MATEX Logaritmos

MATEMATICAS
1º Bachillerato
Proyecto
MaTEX
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
Logaritmos
SOCIALES
Logaritmos
MaTEX
Fco Javier González Ortiz
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Artı́culo
c 2004 [email protected]
D.L.:SA-1415-2004
ISBN: 84-688-8267-4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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MATEMATICAS
1º Bachillerato
1. Introducción
2. Logaritmo de un número
2.1. Propiedades
• Logaritmo de un producto • Logaritmo de un cociente • Logaritmo
de una potencia • Logaritmo de un radical • Ejercicios • Cambio
de base
3. Ecuaciones logarı́tmicas
4. Unos cuantos acertijos..
5. Aplicaciones
5.1. La intensidad del sonido
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Tabla de Contenido
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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3
1. Introducción
En los siglos XVI y XVII se vió la necesidad de establecer reglas que
permitieran simplificar los laboriosos cálculos que tenı́an que realizar los astrónomos.
La invención de los logaritmos al comienzo del siglo XVII trajo consigo un
enorme ahorro de tiempo. John Napier, o Neper en latı́n, presentó las primeras
tablas de logaritmos en 1614, aunque por no estar en el sistema decimal
no fueron de utilidad; Briggs las mejoró presentándolas en forma decimal.
Muchas mejoras se hicieron después de estas tablas, aunque todas contenı́an
como una parte esencial los logaritmos de las funciones goniométricas, como
Neper lo hizo.
Los logaritmos fueron empleados durante muchos años en todas las ciencias, pero la Astronomı́a se benefició de ellos más que ninguna otra.
La invención de los ordenadores ha llevado consigo aumentar el tiempo
de vida de los últimos astrónomos al no tener que utilizar tampoco las tablas
de logaritmos. Pero ellos, los logaritmos, han hecho posibles muchas investigaciones que, por culpa de su inmenso trabajo computacional, no hubieran
sido posibles sin su ayuda.
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Sección 1: Introducción
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
4
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
2. Logaritmo de un número
A
Definición 2.1 Se denomina logaritmo en base a > 0 del número an al
exponente n de la base a. Se escribe como
loga an = n
d
B
s=B+mv
SOCIALES
log2 16 = log2 24 = 4
log4 16 = log4 42 = 2
log16 16 = log16 161 = 1
log3 9 = log3 32 = 2
log10 100 = log10 102 = 2
log5 125 = log5 53 = 3
Logaritmos
MaTEX
Ejemplo 2.1. Veamos algunos ejemplos sencillos:
Solución:
Es decir para hallar el logaritmo de un número en base a expresamos el
número como una potencia de la base a.
1
1
Veamos algunos ejemplos más. Para hallar log2 expresamos
como una
4
4
potencia de 2,
1
1
= (2)−2 ⇒ log2 = −2
4
4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Para hallar log3
5
1
1
expresamos
como una potencia de 3,
81
81
1
1
= (3)−4 ⇒ log3
= −4
81
81
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Ejemplo 2.2. Hallar el logaritmo de 1 en base a.
Solución: El logaritmo de 1 es cero en cualquier base.
Logaritmos
Sección 2: Logaritmo de un número
loga 1 = loga a0 = 0
Ejemplo 2.3. Hallar el logaritmo de 0 en base a.
Solución: El logaritmo de 0 no existe, pues 0 no se puede poner como una
potencia de a
Ejemplo 2.4. Hallar el valor de log10 5.
Solución:
Como 5 no sabemos expresarlo como potencia de 10, no podemos hacerlo
directamente. En estos casos acudimos a una calculadora.
Con su calculadora o la incorporada en el ordenador podemos hallarla
log10 5 ≈ 0, 69897
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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6
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.5. Expresa el número 6 como un logaritmo en base 2
Solución: Por la definición
6 = log2 26
A
d
B
s=B+mv
Ejemplo 2.6. Expresa el número 2 como un logaritmo en base 12
Solución: Por la definición
2 = log12 122
