
rd„ = 4
(dn) = ( 4; 2: 0; - 2 : - 4 ; ... ).
donde V n e N :
dp = dn
1
-2
si n > 1
En este último ejemplo la sucesión se ha definido por recurrencia, es decir, me­
diante reglas que permiten obtener cada término a partir de los anteriores.
La sucesión de Fibonacci: (Xn) = (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; . . . ) se define también por
recurrencia haciendo
326
Vn 6 N:
Xn
=1
si
n = 1
Xn
=1
si
n = 2
Xn
= X n - 2 + Xn - 1
SÍ
n> 2
I. Sucesiones numéricas
Se observa en los ejemplos anteriores que a cada número natural le corresponde
un término de la sucesión y solamente uno, y que los términos de la sucesión pueden
ser elementos de cualquier conjunto.
Por lo tanto, una sucesión infinita es un caso particular de función cuyo dominio
os el conjunto de los números naturales (sucesión numerable).
Nos interesan especialmente las sucesiones de números reales, es decir, aque­
llas cuyo recorrido está formado por números reales, o sea, las funciones del tipo
s: N
R donde D j = N y ReCs c R.
Es decir,
1 2
3
4
5
i
i
i
i
i
3i
dÍ2
^3
^4
^5
D efinición
Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los núme­
ros naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.
s : N - ^ R / V n € N : s ( n ) = a,.
Consideremos la sucesión s / Vn e N: s(n) =
fica es la siguiente:
V cuya representación grá­
^
Como ya se ha dicho, la sucesión suele indicarse
( a j = (a,; as; ...,a^·, ...).
En el ejemplo considerado es:
327
■
(*=14=1=... )
y es usual, en lugar del gráfico anterior, representar directamente sus términos sobre
la recta real de la siguiente manera:
. . . .ag 8 5 ^4^3
a,
aj
Como ya se ha indicado, una sucesión tiene infinitos términos, pero todos ellos
pueden tener el mismo valor, como sucede en
On) =
......... )■
En este caso el recorrido de la sucesión es el conjunto unitario {1}.
Dos sucesiones son iguales si sus términos coinciden ordenadamente, es decir:
(a„) = (bn) « V n e N : a „ = bnLa igualdad de sucesiones no debe confundirse con la de sus
Por ejemplo, si (an) = (1 ;0 ;1 ;0 ;..........) y ( b j = (O; 1; 0; 1 ; . . . )
( a j tlbr,)
recorridos.
peroReCg = Rec^ = {O, I}.
Sucesiones acotadas
El número real k es una cota superior de la sucesión (a^) si y sólo si Vn e N: a„ ^ k.
Análogamente, k’ es cota inferior si y sólo si Vn e N: a„ s k'.
Una sucesión numérica que admite cotas superiores está acotada superior­
mente, y si admite cotas inferiores está acotada interiormente.
Si una sucesión admite cotas inferiores y cotas superiores se dice que está
acotada.
La mayor de las cotas inferiores es el extremo inferior o ínfimo de la sucesión, y
la menor de las cotas superiores es el extremo superior o supremo de la sucesión,
según las definiciones ya conocidas.
Ejemplos
(a^,) = (1; 2; 3: 4; . ..; n; . . . ) es una sucesión acotada inferiormente. 1 es el
ínfimo.
(bn) = ( -2; -3; - 4 ; -5: . . . ; - n ; . . . ) es una sucesión acotada superior­
mente. - 2 es el supremo.
(Cn) = ^^
’ T ’ ■■' ’ ^ ’ · · · ^
sucesión acotada. 1 es el supremo y
O es el ínfimo.
EJERCICIOS
1) Escribir cuatro términos de cada una de las siguientes sucesiones:
328
2) Escribir el término general de cada una de las siguientes sucesiones:
(a„ ) = ( 9 ; - 2 7 : 8 1 ; - 2 4 3 ; . . . )
(C„) =
3)
(b„) =
( - 1 ; 1 ; - 1 ; 1 ; ...,)
Indicar cotas y extremos de las siguientes sucesiones:
«
■ (+ )
(d„) = ( 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; . . . . )
» ·' = ( “
)
«■> -
(e„) =
( ( - t )·)
·■··)
II. Punto de aglomeración
Consideremos las siguientes sucesiones numéricas:
(a j =
...)
(b„) = ( 3 ; i ; 3 ; l : 3 : l ; 3 ; | ; ........ )
( c J = ( 1 ; - 1 ; 2 ; - 2 : 3 ; - 3 ; ........)
En (a^) hay infinitos subíndices n para los cuales a„ = 1. En efecto, a, =
34 = a7 = __ = 1. Análogamente, hay infinitos subíndices n para los cuales
= O y también infinitos subíndices n para los cuales ar, = - 1 . Es decir, elegido
un entorno cualquiera del punto 1, hay infinitos valores de n para los cuales a„ perte­
nece a dicho entorno. Lo mismo sucede para todo entorno del punto O y para todo en­
tomo del punto - 1 .
Esta propiedad se indica diciendo que 1, O y -1 son puntos de aglomeración de
la sucesión (a^).
En general, un punto es de aglomeración si, prefijado cualquier entorno del mis­
mo, hay infinitos valores de n para los cuales a„ pertenece a dicho entorno. Obsér­
vese que, a diferencia de lo exigido al definir punto de acumulación de un conjunto,
el entorno que se elige no es un entorno reducido.
En el ejemplo elegido, ninguno de los puntos de aglomeración es, al mismo tiem­
po, punto de acumulación del recorrido de (a„).
En (bn) hay dos puntos de aglomeración: 3 y 0. En este caso, O es, además, pun­
to de acumulación del recorrido.
En (Cn) no hay ningún punto de aglomeración.
-
Definición
El punto a es un punto de aglomeración de la sucesión (aJ si y sólo si, elegido
cualquier número positivo e, existen infinitos valores de n para los cuales se verifica
|a „ - al < e.
329
Esto significa exigir que existan infinitos subíndices n para los cuales, prefijado
un entorno de a, se cumple que a „ pertenece a dicho entorno.
Interesan especialmente las sucesiones acotadas que tienen un único punto de
aglomeración, el que se denomina límite de la sucesión.
EJERCICIOS
1) Hallar los puntos de aglomeración de cada una de las siguientes sucesiones:
(án)
=
( 1 ; 1; 1 ; 1;
....)
(Cn)
=
( ( - l ) - - f
i)
(en)
=
(9n)
=
(in)
=
(
^
( b j = (1;2;3;4;....)
)
,2
1 .
3 ’
2) Considerar el recorrido de cada una de las sucesiones anteriores y hallar sus
puntos de acumulación.
3) Dar ejemplos de:
a) sucesión acotada con dos puntos de aglomeración y ningún punto de acumu­
lación en el recorrido;
b) sucesión no acotada con punto de aglomeración único;
c) sucesión acotada con dos puntos de acumulación en el recorrido;
d) sucesión no acotada con dos puntos de aglomeración y un punto de acumu­
lación en el recorrido.
4) Contestar Verdadero o Falso: Una sucesión puede tener infinitos puntos de aglo­
meración. Justificar.
III. Límite de sucesiones
Al definir sucesión como caso particular de función se pone de manifiesto que es
posible considerar las definiciones ya dadas para límite de funciones y adaptarlas a
restricciones de dichas funciones, cuyo dominio es el conjunto de los números natu­
rales.
Por otra parte, en la idea in tu itiva de lím ite, considerada en la página 122,
ya aparece la idea de sucesión. Cuando x “ se aproxim a” al punto de acum ula­
ción a, se consideran números x ,, Xj, X j , . . . cada vez más próxim os al número a.
En ese caso, los valores correspondientes de la función: f(x,), fíXj), fíx^), . . . se
aproxim an al lím ite t.
Es decir, se han puesto en evidencia dos sucesiones de números reales:
(Xn) =
330
( x , ; x 2; x 3; .........)
y
(f (Xn))
=
(f(xi):f(x2);<(x3): · · · · ) .
primera con límite finito a y la segunda con límite finito f .
Por habernos detenido en consideraciones previas al estudiar límite funcional,
)ii ofialogía con límite de sucesiones nos lleva a dar directamente las definiciones
lOrrespondientes.
lucesión convergente
Dofinición
Una sucesión numérica (ap) tiene limite finito si y sólo si, para cualquier núme­
ro positivo €, existe un número positivo 6 que depende de e tal que Vn; (n c N a
A n > 6 => |8n - /"I < e).
Se indica; lím a„ = / c=> Ve > 0 36(€) > 0 / V n ; ( n e N a n > Ô =»
=> la, - ^1 < e).
Una sucesión es convergente si y sólo si su límite es finito. En el caso conside­
rado, la sucesión (3p) converge al número L
Obsérvese que el límite finito de una sucesión corresponde al límite funcional;
lim . J(x) = ^ .
Gráficamente, prefijado un entorno cualquiera de / de radio e, es posible deter­
minar un número 6 tal que los términos a„ de la sucesión que verifican n > 6 perte­
necen a dicho entorno. (Encontrado un número 6 que satisface la condición propues­
ta, cualquier número positivo S' > 5 también la satisface.)
/ - e
/
e + €
— i-------------------------------------------------------------- 1---------------------- 1-----------'n+1
Obsérvese que una sucesión tiene límite finito / si y sólo si, para cualquier e > O,
en el intervalo (^ - e; / - e) están todos los términos de la sucesión con excepción
de un número finito de ellos (<5 términos si ñ e N).
Es decir, el límite es punto de aglomeración de la sucesión, pero además es el
único punto de aglomeración.
Obsérvese también que la definición de límite es más fuerte que la de punto de
aglomeración. En efecto, la existencia de límite finito implica la existencia de punto de
aglomeración único, pero el recíproco es falso. El contraejemplo lo dan sucesiones
que tienen punto de aglomeración único pero no están acotadas, como se verá más
adelante.
Ejemplo 1
Consideremos la sucesión
\n/
= fl;—
\ 2 3
; ___ ; — ; . . . . V
n
/
Probaremos que lím a„ = 0.
331
Nos preguntamos si V e > 0 3 6 > 0 / ^ n > 6
Como n > O,
< e » — < e »
n
—
n
-
O < e
n > —.
€
n > ^
e
€ > -1 =
n
< e
n
— - O < € => lím — = 0.
n
n
En particular, si se elige € =
para n > 1000 es |8n| <
1000
, resulta 6 s 1000 y puede asegurarse que
, o sea, a partir del término a„ =
. inclusive, la
diferencia entre cualquier término de la sucesión y el número O es menor que 0,001.
Ejemplo 2
Probaremos que lím
= 3.
O sea, debemos probar que
Ve > 0 3 6 > 0 / ^ n e N
An>6=>
3n 4- 1
- 3 < e
Realizamos algunos cálculos auxiliares que nos permitan proponer un 6 adecua­
do a las exigencias de la definición.
5*
-5
-5 |
3n + 1
< e CID n + 2 >
n + 2> — .
C.A.:
- 3 < c
n + 2
€
n + 2
Proponemos 6 > — y verificamos que satisface la definición:
e
n > — =D n + ^ 2 > — => e > — - —
e
e
n + 2
n + 2
-5
< e
- 3 < €.
Obsérvese que si bien n + 2 > - ^ c = > n > —
2. no podemos elegir
5
= — - 2,
pues Ve > o debe ser 8 > 0. En cambio, al elegir S = — , e s S > 0 y n > —
=> n + 2 > — .
e
332
Ejemplo 3
Demostrar
lím ( ^
^ \ ^ _L
\ 5n - 2 /
5
n
5n - 2
CA:
<€
Proponemos fi >
17
< €
5(5n
2)
17
5e
5n - 2 >
17
5€
5n > —
+ 2.
5e
17 ^ 2_
25 6 " 5 ■
^ - | = 5 n >
25 €
5
e>
5n - 2 >
17
5(5n - 2)
17
5(5n
2)
^ * 2
5e
< e
5n - 2
J_
5
e.
Sucesión divergente
Hay algunas sucesiones, como la de los números naturales, que no tienen límite
finito, pero sus términos, a partir de uno de ellos, superan a cualquier número positivo
que se elija. En otros casos los términos de una sucesión, como la de los números en­
teros negativos, superan en valor absoluto, a partir de uno de ellos, a cualquier núme­
ro positivo e que se elija. Estas sucesiones tienen límite infinito.
Definición
Una sucesión (a^) tiene limite infinito si y sólo si, para cualquier número positi­
vo €, existe un número positivo 6 que depende de e tal que Vn: ( n e N a n > 6 = ^
|an! > € ) .
Se indica lím ap =
Una sucesión es divergente si y sólo si su límite es infinito*. Este caso corres­
ponde al límite funcional lím . ,f(x) = x.
Para precisar conceptos, igual que se hizo para límite infinito de funciones, es
preferible considerar separadamente el caso en que la sucesión numérica diverge
a
o lím a^ = * v:
lím ap = -
. . . a.
Ve>0 3?. > O / Vn: ( n e N
n > S => a„ > e).
c=> Ve > O 36 > O / Vn: (n e N A n > ñ => a, <
e).
- e
* Algunos autores prefieren llamar sucesión divergente a cualquier sucesión que no es conver­
gente.
333
En ambos casos las sucesiones son divergentes.
Ejemplo 1
Sea la sucesión (n^) = ( 1 ; 4 ; 9 ; ......... ).
Nos preguntamos si Ve > O 38 > O / (n > 6 =» n^ > e).
Para cualquier número e > O basta determinar 8 > \ Í T , pues
n>
=> r \ ^ > € ^
liman = +=^·
Ejemplo 2
Sea la sucesión ( -2n) = ( - 2 ; - 4 ; - 6 ; - 8 ; ......... ).
¿Ve>0 36 > 0 / (n > 8 => - 2 n < - c ) ?
Como 2n > e €=> n >
2
para cada € > O basta determinar S > -J-.
2
En efecto, n > 8 => n > - | - = »
2n>e=»
- 2 n < - € = > lím (-2 n ) =
Ejemplo 3
Sea la sucesión ( ( - 1 ) " · n) = ( - 1 ; 2 ; - 3 ; 4 ; - 5 ; ......... ).
¿Ve > O 38 > 0 / ( n > 8 => | ( - 1 ) " n| = \n\ = n > e)?
Para cualquier € > O basta determinar 8 > e, pues
n>8=5> n > e = ^
(-1)"nj>e=>
lím ((-1 )"n ) = x .
Ejemplo 4
lím-
n^ - 1
________
^
í
^
— ] - = + 30 c=> Ve >0 38 > 0 / Vn: f n e N a n > 8 = >
5n + 2
V
C.A.: n^ -
1>
e (5n + 2) <=> n^ - 5n e > 2e +
1»
n^ - 1
------ ] - > e V
5n + 2
/
n(n - 5e) > 2e +
1.
Proponemos 8 > 7e + 1.
n > 8 =» n > 7e + 1 ^
=> n^ - 5ne > 2e + 1 ^
n - 5e > 2e
1 => n(n - 5e) > 2e ^ 1 =»
n2 _ i
n^ - 1 > e (5n + 2) =» ------------> e.
5n + 2
Sucesión o scila n te
Una sucesión es oscilante si y sólo si no tiene límite finito ni infinito.
Por ejemplo, la sucesión
tiene límite finito ni infinito.
334
=
( “ 2
:
--| -: · · )
no
En efecto, prefijado cualquier entorno del número 1, en él hay infinitos términos
de la sucesión. Pero lo mismo sucede con el número - 1 . Luego, no se verifica ni la
definición de límite infinito ni la de límite finito.
1 y -1 son dos puntos de aglomeración de la sucesión propuesta.
Obsérvese que una sucesión oscilante tiene, por lo menos, un punto de aglo­
meración.
La sucesión oscilante (a J = (0; 1; 5; 0; 1; 5; 0; . . . . ) tiene tres puntos de aglo­
meración 0,1 y 5. La oscilación es finita.
La sucesión oscilante (b„) = (0; 1; 0; 2; 0; 3; 0; 4 ; ___ ) tiene un solo punto de
aglomeración 0. En este caso la oscilación es infinita.
Obsérvese también que no basta la unicidad del punto de aglomeración, como
en el ejemplo anterior, para asegurar la convergencia de la sucesión.
Como ya se ha dicho al comienzo, el límite de una sucesión corresponde a un
caso especial de límite funcional y pueden demostrarse propiedades análogas a las
ya probadas para dicho límite.
El método de demostración es totalmente similar al utilizado en el capítulo 3 y
da validez a las biguientes propiedades de sucesiones convergentes:
1. El límite de una sucesión númerica, si existe, es único.
2. Si (3n) y (bp) son sucesiones convergentes, entonces (a„ ± b„) también es con­
vergente y su límite es la suma (resta) de los límites.
Es decir, lírn(an ± b„) = llm (a j ± lím(bn).
3. Si (3n) y (bp) convergen, entonces el límite del producto de ambas sucesiones
es el producto de los límites.
Es decir, lím(an · bp) = lím (a j· lím (b j.
4. Si (a^) y (bn) convergen y lím bn ^ O, entonces el límite del cociente, cuando es­
te cociente existe, es el cociente de los límites.
,a n ^
lím (a j
osea,
5.
6.
Si (3n)
converge, entonces lím la j = |lím an|.
Si lím(an) = ^ y e s ^ ^ k, entonces existe un número natural 6 talquean $ k
si n > 5.
7. Si
(a„)
y (bn) convergen y Vn: a„ > bn, entonces lím(an) s: lím(bn).
8.
Si(aj y
(c j convergen al misnrxD límite í y Vn: a„ < b„ < Cn· entonces (bn)conver­
ge y su límite es (.
En todas las demostraciones anteriores a cargo del lector téngase en cuenta la
siguiente consideración; si 5 es el número que corresponde en la definición de límite
para ( a j y 5’ el de (bn), las propiedades comunes a ambas sucesiones serán válidas
a partir del mayor de ellos. Por ejemplo, si 5 > 8', serán válidas a partir de n > 5.
EJERCICIOS
1) Probar las propiedades de sucesiones convergentes enunciadas en esta página.
Probar que si lím a^ = Oy (b^) es una sucesión acotada, entonces lím (an · bn) = 0.
3) Aplicando la definición de límite finito o infinito de una sucesión, hallar 8 para cualquier
€ > O en cada uno de los casos siguientes y probar así que;
2)
335
(^ ir r ) = o
e, I,m ( - i ^
g) lím (
\
i)
4)
n+
)
1
=
‘‘>
.) lim ( - ^
1
= 1
/
lím (n2 + 3) =
(-i^ )
h) lím (3n +
j) lím
+00
(5
)
1)
=°
=
1
=
+x
- n^) =
-00
Si existe, calcular el límite de cada una delas siguientes sucesiones;
(Bn) =
(V n +
1
- > /rr)
(bp)
=
» ■' ■ ( V i í f s T T )
'· ■ ’ ■ ( líT s )
(rj
"·' ■ ( ^ y - )
=( íiif )
»·’ ■
= ( v n(n + 4) - n )
(jn)
= ( \ / n + \Z 7 T - \ / n - V n )
5) Indicar el carácter de cada una de las siguientes sucesiones:
( 1
si n es impar
=
“
6)
(
(
< ""'
30
nA
Í- 1 “ 7
^
= j^ S
i n es par
)
Contestar Verdadero o Falso, justificando la respuesta:
a) toda sucesión tiene un punto de aglomeración;
b) si una sucesión converge, entonces tiene punto de aglomeración único;
c) si una sucesión tiene punto de aglomeración único, entonces converge.
IV.Sucesiones monótonas
Una sucesión numérica (a^) es creciente si y sólo si
VneN:(an<an.i),
y es estrictamente creciente si y sólo si
336
V n e N: ( a „ <
,).
Análogamente, (3n) sucesión decreciente «
Vn € N: (a„ s a„ *
y (a,,) estrictamente decreciente
«
Vn€N :(a„>an.i)·
Las sucesiones crecientes o decrecientes se denominan monótonas.
Ejempío 1
Verificar que la sucesión (ap) =
estrictamente decreciente.
Escribimos primero algunos términos de la sucesión;
11 . 16 . 21 . 26 .
\
(a„) = ( 6 . —
—
— . - T ..............)
5 . . . . 16/3
5n + 1
^ - T -
-
11/2
6
5(n + 1) + 1
n+1
·
Resulta an = 5 + — A a n + i = 5 +
^
n
'
n+1
Observemos que;
n<n+1
n n + 1
- => 5 + — > 5 + —
n
n+1
=d a,, > a^, + i
y la sucesión dada decrece estrictamente.
Vemos también qu& la sucesión está acotada, siendo 6 el supremo y 5 el ínfimo.
Además lím(an) = 5. O sea, que (a„) es una sucesión decreciente y acotada
que converge a su ínfimo.
Ejemplo 2
Verificar que la sucesión {b„) =
es estrictamente creciente.
Escribimos algunos términos;
(h \ =
^
\ 6 ' 7 ’ 8’
K = _ Q ! ^ . b
n+ 5
\
9 ’ 2 .......... /
n^ + 2n + 1
n+ 6
■
Queremos probar Vn e N; b„ < b„ +,
Vemos que:
337
^
n2(n + 6) < (n^ + 2n + 1) (n + 5) <=>
«=>
+ 6r|2 <
+ 11n + 5.
Por lo tanto, sabiendo que;
= n^ A 6n2 < Tn^
a
o < 11n + 5.
si sumamos miembro a miembro resulta Vn e N; b , < b^,, y la sucesión es estric­
tamente creciente.
Esta sucesión no está acotada y diverge a +3c.
Ejemplo 3
En forma análoga a las anteriores puede verificarse que la sucesión (c,) =
= ^ ^ ~ ^ ^ es creciente, está acotada y converge a su supremo, que es el número 1.
Ejemplo 4
La sucesión ( d j = ^ (- 1 ) "
n~ ^
y es
oscilante.
Lo mismo sucede con la sucesión (e^) = ^sen - ^ ) ·
Vemos entonces que una sucesión acotada puede tener o no límite finito. Sin
embargo, si la sucesión acotada es además monótona, entonces puede asegurarse
la existencia de límite finito.
Esta importante propiedad la demostraremos en el siguiente teorema.
Teorema fundamental
Una sucesión monótona está acotada si y sólo si es convergente.
Primera parte: Si una sucesión es convergente, entonces está acotada.
Demostración
Por hipótesis, lím a „ =
lo cual implica que
Ve > O 35 > O / la „ - ^1 < 6 si n > 6.
Elijamos e = 1
Por una propiedad del valor absoluto (pág. 17), es;
|anl - \£\ ^ |3n - e\.
Luego, [a^l - ¡<^1 < 1 si n > 6
y | a j < 1 + ¡¿'I = k si n > «
338
(1).
Hfly, además, un número finito de términos de la sucesión: a ,; a 2 ¡ . . a„ _
los cuales no se verifica necesariamente la relación anterior.
Sea a^, entre ellos, el que tiene mayor módulo. (Si la sucesión es creciente, de
)lnos positivos, ah = a n _ i . )
Puede elegirse k' / la^l < k'.
Luego, |an| < k' si n < 8 (2).
Sea, por ejemplo, k > k'¡ de (1) y (2) resulta Vn: |an| < k y la sucesión está acoladn
Este teorem a es análogo al dem ostrado en la página 132 para lím ite funílo n a l y se cum ple, aunque la sucesión no sea m onótona, de acuerdo con la
dom ostración anterior.
Segunda parte: Si una sucesión monótona está acotada, entonces es converQonte. Consideramos el caso de una sucesión creciente acotada superiormente. (Oblórvese que si una sucesión creciente está acotada superiormente, está acotada,
puos a 1 es el extremo inferior.)
Oemostración
Si la sucesión está acotada superiormente, como sus términos son números
rc.iles, por el axioma de continuidad de R existe un número real ( que es el extremo
fiuperior o supremo. Demostraremos que £ es, precisamente, el límite de ia sucesión.
Consideramos un entorno cualquiera de £ de radio € l ¿ - e < £ < e + e.
e - e
— I— I— I----------- 1----------—
^ 2 8 3 ........ 3n - 1
€
e + e
3n + 1 . ,
Si ( es el supremo de la sucesión, Vn: a„ <
es decir, Vn: a„ < ^ + e
+ e,
(1)
Además,
no es cota superior, pues es menor que el supremo í \ luego,
existe 8 e N / a¿ >
Como la sucesión es creciente, n > 8 => a„ > a^ >
Luego, £ - t < a„ si n > 8
(2).
Si n > 8 se cumplen simultáneamente las relaciones (1) y (2), es decir, si n > 8,
entonces
< a„ < ^+e.
Por lo tanto, £ es el límite de la sucesión (a„).
Para una sucesión decreciente acotada interiormente, la demostración es aná­
loga respecto del ínfimo.
♦ El núm ero e
Como aplicación del teorem a anterior se deduce que la sucesión (a„) =
339
Para elio basta probar que es credente y està acotada. Para demostrar que es
una sucesión credente se aplica la fórmula del binomio de Newton para cualquier nú­
mero natural n.
Resulta
a n == ((l l +
Itaa„
+—
· ! ))" ==
n(n-
1)
3
(n-
2)
!
1
+ n- - ^ +
1
^
^ n(n-
1)
n^
+
( n - 2 ) ......... 1
n!
1
n" '
Efectuando operaciones, es;
......... *
Si m > n. en la sucesión resulta a^, > a^,, pues cada uno de los sumandos de la
expresión ( 1 ) es positivo.
Es decir, a, < a j < 8 3 < ..........< a„ < ............ y 4a sucesión (an) es estricta­
mente creciente.
Falta verificar, además, que está acotada superiormente.
De ia expresión ( 1 ) se deduce;
8n < 1 - 1 +
2!
+ ___
3!
Como Sp = 1 + 4 · +
”
2
+ —^ < 1 + 1 -I- -1 + - i - + ___
n!
2
2^
+ ............... + —
2
2
"” ^
es la suma de los términos
de una progresión geométrica de primer término 1 , razón
S„ = 1·^
'-(i)"
2
+ — -— .
2"“ ’
y n términos, es;
. I X
= 2 ( l - ^ ) < 2 ·
2
Por lo tanto, Vn e N; a „ < 1 + Sp < 3, y la sucesión creciente está acotada
superiormente.
Luego, tiene límite finito y puede darse la siguiente definición;
lím (l ^
e -
^ 2,718281 ........).
Se ha considerado solamente la sucesión
^(1
+ - ^ ) ) con n e N .
Puede dem ostrarse tam bién, en general, si x varía en el campo real, que
l í m , ( l + -1 ^
340
= e.
De la expresión anterior se deduce de inmediato que
Para elio basta considerar la variable auxiliar u =
n
i Teorema de los intervalos encajados
Sean (3^) y (bp) dos sucesiones monótonas, la primera creciente y la segunda
decreciente, de números reales. Si Vn: (a^, < b,,) y V€ > O 36 > O / b„ - a^ < e si
n > 8, entonces ambas sucesiones convergen a un único número real
Demostración
La sucesión (an) es creciente y está acotada superiormente por cualquier
Por un teorema anterior (pág. 338), la sucesión (a„) converge a su supremo ( . Es
decir, lím a„ = €.
Análogamente, como la sucesión (b^) es decreciente y está acotada interiormen­
te por cualquier a„, por el mismo teorema la sucesión (b,,) converge a su ínfimo l ’ . Es
decir, lím b„ = t .
En primer lugar probaremos £ <
■· bp .... b3
bj
b,
Como cualquier b „ es cota superior de la sucesión (a„) y £ es el supremo de esta
sucesión, es Vn: ^ < b^, pues el supremo es por definición la menor cota superior
de (a„).
Ahora bien, la proposición Vn: / < b „ indica que el número £ es una cota inferior
para la sucesión ( b j. Como £' es el ínfimo de esta sucesión, e s £ < l ' , pues el ínfimo
es por definición la mayor cota inferior.
Luego, es £ < £' y £' - £ > 0.
Se ha visto también Vn: (b„ > £' a a „ < £). Restando estas desigualdades de
sentido contrario resulta:
V n : b n - - ^>0
(1).
Pero, por hipótesis, Ve > O 38 > O / (n > 8 =» b „ - a^, < e)
(2).
Luego, Ve > O, resulta \£' < e por (1) y (2).
Por lo tanto, como £ y £' son números reales, es £ = £ \ y el teorema queda
probado.
Obsérvese que las sucesiones (a^,) y (b^) determinan una colección de intervalos
cerrados encajados: [ a , ; b , ] d [ a 2 ¡ b j ] D [ a j ; bg] d . . . 3 [a„; b„] d ....... cuyas
longitudes tienden a cero. El teorema asegura que la intersección de los infinitos
intervalos es un único punto (.
+X
O sea, ^ = n
[a„;bj.
341
Esle impórtame leorema es equivalente al posíuíado del »xiren’Osuperior o axio­
ma de conlinuidad de R. como se ha indicado en la página 16.
^ Límite inferior y límite superior
Ya se ha observado que una sucesión de números reales que no liene limite
puede lener varios puntos de aglomeración.
Sí 5a sucesión está acotada, puede probarse que el conjunio de sus punios de
aglome»'ación tambiéri está acolado. Puede dcnrKistrarse que el supremo de esle con­
junto es, además, su máximo, y se lo llama limite superior de la sucesión Análoga'inenle. el mínimo del conjunto de los punios de aglomeración se denomina límite in­
ferior de la sucesión.
Por ejemplo, la sucesión acotada (a^) = ( i : O·. - 1; 1; 0: i ; ...........) tiene limite
superior 1 y límite inferior 1,
Se indica de ia siguiente manera:
lim an = 1 y
limaT
1.
Las propiedades mencionadas pueden demostrarse a part-r de la siguiente defi­
nición.
Definición
El numero T es el límite superior de la sucesión (a^) si y solo si se venlican las
dos condiciones siguientes;
1) V c
2) V €
> O 35 :> O / Vn: (n € N
n > => a„ < / ♦ €):
Oexisten infinitos valores de n para los cuales a„ > T €
La pnmera condición ex»ge que todos los términos de
sucesión, a partir de uno
oe ellos, sean menores que r + €.
Eslo indica que, elegido cualquier número poshivo €. nay solamente un numera
iinilo de subíndices n para los cuales se verifica a„
T e
La segunda condición exige que haya, además, infimlos subíndices n para I0.5
cuales se cumple a „ > / " ’ - .c.
Análogamente. / es el limile inferior do
) si y solo si:
1} V i
·>O 3iS : - O / Vn: ( n e N .^ n
=s> a„ > £
c):
2) Vf
■■Oexisten infinitos valores de n para los cuales a , < i. €.
Por lo tarto, si es el límite inferior de (a„). todos los términos de la 5ucosio:i.
a panir de uno de ellos, son mayores queX - c.
Adenxás. sóio puede haber un número lin io de subíndices n para los cua'es se
verifica a „ <
- í.
♦ Teorema
Si la sucesión numérica (c,.) está acolada, entonces tiene 'imite inferior y límiie
superior.
342
Hallaremos el limile superior por inlorvalos encajados, y en forma análoga se
puííde encontrar el límite inferior.
Demostración
Como (Cn) eslá acolada, los Infinitos c , pertenecen a un intervalo [a: b].
c
a - a,
a
Consideramos el punto medio del intervalo [a; b]. Elegimos, de los dos subintervalos en que queda dividido [a: b j. el intervalo [ a , : b . ]. para el cual se verifican las
dos condiciones siguientes; 1) hay infinitos valores de n para los cuales se cumple
í:., í (a,; b , ] : 2) hay solamente un número üniio de valores de n para los cuales se
cumple c^ > b , (puede no haber ninguno).
Se subdivide luego el intervalo f a b , ] y de la misma loíma anterior se elige el
mlcrvalo fS;»; bj,].
Prosiguiendo de la misma manera se selecciona una sucesión de inicrvalos onf:.liados cuyas longitudes tienden a cero;
fai;b.]::)[a;:b2jD(a3.b,j-;i ... .............
V tilles que, oara cualquier pumo b,. a la derecha de b, hay. a lo sumo, un númoro
^r·.ιlo de It’rminoíi cíe 'a soccsion (cO
Por el isorema de intervalos encajados, la inlerseccicn de los intervalos ameno·
rc-s OS un único número real c. Probaremos que c es el lím'’.e superior do (c„)
En primer lugar, c es punto de aglomeración de la suces'ón En electo, en cual·
í:m(?í oritorno de c esta incluido uno do los intcr\'alos l3,;b) de la colección. Por
11 ':;rn iii en que fueron elegidos dictaos intervalos, hay infinitos subíndices n para
!·:· i <.'.;a es í.e verilica c. c ia ;b j y. por lo tanio. íambión hay inhnitos n para los
<11 -les c, pcncnece ai entorno elecjiüo.
Falla píot'^ar que -iO hay nirgún nunto de aglomeración de íc.,) a la derecha de c.
Lo haro^nns po' ol absurdo.
Sea c , un pLir'to de aglomeración de (c^) ?al que c < c,
c
c·
----------------------------fWWi'ííV.'Wjí-------a
b. c, - <
c, - €
Como la longitud de [a^,: b^] tiende a cero, es pos.ble hallar [a,; b , | / b ,
c,
Por la manera en que se han seleccionado los ¡r^tervalos de la colección, a la
ilorocha de b solanente pucce haber un nunero ‘ in;to de términos de (Cn).
Luego, eligiendo t < c. - b,. solamente hay un número finito oe valores íle n
:.;ira los cuales c. f (c. - ( ; c, - r f). Por lo tanto, c no es punto de aglomeración.
343
Teorema
Si una sucesión tiene límiV superior y limite inforior y ambos coinciden, entonces
(a siicesióri es convergente.
O s e a ,/' = lim ar, = lím ao=» limar, =
D em osiradón
Por ser e límite superior, para cualquier e > Q hay. a lo sumo, un núrr.oro finito
de valores de r> para los cuales a„ > ^ + é.
Por ser f límite inferior, para cualquier < > O hay, a lo sumo, un número finito
de vatores de n para los cuales a„ < - e.
Luego,
> O hay solamente un número finito de valores de n para los cuates
no se cumple a,, €
f - e). Es decir, > 0 es posible encontrar ur» número na­
tural 6 tal que n > 5
a^ €
- í ; / ' + €). Por lo tanto, de acuerdo con la defini­
ción, f es el limite de la sucesión (a J .
