4º SECUNDARIA LIBRO DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos
maneras:
Razón Aritmética (r):
Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia.
. a–b .
a : Antecedente
b: Consecuente
Razón Geométrica (k):
Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente.
.
a
b
.
a : Antecedente
b: Consecuente
PROPORCIÓN
Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón
de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico
armónico
Proporción Aritmética o Equidiferencia
Si a – b = r y c – d = r, entonces:
. a–b=c–d .
. a+b=c+d .
Clases de Proporción Aritmética
Discreta
Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:
. a–b=c–d .
. d: 4ta diferencial .
Continua
Cuando los términos medios son iguales:
. a–b=b–c .
.
. b
ac
.
2
b: media d iferencial o media a ritmética
c: 3era. difer encial
.
1
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
Proporción Geométrica o Equicociente:
Si:
NOTA:
a
b
=ky
c
d
= k entonces
a.d=b.c .
.
a c

b d
b, c : Medios
.
a, d : Extremos
Clases de Proporción Geométrica
Discreta
Cuando los términos son diferentes sí donde:
a c

.
b d
.
. d: 4ta proporcional .
Continua
Cuando los términos medios son iguales
.
a b

.
b c
a.c  b 2
b  a.c
b: media p roporciona l o media geométrica
c: 3era. propo rcional
.
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor
a1  a2  a3  .....  an
k .
b1  b2  b3  .....  bn
.
.
a1  a2  a3  .......... ...  an
 kn .
b1  b2  b3  .......... .. bn
Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5
En general definimos la serie:
.
donde:
a1, a2, a3,…
b1, b2, b3,…
2
a1
a2

a2
b2

a3
b3
 .......... ..... 
an : Antecedentes
bn : Consecuentes
k : Constantes de proporcionalidad
an
k .
bn
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
EJERCICIOS
1. Hallar la 3ra diferencial de 17 y 12
2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5
3. Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una razón de 3/7) y su suma es 400. Hallar el
mayor de los números.
4. La diferencia de 2 números es 244 y están en relación de 7 a 3. ¿Cuál es el mayor de los
números?
5. La razón de dos números es 3/ 17 y su suma es 480. El menor de los números es:
6. se tienen 200 bolas de las cuales 160 son negras y las restantes blancas. Las bolas blancas que se
deben añadir para que por cada 7 blancas se tenga 4 negras; es:
7. En una proporción geométrica continua uno de los extremos es 9 y la media proporcional es 36,
el otro extremo, es:
8. El producto de los 4 términos de una proporción es 5776. Si uno de los extremos es 4, el otro
extremo es:
a b c d
9. Sabiendo que:    y a.c + b.d = 14400. La suma de los antecedentes es:
4 8 7 9
10. Si:
a b c
  y
2 5 3
Además: a2+ b2+ c2=152. Hallar “a + b + c”
11. En una reunión hay hombres y mujeres siendo el número de hombre al total de personas como 3
es a 8 y la diferencia entre hombre y mujeres es 18. La razón entre hombres y mujeres, si se
retiran 12 mujeres será:
12. La suma se 3 números es 400. El primero es al segundo como 7 es a 3 y su diferencia es 128. El
tercer número es:
13. Si:
a b c
 
2 5 3
y a2+ b2+ c2=152. Hallar “a + b + c”
14. La diferencia entre el mayor y menor términos de una proporción geométrica continua es 25, el
otro término es 30.Cual es la suma de los 4 términos.
15. Do números son proporcionales a 7 y 4. Si se aumenta 120 a uno de estos y 180 al otro se
obtienen cantidades iguales. El menor es:
16. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 160000. Sabiendo que los
términos medios son iguales y que uno de los extremos es 25; la suma de los cuatro términos de
la proporción, es:
17. En una serie de razones equivalente los antecedentes son 3, 5, 7 y 8 se sabes que el producto que
se obtiene con los consecuentes es 13 440. Luego la suma de los consecuentes, es:
3
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
18. En una proporción geométrica discreta cada uno de los tres últimos, términos es la mitad del
término anterior. Si los cuatro términos suman 225; el tercer término, es:
19. Encontrar cuatro números proporcionales a 1, 2, 3 y 5 sabiendo que la suma de los cubos de los
números buscados es 1288. El número mayor, es:
20. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fue llenado completamente por 4 recipientes donde el
volumen del primero es al segundo como el tercero es al cuarto como 2 es a 1. Halla la suma de
los volúmenes del segundo y cuarto recipiente.
21. La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se
le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Halla dichos números
22. Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el valor de la
razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Halla el mayor de los 2
números.
23. Determine la tercia proporcional entre la media proporcional de 9, 16 y la cuarta proporcional de
10, 15 y 14
24. Se tiene 3 números pares consecutivos, la razón entre el mayor y el menor es 6/5. ¿Cuál es el
otro número?
25. La suma de tres números es 1425, la razón del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia de
los mismos es 600. Hallar el otro número.
26. Se tiene la siguiente serie:
81 b c 3
  