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Sección 2: Logaritmo de un número
Ejercicio 1. Completa en tu cuaderno la tabla siguiente:
n
log2 n
1
2
4
1
16
8
1
2
−2
−3
log1/2 n
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
Test. Hallar los siguientes logaritmos:
1. log2 32 vale...
(a) 5
(b) 6
7
r=A+lu
A
d
(c) 4
2. log4 4 vale...
(a) 4
(b) 0
(c) 1
3. log2 1 vale...
(a) 2
(b) 1
(c) 0
4. log25 5 vale...
(a) −1
(b) 1/2
(c) 2
(b) 4
(c) 5
(b) 1/2
(c) 1
(b) 3
(c) 4
7. log10 1000 vale...
(a) 2
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
5. log3 81 vale...
(a) 3
1
6. log5 vale...
5
(a) −1
MATEMATICAS
1º Bachillerato
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
8
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Propiedades
A
• Logaritmo de un producto
d
Si comparamos
B
s=B+mv
SOCIALES
=x+y
loga (ax · ay ) = loga (ax+y )= x + y
obtenemos la propiedad de que el logaritmo del producto de dos números es
la suma de los logaritmos de dichos números.
loga (m n) = loga m + loga n
MaTEX
Logaritmos
loga ax + loga ay =
(1)
• Logaritmo de un cociente
Si comparamos
loga ax − loga ay =
=x−y
x
a
loga y = loga (ax−y )= x − y
a
obtenemos la propiedad de que el logaritmo del cociente de dos números es
la resta de los logaritmos de dichos números.
loga
m
= loga m − loga n
n
(2)
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
9
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
• Logaritmo de una potencia
A
De la expresión
d
n veces
B
s=B+mv
regla del producto
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
}|
{
z
loga (M )n = loga (M · M · M · · · M )
= loga M + loga M + · · · + loga M
=n · loga M
obtenemos la propiedad de que el logaritmo de una potencia es el exponente
por el logaritmo de la base.
loga M n = n · loga M
(3)
• Logaritmo de un radical
La expresión anterior se aplica a los radicales
√
n
loga M = loga (M )1/n
radical
1
= loga M
potencia
n
obtenemos la propiedad de que el logaritmo de una raiz es el ı́ndice por el
logaritmo del radicando.
loga
√
n
1
M = · loga M
n
(4)
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
10
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Propiedades del Logaritmo
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
log(m · n) = log(m) + log (n)
P roducto
log
m
n
= log(m) − log (n)
log mn = n · log m
Logaritmos
MaTEX
Cociente
P otencia
Ejemplo 2.7. A partir de log10 5 ≈ 0, 69897 calcular log10 125
Solución:
3
log10 125 = log10 5 = 3 log10 5 = 3 × 0, 69897 ≈ 2, 0969
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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11
√
3
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.8. A partir de log10 5 ≈ 0, 69897 calcular log10 5
Solución:
√
1
1
3
log10 5 = log10 51/3 = log10 5 = × 0, 69897 ≈ 0, 233
3
3
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
Ejemplo 2.9. Desarrollar la expresión loga x2 3y
Solución:
MaTEX
Logaritmos
Sección 2: Logaritmo de un número
loga x2 3y = loga x2 + loga 3 + loga y
= 2 loga x + loga 3 + loga y
Ejemplo 2.10. Desarrollar la expresión loga
4x
y2
Solución:
loga
4x
= loga 4 x − loga y 2
y
= loga 4 + loga x − loga y 2
= loga 4 + loga x − 2 loga y
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
12
= loga x3 + loga 3y − loga
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
√
MaTEX
z
1
= 3 loga x + loga 3 + loga y − loga z
2
Logaritmos
x3 3y
Ejemplo 2.11. Desarrollar la expresión loga √
z
Solución:
√
x3 3y
loga √ = loga (x3 3y) − loga z
z
MATEMATICAS
1º Bachillerato
Ejemplo 2.12. Agrupa en un solo logaritmo la expresión
loga b + 2 loga c − loga d
Solución:
loga b + 2 loga c − loga d = loga b + loga c2 − loga d
= loga
b c2
d
Ejemplo 2.13. La siguiente fórmula expresa el capital final C obtenido en
un banco a partir del capital inicial c0 a un interés i en un tiempo t.Despejar
la incógnita t aplicando logaritmos.
C = co (1 + i)t
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
13
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Solución:
A
= log co (1 + i)t
= log co + t log(1 + i)
= t log(1 + i)
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
=t
Logaritmos
log C
log C
log C − log co
log C − log co
log(1 + i)
x
Ejemplo 2.14. Resuelve la ecuación siguiente 2 = 5
Solución: Aplicamos logaritmos
log 5
log 2x = log 5 ⇒ x log 2 = log 5 ⇒ x =
= 2,3219
log 2
x
Ejemplo 2.15. Resuelve la ecuación siguiente 3 = 7
Solución: Aplicamos logaritmos
log 7
log 3x = log 7 ⇒ x log 3 = log 7 ⇒ x =
= 1,7712
log 3
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
14
r=A+lu
• Ejercicios
Ejercicio 3. Desarrolla los siguientes logaritmos:
p
1
a) log 3 a f 2
b) log
62 · 8−x
A
d
1
c) log 3 2
x y
c) log
m+n
p
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Ejercicio 2. Desarrolla los siguientes logaritmos:
mn
c d2
a) log
b) log 3
p
n
MATEMATICAS
1º Bachillerato
Ejercicio 4. Agrupar los siguientes logaritmos:
a) log x − log y + log z
1
b) log 4 − 3 log x + log 5
2
c) 3 log a − 4 log b
Ejercicio 5. Agrupar los siguientes logaritmos:
a) 5 loga x + 3 loga y − 2 loga z
1
1
3
b) log a + log b + log c
2
3
2
c) 2 − 3 log y
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 2: Logaritmo de un número
15
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
• Cambio de base
A
Si se conoce el logaritmo de un número en la base a , la pregunta es saber
cuánto vale el el logaritmo del número en otra base b, es decir:
loga N = n =⇒ logb N = x
SOCIALES
Como
loga N
loga b
Logaritmos
MaTEX
bx = N =⇒ loga bx = loga N =⇒
loga N
x loga b = loga N =⇒ x = logb N =
loga b
logb N =
d
B
s=B+mv
(5)
Es útil, pues en tu calculadora tienes el logaritmo en base 10. Si queremos
calcular el logaritmo de 35 en base 3, procedemos de la forma:
log10 35
1, 5441
log3 35 =
=
≈ 3, 2362
log10 3
0, 4771
Ejercicio 6. Aplica la expresión (5) para hallar con la calculadora:
log2 1500
log5 200
log100 200
log100 40
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Ecuaciones logarı́tmicas
16
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
3. Ecuaciones logarı́tmicas
A
Una ecuación logarı́tmica es aquella en la que aparece el logaritmo de la
incógnita, o de una expresión de ella. Por ejemplo
SOCIALES
J unicidad
La propiedad de la unicidad indica que dos números números distintos no
pueden tener el mismo logaritmo, es decir
Si log A = log B =⇒ A = B
MaTEX
Logaritmos
log x = log 7 =⇒ x = 7
d
B
s=B+mv
unicidad
Para resolver ecuaciones, como técnica general, se agrupa para obtener un
solo logaritmo en cada miembro y se eliminan los logaritmos por la propiedad
de unicidad. Veamos unos ejemplos.
Ejemplo 3.1. Resolver la ecuación log 2x + log 5 = 1
Solución: Agrupamos en ambos miembros, teniendo en cuenta que 1 = log 10
log 2x + log 5 =1
log 2x + log 5 = log 10
log(2x · 5) = log 10
10x =10
J definición
J producto
J unicidad
x=1
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Ecuaciones logarı́tmicas
17
Ejemplo 3.2. Resolver la ecuación 2 log x − log(x + 6) = 1
Solución:
2 log x − log(x + 6) =1
2 log x − log(x + 6) = log 10
10 +
d
B
s=B+mv
J definición
x2
= log 10
x+6
x2
=10
x+6
x2 =10x + 60
x2 − 10x − 60 = 0 =⇒ x =
r=A+lu
A
J cociente
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
log
MATEMATICAS
1º Bachillerato
J unicidad
J operando
√
340
2
J reolviendo
√
10 − 340
La solución x =
no sirve, pues en la ecuación inicial quedarı́a el
2
logaritmo de un número negativo que no existe.
Ejercicio 7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) logx 125 = 3
(b) log x = 3 log 5
2
(c) log x = −2
(e) 5 log 2x = 20
1
(d) logx = −2
9
(f) log5 x = 4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 3: Ecuaciones logarı́tmicas
18
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) log x = 3
(b) log x + log 4 = 0
A
d
(c) log x = 4 log 2
(d) log x − log 2 = 2
(e) log 2x + log 5 = 6
(f) 2 log x = log(−6 + 5x)
(g) log(x + 1) − 1 = log x
(h) 2 log x − log(x + 6) = 1
B
s=B+mv
SOCIALES
(i) log 3 + log(x + 1) = 1
(j) log2 (x − 1) − log2 (x + 1) = 1
(k) 2 log2 x − 9 log x = −10