Aplicando la definición de limite finito de una sucesión, puede probarse que et
teorema recíproco también es válido.
EJERCICIOS
1)
Verificar que {a„)
=^
3
) Verificar que (an)
=-^
2
3) Verificar que (Sn)
- (
2
4) Verificar que (3n) -
' 3n
)
estriclamento decreciente.
)
estrictamente creciente.
" ^
- 1
) no es n>onótona.
/
( " ^ ) decrece.estrictamente si n s 2.
5) Dar ejemplos de:
a) sucesión monótona acotada 0 indicar sus extremos;
b) sucesión monótona no acotada:
c) sucesión acotada no convergente.
6
) Demostrar f;uo si una sucesión monótona decreciente está acotada inferiormente.
dicha sucesión convorge a su extremo inferior.
7) Haliar límite superior y limite inferior, si existen, para cada una de las siguientes
sucesior>es:
(a „) -
(en)
344
-
((
1 ) '- ^ )
(b„) -
(0;l;0;l;2:0;t;3;0:1;4;...)
(2; 3; 0; 2; 3; 0. 2; . . . )
(gj -
(5; 5: . . . 5 : . . . )
(h„) = ( 3 : 0 ; 3 ; - 1 ; 3 ; - 2 ; 3 ; - 3 ; . . . )
(j„)
= <1; -1; 2 ; - 2 ; 3 ; - 3 . . . )
V. Subsucesíones o sucesiones parciales
.
En la sucesión (a^) = (a^: Bj , ag; ...; a^; . . . ) pueden considerarse ¡r>finltos
términos: a,,, a„ a , y formar con ellos una nueva sucesión.
Por ejemplo, si (n) = (1¡ 2; 3; 4; 5 ; ............),
la siicesión
(2n) = (2; 4; 6; 8; 1 0 ) está contenida en la primera o es
una sut)sucesíón de la primera.
Si se considera la sucesión {a») = (a,: aj.a^; ..........) y un sutx»njunto del
conjunto de los números naturales: (k„ kj. ky... k«...}, donde'k, < kj < kj < ...
kn < . . . y k , ¿ 1, se obtiene la siguiente sutisucesión de (a^):
(bn)
=
(ah„)
=
(ak ,:ah 2 ·
■ · ·:
■ ■ ·).
donde k, ^ 1
k j ^ k^k2 ^ 1 ■
—^ k j — 2
k j > k2k j > 2 »
k j 5: 3
En general, resulta Vn e N: k„ s n.
Hay, por supuesto, infinitas subsucesiones de la misma sucesión.
ije m p fo
•4 -)·
... ........ )
=
......... ..............................
)
..........=--nT- =· ■· )
En este caso, (b..), (c^) y (d„) son subsucesiones de (3^).
Consideremos en especial (b„).
E sb , = a ., =
♦
= a .j = a ,:b j = a ., = a , .
b„ = a,„ = a,„ . . .
Nota: Las subsucesiones pueden definirse como funciones compuestas. Considere­
mos el ejemplo anterior, con la sucesión (a„> -
f
y la subsucesión (b^) =
= (V—
2n y/
Recordemos, en primer lugar, que una sucesión es una función cuyo dominio
es N y cuyo recorrido es una parte de R.
345
Definimos, ahora una función k de N en N ta. qui? Vn. k·.-;
2n
¡
O bscvese que k es una fundón eslncia'ncnle c'ocier'te
Apticamos despues una reslriccion de a al recorrido de k. al cual .’laman>cs N
Es decir, consideramos añora una resiíicción de
a; N , R / V n ( N ,; a(n) -- — .
n
La función compuesta a :.k;N - · R.’ V n f N;(anK;(n) = a[k(n)] =
es una subsucesion de a.
1
2
3
V
k.
a 3k
4
5
6
7
S
n
•N.
•s.
-
= 4
N,
kg ^ 6
K,
2n
y * —*_________ _______ - — ---------
l
o i-1 .1
2n 6 4
1
2
’
En general, sea a; N - · R una sucesión cualquiera de números reales. Sea k
olra sucesión estrictamente creciente cuyo recorrido es un subconjunto de N al cual
llamamos N ..
Es k: N —* N, / V " i 6 N V n 6 N: (m -r n =» k(m) < k(n)).
Considere.Tios ahora una rcsiricción de la función a. cuyo dominio es N ,. Sr apli­
camos primero la función k y uego al recorrido oe k le aplica-tios .’a restncción de la
función a. obtenemos la función compuesta
a f> k; N - F / Vn € N; ía o k) (n)
a'K(n)l.
La (unción compucsfa ía r k; es una subsucesión de ía sucesión a.
Suer'e indkiarsc a | k.|nj |
a»„. corrko ya se tía visto.
Propiedades
Puede demostrarse' de inmediato, aplicando fa detinición. que si *jna sucesión
está acolada, cualquier subsucesión ta-nbién esíá acotada y cualquier cola supenor
de la sucesión es cola superior de la subsucesión. Lo .misno sucede con cualquier
cota interior
Además, si una sucesión ccrverge, CJalquier subsuccsicn también converge al
mismo límile. de acuerdo con el stguiente leonería.
Teorema
Si una sucesión numérica convergo, entonces cualquier subsucesión también
converge al misr^w limite.
346
Oemostración
Sea (a„) una sucesión convergente y (b„) ^ (a^^) una subsucesión cciaiquiera
d · (a„K
Por definición de línriite, si la sucesión (a„) converge al número f , entonces
Vii > O 36 > O / (n > & =» |a^ - <T| < c) (i).
Es decir, los únicos a^ para los cuales no se cumple necesariamente la desigual­
dad (1) son aquellos a^ para (os cuales n ^ 5.
Denriostrar el teorema consiste en verificar que
Vt > O 3d > O / (n > 6 => K Ahora bien, por definición de subsucesión, Vn « N:
^ n, y, por k> tanto, ei tór·
mino a|,„ es un término coincidente con a„ o posterior a él. Luego, la condición exigida
le verifica también para k>s términos a^„ si n > 6.
Es decir, Ve > O 38 > 0 / (n > 5 => |a,j„ - ^1 < €)■
O sea. V€ > O 35 > O / (n > 8 => |b^ - ^! < €).
tJn razonamiento análogo vale para sucesk>nes divergentes, es decir, cualquier
subsucesión de una sucesión divergente también diverge.
Clempto
Consideremos la sucesión
331, > * > 0 3S ^ - i / ( n > 5 = >
Fn la subsucesión {
cuyo limite es 0. Como se ha visto en la página
a j < €)
cada t > O vale el mismo 8
< e.
2n
Si, por ejemplo, se elige c - 0.001, puede elegirse 8 -
. pues n >
< e
tn(a„) -
(-1 ):
n · 1000 => lb „
n :.
1000 = . ] a . - o |
<
1000.
0.001 yen(b„) -
( ^ ) :
O! < 0.0005 < 0001.
El recíproco del teorema anterior no es válido, puos una subsucesión puedo ser
< <invergente y no serlo ía sucesión correspondiente.
Porejempto,
Esdecir, (a ,) -
sea(a„)
^
— SI n
n
'
(k,N )
2k
( n - l ; 1 ;-1; 1 ; ......... ) .
La sucesión (a^) es oscilante, la subsucesión
converge a O y la subsuce-
Mon (1) converge a 1.
347
♦ VI. Sucesiones de Cauchy
Al considefar una sucesión de nùnoros roales interesa conoccr si es conver­
gente 0 no. En algunos cascs puetíe aplicarse el :eo:sTia fundanenlal de convorgencia para sucesiones monó;onas acotadas (pág 338). Si una sucesión está aco­
tada y además es monólona. el hmils coincide con el supre'no si la sucesión es cre­
cíanle. o con el ínfimo si es decreciente.
Puede suceder, en cambio, que la sucesión esle acotada pero no sea monótona.
En este caso es posible r e c u r rir a la definición de sucesión convergente, pero su apli­
cación requiere conocer de antemano cuál es el límite supuesto y luego demostrar
que efectivamente lo es. Esta situación presenta difícullades. pues exige, en cierta
forma, conocer por anticipado el número que se quiere hallar.
Este inconveniente desaparece si se encuentra una condición necesaria y sufi­
ciente para deterfrinar la convergencia de una sucesión, que no está referida directa­
mente al valor del límite.
Esta condición se conoce con el nombre de condición de Cauchy y las sucesio­
nes numéricas que la verifican se denominan sucesiones convergentes según Cau­
chy. sucesiones de Cauctiy o sucesiones fundamentales.
Definición
Una sucesión numérica (a .) es una sucesión de Cauchy si y sólo si. prefijado
cualquier número positivo €, existe un número positivo 8 (€) tal que. para cualquier
par de enteros positivos m y n. ambos mayores que 6, se verifica
a j < e.
Es decir.
( a j sucesión de Cauchy <=> V e > O 36 ·-· 0 / (m > .s a n > 8 => 'a „
a...< e).
Ei teorema siguiente asegura quo cualquier sucesión convergente de números
reales es una sucesión de Cauchy y. reciprocamente, que cualquior sucesión de Cau­
chy es convergente.
Teorema de Cauchy
Una sucesión de núme'os reales es convergente si y sólo si
Cauchy.
Prim era parte: ía „) converge ^
=5 ( Vt > O
> 0 / m ·' rt A n > fi =»
a,,
gs
iin a
sucesión de
a., r c).
Dem ostración
Si Ja sucesión converge, existe ( - lim a.
Luego, prefijado t * 0. por definición de límite finito do una sucesión.
36 > O/
Pero|a„
348
> 6 => a .
a„
-
|(a,^
(\
- |)
a ( m > 6 =* |a „
()-{/
a«,
f. ■ U
f\··
a -l -
\^m
- ^1 + ’a„ ^1
· -f-
Luego. m > f> a n > 5
f·
'a.^
a„. < «. y se cumplo la tesis.
Segunda parte: ( >* > 0 3ft > 0 / m >
a
n >
=s la.,,
a.,. < é)s;>
(aJ converge.
Demostración
Por propiedades 3 y 10 de! vakx absoluto (pág. 17)y pof tiipolosis. es;
a J - la ^ l - l l a j
|a^ | '· 'a,,
Luego. |a,J < a,.,| »- 1 & n
a,.' < l si 6 = 1
m> 6
a
a
n > 8.
· 6 ^ n .»
Fijando un númoro cuaicuiera m · fi. sea k' ^ |a ^
· 1
Resulta, entonces. Vn > íi ; |a^| -· k’
Además, si onlre los termines cíe subíndice menor o igual que ft que lorman un
con/unto finito es a^ el que tiene mayor valor absoluto. Vn; [(n - ft => -a,, -: |a. |) a
A (n > 5
|a , '· k )|.
Luego, si k es el mayor enirc \ci9> nuneros a,^ y
se cumple Vn; l a ^ i k . y la
í'.ucesión (a ,) está acolada.
_
Por un teorema antefior
342) (a,) t eñe limilo superior 7 y limiíe interior e.
Si se prueba que ambos lím ios son igua es. lu sucesión converge, scgv^n ol teorema
<iemos1rado en la página 34¿.
a.
—
a,,
----------------- -------- V H trH ffm n i- ■—
Supongamos que el limite superior y el -'ínile inte* (;r son diMln:os. es decir. 7 ■.· (
T f
Elegimos sendos ertO'nos cíe í ’ y
cada ..'X» do radio € . —
· a c 0.
Como I fis pi;r.to do aglomeración, hay m íriio s V;ilorcs de n pnra los cuales a.,
? t
pcrleneco al entorno de radio í '·
= · Sea ^ cí valor correspondiente a dicho €.
ó
i Ih acuerdo con la .hipótes.-s.
Entre los a „ que pertenecer» al entorno e’egido nos inicresan aquellos de sub­
índice mayor que Í5. Elegimos onUe eltos un subíndice m para el cual a^, pertenece
:jl entorno mencionado. Anák>gamonle. oiegimos un subíndice n > fi lal que a „ por!onece al entorno d e ^ d o radio 6.
Es decir, herraos encontrado m .· ft / |a ^
yn>A/la„
T < - r-=^
( 1)
¿
(2).
o
l
·
·
349
Ahora
7
bien,
y ^ - í
£
-■ {('
a^.,) + (a,,
a j + (a^,
- - i a „ - 7 i - ’¡ a^ -
Por { y) y {2),e% 7 - f < \
{7 -
Pasando térmir>os, resurta ja^,
f)
|3n - i l .
^ |a^
a^| > ^
a^con m > 5 y n > 8.
w
s é c o n m > f i y n > 8 , que con-
tradice la hi[>ótesís.
Queda probado, entonces, que (a„) converge.
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPITULO 9
Sección I
1) ( a j = ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ......... )
/„X
* "*
11 . 22..
/
V
4' 7■
2) (a„) = ((
3 )’ · ' ) :
2
4
2
8
11. 4 4
\
4 ' 19 · ............ )
*‘’ ’' " ( " 2 ^ ) ·
O
supremo: —
b) Infimo:
\
supremo: —
c) ínfimo: -
2
supremo: —
4
d) inliíno.
l
supremo; 2
e) ínfimo:
1
supremo:
1) a; 1 b: no hay
c: - 1 y 1 d :0
e:
c: - 1 y 1
f; O g:*)
3)
a) W imo:
Sección II
1 y 1 f:0
g: O h · ^
jiO
k: no hay
2) a, b ye: no hay
d :0
h·-|·
j:0 k; no hay
3) Ejemplos:
a)({-1)''2)
b)
350
2 y - 2 puntos de agtomeración
(0; - 1; 0; - 2: 0; -3 ; 0; - 4 : ....)
O punto tía agtomeración
c)
1)" ^ ^
^
1 y -1 punios de acumulación del recorrido
d) ( 2 : 1 ; . : 2 : 2 ; 1 ; 2 ; 3 . 1 : 2 : 4 ; 1 : 2 ; 5 ; 1 ; ......... )
2 y O puntos de aglomeración
Opunto de acumulación del recorrido
4) Verdadero: (0; 1: 0: 1; 2; 0; 1; 2. 3: 0; 1; 2; 3; 4 ; ........... ) tiene como punios de
aglomeración a O y a (odos los números naturales.
Sección III
1
3) a) 5 = ------1 si e < 1 Se puede tomar R > —
C) t g) 8
2
d) » r* \ /
2
b) 5 ·? 1 + —
-1 :^
i) h - y / T
-j
b: 1
-1) a: O
1
h :0
c· e'^
d :0
e :2
s: 3
r: 2
i· 1
i) 6 ·- V 5 * c
1
ib ,) oscila
W) (ar.)converge a —·
3
(c, ) converge a 2
a) Falso: (n) no liene punto de aglomeración.
b) Verdadero (véase pág. 331).
c) Falso: (0: 2; 0; 4; O 8: 0; 16;
y es oscilante.
. ) tieno a O como único punto de aglomeración
Sección IV
3) a , > 32 A a¿ < a.T
í “ í — ^ ) decrece
V 2n -» 3 /
c)
(c o s
mí imo “
2
supremo 5
n 77·)
-
7) a : £ = 7 - O
O ^ - 3
d:£ = - 2 7 - 2
e: /
h; 7 = 3 /'n o existe
j; no existen
c: /
i - i
O 7 no existe
351
10. SERIES NUMERICAS
Sea la siguiente una sucesión de números reales;
(a,) = (a,;a2;a3;a^;....;a^;an,,;.... ).
Consideremos las sumas parciales de sus tómninos;
S,
= a,
S^ ~
^1 + a .
Sg “
a,
-
Sn
a,
-
a^
» aj
-
a^
.... -
a.-
Formemos una nueva sucesión con las sumas parciales de la sucesión inicial (a ,).
Es decir.
(S J -
(S ,:S ^;S j:.....:S^:....).
Esta nueva sucesión (S„). obtenida a partir de las sumas parciales de la primera
sucesión, se llama serie numérica asociada a la sucesión (a^).
Los nOmefos a, .aj,.... a„.... son términos de /a serie y los números S ,.S j . . Sn. ..
sor^ sus samas paraaíes.
Por ejemplo, siendo ía sucesión inicial
..)
las sumas parciales de la misma son:
S ,
.... S. .
1; S , = 1 f
t .
352
1
^
y la sucesión (S^)
cesión
u
2
2
6
es la serie numérica asociada a la su'
Obsérvese que la sucesión inicial
convergo a cero {pág. 331). mientras
que la sucesión (S^) es divergente, como se probará más adelante.
Para facilitar la nolación de una serie y poner en evidencia sus termines suele
.'lamarse serie a ta suma íornial
a,
2
- a,
· aj
+ 83 + ......
- a„
-
n1 ▼▼ 11
La serie anterior, por lo tanto, puede indicarse ^
o. más simplemente,
n
n - 1
2 4
Una serie es cof^vergonte, díVe^genfe o oscilante si y sólo si la sucesión de
sumas parciales que la define es. respectivamente, convcryenle, divergente u os­
cilante.
Si la serie es convergente, ol límite de la sircenión cíe sumas p.irciales se llamn
suma de fa serie, lím (S„) - S. y en ese caso se asigna dicho número con>o valor do
la suma formala, -- a,
t
-
· a« »
- S.
T- I
Ejemplo
Sea la sucesión numérica;
,
V^ / 1 . 1
1 . .____L - - \
\ 1.? *'2.3 ' 3 . 4 ...... n{n· 1) .... /
Consideremos la suma formal o sene numérica asociada a la sucesión anterior,
V aa.. .
.-I1.2
. -J -.
23
'
3.4
n(ni1)
Para determinar si la serie es ccmvcrgenle dobemos sabor si es convergente la
sucesión de sumas parciales.
Descomponiendo en fíacciones, es:
vn:
’
n(n 1 1)
’
n
'
n * 1
y, por lo tanto.
1.2
O -i)
- (i
i)
1
23
■ ■
1
n(n-1)
-
1 - — — .
ri + \
Luego, lím S „ = 1. y la serie dada resulta una serie convergente cuya suma es
igual a 1.
353
EJERCICIOS
1) Escribir el término general de las siguientes series:
2«,
* 3 - 6 - 9
-
12 - .....
y b, = - 1 - - ^ ----------- --- ^
^
"
1.3
3.5
5.7
2 c . .
r
.
2V2
2 « , .
- L
*
v a
- - L · - .....
3» 3
’
V i
.
. ......( a > 0 )
\
2) Escribir cuatro términos de cada una
a
las series sig jientes:
n -2
2n - 1
2 c,
= 2
( - 1 ) ' · ’ - (n7
^t)!
“ 2
^
- 1
I. Serie geométrica
Una serie deMipo ^ a r '’· ’ = a
ar
ar' - ... - ar" ' -
.... se llama
serie geométrica, pues sus términos corresponden a una progresión geométrica de
razón r (r 1 0).
Para hallar S„. sabemos que:
3,
=a - ar -
ar^-r ... i
r S„
^
ar
ar^ +
r)
=
a ar".
Restando, resulta: S„(1
Si r *
1. es S^
-
ar*··
’
* a r"
' - a r"
1
r"
a —--------- .
1- f
Para determinar el carácter de la serie geométrica propuesta basta calcular lím S^.
Se presentan varios casos, pues dicho limite depende del valor de la Tazón r.
Primer caso:
Si
'r'i <
-1 <: r < 1
1. entonces
yf lim S-n .. = lím —^ - —^
Vm r" - O
lim
1 -- r
1
^
r
En este caso, entonces, la serie converge y su suma es S -·
354
a
1
r
L¡e(t\pfo
_
r ^ -1
3
2
=>
3
4
3
ri < 1 =>
S -
—
1.-1
"
- G.
2
r > 1
Segundo caso:
Si
^
r ::>■ 1. entonces lím r" -
Luego, resulta
lim S „ -
+»
+ -» si
a >0
' si
a < 0.
0 lim S,, = -
Eri ambos casos la serie geomètrica diverge
F/empto
r
1+ 3 -
= 3
r :·
Tercer caso:
Si
r
1V
27 - .... -· 3" ' 4 .......
9 -
a „ civerge.
-i
r < - 1 . entonces lím r" -
/ y Ja sene ^esulta divergente.
r:¡e<r,pk>
^c„
-
1 -
2 + 4 -
r -
-2
=»
r <
C u a rto c a so ;
Si
r -
Luego,
8 -« 16 -
1
=>
..
2)" ■ H
diverge.
- l
1, es S,, a-n.
lím =
+ x si
a
- 0 ó li*n S. =
·>sih
0.
En ambos casos la serio georrcir ca -esurn ilivcigcfiie
Quinto caso:
r =
-i
En esta situación, S^
y S.,
- O si
n es numero par
- a si n os nùmero impar.
Luego, la succsión (S,J no tiene '.imite y la serie geomelncn
gs
n«iciianio.
Ejemplo
]^ .d „
S^^ -
-
5 ^ 5 - * - 5 - 5 +
0 y S j. .
5.
+ (* 11'
'
5 + ....
Luogo, ^ d . oscüa
355
En resumen, para saber e'. ca'¿cter de ur^a
valor de su razón
r,
=»
=» ] ^ a r " ' diV'^®·
r = 1
’ Jiverge.
1
gfírimétnca basta conocer el
V a r * · ’ converrà y S -
Ir! > 1
r =
sp i'
1
^
r
» 2 ® ' ' ' * oscila.
EJERCICIOS
í) Indicar el carácter de las siguienl:^* señes geométricas y. en los casos de conver­
gencia, dar la suma.
2 a„
-
3 . 9 - 27 . ¿I -
2 ^ -.
^ '
4
' "á"
2 b, -
"
^
7
^ - - jV
^
·
~
IK Álgebra de series
Consideramos a continuación algunas propiedades de las series numéricas:
1) Si se multiplica cada término de una serie convergente ^ a ^ de suma S por
un número real k, entonces la nueva serie 2 ^ ^ ., también es convergente y su suma
es S ' = k S
Sea
S: la suma enésima de la serie
Sacando factor común es
Luego,
^ k a ., y S /.a de la sene
S; = 'k · S ,.
lim S ; - K(Um S^,) - k · S.
Análogamente, siV a ^ diverge y k ^ 0. entonces
2 ''a·’
2) Si2
^ b ,. es una sene
sene convergente de suma A y
vergente de suma B, entonces
S·
A - B.
Enefeclo,
y
3) Si
S; -
í^'vefge.
con­
t b j también es convergente y su suma es
A^ ± B„
limS;. ^
lim(A, - B^) - A - B.
una serie convergente de suma A,^ b ^ es una sene conver­
gente de suma B y 'k , y
son dos números reales, entonces la serie
Vc„ =
2 ( k ,a .. - k - b j es convergente de suma C = k.A - kjB (propiedad lineal).
Esta propiedad es consecuertcta de las dos anteriores.
356
4) Si
tonces
convergente y
es una sene divergenie. en·
2 }(a „ = b„) es una sene divergente.
Nada puede decirse, en cambio, si tes dos senes son divergentes.
5) Si en una serie se suprime un numero finito de términos iniciales, de suma K.
entonces ta nueva serie tiene el mismo carácter quela primera, y st aquélla es con­
vergente, de suma A.la nueva sene tiene suma A - K
Sea
nn
V a . una serie convergente y
^b^
la serie formada suprimiendo
2 a „ los k primeros temninos. es decir,
¿
b„
»
r.-i
¿
a.
o. i
Luego, si »amamos A„ a la suma enésima de la primera sene y B„ a la de la
s(?gunda. es
n
y
■■
lím B„ = 1im(A^ ^ ^ límA^ .„
AJ lim A., ·- A -
K.
Esta propiedad se generaliza de la siguiente manera: si una sene numérica es
ijonvergente o divergente y se suprime en ella un número finito de términos, no se
altera el carácter de la misma.
III. Condiciones de convergencia
La convergencia de una serie numérica se reduce a la convergencia de la su­
cesión (Sr) de sumas parciales que ta define, interesa, sin embargo, relacionar la
convergencia de la serie con el comportamiento de sus términos a^
Para ello se deduce de inmediato que si
^ a ^ , es una serie convergente, en­
tonces a» tiende a cero. Es decir, se puede demostrar la siguiente condición necesalia para que una serie sea convergente.
Condición necesaria de convergencia
Si la serie
^ a ^ converge, entonces lim a„ = 0.
Oemosf/’acíón
Si la serie
^ a . converge, la sucesión (S„} de sumas parciales tiene límite
finito S.
Por definición de límite linito de una sucesión. Ve > O 38 > 0/(m > 8 =>
;S ,
-
S I
<
< ).
357
Luego. V€ > O 35 > 0/m > 6
=» |S „ ,,,-S ¡ <
Por lo lamo,
S.^1 < y
|S „,, -
S|
|S -
,S - S„| < -|·.
- -|· = e.
Por la desigualdad triangular:
|(S „ ,, - S) Luego,- |S „ ., - S J
(S - S„,)| ^ .S ,., -5 1 t |S - S^l < €.
= |a ^ ,,| < €.
Se verifica, entonces.
Kma„^, = 0.
Hacierido m + 1 = r^ queda la tesis.
Esta condición de convergencia es necesaria pero no suficiente. La serie 2
“
(llamada serie amnónica) cumple la condición, pues lim — = o, y. sin embargo, es
n
una serie divergente, como se demostrará más adelante.
En realidad, esta condición proporciona más bren un test para determinar la "no
convergencia" de una serie. En efecto, si el lémníno general tiende a cero, nada
puede afirmarse sobre el carácter de la serie. En cambio, si lim a , ^ O, puede ase­
gurarse que la serie no converge.
"2 ^ ^
Por ejemplo, la serie
a„ ■
"
—^
n+1
y lím— ^
n+1
^ *4 ^ ....
conv^e;’ge. pues
= 1.
f Condición necesaria y suficiente de convergencia
El criterio de Cauct^y para convergencia de sucesiones proporciona una condi­
ción necesaria y suficiente para convergencia de series numéricas.
En efecto, si la sucesión <8,) de sumas pardales es una sucesión de Cauchy,
sabemos por un teorema anterior (pág. 348) que es una sucesión convergente.
Es decir, si prefijado cualquier número posllivo € exisle 8 > O tal
que ! S ^ - S „ | < e si m > S a o > 6, entonces la sucesión de sumas parcia­
les (Srt) converge, y recíprocamente.
Si m > n. es la diferencia
Siendo p = m -
n, resulta
S„ - S„ = a^,, ^
S „ ., -
condición de Cauchypara convergenda de series numéricas
la siguiente manera:
La serie converge
exisle i > 0/|a„^,
358
+ a„.^ +
····
S , = a^,, + a„,j + ....
«m·
+ a„,p. y la
suele enunciarse de
si y sólo si para todo € > O y para todo p €
.............. -
N
a„,p| < e si
EJERCICIOS
1)
Aplicando la condición necesaria de convergencia, indicar cuáles de las siguientes
series no pueden ser convergentes;
2
a. =
2
4
-
2
2^. = 2 1 ; ^
^. =
2
^
2
2e. = 2 t ^
c. -
2
^ ;^ ;^
2^ =2 1 ;^
IV. Series de términos no negativos
La serie
^ a ^ es una serie de términos no negativos si, como k> indica su
nombre, para todo número natural n es
a„ ¿ 0.
Teorema
Una serie de términos no negativos converge si y sólo si la sucesión de sus
sumas parciales está acotada.
Demostración
Como
= S„ + a „ ., y a„^, 5r O, resulta Vn: S, s S „,,.
Por lo tanto» la sucesión (Sn) es una sucesión monótona creciente. Por un teo­
rema anterior (pág. 338). esta sucesión converge si y sólo si está acolada.
Como consecuencia de esta propiedad resulta que una serie de términos no
negativos no puede ser oscilante, pues si la sucesión (S„) no eslá acotada, entonces
diverge a +».
A p lica ción
La serie
^ 1 (serie armónica) diverge.
Oemosí/'ac/ón
Consideremos, para cualquier n ^ N, las sumas parciales Sj» y
Es
n+1
’
2n
Luego,
Vn:
n42
> 4 2n
^
n + 3
+ ...... + ^
2n
+ ..... +
= n
'
2n
’
2n
'
2
(1).
La condición de Cauchy asegura, si la serie fuera convergente, que para
359
« - - i 3 í > 0 /(n > S =
S,„ - S„ < - i ) .
Luego, por (1), la serie armórilca no puede ser convergente. Como /.-omás es
una serie de términos positivos, si no es convergente, diverge.
Es decir, la serie
es una serie divergente.
♦ V. Convergencia absoluta y condicional
Se puede considerar, para cada serie
2^^·
serie
^
|a,| formada con los
vak)res absolutos de sus lémiinos.
Si la serie
Si
la
2^1anl converge, la serie inicial es abso/utamente convergente.
serie
cortverge, pero no converge la serie de los módulos, ta se*
rie inicial converge condicfona/mente.
Puede demostrarse fácilmente que una serie absolutamente convergente es
convergente.
Teorema
Si
a^ también converge.
Oemosí/’acrórí
Por la condición de Cauchy (pág. 358),' como
V€ > 0 V p € N 3 8
> 0 /(n > 5 =>
| la „ , , i
^^ia^.l es convergente,
^ (a ^ .J
........ -
=
= |a.-il -*■ !a.,zl ^ ... + Ian-J < ^)·
Por la propiedad triangular:
ian.i
+ a^.2 + ... i- a„.p| < ia „ ,,‘ - la ^ .J
Luego.es 'a^., + a„ * 2
de Cauchy para la serie
»- .... + a ,.p l < f-
·· · + a„ . „ i < €. Pero esta última es la condición
V· PO'"
fanto, asegura su convergencia.
Como ya se ha indicado, el teorema recíproco del anterior no es válido.
Ejempio J
La serio
dulos
es absolutamente convergente, pues la serie de mó­
— es convergente (pág. 353).
Ejemp/o 2
í—
—^— ■— es condicionalmente convergente, pues la serie de món
380
S
(lulos
(sene armónica) es divergente mieniras convergo la serie inicial, como
n
se probará más adelante.
Consideremos la serie numérica
2^«·
infinitos términos positivos e infini­
tos términos negativos. Designamos b, al primer término positivo, b;, al segundo,
ote. Sea - c, el primer térm ino negativo, - Cj el segundo, etcétera.
n
Luego, cualquier suma
I
^ ^^a,. -
f.
^ b ., -
V e ., (r-^s n)
Teorem a 1
Si
condicionafmente convergente, entonces
V 2^-
bas divergentes.
Demostración
Si
V 2
^
-
2^ * ^ n^ Cr ) también sena
convergente, por una propiedad anterior (pág. 356).
Pero
*' Cn) ~
'
^
resulta absolutamonte conver-
(jente. en contra de la fiipótesis.
Si una de ellas fuese convergente y ta olía divergente, entonces
os divergente y ia serle
ge condicionalmenie.
Luego,
porque
V b .,
y
y
2^(b., ·■ c.,)
V a^. resulta divofgenie contra la hipótesis de que conver­
V e , son ambas clivcrgcnles. (Na pueden ser oscilanies
V c ,^ son ambas de términos positivos.)
Consecuencia
Si la serie
^ a , es absolutamente convergente, las series
^
2 *' ·
son ambas convergentes
Si una de ellas fuese divergente, la sene de módulos
V a„|
-
^
también seria divergente, contra la hipótesis supuesta.
Reordenamiento de ios términos de una serie
Si a panir de la ser»e
V
a^. se forma otra serie
]^ h _ cuyos térniinos son los
mismos números a^, pero ubicados cn distinto orden, la segunda serie es un reorde·
namlento de la primera.
Teorem a 2
Si una sene es absolutamente convergente, entonces cualquier recrdenamiento
también lo es y su suma es la misma
361
En primer lugar, le dcrros'.rarC'mos para una sene cuc liene todos sus lé*minos
Dositivos. (Obsér/ese q je si una sene de ‘.érmi-ios pos t vos converge, convc-ge ab·
soluiamento. pues la sene de módu cs es la rr,isma sene )
Demostraciór)
Sea
2 )^ -
sene considerada y
un roordenamiento cualqu-era do la
misma.
Soa. además. (A,J la sucesión de s*-més pardalés oe la primera sene y (H,) la
de la segunda. Ambas suces ones (A.) y (H.,) son sjcesiones monótonas (eslnclamente crecientes) de términos posmvos
Como
2 a„ converge. :ím (A^>
supremo (A J - A.
Ahora bien, para cualquier suma
~ h.
h;........ h„ 500 términos de la sene
hj, *·
tos términos h..
y. por lo tanto, cada suma parcial H,
aparece conten.da cn alguna surr.a
de (A..;·, que puede contener, eveniualmente,
otros términos a,. Es decir.
Vn 3s/ Hn s A...
Por lo tanto, como A es el supiemo de ( A j. se verifica Vn: H, ' ' A.
Luego, la sucesión crecente (H ,) tiene límite (mito y es
lim íH jT ^A
(1).
Ahora bien, por definición de reordenamiento. cada suma A„ esté contenida en
alguna suma H,. a la cual pueden pertenecer, eventualmente, otros términos h,. Es
decir. Vn 3 r / A „
H, (2).
Como <H,) es una subsucesión de (H„) y ésta converge, también converge (H,).
Por un teorema anterior {pág. 346). ambas tienen el mismo 'imite O sea. lim (H^) =
= lim (H,).
Ademas, por (2). Iim ÍH.) _· lim (A.,) - A
Luego, es lim ( H j - A (3}
De ( ’ I y (3) rcsu ía* l.m (H,,)
A y
t n segundo lugar, s; la sene
rorvorge con suma A.
'.leno inlinitos ler-nnos positivos e inlimlos
uirrninos negativos, t^asta considerar las dos senes convergentes de términos posi­
tivos
y
V
e
. , V
b
,
] ^ c , (páy. 361)
Cualquier reorde na mío nto do V a . oriq.na un reordenamiento de
y de
V e . Por la pnmera p are de ^stc teorema, nncún reordenamiento do una serie con·
vo:ger*e do térir.'nos posit vos aiíer.^ su caracter m su suma.
Luego
_ o
V c„
C y se martieno
Va^
B ■ C.
La propiedad anterior, propicdatí conirutativa. es valida en senes cualesquiera
solamente si dichas senes son absoluianente convergentes. Si la sene sólo conver­
ge cond'cionaln'entc. es decir, si no converge la serie de módulos, entonces, reo'denando la sene inicial, pueden obtenerse nuevas series convergentes de suma prefi­
jada. divergentes u oscilantes
Por ejemplo, la ser*.e
y ,.,,'·'
^
362
_ U
n
, - -L .