Calcular b + c + d
b c 3 d
27. Si:
a b c 1
   y c – b =40 Calcule a + b + c + d
b c d 5
28. En una proporción continua los términos extremos son entre si como 1 a 9. Hallar la media
proporcional si dichos términos se diferencian en 40.
29. En una proporción continua la suma de sus términos extremos es 25. Halle la suma de los
términos de la proporción si la media proporcional es 12.
30. En una proporción geométrica, la suma y la diferencia de sus dos primeros términos están en
relación de 2 es a 1. Halle la cuarta proporcional si el tercer término es 18.
31. En una proporción geométrica continua se sabe que la diferencia de los extremos es 40, y la
suma de términos es 100. Calcular la media aritmética de los extremos.
32. En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera
votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsideración se vio que por
cada 8 votos a favor habían 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? No hubo
abstenciones.
4
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
33. En una fábrica embotelladora se tienen 3 máquinas A, B y C, por cada 7 botellas que produce la
máquina “A”, la máquina “B” produce 5, por cada 3 botellas que produce la máquina “B”, la
máquina “C” produce 2. En un día la máquina “A” produjo 4400 botellas más que “C”.
¿Cuántas botellas produjo la máquina “B” ese día?
34. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de
los antecedentes es 24. Calcula la tercia proporcional.
35. La suma, diferencia y el producto de 2 números están en la misma relación que los números 5, 3
y 16. Halla estos números.
36. Hallar la cuarta proporcional de 13, m y n, sabiendo que “m” es la media proporcional de 52 y
13 y “n” es la tercera proporcional de 25 y 15.
La conciencia es la columna vertebral del
alma, mientras la conciencia es recta se
sostiene en pie, yo no tengo más que esa
fuerza pero ella sola me basta”
Homero
ACTIVIDADES
1. Halla la 3ra diferencial de 19 y 11
2. Halla la 4ta diferencial de 18, 15 y 12
3. Si:
a
3
 . Halla “b”; Si: a + b = 140
b 4
4. Si:
y
x
z


3 5 6
, x+y+z = 56. Halla “z”
5. Si:
y
x
z


3
4 2
; x.y.z = 192. Halla “x + y + z”
6. Si:
2 5 1
 
a b c
Se sabe: a + b+ c = 96. Halla “c”
7. Si:
a
3
Si b – a = 15. Halla “a + b”

