Modelos Matemáticos Básicos
y su conocimiento
Bloque III
Funciones Lineales y
Cuadráticas
Docente: L.M.A. Norma
Guadalupe Manzano Ramírez
Definición de función. Clasificación.
Tipos de representación
El concepto de función es uno de los más
importantes en el mundo de las matemáticas.
Las funciones no sólo representan fórmulas, o
lugares geométricos, también se utilizan como
modelos matemáticos que resuelven problemas de
la vida real.
Función
Una función es la relación entre
dos conjuntos
llamados dominio y codominio, en el cual a cada
elemento del dominio le corresponde uno del
codominio.
A cada elemento del dominio corresponde un
elemento del primer conjunto sobre el cual es
“aplicado” o representado por la función.
Función
Cuando dos variables están relacionadas de tal
manera que el valor de la primera queda
determinado si se da un valor a la segunda,
entonces se dice que la primera es función de la
segunda.
y = f(x)
Variable
dependiente
o la Función
Variable
independiente
o el Argumento
Clasificación
Algebraicas
Funciones
Trascendentes
Trigonométricas
Inversas Trigonométricas
Exponenciales
Logarítmicas
Algebraicas:
f ( x ) = x3 −4x
f ( x ) =3x2 −5x −6
f ( x ) = x −4
g( x ) = 3 x +1
y= x
g( x ) = x −2 −1
Trascendentes :
f (x ) = cos x
f (x ) = e4x
s(t ) = ln(2t - 4)
⎛
⎞
π
f (x ) = sen ⎜⎜ x − ⎟⎟
2 ⎠
⎝
y =e x +2
g(x ) = log(x +1)
Explícitas:
y = x2
y = x3 −1
x−3
f (x) =
x+5
x
g( x ) =
x−1
y =sen3x
1
f ( x ) =cos x
2
s ( t ) =et
g( x ) = 2x+3
y =logx
f ( x ) =ln(3x )
Implícitas :
x2 − 8y +16 = 0
x3 + y2 − 3x = 0
sen x + cos y = 1
y
e = x +3
Funciones
Estas se identifican como:
Función lineal.
Función cuadrática
Función compuesta.
Función polinomial.
Función racional.
Función inversa.
Función exponencial.
Función logarítmica.
Función trigonométrica.
Función lineal
Es toda función polinomial de primer grado, es
decir, si n=1, entonces f(x) = a1x + a0 .
y=7x-5
El dominio y rango de una función lineal es el
conjunto de los números reales (R). Ya que la
variable independiente (x) puede asignársele
cualquier valor y para ello la variable dependiente
(y) también podrá tomar cualquier valor.
Fíjate en la gráfica de este ejemplo y convéncete que
tanto para x como para y la gráfica se extiende
hacia los infinitos.
Función cuadrática
Es toda función polinomial de segundo grado, es
decir, n=2 o sea f(x) = a2x2 + a1x + a0, pero su
ecuación se expresa habitualmente en la forma
f(x)= ax2 + bx + c, con “a” diferente de cero.
y=-2x2+5x-4
El dominio de una función cuadrática es el conjunto
de los números reales (R). Ya que en estos casos la
variable independiente (x) puede tomar cualquier
valor, es decir, puedo sustituir cualquier número
real y efectuar la operación -2x2+5x-4
En el caso del rango habría que pensar, ¿la
variable dependiente (y) puede tomar
cualquier valor?. Ejemplo, si x=5, ¿cómo es
y?.
O bien, si la variable independiente es
cualquier número real, es decir, puede tomar
cualquier valor, entonces ¿la variable
dependiente (y) también puede tomar
cualquier valor?. Sugerencia: fíjate en su
gráfica y contesta a esta interrogante.
¿De qué depende el rango de una función de
este tipo? Fíjate en sus elementos de esta
gráfica y notarás la respuesta.
Función polinomial
Cualquier función que se puede obtener a partir de
la función constante y de la función identidad
mediante las operaciones de suma, resta,
multiplicación y potenciación se llama función
polinomial.
La ecuación general de una función polinomial es de
la forma:
f(x)=a n x n+ a n-1 x n-1+ a n-2 x n-2 + ….+ a0
Función racional
Es toda función que se puede expresar como el
cociente de dos polinomios:
f (x ) =
P(x )
3x - 5
, donde Q(x ) ≠ 0; por ejemplo, f (x ) =
Q(x )
x-6
Función exponencial
Es toda función en la que la variable independiente
está en el exponente, por ejemplo:
f(x)=2x
Función logarítmica
Podemos definir la función f(x) tal que a cada x le
asignemos log b x; a dicha función le llamaremos
función logarítmica, o sea, f(x)=log b x.
f (x ) = log(x - 1)
g(x ) = log(x + 5 )
b(x ) = log 2x
Función trigonométricas
Son razones entre elementos rectilíneos ligados a
un ángulo, cuya variación depende de la variación
de dicho ángulo.
Cuando, el ángulo es la variable independiente, las
razones trigonométricas consideradas se llaman
funciones trigonométricas directas.
Seno
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
Cotangente
Tipos de representación
Mediante un enunciado; por ejemplo:
“El área de un círculo varía directamente con el cuadrado de su
radio”
Mediante una ecuación; por ejemplo:
A=πr2
Tipos de representación
Mediante un conjunto de pares ordenados; por
ejemplo:
R={(1,4), (2,8), (3,12), (4,16), (5,20)}
Cuando expresamos una relación de esta forma, el conjunto cuyos
elementos son los primeros componentes de los pares ordenados,
constituye su dominio, mientras que el conjunto cuyos elementos
son los segundos componentes constituye su rango.
Su dominio {1, 2, 3, 4, 5}
Su rango {4, 8, 12, 16, 20}
Tipos de representación
Mediante una tabla de valores; por ejemplo:
x
1
2
3
4
y
5
10
15
20
Mediante una gráfica.
Mediante un diagrama, por ejemplo:
Diagramas de Venn
Dominio y rango de una función
Dominio y Rango de una función
n
Dominio de una función es el conjunto de valores
que pueden asignarse a la variable independiente
de una función, de forma que la variable
dependiente este definida.
n
Rango de una función es el conjunto de valores
que puede tomar la variable dependiente de una
función.
Tipos y gráficas de funciones
Sistema de coordenadas rectangulares
Se ubica en un plano por medio de dos rectas
perpendiculares llamadas ejes coordenados, que se
intersecan en el origen “o”.
La recta horizontal recibe el nombre de “eje x”.
La recta vertical recibe el nombre de “eje y”.
Los ejes coordenados I, II, III y IV cuadrantes
y
+
II
I
-
+
o
x´
x
III
IV
y´
-
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Función Lineal
Función cuadrática
Función Exponencial
Función Logaritmo
Funciones Racionales