2
i .. J . .....
3
4
converge sólo condicionalmente, pues
diverge (sene armónica).
Trataremos de reordenar sus términos para que su suma sea el número 1,2.
El procedimiento a utilizar es la base para la demostración del próximo teorema.
Sea S, la primera suma de ténninos positivos que resulte mayor que l ,2. Esto es
posible, pues la serie formada exclusivamente con los términos positivos es diver­
gente.
s, . 1 + -!- = i ;
'
3
3
Se agrega ahora el número necesario de términos negativos para que la nueva
suma sea menor que 1.2;
S
^
-
1
-L 3
± 2
Se suman luego términos positivos hasta
S , = 1 4- — ^
3
A
6
obtener el
— - — + —
2
5
7
primer valor mayor que
--------630
9
Se restan ahora témiinos hasta conseguir la suma siguiente, próxima a 1,2 por
defecto, etc.;
1.2
----- 1----- 1---------------------- 1---------------- 1------- 1----A J L
6 30
811
±
■■■■
.............630 3
La nueva serie, cuyos términos se obtienen de» la manera propuesta:
^
, A .. A
3
2
"
, 1
5
.
,
7
A _ J.
9
4
....
es un reordenamiento de la serie inicial que resulla convergente, con suma 1,2.
Sus sumas parciales son;
D,
= ,
D, = A
3
*
o. = I
6
^
D, .
30
D., = ^
210
D. ^
630
"
Como la serie inicial es convergente icondiciorialmenlG), es lím
- O y, por lo
tanto, lim b„ = O y Hm c ,
0.
(^ara probar que 1,2 es el límite de la sucesión d© sumas (D„), basta probar que,
prefijado cualquier € > 0. se puede determinar un n a partir del cual la diferencia
|D„
1,2| < e. Como (b„) y (c„) tienden acero. V€ > O 36 > Otal que ¡b^l < e y c^l < €
si n > 5. Por la forma en que fueron ordenados los términos, existe m tal que
|D „ - 1,2| < | b j < € o ¡D^ - 1.2| < | c j < € si m > 6. Luego, lím (D^) = 1,2.
Teorema de Riemann
Si
converge oondicionalmente y k es un número real cualquiera, enton­
ces existe un reordenamiento de
converge al número k.
363
Ü o rrio s U a c ió n
Sean
y
las dos senes divergenles. íormacias'espectivamente
con los icrm inos posilivos y los o'.ódulos de los términos negativos de
Se eligen termines sucesivos de
^ a ,.
hasla obtener la primera suma parcial
que supere a k. Esta suma exisie por tratarse de las sumas parciales de una serie
divergente.
Sea Sh dicha sum». Resulta 'S^
k|
Se restar», ahora, términos sucesivos de
.S^^ - S^ ,\ - b^.
2 *^.. ^^sta obtener la primera suma
pardal menor que k. Sea S, dicha suma. Para las sumas S^ ,, S^ j .....S, ., la dife­
rencia con el número k es menor que b^... Además, |S, - k 'T. c,.
S. S j
I
\
Sf,
/
Continuando de esa manera se forma una serie de sumas parciales S ,. Por la for­
ma en que se han elegido estas sumas, y recordando que tím b., = lim
- O,
prefiiado cualquier c .- O es posible hallar f> > O tal que IS„
k, < € si n .> fi.
Luego, lím (S„) = k y la sucesión (S.,} converge al número k
Por un procedimiento similar so puecíe obtener, con los términos de la sen©
nicial. un reordenamiento que sea divergente a
divergente a - *·. oscilante
entre números reales prefijados o d-vergento a
EJERCIC'.OS
1) ConverQonc.A absoluta o cond cicnaí de las series s'guienles.
X ·.
■ S . - 'i·
T s ;h f-
2] Dar un reordenamiento de la seTio siguieme, cuya suma sea \.S
2 ^ , - 2 < - . r 4
364
VI. Criterios de convergencia para series de términos
no negativos
Como consea.’enca dol teorema que asegura la cor»\/ergciicia de una so' íí r>i
convergí? la de sus módulos que son números no negativos, en muchas oca?iinno5
nieresa conocer el comportamiento exclusivo ce las series de es?« lipo.
Por otra oarte, ninguna de las condiciones de converoencia conside^acias ^asta
r.nora sirve, er^ la príiclica, para determinar de rnanera simple ei caiácier ce jr^a sene
Para ello recurriremos a criterios de convergencia coya aplicación es inmediala.
Estes criterios son válidos excl jsivam enie para ser es de ’érminos no nogalivos y. en
algunos casos, solamente para series de términos posüivos.
Criterios de comparación
Hemos visto ya algunas series cuyo carácter es fácil determinar, como las sones
geométncas y la sene armónica. Estas series se utilizan para detern inar el carácter
de otras series Dor comparación.
1) C onvergencia
Sean
V ^n X ^
senes nurén cíis. arrbas de ’.órminos no negativos
S i V n t ‘ N : a „ '· b. v·
V b , convergo con sjm a G. entonces
también converge y yu s'jrria no supera a 13.
de
D em csiracicn
C c r s :d e r a n il:,: ia.s si.rn?,s parcia;(>r> c e a m h a s s e n e s , re s u lta
Vn;
A.
'
B„
(\).
Como (B„) os una sucesión creciente de im te B, dicho número B es el ext'eir.o
super.'O' de ÍB,.).
í^or (1). B tairbión es ccta para la sucesiór'' credente (A. i y. per lo tanto, existe
lim (A..) y dicho inv:e eí> rneror o eual que B.
Noia: En la hiptMesis de este teorema se ha cxigoo quo la desigualdad a, · b,
se verir-ique para :odo númoro natural n. Esta condición o'j Tiás fuerte que la s (juien·
te. con la cual b tos s del '.eoroma también se cumple en lo relat-v^o a’, ca^ñcic' de las
series; basla que oxisra '^n nCmc?o natural r lal que a„ ii b, si n - r En efecto, si
la desigualdad no se verifica para n ' r, pueden suphmirso los r primeros ‘.érminos en
ambas senes, con lo cual ol carácter de las mismas no vana (png. nfi7).
Eiempto
1 rataremos
de determinar el carácter de la siguiente serie de términos positivos.
ya.
-
- L
1!
_______L
21
3!
....
. _ L
ni
.
365
Consideremos la serie geométrica;
y K
.
t * -1 - 4
2
í‘
2'
Esla última serie es converger’.te, pues su razón es y .
Además se obsen/a que:
^
M
^
1.2.3...n
Luego, Vn:
^ .osea.
í
1.2.2...2
b, . y
2" ’
es serie convergente
por comparación.
2) Divergencia
Sean
^a „ y
series de términos no negativos. Si para cualquier
número natural n es a„
diverge. ^
b , y, además,
^ b „ diverge, entonces
una serie minorante de
51^'· ·)
Dem ostración
Si la sucesión (B_) de sumas parciales de
> .
si n >
diverge. V€ > O 3S > 0/
por definición de limite infinito positivo de una sucesión.
Como Vn y V t > 0; A „? 'B „> é s i n> fi. la sucesión de sumas (A.) también
diverge.
c/empto
Considérenos la ser.e s.guiePle:
\
2
\
3
\
n
y tratemos de probar que es divergente.
Para ello buscamos una serie minorante, por ejemplo, la serie armónica
'
Resulta Vn: —
\
Como
í= - 1 .
n
o
’
. ±
n
,
sea. Vn a, ·_· b„
f'
]^ b „ diverge, tambiéa diverge
Análogamente, la sene
V —^ diverge si h ^ n
serie armónica. Vn: - 1 — > —
l.pj es , conparando con )a
Obsérvese que si la serie conocida es convergente, los términos de la serie por
investigar deben ser menores que los de aquélla, y que en cambio nada puede ase­
gurarse si son mayores. Nada puede asegurarse, tampoco, de una serie cuyos térmi­
nos son menores que los de una serie divergerne.
Consecuencias del criterio de comparación
1
) Dadas dos series numéricas
tivos, si
y
^ b ^ , ambas de términos no nega­
converge y 3 r € N / n s r
positivo, entonces
a„ ir kb.,, donde k es un número
también converge.
Demostración
Sr
^ b n converge, también converge
el criterio de comparación a las series
Análogamente, si
^ k b ^ (pág. 366). Luego, basta aplicar
2
^
2 * ^ ·’·
^ b „ diverge y a„ s kb. (k > 0), entonces
^ a „ también
diverge.
2) Dadas-dos serles numéricas
si
y
2
a*T't>as de términos pos/í/vos,
2 ^ " converge y 3r e N / (n a r
^ a „ tam
bn-1
bién converge.
♦ Demostración
La condición de la hipótesis se verifica para n ^ r. Es decir,
*'
'
(1)
«
8, <
■ f -1
Sea k = - ■ ' * - > 0. Probaremos que la relación a„ ^ k · b„ se verifica
I
también para todo n > r.
Consideremos la condición de la hipótesis para n = r Resulta
a„, ^
a
1.
(2).
g
Como
- kpor(l), si en la relación (2) se sustituye el co-
c i e n t e p o r el número k, la desigualdad se mantiene y resulta a ,,, < k · b ..
La misma relación puede probarse por inducción para cualquier subíndice n pos­
terior a (r -»■ 1).
Es decir, Vn: n
r
=> a„ ^ k · b„, donde k =
^ ' ■.
367
Aplicando la primera consecuencia del criterio de comparación,
es una
serie convergente.
Aunque el crilerio de comparación y sus consecuencias son más accesibles que
las condiciones de convergencia vistas anteriormente, tampoco es fácil, en la prácti­
ca. encontrar ta serie que resulta conveniente para la comparación.
El criterio siguiente, en cambio, es de aplicación mecánica y simple, si bien no da
conclusiones para todos los casos.
Criterio de D'Alembert*
Sea
tómninos positivos. Si existe el límite t del cociente de
cada término sobre el anterior y ^ < 1, entonces la serie es convergente. Si > 1.
entonces ia serie es divergente. (Si ^ = 1 nada puede asegurarse sobre el carácter
de la serie.)
P fim era p a rte :
lím ■ ^
»n-l
^ y ^ < 1
DemosUacióTi
Por propiedad del conjunto de los números rea les, 3 k > Otal que ^ < k < 1.
A dem ás, por pro pie da d del lim ile fin ito de una sucesión (pág. 335),j si
lím — -— < k, entonces
an-1
3r€NI//n>r
'
=»
— — < kV
a«-,
'
a
k”
Luego. — — < ------ — si n > r.
a „-,
k-» ’
Pero
2 *^" ^
geométrica de razón k y os convergerne, pues O < k < 1.
Aplicando la segunda consecuencia del criterio de comparación,
convergente.
Segunda p a rle :
|ím
resulta
^ f y f > ]
an ,
Demostración
Por propiedad de límite finito de una sucesión (pág. 335),
3r€N /(n > r
=> - i -
>
y. por lo tanto, a„ > a„_, si n > r.
*
Jean D’Alemt>ert (1717-1783), dentlAco y matemétioo que integró el grupo de filósofos
franceses que pubticaron la £oc/c/ó|pe<^/a. Es conocido, en especial, por sus trabajos sobre
mecánica.
368
Es decir,.,como los términos do la serie son positivos y íoiman uria sucesión
estrictamente creciente, es lím a„
0.
Pero en una serie de lémninos positivos, si el término general no tiende a oerd, la
serie diverge.
Ejemplo 1
Aplicando el crtterio de D'Alembert, averiguar el carácter de la serie siguiente;
y—
n
lím — ——
— = lím ------ r = 4"
n~1
an- ,
5" ’
5 (n -1 )
5
-^5"
converge.
Ejemplo 2
Averiguar el carácter de la serie
2 '“
3"
= 3 > 1 =»
lím
= lím
lím
3·'
2 “^
diverge.
n -1
Ejemplo 3
Determinar el carácter de la serie
lím
V — —
n^ + 1
1
(n-l)"' ^ 1
En este caso el criterio de D'Alembert no informa sobre el carácter de la serie.
Obsórvese que en la serie armónica lím
1
n -1
= 1 y V — diverge. En
n
1
cambio, en la serie
V —V , también lím -------- -^
n^
1
= 1, y puede probarse
(n-1V
que
2 —^
converge.
369
Wo/a: El criterio de D'Alembert exige que lim —^2— = f < 1, y no basta la
1
condición — —— < 1 para que la serie sea convergente.
1
En la serie arnnónica, por ejemplo,
J_
3n
^
n
^
r>- 1 ^
n
_ J_ ^
n
n - 1
y la serie armónica diverge.
S i no se desea aplicar Itmíie, la condición de convergencia de D'Alembert exige
que el cociente — —— se conserve mer^or que un número k < i.
^n -l
O sea, si 3 r € N / ^ r i > r
'
=» ——— < k < l V ontonces ^ a „c o n v e rg e .
^r. 1
^
El cnierio de D'Alembert puede complelarse demostrando que si
entonces la serie diverge.
Criterio de la raíz (Cauchy)
Sea
entonces,
serie de ténninos positivos. Si existo f = lím
2 ^ « converge. Si
> 1, entonces
y /■ < 1,
diverge. (Si ^ = 1 nada pue­
de asegurarse.)
La demostración es análoga a la del crilerio de D'Alembert.
P rim era p a rte :
lím V a^ = Z' y
f < i
Demostración
Por propiedad del conjunto R. si í < 1. entonces existe un número real k
ta lq u e í < k < i.
Por propiedad del limite finito de una sucesión, existe un número natural r tal
qu e ;(n > r =»
< k).
Luego, a„ < k ", y como
rie
] ^ k " es una serie geométrica oonvergenle, la se­
converge.
Segunda p a rle :
370
lím
= f
y
f > ^
Demostración
Por propiedades anteriores existe un número natural rtal que; (r» > r => a„ > 1).
Luego, linn a^ ^ O y la serie
diverge.
Ejemplo
Aplicartdo el criterio de la raíz, averiguar el carácter de las siguientes series;
llm
\ / ^ “ = l í m l = O < 1 =>
cwíverge.
» 2 (-¿ r)·
(-> rr)' ·
~dr ’
' ■ 2 ( - ¿ r ) ' * ”' ·
Criterio de Raabe’
Sea
(
términos positivos. Si existe
= l í m r n ( l ------- y
(onces
^ >
1. entonces
diverge. (Si ¿
Prim era p a rte :
coi^verge. Si { < l . e n -
1 nada puede asegurarse.)
lím f n ( 1 -------t
L V
y
é > ^
a„ , / J
Demostración
Si / > 1. enlonces 3c .> 0 / f > t + c > í.
Además, por una propiedad de las sucesiones convergentes (pág. 335),
3ríN /n>r
=> n f l
- — -— ^
a „., /
'
1 + c
> 1 -i- c
an-r
na„-,
·■ n a „ > a, ,
(ri-1 )a „ .,
^ ca^_,
■ r^a„ > ca„ ,
=>
(1).
*
José Luis Raabe (1BOI-1895), matemático y astrónomo alemán, prolesor óe la Universi­
dad de Zurich. Es autor de varías obras sobro cálculo diferencial y sobre astronomía.
371
La demostración no pierde 9er>eralidad si se supor>e r = 1, pues si r > 1
basta suprimir los r témiinos Inidales y el carácter de la serie no cambia <pág. 357).
Por lo tanto, la relación ( 1) es válida para todo número natural n > r - 1.
Sf
n = 2 , es
a, -
2 ^^ > c a ,
n = 3
2a j -
3a j > c 82
n = 4.
883 -
4a^ > c a .
n -
h
(h -1 )a „ -, - ha^ > ca^.,
Sumando, al cancelar términos resulta;
a, -
ha», > c(a, + ^
L u e ^ , a , + a^ + .....
+ .... + af,_,).
a, - ha.
a,
a^., < — *------- — < — - = k, donde k no dec
c
pende de h.
Es decir, existe un número positivo k tal que Vh; S^.^ < k. O sea, la sucesión
de sumas parciales está acotada, lo cual implica que la serie es convergente.
Segunda parte:
l i m n f l -------^2— ^ = e y
'
9n-1 '
^ < 1
Demostración
Por propiedad del límite finito de una siiceskjn,
3 r e N / n > r =*
n í l ------- ^2—^ < 1 =»
'
V i '
^ 1n - n
< 1
3n-l
=» f n < 1 + n
^
^
V i
—
_A _
V ,
n
a ._,
V i
1
n- 1
El segundo miembro de la desiguaklad anterior es el codente de dos términos
372
consecutivos de la serie armònica. Por la segunda consecuencia del criterio de com­
paración.
2 a„ resulta divergente.
Efempto
Aplicando el criterio de Raabe, determinar el carácter de la serie
^
lim
(n - 1 ) "
lim
----- —
=
2
>
1
converge.
Obsérvese que el criterio de D’Alembert no proporciona información sobre el
carácter de la serio,
1
pues
lím
1
= 1.
EJERCICIOS
1 ) Aplicar el criterio de comparación para demostrar que la serie
si h > 1.
coriverge
^
2) Aplicar el criterio de comparación para determinar el carácter de las seríes si­
guientes;
b) y — —
n2"
n'^ -I- 1
o) 2 — ^
7V n
3) Aplicar el criierio de D'Alembert:
a) y
^
^
n !{n -1 )l
n H2
b )2
n^ - 1
2
:
2
*» 2
(n+1)!
ni
)>
-i 2
Sn'^
') 2
(n-1)(n-H2)
r.3
373
m) y A A
^
n ''
. V
n,
0) X Slnia"
*^·
4) ¿Para qué valores de a converge la serie
2 “^
?
5) Apiscar ei criterio de la raíz:
. . S ( ^ ) V o ,
c , 2 ( ^ ) " ·
« S ( i ) "
6 ) Aplicar el criterio de Raabe;
a
(2 n M )(2 n
„
1)
» ) 2 r : i -»r 1r
« )^2 t2n^
^
^
<= >2·
^ n(n + l)
- ^
^
2n^ + ^
VII. Series alternadas
Si Ips términos de una serie de números reales son allernadamante positivos y
negativos, la serie recibe el nombre de serie alternada.
Por ejemplo,
= a, - a^ -
83
84 - ...
(a„ > 0 ) es una
serie alternada.
Criterio de convergencta
Si (a„) es una sucesión de números reales positivos que decrece estrictamente,
entonces
”*)"*' «n cof^^erge si y sólo si líma„ = 0 .
Si la sene alternada converge, entonces lim
=
0.
Es la condición necesaria de convergencia para cualquier serie numérica
(pág. 357).
P rim e ra p arte :
S e g u n d a p a rr·; Si lím a^ -
0. entonces la serie indicada converge.
a) Las sumas de índice par forman una sucesión estriclamenle creciente.
~ ^2n ~ (^2n+l “
^ n i2 ^
Sjn-? = Sjn + e ( Í > O, pues a^p., > a 2„ , 2. ya
que (3n) es estrictamente decreciente)
Luego. Vn; Sj« < S ,„ .j y S^ < S, < S* < ... < Sj« <
< ...
O sea. (Sjn) es estrictamente creciente.
b) Las sumas de índice jmpar fomian una sucesión estrictamente decreciente.
374
~
S:.n.· Luego, Vn: S2r. j
,
ícljp
^201 |)
S ,, , - €
(Í >
0)
V S, > S 3 > S, > ...
> Sp„_, >
>
...
O sea. (Sjn. I ) es estflclainenle decreciente.
c) Cualquier suma de indice impar es mayor que la correspondiente suma de
índice par.
Vn: Sjn = Sjr.+ i -
a^nM
=>
^
Ahora bien, la sucesión creciente de sumas pares está acotada superiomiente
por cualquier suma impar y, análogamente, la sucesión decreciente de sumas impa­
res está acotada inferiormente por cualquier suma par.
Sj
<
S4
<
<
S2„ <
<
S jp .,
<
. . <
Sa
<
S,
Por el teorema fundamental de sucesiones monótonas acotadas (pág. 338), ambas sucesiones tienen límite finito.
Es decir,
3
Ahora bien.
S / l i m S 2^ » S
y
aS'/límSj^^,
= S'.
S^,., =
= lím S j„ + lím a j„ .,.
Como por hipótesis es lim a j„ . , =
S' =
0.
8
resulta:
4- 0.
Luego, la sucesión (S^.) de sumas parciales (pares e impares) tiene un limíte
único y la serie considerada es convergente.
Gráficamente:
f/empto
La serie alternada
2
En efecto, la sucesión
^ conver gent e.
de sus términos es estrictamente decreciente.
pues Vn: — > — -— . Además es lim — = 0.
n
n -1
.
n
375
EJERCICIOS
Indicar el carácter tíe Jas sig u ie n te s series alternadas:
r^ · 1
♦ VIH. Series de luncíones
Hasta ahora se han estudiado solamente sucesiones y serles numéricas. Pue­
den considerarse también sucesiones y ser es funcionales, es decir, sucesiones y
series cuyos términos son funciones escalares.
Si/:€sión de (unciones es una función cuyo dominio es el conjunto de los núme­
ros naturales y cuyo recorrido es un conjunto de (unciones escalares.
(f„)
( f i l f j i f i i .... ;(„.......) es una sucesión numerable de luiciones reales
Sene(J>. fundones o serie funcional asociada a ur-.a sucesión do funciones es la
sucesión de t^^'mas pardales de 'a mis'na.
Es decir, v Jen definiciones análogas a las rie sucesiones y series njméncas
Pero si bien la de¡:.' có n puedo parecer similar, el concepto es di'.erente y mucho más
amplio.
Sea ia siguiente u ia serie de funciones.
f.
Si X es un punto que pcnenece simultáneamente al dominio de cada una de las
funciones consideradas, entonces
yf,(x) -
f,{x)
· f^()í) - ....
· l,:x )
·
es una soné numérica.
Es dccrr, para cada ríumero x que perícrece a la mlersoccion de 'os donimos de
las n funciones, la serio de functoros se Iransforma en una se.ve numér.ca que puede
o no ser convergente.
Por ejemplo, si ¡asene
V f ^ í x ) es convergente en el punta x,. por definición
de sene conv'ergenle existe un nomoro rea'que es su suma y a'cual cesignamos t(x.).
O sea. 3í(x,) / f{x,) Se cumple:
0/
f(x.
€ SI n ■' Ò.
'(*!
Pi'.
AnálogaíTiente, si la serie converge para x^.
O
Vi
> o 3 » '(6 .X j) > 0 / 2 m » ¡ )
Aunque se eli;a el mismo número € para ambas series, en general ^ í '. pues
cada uno de ellos depende, ■'especlivamenle, de x, y x,. además de depender de e
376
S i consideramos el cor.)unto I
íx,,xp}. la serie
es
convergente
(-■n I, y para cada € basta elegir el mayor entre d y 5' que resulta válido para ambas
series.
Si el conjunto I = {x ^.Xj .Xq.... Xf,) es un conjunto finito de n elementos, y la serie
de funciones converge simultáneamente para los n valores de x. el mayor entre los
valores de 6 es válido para todos los casos y la serie
converge en I.
Si se trata, en cambio, de un conjunto I de infìnitos elementos, no siempre es
posible encontrar un número 6 que dependa de í y no dependa, además, de cada
valor.de x.
Sr ello es posible, se dice que la serie de funciones es uniform em ente conver­
gente. Puede probarse que la convergencia uniforme es una propiedad más fuerte
que la convergencia, pues im plica la convergencia de la serte funcional, pero et
reciproco es fafso.
O efiniclones
1
todo
X
) La serie de funciones
€ I, la serie numérica
2 ^
convergente en el conjunto I si y sólo si, para
convergente.
O sea,
V x € I;
Ve > O 36 > 0 / ( n > 6
2) La serie de funciones
V€ > 0:
2 ^ converge uniformemente en el conjunto I si
35 > 0 / V x € I: ( n > f>
La diferencia fundamental entre ambas definiciones está, como ya se ha indica­
do, en que fa convergencia uniforme exige, además de la convergencia, que el nú­
mero 5 que se determina para cada e sea independiente del número x.
En el caso de series numéricas, convergencia y convergencia uniforme son equi­
valentes, pues hay un solo valor x.
Las series de funciones unifomiemenle convergentes delinen, a su vez, nuevas
(unciones.
Puede demostrarse, por ejemplo, que la suma do una serie uniformemente con­
vergente de funciones continuas en un conjunto i es también una función continua
en I. Esta propiedad no es válida sr la serie de funciones converge pero su conver­
gencia no es uniforme.
Entre las series de funciones, las más simples son las series de potencias, que
se utilizan para el desarrollo en serie de funciones según las fórmulas de Taylor o de
Maclaurin.
Series de potencias
La serie
377
2a„(x-cr
-
-r a , { x - c ) > 32(x c)^
i .... i a „(x -c )'’
· ...
es una serie de potencias. Los números reales
.... a,.... son los coefidenles
de la serie.
En particular, si c = O, se obtiene la sene de potencias
= ao + a ,x -
x^ - . + a„x" +
Nos referiremos exclusivamente a series de potencias de este úllimo lipo, pues
cualquier serie
2 a^íx - c)” pu9-^e llevarse a la forma
a^^x'" hadendo x' = x - c.
Como ya se ha visto, sólo para valores de x que hacen convergente a la respec­
tiva serie numérica, la expresión
define una función escalar.
Es decir, si la serie es convergente para cada número real x de un conjunto I,
existe una lunción cuyo dominio es I y cuyo recorrido se obtiene asignando como ima­
gen, para cada número x. la suma de la serie numénca corrospondienie.
Veamos atiora distintos casos de convergencia para una serie
^a^x".
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamenJe pa­
ra x = 0; series que convergen para cualquier número real x. y senes que convofgen
para algunos valores de x y no convergen para otros.
Prim er caso
Pueoe observarse que la serie
si x - 0. Esto se comprueba
sustituyenco x por O en la serie dada.
Ahora L.on. toda sene
^ a „ x " converge para x - 0. pero algur^as de ellas
solamente coi^vergen para ese valor.
Por ejemplo la ser;e
^ n ! x' spiamente converge si x - 0. En electo, si elegi­
mos cualquier número x, ^ O, el término general de la serie numérica
]^ n !x j''
tiende a infinito y no se cur.iple la condición necesaria de convergencia. Por lo tanto,
la serie dada no converge para ningún número x =j¿ 0.
Segundo caso
Hay series que convergen para cualquier valor de x. Consideremos la serie
S
" —n! ■
Eüiamos cualquier número x^ ^ O y co· is¡( eremos la serie de términos positivos
l^o ¡I
|Xo'’
n! ■
S
Si aplicamos el criterio de O’Alembert a la serie numérica de términos positivos
2
378
resulta:
K \
n!
lím
= lim
Kl
O < 1.
K-'·
(n -D !
Luego, la serie
2 " ^
converge para cualquier número x y io mismo sucede
x"
— —, que es absoiutamenle convergente (pág. 360)
n!
Tercer caso
S
Otras series, eri cambio, convergen solamente para algunos valores de x.
La serle
^ x " , por ejemplo, sólo converge si |x| < i , pues para cada x la serie
indicada es una seria geométrica de razón x.
Teorema 1
Si ia serie de potencias
^
a„x'' converge para ei vaior Xp
O, entonces con­
verge absolutamente para cualquier valor de x lal que |x| < 'Xp|.
Demostración
Si
converge, entonces el lérmino general de la serie tiende a cero.
Si elegimos € = 1, existe 6 > O lal que para lodo número natural n > 6
rosulta la^Xo"! < 1
(1).
Ahora bien,
!a„x"
=
n ..
anXo'
„ft
( 2 ).
Por (1). ia„Xo"| < 1 si n > 6.
Reemplazando en (2): |a„x"| < 1
Osea. |a„x"| <
si n > 8.
si n > 5.
Si x es un número que cumple la condición |x| <
¡Xq', «s q
Luego, si n > 5. entonces es |a^x"| < q ", y la serie
comparación con la serie geométrica
^ q * '. Por lo tanto,
< 1.
[^ ¡a ^ x ''] converge por
^ la ^ x ” converge abso­
lutamente.
379
Teorema 2
Si una serie de potencias
no converge para el valor Xg, entonces lam*
poco converge para un número x sí |x| > \Xq\.
Demostración
Suponemos que exisl© un número x, para el cual |x,| > ,Xq| y la serie
^ a „ x , '’
converge.
Ahora bien, la serie
converge, de acuerdo con nuestra suposición, y
no converge para el número Xg, siendo |X(,' < |x, |.
Esto contradice al teorema 1 y. por lo tanto, la suposición inicial es lalsa.
Luego,
no converge en las condicione? dadas si |x¡ > |Xg'.
Radio e intervalo de convergencia
Definiremos ahora radio e intervalo de convergencia para los tres casos pro­
puestos en la página 370.
1) Si la serie
^
anX'"’ converge solamente para x = 0. el radio de convergencia
y el intervalo de convergencia son ambos nulos.
2} Si la serie
converge para cualquier núnrwro real x, el intervalo de
convergencia es R. En este caso el radio de convergencia es infinito ( + «»).
3)
Si la serie
^ a ^ x " converge solamente para algunos valores de x y no con­
verge para otros, sea A el conjunto fomiado con los nnódulos de los valores de x para
los cuales la serie es convergente.
El número positivo r es el radio de convergencia de la serie
^ a ^ x " si y sólo
si r es el supremo del conjunto A.
Si r es el radio de convergencia de la serie, el intervalo ( -r;r) es su intei\'aio de
convergencia.
Puede probarse, si la serie
•'^dio de convergencia r. que la serie
converge absolutamente para cualquier número x si 'x| < r y que no converge si 'x| > r.
(Obsérvese que nada se afirma sobre el comportamiento de la serie para tx( = r,
que depende de cada caso en particular.)
Cálculo del radio de convergencia
Consideremos la serie
2 ^ a „x ''. Sabemos que esta serie converge si
converge.
Si existe lím
^ f , para cada número x es lím
“n-1
Aplicando ei criterio de D'Alembert, para cada x resulta
380
»I»-!
^ •;x| < 1
converge
^•;x( > 1
<í‘verge.
Es decir, para lim
^
y
^ ^ O, fa serie
converge si Ix; < y Y
diverge si |x| >
Si es ^ = O, la serie converge para cualquier valor de x.
En efecto» Vx: ^ jx| = O < 1.
Aplicación
Hallar ei radío de convergencia de cada una de las series siguientes:
1) S n x ”
a„ =
= n -
Luego, r = 4 e
wn
=»
€ = lím
n- 1
1.
r = l y l a serie converge si ,X| < 1.
( n - 1)r
ni
Luego,
1
e = lím
( n - 1)l
ni
0.
converge para cualquier número real x.
Serie de Macíaurln
Ya se ha visto en ef capítulo 6 la fórmula para el desarrollo de una función utili­
zando ei polinomio de Taylor o el de Madaurin.
Si f tiene derivada finita continua de orden (n-t-1) en el origen, la fórmula de
f^aclaurln es (pág. 309):
f(x) = 1(0) + t'(o)x +
^ O sea.
+ .... ^
( n + i) r
¿
h-O
mino corftpiementario.
^
^
f(x) =
(1 ),donde r„^, (x)escllér"·
381
Si la füncion I tiene, para todo n, n derivadas finitas en ef intervalo ^ - t t ). \a si­
guiente sene de potencias se llama serie de Maclaurin correspondiente a f:
(0)
....
h1
(2)
(para !x| < r).
interesa saber en qué condiciones las expresiones (1) y (2) coinciden, o sea, en
qué condiciones es f(x) =
f*^' ÍO) x^
V ------ i- ------.
h*ú
En primer lugar, la igualdad anterior sólo tiene sentido sí la serie de potencias es
convergente para cada número x que se considera, es decir, si r es el radio de con­
vergencia de la serie debe s e rjx K r.
En segundo lugar, el término complementario debe tender a cero cuando n —» x.
Luego, lim f*f{x) - V
^
.
íh^O
ri
O sea, lím
L
t(x) ■
n!
= f(x) - lím
£
h_o
[ ' ’n. i w l ·
L
J
.
2
■ft=0
n.
(0) x'
= lím
IV-*» L
Si lim
r - .,
>v-x L
(x )l
J
= 0, entonces f(x) = lím
- 2
-
i-.-o
f''‘M o ) ) t
h -,
h1
Por lo tanto, si f es derivable indefinidamente sn un intervalo (-r;r) y, aden^ás,
lím [ r „ . , (x)J = 0, entonces, para cualquier x del intervalo considerado, es
IV-·«
,lh)
Obsérvese que la condición exigida de que el término complementario tienda a
cero implica la convergencia de la serie de potencias en el Intentato ( - r;r). pues su
suma es finita e igual a f(x). Ei recíproco, sin encargo, es falso, pues la serie de
potencias puede ser convergente y el término complementario no tener timite nulo
para n - * x .
382
En ese caso la función correspondiente no puede desarrollaise en serie de
Maclaurin.
Un contraeiempio lo p'oporciona la sigu enle luncion. conocida como lunción
de Cauchy:
f:x
Puede demosirarse que esla func;on nene n der:vacias imitas on R que se anulan
en el origen.
Por lo tanlo, los coeficientes de la sene de Maclau.nn son nulos, y para cual­
quier X fa suma de la serie correspondienie da cero.
EsSos valores no coinciden con los valores de I, que solamente se anula en el
origen.
A p lica ció n
S i una fundón es derivabfe indefinidamente, .'as consideraciones anteriores per­
miten desarrollarla en serie de potencias.
Para elfo debe escribirse, en cada caso, la formula de Taylor o de Maclaurin
correspondiente, y verificar que el temiino complementario tiende a cero. Eslo no
siempre es fácil, pues no se conoce z. pero algunas veces es posibíe acotar el resto y
probar, entonces, que su límite ©s cero.
Trataremos de desarrollar en sene ía Junción seno.
Aplicando la fó.'mula de Maclaurin. es
s e rix = X -
lim
a, ,
3f
5!
= lím
Í2n- 1) !
(2 n i 1)!
-
lím
1
= 0.
2n(2n + 1)
Luego, la serie converge para cualquier número real x.
Además,
lím
general de la serie
sen
(2
2 “^
-
y )
s lím
lx"l
= O ^pues es el término
Que converge [pág. 381l)
,2 n - 1
Por lo tanto, Vxr s enx = x
3!
51
( 2 n - l) !