b 4
5
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
8. Si:
a b c
 
5 3 6
9. Si:
a 1 b 2

,
2
3
y a + c= 66. Halla “b”
Además, a + b + 3 = 20 Calcula “a”
10. Si: 8 es la cuarta proporcional de “a”, 6 y “b”; y “a” es la cuarta proporcional de “b”, 16 y 48. Hallar el
valor de “b-a”
11. En una proporción geométrica cuya razón es 3/5, se sabe que el producto de los antecedentes es 216 y
la suma de los consecuentes es 50. Entonces la diferencia de los antecedentes es:
¡¡¡AVERIGUA QUIEN PAGÓ!!!
CAMBISTA COLOSAL
Dos países vecinos, llamados del Norte y del Sur, han vivido en perfecta armonía durante
mucho tiempo, y tenían un acuerdo mediante el cual mantenían sus monedas cotizadas a la par; es
decir, un dólar del Norte valía igual que un dólar del Sur.
Cierto día por problemas de política internacional (¡cuando no la política!) se echó a perder
la armonía. Entonces el Gobierno del Norte, argumentando algo así como “en legítima defensa de
nuestra soberanía, y considerando que no debemos perder nuestra identidad nacional, tan
dignamente defendida...” publicó un decreto, cuyo único artículo establecía que en lo sucesivo diez
dólares del Sur sólo valían como nueve dólares del Norte.
Al día siguiente, el Gobierno del Sur, para no quedarse atrás, también decretó un artículo
único, que diez dólares del Norte sólo valían nueve dólares del Sur...
Vivía en la conflictiva línea de frontera un longevo muy astuto que, al enterarse de la
noticia, exclamó:
– ¡Ajá! ¡Esta es mi oportunidad! ¡Ahorita empiezo a hacer negocio!
Dicho y hecho. Corriendo llegó a una tienda norteña, escrutó las ofertas y decidió comprar
un pantalón de un dólar, y lo pagó con diez dólares del Norte. en seguida pidió como vuelto un
billete de diez dólares del Sur, que allí no valían más que nueve.
Luego, feliz de la vida y silbando la Marsellesa, se dirigió a una tienda del sur. En ella
compró un par de lindas camisas por un dólar, pagándolo con el billete de diez dólares del Sur que
le dieron en la otra tienda. Y, como era de esperar, pidió que le dieran de vuelto un billete de diez
dólares del Norte, que allí solo valían nueve.
De regreso a casa el veterano tenía en el bolsillo, como al salir un billete de diez dólares del
Norte y, además, un pantalón y dos camisas, y los comerciantes tenían en su caja nada menos que...
¡un dólar más!.
Entonces, estimado alumno, ¿puede decir quien pagó las dos camisas y el pantalón?
6
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
PROGRESIONES: ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es aquella sucesión de términos que se caracteriza por ser cualquier término de ella aumentando
una cantidad constante llamada razón (r)
Representación
 a1 . a2 . a3 . .............. an
 a1 . a1 + r . a1 + 2r ........ . a1 + (n - 1)r
ELEMENTOS DE P.A.
Inicio de la P.A
a1: primer término
separación de términos:,
an : término enésimo
r : razón de la P.A
Sn : Suma de n primeros términos
CLASES DE P.A
De acuerdo a la razón:
Si r > 0
Si r < 0
P. A. Creciente
P. A Decreciente
PROPIEDADES
Calculo de la razón:
Sea  a1 . a2 . a3 . ................ . an
r = a3 – a1
En general: . r = an – an – 1 .
En total P.A la suma de los términos equidistante de los extremos son iguales.
Para hallar un término enésimo último cualquiera
. an = a1 + (n - 1) . r .
Ejemplo: Hallar el 15avo termino:
3 . 5 . 7 . 9 ...............
Resolución
Usemos:
an = a1 + (n – 1)r del ejercicio a1 = 3; n = 15; r = 2
Reemplazando
a15 = a1 + (15 - 1) . r
7
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
a15 = 3 + (14) . 2
a15 = 31
Términos central de una P. A
an 
an  a1
2
.
Existe cuando “n” es impar
Ejemplo:
Hallar el término central
3 . 6 . 9 . 12 ..........

15 tér min os
Resolución
ac =
an  3
,
2
tenemos que hallar an
a15 = 3 + (15 - 1) . 3
a15 = 45
Por tanto:
ac =
45  3
2
 ac = 24
Suma de una P. A
 a  a1 
Sn   n

 2 
Ejemplo:
Hallar “S”
S 2
4
6
8
 ..........



.
17 tér min os
S17 =
 an  2 


 2 
. 17
Hallar a17 = ?
a17 = 2 + (17 - 1) . 2
a17 = 2 + 16 . 2  a17 = 34
Luego:
34  2 
S17 = 
 . 17

2
S17 = 18 . 17
8

ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
S17 = 306
Además: Si n es impar
Entonces Sn = ac . n
OBSERVACIÓN:
EN LA PRACTICA, PARA REPRESENTAR A UNA P.A
 a1 . a2 . a3 . …….. . an
SE UTILIZA LA SIGUIENTE FORMA:
 a1, a2, a3 . ……… , an
COMO VERÁS SE REEMPLAZA LA COMA POR EL
PUNTO
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión de términos en la cual un término es igual al anterior multiplicado por una cantidad
constante llamada razón (q)
Representación:
t1: t2: t3: t4: ........: tn
t1: tq: t2q2: t1 q3: ........: tn . qn- 1
OBSERVACIÓN:
RESULTA MUY INCOMODO TRABAJAR CON TODOS
LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTA A UN P.G POR
LO TANTO UTILIZAREMOS A ESTA SUCESIÓN
NUMÉRICA.
Elementos de la PG:
inicio de la PG.
t1 primer término (t1  0)
: separación de términos
q razón geométrica (q  0)
tn términos enésimo
Sn suma de “n” primeros términos
Pn producto de los “n” primeros términos
Clases de PG
Si q > 1  PG es creciente
Si 0 < q < 1  PG es Decreciente
Si q < 0  PG es Oscilante
PROPIEDADES:
CALCULO DE LA RAZÓN (Q)
Sea la PG
9
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
t1: t2: t3: ........... : tn
q
t
t 2 t3
  .............  n
t1 t 2
t n1
CALCULO DEL TÉRMINO ENÉSIMO DE UN PG.
t n  t1 .q n 1
Ejemplo:
Hallar 9no término en
1
1 1
,
, ,
81 27 9
........
Resolución
Halando la razón:
1
81
q = 27 
q=3
1
27
81
Calculando el t9
tg =
tg =
1
. 3 9 1
81
1
. 38
34

tg = 34
 tg = 81
En total PG. El producto de los términos equidistantes de los extremos es igual
TÉRMINO CENTRAL DE UNA PG.
Tc  t1 . t n
.
n  impar
Cuando el número el términos (n) es impar
Ejemplo:
Hallar el término central
3 , 6 , 12 , .......... .. .