(l) 3 log x − log(2x2 + x − 2) = 0
Ejercicio 9. Resuelve los siguientes
x+y
=6
(a)
log x + log y = log 8
log x + log y = log 3
(c)
x2 + y 2
= 10
4 log x − 3 log y = −1
(e)
log(x y)
=5
sistemas con logaritmos:
x+y
= 11
(b)
log x − log y = 1
2 log x − 3 log y = 7
(d)
log x + log y
=1
x2 − y 2
= 60
(f)
log2 x − log2 y = 2
(
(g)
logx (4 − y)
logy (4 + x)
1
2
=2
=
(h)
xy
log7 x − log7 y
=1
=4
MaTEX
Logaritmos
2
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 4: Unos cuantos acertijos..
19
r=A+lu
4. Unos cuantos acertijos..
A
d
B
s=B+mv
(c) 3 log 25
SOCIALES
MaTEX
Test. Halla la expresión reducida de
a
b
c
ay
log + log + log − log
b
c
d
dx
y
x
(b) log
x
y
(c) 1
(d) 0
(e) log
Test. ¿Cuál es el valor de [log10 (5 log10 100)]2 ?
(a) log10 50
(b) 25
(c) 10
(d) 2
(e) 1
Test. Resolver la ecuación log2 (log3 (log4 x)) = 0 ?
(a) 0
(b) 64
(c) 10
(d) 1
(e) 24
Logaritmos
Test. El log 125 es igual a
(a) 100 log 1,25
(b) 5 log 3
(d) 3 − 3 log 2
(e) log 25 log 5
(a) log
MATEMATICAS
1º Bachillerato
a2 y
d2 x
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Sección 5: Aplicaciones
20
5. Aplicaciones
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
5.1. La intensidad del sonido
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
El sonido, como es una onda, transporta energı́a y esa energı́a llega al
tı́mpano, que es una membrana que tiene una determinada superficie.
Al tı́mpano llega energı́a por cada cm2 ( lee centı́metro cuadrado). Este
concepto de energı́a por cm2 , recibe el nombre de potencia (y se mide en
watt). Ahora, para que un sonido sea apenas audible la potencia deber ser
10−16 watt y el sonido más fuerte que puede oir el hombre, sin sentir dolor,
corresponde a una potencia 10−4 watt.
Estos números son difı́ciles de comprender, por lo que se ha creado una
escala para medir niveles del sonido en una unidad llamada decibelio (dB);
decibelio se deriva del nombre del inventor Alexander Graham Bell.
El nivel de sonoridad L de un sonido medida en decibelios se define como
I
L = 10 log −12
10
donde I es la intensidad.
La siguiente tabla muestra el nivel de sonoridad en decibelios y la intensidad en watts de varios sonidos tı́picos.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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21
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Niveles Sonoros Tı́picos en decibelios
Tipo de sonido
Decibelios Intensidad
Umbral de la audición
0
10−12
Murmullo
20
10−10
Conversación
60
10−6
Tráfico
80
10−4
Moto
100
10−2
Discoteca
95
10−2,5
Umbral de dolor
120
1
Despegue de un reactor
140
102
Por encima de 120 decibelios se produce dolor.
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Ejemplo 5.1. Si por ejemplo tenemos al lado dos motos con una sonoridad
de 100 decibelios cada una, ¿cuál es la sonoridad total?.
Solución: La respuesta no es 200, pues la sonoridad no es aditiva ya que es una
suma de logaritmos. Se suman las intensidades. Como 100 dB corresponde a
una intensidad de 10−2 watt
10−2 + 10−2
10 log
= 10 log(2 × 1010 )
10−12
= 10 × 10,301
= 103,01 decibelios
Logaritmos
Sección 5: Aplicaciones
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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22
Ejemplo 5.2. ¿Cuántas motos habrı́a que poner juntas para superar los 120
decibelios, si por ejemplo cada moto tiene una sonoridad de 100 decibelios?.
Solución: Sea n el número de motos necesarias. Como 100 dB corresponde
a una intensidad de 10−2 watt, la intensidad de las n motos corresponde a
n 10−2 watt, luego
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
n 10−2
= 120
10−12
10
10 log(n 10 ) = 120
10 log
Logaritmos
Sección 5: Aplicaciones
log(n 1010 ) = 12 = log 1012
n 1010 = 1012
n = 100 motos
¿A partir de que niveles el sonido es perjudicial?.
Es muy recomendable utilizar, siempre que sea posible, protectores para los
oı́dos por encima de los 100 dB .
Si la exposición es prolongada, por ejemplo en puestos de trabajos, se considera necesario el utilizar protectores en ambientes con niveles de 85 dB.