EJERCICIOS
1) Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
a)
·—
n -1
b)
''
c)
n
0
2 ( - ir ·'
^·
3
2) Desarrollar cn serie de Maclaurin, si
a) c o sx
b)
as
posible'
lh(l+x)
c)
e*
RESPUESTAS A EJERCICIOS
CAPÍTULO 10
Sección I
1)
5 ^ a , diverge
^bn
= ^
^ ^
= y
Sección III
1)
2 b„,
'^ d „ ,
2«^
V
no convergen
Sección V
1) Las cuatro series convergen absolutamente
'
"
3
5
2
7
9
11
13
Sección VI
1) Seriem ayorante
=
+
’
4^
2) a) Convergo. Comparar con
^
4"
^
b) Converge. Comparar con
c ) . Converge.
Comparar con
d) Diverge. Comparar con
384
^
~ ^~T
5* —
n
· '
0*'
15
4
(2n)l
e) Divergo (k ·
f) Converge. Comparar con
^
^
3) g) Diverge. Las restantes convergen (Para e y ^ el criterio de D'Alembert no in­
forma.)
4) Converge para todo número real a
5) c diverge. Las restantes convergen
6) a, b, c y d convergen; e diverge
Sección vri
1) a y d convergen
Sección VIH
1 ) a) r = 1
b) r = + «
2) a) C09 X - 1 - —
c) r == + x
+—
y2
y3
d) r = -^
J
b> In (1 +x) = * - —
e) r = 1
+
f) r = 0
w3
-------- - - t . . .
y4
'kOK
11. PRIMITIVAS
El análisis elementaí ;nduye oos proceros fvjncJamentales. el cálculo de dorwadas V ol crilculo de inlegrales.
El primt-r proceso, derivadcn o d ‘ofcndadón. ccnduce. cotio ya se ha visto, a
ríefinir ia 'GCta tnnger’íe al gráí»co do una fundan üerivable cn cualq'jier pjnío del
mismo El segundo proceso, la inlocjración. perniile hol'ar ol area de regiones limita­
das por el g.'’afico de lunciories ccnlinuus.
Ambos problerrias, el de 'a recia tangente y c-l del área, so resuelven por caminos
lotalmenie independientes, pero terminan vinculándose enire sí, pues el cálculo de
¿reas se retíuce finalmente al c.llculo de anhderivadas o primitivas.
De acuerdo con las consideraciones anteriores, debe darse primero el coi’iceplo
de integral definida y una definición conveniente de áiea. Más tarde, medíanle el
teorema fundamental del caìculo integral, se relacionan ambos conceptos con la deri­
vada. o mejor dicho con las antidenvadas.
Dedicamos este capitulo solamente a antidenvacion o ‘'cálculo inverso ' do la
derivación. Para ello definiremos previamente lunción primitiva o antidenvatía de una
función f y luego estableceremos cierta técnica de intograc'ón · y^sada en el cálculo
de derivadas ya conocido.
'a
I. Primitiva o antiderivada
Si í es una función delin tía en un conjunto D. la fui don F, definida en el misn'o
conjunto, es una
de f si y so.o si F ea derivablo en D y f es su denvada.
Es decir.
ponUtiv^
F pnrrJtiva de f en D
V x £D : F (x) - l(x).
Obsén/ese que F es una primitiva de f y no 'a pnm-tiva, pues hay infinitas funcio­
nes diferentes cuya derivada es ( (cn el caso en gue haya por lo menos una).
Lalunción F es una primitiva o antidenvacla oe 1. o tacT’bién integral indefinida cJe f.
Ejempios
1) Sea f:x — 4x^.
F^: X -»
386
X*
es una primitiva de f. pues Vx; F‘(x) » 4x^ - í(x).
También F, : x -♦
- 3
F j.:x - * x '
‘
En general. F* x — x^
2) Sea g: X -» cos x.
G :x —* sen x
\ 2 son otras dos funciones primitivas de í.
k es ur«a prtrmtiva de I para cualquier número real k.
k es una primitiva de f. pues Vx: G'(x) = cos x = g(x).
Por lo tartlo, recordando las fórmufas que dan las derivadas, se pueden hallar las
primitivas.
Se comprende inmediatamente que no todas las funciones tienen primitivas.
Además su cálculo no es simple en general, pues funciones elementales pueden
tener primitivas de cálculo muy complicado.
Teorema
Una función f que admite, en un conjunto, una función primitiva F, admite infinitas
funciones primitivas, todas ellas de la forma F r k. donde k es un número real
cualquiera.
D em ostración
t
Si F es primrtiva de en D. por definición:
D· F'(x) = l(x).
Si k es un número real cuafquiera, la función F^ - F + k es derivable y su
derivada es F'^
F'
O - f.
Por lo tanto, existen infinitas funciones que son primitivas de í. Si el dominio-es
un intervalo I. todas ellas difieren en o'oa constante y 1 no admite otra primitiva lucra
de ellas.
En efecto, si F y G son dos primitivas cualesquiera de la función f en el intervalo I,
por definición, V x € l; F'{x) - f(x) y G'(x) = f(x).
Luego, F y G son funciones que tienen la misma derivada. Por una consecuencia
del leorema del valor medio del cálcuio diferencial (pág. 249), F y G difieren en una
constante.
O sea, 3k € R / G = F H k.
Para designar una primitiva cualquiera de la función f suele utilizarse el sím­
fo integrat indefin/da de r .
La función f es el inlegrandoer\ la integral indefinida J*f.
Es más común el simbolo J* l(x) dx, que designa también una primitiva cualquie­
bolo J*f, que se lee "prtm/t/va de / o antiderivada d e
ra de I y fue introducido por Leibniz* en el ano 1675.
Por razones prácticas, los simbotos J*f. J'f(x). J*l(x) dx serán utilizados en
forma equivalente.
’ Godofredo Guillermo, baron de Lcit>oiz (1646-1716). filósofo y matemàtico alemán, oon
p/Dfundos conocimicnios de física, historia, derect^o. teologia y política. Se k>considera "descu­
bridor "del cálcuk) diferencial. pue& publicó sus ideas antes que Newton.
387
Por ejemplo, si f: x - » x \ las siguienios expresiones son equivaler-tes: J*i.
/x ^ /x » d x .
Por otra parte, también son equivalentes las expresiones
Jx^dx. J* t^dt. Jr^dr,
Prescindiremos de la notación d-'erenc al mientras la expresión consideraca ten­
ga una sola variable y no se puedan originar confusiones.
II. Integración inmediata
Los teoremas siguientes, basados en conocidas propiedades de las derivadas,
facilitan el cálculo do primitivas en los casos r:tás simples
Teorema 1
S i f y g son dos fundones definidas en un con¡unto D. F es una primitiva de f y G
es una primitiva de g, entonces F ± G es una pnm^tiva de f .*' g.
D em oslraaon
Para probar que F
G es una primitiva de f = g debe venficarse que
(F 'G ) · ^ í ± g.
Ahora bien, aplicando derivada de la suma (o resta) de dos funciones derivables,
üs(F hG)·
f ' :t G'
(1).
Como F es primitiva de f. por definicjón es F'
f, y como G es primitiva de g.
es G' - g.
Reemplazando en (1). es (F = G)' ^ f í g. y el teorema queda probado.
Esle teorema se goneral-za famlnnnte Dor inducción completa para n sumandos·
·* *1-1
h=i ·'
Ejemplo
J*(x^ ^ sen X f e"*) =
+ J'serix + J 'e '’' =
(-c o s x ) + ( - e *) + k =
- COSX - e * ^ k.
Teorema 2
Si I es una función definida en D. c un número real y F una primitiva de f en D,
enlonces cF es una primitiva de c( en D.
388
D em osíradón
Probar que cF es una primitiva de el significa verificar que (cF)' - cí.
Ahora bien, apficando derivada del producto de una constante por una tuncióri
derivable. resulta (cF)' = cF' <l).
Como f es primitiva de f. por definición es F' = (.
Reemplazando F' por f eri {l), queda la tesis.
Ejempio
J*(3x") - 3 Jx* = 3
+ k.
Teorema 3
x'"*’
x'^' = ----- -------k.
n + 1
;
D em ostración
Por la fórmula obtenida para derivar una función potencial;
( J i l - L . k )· = -Ü íJ J lil- =
Vn- 1
/
n+1
n--i
;
x" =
— -+
k si n
-1 .
Ejemplos
2)
Jx
= | - x " ’ + k, pues ( | x ” + l( ) ' -
A
|^ *
= x
Teorema 4
.
ln |x| + k.
Para verificar la igualdad anterior aplicamos fómiulas de derivaciór>:
1) Si X > 0. entonces ln x¡ = Inx.
Luego, (Inx i k)’ =
2) Si
X
Luego,
< 0. entonces
( in ( - x ) f k ) ' -
fn’x, = ln( x).
—
X
(
D = —
Por lo tanto,
389
Vx:
O ^
J * ·^ “
Obsérvese que no hay error en la expresión
J *“
= In x + k
si el integrando es positivo.
En carTibio. (a fórmula
= ln |x| + k
admite integrando negativo.
O bsérvese tam bióri que la función f / í^'x) ^ ln x es una restricción de
g / g(x) = ln |x|, pues Df = R ‘ mientras Dg - R
- W.
Con la notación diferencial indicada en la página 387 la expresión de los teore­
mas anteriores es:
Teorema 1:
J (f(x ) ± g(x)] dx ■= J 1(x) dx± J g (x )
Teorema 2:
Jc
f(x) dx =
c J*f(x) dx
X^ * *
x'' dx = ---------
Teorema 4:
/
dx
- k
si n -it
-1
n + 1
dx ^ ln |x| * k
Mediante teoremas similares, cuya demostración consiste en verificar simplemente
que la función obtenida admite como derivada a la función inicial, se obtienen otras
fórmulas para antiderivadas.
EJERCICIOS
1)
J *—V
3 ) / ^
4) J\2X- -
5)
6) J ( 3 x ^
+ 5x®)
8) J ( ln 2
-
7)
J ( 7 x - '"
v ^ )
111. Integración por regla de la cadena (sustitución)
Teorema
Si ( tiene derivada finita en D, entonces, para todo número real n ^ - t , es:
390
D em ostradon
Si se aplica la regia de la cadena a la (unción f;
(rn D f·'
f’ = r
V,
que justifica la tesis.
E/empfo 1
JlO»" ■ 5x)‘ .<6x · 5)1 =
/ {3x^ t 5x)^
pues y — ------— —
'
^
{3x-^ ^ 5x)^
7
7 ( 3 x ^ > 55x)^
xf
^----- 7 ------
5) ^
- {3x^ - Sx)·^ (6x I 5).
Este tipo de integración puede utilizarse en otras funciones compuestas, además
del caso anterior en que se consideró especialmente una función de upo potencial.
El método se apoya en la aplicación de la regla de ia cadena para derivar funciones compuestas.
Ejem pk} 2
Consideremos
cos(in x ) · ^
J
En esle caso, cos (ln x) indica una fundón compuesta, y la íynctón exterior cose­
no tiene primitiva inmediata seno.
Además, está multiplicada por la derivada de ln x. que es
O sea. puede escribirse
/
cos (ln x) —
J [sen (ln x)j'.
pues, aplicando la regla de la cadena, es
[sen· (Inx)]· =
Por ío tanto, J cos (Inx) —
cosífnx)
- sen (ln x) -
k.
En generar. J*^f[g(x)j g’(x)^ - Flgí»*)! ‘ k, donde F·
f.
Para comprobarlo;
(F[g(x)] f k)' ^ F-[g(x)J g'(x) = f [g(x)l · 9 ’(x).
^Q i
El cálculo cíe este* lipo de integrales parece compíicodo en sus corriienzos. pues
su éxilo depende de pode' indicar la lunción compuesla cn (orma tal que ia función
exterior lenga p'imitiva ¡nmcdiata y figure la denvada de la función interior
E¡emp!o 3
Considérennos J * ;5en(x')o<'l.
La expresión sen (x^ corresponcc □ una función compuesta, conde -a funcióT
exierior seno tiene prinriMiva mmediala y. aunque ro aparece la derivada de x'·'. basl<5
agregar ja constante requerida.
En efecto:
J'|sen (x'*) · x'·] -
J*[sen(x^) 5x^j -
cosíx')
· k
Para comprobarlo:
^ ·· —
\
cos(x‘’ f ' k V
^
'
- - - sen|x^j 5 x ' =scn(χ··¡ ·x ^
O
S e fia v is to ta m b ié n , a l e n u n c ia r e l te o r e m a a n te rio r, q u e la ló rn ’ u la
k
n t 1
Recordando que si
resulta
J * ( f‘ ' f )
-
y = ln f(x)
J *(t ^
no es válida
os
y'
I f
si n ^
- 1.
l'(x).
^
Bjempio 4
f
J
^
x^ - X
In x ’ - x ^ k
E/empío 5
J
X- - 6x « 1
3 J
X'
-L
6x - 1
r - , 2 í L ^
3
- j . , n |x ^ . 6 « . .1
La fiabilidad para este tipo de integración sólo se adquiere con !a práctica. Una
forma mecánica de iniciarse es ap'icar una sustitución conveniente de variable, que
resulta más sencilla si se utiliza la notación diferencial.
Consideremos los mismos ejemplos anteriores:
1)
J (3x^ + 5x)^ {6x ' 5) dx.
Hagamos t - 3x" - 5x.
Luego, dt = (6x
s
Sustituyendo, es:
'=
392
5)dx.
J (3x^ ♦ 5x)® (6x ^ 5) dx =
, K = J 2 i! ± Ü lL
. K.
2)
J*cos{ln x) ·
dx.
Hagamos t = ln x.
Luego,
J
Sustituyendo, es:
dt = -^ dx.
cos(ln *)
dx = J*cos I dt =
sen I - k =« s©n(ln x) +
3)
J*sen(x®)
x*dx.
k.
Hagamos la sustitución t = x^.
Luego, dt = 5x‘*dx
y
x'‘dx - -^dt.
Sustituyendo, es;
J*sen(x^) x^ dx = J*sen t
4)
I
J
^^ dx.
+x
Luego,
Sustituyendo: f
J
5)
^ ^ dx =
f ^ r —
J x^ + 6x + 1
f
dx.
I
Hagamos t = x* + 6x ^ 1.
di = (3x^
+ 6) dx
dt = 3{x^
h 2) dx
^
=
cos(x^) + k.
= lnjt| f k = ln|x^ + x| f k.
+ XJ
Luego,
Sustituyendo: f
J
O
= x^ - x.
dt = (2x + 1)
X
J*sen I dt =
{-e o s t) ^ k =
&
Hagamos !
dt =
^—
+ 6x + 1
ln|x^ -
-
(x^ + 2) dx.
dx = 4* f
3 J
t
’
4 - 'ri|t| + k =
3
"
6x + 1', ^ k.
Oíros ejempfos
6)
f
3x^ 4 5
^ dx.
V x ^ + 5x
Sea l = x^ + 5x.
dt = (3x* f 5)dx.
Luego, f
J
f
^ ^ · dx =
V x " + 5x
J
=
\/r
fl^ d t
= 2 t^ + k
=
J
393
= 2V x^
7)
J * sen® X cos x dx.
+ 5x - k.
t = sen x = j
J*sen^ X ■cos x dx = J
8)
f ■
J
dt = cos x dx.
- k.
- k =
dx.
I = x=^ * 5χ2
=» dl = (5x^ + I0 x)d x -
+ 5x
^
r ^ 2
x
^
J X* +5*^
= 5(x^ ^ 2x)dx.
r J i^
I
J
=
J.
5J t
= 2
5
ln , ,
^
k
=
= ■— ln|x* 4 5x^1 + k = In V |x^ · 5 x '| + k.
O
EJERCICIOS
1)
2) J t g x
f - ^
J a
X
4) n s e n ^ x (-c o s x )]
3) J [ ( x ^ f 7)*^ · 3x^1
5) J [( 2 x *
■ 3x)=^'^ (4x^
t)l
J
7)
x^ f 3
Θ) J*[(cos^x - x^) (cos^ X sen x - x^)]
sen^x
9) J [ ( 3 x ^ - 2x)*'®
0 ]
/ “
64x^
— sen X + x^
c o s x - x=
12) J l(3 x ^ + 2 x ) ·' (3x + 1)]
13) J* (cos^ (3x) · sen(3x))
14) J (x ^ V x * - 3)
15)
16)
f _ l±
^ J
3
^
(2x - 3x^)^
17) J * [sen x c o s *x ]
19) J*lx*se n (x^
21)
394
J
xV x"
J (5x
^ 3)®
18) J (6x + 7)’^
3)1
x + 1_
2x
23) J [ x c o s ( 1 - x^)]
rr
25) J {3x" h 2)» ^
2 6 ) / sen (2x) V cos {2x)
28) J[3>"'> -e *]
29)
30) J flg ^ x sec^x)
f f 2 '’ " — ^ )
J \
co s'x f
IV. Integración por partes
Si observamos los ejemplos qua se han resuelto por sustitución (pág. 393), ve­
mos que el integrando está formado en todos los casos por el producto de dos fun­
ciones.
Ahora bien, no hay fórmula para hallar la primitiva de un producto.-yar-que la
derivada de un producto no es el producio de las derivadas. Por lo tamo, en todos los
casos presentados en la sección anterior, para aplicar la regla de la cadena debimos
descubn'r primero si uno de los factores correspondía a una función compuesta y el
otro a la derivada de la función interior.
Es común al resolver ejercicios que se presente la integral de un producto, donde
no se cumplen fas condiciones anteriores y no puede, por lo tanto, recurrirse a la
regla de ia cadena.
En esos casos, si una de las funciones es integrable en forma inmediata, se
recurre al método de integración por partes, que utiliza el cálculo inverso al de la
derivada de un producto de dos factores.
Sabemos, por regla de derivación deJ producto, que
(fg)' = l'g * fg·.
SI todos los términos son integrables, es;
f (fg)· = f
(Ca) + f (fg·).
O sea,
fg +
y
k=
J ( f 'g ) ^ J ( íg · )
/íf'g) = fg - f(ig ) - k,
que es la fórmula de integración por partes.
Obsen/emos que en el primer miembro de la fórmula aparece como integrando el
producto de dos funciones, una de las cuales, t \ tiene primitiva inmediata f.
Nota: Para abreviar la notación, al buscar primitivas agregaremos la constante
recién al finalizar los cálculos.
k
Ejemplo 1
J*(x · ln x)
Al observar el integrando se ve que no puede aplicarse la regla de la cadena,.
x^
pero uno de los factores, x. liene primitiva inmediata
Luego,se puede intentar el procedimiento de integración por panes.
J ( X
In x )
f(x ) -
g(x)
g(x) ^ jn X
l ’(x)
x
f(x) =
g'(x)
Aplicando la fórmula,
J ( x in x ) -
^
in *
-
" f ) ’
f(x) g(x)
f(x)
g’(x)
-J í‘
2
- i l·
‘
Ejemplo 2
J ( « ' x ')
En este caso tampoco puede aplicarse direclamenie la regla de la cadena.
Para integrar por partes hay dos posibilidades, pues ambas funciones tienen
primitivas inmediatas. Es necesario, sin embargo, elegir x’ = g(x), pues de lo conx3
trario. si hacemos f'(x) = x^. es f(x) = —— y el ejercicio se complica.
\j
Luego.
í'(x) = e*
f(x) = e'
g(x) = x^
g'(x) =. 2x
Resulta;
J*(e* x^) = e* ‘ X^ - J*(e* 2x) = e“ x* - 2 J 'te ’ x)
(1).
Oet}e recurrirse nuevamente al método de integración por partes para resolver
f (e* x).
í'(x) = e*
g(x) - X
f(x) = a*
9'(x) = 1
J *(e * x) = e ' x ~ J*®" » e* 'X ^ e “ + k'.
396
Reemplazando en (l), es:
J (e *
x^) = e*
- 2(e‘ -x -
e’
· k') = e* x'
2 e ' · x + 2 e*
k.
Ejem plo 3
J'senílnx)- i_
f'(x)
g(x)
J* sen(ln x)
1
f(x) =
- sen(lnx)
^ x sen(ln
X
g'(x) = cos (Inx)
“ J* * cos{ln x)
■
=
■= X sen(lnx) - J*cos(lnx)
(1).
Aplicamos nuevamente integración por panes para resolver
J* cos(ln x)
í'(x)
g(x)
J*cos(ln x)
=
X
t(x)
1
- cos(lnx)
-
X
g'(x) = - s e n ( ln x )
cos(ln x) ^ J* x sen(ln x)
X cos(ln X) ·
··^
”
S 9 n (ln x).
Reemplazando en (1), es;
J sen(ln x) = x sen(ln x) -
x cos(ln x) - J*scn(ln x).
En este ejemplo, continuar la integración por partos significa iniciar un circulo
vicioso. En cambio, si se pasa el último término al primer miembro, es;
2 J sen(ln x) ^ x sen(ln x) - x cos(ln x).
J*sen(ln x) =
x Isen(lnx)
cos(lnx)! » k.
EJERCICIOS
i ) J ( a ‘ e ·)
2) J(x»ln K )
3) J ·( x e ·)
4) J are sen x
5) J ·(x ’ e ■)
6Ì J (x sen x)
7) / ( e > senx)
0) J (e* cos x)
397
9) J c o s (ln X)
11) J
10) J* arclg x
*
e ^ cos(2x)
12)
cos(5x)]
13) J*are sen (bx)
14) J * [e ^ sen(4x)]
15) J a rc c o s (a x )
16) J ( x ^ a rc tg (3 x )]
j
17) J ( x ^ 5 ')
sen(lnx)
19) J*[co s(3x)a ’‘ ]
20) J ln (x ^ + 1)
21) ^ [ 3 ' sen(3x)l
23) J (2* x ')
22) J 15" cos(5x)]
t
24) J e " ' cos(3x)
25) J ( x e
26) J (S^e^*)
"*)
28) / [ 3 ^ « > s ( | ) ]
27) J fe * c o s ( 5 x ) l
x'' + 5
29)
30) J x ^ V 9 + x^
V. Integración de funciones trigonométricas
Para integrar potencias y productos de potencias de funciones trigonométricas
se recurre a fórmulas conocidas de tngonometría.
Recordemos que
y
cos^x + sen^x = 1
cos^x - sen^x = cos2x.
Sumando,
2cos^x = 1 + cos2x
cos’ x =
2sen*x = 1 - cos2x
y restando,
1 - cos 2x
2
sen^x = ----------------Primer caso: potencia impar de seno o coseno
1) J s e n ^ x = J ( s e n x
= J sen X ■
398
sen^x) = J
J (sen x cos^x)
(s e n x (1 -c o s ^x )! =
=»
rs e n X es integral irimcdtata. y en f (sen x cos^x) se aplica la regia de la
cacfena.
Resulla J 's e n x
= -
■»
sen X -
/
cosx ■* ·< V J*(sen xcos^x) -
COS^X
- cosx - ^ — + k.
2) J*sen®x = J'isen x · sen‘*x) -
J *[s en x (l
=· J*senx
= -
- k.
J
[sen x(l-cos^x)^] =
2cos^x + co$‘‘x)J ^
- 2 J" (sen x cos^x} ·-
J
(senxcos*x)=
2
1
cos X + ' r cos^x - — cos^x - k
3
5
En general conviene recurrir al siguienle factoreo:
J*sen^"''x - J'{sen X · sen^x) -
J
=
[sen x(1
J'jsen x(ser>^x)‘‘]
=
cos^x)' |.
Análogamente;
J'cos'^^ 'x = J*(cos X · cos^*'x) ^ J'fcos x(cos^x)‘']
= J'[cosx(1
sen^x)*'].
Segundo caso: potencia par de seno o coseno
1
oos 2x
-
I -------- --------
sen^x
„
J
2
- 1 fc o 5 2 . -- i
2 J
2
± J (,
2) Jcos«* - J ( '
“
4
por fórmula anterior (pág. 398)
^ i
‘ i
^5E12>L . k.
4
. 2C03 2X ■ cos^2x) »
“
399
^ 4
" f sen 2x ^ 4*
4
=
■
JL +
4
sen 2x
4
3x
8 ‘
sen2x
4
+ A
8
r ■* + 4 ·
4x
4 Bfoos
J
+
sen 4x
32
S6n4x
^
=
8J
_
.
^
32^ ·
En general, conviene hacer:
J sen^'^x = J (sen^x)P = J (
y
/e o s » «
1 - cos2x V f
2
)
= /(c o s ^ )- =
Tercer caso: producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar
J * (sen^xcos^x) = J [s e n ^ x o o s x (t
= J (sen^x cos
sen^x)] =
~ J* {sen*x cos x).
Las dos últimas integrales se resuelven por regía de la cadena;
J (sen^x cos x) =
~ l<
J (s e n *x cosx) = — ^
Luego.
k
J(se n ^x co B ^x ) =
+ k.
Cuarto caso: producto de potencias de seno y coseno
con loa dos exponentes pares
/( s c n 'x c o s ^ 'x ) = / ( - L
y se recurre al primer caso.
400
l
^ Ü Í-.-H ^ Ü L )
i
.
/ ( I -« « *2 *) = / t
- 7
/ “ «
EJERCICIOS
l)J * s e n ^ (7 x )
3)
J
5)
J 's e n ‘*x
2) J'c o s ^x
(sen^x cos^'^x)
4)
cos^2x)
6) J'co s^O x )
7) J (sen=*'*x cos^x)
9)
J
8) j
J (s e n ^(4 x )c o s ^ (4 x )]
(v c o s ^ x sen^x)
10) J s e n ^(3 x )
11) JC sen^íax) cos^{5x)]
12) J* sen^ ~ \ J
eos
s e c'x
15) J*5h"(3x)
16) J c h ^ (4 x )
17) r ™ — — T “
J 2 + 3 COS^X
16) f se cx dx (véase pág. 418)
r- 3
,
J
VI. Integración de funciones racionales
Si se quiere integrar el oocienie de dos (unciones polinómicas y el grado del nu­
m erador es mayor que el del denominacíor, primero debe efectuarse la división.
Por ejemplo,
= J - (* = -
■x
1.
=
,2
-
x + ln ¡X + 1| -h k.
Al efectuar la división de dos polinomios llegamos a un polinomio cociente, y el
resto, sobre el divisor, da origen a una (unción racional. En ella, el grado del numera­
dor es interior en una unidad, por k) monos, ai grado dol denominador. En ei ejemplo
anterior, dicha expresión: ^ ^ ^ pudo integrarse inmediatamente.
En otros casos se la debe descomponer en fracciones simples, como se indicará
a conlinuaclón.
Se ha visto que al efecluar la división resulta:
= qW +
y g ra d o r < gradog
o
r = 0.
La integral de q es inmediala, ya que q es un polinomio, y el problema se reduce
a integrar el cociente de dos funciones polinómicas cuando el grado del numerador
es menor que el grado del denominador.
401
El paso bàsico en este mètodo de integración es la descomposición del cociente
en fracciones simples, para lo cual deben hallarse primero las raíces del polinomio
correspondienie al der^ominador.
En álgebra se demuestra que cualquier polinomio de coeficientes reales puede
expresarse como producto de polinomios, primos sobre R. lineales o cuadráticos.
Se presentan cuatro casos según que las raíces sean reales o imaginarias, sim­
ples o múltiples.
En todos los casos consideraremos solamente la integración de funciones racio­
nales propias, es decir, de tuncíones racionales en las que el grado del numerador es
menor que el grado del denominador.
Primer caso: Las raíces del denominador son reales y simples
(El denominador se expresa oomo producto de polinomios lineales diferentes)
Ejemplo 1
/
1
x^
(1 )
X -
6
Las raíces del denominador son r, = 3
Luego,
- x - 6 = (x - 3)(x + 2K
descomposición en fracciones simples;
x -6
rj = - 2
y la expresión (1) admite la siguiente
1
x'
y
A,
A,
x -3
X i- 2
Falta calcular el valor de A, y A j.
Para ello sacamos común denominador en el segundo miembro;
1________ A ,(x > 2) + Ag(x - 3)
x^ - X - 6
(X
3)(x - 2}
Igualando numeradores;
1 = A ,(x + 2} + A¡y(x 3).
La expresión anterior debe verificarse para cualquier valor de x. Por lo tanto, se
procura elegir valores de x que simplifiquen los cálculos.
Luego,
-^ 2 . es
1
= A jí
1
- A, · 5
y
f - . . - ! ---------- ^ i . f — ! - J x ‘
x -6
5 J x -3
1
Si
x
Si
X-
3, es
4D- ln |x
5) y
=
A, ^
f — ! -
~ y ·
-4·
O
»
5 J X - 2
3| - 4O·
X -3
X+ 2
402
Aj
+ k.
I*
^1 +
=
Ejemplo 2
/
9x^ - I6x + 4
- 3x^ + 2x
r? = 1 y
Las raíces del denominador sor> r, - o,
Luego,
^
= 2.
- 3x^ f 2x = x { x - l) ( x - 2 )
9x^ - 16x ■>· 4
^
x^ - 3x^ + 2x
^
X
Aj
x -1
x -2
Por lo tanto,
9x^ -
l$x + 4 =
A,(x - 1)(x - 2)
X » 0
^ Ayx(x -
4 = A, 2
x -1
=:>
X -2
=»
L
u
e
g
o
, f iif —!fl2J.
J x^ - 3x -- 2x
=,
\
- 3 - A j ( - 1) =>
8 = A» ■2
2 f l
j
X
=3
* 3
2) - Ajx(x - 1).
A; ^
3
A« =
4
f - ^
J
x - 1
- 4 f - L J X -■ 2
= 2fnlxl - 3 ln |x- 1j - 4 ln
Consideremos, en general, la integral J
.
x 21 + k.
, donde el grado de p es menor
que el grado de g
Sea g(x) = a ,x"
f
... ^ a .x
» a^,. y r,.
r., sus n raíces reales.
El polinomio g(x) admite sobre R 2a siguiente faclorización ümca:
g{x) -- a,.(x r,) ( x - r , ) .... ( x - r j .
^ - 0· m
- ir
A,
X
A,
r,
X
r.
X - r. /
rrrl
Segundo caso; Las tafees del denominador son reales y múltiples
(El denominador se expresa como producto de polinom ios lineaíes, algunos
repetidos).
4(W
Ejempto
x^ - x + 4
/
1)^ "(x ■
■(X
2]
La descomposición en fracciones simples exigo que
__ ^ A}
^ A3
(X - iT" ^ X - 1
x^ - X - 4
1)^ (X - 2)
(x
x - 2 '
Sacando minimo común denominador en el segundo mienfibro, e igualando los
numeradores, queda;
- X + 4 ^ A,(x - 2) - A2 (x
x
-
=^
2
X -
6
- A
a
1
1) (X - 2) - A.(x - 1)^
=» A 3 - 6
i=^4^Ai(-1)=»
Al
4
Se necesita otra ecuación para encontrar A^, Como no existe otro valor de x que
anule alguno de lossumandos, conviene elegir cualquier valor que facilite loscálculos.
X - O => 4 -2A , ' 2Ay A j Reemplazando A| y Aj por los valores ya
obtenidos, es 4
8 - 2A^ ^ 6
10
2A? ^ A? 5.
L u e g o ./
77V
‘ ^/
4 f (x - 1) ^
J
s
6 ln |x - 2|
5 ln ,x - 11 +
/
, e
/ ^
^
— ---------- ------------ 5 ln
x - 1
I 6 ln ¡X - 2 - k.
En el ejemplo anterior, la raíz r, - 1 es una raiz doble (de orden 2). Si aparece
una raíz triple, como en el caso siguiente, la descomposición en fracciones simples
es:
r
J
P(x)
(X -
(X
1)^ (X
^
3)
A,
(X
A?
- 1)^
(x - 1)^
A:t
X
1
*
3
Si aparece en el denominador una raíz múltiple de orden k, debe hacerse
k
A.
r)'
( X - r)·
En general, si el grado del denominador os n, la descomposición debe hacerse
en n fracciones simples de la siguiente manera.
________ Píx)
____
an(x - r , ) ' (X r ^ r .. . .(x
,
_ L ( v — ^ ------a,. V ,·^ (X r,y
donde k < h -
404
f;>)'
. v
,4 ; { x - h í
... + e » n.
— fi— )
- rp )·^
(X
x-
Tercer caso: El denominador tiene raíces com plejas, no reales, simples
{En el factoreo del denominador aparecen polir^omios cuadráticos irreducibles, to­
dos distintos entre si)
Ejemplo 1
9x'
Ei poiinomio dei denominador es irreducible, pues sus raíces son
En este caso la expresión anterior puede resolverse utilizando la derivada de
arco tangente y la regla de la cadena:
-
-
r — 7 = f — r are tg (3x) · k.
J 1 - 9x^
J 1 - (3x)^
3
Gomo ya se ha dicho anteriormente, la integral anterior puede resolverse tam­
bién por sustitución, para lo cual es conveniente utilizar la notación diferencial.
Haciendo u = 3x.es du = 3dx y resulta:
f ------ ^ d x
J 1 - 9x^
=
f ------du = ™ are tg u - k =
3 J 1 f u^
3
Ejemplo 2
2x + 10
También en este caso las raíces del denominador no son reates y el polinomio es
irreducible ©n R.
Para poner en evidencia la derivada deJ arco tangente, conviene completar el
cuadrado para llegar a una expresión del tipo u^ + 1 (véase pág. 62).
x^ - 2x -
10 ^ (x’ h 2x) t 10 -
(x^ + 2x
1) + 9 =
La operación de completar el cuadrado es simple una vez que se ha practicado
convenientemente, y la clave está en sumar y restar, en forma adecuada, el cuadrado
de un medio del coeficiente de x (si el coeficiente de x^ es el número 1).
dx
405
Haciendo
1
r ____
9
J^ ^
^
X II
I
— - — . es du = — dx
O
J
-
ü
±
--
^X- 1
r_ _3 .rfy_
9 J
= j
y
dx ■- 3 du.
± r ___ L _
-
1 ' u^
3 J
Resulta
du
=
1 * u"'
arctgu - k - - j a r c l g - i - ^
♦ k.