15 tér min os
Resolución
10
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
Tc = 3 . t15
t15 =3 . 215 – 1
t15 = 3 . 214
Hallando t15:
Reemplazando
tc = 3 . 3 . 214
= 32 . 214
= 32 . 214
= 3 . 27
= 3 . 128
7
 . tc = 384 .
SUMA DE UNA PG DE UN TÉRMINO
t1 (q n  1)
Sn 
q 1
.
Ejemplo: Sumar:
.
1
1
1
;
;
; .......... .......
243
27

81




10 tér min os
Resolución
Hallándose la razón:
1
81
q=
q=3
1
243
Hallándose la suma de términos
S10 =
1
(310  1)
.
243
31
S10 =
1
59048
.
243
2
S10 =
29524
243
S10 = 121, 5
PRODUCTO TÉRMINOS DE UNA PG.
.
Si: n  impar
Pn  t1 . tn

.
Pn  tcn
n
.
.
11
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
Ejemplo:
Hallar el producto de términos de:
1
1
1
,
,
, .........
128
64
32



14 tér min os
Resolución
1
64
q = 32 
q=2
1
32
64
Hallamos la razón
Hallando t14.
t14 =
t14=
2 13
 t14 = 26
27
1
128
.
1
. 2141
128
Ahora:
P14 =
1
. 26
128
P14 =
1
. 26
27
1
P14 =  
2
7
7
 . P14 =
SUMA LÍMITE:
Suma de todos los términos de una PG. Ilimitada decreciente, se obtiene así:
S lim 
Ejemplo:
Calcular
S=
t1
1 q
Si: –1 < q < 1
1 1
1
1
 

 .......... .
4 8 16 32
Resolución:
Hallando la razón
1
t1 =
4
Como S =
t1
1q
1
16
q=
1
8
q=
reemplazamos
8
16
 q=
S=
 S=
12
1
4
1
2
1
1x2
4