Los daños producidos en el oı́do por exposiciones a ruidos muy fuertes
son acumulativos e irreversibles, por lo que se deben de extremar las
precauciones. De la exposición prolongada a ruidos se observan trastornos
nerviosos, cardiacos y mentales.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
23
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios
A
Ejercicio 1.
d
1
2
4
1
16
256
log2 n
0
1
2
−4
8
log1/2 n
0
−1
2
4
−8
√
2
1
2
1
−
2
1
4
1
8
−2
−3
2
3
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
n
B
s=B+mv
Ejercicio 1
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
24
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2.
a)
A
d
B
s=B+mv
J cociente
SOCIALES
J producto
MaTEX
Logaritmos
mn
log
= log(m n) − log p
p
= log m + log n − log p
b)
log
c d2
= log(c d2 ) − log n3
n3
= log c + log d2 − log n3
= log c + 2 log d − 3 log n
J cociente
J producto
J potencia
c)
log
1
= log 1 − log(x3 y 2 )
x3 y 2
=0 − log x3 − log y 2
= − 3 log x − 2 log y
J cociente
J producto
J potencia
Ejercicio 2
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
25
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 3.
a)
A
d
B
s=B+mv
J potencia
SOCIALES
J producto
MaTEX
J potencia
Logaritmos
p
1
log 3 a f 2 = log(a f 2 )
3
1
1
= log a + log f 2
3
3
1
2
= log a + log f
3
3
b)
log
1
= log 1 − log(62 · 8−x )
62 · 8−x
=0 − log 62 − log 8−x
= − log 62 + x log 8
J cociente
J producto
J potencia
c)
log
m+n
= log(m + n) − log p
p
J cociente
Nota.- log(m + n) 6= log m + log n
Ejercicio 3
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
26
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4.
a)
A
d
J producto
B
s=B+mv
SOCIALES
J cociente
MaTEX
Logaritmos
log x − log y + log z = log(x z) − log y
xz
= log
y
b)
log 4 − 3 log x +
√
1
log 5 = log 4 − log x3 + log 5
2
√
= log(4 5) − log x3
√
4 5
= log 3
x
J potencia
J producto
J cociente
c)
3 log a − 4 log b = log a3 − log b4
J potencia
3
= log
a
b4
J cociente
Ejercicio 4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
27
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 5.
a)
A
d
5 loga x + 3 loga y − 2 loga z = loga x5 + loga y 3 − loga z 2
x5 y 3
z2
B
s=B+mv
SOCIALES
J prod. y coc.
MaTEX
Logaritmos
= log
J potencia
b)
√
√
√
1
1
3
3
log a + log b + log c = log a + log b + log c3
2
3
2
√
√ √
3
= log( a b c3 )
J potencia
J producto
c)
2 − 3 log y = log 102 − 3 log y
= log 102 − log y 3
J definición
J potencia
2
= log
10
y3
J cociente
Ejercicio 5
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
28
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 6.
A
=
log5 200
=
log100 200
=
log5 40
=
d
log10 1500
≈ 10,55
log10 2
log10 200
≈ 3,29
log10 5
log10 200
≈ 1,15
log10 100
log10 40
≈ 2,29
log10 5
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
log2 1500
Ejercicio 6
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
29
r=A+lu
Ejercicio 7(a)
Escribimos 3 como logx x3 , de esta forma
A
d
B
s=B+mv
J definición
SOCIALES
J unicidad
MaTEX
J resolvemos
Logaritmos
logx 125 =3
logx 125 = logx x3
125 =x3
√
3
x = 125 = 5
MATEMATICAS
1º Bachillerato
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
30
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7(b)
A
d
B
s=B+mv
J potencia
SOCIALES
J unicidad
MaTEX
Logaritmos
log x =3 log 5
log x = log 53
x =53
x =125
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
31
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7(c)
A
d
B
s=B+mv
J definición
SOCIALES
J unicidad
MaTEX
J resolvemos
Logaritmos
log x2 = − 2
log x2 = log 10−2
x2 =10−2
1
x2 =
100
1
x=±
10
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
32
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7(d)
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
J definición
MaTEX
J unicidad
Logaritmos
1
=−2
9
1
logx = logx x−2
9
1
=x−2
9
1
1
=
2
x
9
x = 3 , −3
logx
J resolvemos
El valor -3 no es válido pues los logaritmos se toman de base positiva.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