Ejemplo 3
xi 2
;
x^
x"
-
1
- 1 = (x - 1) (x^ - X * 1). pues tiene raíces r, = i,
r
= -1 +
2
» v ~^
2
V
2
f
= ^
^
^
‘ V^
2
2
Enesle caso la descomposición factorial es de) tipo:
_________p{x)___________ A.
(x - r.)(x^ 4- b X + c)
'------- »------ ( x -í^ X r -r j)
ES decir. 4
^
=
X
x ^ 1
=>A,
x ^ O
=»A,
=>
^
=»
A j)(x
1)
A, ^ 1
- Aj ^ 2 = » A 3 - A ,
- 2=>
Aj ^ - 1
A, + ( - A , ^ A j ) ( - 2 ) = 1
2A,
1 1 2A^
-
-
2Aj =
· 2
1
1 =>
A j = —1
/(t4 t ^
=
=
f_ J _
J
X
1
La primera integral es inmediata;
406
x^ i bx - c
x^ ' X 4- 1
3 = 3
A, -
^•^0·
1
- 2 = A, ( X ^ f X + 1) - (A-x
X
-1
X - r,
4 -Ì2 ÌlJ b _ .
x^ - 1
X -
A;X f A j
J
X* 4 X + 1 ■
f — í— = ln |x - li + k.
J X~ 1
La segunda ¡nlegra'
resuelve con'ko suina de dos integrales, una de ellas
mediante logaritmo y i*
mediante arco lartgente. Para la primera se busca como
numerador la derive#-a del denominador, para que la primitiva sea :n(x' · x ^ l).
El numerador buL- -ado as 2x
+
1. Para obtenerlo se introducen lasconstante
cesarias, de la '■lanera siguiente:
X > 1 = — 2x -
2
J
X
-
1
{2x ^ 1) - — .
2
2
2x - 1
JÍ
X^ « X + )
1 = ^
1
i f
x^ + X + 1
iJ= 1
ln (x= + X - 1)
I -i J
/
1
3
'7
1
= -i ln(x^ + X- i)+ -I- J
i - p y- - I 1
= 1
X ' - X i t)
· 1
3
r —
----------
J
,
V 3
-
Y ln(x
X - 1)
-
\ ~3
,
2x +1
—T— arclg ------^ k.
3
V 3
,
En definilíva:
x * 2
- ln ,x
ln (x^ ! X ■ 1)
v' 3
.
2x - 1
------- a r c lg ------ ----- t k.
3
V 3
Como se observa en el ejemplo anienor, los cálculos se complican. Por ello es
necesario ir graduando los ejercicios y no dar demasiada imponancia a las dificulta­
des que sobrevengan antes de haber efectuado una práctica muy intensa.
En general, en este caso, la descomposición es del tipo:
rM
q(x)
^
A-.x
ax^ + bx ‘ c
mx^ - px - h ’
donde q es un polinomio de grado n, con n raíces complejas, no reales, diferentes
(las ralees complejas se presentan en pares conjugados).
♦ Cuarto caso: El denominador tiene raices complejas, no reales, múltiples
(En el factoreo aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos)
407
Ejemplo
3x^ -> 2x
/■
(x^ + 1)^
A,x
3x'
2x
(x^ * 1)^
x=* -
3x^
-
- B,
^
(x^ + 1)^
r 2x3 = .(A .X ^ B ,)
X' T 1
i (A^x + B^) (x^ + 1)
3x^ + 2x - 3AjX=* - B^x^
r (Aj
^ A ,) x i (8, i
B ,)
(1)
Debemos encontrar cuairoecuaciones que permitan haltar los núnieros A ,. 8 ,.
A j y B,.
X = O B,
B, = - 3
X = 1
A,
B, -
Aj
=1^ A;
B j + Aj
Bg
= -3
~ 2A.
3
Bj
=
3
2Aj
» By
=
O
A,
=
X
-A |
-1
+ Bj
Aj
Bj
=> -
A,
3
2Aj
A,
- 2Aj -
=>
x - 2
2A, -
B, -
6A, -
=í>
=5
- Aj + B j
· Bj
B,
4B j - 2A^ -
8^ =
2A, + lO Aj + 4B^
A,
I 5A j i- 2Sy
3
=
O
=
O
Para hallar A ,, B ,, A j y B^ debe resolverse el sistema:
Bf
+ 2A^
t
Bj
-
O
A,
I 2Aj
-
Bj
-
6
A.
5A,
;
x^ - 3x^ !· 2x - 3
i
A^ = 1 y
_
X
1)^
r
J
(x^ - 1)^
r ___ í ____^
J {x^ - 1)^
O
2B,
B, ^ O,
^
408
3
A,
Se obtiene A, = 1,
Por lo tanto,
(x^
B^i “
B j = -3 .
^ r x -
J
3
f 1
r ____ í _______ f
J x^ + 1
3 _
J X* + !
I
1
+
Ifì(x ^ -l)
- 3 a rc lg x
· k.
En este caso, sf el potinomio cuadrálico irreducible (x^ - bx - c) se presenta k
veces en el denominador, la descomposiciór» correspondiente en fracciones simpfes es:
p(x)
^
(x^ * bx
c )‘‘
^
(x^ ► bx ^ c)
Otro método
Planteada la descomposición en fracciones simples según cada caso, ol proble­
ma de hallar [as constantes A,, Ag......A„. que suelen llamarse cooficienles indeter­
minados. se simplifica a veces teniendo en cuenta la definición de polinomios iguafes.
En el ejercicio propuesto en la página 408 se ilegó a la expresión (l):
x^
3x" - 2x -
3 = A.x^ ^ BjX^ -
(A ,-A ,)x -
Para haJíar los números A .,
0 , y 6^ se eligieron valores de x que permitieron
determinar un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
Si tenemos en cuenta la igualdad de funciones polinómicas, los coeficientes on
ambos miembros deben ser respectivamente iguales.
O sea, A^ = 1 A
= -3 A A^ * A, = 2 A B. - B;. =
3.
Luego. A^ = 1 a
dos por ef método anterior.
3
a
A, := 1 a b , - O, valores también encontra­
Ejempío
r
J
X"
x‘ - 5
2x^
^
x
fT — J L X
Resulta:
{A ,+ A ^)x ’
I í 2A,
A;. *A j)x
A, ^ x^ - 5.
i
Igualando coeficientes;
A,
=3
Aj = 1 A - 2 A ,
A, =
-
5 A Aj = 6
Aj
A3 -
A3
O A A,
-
5
- 4.
409
EJERCICIOS
Ceso 1
1)
' J
2 )/
+ 5x
X* -«- 2x 4 1
3x - 5
x^ + 5
x^ --3 3X--
f
X^ 2
χ2 + 3X +
5) f - ^
J
X 4-
1
/
x^ + 6x - 8
Caso 2
.Λ\
J l í T i2?)^ x + 3 )
r 3x" - 3x^ - 24x* + 36x^ - x
J
X
(x-2)*{x+3)
12) f ------------ -- -----------J x^ + 4x^ + 5x + 2
i*
(x + 1)*(x-2)
/
x=* - 5x^ ^ 8x - 4
/
X* -*- 2x^ J- χ2
■)5) Γ ______ -~ ^_________
' J x" - x^ - 5x + 3
/
(x -5 )» (x n )
X x^ - 6x^ + 9x
19)
f
21 ) /
2x H. 1
{x + l)^ (x -3 )
x° l·
23) p
~ 6x^ - 5x^ - Sx ~ 1
x^ - 2x^ + X
22) f - j -----------------------J x’ - 7x’ - 5x - 75
+ 2x* -· 5x^ - x^ + Sx -· 2
x’
-
X* -
X j-
1
Jr
χ·* + X® - lOx^ - 3x + 25
X x^ - v2x^r -4x - 8
Caso 3
25) f
27)/.
410
1
X* + 7x^ + 5
x=* - 4x + 7
^ ® '/·
X^ 4 4x - 1
««V Γ
X* + 4
J
x»-7
X* - 2x^ + 2x* -4x^ + 3
Ü^Ti
5x^ - X
5
-
X* - x ^ + X
ÌT ^
33
f
J
«· ^ 3X»
“>
- JL
x^ + 1
34)
x^ ^ 3
J
x^ -t- 5
“ '/v T T T T
St ^
“ >Ì
->
Y ^
«>
“" ’ /
(x + D V + 1 )
“* * /
43) r ----------—Í-------------J x^ + 2x^ + x-»-2
X“ - 1
44) r ------------—^----------J x ^ + 2x* + x ' 4
Caso 4
/
x (x '· 2x+2)*
J* X* + 8x’ t 16
/iS ^ F
M ) Calcular las siguienles integrales:
a)
r
J
____________
x^ - 2x + 1
b)
j
(X '3 )
^VII. Integración de funciones Irracionales
Para integrar funciones irracionales se pueden ¡ritentar distintas sustituciones.
Consideramos, en especial, la integración de expresiones del tipo:
— ,
■^
= · . cuyo denominacíor es la raiz cuadrada de un polinomio de
V -a x *
bx + c
segundo grado.
Estas integrales pueden resolverse meíjiante cambies de vañable quo conduz­
can a tunciones trigonométricas o hipert>ólicas inversas.
Las pnmitivas que se ulii?zan son:
= are senx * k
- argsh x -r k
V 1 ‘ X"
— I
= arg eli X - k
1
-
El radicando apropiado se obtiene por el método ya utilizado de completar el
cuadrado.
Ejem plo 1
_______ dx_______ _
V
8 + 4x
p ___________ dx
4 x^
\
J
a
(4 x * -4 x -1 ) I I
dx
V 9 -(2 x
^
ó\ ^
3
j
dx
-ií
t = — — —
3
f __________ dx
^
D"
=» dx = — di
2
^dt
Luego. “
f
^
3 J v T
T f— ■
^ J \/l
^
= 1 ^psen
2
= 4·
2
3
sen t -
k -
“ í'·
£ je m p h 2
/
412
dx
V x^
„
10x
r __________ dx__________ ^
J
V (x^ + l0 x + 2 5 ) - 25
r
dx
J
\/( x + 5 ) ^ - 25
f __________ dx__________ ^ J_
r _______ dx_______
V -u §
= arg eh - — - + k
Ejemplo 3
/
dx________ _ rf __________ dx
dx_________ ^
dx
V x^ - 6x - 90 J
v (x ^ -6 x + 9 ) + 81
rf
____
dx
J q ^ / , . x=^-6x~+9
V
f ________ dx
■ ’ • 'n/
_____
- 3 \?
57
= arg sh ^
9
+ k
? )
m
La ìrìtegración de expresiones irracior^ales del tipo V ^ ^ " T 3 7 T T p u e d e resol­
verse por cambio adecuado de variable, recurrierHjo de preferencia a fórmulas trigo­
nométricas o a furìciones hiperbólicas.
E je m p lo
1
J
\ / 9 - x ^ dx
Se busca llevar el radicando a ia forma l
u^ para hacer la sustitución
u = s e n t, de donde resulta \·^ 1 -· sen^t = co st (análogamente puede hacer­
se u = cos I).
/
dx = ;
V s [ i
( i ) ^ ] dx = 3 /
Como el integrando es \ / 9 - x'"^, debe ser jx|
en R la sustitución:
v
' M
Ì r
3. Por lo tanto, tiene sentido
X = 3 sent.
Luego, es dx = 3 cos t di.
3 J \ / 1 - s e n ^ t-3 c o s td t. = 9
J
cos^tdt = 9 J —
dt =
cos 21 d i = ~ t + - - sen 2t i k.
De la sustitución — = sen t, resulla l = are sen —
3
3
Por lo tarìto. J*
o
X
9
9 - x ^ dx = — are sen — + — 2 sen \ cos I -r k =
413
|a r c s e o |. | . | V
=
are sen
V' 9 - +k.
Ejem plo 2
J
dx
V 5 - x ^
Para caleular esta integral puede intentarse una sustitución mediante funciones
hiperbólicas, recordando que 1
sh^l =» ch^t.
Connoel dominio del integrando es R y el recorrido desh también es Fl, puede
hacerse; — ^
V 5
= sh t. Luego, esdx - V T
chtdt.
I ^ 5 J **v ' 1 + sh^tchtdt = 5 j*c h ^ td l.
Para resolver esta integral conviene recordar que las funciones hiperbólicas ad­
miten fórmulas similares a las trigonométricas;
ch^t +
sh^t = ch2t
ch^t -
sh^t = 1
Sumando;
2ch^t = ch2l
+
1.
Pesiando;
2 sh^t = ch 2t
-
1.
Luego,
5J c h ^ td t
=
4
4 - sh 21 -
2 \T s
= ^
A ^A
=
\ /
J (c h 21 +1) dt = ‘I
2
^
+ k = 4 - · 2 Sh t
4
5
Jch
· ch I - 4
^
2
5 + x^ + - j arg sh
2t di
+ k.
Jdt
=
arg s h — ^
^ k =
\/S
EJEfìCIClOS
dx
1) f ---------- 5J
\/3 -
2) f
J
;
V 3x + X'
3) f
4 ,J .
<««
V 2x^ + 3
J
,
V x ^ + 3x - 1
6) J * V x ^ + 4x + 5 dx
5) J \ / 9 x * - 16 dx
7)
9)
J
f
J
dx
” 2x - 7 dx
,
^
—
>/28 - I2 x - X
dx
1 0 )/-
V 2 x ^ 4- X - 10
dx
11) f - ^ ± À
=
J V 9x^
6x + 2
1 2 )/.
8x - n
dx
V 2 x - x^ 4- 5
♦Vili, otras integraciones por sustitución
Finalmente vamos a resolver otras integrales de dislinios trpos recurriendo a
cambiòs convenientes de variables.
Comenzamos con algunos ejemplos donde vuelven p aparecer funciones irracio­
nales, pero donde necesitamos sustituciones más artifìciosas que las empleadas an­
teriormente.
Ejem pio 7
Calcular I, =
f ------ \ ·■
J
. - dx.
x" n/k'' -
Para este tipo de inlegrales es conveniente elegir una nueva variable, y para ello
resulta bastante simple considerar el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo
.auxiliar Pensando en la expresión \/ x ^ - a^, es lógico asignar a la hipotenusa el
valor X y a uno de los cálelos el valor a.
\/x ^ -
Para el ángulo agudo t, es cos t = — .
415
Por lo tanto, x -
dx ^
cos t
oosM
dr.
V x^
Además es sen t =
Reemplazando valores, queda:
cos^ t
cost
a se n t
a^
a seo i
cos^ t
J
I r
I. = — j - I c o s td t
di
J
= I, „ ^
a*^
1
I, * — ^ se n t
a
2 !»
v iH
X
Z
k
, ,
Ejem plo 2
Calcular \¡ =
dx.
/v
X = a sen t
Además, v^a^
x ^ = a co st.
a^ sen^ t
d eos t
/
\¿ ^
1
(t
dx = a cos t dt
a c o s )d (
eos 2t
= a^ J sen^ t dt
d(
sen t eos t) i k
x
X \ / a ^
Vare s e n ------------------------
a
—
2
416
are sen JL
X _ 4X
a
2
a
a
- k.
EjefTipío 3
I -
f
dx.
Este caso es similar al anterior si previamente completamos el cuadrado en el
radicando.
x -1
X
1 = sen t
=»
X = 1 - sen i
=> dx = cos t di.
También o ost = v '2 x - x^.
I3 =
>
-
c o tT ^
c o s td t
=>
J *(1 -r 2 sen t + sen^ t) dt
1
» ^
.
L = t - 2 cos t
>
=> I3 = y
I
—
2
aro sen ( x - l )
<3
= J
(1
' sent)^ dt ^
^
sen 2t
------------ + k =>
4
-
\ ’2 x - x '
2
- — (x
1)
V
2x
- x"^ ^ k
Ejem plo 4
h -
X = a tg t
cost =
va
2
dx.
f - ------- - V —
J
x^ V a ^ ^ T x ^
dx =
cos^ t
dt.
cos t
417
cos t
,3 ig·'
,„2 t
a·'
di
eos t
Ix =
cos^ t
1
J* (sen t) ^ cos t di
^
Va^
»4 =
dt
sen^ I
- k
sen t
I- k.
X
Ejemplo 5
dx.
1.
X
V a‘ + X “
Igual que en el ejempto anterior, hacemos x dx =
=
cos^ t
<11
v /^2
'a ^ ^-t- x‘
y
eos X
r _ ^ ü ---------- ^
J a tg t
cos*^ t
di
-
a tg t.
^
co st
I, = J · f - ! a J sen l
di.
Para calcular la primitiva de cosec I necesitamos primero un artificio Irigonomó*
Irico y luego un nuevo cambio de variable.
r
a J
sent
sen^ I
V =
's = -
—
f --------^
a J
1
2a
1c = — ln
dv
- v^
1 f (-— ■
aJVv-1
= 1
a J
dt
+
dv =
cost
s=>
I
v^l/
H-vh - 7 ^
1 - eos t
1 + cos l
V2
dt.
1 - cos^ t
=
^
—
r
a J
------------ d v
-
1
^ ) dv =>
)
ln
dv
+ k
Pero —— 2 2 L L = (cosec t - colgt)^
1 oos t
Luego, Ij = — ln ¡cosec t - cotg ti + k.
d
Reemplazando l obtenemos finalmente:
418
- senlcJt.
2a
V -
1
V +
1
Ejem pio 6
Vb" -
x'
dx.
dx =« — o o s ld t.
a
v "b ^ -
L =
r b cos t b ___ __
P —r -------------- COS t o t ^
J b
, a
— sen t
a
1. = b /
1 - sen^ t
sen I
dl
^ r cos' I
L = b I -------------- dt =>
“
J
sen t
1« = b f — ^
— dt - b f sen t dl.
®
J sen t
J
En el ejemplo anlerior vimos que J *“ ~ ^
Luego» I« -
x^ = b o o s t.
dt = In |cosect - cotgtj
-r k'.
b ln |cosecI - cotgt| + b o o s t ^ k.
Finalmente, L = b In
b - V b ^ - a* x^
ax
+ V b^ - a^ x^ + k.
En los ejemplos siguientes haremos cambios de variable sin utilizar funciones
trigonométricas. Si en el integrando aparece ^ a x + b, trataremos de resolver la in­
tegral mediante la sustitución ax
b = t” .
Efomplo 7
dx.
X \/T- X
l^ zL
1
- X »
dx = -
2 td t.
dt
I, = ln
t - 1
t + 1
k
=9
I, = in
\^1
- X -
1
+ k.
Vi - X+ 1
419
Ejemplo 8
I3 = J * X v a - bx dx.
a + bx =
^
dx = —— dt.
I» k.
I -
Finalmente, si en el integrando aparece e \ pued© resultar útil la sustitución
e*, corno sucede en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 9
e* = t
=9
=> Í5, -= dt
=> Ig = X
X = In t
=»
=9
I, = In t
dx -
Y dt.
- In .1 t| . k
In | l - e * | - k.
Como puede observarse en los ejemplos anteriores, el métocio de sustituir varia­
bles no se agota y puede recurrirse a él en situaciones muy diferontos. Sin embargo,
no tiene demasiado sentido complicar los cambios de variables requeridos, pues so­
lamente implican destreza en el manejo de artificios.
Por ello, una vez asimilados los métodos más comunes de integración esboza­
dos en este capítulo, es aconsejable acostumbrarse a manejar tablas de integrales
para resolver k?s casos más complicados. ·
Al final del capitulo se agrega una tabla con algunas primitivas que puede resul­
tar de utilidad.
EJER C iaO S
1) f
J
420
----- 4
dx
2) f
V 4 - x’
dx
3) f -------;
J
5)
J *x
V
■
dx
4)
V 4x^ + 9
X
Va +
•7) J x ^ V V
X
.
^ 2 + x^ dx
+ 5 dx
*8) J x ’ v^9 + x^ dx
^ (x * -2 x -4 )“
,j V 4 v ^ -x -3
J
2 \/x
*
(x-2)Vx-2
dx
f "n T P + P F
1 1
f ----------J
J e* + e *
Estas intégrales fueron resuellas por partes en la página 398.
IX. Tabla de primitivas
1. fx " d x
J
=
— ^
x "·’
2. J* Y dx = In |x|
-t-
k
-
n ^ 1
{ n t
■^)
k
^^
4. f
^
dx - v7(x) H- k
J 2 v l(x)
5. J* e* dx = e* T k
6.
f a“* dx -
J
.7. J ( x e“ )
bin a
- k
(a>0)
= -Ç -
8. J* In X dx = X In X - x + k
9. J" log X dx = log e (x fn x - x) - k
10 . f { x ” lnx) dx = x "·' ( - ^ -------------- ^— A
J
/
\ n+ 1
{n + 1)^ /
+ k
(n * -i)
^KX
(9 " sen bx) dx = —^------
{a sen bx - b oos bx) - k
a^ +
421
J
e"
= —^------ 5- (b sen bx ♦ a cos bx) + k
â + b
(e^· cos bx) dx
13. J
dx = -
14. J s e n x d x =
In ln x | - k
- cosx + k
15. J cos X dx = sen x + k ·
16. J t g x d x
^ -In ,cos x| + k
17. J *co 1 g xd x = In |senx| - k
, S . J se cxdx = In jsecx + lg x | - k
19. J * cosec x d x -
In 'cosec χ - coig χ| - k
20.
j sec^ X dx -
21.
J cosec^ X dx =
22.
f
J
1
1g
'
+ cos X
cotg x - k
dx ^ ig ^ + k
2
23. J *s h X dx = ch X
24. J* cb X dx
f k
X
- k
sh X + k
25. J l h X dx = In !ch xj
\ k
26. J cotb X dx ^ In |sh X| + k
27. J sech X dx =
2 Θ.
2 arc
tg {e*) f k
J cosech X dx = In jih ^
29. J (x sen x) dx = sen x
30. J (x cos x) dx = cos X
31.
32.
422
J
X
sen^ X dx = - r 2
f cos^
J
X dx
= -Í- +
2
1
k
x cos X + k
l· X sen X + k
1
— sen 2 x
4
+
k
— sen 2 x
4
+
k
33. J tg ^ x d x = tgx
34. J*cotg^
35.
Xdx =
+k
- x
-k
-c o lg x - x
J
sh^ x dx =
(sh X ch X -
x)^ k
36. J*ch^Xdx = Y (x +sh Xch
37. J*arcsenxdx
+k
x)
= x arc senx - v l
38. J*arccosxdx =x arc cosx
39. J*arc tg x dx = x arc tg x 40.
f ------------- dx
J
e* ^ 1
= x
- x^
\/l
In
\/l
In il+ e ^
i
42
f— ^ d x
J
- x^
45
-k
-
k
9
Γ
J x^ - a^
Γ —
J
f— :
^
46
k
k
f 2 ^ - dx - — arclg — ' k
J a^ + x^
a
a
44.
x^
x^
41 •
43.
>
a
= — argth — + k
a
a
dx
- X^
=
— arg colh — - k
a
a
dx = arc sen — τ k
a
^ dx = argsh
* X
—- k
^
=
In
(x + \/x^ + a^)
^
f — . J.·
dx - argch — - k = In X
J V
a
-_ a
a^
i k
^
I
\/)?
2
I
- k
2
47.
48.
f V a ^ - x^ dx =
J
2
arc s e n — - — \ - x^ - k
a
2
Γ V a^ f x^ dx =
J
2
arg sh — + — v'a^ + x^
a
2
49I. J* v'x^ - a^ dx - Y \/x^ - a ^ -----^
In
arg ch
v ax + b - v'b
k
+ k
+ k
(b>0)
423
dx
f------------------------
51.
J
52.
53.
X
= — ^__
V - b
aX+ b
f X V a lT T b
dx = — ^
15a‘
J
f x * v x ^ T ^ dx J
o
54. J*x^ v x^ -
J
X
60.
dx
• —
dx =
a‘
dx -
6 ,./
a -r V x^ T a^
x^
·
- — ln
a
a
1-
,
,4 -
x^ V a
64.
f - — —X
J xxk
V/x7'
65.
/
-
\ ax · b
==- dx = r
67. J*
t- a *
ln (x + \ x* - a^j ^ k
a + v /'ar r'
a^ X
+ k
x'
+
k
- k
— dx = — are cos — i k
a'
dx
66 . f--- ^
J
- — ln
a
2
- k
are sen — -r k
a
2
V x^
v 'x ' i a* 5^
f ------ 4 =
dx =
J x V a * - x^
63. J
424
J v V - x ^ dx (véase N® 47)
a ln
V x^ - a^
62.
+ k
(a *-x^)^'2 -
x / i^
J
k
dx = V x ^ - a^ - a are cos — ^ k
x
f__ íL
j
(b<0)
ln
----- ^
57. J V '» !^ a! dx 3 \ / x * +
59.
- k
(3a x - 2b) (a x - b)^^* r k
^ "5
"
—
- b
(2 x ' 2:a^) V x ^ ± a^ — ~
8
55. J x ^ V a * - 3 ^ dx = - j
56.
are tg
-
2 v ' a x - b + b r ------- ^
dx ( v é a n s e 5 0 y 51)
J XX v.4-- hb
V aaxit -»
dx
-
k
x^ V x ^ - a '
dx = V a ^ - X* - a ln
+ Va* -
- k
Z Z ¿
x2
68.
o, = .
JL .
x
3 J x ^ v x^ = a^
dx = X (x^ia*)^'"^
69. J
k
a
(véase N» 53)
70.
J ' (x^ra^)^'^^
71.
r
x^
v 'x ^ ± a^
72. J'(a ^-x ^)^'^^ dx »
73.
r --------- í - ^
J
(g í
^^y/2
+ ln X + V x^ ^ a^
dx =
(a^ 'X ^)^''^+ ~ ~
J v a^ - x^ dx
(véase N° 47)
dx a W 'P
7
Como trabajo práctico pueden verificarse algunas de las fórmulas anteriores apli­
cando la definición de primitiva, es decir, la derivada del resultado debe coincidir con
el integrando.
♦ Nota
En este capítulo, al considerar funciones primitivas, hemos prescindido muchas
veces de la notación diferencial.
' Sé~Tra'recomendado su uso en los casos de sustitución solamente con el motivp
de simplificar los cálculos y prevenir errores.
Pero también en el cálculo de integrales por sustitución puede prescindirse del
uso del diíerenciar. Para ello es necesario siempre, al efeciuar un cambio de variable
en el integrando, multiplicar la nueva función compuesta por la derivada de la función
interior.
O sea. si al buscar una prinitiva de f se recurre al cambio de variable x = g(1),
donde g es una función derivable, debe escribirse:
Justificaremos la regla anterior, que es, una vez más, la regla de la cadena.
Se trata de calcular una primitiva de la función integrable f.
Si F es una primitiva de I. es F'(x) ^ f(x)
(1 ).
Hacemos x = g(1). (Venficamos previamente: Rec^ g D, y D, = D f.)
h
De acuerdo oon el diagrama anierior, es
h Además,
fo g
H = Fog
y
h(l) =
ffg (t)) = f(x).
y H(l) = F(g(t)J = F(x).
Por lo tanto, encontrar la primitiva F se reduce a enocnlrar la función H, que
depende exdusivam enie de I.
Por la regla de la cadena;
H'(l) = (Fo g )'(t) -
F '(g (t)] g’(t) = f[g (t)l · g'(l).
Por definición de primitiva;
H'(t) = i(g (t)) g'(t)
Además es
=> J *(l( 9 (i)] ■g'M ) = H(i) - k.
H(t) + k = F(x) *
= J "*M ·
Reemplazando oonvenienlemente resuHa;
J f ( x ) = /( tlg iD l- s 'O ) ) = H(t) - k
Como el resultado aparece expresado en la variable t, al hacer la elección de g
debe asegurarse la existencia de g ’ para poder efectuar el reempíazo final H(t) := F(x),
donde l = g ’ (x)·
Insistimos entonces en que puede prescindirse del diferencial si se recuerda, al
efectuar un cambio de variable x ^ g(t), que hay que multiplicar la nueva función
compuesta f o g por g' en el integrando. Por otra parte, es una situación analoga a la
que se presenta al efectuar cambios de variables en integrales múltiples.
Aplicaremos la propiedad anterior para calcular la integral I ^
resuelta por sustitución on la página 413, con ayuda del diferencial.
Si hacemos
x = g(t) = 3 sen t, es g ‘(l) = 3 cos t.
Luego, es *
9t
== —^
2
J"
~ ^
. 9 sen 2t
,,
4 ------ ------ — k 4
RESPUËSTAS A
^ ^
9 ............ x
are sen
2
3
^
x . —
2
^
^'^·
e j e r c k : io s
CAPÍTULO 11
Sección tí
1 ) -------+ k
6x
426
2)
f —-------CQSx + k
3) In Ix - al + k
7)
X*» -
I
X« + k
“ί - 4Τ - V ^ -
7
Λ
„»0
6) J χ*^ + - ^
+ Κ
6χ + k
6) χ1 η2 + In |χ[ + k
Sección III
1) -
In | a - x | + k
2) -
In(cosx) + k
4) - - 2 2 ^
3) - ¡ ^
(x’ + η ·
+ k
5)
(2 χ· - Sx)’'* + k
6)
^ k
In Ix® + 31 + k
D
7) In {1 + sen*x)
9)
k
fl) - 4 · (cos^x + x®)^ + k
6
(3x® - 2x)’^^ + k
24
t1) - 4"
fcosx-x*j + k
13) -
(3x) + k
10) — arctg(flx) ■+ k
O
12) J
In I3x* + 2x1 + k
14)
6
(x^ + 3)®'* + k
«
15) -
4 (2x * 3x^) '· + k
o
,6 )
17) _
+ K
18)
19) -
.
k
x ^
3o
7ô
,
,
.
K
20) ^
in |x* + 3x| + k
21) 4 - V (x ^ ^ 3)^ + k
22) ÿ
In Ix^ + 2x1 + k
23) -
24) -¡- In lx=> + 11 + k
O
Y
25)
sen (1 - x*) + k
(3x' + 2)'®
k
26) - 4
«J
27) -
e"
+ k
28)
(cos2x)*^ 4^ k
iü î .
In 3
427
29, ^
2'9*
k
30) 4- tg'x < k
4
Sección IV
1)
^
2)
^ k
1 -^ In a
3
+ k
V
('" “ - i3 )
3) e* (x - 1) + k
4) X are sen x + v i
5) -
6) - xo osx + senx - k
7)
e " (x^ - 2x + 2) T k
e*
(sen X
9) ~2
cos x) - k
(cosx + senx) - k
8)
x) -» sen(ln x)] f k
11)
e*'’ (sen2x - -^oos?x^ + k
13) xarcsen(bx) h
14)
16)
17)
10
4
(sen4x
+ k
2COS4X)
a rc tg (3 x ) -
36
1 5
5* x^
2x 5*
2 5*
ln 5
In^S
Jn’ S
20) x l n ( x * » 1 )
2x
are tg(3x)
324
2 are t g x r k
3* ln 3 sen (3x) - 3 '" ^ cos {3x) ^ ^
ln* 3 + 9
5‘
f5 sen(5x)
25 ^ In^ 5
23)
x*2*
ln 2
2 *’ ‘ ■ X
ln* 2
K
24) - 82
|r
1
®
sen (3x)
3
‘
ln 5 cos(5x)J ^ k
2“ '
2
«-
+ k
■* k
19)
22 )
V 1 - b2T?
) xa rcco s(a x) - — —
10B
18) - cos (In x ) + k
428
x^ ^ k
- k
oos (3x) ~
27
.
cos(3x) ln a H 3 a* sen(3x)
9 + In^ a
- k
■ T *
27)
- -ÍF *
Í7 & ^ "
^
[cos(5x) + 5sen(5x)] f k
.26
ZK
1 i- 16ln*3
L
sen ( i )
+ 4 ln 3 cos ( i ) ] -
29) - íV - (3x^ · 10) (x^+5)=^=^ - k
15
[í'(x) = X (x^'+S)’'^
a
g(x) = x^]
k
30) - 4 r (9 -x ^ )'^ " (5x^-36 )
45
Sección V
,) .
c o y i^
7
4)
9
—
2
3)
^
- —
2
cos^X
4
sen (2x)
¿
c o s ^p x)
21
^ ^
15
—“
-·
^
^
cos^
- j ^
^ ^
k
X +
4. sen (4x)
32
4
sen (6jO
12
2
. .s e n ^
3
,
+ —^ sen ^(2x) t k
10
sen^(2x)
sj
2 V
^' 8
2
, ^
I
..
8
^
18
M
8)
-j
cos^'^x ·
gj
120
^ s e n ( 6 x ) — ^ s e n (1 2 x )
1
wO
O
,..
sen-(5x)
^*
15
12)
I
j g
15)
k
sen(16x)
8
10)
X 1
cos^
sen^{5x)
25
oos^^ ( I )
^
sh(6x)
— ¡ ^
* 1
, ü |í)
X
- -
,
-
k
.
'
e o s -' ( I )
k
* k
- k
,4 ) .g x -
16)
- K
sh(4x)
sh=»(4x)
-----------------^
+ k
429
17)
1
^ K
arclg
= tg X)
(t
VIO
10) ln 'tg X ^ sec x| -» k
(t ^ sen x)
Sección VI
1) 2x - “ ln¡xi ^
D
2)
----- — x^
ln|X
D
2x* -
f 5| ^ k
6x + 13 ln |x - 2|
k
3) -=r------3x^ + I6 x + 9 ln |X - 1' - 45 ln |x - 2'. i
5) 4 X^ O
k
^ 2x - 2 ln |x + l| + k
7) - 4 r ln|x -2 | - —ír-ln
13
13
8) 4 ln |x + 2 | -
4 ln |x + 4 | ^ k
9 ) ________________________________________ L_____ I n l í z ^
^
5 {x -2 )
25
25
|,n .x.,|
11)
1
12) 4 ln |x 4 2|
X
2
13) m ;x -11 -
14) -
-
-
3 ln |x - 1 | + k
x
3
1
x + 1
4(X -1 )
36
-
In |x-2'i + k
X - 2
1
15) -
16)
X
+ 1
- |.r.,x -2 |.K
ln ;x ■5|
16
36
ln )x -1 | -
+ k
16
|x+3’| + k
6 (x -5 )
,k
- iX
^ 2lnlx| - 21n|x-1| + k
' « > - Ί
«
;
20) ^
t 3x + - ^
18) ^
2
;
21)
7
ί
k' -
23) J i
.
I
Γ
-
^
I
F
- | · In xl + I
ln |x -3 | » k
« + In |K| -
- X -
2
25)
.