1
1 1x4
1
2 2
1
2
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
OBSERVACIÓN:
PARA HALLAR UN TÉRMINO CUALQUIERA SE
PUEDE APLICAR LAS SIGUIENTE FORMULAS
GENERALES .
EN UNA PA:
EN UNA PG
. ax = ay + (x - y) . r .
. T x= ty
.q .
EJERCICIOS
1. Calcular el a15 en la
P.A: 12; 8; 4;......
2. En la P.A: 4; 7; , 10; .........., calcular el vigésimo segundo término.
3. Hallar la razón de la Progresión Aritmética si el primer término es 3 y el sexto término es 8.
4. ¿Cuántos términos posee la siguiente Progresión Aritmética?
P.A.: 6; 9; 12; ......; 36
5. Hallar: P = 35 + 36 + 37 + ........ + 355. Dar la suma de cifras de “P”
6. Si: R = 21 + 23 + 25 + ..... + 189. Calcular la suma de cifras de “R”
7. En un P.A se conoce: a3 = 18; a7 = 30. hallar “a22”
8. Hallar el valor de “x” en lña siguiente P.A (4x-5);20;(4x+5)
9. Sabiendo que: (x + y); (4x - 3y); (3x + 5y). Son 3 términos consecutivos de una P.A. calcular el,
valor de: x/y
10. Hallar la suma de todos los términos de la progresión Aritmética:
3, 5, 7, ....................., 31
11. Si en un progresión geométrica
t1 = 2; t6 = 64. hallar la razón
12. Calcular el primer término de una P.G. en el que el tercer término es 3 y el séptimo es 3/16
13. Hallar el primer término de una P.G si la suma de los 2 primeros términos es 15 y de los
siguientes 2 términos es 60.
14. Encontrar “x” para que:
x – 4; 2x – 8; 3x - 10 Formen una P.G de razón 2
15. Hallar la suma de los 4 términos de: t1, 16, 64, t4
16. Dada la suma siguiente P.A
13
ARITMÉTICA
2; 5; a; .......; b
PRIMER TRIMESTRE
Hallar “a + b”
Siendo b el décimo término
17. Si el producto de 3 números en P.G es 27. ¿Cuál es el término central?
18. Si el producto de 3 números que están en P.G. es 64 y la razón es 2. Calcula el menor término
19. En una P.G., si t5 = 9 y t7 = 1. entonces: t6 vale:
20. hallar la suma de los 1ros 5 términos de la P.G :
2, a, 8, 16, b, .....................
WIENER, NORBERT
Norbert Wiener era el típico matemático
despistado. En cierta ocasión su familia se
mudó a un pueblo muy cercano a donde vivían
antes. Su esposa, conociéndole, decidió
mandarle al MIT como todos los días, y ella se
encargó de la mudanza. Tras repetirle cientos de
veces (quizás más) que se mudaban tal día, el
día D le dio una hoja de papel con la nueva
dirección, porque estaba absolutamente segura
de que lo iba a olvidar. Desgraciadamente, usó
este papel para resolverle por la otra cara una
duda a un estudiante. Cuando volvió por la tarde
a su casa, por supuesto, se olvidó de que se
habían mudado Su primera reacción al llegar a
su antigua casa y verla vacía fue la de pensar
que le habían robado, y entonces recordó lo de
la mudanza. Como tampoco conseguía recordar
a dónde se habían mudado y no tenía papel,
salió a la calle bastante preocupado, y vio una
chica que se acercaba; entonces le dijo:
- Perdone, pero es que yo vivía aquí antes y
no consigo recordar...
- No te preocupes, papá, mamá me ha
mandado a recogerte.
(Hay que decir que era de noche y no se
veía bien.)
14
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
ACTIVIDADES
1. Hallar “x” en la P.A. (2x - 10); 10; (3x + 20);........
2. Hallar el vigésimo término de la P.A: 20, 12, 4,................,
3. ¿Cuántos términos hay en la siguiente P.A?
32; 36; 40;......., 196
4. Calcular la suma de los 2 primeros términos de la P.A: 12; 17; 22;..........
5. Hallar “A + B - C” en la P.A:
2; 8;...............; A; B, C siendo A el término 15avo
PARA UN TROME EN MATEMÁTICAS
En el caso de que tu amigo sea un fuera de serie en
matemáticas, anímale para que te ayude a realizar una
multiplicación ligerita:
Le dirás a tu amigo que sospechas que al multiplicar 466
063 627 por 977 503 387, y el resultado obtenido por
239, obtendrá un total sólo por cifras 1. en el caso que tu
amigo se resista, insiste cortésmente hasta conseguirlo.
Dile que son poquísimos los buenos matemáticos en el
mundo y que, precisamente lo ha escogido a él por
considerarlo buenazo. Al terminar de multiplicar tu amigo
confirmará la sospecha, y eso le dará una gran
satisfacción: habrá obtenido 21 cifras uno.
El sorprendente resultado obtenido queda más claro así:
997 503 387 por 466 063 627 y por 239 es igual a:
111 111 111 111 111 111 111
15
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
¡¿Qué poco pide verdad?!
EL INVENTOR DEL AJEDREZ
El rey de Persia fascinado por el juego de ajedrez, quiso conocer y premiar al inventor. Se
cuenta que el rey ofreció al matemático oriental el premio que solicitara.
El matemático contestó:
Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, cuatro
por la tercera, ocho por la cuarta, y así doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de
ajedrez.
Ordenó el rey a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que
era imposible cumplir la orden.
Se necesitaría la cantidad de:
264 granos de trigo = 183446 7442073 7091551 616 granos
¿Sabes leer ese número?:
Diez y ocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones,
setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos dieciséis
granos de trigo.
En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado
sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más
de 11'5 kilómetros de lado.
Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares),
durante ocho años.
16
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
PROMEDIOS
Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:
a1  a2  a3  ……......
 an


MENOR VALOR  PROMEDIO  MAYOR VALOR
TIPOS DE PROMEDIO
PROMEDIO ARITMÉTICO O MEDIA ARITMÉTICA ( MA )
O simplemente promedio
. MA 
Suma de datos
Número de datos
.
Dar la MA de: 7; 13 y 4
Resolución
7  13  4
3
=8
OJO:
SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS
NÚMEROS
 . S=n.
MA
(“n” números) .
PROMEDIOS GEOMÉTRICOS O MEDIA GEOMÉTRICA ( MG )
. MG  n Pr oducto de los datos .
n: número de datos
Dar la MG de: 5; 15 y 45
Resolución
3
5 . 15 . 45  15
PROMEDIO ARMÓNICO O MEDIA ARMÓNICA ( MH )
. MH 
Número de datos
Suma de Inversa de los datos
.
Dar la MH de: 6; 2 y 3
17
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
Resolución
3
3
1 1 1
 
6 2 3
IMPORTANTE:
Para 2 cantidades “a” y “b”
MG 
MH 
.
2
ab
1 1

a b

.
2ab
ab
.
Dado:
0 < a1  a2  a3 ……….….  an
Se verifica que:
an  MA  MG  MH  0

.