33
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7(e)
A
d
B
s=B+mv
J simplificar
SOCIALES
J definición
MaTEX
J unicidad
Logaritmos
5 log 2x =20
log 2x =4
log 2x = log 104
2x =104
x =5000
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
34
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7(f )
A
d
B
s=B+mv
J definición
SOCIALES
J unicidad
MaTEX
x = 625
Logaritmos
log5 x =4
log5 x = log5 54
x =54
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
35
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(a)
Para poder quitar logaritmos escribimos 3 como log 103 , de esta forma
A
d
log x =3
B
s=B+mv
log x = log 103
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
x =103 = 1000
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
36
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(b)
Para poder quitar logaritmos escribimos 0 como log 1, de esta forma
A
d
log x + log 4 =0
log x + log 4 = log 1
log 4 x = log 1
4 x =1
1
x=
4
B
s=B+mv
SOCIALES
Logaritmos
MaTEX
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
37
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(c)
A
log x =4 log 2
d
log x = log 24
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
x =24 = 16
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
38
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(d)
A
log x − log 2 =2
x
log = log 102
2
x
=102
2
x =200
d
B
s=B+mv
SOCIALES
Logaritmos
MaTEX
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
39
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(e)
A
log 2x + log 5 =6
d
log(2x) (5) = log 106
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
x =105
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
40
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(f )
A
2 log x = log(−6 + 5x)
d
log x2 = log(−6 + 5x)
B
s=B+mv
SOCIALES
x2 − 5x + 6 = 0 =⇒x = 2 ∨ 3
MaTEX
Logaritmos
x2 =(−6 + 5x)
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
41
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(g)
A
log(x + 1) − 1 = log x
log(x + 1) − log 10 = log x
x+1
= log x
log
10
x+1
=x
10
−9x = − 1
1
x=
9
d
B
s=B+mv
SOCIALES
Logaritmos
MaTEX
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
42
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(h)
A
2 log x − log(x + 6) =1
2 log x − log(x + 6) = log 10
2
SOCIALES
x2
= log 10
x+6
x2
=10
x+6
x2 =10x + 60
x − 10x − 60 = 0 =⇒ x =
10 +
MaTEX
√
Logaritmos
log
d
B
s=B+mv
340
2
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
43
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(i)
A
log 3 + log(x + 1) =1
log 3(x + 1) = log 10
3(x + 1) =10
7
x=
3
d
B
s=B+mv
SOCIALES
Logaritmos
MaTEX
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
44
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(j)
A
log2 (x2 − 1) − log2 (x + 1) =1
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
x2 − 1
= log2 2
log2
x+1
x2 − 1
=2
x+1
x2 − 2x − 3 = 0 =⇒x = 2 ∨ −1
El valor −1 no es válido pues en la ecuación inicial quedarı́a log2 0 que no
existe.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
45
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(k)
A
2 log2 x − 9 log x = − 10
d
2
B
s=B+mv
2 log x − 9 log x + 10 =0
SOCIALES
√
9± 1
log x =
4
5
2
=⇒
x = 105/2
log x = 2
=⇒
x = 102
log x =
Logaritmos
MaTEX
resolvemos la ecuación de segundo grado
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Ejercicios
46
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8(l)
A
3 log x − log(2x2 + x − 2) =0
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
x3
= log 1
log 2
2x + x − 2
x3
=1
2x2 + x − 2
x3 − 2x2 − x + 2 =0
resolvemos la ecuación de tercer grado por Ruffini
x=1
x = −1
x=2
el valor x = −1 no es válido pues en la ecuación inicial quedarı́a logaritmo
de un número negativo.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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47
Ejercicio 9(a) Agrupamos y eliminamos logaritmos en la segunda ecuación:




x+y
=6
x+y
=6


log x + log y = log 8
log x · y = log 8


x+y =6
=⇒
Por sustitución

x·y =8
y =6−x
x(6 − x) = 8


x=2 y=4
x2 − 6x + 8 = 0 =⇒

x=4 y=2
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
resolviendo
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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48
Ejercicio 9(b) Agrupamos y eliminamos logaritmos en la segunda ecuación:




 x + y = 11
x+y
= 11
x
 log

= log 10 
log x − log y = 1
y


x + y = 11 
=⇒
Por sustitución
x

= 10 
y
x = 10 y =⇒10 y + y = 11
resolviendo
n
11 y = 11 =⇒ x = 10 y = 1
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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49
Ejercicio 9(c) Agrupamos y eliminamos logaritmos en la primera ecuación:




log x + log y = log 3
log x · y = log 3
 2

x2 + y 2
= 10
x + y 2 = 10


xy
=3
=⇒
Por sustitución

x2 + y 2 = 10
9
y = 3/x =⇒ x2 + 2 = 10
resolviendo
x


x = ±3 y = ±1
x4 − 10x2 + 9 = 0 =⇒

x = ±1 y = ±3
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
Las soluciones negativas no valen pues en las ecuaciones quedarı́an logaritmos
de números negativos, que no existen.
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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50
Ejercicio 9(d) Agrupamos y eliminamos logaritmos en la ambas ecuaciones:


2
7 

 log x
=
log
10
2 log x − 3 log y = 7
y3



log x + log y
=1
log x y = log 10

x2

= 107 
=⇒ y 3
Por sustitución


x y = 10
y = 10/x =⇒
x2 x3
= 107
103
x5 = 1010 =⇒x = 102
y=
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
resolviendo
1
10
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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51
Ejercicio 9(e) Agrupamos y eliminamos logaritmos en las dos ecuaciones:


4
−1 

 log x
=
log
10
4 log x − 3 log y = −1
y3



log(x y)
=5
log(x y) = log 105

x4

= 10−1 
=⇒ y 3
J sustitución


5
x y = 10
105 3
105
=⇒ x4 = 10−1 (
)
x
x
x7 = 1014 =⇒ x = 100 y = 1000
y=
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
J operando
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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52
Ejercicio 9(f ) Agrupamos y eliminamos logaritmos en la segunda ecuación:




 x2 − y 2 = 60
2
2
x −y
= 60
x
 log

= log2 22 
2
log2 x − log2 y = 2
y


x2 − y 2 = 60 
=⇒
J sustitución
x

=4 
y
x = 4y =⇒ 16 y 2 − y 2 = 60
J resolviendo
y 2 = 4 =⇒ y = 2
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
x=4
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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53
Ejercicio 9(g) Agrupamos y eliminamos logaritmos en las dos ecuaciones:


1 
1 

2
logx (4 − y) =
logx (4 − y) = logx x
2

 log (4 + x) = log y 2 
logy (4 + x) = 2
y
y

√ 
4−y = x
=⇒
J sustitución

4 + x = y2
√
√
J operando
y = 4 − x =⇒ 4 + x = (4 − x)2
√
9
8 x = 12 =⇒ x =
4
y=
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
5
2
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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54
Ejercicio 9(h) Agrupamos y eliminamos logaritmos en la segunda ecuación:




 xy
=
1
xy
=1
x
 log

= log7 74 
7
log7 x − log7 y = 4
y


xy =1 
=⇒ x
J sustitución

= 74 
y
1
J resolviendo
y = =⇒ x2 = 74
x
x2 = 74 =⇒ x = 49 y = 1/49
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Soluciones a los Ejercicios
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Tests
55
Soluciones a los Tests
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
Solución al Test:
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
1000
= log 1000 − log 23 = 3 − 3 log 2
log 125 = log
8
Final del Test
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Tests
56
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Solución al Test:
A
[log10 (5 log10 100)]2 = [log10 (5 · 2)]2 = 12 = 1
d
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Final del Test
B
s=B+mv
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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Soluciones a los Tests
57
MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
Solución al Test:
A
log2 (log3 (log4 x)) = 0 =⇒
log3 (log4 x) = 1 =⇒
log4 x = 3 =⇒
x = 43 = 64
d
B
s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Logaritmos
Final del Test
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A
Índice alfabético
cambio de base, 15
d
B
s=B+mv
SOCIALES
ecuaciones, 16
MaTEX
Logaritmos
logaritmo, 4
de una raiz, 9
de un cociente, 8
de un producto, 8
de una potencia, 9
unicidad, 16
58
JJ
II
J
I
J Doc
Doc I
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