1
arclg
- - i arctg
28) ^
■ f
29) y
arc tg
31)
33)
21
35)
3
37) - 5 ^
39) 4 4
40) x^ -
k
arc tg
^
arctg — ^
v7
7
*
k
V2
32)
. k
l l
V3
f ' )
4 ln |x -1 |
4
In(x^-t-l) -
4
30)
- k
v7
atclg ( V
1|
, K
* k
+ k
arctg
,
16
26)
arctg
In v V
3
16
V3
27) ^
m ix- ,: - A
- J îlïi2 L
4(x-2)
3
In k- l| t k
-
24) J S Î- t 3 x ------------ 3—
^
‘ ^
In v x ^ T T - k
2
34) 4 4
- k
36) ^
^
^
3®>
4 ar c t g x
2
i k
o
-
5
a rcig
v5
. k
^9 (2x - 6) + k
^"-'9 “ 5 | =
' *
- k
k
431
42) — In x -1
3
- 4"
6
43) -|- a r c t g x 5
44 ) ±
ln |x -i|
4 5 )-^
2
46)
5
-
4-
5
- x+1)
ln|x^2!—^
.
. ^
X -
7
2 16(9+x’ )
f k
V 3
l n( x"- 1) + k
10
In(x’ + 3 X M ) - ^
a.ctg ( - ^ ^ )
íri|X-2|
g
"
T
are t
21
51) a) -
36(9 f x^)^
-------
V3
' h
^
^
, 3
2
+
' 1«
648“
T
'
14x^ - 7x *- 7
+ In x arctg(2x)
2 ' ^
4(x^ 2x- 2)
4
a rc tg
"
^
v y "
49
b) — ^
arc:g
3
ln(x^ + 1) + -f- 3fc Ig X - ln|x-2| + k
5
5
47) 4 · N x " - 2 x - 2 ) 8
50)
■
' ''
'-
ln (x + l) f k
, ,
ln |x-3 | -
—
ln (4 x ^ -l) *
12
.
^
,
are tg (2x) i k
Sección Vil
1) -^ are son —
3) arg ch
f
k
i k
2)arg ch
4)
V l3
2
5) | V 9 X ^ - 16 - - | argch
6) - j arg sh ( x - 2)
432
- k
^ - arg sh ^ ^
v"3
- k
- k
+^ ^ ^ V x ^ < 4x -
7) - í — í- \/x 2 - 2x - 7 - 4 arg ch
2
x + 1^
5
<
+ k
v8
k
8) \ ' 4 x ^ - 1 -
arc sec(2x) + k (2x = seel)
V2
10 )
11)
-
13
2 “ ^ ••a rg -e h (3 x + 1 ) + k
y
'■
.w ,
argch { - ¡ ψ - )
12) - 8 \ 2x - X* + 5 - 3 arc sen
X -
1
+ k
vT
Sección Vili
1) - J
2)
V ‘x^
X
-
4
+
2 ln|x -
^V4
2 arc sen
3) I
-Λ
- x^
v '4 x ^ - 9 - 3
in
+
-
k (x
k (x
=
=
2 sec t)
2 sen t)
- k (« =7'9')
- k (x4?2 = l^)
Vx + 2 - 2
5)
6)
7)
(4+x)^^ (3x-8) + k
10
(4 + X = t^)
(2+χ2)"'3 (2χ2-3) + k
(2-^x^*e)
28
1ä
8)
(3x^ - 10) (x^-f 5)^·'^ + k
{x^ f 5 = t^)
(9 -x ^ )'·^ (5x‘
(9 + x^ = 1^)
X
9)
,r - k
36) ^ k
(X = b t g t )
ò ^ .\
X -
10 )
3 \
11)
1
k (x-1=v3tgO
x^ ~ 2 x - 4
arc sen ( \ x - 2 )
( \ x -2 )\-^ 4 \ x - x - 3
- k ( v x = t)
12) arctgie·') + k (e* = t)
433
12. INTEGRAL DEFINIDA
El problema de calcular el área da ciertos recintos planos, los polígor>os, se re­
suelve en geometria elemenlal. A cada polígono P se le asigna un número real a(P),
su área, de acuerdo con la definición Inicial de que el área de un cuadrado de lado
unidad es el número 1.
Se determina asi una furvción cuyo dominio es el conjunto de ios recintos planos
poligonales y cuyo recorrido es ei conjunto de los números reales no negativos.
El problema se complica fundamentalmente cuando se intenta calcular el área
üe un circulo y. en general, de cualquier recinto plano no poligonal.
El acceso dásioo es aproximar el recinto mediante polígonos adecuados, inscrip­
tos o circunscriptos, y definir el área buscada utilizando conjuntos formados con las
áreas de estos polígonos.
En primer lugar interesan especialmente los recintos planos no poligonales más
sencillos, limitados por la curva asociada a una función continua.
y=m
Un ejemplo lo constituye el recinto R, cuya parte superior está limitada por el grá­
fico de la función continua y positiva f en el intervalo cerrado fa; b] y cuya parte infe­
rior está limitada por el eje de abscisas.
El recinto R se llama recinto de ordenadas, pues está cerrado lateralmente por
los segmentos de ordenadas correspondientes a las rectas de ecuaciones x = a y
X - b.
Una forma de aproximar el área del recinto R es considerar rectángulos inscrip­
tos en él.
434
Por ojemplo. si dividimos el intervalo fa: b | en cuatro partes (iguales por simpli­
cidad),
área aproximada de R está dada por la suma de las áreas de los rectán'
gules A ,, A j. A¿y A^. Los cuatro rectángulos forman un polígono A, totalmente conte­
nido en R.
Se comprende de inm ediato que deseamos asignar al recinto R un área
tal que: área (A) :< área {R). y que ía aproximación será mayor si se vuelven a subdividir los subintervalos anteriores.
Los rectángulos A ^ . A ^ ^ A j y A « tienen como base un segmento cuya longitud es
la cuarta parte de la longitud del intervalo inicial [a;b], es decir,
, y cuya altura
es el valor mínimo que alcanza la furtcíón f en cada subinlervalo (el valor mínimo exis­
te por haberse elegido el gráfioo de una función continua).
De manera similar se puede obtener una aproximación por exceso si se consi­
deran los cuatro rectángulos circunscriptos correspondientes a la misma subdivisión
de(a;b].
Si es B el polígono formado por los rectángulos B ,. B j. B j y B*. el polígono B
conlicne al recinto R y área (R) ^ área (B).
También se mejora la aproximación por exceso si so vuelven a subdividir los
subintervalos anteriores. Obsérvese además que. en cualquier casp._si^A es u q poli­
gono inscripto.y B uno circunscriplo en el recinto R. una definición lógica de área
debe permitir que se establezca la siguiente relación;
área (A) < área(R) < área(B).
435
Si se considera el conjunto t formado por las áreas de tede3 los polígonos ins­
criptos en R, dicho conjunto está acotado. En especial inlerosa una cota superior, que
puede ser el área de cualquier polígono circunscripto en R.
Si el conjunto I está acotado superiormente, entonces tieno extrenio superior o
supremo.
Oe la misma forma, el conjunto C, formado por las áreas de los polígonos cir­
cunscriptos en R. está acolado inferiormente por cualquier elemento de I, que es el
área de un polígono mscnpto en R. Luego, C tiene oxlremo inferior o ínfimo.
En el caso del gráfico considerado, resulta s-jpremo I = inf»mo C, y ose valor
común se define como área del recinto R
S i la lun cón no es continua, puede suceder cue no exisian ¡es valores indicados,
o que existan ambos y no coincidan. En esios cascs tampoco existe el área
Las ideas anteriores han Iratado de esbozar el método seguido para determinar
el área de recintos de ordenadas que cumplen ciertos requisitos. En todos los casos,
para ampliar el dominio de »a función área, ya utilizada en geometría elementcl. se
busca obtener para les po'ígonos la misn-.a área que correspor>de a fórmulas ya co­
nocidas. y para figuras rio poligonales so prccura que el área posea las propiedades
requeridas anteriormente.
Algunas de ellas son las siguientes;
1) VR a(R) : r O.
2) Si R es un punto o una curva, entonces a(R) - 0.
3) Si R , y R j son recintos planos congruentes, entonces a(R ,) = a(R?).
4) Si R , y R^ son recintos planos cuya intersección tiene área nula, entonces
aíR, u R?) = a(R.) - aíR^).
5) Si R , y R^ son dos recintos planos cualesquiera, entonces
a ( R , u R z ) = a(R ,} - a(R ,) - a í R i f i R ^ )
436
H) Si H , c R j. entonces a (R ,)
a(R;,).
<5?.
La función área, que cumple las condicioncs pedidas, se obtiene medíanle la in­
tegral definida de funciones integrables en inteivatos cerrados.
Estudiaremos en este capitulo (a integral según Riemann*. quien fue el primero
que desvinculó la idea de integral de su base geoinétrica.
ELc^ncepto de integral es puramente analítico y las consideraciones geométri­
cas anteriores sólo ayudan para su interpretación intuitiva.
Una vez definida la integral de una función que reúna ciertas condiciones, se ha­
ce una aplicación geométrica de importancia fundamental: la definición de área para
recintos de ordenadas.
I. Sumas inferioras y superiores
Consideramos una función acotada f, definida en un intervalo cerrado (a ;b ].
Esta función, ai estar acotada, tiene supremo e ínfimo, de acuerdo con ei axioma de
continuidad de R.
En el gráfico, el supremo de la función es k. que no es el valor de la función en c.
pues f no es continua en c. El,ínfimo, en este caso, es f(b).
Obsérvese que. como la función no es continua en | a: b |, puede rK> ateanzar un
valor máximo, como sucede en ef ejemplo anterior.
En el ejemplo siguiente, la función acolada g ro liene máximo ni mínimo abso­
lutos en [a; b j. El supremo es k j y el infimo k,.
• Jorge Federico Riemann (f826· 1B66). Fue ostudiarite y luego proícsoi en la U n i v o r s i d . i d do
Goettingen (Alemania). Famoso poi sus h>pólesis para fundamenlar la geometria y por sus loo
r'i;i5 soSre lunciones ce variable ccmcicja y sobre ?op0 l0 í?.a
4.'Í7
Si la función es continua, en cambio, el ínfimo es el mínimo absoluto y el supremo
el máximo absoluto, conno sucede en el ejemplo siguiente;
f(x,} es el supremo de f en [a; b] y es el máximo absoluto.
((Xj) es el ínfimo de f en [a; b] y es el mínimo absoluto.
Daremos a continuación algunas definiciones.
Subdivisión*
P es una subdivisión del intervalo [a; b] si es una sucesión finita, estrictamente
Xg, x,, X j .............. x^. tales que a = x^ < x, < x^ <
< ........< Xr , < x„ = b.
La subdivisión P se designa P » [x^; x,; X j ; ..........; x J.
Los n puntos de la subdivisión P dividen al Intervalo (á :b ] en n subintervalos
parciales {Xo: x,!. [x ,: X j ] .............. [x.,
x„l.
crec:?níe. de números reales
Designamos l, al primer intervalo, Ija l segundo, etcétera.
El ir.‘.en^ak>
= (x^
x J tiene longitud A ^x = X ^ - X k
i·
* Pretiero emplear el nombre de subdivisión en vez del da partición, de uso más Ireouente. para
evitar contusiones con el mismo nombre utilizado en teoría de conjuntos
un concepto
diferente.
436
Una subdivisión es '"regular" si y sólo si todos los subimervalos tienen igual longiiud.
Ahorma de una subdivisión P es el máximo del conjunto formado con las longitu­
des de bs subintervalos correspondientes. Se designa !|P[|.
Es decir. IIP|| -
máXpAhX.
i ------- 1-
En ia subdivisión P - (Xo¡ Xii Xe: X3; X4: X5]. ia norma es el número ¡|P|| ■
= X4 - x^.
Refinam iento de una subdivisión P, o subdivisión más fina que P. es una subdivi­
sión P‘ a la que pertenecen todos los puntos de P.
Es decir, la subdivisión P' = [ x ' qPc' , ; ......: x'^] de [a;b] es más fina que
P = (Xoi X i l......: Xnl do fa: b], sí que cumple
Vh: ( Xj , eP =» Xh í P· ) .
Interesa, en general, el caso en que la nueva subdivisión P' liene otros puntos
adicionales además de los puntos de P.
a = X,
p = fxo:xT:Xí;x3l
® = ’‘ ó
X3
P ’ es más fina que P. pues a los puntos de P se lia agregado et punto x‘, y el
intervalo |X(> x^] de P ha sido reemplazado en P’ por dos subinten/alos lxo;xM y
Ix’tíx 'J .
Obsérvese que el relinamiento de una subdivisión no depende sólo del número
de intervalos, pues debe incluir rodos los extremos de subintervak» de la subdivisión
menos fina.
De la definición se deduce de inmediato que si P' es más fina que P, enlonces la
norma de P' es menor o igual que la norma de P. Es decir, ¡|P || s ||P|í.
Estamos considerando exclusivamente funciones acotadas en intervalos cerra­
dos. Si f es una función acotada en [a; b], liene supremo e ínfimo en [a; b] y tam­
bién tiene supremo e infimo en cualquier subinlervalo de [a; b].
439
En el subinlervala F,,, por ejemplo,
es el supremo de f y m,^ es el ínfimo,'<fe
acuerdo con e l g ra fio anterior.
Suma inferior de la función f en el intervalo [a: b]. correspondiente a la subdivi­
sión P, es la suma de los productos que se obtienen multiplicando el íntimo de f en
cada subintervalo por la longitud del mismo.
Se designa 2p(f).
Es decir, si m^ es el ínfimo de f en el intervalo
§ p (f)=
m ,{x , - X , , , )
(C 1
O sea,
x^], es:
=
h- 1
Sp(f) -= m-,(x, - x^) +
m¿{x¡ - x,)
i- ......... m„(x, - x„
,).
De la misma manera, suma superior es la suma de todos los productos que se
obtienen multiplicando el supremo de f en cada subintervalo de P por la longitud del
mismo.
Si M,, es el supremo de f en el intervalo [x^ _ Xk], es:
Sp(f) = 2
k^1
~ Xk _ 1·)-
Ejemplo 1
Sea el siguiente el gráfico de una función f acotada en el inten/ak> [a; b].
5 e a P = Ixq! X ,; Xgi Xg] la subdivisión sei^alada en el gráfico.
440
Es
|p(f)
=
k (x, -
Xc)
f ( x ,) ( Xj -
X
- UXg) {X 3
Xj)
y
Sp(f) = i ( x, ) ( x,
Xp) + f ( C ) { X 2
X,) ' f( Xz) (X3
X2)De acuerdo con la idea geométrica dada al comienzo del capítulo, ^ { f ) corres­
ponde al área de un poJigono inscripto en el recinto de ordenadas y Si^íO al área de
un polígono circunscripto.
Ejempto 2
Calcular S y S para I:
x^ -i- 1 en [0; 3J para las subdivisiones siguientes:
1 )P = [ 0 : 1 : 2 ; 3 ]
2)
P ' = fO: 1: 1,5:2; 3]
1) S,.(f) -
f{0) · 1 f(1) ■1 + f{2) -1 = Τ - 1 + 2 - 1 - 5 Ί
Sp(f) = f(t) ■ 1 -t f(2) · 1 ^ 1(3) - 1 = 2 1
2) SdÍO = 1(0) · 1f f(1) · 0,5 - f(1,5) · 0,5
- 1 -1
Sc (f) =
‘ 5- 1 ' 1 0 - 1
- fi.
=
12
f(2) · 1 =
· 2 · 0.5 - 3.25 · 0,5 ^ 5 · 1 = 8.625
f(1) -1 -f(1 .5 ) 0.5 ■ f(2) 0.5 ■ í(3) -1 -
= 2 1 I 3.25 · 0.5 - 5 · 0.5 ‘ 10 1 ^
1 6^1^
Ejemplo 3
Calcular S y S en [ - 2; 3 ] para:
-X
(:x
x + 4
SI
- - 2 :5 X < 0
si
O
Si
X
1<
s 1
3
X
y para las subdivisiones:
1) P
= [ - 2 ; - 1 : 0; 1:2; 31
2) P' = [ - 2 : -1 .5 ;
1;0; 1:2: 2.5; 3 ]
O 1 2^- 3
441
1) Sp = f( - 1) · 1 H o 1 - f(0) 1 » f(1) 1 » f(2) 1 =
= 1 + 0 1 2 + 3 + 6 = 12.
Sp - l{-2) ■1 - f(0) · 1 + f(1) · 1 + f(2>· 1 + 1(3) · 1 =
--2»2+3f6i-7-20
2) Sp = f( -· 1.5) 0.5 t f ( - l ) 0,5 + 0 · 1 - 1(0)· 1 + f(1) -1 - i(2) 0.5 +
- f(2,5) 0.5 = 0.75 + 0,5 + 0 - 2 + 3 + 3 f 3,25 = 1 ^
Sp· = f( -2) 0.5 + f ( - 1,5) 0,5 + f( - 1) 1+ f{2) · 1 - f(2,5) 0.5 + f(3) 0,5
= 1 - 0,75
=
1 + 3 + 6 - 3,25 » 3.5 =
Demostraremosa continuación algunas propiedades delas sumas inferiores y
superiores.
Lema 1
Si f está definida y acotada en [ a; b |. para cualquier subdivisión P la suma infe­
rior no supera a la suma superior.
Es decir. VP: (§p(f)
Sp(f)).
D am ostredón
De acuerdo con las definiciones de suma inferior y superior, en la primera inter­
viene el ínfimo de f en cada subinlervalo (
: x J de P: m^. y en la segunda el su­
premo M„.
Como Vk: m,
M „ resulta
^ 2
M,(x, x, .),
0 sea. Sp(f) s Sp(0:
Lema 2
Si í es una función definida y acotada en [a: b J. P y P* son dos subdivisiones de
1 a: b I y P' es más fina que P, enlonces;
1)Sp(f) ' - S p (f) : 2 ) S o ( f ) : > 5 p (í).
Demostraremos la primera parte. La segunda es análoga.
Dem ostración
Al considerar la subdivisión P y la subdivisión más lina P'>basta comparar los
términos de las sumas inferiores que corresponden a los intervalos donde hay nuevos
puntos de P'.
442
Sin restar generalidad a la demostración, suportemos que la subdivisión P' liene
solamente un nuevo punto además de los puntos d« P. Sea c ese nuevo punió,.que
pertenece a un intervalo U de P.
Si 30 comparan Sp y ¿p·, todos sus términos coinciden, oon excepción del tér­
mino Ih = mh(x^-xh i) de Sp, que ha sido sustituido en Sp. por la suma de dos
términos: Th = m '(c-X h-i) ^ ni"(Xh-c). donde m' es el ínfimo de f en [Xh-,: c) y
m" el ínfimo de f en [c; Xh].
Como m^ es el ínfimo de I en [x „ .
Xh], resulta
m^, ^ m' y m ^< m '·.
Luego,
= nv{Xh-Xr,-,) - m,,(Xh-c) + m^íc-Xj,.,) ¿ m'(Xh-c) + m"(c-Xh ,) = t'
Es decir, t,
Como los demás términos son iguales, es Sp(() ^ S p (f).
Si hubiera más puntos en P' la demostración es análoga, y puede hacerse ge­
neral por inducción completa.
Gráficamente, este lema Indica que las áreas de los poligonoB ínscriplo« crecen
al considerarse subdivisiones cada vez más finas.
Mediante consideraciones similares se demuestra que las sumas superiores de­
crecen al considerarse subdivisiones cada vez más finas que las anteriores.
LemA 3
Si f está definida y acotada en [a; b] y P « y P^ son dos subdivisiones de [a: b].
entonces la suma Inferior para cualquiera de las subdivisiones no supera a la suma
superior de la otra subdivisión. (Obsérvese que el lema 1 se refiere a suma inferior y
superior para la misma subdivisión y. en cambio, este lema 3 se refiere a dos sub­
divisiones cua/esqu/era.)
_
Debemos probar VP, VPj: (§p,(0 ^Spj(f)).
Dem ostración
Como P , y P^ son dos subdivisiones cualesquiera de [ a; b], buscamos olra sub-
443
división P que sea un refmamienlo común a ambas. {Para obtener P basta considerar
todos ios puntos de ambas subdivisiones P , y Pg ) Si P es más lina que P , y también
más firra que P j. por el lema 2 es:
§p.(l) s §p(f)
(primera parte):
Soj(f) ^ Sp(f)
(segunda parte).
¡
Vinculando fas dos relaciones anteriores mediante el lema 1, es:
§ P ,(I) S § p (() g
S p (f) S
5 p ;((|.
lema 1
Luego, por transitividad:
Sp^(f)^Sp^(f).
Gráficamenie. el lema 3 indica que el área de cualquier poKgono inscripto en un
recinto no supera al de cualquier polígono circunscripto.
EJERCICIOS
1) Considerando f: x - ♦ v 25 - x^ en[0; 5J. calcular suma interior y suma superior
para las subdivisiones: 11 P = (0: 3: 4; 5). 21 P' - [0: 1; 3; 4; 5] y 3) P" = [0; 1: 2 :3 : 4; 5].
2) Considerando I: x
x ‘ -r i en (0 :3 ], calcular suma superior y suma interior para
las subdivisiones: 1) P = [0; 1; 2.5; 3]
y 2) P' = [0; 0,5; l: 2; 2,5; 3].
3 Considerando f; x
x^ + x en [0; 3 ]. calcular suma inferior y suma superior para
las subdivisiones 1) P = [0: t; 2; 3J y 2) P ’ = [0; 0.5; 1; 1,5; 2: 2.5; 3J.
4) Considerando f: x
x^ - 7x - 2 en ( 1; 3]. calcular suma inferior y suma superior
para las subdivisiones: 1) P = (1 :2 :3 1 y 2 )P ' = [1; 1,5; 2; 2.5; 3].
5) Considerando f: x - ► x^ - 6x + 10 en [ 1; 61. calcular suma inferior y suma supe­
rior para las subdivisiones: P -= [ 1:3; 4; 6] y P' = [1 ; 2; 3; 4 :5 ; 6].
6) Considerando:
2x + 1
si O í? X < 2
f:x-H
X* - 4x + 9 sí 2 s X < 4
en [0; 5] .
9
si 4 ^ X < 5
calcular suma inferior y suma superior para la subdivisión P = [0; 1; 2; 3: 4; ¿].
II. Integral de Riemann
En resumen, los lemas anteriores puntualizan las siguientes propiedades para
as Evmas superiores e inferiores de una función definida y acotada en el intervalo
•i.3 :
b]:
1) para la misma subdivisión P: Sp s Sp;
2) si P· es más fina que P;
Sp Sp. a Sp a Sp ;
3) para dos subdivisiones cualesquiera P, y P^: Sp, ^ Sp^·
Si designanK>s A al conjunto de todas las sumas interiores de una función f, aco­
tada y definida en [a: bj. obser\'amos que A es un coniunto de números reales que
está acolado.
444
En efecto, una cota inferior es la suma correspondiente a la subdivisión "menos "
fina de [a¡ b], es decir, a la subdivisión [x^: x ,l. cuya suma interior es § = m (b -a ),
donde m es el ínfimo de f en [a. b j.
Una cola supenor, de acuerdo con el lema 3. es cualquier suma superior
O sea, VP: (m(b
a) ·- Sp{f) ■·. Sp(f)
Sp, (f)). donde el último miembro es
una suma superior cualquiera.
Por ef axioma de conlinuidad de R. eí conjunto A tiene supremo y llene ínfimo.
Como las sumas inferiores crecen al afinarse las subdivisiones, interesa en es­
pecial el supremo del conjunto A. Este extremo superior se llama integral inferior de
f en [a: b^.
Definición
integ ra i inferior de t en [a; b ] es el supremo del conjunto formado por lodas las
infinitas sumas inferiores de f en [a; b]. Se la d e sig n a ^ f.
Es decir, J*® f = supremo A.
De ta misma forma, si B es el conjunto de todas las sumas superiores. B es un
conjunto acotado. Por el lema 3, admite como cola inferior a cualquier suma inferior.
Por lo tanlo, llene ínfimo y ese ínfimo es la integral superior.
Definición
Integrai superior de f e n \ a ; b ] es el infimo del conjunto formado por las sumas
superiores de f en [a; b ]. Se la designa J**^f.
Es decir, J*® f = ínfimo B.
Gráficamente, para una función f defirìida y acotada en (a; b ],
m (b -a )
M (b -a )
----- --------------- 1-------- 1------1----------------- f----------- H ---------- p------- 1--------1---- 1------S '
S
p
S p .........
Sp.
Sp
P‘ es más fina que P, P” más fina que P‘ , etcétera.
La propiedad de que P f no supera a p f es lógica, pero su demostración no
es trivial.
^
445
Teorema
Si
í
está definida y acolada en [a; b}, e nto n ce s^**f
J*“* f.
Dem ostración
Como ya se ha visto, el conjunto tíe la? sumas superiores eslá acolado infenormen»e por cualquier suma inferior.
Luego^ para cualquier subdivisión P, Sp(f) es una cola inferior para el conjunto B
cíe las sum aTsU penof65j
Como J '·' I es la mayor de las colas inferiores del conjunto B (ínfimo de B), es
v p S p ít).·
h
/
f es una cola superior para el
A
conjunto de las sumas interiores, ya que no es superada por ninguna de ellas,
b
Luego, como f I es la menor de Ií .:^ cotas supenores del conjunto A (supremo
!la
do A), no supera a una cota superior cualquiera como es
Es decir. J* f
ís
j ®f.
Por consideraciones ya efectuadas, es también;
m(b -a ) ^ j
y.®
fí
f
f s M (b -a i
Nota: He preferido definir integral oomo extremo de un conjunto por razones de
sir*>plicídad. Creo que la definición de integral inferior, por ejemp\o. como limite de
una sucesión cuaíquiera de sumas inferiores cuando la norma de las subdivisiones
correspondientes tiende a cero resulta más complicada (véase Cálculo 2. pág. 261).
D efin ició n
b
SI f está definida y acotada en |a: b j. y además J* ^ ~
446
fur>cíón f es
integrable en [a; b].
El valor común de la integral inferior y superior se llama, sinplemenle, integral
de f en [a; b ] según Riemann.
O sea.
^
“b
f integrable en [a; bJ CD f · " f ^
a
Suele utilizarse también la notación
^
f
i
f(x) dx.
Interesa conocer entonces cuáles íunciones son integrables, pues una función
puede estar definida y acolada en un Intervalo cerrado y no ser Integrable en él. como
lo prueba Inmediatamente el siguiente ejemplo.
’ D si X es Irracional
Sea f: x
1
si X es racional
En este caso, para cualquier subdivisión P:
h - 1
b
Luego, f f = O y
_ a
^ b - a ^ 0. y f no es integrable en {.a; b).
à
El teorema siguiente da un criterio para establecer cuándo una función acotada,
definida en un intervalo cerrado, es integrable en el mismo.
Teorema
Una fundón f definida y acotada en [a; b ] es Integrable en [a :b ], según Rie­
mann, si y sólo si, para cualquier número positivo e, existe una subdivisión P de
[a ;b ] lal que;
S p ( f) - S p ( f) < € .
Es decir.
f integrable e n f a: b |
V e > 0 3 P / Sp(f) - §p(0 < e.
Se trata, por lo tanto, de una condición necesana y suficiente para existencia de
la Integral.
P rim era p a rte
Si t es integrable en (a; b |, entonces;
V 6 > 0 a P /S p (f)- S p (|)< €
447
Dem ost/actón
Si la lufíCíón es integrable según Riemann. es:
b
·
_
r'"
Recuérdese que I f -
supremo de A y
?·’
I 1 = Infimo de B. donde A es el
conjunto de sumas inferioros y B el de sumas superiores.
Por propiedad del supremo de un conjunlo A do números reales.
> 03x6 A.'x > supremo de A X -
S .(l)
------------ ---------------- '------------- :— '--------------f t
j
j't^ s u p A
Sí X é A. entorKes x - Sp (f) para una subdivisión P' de [a; b].
b
Luego. S p ( l ) > J · r | <i).
Por la misma propiedad, como
es el ínfimo o extremo inferior de B,
V € > 0 3 X 6 B /X <
X = "Sp (f)
------------ H --------------------------------- 1----------------------)-------------
/.'
í ;
· f
Como X € B, es X = Sp {f) para una subdivisión P " de [a: b).
_
"h
Luego, S p .(f)< J f r
(2).
Si P es un refinamiento común a P' y P ". resulta, por lema 2,
S p(í)>Sp.(f)
:
y
Sp(f)
Sp..(f).
Aplicando Iransitividad a las relaciones anteriores y a las expresiones (1) y (2).
.'da:
448
§p(')>J· l - j
(3)
A
Sp(l) < J "
Restando (3) a (4). es; Sp(f)
Sp(f)
I
h
(4).
f ^' J
—*.
Como f es inlograbTe por hipótesis, es J * * ! -
^
J
f ^ 0.
y resulla S oif) - Sp(f) < e. que es la tesis.
Segunda parte
S,i(f) < €, enlonces f es integrable en [a: b).
Si Ve > 0 3 P / Sp(f)
Dem ostrao'dn
Por defiríición de integral superior,
VP: P i s S p i f ) ,
·' a
y por definición de integral inferior,
b
V P : J f^ S p (f).
Restando. 0
f^ S p tO - S p { f ) < € .
pág. 446
Luego, Ve > 0 : 0 s
“ b
“
f< € .C o m o
ambas integrales son números
reales, la relación obtenida implica la igualdad de ambos números.
Por lo tanto,
“ b
^
f ^^ f
f y f es integrable en [a; b].
*
- *
Utilizando el criterio anterior pueden determinarse algunas clases de funciones
Integrables.
AAa
Teorema
Si una función definida y acolac^J en [a: ti’, es monótona on dicho inlen/alo. en­
tonces es integrabte en él.
♦ Dem ostración
ConsideremoSi sin perder.generalidad, el caso da una lunción f estriclamenle
creciente en [a: b].
Si la función es estrictamente creciente, el ínfimo de la función en cada Inter­
valo es el valor que alcanza la (unción en el extremo izquierdo del intervalo, y el
supremo, el valor que alcanza f en el extremo derecho del iniervalo que se considere.
Por ejemplo, en l^ = [x^
, ; x j , e s m , = f(xK i)
V Mk ^ *(*0·
Luego, para cualquier subdivisión P es:
rt
Sp(f) =
r
2
h= 1
~
y
= 2
k- 1
5 ; [ ( ( « . ) - i(x»
,)i-i.x s iiP 'i
*·'
■^·
Luego,
n
§ p m -s p (i)=
n
.)i
V- I
Además,
2
k- 1
l'fr k ) -
' (*1
i ) l = ( '( * .) -
íM
= Ub) - l(a).
- I I * .) ! ' ■· · + t I(x .)-
,)1 =
Luego, VP: Sp(f) - Sp(f) s r.P j [í(b) -- l(a)).
Si í(b) 4 f(a) {en esle caso l(b) > f(a). pues f es estrictamente creciente), para
cualquier € > O puede encontrarse una subdivisión P de (a; bJ cuya norma sea me-
450
ñor que el número — —-r > 0.
f(b) - f{a)
Por lo tanto.
V t > 0: 3 P / § p
Sp s ||P|ltf(b) - «aH <
. (((b) - l(a)] = e.
Es decir, V í > O 3 P / §p(f) - Sp(t) < é, que es la condición para que I sea iniegrable, según Riemann, en [a; b].
Teorema
Sí i es continua en [a; b], entonces t es integrable en dicho intervalo.
4 Demostración
Haciendo las mismas primeras deducciones del teorema anterior, para cual­
quier P;
Sp(o - Sp(f) =
2
k - 1
■■
^•‘*·
donde
es el supremo y
el infimo de t en cada subintencalo de ia subdivisión P.
Pero, af ser continua la función,
es el máximo de f en 1^ y m,, el mínimo, de
acuerdo con el segundo teorema de Weierstrass (pág. 182).
Ahora bien, corno la función f es continua en el intervalo cerrado [a; b], por el
teorema de Heine (pág. 188) es uniformemente continua en él.
O sea. Ve > O 36 > 0 / |x' - x” ) < 6 => jf(x') - t(x")l < €.
Consideremos una sut)divislón P del intervalo [a; b] cuya norma ||P1( sea menor
que 5. En todo subintervalo de esta subdivisión P, la diferencia entre dos valores cua­
lesquiera de f es, en valor absoluto, menor que c.
Esta relación se verifica también, por supuesto, para el valor máximo y el valor
mínimo que alcanza f en cada subintervalo de la subdivisión considerada.
Por (o tanto, para todo € > O existe una subdivisión P del intervalo (a; b l tal
que, en 4odo subintervalo l^ de esa subdivisión es M|, · m^ < — - —
b —a
A 1
(k € N
a
k s n).
Por lo tanto,
b - a ^ é ',
‘
(b
b · a
a) = í .
y se cumple la condición de integrabilidad.
451
Sumas intermedias
(x,.
Dada una subdivisión P dol intervalo [a; b], si elegimos en cada subínien/alo
Xj] un punto cualquiera c., la suma
n
S p ( 0
=
I - 1
se denomina suma intermedia de f en [a¡ b] o también suma de Riemann.
Según definiciones anteriores, las sumas superiores e inferiores son también
sumas intermedias si la lunción es continua.
Podemos demostrar que si ( es continua en [a; b], entonces
V€>03«>0/
J ^ f-S p (f)
< € S í [|p ;|< 6 .
o sea. que la suma intermedia aproxima la Integral definida con un error t prefijado.
En efecto, por ta definición dada, es: Sp(f}
finición de integral: Sp(f) <
Sp{f) ^ Sp(f). Además, por la de­
Í^ S p (f).
Por lo tanto. VP:
I ts Sp(f) A Sp(f) 5: Sp(()
Sp(f) < S p (f)
2 : Sp(f)
A
- Sp(f) < Sp(0 - Sp(f)
=»
Spíf) -
í
( 1);
Sp(f) - Sp(f)
(2 ).
t -S p (t)
(2).
O sea.
J ^ f - S p ( f ) * S p ( t ) -S p (f) (1)
A
De (1) y (2); - ( s , ( t ) - S ,(f)) s
J*
( S p ( 0 - S p ( r ) ) s j“
- Sp(t)
Sp(l) - Sp(l)
I - S p (l)ls §p(0 - Sp(f).