MAYOR
MENOR
PROMEDI O
.
PROMEDIO
Si todos los valores son iguales
MA  MG  MH
Para cantidades “a” y “b”
. MG
2
 MA . MH .
( a  b) 2
. MA  MG 
4(MA  MG ) .
LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Sean los números: 3, 5 y 10
 MA 
3  5  10
6
3
Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:
18
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
3  5  10 7  4

7
3
3

 


Nuevo
Pr omedio
PROMEDIO
INICIAL
VARIACIÓN
IMPORTANTE
nuevo
 promedio  var iación del




promedio

 inical
 promedio

Donde:
var iación del
promedio
=
total que se  total que se 



aumenta
 dis min uye 
Número de datos
Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios)
Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi
nota promedio?
Resolución:
NOTAS
11
17
13
PESOS
2
1
3
6
TOTAL
11 x 2
+17 x 1
13 x 3
78
+
La nota promedio será:
11 . 2  17 . 1  13 . 3
213
En general:
. PP 

78
 13
6
a1 P1  a2 P2  a3 P3  ..........  an Pn
P1  P2  P3  .......... Pn
.
Donde:
an : enésimo de las notas, precios, … etc
Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc
19
ARITMÉTICA
1.
PRIMER TRIMESTRE
EJERCICIOS
Si el promedio de los siguientes números es 20,5. Hallar el valor de “a”.
(2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2)
2.
El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4. hallar su promedio
aritmético.
3.
Hallar el valor de “x”; si el promedio geométrico de los números: 2x; 4x y 8x es 64.
4.
De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura
promedio de las mujeres es 1,60m. Calcular la estatura promedios de los varones.
5. Si la media geométrica de dos números es 4 y la media armónica es 32/17. ¿Cuál es el menor de
dichos números?
6. El promedio de 40 números es “n” y el promedio de otros 20 números es (n - 9). Calcular el
valor de “n”; si el promedio aritmético de los 60 números es 12.
7. En un reunión asistieron 200 personas asistieron 3 varones por cada mujer. Si el promedio de
las edades de todos los presentes es 19 años y además el promedio de las edades de los varones
es 20. hallar el promedio de las edades de las mujeres.
8. Hallar dos números sabiendo que el mayor y el menor de sus promedios son: 13,5 y 13 1/13
respectivamente. Indicar su diferencia.
9. Hallar la medida geométrica de dos números, sabiendo que la tercera parte de su producto, por
su MA: por su MG y por su MH se obtiene 81.
10. Hallar el promedio de:
m ; m ; m ; ........; m ; n ; n ; n ; .......... ....; n
 