Como f, por ser continua, es integrable, sabemos que
V e > 0 3 6 > 0 /S p (f) - S p (f)< €
si
|iP!J < S.
Luego. Ve > 0 3« > 0 /
Esle último resultado suele expresarse, con la notación usual para límite, de la
siguiente forma:
452
•ínil||p||-.o S?(í) ^ J* ^·
pero nose trata de un límite común, oomo se verá más adelante (Cálculo 2. pág. 261).
111. Propiedades de la integral
Propiedad adKlva del Intervalo
Si í es integrable en [a; b ] y c es un punto cualquiera interior al intervalo, entonces
Dem ostración
Consideremos una subdivisión cualquiera de [a; bJ;
P = |a - x o ix iix ? ; .........:x r ^ H
Si P es una subdivisión cualquiera de [a; b], el punto elegido c puede o no perte­
necer a elta.
Sea P’ el refinamiento de P al que pertenece el punto c además de los n puntos
considerados.
Es decir, P' - [a X o ;x i:x ? :......; c : ____ ; x,, - b].
Resulta Sp(f)
Sp (f) ( i) por el lema 2.
La subdivisión P’ se puede considerar como la unión de dos subdivisiones:
R = [a = Xq íx ,; . . . : x ^ - c jd e [a :c ] y
Q = {c = XhiXh- i¡ . . . . . . x . = t)l derc;bl .
Luego. Sp (f) -
S r(í ) + So(f)
y. por (1). Sp(f) í S „(f) - SyO).
Ahora bien, por definición de integral inlerior como supremo del conjunto de su­
mas inferiores respectivas, es:
453
Luogo. Sp(f) s r - / : ·
EI número 1 ( +
|
f es, entonces, una cola superior para el conjunto de su·
mas inferiores del intervalo [a; b], ya que 5p(f) es la suma inferior correspondiente
a una subdivisión cualquiera P de [a; bj.
Luego,
f, que es la menor de las cotas superiores, no supera a dicho número,
o sea.
Por un razonamiento análogo, utilizando las sumas supenores, resulta*
(3).
De (2) y (3), como la función es integrable en los tres intervalos considerados,
queda;
tesis.
Por k) tanto.
Teorema del valor medio del cálculo integral
(para funciones continuas)
Si f es continua en [a; b], entonces existe un punto c interior al intervak) para el
cual es f(c) =
^ ^ ^
f (f(c) es el valor medio de f en [a; b ]).
Dem ostración
Recordemos, en primer lugar, que una función continua en un intervalo cerrado
tiene en ól un máximo y un mínimo absolutos (pág. 182). Sean M y m dictios extreoKW.
Como una función continua es integrable, por una propiedad anterior (pág. 446),
es m(b - a) ¿ J** f ^ M(b - a).
Como (b -a ) es un número positivo, si divkMmos por él queda:
má
p f s M.
b - a J a
1
El numero k = — -— ( f es un valor comprendido entre el mínimo m y el
b - a J a
máxinx) M de f eri [a; b].
Luego, por el teorem a del valor interm edio. (pág. 176). 3 c c (a ;b ) tal que
f(c) = k. O sea, f(c) =
o
f * ’ t. que es la tesis,
- a «f «
Este teorema tiene una interesante interpretación geométrica para funciones con
vak^res no negativos.
Sr se define el área del recinto de ordenadas como J*** f. resulta:
donde el segurido miembro es el área de un rectángulo cuya base tie r» k>ng:tud
( b - a ) y su altura tiene longitud f(c).
Es decir, existe un rectángulo “ medio" cuya área es igual a la del recinto de orde­
nadas.
EJ número ^
— f*^f se llama “ valor m edio" d é la función í en el inter*
D- a J a
vaio [a ; bJ.
Para poder encontrarlo necesitamos primero aprender a calcular la integral defi­
nida
f. Para ello, en fa sección siguiente definirnos una función muy especial, lla­
mada función integral, y demostramos el teorema fundamenlaJ del cálculo. Volvere­
mos luego al teorema del valor medio y sus a plicacion e s.
IV. Función integral
Antes de definir la función integral damos dos definiciones que tienen una inter­
pretación intuitiva lógica:
Por Olra parte, podemos observar que hasta ahora el cor>cepto do Intogrnl d»ft
nída aparece totalmente desvinculado del de derivada.
465
Históricamente se liogó a ambas ideas por caminos diferentes, para resolver
sendos proWemas geométricos.
Newton y Leibniz fueron los primeros en relacionar amtxDS conceptos furKlamentales. Esta relación se pone en evidencia con el teorema fundamental del cálculo inte­
gral, que permite calcular la integral definida de una función integrable f mediante una
lur>ción primitiva o antiderivada.
Para deníiostrarto, consideraremos la función F definida así:
f.
F:x
Analicemos la expresión anterior. En ella observamos que F es función del ex­
tremo superior de la integral definida en el intervalo [a; x], es decir, F depende de x.
Por supuesto, F depende además de la función elegida f y def punto a, pero una vez
fijos í y a, F depende exclusivamente de la variable x.
Esla función F se llama función integral dependiente del extremo superior de f
con origen en a.
Por una definición anle rior, Fía) -
f - 0.
También resulta F(b) =
Teorema fundamental del cubículo Integral
Si f es una función continua en el intervalo [a; b], la función integral F: x — J * f
es derivable, y su derivada en cua'quier punto Xq del inten/alo [a: b ] es f(xo). O sea,
VXo €[a¡ b ]: F'(xo) = f(xo). {En a / b se consideran derivadas laterales.)
456
D em ostrsción
Para probar que existe F' (Xq) aplicamos la definición de derivada. Para ello txjscamos primero el cociente irtcrení>ental:
fííL u fM
,
T fi -
X - Xq
(1)
^
^0
Por la propiedad aditiva del intervalo (pág. 453), es:
Reemplazando en (
1
)
f í
^
:
■ *0
X - Xq
Por el teorema del vabr medio del cálculo mtegrat (pág. 454):
3 c € ( x<,:x) / I ( c) =
Luego.
^
I.
®
*O
= f(c),
X -
Xq
Buscando límite en x^, resulla:
P (x „ ) = iim ,^
V
X
Xq
= «n>._,„((c)
(2).
Ahora bien, para todo número positivo 6, si x pertenece a un entorno de centro
y radio fi, también el punto c pertenece a dicho entorno, pues c está entre Xp y x.
Es decir, lím *_,pf(c) = lim,t_,Qf(x).
Xq
Además, como í es continua en Xq, es lim,
Luego, por (1), es F'(xo) -
,^f(x) - f(xo).
f{Xo), que es la tesis.
Regla de Barrow*
Sí f es continua e n [ a ; b ] /G e s u n a prímítrva de f, entonces
JN
= G(b)
G(a),
* Isaac Barrow (1630-1677). teólogo y matemálioo, fue profesor en la Universidad de Cambrid­
ge y renunció a la cátedra en favor de su discípulo Newtoo.
457
Dem ostración
G es una pr.mitiva def. 'o r lo ta'Mo.por definición de prlmiliva fpág. 386), es
V I:G ‘ (t) - f(1).
S i F es Ja función ¡oi.gral. es F<a) -
J** ' ~ ® ^
Además, por of trorema anterior. Vl t |a;b'cs F'(t) - 1(1.1.·
Por una propietírd de la función pr mi;iva (pág. 3 5 7 ):
G il)
Como F(a)
f(t;iF 'íl) - f(t) => 3 k € R /F ( t)
O, es G(a)
i -
G(1.l - k
k - O Luego, k - -G (a ).
Eríonces resulta. F(b)
Es tlegir,
-
J ' f - G(b;· * k ^ G<b;G(a}.
G(b)
G(a't, que es la Jesis.
La rogla de Barrow indica que para evaluar la irtegra' dcf'nida do f er'-i'e a y b
basta encontrar una primitiva cualquiern de f y restar los valores indicados de dicha
prim-'iva.
Efempfos
2^
( i )
2]
r ~ '’ c o s x Jo
3
1*
3
0
3
(senx) ^ - s e n -^
rt
2
1
7 ·
3
sen O
3
I
0 -1 .
Pa^a el cálculo de integ'ales muchas voces es corvenionte utiliza:, como ya so
ho indicado, la nctacicn P f(x) dx, en especial si debe recurrirse a un cambio de
variable.
"
Para tíl cá'cD O de iníegrales aeÍT.idas puedco utilizarse los teorsn'as ya vistos
para prir^ilivas (pág. 390). que pueden demostrarse de *nanera sinilar utilizando la
definición de pr.miliva y la regla de Barrow.
Por ejomplo,
/ i
^ ■/ '
^
S
elcétera
De acuerdo con lo trKíicado en la página 455,volvemos ahora al teorema def
vnfor medio del cálculo integral y a sus aplicaciones.
Ejem plo 1
Encontrar el punto c correspondiente al teorema del valor medio del cálculo inte­
gral si í: X
x^ - 1 en el inten/alo ( 1; 3 1.
La longitud del inten^afo os 4. Ségúr» el teorema: existec entre - 1 y 3 tal-que.
458
t(c) =
7
f(c) = 4 = ^ c ^ - l
= 4=^c
=
Además, - 1 < ^ 5 < 3.
Efom pki 2
Calcular el valor medk)
de t: x - *
p u n to c e {-l;4 )ia J q u e f(c ) « ti.
f
* x ^ d x = -4 Í-
3
en el intervalo [ - 1; 4], y encontrar un
65
3
+ -1
3
Según el leorema, el valor medk) se encuentra dividiendo el valor de la integral
por ia longitud del intervalo.
R esulta/£ = *7 · “ ^ “ =* M
5
3
- 3
"·=’·
Para encontrar el punto c obsetvanios que:
f(c) =
13
Id =
“
2.08.
Descartando el valor negativo, pues no pertenece al intervalo dado, obtenei:>os
= V
4
♦ El valor medio
^
— T 'e re s ia 'media aritmélica" de los valores de f en el
a J »
intervalo [a ; b].
Para justifícar esta denominación, recordemos que se llama media aritmética de
n números y ,, y 2, y j, .. .y„al valor-^ (y, ? y? + ya - ......... - y jAhora bien, consideremos una subdivisión P del intervalo [a ;b ] en n subinlcrvalos de igual longitud h. En cada subintervalo elegimos un valor de I y lo multiplican
mos por h. Obtenenws así la suma
í(x ) h. E sla surna esu n asu m a inlen o rd ef en
I·1
(a: b ) si f(x¡) es e( valor minimo en (x ,;x ,l; una suma superior si t(x,) es el rndxirw).
o una suma intermedia si f(x.) es un valor cualquiera. Cuanto menor es el número
positivo h. la suma correspondienle es una mejor aproximación de la integral J*** f.
X
Viendo que n h es la longitud del intervalo [a; b ], el cociente
f(x.) h
nh
459
es un valor apioximado del valor medio de fy es a su vez la media
n
aritm ólica de ios valores elegidos.
En el ejemplo anterior, si dividimos [ - 1 ; 4 ] en subintervalos de longitud 1, obtenenrtos la subdivisión P - [ - 1; 0: 1: 2 :3: 4 ],
Eligiendo los valores f(0) - 0,f(1) = 1.f(2) - 4, f(3j = 9 y f(4 ) = 16,
(O » 1 < 4 - 9 í 16) =
mp
Para subintervalos de longitud
— ( t) ^
i 'ii) - 4
obtenemos/xp. =
= 6.
si además de los valores anteriores calcula-
'( Í) = 7 ’( l ) =
" ^ )
·
= 5,125.
Para valores cada vez más pequeños de h, los números que se obtienen se
aproximan cada vez más al valor medio 4,3.
^ Vafor eficaz
En algunas aplicaciones interesa el valor quo se obtiene considerando el valor
medio det cuadrado de la función.
-bÍ - -—a JP a' ^ ·
Su rai2 cuadrada positiva suele llamarse "valor eficaz” de la función:
En especial so utiliza el valor eficaz para funciones periódicas cuando la longilud del intervalo coincide con ol periodo.
A plicación
Hallar el valor medio y el valor eficaz do f· x ► sen x en (0. 2 jt].
Valor medio·
Valor eficaz:
- —
f "s e n x d x
2 tt J ^
f " s e n ‘'x d x =
27T J o
- l i r (
Luego,
460
- — ( eos x)
2fl·
2rr Je
2
dx
EJERCICIOS
1) Evaluar las intégralos correspondientes a los ejercicios de la sección 1. es decir:
a)
\/Y 5 -
b)
(X* - 1)
c)
(x« + x)
d)
(x 2 - 7
f)
J® (x2 - 6x M O )
g) y
x
(2x ■*- 1)
+ 2)
+J ]
- 4x + 9) +
2) Evaluar las siguientesintegrales:
a)
p
x^
b)
c)
J* |(x " 1- 1)
(x^ - 2x + 3)
d) J "
X (V T
.—
3)
1 \ «r
1 x^ - 1
3 X‘
■’
m)
r)
rt
X
/o
V 1+8x4
'*
T 3x^)
n)
(e* · x)
s)
{ -x^ « 5)
j'js e n ^ ( 5 x )
r4
n / i ^ n /x
/-
3) Hallar el valor medio m de cada función en [a; b] y hallar c e (a; b) / f(c) = fi.
f: x ^ x ^ e n [0; 4J
h : x - > — ^ - ^ o n f O ; 1]
g :x --*v ^
no; x - ^ — = L = en{0; 1]
X f 1
r ; x - » 3 x ^ - 2 x - 5 e n [0 ;2 ]
e n fO ;4]
\ / 4 - X^
s; x
|
en [ -1 ; 0]
4) Hallar el valor eficaz de f; x -*· ser>^ x en fO; 1x1.
AfKi
♦V . Integrales impropias
Al dar el concepto de integral según Riemann. hemos exigido que la función f
considerada estuviese definida y acotada en un intervalo cerrado [a; b ].
Si se elimina alguna de esas restricciones impuestas a la función o al Intervalo,
se puede generalizar la idea de integral definida mediante las llamadas integraos
impropias.
La teoría de inlegrales impropias presenta gran similitud con la teoria de las se­
ries y rx> será estudiada en este texto. DarerDos a continuación solamente una idea
sobre las integrales impropias de primera y segunda especie.
1) Integrales impropias de primera especie (Intervalo infinito)
Consideremos la función f: x -► e * para x
1.
La función f es integrable en cuaJquier intervalo [ 1; b], o sea. para cualquier número real b 2: 1 existe la integral (propia) J***
y
>ft
1
m
m
m
m
b
e
e·’ ■
Si consideramos la función integral F: b -» J* e *, la función F tiene límite finito
para b - * + ^ .
En efecto, es
lím
. . .
P
e ' = lim
b .
V
^ - 1 ------ L · \ „
' e
^ ^
En este caso, entonces, existe el límite finito lím
El sím bolo
..
J.
e
/:
^
fe
” se u tiliza para representar el lím ite a n te rio r y se dice
*
1
que esta Integral im propia de prim era especie converge al número — ·
En general, entonces, si existe la integral
b ^ a, el símbolo
J
^
J'*’ f para cualquier número real
^ llama integral Impropia de primera especie de la fun­
ción f en el conjunto no acotado [a; + » ). Si existe el límite finito
462
lím
f ’ f=
b—+* Ja
A,
la integral impropia mer^cionada converge al número real A y se acepta la siguiente
definición:
f ■' f = lim
J
j
f 'l
.
j
= A.
,
Si el límite indicado es infinito, la integral impropia es divergente, y si no existe
dicho límite, la integral impropia es oscilante.
En forma análoga se define J
f -^ llm
J * 'f , sr este limite existe.
2) Integral Impropia de segunda especie (Integrando Infinito)
Consideremos ahora la función f: x
en el intervalo semiabierto a deV 5 X
recha [4:5), y observemos que f no está acotada en ningún entorno del punto 5. Por
otra parte, si c es cualquier número real tal que 4 c < 5, es integrable en el inten/alo cerrado f4 ¡c j.
e
J
í \
E sF(c) -
f “ -J ^ \ 5 - X
1
s5 - Xy
(-2 ^ .^ ^ )
'
'
4
-
2 v' 5
c
2V I.
Si buscamos el limite de los valores de F a izquierda del punto 5, es
lím F{c) = lim
C— 5 -
( 2v 5
c ^ 2) rr
2
c · 5
En este caso el símbolo
f designa una integral impropia de segunda espe­
cie, pues f no está acolada en ningún entorno del punto 5. El punto 5 es un punto
singular de la función f.
El número 2 es el valor de la integral irrspropia mencionada y se define:
f ®
J 4
■- ■ ■ ■ ■ = lim
V 5
- X
^ 'S ·
f '
^
-
2
^ v' 5 - X
En este caso ía integral impropia
f es convergente.
En general, entonces, si la función t está definida en el intervalo semiabierto a
derecha [a; b), si existe la integral
y si lím
* —D
f{x) = X, el símbolo
f*
J »
f para cualquier número real c tal que a
c < b.
f se llama integral impropia de segunda espe-
d e de la función f con punto singular b. Si existe el limite finito lim
l · ' f - A,
c-tt
J »
la integral impropia mencionada converge al número real A y se acepta la siguiente
definición:
f " f = íím . f ' f = A
J a
c-.b J a
463
Análogamente, sí la funry >f ostá definida en el intervalo semiabierto a izquierda
(a; b], si existe la integral ^ ° f para cualquidr número real c tal que a < c ^ b, si
a es un punto singular & la función f, o sea, es
lím,
f(x) » x-, y si existe el nú·
mero real A = lím» f f, so define;
e-.*« r «
f"
J
f = lím,
a '
e—
J
0M
SI se considera la función f; x - ·
Vx
T f
= A.
c
en el inténsalo (0; 1 1, el símbolo f ’
f
J o-
corresponde a una Integral impropia de segunda especie con punto singular 0.
—7=
vx
En efecto, es lim
«-/·
» » , y si c es un número real lal que O < c
la función f es inte</· able en [c; 1 ] y es
Resulla
línr»
c -»o*
f ’ ——
J e
-
lím i
v x
/ )I
( 2 - 2 v 'c ) - 2.
c *0.'
tI
— =1
= 2.
0+
EJERCICIOS
Indicar si convergen las siguientes integrales impropias:
0
^>Jr’-
*
xe
X
V
V X
r ♦» 1
2)^1 ^ x
1
3)_}f®0· >/x’
5) ^
í*»’ V i
In x
1
X*
10) J•-1 1
Vx
464
r : iro 12) J
1
1- , i r
1.
1
\/T
^
\/ 1 -
If
5
’« j ;
Vi.
- . w
V b - X
Aplicaciones geométricas de la integral
1) Cáfculo de áreas
a) E n c o o rd e n a d a s c a ri9 S ia n M
De acuerdo oon la idea ¡nluiliva de área de un recinto de ordenadas dada al
comienzo del capítulo, si t es una función no negativa, continua en un inten/ak> [a; bJ,
es natural dar la siguiente definición de área:
Si la función es positiva, ía curva se encuentra por encima del eje de abscisas y
ef área es un número posKivo.
En cambio, si í es una functón contmua, negativa en |a; b p a r a que el área re­
sulte también un número positivo ia definición adecuada de área es la siguiente;
(2 ).
Para justificar la dermidón dada basta considerar Ja función g no n^ativa en
[a ;b ]y ta lq u o Vx:g(x) = - f(x).
Por definición (1) de área, como g es no negativa, resulta:
465
Obsérvese que si una función continua en un intervalo [a;b] alcanza en él valo­
res de signos contrarios, la integral definida está dada directamente por la regla de
Barrow, pero esta integral sólo da una suma aigetraica de áreas, que no corresponde
a la idea geométrica de "área no negativa o absc^uta".
Consideremos, por ejemplo, la siguiente integral;
senx. =
^ -c o s x )
7n
= -
oos 27f + cos o ■
“ 1 +1
La integral vale O porque el área entre O y fr es 2 y entre ir y 2
pero la función es negativa.
0.
es también 2.
Luego, cuando se trata de calcular el ¿rea, se buscan las intersecciones con el
X y se aplican sucesivamente las definiciones (1) y (2).
En el ejemplo anterior el área correspondiente a la sinusoide entre O y 2ít es;
A= 2
466
s
e
nX= 2 ^-cosxj
2 (-eo s 17 + cosO) ■
2 -2 = 4.
En general.
Si f es c o n tru a en i’ a.bl.
i:·
J .'
tje m p io
Calcu’ar el área de un circulo (ío radie r.
Por consideraciones geométricas inmcd atas.
Luego, debe ca.'cuJarse Ja integral
A ^ 4
f
A - 4 f
Jo
\
I
dx.
•'(I
Para resolverla conviene recurrir al rnéfodo de sustitución de variable, hacien­
do x = r sen t.
De acuerdo con ía regla de Barrow, basta calcular una primit»va cualquiera de
\
- x^ y luego restar los valores correspondientes a los extremos del ir.tervafo
de integración. Pero al efectuar ef cambio de variable es necesario cambiar los limites
de integración considerándolos respecto de la nueva variable.
Si se hace x = r s e n t, para x ^ i es r = r sent, s e n t - i y
t = arc sen 1 (en el primer cuadrante).
467
Luego,
si
x = r
es
I = —.
Si X = O es O - r sen t, ser» t = O y
O sea. si X = O es t = O,
Además,
1 = 0.
dx = rc o s td t.
Por lo lanto.
A = 4 J" ^
=
4
r^
fz
X
\/l
sen^t cos l dt = 4
1 - cos 2t
s e n 2 t\
2
n
dt
2
2
J ' ^ cos^l dt ^
(1 - cos 21) dt =
/Z .
\ 2 ^ 2
7T
_ son 0 \
2 /
- ir r
Area entre
don curvas
Si se desea hallar el área del recinto comprendido entre los gráficos de dos
funciones continuas, basta efectuar la resia de las áreas correspondiontes.
Ejem plo 1
Hallar el área del recinto sombreado en la siguiente (¡gura:
468
f;x-*
Vx
Deben buscarse primero tas abscisas de los puntos de intersección de ambas
curvas.
En este caso, a = O y b = 1.
Luego. A ^ J* [f(x) - g(x)J =
(V x - x^) =
3)
3
Ejempio 2
Área del recinto sombreado en fa fígura
y
f: X
- X*
g; x - » x
8
- 4
Los puntos de intersección tie­
nen abscisas que satisfacen
ambas ecuaciones.
Luego, para esos puntos se verifica:
+ x -
12 = O
X?
—
- 8 ^ X - 4.
i^ v T ^
4RQ
Luego,
a = -4
A = J ’
= (
V
> b = 3.
f- « » + 8 - (X - 4 )]
3
------- ^
2
+ '2 * )
/
=
’ ”
-4
(-X *
9-
2
X - 12) ^
' 36 k
3
2
1 48
343
6
b) Eh cooriBnadae potares
Sea R un recinto plano limilado por la curva C y los radioveclores r, y
.
Consideremos que la curva C está asociada a la ecuación polar r
f(t) con
I -5
El área del recinto R puede aproximarse mediante áreas de sectores circulares
inscriptos o circunscriptos en R. correspondientes a subdivisiones del inten/alo '‘ t. ].
Recordando que el área de un sector circular de radio r y ángulo central Jit
t, -
es área (S) =
área(R ) =
Puede definirse
lf(0]^ dt con una justificación similar a la utilizada para coor-
denadas cartesianas.
Ejem plo 1
Calcular el área de la región limitada por el gráfico de la cardioide de ecuación
polar
470
r = 1 + cos t para O
t ^ — (véase pág. 120).
áíBa (fl) =
f * (1 + oos t)* dt =
2 «Jo
1 + 2cost +
1
r ^ (1 + 2 cos t + cos^i) dt
2 Jo
cos 2t
)< !.=
o
8
E jem plo 2
Área de la región limitada por la cuo/a de ecuación polar
(lemniscata de Bamoolli).
área (R) = 4 ^
a^ cos 2t dt = 2a^
cos 2t dt -
r^ = a^ cos 21
a^sen 2t
La integral definida se utiliza tarriDién para precisar matemáticamente otros con­
ceptos geométricos y físicos, como área y volumen de un cuerpo de revolución, lon­
gitud de arcos, centro de gravedad, momento de inercia, etcétera.
Consideraremos breverriente algunos de ellos, indicando en forma intuitiva J s
razones que llevan a las definiciones dadas en cada caso. Para justificar correcta*
471
menle cada definición deben adaptarse los razonamientc
de un recinto de ordenadas.
2)
efectuados al definir área
Rectificación de arcos
a) En coordenadas cartesianas
f(b )-------------
/f\
oV- S
% / y
l^n -l}
f(a)
a -X r
’k —
- -í"·^ >
= (n) 89lé
*
+ i) T
'
Observando el gráfico de una función continua f, puede hablarse intuitivaniente
de la longitud del arco de curva comprendido entre los puntos [a;f(a)J %
de su gráfico.
El procedimiento para definir longltild^dl'uW’S r ^ d ^ 'H ir W itf é rR lld ^ im ^ iz a d o
para definir área mediante la integral.
.(iHuomeQ 9b Bícoainmol)
Para ello se considera una subdivisión del intervalo [a:b] y se forma la poligonal
correspondiente a la misma uniendo m e d irte segmentos los puntos P o.P vPj.... Pn
Si se suman las longitudes de dichosl segmentos, .se obtiene la longitud de ta
polfgonal correspondiente inscripta en el a(co c o n s i^ a d o .
Se define como longitud del arco de cu va al svpremo s del conjunto formado por
las longitudes de las poligonales In s e rta s
Si f tiene derivada continua en
fico de ( entre ios puntos
ta l( a ) ] y [b:f(b)) tiene Icngilud:
s -
f
Para esbozar la obtención de esta 'ór nula, cons ideem os una subdivisión cual*
quiera P = (x 0 ;xi;x 2 ;. ..;xnl delinlen/aio
La longitud de uno de los segmentos que icTnan la poligonal inscripta se puede
hallar utilizando la fórmula de Pitágoras.
íl
^^ "
:
oL ^
^ -- (H) b s ié
I ·: •i^icjm i^^líjjute'íi Rbinitob Isi&olni r j
— X5uú^mo3 .É^Die*) v îM iii^rnooL} .íolqoD
5£b9VClÍ 9b OlJritJO ,3001Í5 Oti bulig
ernomff/sid zomoiKisbisnoD
loi jinibt! 3RÍ B nBvoi< sup aíjnoiisi
‘
ÜTO
eoo
Ib
’
'
j ------------1—
'h » * n -
X
¡L
Si Jlamamos ds
a dicha Jongitud. es:
ds = v (Xh - Xh .)" -
)
ñ x T jF
M x j - f(Xh ,)
- Xh .)·
Xk - X,h I
Aplicando el teorema del valor medio del cálculo diferencial (pág. 247);
€ (x., i-Xh)/MC,) -
1
Reemplazando.
ds = V 1 ^ [ r (c ,) )' (X,
La longitud de la poligonal inscripta correspondiente a la subdivisión P está dada
n
por ía suma
___________________
^
1 - ffíc^)]^ (x^
x., ,)-
Por hipótesis, f' es continua y también lo es v 1 + (í')^. y. por lo tanto, es
integrable.
Se define la lortgüud de arco buscada como la integral correspondiente, es
decir,
s = J*"" v ' 1 - [f’(x )f
dx.
Ejem plo
Calcular la longitud de la circunferencia de radio r.
Si
s es la longitud buscada, es
((X)
S =. 4
f
Jo
\ / T
Jo
y
=
r
s = 4 f
r^ - x^
C (X ) =
.
:* . .
V r - x^
dx - 4 r '
Jo
r'
■
v ' 1 + (f'(x)l^ dx, donde
Jo
■■■■y dx =
\.^r - x^
dx
v ? ^
Se puede resolver la integral
mediante la siguiente sustitu­
ción:
X = rs en t.
Resulla dx = rcosttdt. y los
limites de Integración son O y
IT
respectivamente.
473
S = 4r
= 4,
r
Jo
r V t - senM
- 4r
f 'f lt
* 'p
2
-
* 4 , (l)
' '
2 ;r r.
b) En o o o ró s n a d a s p o la re s
dy
Recordando que f (x) =
dx
un arco puede anotarse larr'ljtón
s -
, la fòrmula obtenida pa:a calcular la lorgitud dG
\ (dx)" - (dy)^
Ahora bien, si la curva C està dada en lomia paramétnca por dos funciones g y
h. ambas derivables en el intervalo[t,;t-), lales que x ^ g(t> a y = h(t) \ t,
\ - i,.
resulta:
s
yjlQ'mr
-
I | h ' ( l ) f dl.
En especial, si la curva C es el gráfico pelar de una función f dada por r - f(t),
las ecuaciones paramétricas de C son x - f(i) cos t a y _ f(i) sen i (véase pág.
100 ).
Por lo tanto, dx - f(t) cos t - f(t) sen t.
dy
f'(t) sen t · f(t) cos i.
Siendo ds^ = dx~ - dy^. obtenemos ds^
(l(t)l^ · [í'(t)p .
Una notación aceptada para í ’(t) -
es r Con ella resolta finalmente una
dt
fórmula simple de recordar, nue permite calcu’ar la longitud de un arco de curva deti·
nida por su ecuación polar
Ejenypio
r -
Calcular la longitud cío una circur'erpncia de radio a cuya oc^accn polar os
a (a . - 0)
s = J '* ’ \ /
dt =
dl ^ 2 t 3.
3) Área de superlicies de revolución
SI un arco de curva gira alrededor del eje x, barre una suporliae de revolución.
474
Por consideraciones análogas a las anteriores, se puede detinir el área corresporv
diente mediante una integrar adecuada.
A una subdivisión cualquiera P del intervalo [a; b] se le puede asociar, como ya
se ha visto en la página 472, una poligonal cuya longitud aproxime la del arco de
curva.
Cada uno de los segmentos de la poligonal engendra, al girar alrededor del eje x,
la superficie lateral de un (ronco de cono cuya área se obtiene mediante una fórmula
de geometría elemental: longitud de circunferencia media por longitud de generatriz.
Por ejempk), para el subintervalo [x, ,; x, ], resulta:
2 iT - ^ ~ - ^ d s
A, =
Ahora bien, el valor
punto medio del subintervalo [x,
que se obtiene.
O s ea . A» - 2Trf(Q)ds.
ds.
puedo aproximarse por f(Cj), siendo c, el
i : Xj]. Cuanto mayor es n, mejor es la aproximación
475
Por lo lanío, el área de la superlicie de revolucir puede aproximarse medíanle
la suma de las áreas de las n superlicies laleraler
troncos de conos.
n
Es decir. A, - X 2rr f(c ) ds.
I
1
Esto justifica, entonces, la siguiente o •'^'ción para el área de una superficie de
revolución:
A, == J · “ ?.,«»)«)«
(f(x )> 0 ).
Resulta finalmente:
A ,; = 3 r f ''f W v 1 - ( ( W f dx.
J m
Ejempto
Calcular el área de una superficie esférica de radio r
La semiesíera puede considerarse engendrada por la revolución de un cuarto de
circulo alrededor del eje x.
donde f(x) -
A, -
\
^ - x^
y
4 JT f ' V r^- x^ —
J o
V r
f'(x) -
—
dx
-x
4 JT r f' dx =
• 'o
^ 4 TT r (x):^ = 4 n-r^.
4) Volumen de sólidos de revolución
Repitiendo una vez más los procedimientos anteriores, se define mediante una
integral el volumen del cuerpo engendrado por un recinto de ordenadas al girar alre­
dedor del eje x.
476
Aproximando el recinto mediante rectángulos, sf se hacen girar dichos reclángulos alrededor del eje x se obtienen cilindros de revolución.
Elijamos rectángulos inscriptos y consideremos en particular uno de ellos, aquel
que tiene como longitud de la base el valor (Xh Xh i ) y como longitud de la altura
el minimo de f en el subíntervaio [Xr, , ; x^ ].
El volumen del cilindro engendrado por este rectángulo está dado por la fómnula;
V
= 77
f (Xh - Xh 1).
El volumen correspondiente al polígono inscripto considerado está dado por la
suma 2 irím h l^ (Xh - Xb - 1 )n- 1
Por definición, el volumen del sólido de revolución es
V * TTJ * ‘'[ f ( x ) f dx.
Ejem plo
Calcular el volumen de la esfera de radio r.
EJERCICIOS
1) Área del recinto formado por f; x
x^ entre 1 y 3.
2) Área del recinto formado por í: x — V x entre O y 4.
3) Área del recinto íormado por f; x
2 V ^ entre 4 y 9.
4) Area del recinto formado por f: x
V 2 p x entre O y a > 0.
477
5) Area de la superficie interior a la elipse: —
a^
= 1.
b*"
6) Àrea del recinto entre los gráficos de f : x
x^
y
g: x — v l T
7) Àrea del recirìto entre los gráficos de f: x - 4
-x ^ y
g: x -» x^
8) Àrea del recinto erìtre los gráficos de f: x x - 2
y g: x - * 2x -
9) Àrea del recinto enire los gráficos de f; x -» x^ - 4x + 1 y
10) Àrea del recinto entre los gráficos de 1; x
x
11 ) Àrea del recinto entre los gráficos de f: x
12) Àrea del recinto entre los gráficos de f: x
y
- 4.
x^.
g; x - *
x-5.
g: x -» 6x - x ^
x - x*
vT
y
g; x
- x.
y g: x -» xV
13) Àrea del recinto entre los gráficos de f: x -♦
4
x^
y
g; x —
x' 2.
14) Àrea de la superficie limitada por un lazo de la curva de ecuación polar
r = 2 sen 3t
^
15) Àrea de la superficie limitada por la curva r = t
16) Àrea de la superficie limitada por la cardioide
para
0 tk \ ^
r « a(1 ·*■ cos l).
17) Calcular la longitud de aroo correspondiente al gràfico de f entre los puntos
(0:0)
y
18) ídem para
(4;8)
si
l : x - * x " ‘^.
f ; x - » 2 \ i r entre
(0:0)
y
(1;2).
19) Longitud del arco de curva definida paramétricamente por
x = 5t
2 A y = 2t + 8 A l = ; t ' í ^ 5 .
20) Longitud de un arco de la cicloide x = a (t - sont)
21) Longitud de la cardioide
r -
a
y = a (i
t).
a(1 t eos t).
22) Longitud de la curva de ecuación polar
r = sen^
( o < t -5
.