"n "
"m "veces
11. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es. 6 hallar la
diferencia de dichos números.
12. Hallar la MH de:
1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981
13. La MG de tres números pares diferentes es 6. entonces, la MA de ellos será:
14. La media armónica de 10 números es 3/2; el de otros 2 números es 9/5. calcular la MH de los
30 números.
15. Si la media geométrica y la media aritmética de dos números; a y b son números enteros
consecutivos. Hallar ( a  b )
16. El mayor promedio de dos números es 4 mientras su menor promedio es 3. Hallar la diferencia de los
números.
17. La MG y la MA de dos números que se diferencian en 32 están en la relación 3/5 dar el mayor de los
números.
18. La MG de tres números tomados dos a dos es: 3; 4 y 6. Hallar el producto de los números.
20
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
19. Hallar el promedio armónico de “a”, “b” y “c”; si:
Media armónica “a” y “b” es 3; la media armónica “b” y “c” es 4 y la media armónica “c” y “a” es 6.
20. Hallar dos números sabiendo que su media aritmética es 9 y su media geométrica es 6 2
EL MAYOR NÚMERO CON TRES CIFRAS
El mayor número que se puede formar con 3 cifras no es,
como pueden suponer algunos, el 999. se puede ensayar los
siguientes casos:
ó
9 99
999
Pero no se haga ilusiones, que acá le tengo otro:
9
99
Esto significa 9 elevado a la 99 , o sea a la 387420489
potencia. Resultado que consta de 369 693 021 cifras, es decir...
¡casi trescientos setenta millones de cifras!. Y para escribir el
resultado... ¡Se necesitarían 12 años a razón de una cifra por
segundo!
ACTIVIDADES
1. Hallar la media geométrica de los números: 3; 4; y 18
2. Hallar la media armónica de los números: 1; 2; 3 y 6
3. Hallar el promedio de los siguientes números:
4. Hallar el promedio de:
1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20
2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42
5. El promedio de cinco números pares consecutivos es 16. hallar el promedio del mayor y el
tercero.
6. ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo: 14; 10 y 18
respectivamente; y su promedio final fue de 15?
7. La media aritmética de tres números es 6. y de otros dos números es 16. hallar la media
aritmética de los cinco números.
8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. el promedio de los dos primeros números es 15; el promedio
de los dos últimos 10 y el promedio de todos los números es 20. Hallar
9. Calcular
la
media
armónica
de
dos
números.
Si:
“A + B + C”
MA
=
45
y
MG = 15
10. El promedio de las edades en un salón de clases es de 18. Si el promedio de 20 de ellos es 15.
Hallar el promedio de los restantes sabiendo que hay 50 alumnos.
21
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
CALCULA EL TIEMPO
ATENAS INMORTAL
De pronto nos sorprendió una dama de belleza inusual diciendo:
¡Bienvenidos a Atenas, la paradigmática ciudad de la democracia! Tomen asiento y cierren los ojos
lentamente... ahora revivirán las escenas del pasado... Nos encontraremos en la Acrópolis que significa “la
ciudad sobre la colina”. En este lugar ha vivido gente desde la Edad de Piedra. Naturalmente, porque era fácil
de defender del enemigo y porque con la vista se podía dominar uno de los mejores puertos del Mediterráneo.
Nosotros estábamos totalmente concentrados. La dama continuó con voz angelical.
Un día estuve en el puerto. Mis únicos compañeros eran los pelícanos, gacetas y gallinetas. Me sentí
fundida en el universo, perdida en él, como se pierde el alma en un cántico de alabanza que surge de la
desconocida muchedumbre congregada en una catedral.
No cabe duda que esta mujer era ateniense.
En la primera mitad del siglo V a de C. –prosiguió, se libró una cruenta batalla contra los persas, y en el
año de 480, Atenas fue saqueada y quemada por el rey persa Jerses. Al año siguiente, los persas fueron
vencidos, y comenzó la Edad e Oro en Atenas, constituyéndose la Acrópolis más soberbia y hermosa que
nunca. En esa época, Sócrates anduvo por plazas y calles conversando con los atenienses.
Después de un breve silencio continuó:
Detrás de mí pueden ver el templo más grande. Se llama Partenón, o “morada de la virgen”, y fue
mandado erigir por Pericles en honor de Palas. Atenea, la diosa patrona de Atenas... Ahora estamos en la parte
baja de la acrópolis. Entremos en el teatro de Dionisos. Aquí se representó por primera vez la tragedia Edipo
Rey, de Sófocles, y tragedias de Equiulo y Eurípides, y comedia de Aristófanes. Hacia atrás pueden ver la
shené (escena), una pared de piedra que servía de fondo a los actores. Y recuerden que la palabra teatro, en
griego significa mirar.
La anfitriona dio un tremendo suspiro y continúo:
Ahora subamos a un pequeño monte llamado Areópago. Aquí el tribunal supremo sentenciaba los
delitos graves y vigilaba por el cumplimiento de las leyes. Muchos siglos después, el apóstol Pablo estuvo aquí
hablando de Jesús del cristianismo a los atenienses...
Al día siguiente, la anfitriona nos contó que un pintor tenía que decorar un mural de 150 metros en la
Acrópolis. En el día avanzaba 6 metros, pero todas las noches un bromista le borraba 2 metros.
¿En cuantos días entregará la obra terminada?
22
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD
Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una
característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su
peso, estatura, presión arterial,etc.
CANTIDAD (Valor):
Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud.
MAGNITUD
CANTIDAD
Longitud
2km
Tiempo
7 días
# de obreros
12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor
correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2
maneras.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)
Ejemplo Ilustrativo:
Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varía el valor de costo
total, cuando el número de libros varía, se tendrá:
 (Costo total) DP (# de libros)
Se observo:
23
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
En General:
Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir
los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en
la misma proporción.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada
par de sus valores correspondientes, sea una constante.
OJO:
DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2
MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL
EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO,
NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)
SI:
. “A” DP “B”  valor de A  k  cons tan te .
valor de B
Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:
LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA
RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN DE
COORDENADAS
EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA
(EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS) EL
CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES
CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.
SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
VALORES
24
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
CORRESPONDIENTES
a1 a2 a3 ...... an
.
b1 b2 b3 … bn
…
MAGNITUD A
MAGNITUD B
SE VERIFICA:
a1 a2 a3
a


...  n  k
b1 b2 b3
bn
SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
. F(x) = mx .
m: pendiente (constante)
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Ejemplo ilustrativo:
Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una
habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:
 (# de pintores) IP (# días)
Se Observa: (# de pintores) IP (# días)
Se Observa:
(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60
Constante
En general:
41
25
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el
respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par
de sus valores correspondientes sea una constante.
. A I.P.B  (valor de A)(valor de B) = cte .
Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:
LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA
RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA.
EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL
PRODUCTO DE CADA PAR DE VALORES
CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.
LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
SERÁ:
. Fx  m .
x
M : CONSTANTE área del rec tan gulo
bajo la curva

SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”
VALORES
CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A
a1
a2
a3
...... an
.
MAGNITUD B
26
b1
B2
…
bn
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
…
SE VERIFICA:
A1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k
PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES
Para 2 magnitudes A y B se cumple:
* A D.P. B  B D. P. A

* A I. P. B  B I. P. A
n
n

* A D. P. B  A D. P. B

n
n

* A I. P. B  A I. P. B
1

* A D.P. B.  A I.P. B

* A I.P. B  A D.P. 1

B
Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:
Si:
A D. P. B (C es constante)
A D. P. C (B es constante)
 A D. P. (B . C)

A
= cte
B .C
Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E
A
D. P.
A
I. P.
A
A. P.
A
D. P.
B

C

D
E

.
A.C
 Cte .
B.D.E
OJO: CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE
2 MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS
OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.
Aplicaciones comunes:
27
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
(N° de obreros) DP
(obra)
(N° de obreros)
IP
(eficiencia)
(N° de obreros)
IP
(N° de días)
(N° de obreros)
IP
(horas diarias)
(velocidades)
IP
(Tiempo)
(N° de obreros) D P
(N° de dientes)
.
(Dificultad)
IP
(N° de vueltas)
 # de  Horas  # de 




 obreros  por día  días (ren dim iento )




 cos n tan te
(obra )(dificultad)
.
EJERCICIOS
1. Las magnitudes de a y b son D. P. Cuando a = 20, b = 5. Calcula cuando a = 12
2. Si a2 y b son D. P., cuando a vale 10, b es 7. ¿Qué valor toma A cuando B vale 28?
3. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale 6. ¿Qué valor tomará a cuando b es 4?
4. Si
a
y
b
a = 100, b = 3. calcular b cuando a = 9
28
son
I.
P,.
Cuando
ARITMÉTICA
4TO AÑO DE SECUNDARIA
5. Si “a” es I.P. a “b2 - 1”, siendo “a” igual a 24 cuando “b” es igual a 10. Halla “a” cuando “b” es
igual a 5.
6. Si las magnitudes A y B son D. P. Calcula: a + b + c
A 18 a b c
B 12 16 18 24
7. Sean las magnitudes A y B. Donde A es D.P a(B2 + 1). Si cuando A = 8, B = 3, ¿Qué valor
tomara A cuando B = 7?
8. “a” es D.P a “ b ” e I.P a “c2”. Cuando a = 10; b = 25; c = 4. Halla “a” cuando b = 64, c = 8
9. De la gráfica. Halla “a + b”
10. De la gráfica. Halla “a + b”
11. Según la gráfica. Halla “x +y”
12. Si las magnitudes son D.P. Calcula “a + b + c”
A 10 b 40 5
B a 9 24 c
13. Si: P.V = k. Halla “P” cuando v = 6, si P = 12 cuando v = 4
14. Si:
a
b
= k. Halla “a” cuando
b = 12; si a = 18 cuando b = 9
15. Si: a es D.P. con b. Halla “a” cuando b = 4, si a = 4 cuando b = 2
ACTIVIDADES
29
ARITMÉTICA
PRIMER TRIMESTRE
1. Si “a” es P.D a ”b”. Halla “b” cuando “a” es igual a 7, si a = 5 cuando b =15
2. “a” es I.P. a “b”. Cuando a = 8, b = 3. Halla “b” cuando a = 2
3. “a” es D. P. a “b” . cuando
4. “a”
es
I.P
a = 6, b = 8. Calcula “a” cuando: b = 12
a
“b”
cuando
a
=
4,
b = 3. Calcula el valor que toma “b” cuando “a” toma el valor de 6.
5.
“a” es D.P. a “b2”. Cuando “a” es igual a 20 “b” es igual a 6. ¿Qué valor tomará “a” cuando “b”
es igual a 3?
6. Si: “a” es I.P a “ 3 b ”, además cuando “a” es 35, “b” vale 27. ¿Cuánto vale “a” cuando “b” valga
343?
7. Si A y B son IP. Calcula
m+n+a
A 30 n 2 m a
B n 15 10 1
8. La gráfica nos muestra la proporcionalidad entre las magnitudes A y B. Halla
a+b+c
9.
“a” es D.P a “b” e I.P a “c”. Halla el valor de “c” cuando “a” es 10 y “b” es 8, si cuando “a” es
8, “b” es 6 y “c” es 30
10. Si A y B son IP. Calcula
30
m+n+a