23) Àrea de la superficie de revolución engendrada por el gráfico de
entre O y 4, al girar alrededor del oje x.
24) Volumen del sólido do revolución engendrado por el gráfico
entre O y 4. al girar alrededor del eje x.
478
cos
de
f; x —►2 \ 1T
f: x -· \ T
26) Volumen del sólido do revolución engendrado por el gralico de
1
í; x - *
eoire
y 3. al girar alrededor del eje x
26) Volumen engendrado por el gráfico do
4
f:x -» -^ ^ — ^ onlre
5 y
2. al girar
«.’rededor cel e,e x
x'
27) Volumen del elipsoide do /evolución ongcndfado por — d
y^
f —^
D
■- 1.
28) Volumen engendrado por una onda de sinusoide (entre O y iv) al girar alrededor
del eje x.
VII. Aplicaciones físicas
La integral dcl¡r>ida admite también aplicaciones lísicas. Veremos brcvcrno»i1e
algunas de ellas, /a que Jos problemas físicos so resuelven más naturalmente me­
diante integrales dobles, triples o curvilíneas. Por otra p a ic , la justificación de las
definiciones es sencilla si se considera a la integral como limite (Cálculo 2, pág. 261).
1)
Trabajo
Si una fuerza f, que actúa sobro un punto material, lo hace desplazarse a lo largo
do una roela (eje x) entre dos puntos, el trabajo realizado se defino W - J * ” l(x> dx.
Ejemplo
La fuerza requerida para estirar un resorle es proporcional al alargamiento y se
necesita una fuerza de 3
tirarlo 2 cm?
f(x) = k x
Luego.
para estirarlo 0,5 cm ¿Que tíabajo se realiza para es­
Según los dalos, para l(x) - 3
3 - k ~ = : 9
k ^ 6
o
=> f(x) -
es
x
6x.
o
= 12
Teniendo en cuenta las unidades, el trabajo es de 0.12 kgm.
2)
Masa
a)
U nidim ensional
Consideremos un alamt>re que tenga la forma do una curva asociada a una
función continua f entre dos puntos.
479
SI e) alambre liene densidad conslante f>, su masa se obtiene muUiplicandop po»
la longitud del arco de curva.
O sea,
M = p
es M = p s. Recordando que s =
v T T T fw F
f v ' 1
*■
dx. resulta
dx.
Si la densidad es variable, se define
M =
p ds.
b) Bidim ensional
Consideremos una làmina D, piana y delgada, que tiene la forma de un recinto
de ordenadas limitado superiormente por el gràfico de una (unción I continua y r>o
negaliva. Si la densidad es constante porque la làmina està construida con material
homogéneo, la masa de la lámina es proporcional al àrea de la superficie y se define
corno'el producto de la densidad por el àrea, es decir.
M = p area D = p J** 1(x) dx.
Si la densidad es variable, es
M -
p f(x) dx.
3) Momento (respecto de un eje)
a) De p rim er orden (estético)
Se define, para una partícula, como el producto de su masa por la distancia a una
recta. Puede demostrarse, si se trata del momento de un conjunto de n partículas,
que éste no se altera si se considera una sola partícula cuya masa es la suma de las
n masas, localizada en el centro de masa o centro de gravedad del sistema. SI el
material es homogéneo, el centro de masa coincide con el centro geométrico. Por
ejempk), en un triángulo, es el punto de intersección de las medianas: en un rectán­
gulo, el punto de intersección de las diagonales: etcétera.
Por lo tanto, si se trata de obtener las coordenadas del centro de masa de una
lámina que tiene la forma de un recinto de ordenadas, puede aproximarse el cálculo
considerando rectángulos, tal como se hizo al hallar la integral definida.
Sea la subdivisión P = [x^; x, : x ^ :..; x„). En cada subintervalo buscamos su
punto medio. Por ejemplo, c^ es el punto medio de [x . ; x, 1. y elegimos como primer
rectángulo el que tiene altura f(c,). Análogamente para los demás subinten/alos.
Para el primer rectángulo, su ceniro de masa es el punto de abscisa c, y or­
denada - j f(c ,). Su momento estát»co. entonces, respecto del eje x, es el producto de
su masa por la distancia al eje x. Ahora bien, el área es f ( c j (x, -Xg). la densidad
constante es p y la distancia del centro de masa al eje x es y f(c ,).
Luego,
M „ = - i f(c,) · p l{c,) (x, -Xj).
distancia
O sea,
M„
Respecto
y resulta M,y
Haciendo
momentos de
= j
IK c ,)]' p A x ,.
del eje y, en cambio, la distancia del centro de masa eslá dada por c,
- c,í> f(c,):ix,.
lo mismo en cada uno de los rectángulos y sumando, obtenemos los
la lámina formada por los n rectángulos;
M r. - i) 4
I
masa
1
A
¿ c,«c,)pix,.
^
I I
La primera suma es una suma de Riemann para la función dada por
[f(x))^
y la segunda para px f(x).
Por lo tanlo, podemos dar las siguientes definiciones para los primeros mdmenlos da la lámina mencionada;
M. - -1
p[l<»)|'<Jx
A
M, =
p x l(x ) dx.
Si se trata de los primeros momentos de una curva, pueden justificarse, de ma­
nera análoga, las siguientes definiciones;
M.
px ds.
b) De segundo orden {irierda)
Para los momentos de inercia, en lugar de considerar la distancia al eje, se
considera el cuadrado de la misma.
4) Centro de masa
Recordando que la masa de un sistema se concentra en su centro de masa, se
define al centro de masa como un punto de coordenadas (Xaiy^). tales que
My· Xg A M, - M
<n«9J disunciá
Por lo tanto,
x^ =
a
M
y^ =
· Vg ·
M ‘
Ejempto 1
Hallar el centro de masa de un alambre, con densidad uniforme, que tiene la
forma de una semicircunferencia de radio 3.
Por razones de simetría, es
- JL·
M-
Xq = 0.
^
JáVds
/ ^ ík Js
^
S
La longitud de la semicircunferencia es
Además,
/a yds
/Jds
f(x) = \ / 9 - x^
Luego,
=*
s ^ 37t.
f(x ) =>
f<x)
*
v ^ 9 - X*
’
+ [f'(x)]^ dx
dx
=
Resulta
v o = ^ / : 3 -
vo = ! ·
(x ^lY o ) =
Ejempto 2
Centro de masa de una lámina semicircular de radio 3 y densidad uniforme.
M.
P Í« « » *« «
M
J j p f(x)d x
El área del semicírculo es
—
2
tt.
4 ;? (9 -x ^ )d x
Luego,
yo =
9
2^
482
,
2
[l(x)¡^dx
;;f(x )d x
4)
EJERCICIOS
1) Trabajo realizado al estirar un resorte de 12 cm de longitud hasta 10 cm. si so
necesita una fuerza de 4 kg para extenderlo 1 cm.
2) Centro de masa de una varilla de 30 cm de longitud, cuya densidad es proporcio­
nal al cuadrado de su distancia a un extremo.
3) C ení'o de masa tíe un arco completo de Ja cicloide: x -= a{t - sen t)
y = a (l - cost), recordando que su longitud es
8a.
4)
Centro de
masa de la cardioide r= a(1
a
cos i).
5) Centro de masa de una lámina de densidad uniforme, limitada por el gráfico
de f:x-*4 y las rectas y = O, x = - 1.
6)
ídem para
f;x ^ ln x,
7)
ídem si la
lá.'r:.na está limitada por y ^ 2 - 3x^ y la recta 3x + 2y
x = 1.
x -
e.
y - 0.
1.
VIJI. Integración aproximada
Al definir ai comienzo de este capitulo sumas superiores e inferioros y demostrar
sus propiedades, pudo observarse que los valores de estas sumas aproximan la
integral, y que la aproximación es mejor cuanto más fina es la subdivisión. También,
que la aproximación puede hacerse mediante suma.s intermedias.
Ejem plo 1
En la página 4 4 para f:x-»x^ - 1 en l0;3l, obtuvimos los siguientes resultados:
P
[0;1;2¡3]
=> Sp(l) - 8
P’ = rO ;1 ¡-|;2 ;3 |
=>
a
Sp(f) -- 17.
Sp (f) ^ 8,625
a
Sp.(f) - 16,125.
Si elegimos una subdivisión más fina P ";
P '· -
2
2
2
■
SI calculamos ia integrai, resulta
S ,.(f) = 9,075
{x"
l)d x
( “^
‘ *)
a
1?
En general, la aproximación mejora si se considera, piiin c.id.i MjtMÍtviHinn. ni
promedio de la suma superior y la inferior.
En nuestro ejempio, para P:
(Sp + Sp)
12.'.).
483
Sp.(f)
paraP': ^
(Sp. ' Sp j ^ 12.375.
p a ra P ": j
(Sp + Sp.) -
12.125.
SÍ aproximamos la integral de esla última (onna, podemos, on cada caso, acotar
el error cometido.
En efecto, sabemos que VP: Sp s
Si restamos el número
Sp
-
Sp
^
-
(S ,
y
(Sp t- Sp), obtenemos;
Sp
·
Sp)
f ^ Sp.
f
(S p
fy
s
r
- J
' - i
(S p
Sp)
+
Sp)
<
Sp
s
-1
-
Y
(S p
§p
-
—
Sp)
^
El error cometido, entonces, al aproximar la integral por
(Sp i Sp) nò su­
pera al número - j (Sp - Sp).
En el ejemplo, para P:
e, < 4.5.
^
para P'i
< y
(16.125 - 8.625) «
para p ·': «a < - J (14.375 - 9.875) c=»
Ejem plo 2
Sea:
í:x--»v 1 - x^
enfO ;1].
Sp
íj
3.75.
<: 2.25.
Consideremos una subdivisión regular P de cuatro subintervalos, cada uno con
la misma longitud
4
Como I es estrictamente creciente en [0 ;l]. en cada subintervalo (x, .:x,J,
es el minímo absoíuto de I y f(x,) es el máximo absoluto.
Luego.
S , = 1 [„o , - , ( 1 ) .
= 7 ['( t )
T
Sp
-
Sp -
^
(§ .
■ Sp) ^
'(i)
[t(0 ) - 2 ( ( | )
[ |
. ( ± ) -, ( ! ) ]
(f(0)
' '( t ) · «’>]
+
^ >(.))
2 ( ( - i) 2 f { | )
- -(f)
.. ( j )
f
( ( l/
> .( f) ]
En la última expresión puede observarse que los cálculos se simplifican porque la
función es monotona y los subintervalos tienen la misma longitud.
En esle ejemplo.
M .
v l)
0.707
-
\ 65
8
I 1.000 -
3 \ 2
4
^.061
\ 91
f.192)
1.117
Ahora bien, m-jchas voces no es simple o no es posible encontrar los extremos
absolutos do la función elegida on cada 5 ubinler\.-alo de una subdivisión En eso caso
pueden utilizarse sumas intermedias.
Estas sumas inlermed'as íípa'ecen sencilíamcnle si se *HWOxima el área def re­
cinto de ordenadas mediante stjmas cío arcas de t.'apecios en íugar de sumas de
áreas de rectángulos. Este método se conoce con el nombre de "regla de los tra­
pecios".
Regla de los trapecios (aproximación lineal)
Sea f una función continua en [a :b ] y P una subdivisión roguinr «n lu b ln lfrva lo ·
de longitud h.
Para el intervalo [x. ,:Xi|. el área dol Irapocio ntcK'tiid» · ·
Para la suma de áreas, obtenemos:
¿ A
1=1
= 4 ^ 2 t'(*
^
1-1
2 A
1-1
=
Pero
h [i(X o )‘ 2 f(x ,)-2 f(K ,}-....h 2 l(x ,,
^
Xq = a.
Luego.
O b ie n .
x, = a -
n
2 ^
i.1
2
n
^
h.
x^ = a ^ 2h..............
x^ = a ^ nh ^ b.
= T ^ [i(a) ♦-2f(a-^h)-2f(a+2h)+...-2K a i {n i)h )4 i(b)].
^
^
r 1
- l( a } + i( a - h ) + f ( a '2 h ) i. . . . - f ( a - ( n
l) h ) - - lf ( b )
En realidad el metodo consiste en aproximar, en cada subintervalo, la fundón (
por una función linea).
Por lo lanto, regìa de íos i/apec/o$: si Í es continua en [a.b], c*nlonces
/:
I - h
con
h
b -a
Puede dem oslM tse que si í tiene derivada segunda on el intervalo, tal que
Vx: | f '‘(x)| < A, e'vonces el error que se comete al h 'oximar la integral es
^ A h ^ (b - a)
12
E/em p/o 1
Aproximar, según la regla de ‘os irapedos,
486
(x* - x) dx
con
n = 4.
o4
2
; i 4 .2
2
Tabulando valores, obtenemos:
><0
X2
*3
^4
X.
0
1
2
1
3
2
2
t(x.)
0
9
16
2
105
16
18
2 ^ · i (
0
18
2
16
Para acotar et error. f'(x) = 4x^ + 1
- •
48
- f
105 \
16 /
« 2 t
/ 1\ 2
( i r -
f ( x ) - 12 x^
-
J_
22
145
B
= 9,0625.
f ( x ) -Í 48.
—
En este caso podemos obter^er el valor exacto por integración:
(x^ + x)dx = (-
0.4.
Ejem plo 2
Aproximar por regla de trapecios el área del recinto limitado por la curva C. si se
efectuaron las siguientes mediciones en puntos equidistantes:
487
Regla de Simpson* (aproximación parabólica)
Este método consiste en aproximar el gráfico de una lunción continua I por arcos
de parábolas en cada par de intervalos. Cada una de esas parábolas se determina
medíante las tres intersecciones de las ordenadas con la curva.
En primer lugar consideramos una subdivisión regular P en un número par de
subinten/alos. o sea. P = (Xg; x ,; Xjl ·····
^
En [Xq! XpJ queremos aproximar la cuiva asociada a I mediante una parábola de
eje vertical a la cual pertenecen los tres puntos no alineados \ . A, y A^. Sabemos
que dicba parábola es única y su ecuación está dada por un polinomio de segundo
grado.
El área del recinto limitado superíormento por dicha parábola se obtiene inte­
grando el polinomio correspondiente en el intervalo [x^: k^). Esa integral dará un
valor aproximado del valor exacto ig = f f{x) dx.
•'*0
Para facilitar los cálculos elegimos un recinto congruente con el anterior, donde
el intervalo, también de longitud 2h, está centrado en el origen. El área de esle recinto
es la misma del recinto inicial.
* Thomas Simpson (1? 10-1761). matemático inglés, miembro de la Sociedad Real de Londres
y autor, ontre oíros, de tratados sobre probabilidades, álgebra y geomelrla.
488
= 2a
= -^ (2 a h *+ 6 c )
3
+ 2ch
(1).
C om o( h¡f(x^)), (0;f(x,)) y (hJ(Xj)) son puntos de la parátiola. se verifican
simultáneamente las siguienies ecuaciones:
í(Xp) = a (-h )^ + b (- h )
í(x,) = c.
f(X2 ) ^ ah^
bh - c
f c ^ ah^
- bh - c
(2),
(3).
Sumando (2) y (3):
f(Xo) + f{x^) - 2ah^ - 2c
^
^
=* fíx^)
f(Xj) -
2ah^ ^ 2f(x,)
=>
f(xp) ^ f(Xg) - 2f(x,)
2h^
Reemplazando en (1) obtenemos:
I? =■ J
( '( X o )
·
'( * j)
-
« '( x , ) ) ·
Entonces,
Ij =
f
^ í(x> dx
(f(Xp) - 4f(x,) » f(x^}).
De la misma forma pueden aproximarse las áreas de los domrtn ruciiiin« A«l
resultan:
I, =
f'* l(xl dx =■ 4
(t(x,) * 4f(«3) i t(«,))
I„ = f ““ l(«) dx - 4
J in -2
··
J
·> "
Sumando.
S
I»
I-I
43 («««)
+
\
- 2'<*4) + · * '»(«n ,>* '(».))·
/
·" »(xj) +
Simplificando la nolaclon:
£
)(x)dx -
3
(Vo
+ 4y, + 2yj + <Y3 + 2Ya - ·■·· *
,
- 4y„ , + y j .
O
sea, a las ordenadas de los extremos del intervalo se les suman las ordenadas
de indices Impares multiplicadas por 4 y las ordenadas de índices pares multiplicadas
por 2. La suma así obtenida se multiplica por
ó
Puede demostrarse que, si Vx e [a:b] 3 f^{x) con ,f'^'(x)| < A, el error del
A h*
valor que se obtiene es € <
(b - a).
1DU
Ejem plo 1
Aproximar medíante la regla de Simpson I = J** (x^
x)dx para n = 4 (véase
pág. 487).
105
16
,4167
f"'(x ) = 24x
=»
f''(x ) = 24 =>
€ <
------ ^ - 2
180
16
€ <
60
Ejem plo 2
'5
1
— dx
1 X
/
a) por regla de trapeoos y b) por regla de Simpson,
con n = 8.
Para ambas reglas necesitamos conocer los valores de f en los puntos de la
sut)div¡sión indicada.
X.
Xfl = 1
X, = 1,5
x ,= 2
X3=2.5
*4=3
Xs=3.5
t{ x j
1
0,667
0,5
0.4
0,333
0.286
a) Por regla de trapecios:
490
X7 0,25
4. 5
0.222
0.2
Ji
Ji
-L<Jx
X
-1 Z J -L 9 il ,0.667
^
2V
— dx
X
f(x ) =
-L
V
— {0.6 + 2.658)
2
=>
Luego,
f '(x )
=
-J w«
=>
f ^
=>
f" (x )
€ ^ ^ '{ \ Y
El valor exacto es
— dx X
.
=> € =;
In 5 -
1.629 => rn 5
f(x )
f
= 1,629
2
si
x € [1 ;5 J
=» € < 0,2.
1,609.. .
Por rsgla de Simpson:
b)
-1 dx ^ — (1 - 2.667 + 1
I
P
J i
+0.5 -i- 0.4 + 0,333 »0,286r 0,25 +0,22z)
2
X
1.6
0,667 + 1,143 + 0.5 · 0,889 + 0.2)
6
-1 dx r. - ^ 9,665
X
ln 5
- 1.611
6
i'"(x ) = “ —^
160
i'^{x) “ 24siX € [1 ;5 )
\2 /
30
EJERCICIOS
1) Siendo f: x — x^, aproximar J*® f(x) dx para n = 6 a) por regla de trapecios y
b) por regla de Simpson.
2) ¡ d e m s i f : x - » —
con n = 4.
X+ 2
»|
1
— T-------- por regla de Simpson para n
J
o
10.
x'^ - 1
4) Aproximar ln 3 y acotar el error, a) por regla de trapecios y b) por rogla do Simp
son. con n = 4.
?
1
——
X
o
6) ídem para
j .
J S ^
„ .
x^ · 1
g
dx con n - 4
7) idem para J ' '
V i
x ’ dx con n *
10.
8) Una curva continua pasa por ios puntos (x,; l(x,)) de la tabla siguiente:
X.
0
1
2
3
4
5
6
f{x.)
0,5
1
1.2
1.6
2,3
2.4
2.5
Aproximar el área de la superficie bajo la curva a) por regla de trapecios y b) por
regla de Simpson.
RESPUESTAS A EJERCICIOS
12
c a p ít u l o
Sección I
1) Sp -
15
Sp = 22
Sp.. 7 - 2
Sg. = 11
v e " * v"2T
2) Sp
- 7.625
3) Sp
=8
4) Sp
= -1 8
5) Sp
=7
S^ = 32
6) Sp
- 24
Sp = 32
Sp.. = 12 + 2 v F + v 2 T
Sp = 17.875
§p = 20
Sp.
Sp =
Sp. = 12 + 4
Sp
= 9.25
=10,625
12Sp. =
Sp.
Sp.
=
15.25
S^ = 16,625
-16 .75
§p.
=
-13,75
= t1 Sp. = 24
Sección IV
1) a)
25 TT
2) a) 4
9)
m)
3)
b) 15
14
3
323
f: /I = 16
492
b) 12
c)
h) O
n)
c)
136
i) j
1
r)
27
d) -
j
c = 2 \/2
101
10
d) -
j) 4 V 3
46
-
t)
€)
50
3
g)
32
f) -
^ > - 7
s) 12
c =
16
83
16
81
h: ^ ^
c =
4
r: M = 7
4
^ ^
TT
c =
m:
^
^
c » — V-n^ - 9
17
6
s: /z = I n2
c = —^
-
2
, ^
Sección V
1) 1
2) div0fgea+=c
8) 1
9) —
3) 6
4) 2
16) 10
*
13) - 6
2
6) ^
7) 1
2e
11) f “ f + f " f = 0
10) d iv e r g e a - *
J T
2
12) divergea
5)
14) -|·
Jo
15) divergea + x
t +
r ,
Sección VI
1) 20
3)
9)
76
4j 2
6
^
5j
6
_3
15)
14) i
13) f
18) V T + lr^(1 + \ / 2 )
23)
(5 V T -
1)
16)
19) 4 V 2 9 ’
24) 8 T
3
gj 2_
15
B
m - ^ ^ ^ 0 V ^ Ô - í )
20) 8a
25)
•S
27)
Tra^
^ 1 3 3
26)
21) 8a
22) 2
12 77
ó
ab^
28)
Sección VII
1)
(37 V 3 7
2 ) p = kx^
1) kgm
*s = - T -
Vg = 0
493
3) X« =
Vé = 7
a
4)
Va = O
S ección VIII
1) a) 73
4) a) 1,117
b) 72
€ ^
2) a) 0,697
b) 1.100
b) 0,693
í
3) 3,1416
<
5) 1,080
1
7) 0,837
494
8) a) 9,5
b) 10
6) 1.852
índice alfabético
aceleración................... .
acumulación, punto de . .
adherencia ................... .
adherente, p u n to .......... .
aglomeración, punto de . .
aislado p u n to ................ .
álgebra de derivadas .. . .
de funciones............. .
de funciones
continuas ................. .
de lim ite s ................... .
d« 6eft€S................... .
ángulo entre dos
c u rv a s ....................... .
antiderivada .................
antisimetría .................
aplicación física de
la derivada...............
aplicación fisrca de
la Integral ................. .
aplicación geométrica
de la derivada............ .
aplicacrón geométrica
de la in te g ra l............. .
aproximación de una
función ..................... .
arco, lo n g itu d ...............
á re a ............................... .
área en coordenadas
ca riesianas...............
área en coordenadas
p o la re s ..................... .
area entre cos curvas ... .
área superlicie de
revo lu ción ............... .
asíntota horizontal
.
asíntota o b lic u a ..........
asíntota v e rtic a l.........
a s tro id e ....................... .
axioma de continuidad ..
axiomas de cuerpo
axiomas do orden
222
30
39
39
329
39
201
87
172
136
356
219
386
B
221
479
213
465
310
472
434
465
470
468
474
157
156
67, 156
98. 119
16
12
1?
Barrow, regla d e ............. 457
Bolzano, teorem a............ 177
Bolzano-Welrstrass,
teorem a....................... 32
Borel, propiedad............. 41
Borel, teorem a............... 43
cálculo de derivadas----de prim itiva s................
cambio de variab le ..........
c a m p o .............................
campo e sca la r...............
C a n to r.............................
cardiode .........................
Cauchy ...........................
207
386
392, 425
12
224
11
103, 120
250, 348,
358. 370
Cauchy, teorem a............ 250
Cauchy, teorema
para sucesiones.......... 348
centro de m a s a ............... 481
cero de una fu n c ió n ........ 52
c ic lo id e ........................... 96
cincunferencla
osculatriz ................... 321
c is o id e ............................. 103, 120
cociente Increm ental----- 194
de fu nciones............... 88
de lim ite s ..................... 139
complementación .......... 9
“ completar el cuadrado" . 62, 405
composición de
fu n c io n e s ................... 89
concavidad ..................... 271, 316
condición do Cauchy
348
para sucealunes
condición do Cnuctiy
para Bei(o9................. 358
c o i u l l c l ó n <ln c r i n v n r
uancm pur·· nnrma
357
nuinArlcun
conili nclón
2
c iin jiiitlo
7
ilO ft
abierto.........................
cerrado.......................
com paclo...................
denso en s í .................
de puntos...................
derivado .....................
infinito.........................
mayorante...................
minorante...................
numerable...................
perfecto.......................
vacio ...........................
corttacto de curvas........
continuidad.....................
continuidad, axioma de ■ ■
dé función
compuesta .................
de función
derivable.....................
en un conjunto............
uniforme .....................
convergencia absoluta ..
condicional.................
de una serie
funcional.....................
uniforme de una
. serle funcional...........
coordenadas polares----cortadura .......................
cota Inferior...................
superior.......................
criterio de
comparación...............
de convergencia para
series de términos
no negativos...............
criterio de D'Alembert . . .
de la raíz (Cauct^y)----de Baabe.....................
criterio para determinar
extremos locales........
cuantificador.................
exlstencial .................
universal .....................
cubrimiento ...................
cuerpo conmutativo........
curva osculatriz.............
curva plana.....................
D'Alembert, criterio........
Oedekind.........................
derivada .........................
cálculo.........................
de función
compuesta .................
de función inversa----de función
trigonométrica...........
496
37
33
35
35
27
31
84
16
16
^4
36
7
318
166
13
172
199
174
187
360
360
377
377
93
ii
15
14
365
365
368
370
371
255
6
6
6
41
12
320
95,09
368
11
194
207
204
209
209
Derivada de función
definida
im plícitam ente............
paramétricamente . . .
por ecuación polar . . .
derivada logarítmica . . . .
derivadas u suales..........
derivado conjur»to..........
descomposición con
Iracciores sirrtples . . . .
desigualdad tria n g u la r..
diferencial.......................
discontinuidad...............
disyunción ............. ......
exclu siva .....................
doble im p lica ción ............
d o m in io ...........................
211
226
228
207
232
31
402
17
223
167
3
3
4
10. 47
ecuación paramétrica de
una curva p la n a .......... 154, 339 ’
entorno . ....................... 95
polar ........................... 99, 28
re d u cid o ..................... 29
espiral de Arqutmedes . . . 103
extremo a bsoluto............ 178, 260
extremo de una
función ....................... 179,241,
313
in fe rio r......................... 15
lo c a l............................. 178, 241
su pe rio r....................... 14
fórmula de Mac Laurin . . .
de T a y lo r.....................
fracciones s im p le s ..........
fro n te ra ...........................
función b iye ctiva ............
compuesta .................
constante ...................
continua .....................
crecien te .....................
cuadrática...................
definición ...................
derivada .....................
de ve cto r.....................
e sca la r.........................
función estudio
co m p le to .........................
explícita .....................
h ip e rb ó lica .................
id é n tic a ..................... .
im p a r...........................
implícita .....................
Integrable ...................
integral .......................
Inversa.........................
In yectiva .....................
irra cio na l.....................
lin e a l...........................
309
304, 306
402
40
74
89, 172, 204
55
166
1$4, 25l
62
47
197
224
47
287
55
61,412
55
52
69,211
447
455
75, 184, 209
73
411
62
m a n tisa ................. . . . 57
m onótona.........
.. 184, 251
p a r .......................... .. 52
parle e n te ra ......... . . . 5 7
polinó m ica ............. 64
proposicional ............ 6
ra c io n a l.................... . . 66, 401
racional p ro p ia ___ . . . 402
s ig n o .......................... 56
suryectiva............... .. 72
trascendente —
.. 55. 141
trigonom étrica....... .. 58.398
uniformemente
continua ................. .. 188
valor a b so lu to ........ . . . 56,200
g rá fic o ....................... . . .
50
Heine, teorem a......... . . . 1 8 8
igualdad de conjuntos . . .
imagen .......................
im p lica ció n .................
implicación contraria . . .
contrarreciproca
d o b le .......................
recip ro ca ...............
in c lu s ió n ....................
indetérminación del
lim ite ...................... ..
inducción compiala
Infimo ........................ . ,
infin itésim o ............... ,
in fin ito .......................
infinito nurnerable .,. . . .
inliexión punto d e .........
inicgración aprox>mada .
integración <¡e funciones
irracionales .............. . . . .
de funciones
racion a le s...........
de funciones
trigonométricas
.
inmediata ...........
por p a rle s ........... . . . .
por regia do
la cadena............. . . . .
por sustitución . . . . . . .
integral definida
de Riemar^n..........
impropia .............
in d e fin id a ............
in le rio r................. . . .
s u p e rio r...............
.
integrando .............
intersección ........... , ,
intervalo .................
,
intervalo abierto . . . , .
cerrado ...............
8
47
4
5
5
4
7
153
19
15
137
143
84
270, 317
483
411
401
396
389
395
390
390.415
434
437, 444
463
386
445
445
367
8·
27
26
27
inlervalo de
convergencia .......
380
semiat>ierlo........... . . . 2 8
intervalos encajados . . . . 44,341
lemniscata ...............
ley in te rn a .................
L'Hopital. re g la ......... . . .
límate finito de
una fu n ció n ...........
finito de una
su cesión ............... . . .
fu n cio n a l............... ..
indeterm inado----- . . .
inferior de una
sucesión ...............
in'inito de una
función ................. . ..
infinito de una
su cesión ...............
lateral ...................
superior de una
sucesión ............... .. ,
logaritm o...................
lógica sim bólica.......
103. 120
12
277,280
h^ac Laurir« fórmula .
p o lin o m io ............. , , ,
masa ........................ . . .
mayorante conjunto .
s e rle .....................
máximo absoluto . . .
local o relativo . . .
media aritmética . . . . . . .
minimo absoluto ... , , , ,
local o re la tivo ............
minorante co n ju n to ........
s e rle ............................
rródulo ...........................
rr.omento e s tá tic o ..........
de Inercia...................
309
305
479
16
365
178, 241
178. 240
454
178.241
179, 240
16
366
17
480
481
n egación.........................
negación de una
im p lica ción .................
ncrrr.al a una
curva ...........................
norma .............................
notación d ife re n cia l........
n'jrrei3l:ic co n ju n to ........
número e .........................
en te ro ’.........................
n a tu ra l.........................
ra c io n a l.....................
le a i..............................
2
operaciones
proposicionalos.......
o rd e n .......................
121
330
121
153, 277
343
143
333
130
342
141
1
5
218
439
425
84
154. 339
11,85
11, 85
n . 85
n . 85
J
497
a m p lio .........................
estricto to ta l...............
13
13
p arám etro.......................
par ordenado.................
partición ..... ...................
polinomio de
Mac L a u rin .................
de T a ylo r.....................
primitiva .........................
principio <íe
inducción compleia . . .
producto cartesiano . . . .
de funciones...............
produelo de lim ite s ........
propiedad aditiva
del intervaío...............
proposición.....................
punto adherente.............
a is la d o .........................
critico ........................
c u s p id a l.......................
de acum ulación..........
de aglom eración........
de in fle x ió n .................
e x te iio r .......................
fro n te ra .......................
in le tio r.........................
90. 216
9
438
flaabe c rite rio .................
radio de
convergencia .............
de curvatura...............
raiz cuadrada.................
enésima del
lim ite ...........................
recinto de
ordenadas...................
re c o rrid o .........................
recia n orm a l...................
recia ta ng en te ...............
reclificación de arcos
en coordenadas
cartesianas.................
polares .......................
(eünamiento de una
subd ivisión .................
regia de B arrow .............
de la cadena........: . . .
de L’H o p ita l...............
de los trap ecio s.........
de Sim pson.................
relación b in a ria .............
fu n c io n a l.....................
in ve rsa .........................
reordenainienlo de los
términos de
una s e rie .....................
representación gráfica ..
371
498
305
304
386,421
19
9
88
138
<53
2
39
39
261
216
30
329
270, 274
40
40
37
380
321
20
139
434
10. 47
218
215
472
474
439
457
204
277, 280
465
4Θ8
iO
47
10, 74
361
50
resta de funciones.......... 88
de lim ite s ..................... 137
resto de T a y lo r............... 307
re stricció n ....................... 80
Riemann in te g ra l........... 437. 444
Rolle leorem a................. 245
serie alternada...............
convergente de
funciones ...................
convergente.
divergente, oscilante ..
de Junciones...............
de Mac L a -jfin .............
de p ote ncia s...............
de términos no
negativos ...................
geo m é trica .................
m ayorante...................
m in ora nte ................. .
num érica.....................
uniformemente
convergente...............
Simpson .........................
subco njun to ...................
su bd ivisión .....................
re g u la r.........................
subsucesión...................
sucesión a cota da ...........
convergente ...............
de C auchy...................
de funciones...............
divergente...................
m o n óto n a ...................
num érica.....................
o s c lla n ie .....................
p a rc ia l........................
suma de funciones..........
de lím ite s .....................
de Riem ann.................
in fe rio r.........................
interm edia...................
p a rc ia l.........................
su p e rio r.......................
superficie de
revolución............. .
su p re m o .........................
tabla de derivadas..........
de prim itivas...............
de verdad.....................
tangente a una cu rv a ___
h o rizo n ta l...................
v e rtic a l........................
Taylor fó rm u la ...............
polinomio ...................
término complementario .
teorema de Bolzano........
374
377
353
376
381
377
359
354
365
366
352
377
483
8
438
439
345
328
331
348
376
333
336
326
334
345
68
136
446
437
452
352
437
474
14
232
421
2
215
217
215
305
304
307
177
Bolzano-Welerstr«··___
teorema de B o re l...........
de H e in e .....................
de Intervalos
encajados...................
del valor
Interm edio...................
del valor medio
del cálculo
d ife re n c ia l...................
d«l valor medio
del cálculo
Integral .......................
de Riemann {para
series num éricas)........
de R o lle .......................
de T a y lo r.....................
de W eierstrass...........
fundamental del
cálculo In te gral.........
92
43
341
generalizado del
valor medio
( C a u c h y ) .....................
trat^ajo............................
irlc o to m le .......................
250
479
13
176
unicidad del lim ite .........
135
u n i ó n ......................................
8
188
363
245
307
i8 i
valor a b so lu to ................. 17, 56, 200
valor e fic a z ..................... 460
valor medio del
cálculo diferencial . . . 247
valor medio del
cálculo in te g ra l......... 454
velocidad......................... 222
volumen de sólido
de revolución............. 476
456
We Ie rs 1rass, teore ma
247
454
181
499